Gdje r– radijus vektor povučen od točke O do točke A, mjesto materijalna točka, str=m v– količina gibanja materijalne točke. Modul vektora kutne količine gibanja:

gdje je a kut između vektora r I str, l – krak vektora p u odnosu na točku O. Vektor L, prema definiciji vektorskog umnoška okomita je na ravninu u kojoj leže vektori r I str(ili v), njegov smjer se podudara sa smjerom kretanje prema naprijed desni vijak dok se okreće od r Do str

Moment u odnosu na os je skalarna veličina jednaka projekciji na ovu os vektora kutne količine gibanja definiranog u odnosu na proizvoljnu točku na ovoj osi.

Moment sile M materijalne točke u odnosu na točku O je vektorska veličina određena vektorskim umnoškom radijus vektora r povučenog iz točke O na točku primjene sile i sile F: .

sl.2.

Modul vektora momenta sile:

gdje je a kut između vektora r I F, d = r*sina – krak sile – najkraća udaljenost između linije djelovanja sile i točke O. Vektor M(kao i L) - okomito na ravninu u kojoj leže vektori r I F, njegov smjer se podudara sa smjerom translatornog kretanja desnog propelera dok se okreće od r Do F Po najkraća udaljenost, kao što je prikazano na slici.

Moment sile oko osi nazivamo skalarnom veličinom koja je jednaka projekciji vektora momenta sile na ovu os M definiran u odnosu na proizvoljnu točku na ovoj osi.

Osnovni zakon dinamike rotacijskog gibanja

Kako bismo pojasnili svrhu gornjih koncepata, razmotrimo sustav dviju materijalnih točaka (čestica), a zatim generaliziramo rezultat na sustav proizvoljnog broja čestica (tj. čvrsta). Neka za čestice s masama m 1, m 2, čiji momenti str 1 I p2, djeluju vanjske sile F 1 I F 2. Čestice također međusobno djeluju putem unutarnjih sila f 12 I f 21.

sl.3.

Napišimo drugi Newtonov zakon za svaku od čestica, kao i vezu između unutarnjih sila koja proizlazi iz trećeg Newtonovog zakona:

Vektorski pomnožimo jednadžbu (1) sa r 1, a jednadžba (2) – na r 2 i zbrojite dobivene izraze:

Transformirajmo lijeve strane jednadžbe (4) uzimajući u obzir da

.

Vektori i su paralelni i njihovi vektorski proizvod jednako nuli, tako da možemo pisati

. (5)

Prva dva člana desno u (4) jednaka su nuli, tj.

jer f 21 =-f 12, i vektor r 1-r 2 usmjeren duž iste ravne linije kao i vektor f 12.

Uzimajući u obzir (5) i (6) iz (4) dobivamo

ili

Gdje L=L 1 +L 2; M=M1 +M2. Generalizirajući rezultat na sustav od n čestica, možemo napisati L=L 1 +L 2 +…+L n = M=M1 +M2 +M n=

Jednadžba (7) je matematički prikaz osnovnog zakona dinamike rotacijskog gibanja: brzina promjene kutne količine gibanja sustava jednaka je zbroju momenata koji na njega djeluju vanjske sile. Ovaj zakon vrijedi za bilo koju stacionarnu ili pokretnu točku s konstantnom brzinom. inercijski sustav odbrojavanje. Stoga slijedi zakon očuvanje kutne količine gibanja: ako je moment vanjskih sila M jednak nuli, tada je kutna količina gibanja sustava očuvana (L=konst).

Kutni moment apsolutno krutog tijela u odnosu na nepokretnu os.

Razmotrimo rotaciju apsolutno krutog tijela oko fiksne osi z. Čvrsto tijelo može se prikazati kao sustav od n materijalnih točaka (čestica). Tijekom rotacije neka promatrana točka tijela (označavamo je indeksom i, a i=1...n) giba se po kružnici konstantnog radijusa R i s linearna brzina v i oko osi z (slika 4). Njezina brzina v i i impuls m i v i okomito na radijus R i. Dakle, modul kutne količine gibanja čestice tijela u odnosu na točku O koja se nalazi na osi rotacije:

gdje je r i radijus vektor povučen iz točke O na česticu.

Koristeći odnos između linearne i kutne brzine v i =wR i, gdje je R i udaljenost čestice od osi rotacije, dobivamo

Projekcija ovog vektora na os rotacije z, tj. kutni moment čestice tijela u odnosu na os z bit će jednak:

Kutni moment krutog tijela u odnosu na os je zbroj kutnih impulsa svih dijelova tijela:

Vrijednost Iz, jednak zbroju umnožak masa čestica tijela s kvadratima njihovih udaljenosti do osi z naziva se momentom tromosti tijela u odnosu na ovu os:

Iz izraza (8) proizlazi da kutna količina gibanja tijela ne ovisi o položaju točke O na osi rotacije, stoga govorimo o kutnoj količini gibanja tijela u odnosu na neku os rotacije, a ne u odnosu na točka

Postoji sličnost između formulacija osnovnog zakona rotacijskog gibanja, definicija kutne količine gibanja i sile s formulacijama drugog Newtonovog zakona i definicija količine gibanja za translatorno gibanje.

Slobodne osi i glavne osi tromosti tijela

Da bi zadržala fiksni položaj u prostoru osi rotacije čvrstog tijela, ona se mehanički učvršćuje, najčešće pomoću ležajeva, tj. pod utjecajem vanjskih sila. Međutim, postoje osi rotacije tijela koja ne mijenjaju svoju orijentaciju u prostoru bez djelovanja vanjskih sila na njih. Te se osi zovu besplatno sjekire. Može se dokazati da svako tijelo ima tri međusobno okomite osi koje prolaze kroz njegov centar mase, a koje su slobodne. Ove se sjekire također nazivaju glavne osi tromosti tijela.

Žiroskopi

Trenutno se žiroskopi odnose na vrlo široku klasu uređaja koji koriste više od stotinu različitih pojava i fizičkih principa. U ovom laboratorijski rad proučava se klasični žiroskop, u budućnosti jednostavno žiroskop.

Žiroskop (ili vrh) je masivno simetrično tijelo koje rotira velikom kutnom brzinom oko svoje osi simetrije. Ovu ćemo os nazvati osom žiroskopa. Os žiroskopa je jedna od glavnih osi tromosti (slobodna os). Kutna količina gibanja žiroskopa u ovom je slučaju usmjerena duž osi i jednaka je L= ja w.

Razmotrimo vodoravno orijentirani balansirani žiroskop (čije je težište iznad uporišne točke). Budući da je moment gravitacije za njega jednak nuli, tada prema zakonu održanja kutne količine gibanja L= ja w= const, tj. smjer njegove osi rotacije ne mijenja njegov položaj u prostoru.

Pri pokušaju izazivanja rotacije osi žiroskopa javlja se fenomen tzv žiroskopski učinak. Bit efekta: pod djelovanjem sile F primijenjene na os rotirajućeg žiroskopa, os žiroskopa rotira u ravnini okomitoj na tu silu. Na primjer, kada se primijeni okomita sila, os žiroskopa rotira u horizontalnoj ravnini. Na prvi pogled to izgleda neprirodno.

Žiroskopski učinak je objašnjen na sljedeći način (Sl. 5). Trenutak M snaga F usmjerena okomito na svoju os, jer M=, r-radijus vektor od središta mase žiroskopa do točke primjene sile.

sl.5.

Tijekom vremena dt kutni moment žiroskopa L dobit će prirast d L=M*dt (u skladu s osnovnim zakonom rotacijskog gibanja), a usmjeren u istom smjeru kao M i postat će jednaki L+d L. Smjer L+d L poklapa se s novim smjerom osi rotacije žiroskopa. Tako će se os žiroskopa okretati u ravnini okomitoj na silu F pod nekim kutom dφ=|dL|/L=M*dt/L, s kutnom brzinom

Kutna brzina rotacije osi žiroskopa W naziva se kutna brzina precesije, a ovo rotacijsko kretanje osi žiroskopa precesija.

Iz (9) slijedi

Vektori M, L, W međusobno okomiti, pa možemo pisati

M=.

Ova se formula dobiva kada se vektori M, L, W međusobno okomiti, ali se može dokazati da vrijedi u općem slučaju.

Imajte na umu da ovi argumenti i izvođenje formula vrijede u slučaju kada je kutna brzina rotacije žiroskopa w>>W.

Iz formule (9) slijedi da je brzina precesije W izravno proporcionalna M i obrnuto proporcionalna momentu količine gibanja žiroskopa L. Ako je vrijeme djelovanja sile kratko, kutni moment L dovoljno velik, tada stopa precesije W bit će mala. Stoga kratkotrajno djelovanje sila praktički ne dovodi do promjene orijentacije osi rotacije žiroskopa u prostoru. Da bi se to promijenilo, sila se mora primijeniti tijekom dugog vremenskog razdoblja.

Praktična primjena žiroskopa

Svojstva gore opisanog žiroskopa su različita praktične aplikacije. Jedna od prvih primjena svojstava žiroskopa pronađena je u oružju s puškama. Nakon što napusti cijev pištolja, projektil je podložan otporu zraka, čiji moment može prevrnuti projektil i promijeniti njegovu orijentaciju u odnosu na putanju na slučajan način, što negativno utječe na domet leta i točnost pogađanja cilja. Spiralna žljebljenja u cijevi topa uzrokuju brzu rotaciju projektila oko svoje osi. Projektil se pretvara u žiroskop i vanjski moment sile otpora zraka uzrokuje samo precesiju njegove osi oko smjera tangente na putanju projektila. Istodobno se održava određena orijentacija projektila u prostoru.

Druga važna primjena žiroskopa su razni žiroskopski uređaji: žirohorizont, žirokompas itd. Uravnoteženi žiroskopi također se koriste za održavanje zadanog smjera kretanja zrakoplova (autopilot). Da bi se to postiglo, žiroskop je postavljen na kardanski ovjes, koji smanjuje učinak vanjskih momenata sila koji nastaju tijekom manevra zrakoplova. Zahvaljujući tome, os žiroskopa zadržava svoj smjer u prostoru bez obzira na kretanje letjelice. Kada smjer kretanja zrakoplova odstupi od smjera određenog osi žiroskopa, javljaju se automatske naredbe koje ga vraćaju u zadani smjer.

Opisano ponašanje žiroskopa ujedno je i osnova za uređaj koji se zove žiroskopski kompas (žirokompas). Ovaj uređaj je žiroskop, čija se os može slobodno okretati u vodoravnoj ravnini. Ako se os žiroskopa ne poklapa sa smjerom meridijana, tada se zbog rotacije Zemlje javlja sila koja teži zakretanju osi u smjeru okomitom na horizont. Međutim, zahvaljujući žiroskopskom efektu, rotira u vodoravnom smjeru sve dok se ne uspostavi smjer koji se poklapa s meridijanom, koji pokazuje točno prema sjeveru. Žiroskopski kompas razlikuje se od kompasa s magnetskom iglom po tome što njegova očitanja ne moraju biti ispravljena za takozvanu magnetsku deklinaciju (povezanu s neusklađenošću između geografskih i magnetski polovi Zemlja), a također nema potrebe poduzimati mjere za kompenzaciju učinaka magnetskih smetnji od trupa i opreme broda.

Opis eksperimentalne postavke

Eksperimentalna postavka (slika 6) sastoji se od sljedećih glavnih komponenti:

1. Žiroskopski disk.

2. Poluga s metričkom ljestvicom.

3. Opterećenje, čije kretanje duž poluge 2 postavlja veličinu momenta sile.

4. Disk s kutnom skalom za određivanje kuta zakreta osi žiroskopa u horizontalnoj ravnini tijekom precesije.

5. Mjerna i upravljačka jedinica.

1. Odrediti modul momenta sile teže za nekoliko položaja tereta z na ručici žiroskopa:

,

gdje je m masa tereta, z p koordinata tereta na metričkoj skali poluge kada je žiroskop uravnotežen.

2. Za svaki položaj tereta odredite vrijeme rotacije osi žiroskopa Δ t pod zadanim kutom Δ φ i izračunajte kutnu brzinu precesije:

3. Izračunajte kutnu količinu gibanja žiroskopa za svako od mjerenja:

4. Izračunajte prosječnu vrijednost kutne količine gibanja žiroskopa:

Gdje je N broj mjerenja.

5. Izračunajte moment tromosti žiroskopa po formuli I = L/w (w je kutna brzina vrtnje žiroskopa, w = 2pn, n je broj okretaja motora u jedinici vremena) i odredite apsolutnu i relativne pogreške u određivanju momenta tromosti žiroskopa.

Kontrolna pitanja

1. Koliki je kutni moment materijalne točke u odnosu na točku?

2. Osnovni zakon dinamike rotacijskog gibanja.

3. Što je moment sile oko točke?

4. Kutni moment apsolutno krutog tijela.

5. Moment tromosti krutog tijela u odnosu na zadanu os.

6. Formulirajte zakon održanja kutne količine gibanja.

7. Što je žiroskop?

8. Što je žiroskopski efekt?

9. Kako se naziva precesija žiroskopa i pod kojim uvjetima se promatra?

10. Kolika je kutna brzina precesije?

Književnost

1. Saveljev I.V. Dobro opća fizika. Udžbenik džeparac. U 3 sveska T.1 Mehanika. Molekularna fizika. M.: Znanost. Glavni urednik Phys.Math. lit., 19873. -432 str.

2. Trofimova T.I. Tečaj fizike. Udžbenik priručnik za sveučilišta. M.: Više. Shk., 2003. -541 str.

ŽIROSKOP(od grčkog gyreuo - vrtenje, vrtenje i skopeo - gledanje, promatranje) - brzo rotirajuće simetrično čvrsto tijelo, čija os rotacije (os simetrije) može mijenjati svoj smjer u prostoru. Rotirajuća nebeska tijela, topničke granate, rotori turbina instaliranih na brodovima, propeleri aviona itd. imaju svojstva hidrodinamike. G. tehnika – gl. element svih vrsta žiroskopskih. uređaji ili instrumenti koji se široko koriste za automatsku kontroliraju kretanje zrakoplova, brodova, torpeda, projektila i niza drugih žiroskopskih sustava. stabilizacija, za navigacijske svrhe (indikatori kursa, skretanja, horizonta, kardinalnih točaka, itd.), za mjerenje kutova ili smjerova prema naprijed. brzine kretanja objekata (na primjer, projektila) iu mnogim brojevima. drugi slučajevi (na primjer, tijekom prolaska šahtova, izgradnje podzemnih željeznica, prilikom bušenja bunara).

Da bi se os G. mogla slobodno okretati u prostoru, G. se obično učvršćuje u tzv. prstenovima. kardanski ovjes (slika 1), u kojem su osovine unutarnje. i vanj. prstenovi i G. os sijeku se u jednoj točki, tzv. središte ovjesa. Fiksiran u takvom ovjesu, gimbal ima 3 stupnja slobode i može napraviti bilo koju rotaciju blizu središta ovjesa. Ako se težište g. poklapa sa središtem ovjesa, g. se naziva. uravnotežena ili astatična. Proučavanje zakona gibanja gravitacije problem je dinamike krutog tijela.

Riža. 1. Klasični kardanski ovjes, A- vanjski prsten, b- unutarnji prsten, V- rotor.

Riža. 2. Precesija žiroskopa. Kutna brzina precesije usmjerena je tako da svojstveni vektor kinetički moment N nastoji se poklopiti s vektorom momenta M par koji djeluje na žiroskop.

Osnovna svojstva žiroskopa. Ako se nekoliko sila primijeni na os slobodne gravitacije koja se brzo rotira ( P-F)s trenutkom ( h- krak sile) (sl. 2), tada će (suprotno očekivanju) G. početi dodatno rotirati ne oko svoje osi x, okomito na ravninu para i oko osi na, koji leži u ovoj ravnini i okomit na pravu. tijelo z os. Ovo će nadopuniti. pokret tzv precesija. G. će se dogoditi precesija u odnosu na inercijski referentni sustav(osima usmjerenim prema zvijezdama fiksnicama) s kutnom brzinom

Slika 13. Usmjereni žiroskop.

Brojni uređaji također koriste svojstvo hidrodinamike da ravnomjerno precediraju pod utjecajem stalno primijenjenih sila. Dakle, ako je pomoću komplementa. uzrok opterećenja G. precesija s kutnom brzinom numerički jednakom i suprotno usmjerenom okomitoj komponenti kutne brzine rotacije Zemlje (gdje U- kutak zemaljska brzina, je širina mjesta), tada će os takvog geometrijskog sustava, s različitim stupnjevima točnosti, održavati konstantan smjer u odnosu na kardinalne točke. Tijekom nekoliko sati, dok se ne nakupi pogreška od 1-2°, takav žiroazimut, ili direkcioni žiroskop (sl. 13), može zamijeniti kompas (na primjer, u zrakoplovima, posebno u polarnom zrakoplovstvu, gdje su očitanja magnetskog kompasa nepouzdana). Slično G., ali sa znatno većim pomakom težišta od osi precesije, moguće je odrediti ponašanje. brzina objekta koji se kreće u smjeru osi bb 1, uz bilo koje ubrzanje (slika 14). Ako zanemarimo utjecaj gravitacije, tada možemo pretpostaviti da na gravitaciju djeluje moment prijenosa sile tromosti Q, Gdje T- masa G., l- rame. Tada će prema formuli (1) G. precesirati oko osi bb 1 s kutnom brzinom . Nakon integracije posljednje jednakosti dobivamo , gdje je početak. brzina objekta. Dakle, ispada da je moguće odrediti brzinu objekta v u bilo kojem trenutku vremena duž kuta za koji će se planet u ovom trenutku okretati oko svoje osi bb 1 . Da bi to učinio, uređaj mora biti opremljen brojačem okretaja i uređajem koji od ukupnog kuta zakreta oduzima kut za koji će se motor okrenuti zbog djelovanja momenta sile teže na njega. Ovaj uređaj (integrator uzdužnih prividnih ubrzanja) određuje vertikalne brzine. polijetanje rakete; u tom slučaju raketa mora biti stabilizirana tako da se ne okreće oko svoje osi simetrije.

Riža. 14. Mjerač brzine izrona žiroskopske rakete. - ubrzanje uspona; g- ubrzanje gravitacije; P- gravitacija, Q- inercijalna sila, - vlastiti kinetički moment.

U nizu modernih dizajni koriste tzv. plovak, ili integrirajući, generator.Rotor takvog generatora smješten je u kućište - plovak uronjen u tekućinu (slika 15). Kada se plovak okreće oko svoje osi x trenutak će djelovati na G. M x viskozno trenje, proporcionalno kutnoj brzini rotacije. Zahvaljujući tome, ispada da ako G. bude prisiljen prijaviti se. rotacija oko osi na, tada će kutna brzina te rotacije u skladu s jednakošću (1) biti proporcionalna . Kao rezultat toga, kut rotacije plovka oko svoje osi xće zauzvrat biti proporcionalna vremenskom integralu (zbog čega se jednadžba naziva integrirajuća). Dodatni električni i elektromehanički uređaji omogućuju ili mjerenje kutne brzine ovim G. ili ga čine elementom stabilizirajućeg uređaja. U prvom slučaju poseban elektromagneti stvaraju moment oko osi x, usmjeren protiv rotacije plovka; veličina ovog trenutka je podešena tako da se plovak zaustavi. Zatim trenutak M 1 kao da nadomješta trenutak M x sile viskoznog trenja i stoga će prema f-le (1) kutna brzina biti proporcionalna vrijednosti M 1, određena jakošću struje koja teče kroz namote elektromagneta. U drugom slučaju, kada se stabilizira, na primjer, oko fiksne osi na, kućište integrirajućeg G. postavljeno je na platformu, koja se može okretati oko osi na specijalista. elektromotor (slika 16). Da bismo objasnili princip stabilizacije, pretpostavljamo da će se baza, na kojoj se nalaze ležajevi platforme, sama okretati oko osi na pod određenim kutom. Kada motor ne radi, platforma će se okretati zajedno s bazom pod istim kutom, a plovak će se okretati oko svoje osi x kutom proporcionalnim kutu . Ako motor sada rotira platformu u suprotnom smjeru dok se plovak ne vrati u svoj prvobitni položaj, tada će se platforma u isto vrijeme vratiti u svoj prvobitni položaj. Možete kontinuirano kontrolirati motor tako da se kut rotacije plovka smanji na nulu, tada će se platforma stabilizirati. Kombinacija dva plutajuća motora u zajedničkom ovjesu sa slično kontroliranim elektromotorima dovodi do stabilizacije fiksnog smjera, a tri - u prostoru. stabilizacija, koja se posebno koristi u inercijskim navigacijskim shemama.

Riža. 15. Plutajući integrirajući žiroskop: A- rotor žiroskopa; b- plovak, u čijem se tijelu nalazi ležaj osi rotora; V- tekućina za održavanje; G- okvir; d- čelične osovine u kamenim nosačima; e- senzor kuta rotacije plovka u odnosu na tijelo; i- elektromagnetski uređaj koji primjenjuje moment oko osi plovka.

Riža. 16. Stabilizacija oko fiksne osi pomoću plutajućeg žiroskopa A- žiroskop-plovka; b- pojačalo, V- električni motor; G- platforma, d- baza.

Riža. 17. Žiroskopski okvir snage: A- sam okvir; b- žiroskop; V- u paru; G- senzor kuta rotacije žiroskopa u odnosu na okvir; d- pojačivač signala senzora; e- stabilizirajući motor; i- senzor momenta.

U razmatranom sustavu stabilizacije, senzor igra ulogu. element koji detektira odstupanja objekta od zadanog položaja, a povratak u taj položaj vrši elektromotor koji prima odgovarajući signal. Slični žiroskopski sustavi. stabilizacija tzv indikator (stabilizatori neizravnog djelovanja). Uz to se u tehnici koriste sustavi tzv. snaga žiroskopska stabilizacija (stabilizatori izravnog djelovanja), kod koje motori izravno apsorbiraju sile koje ometaju provedbu stabilizacije, a motori imaju pomoćnu ulogu. ulogu, djelomično ili potpuno rasterećujući G. i time ograničavajući kutove njihove precesije. Strukturno, takvi sustavi su jednostavniji od indikatorskih sustava. Primjer je jednoosni dvožiroskopski sustav. okvir (slika 17); rotori smješteni u okviru G. rotiraju u različite strane. Pretpostavimo da na okvir djeluje sila koja ga nastoji okretati oko svoje osi x i prijaviti kutnu brzinu. Tada će, prema pravilu Žukovskog, par početi djelovati na kućište 1, pokušavajući poravnati os rotora s osi x. Kao rezultat toga, G. će početi precesirati oko osi g 2 određenom kutnom brzinom. kućište 2 iz istog razloga će precesirati oko osi g 2 u suprotnom smjeru. Kutovi rotacije kućišta bit će isti, budući da su kućišta povezana spojkom zupčanika. Zbog ove precesije na ležajevima kućišta 1 novi par će djelovati, pokušavajući poravnati os rotora s osi g 1 . Isti par će djelovati na ležajeve kućišta 2 . Momenti ovih parova usmjereni su u suprotnim smjerovima (kao što slijedi iz pravila Žukovskog) i stabiliziraju okvir, tj. sprječavaju ga da se okreće oko svoje osi. x. Međutim, ako G.-ova precesija nije ograničena, tada, kao što se može vidjeti iz formule (3), pri rotaciji kućišta oko osi g 1 , u 2 Pod kutom od 90°, stabilizacija će prestati. Stoga se na osi jednog od kućišta nalazi senzor koji registrira kut zakretanja kućišta u odnosu na okvir i upravlja stabilizacijskim motorom. Okretni moment koji stvara motor usmjeren je suprotno od momenta koji teži rotaciji okvira oko svoje osi X; Kao rezultat toga, G.-ova precesija prestaje. Razmatrani okvir je stabiliziran u odnosu na rotacije oko svoje osi x. Rotirajte okvir oko bilo koje osi okomite na x, može se obaviti nesmetano, ali rezultirajući žiroskopski trenutak može uzrokovati. pritisak na ležajeve i njihova kućišta. Kombinacija tri takva okvira s međusobno okomitim osima dovodi do prostora. stabilizacija (na primjer, umjetni satelit).

U snazi ​​žiroskopski sustavima, za razliku od slobodnih geometrijskih sustava, zbog velikih momenata tromosti stabiliziranih masa nastaju vrlo zamjetne oscilacije. pokreti kao što su nutacije. Posebnosti se moraju prihvatiti. mjere koje osiguravaju prigušivanje tih oscilacija, inače u sustavu nastaju vlastite oscilacije. U tehnici se koriste i drugi žiroskopski uređaji. uređaji čiji se principi rada temelje na svojstvima G.

Lit.: Bulgakov B.V., Primijenjena teorija žiroskopa, 3. izdanje, M., 1976.; Nikolai E. L., Žiroskop u kardanskom ovjesu, 2. izd., M., 1964.; Maleev P.I., Nove vrste žiroskopa, Lenjingrad, 1971.; Magnus K., Žiroskop. Teorija i primjena, prev. s njemačkog, M., 1974.; Ishlinsky A. Yu, Orijentacija, žiroskopi i inercijalna navigacija, M., 1976; njega, Mehaničara relativno kretanje i sile inercije, M., 1981; Klimov D. M., Kharlamov S. A., Dinamika žiroskopa u kardanskom ovjesu, M., 1978; Zhuravlev V.F., Klimov D.M., Valni solid-state žiroskop, M., 1985; Novikov L. Z., Shatalov M. Yu., Mehanika dinamički podešenih žiroskopa, M., 1985.

A. Yu. Ishlinsky.

Sl.91

Sl.90

Sl.89

Žiroskopi. Besplatni žiroskop.

Proučavanje ovih pitanja je neophodno u disciplini "Dijelovi strojeva".

Žiroskop je masivno osno simetrično tijelo koje rotira velikom kutnom brzinom oko svoje osi simetrije.

U ovom slučaju, momenti svih vanjskih sila, uključujući gravitaciju, u odnosu na središte mase žiroskopa jednaki su nuli. To se može ostvariti, na primjer, postavljanjem žiroskopa u gimbal, prikazan na sl. 89.

a kutni moment je očuvan:

Žiroskop se ponaša na isti način kao slobodnije tijelo rotacija. Ovisno o početnim uvjetima, moguće su dvije opcije ponašanja žiroskopa:

1. Ako se žiroskop vrti oko osi simetrije, tada se smjerovi kutne količine gibanja i kutne brzine podudaraju:

a smjer osi simetrije žiroskopa ostaje nepromijenjen. U to se možete uvjeriti okretanjem postolja na kojem se nalazi gimbal - kada se postolje proizvoljno okreće, os žiroskopa zadržava konstantan smjer u prostoru. Iz istog razloga, vrh, "lansiran" na list kartona i bačen uvis (slika 90), zadržava smjer svoje osi tijekom leta i, padajući svojim vrhom na karton, nastavlja ravnomjerno rotirati sve dok se rezerva kinetičke energije se troši.

Slobodni žiroskop, koji se vrti oko osi simetrije, ima vrlo značajnu stabilnost. Iz osnovne jednadžbe momenata proizlazi da promjena kutne količine gibanja

Ako je vremenski interval mali, onda je mali, odnosno pod kratkotrajnim utjecajima čak i vrlo velikih sila kretanje žiroskopa se neznatno mijenja. Čini se da se žiroskop opire pokušajima da promijeni svoj kutni moment i čini se da je "očvrsnut".

Uzmimo žiroskop stožastog oblika koji se oslanja na stalak u središtu mase O (slika 91). Ako se tijelo žiroskopa ne okreće, tada je ono u stanju indiferentne ravnoteže i najmanji ga pritisak pomiče s mjesta. Ako se ovo tijelo dovede u brzu rotaciju oko svoje osi, tada ni jaki udarci drvenim čekićem neće moći bitno promijeniti smjer osi žiroskopa u prostoru. Slobodna stabilnost žiroskopa koristi se u raznim tehničkim uređajima, na primjer, u autopilotu.

2. Ako se slobodni žiroskop vrti tako da se vektor trenutne kutne brzine i os simetrije žiroskopa ne poklapaju (u pravilu je ta razlika tijekom brze rotacije beznačajna), tada se gibanje opisuje kao “slobodna pravilna precesija” promatra se. Kada se primijeni na žiroskop, naziva se nutacija. U ovom slučaju, os simetrije žiroskopa, vektori i leže u istoj ravnini, koja se okreće oko smjera kutnom brzinom jednakom gdje je moment tromosti žiroskopa u odnosu na glavnu središnju os okomitu na osi simetrije. Ova kutna brzina (nazovimo je brzinom nutacije) tijekom brze rotacije žiroskopa ispada prilično velika, a nutaciju oko percipira kao malo podrhtavanje osi simetrije žiroskopa.

Kretanje nutacije može se lako demonstrirati korištenjem žiroskopa prikazanog na sl. 91 - nastaje kada čekić udari štap žiroskopa koji se okreće oko svoje osi. Štoviše, što se žiroskop više vrti, to je veći njegov kutni moment - to je veća brzina nutacije i "manja" vibracija osi figure. Ovo iskustvo pokazuje nešto drugo karakteristična značajka nutacija – vremenom se postupno smanjuje i nestaje. To je posljedica neizbježnog trenja u nosaču žiroskopa.

Naša Zemlja je svojevrsni žiroskop, a karakterizira je i nutacijsko kretanje. To je zbog činjenice da je Zemlja donekle spljoštena na polovima, zbog čega se momenti inercije u odnosu na os simetrije i u odnosu na os koja leži u ekvatorijalnoj ravnini razlikuju. U isto vrijeme a. U referentnom okviru koji je pridružen Zemlji, os rotacije se giba po površini stošca oko osi simetrije Zemlje kutnom brzinom, odnosno napravi jedan krug za približno 300 dana. Zapravo, zbog navodne ne-apsolutne krutosti Zemlje, ovo vrijeme ispada duže - iznosi oko 440 dana. U ovom slučaju, udaljenost točke Zemljina površina, kroz koju prolazi os rotacije, od točke kroz koju prolazi os simetrije ( Sjeverni pol), jednako samo nekoliko metara. Nutacijsko kretanje Zemlje ne blijedi - očito je podržano sezonskim promjenama koje se događaju na površini

Razmotrimo sada situaciju kada se na os žiroskopa primjenjuje sila, čija linija djelovanja ne prolazi kroz točku pričvršćenja. Eksperimenti pokazuju da se u ovom slučaju žiroskop ponaša na vrlo neobičan način.

Ako na os žiroskopa spojenog u točki O (sl. 92) pričvrstite oprugu i silom je povučete prema gore, tada se os žiroskopa neće kretati u smjeru sile, već okomito na nju, da strana. To se kretanje naziva precesija žiroskopa pod utjecajem vanjske sile.

Svrha rada: proučiti karakteristike gibanja žiroskopa pod utjecajem momenta vanjskih sila, izmjeriti kutnu brzinu precesije i kutnu količinu gibanja žiroskopa.

Žiroskop je simetrično čvrsto tijelo koje se brzo okreće oko osi simetrije, čime može mijenjati svoj smjer u prostoru.

U demonstracijske svrhe obično se koriste žiroskopi dizajna koji je shematski prikazan na sl. 6.1. Žiro kolo DO(rotor) je postavljen na os, koja se može okretati i oko horizontalne osi i oko vertikalne osi, tj. može zauzeti bilo koji položaj u prostoru. (Odstupanja okomite osi u ovom dizajnu ograničena su na ne baš velike kutove). Da bi moment gravitacije u odnosu na tri osi žiroskopa bio jednak nuli, težište žiroskopa se mora poklapati s točkom sjecišta triju osi rotacije. Rotor žiroskopa pokreće električni motor u brzu rotaciju.

Riža. 6.1. Shema iskustva

Budući da je gravitacijski moment u odnosu na točku O jednak nuli, os rotirajućeg žiroskopa u odsutnosti drugih vanjskih sila ostaje nepomična. Žiroskop ima stalni kutni moment usmjeren uzduž fiksne osi rotacije žiroskopa. Ako vanjske sile počnu djelovati na žiroskop, tada se os žiroskopa počinje pomicati - pojavljuje se rotacija oko drugih osi. Tada se više ne poklapa s osi žiroskopa, nego uvijek ostaje blizu nje. Stoga, znajući kako se vektor mijenja, možemo reći koliko se približno kreće os žiroskopa.

Rotacija krutog tijela dana je jednadžbom

Ovdje je moment vanjskih sila, = ja, Gdje ja je moment tromosti žiroskopa, a je njegova kutna brzina. Iz jednadžbe (6.1) jasno je da se vektor mijenja samo kada djeluje moment. Posljedično, os žiroskopa može se primjetno pomaknuti samo dok je na snazi ​​trenutak promjene smjera. Promjene željeza u kratkim vremenskim razdobljima prema jednadžbi (6.1) određene su relacijom

S kratkotrajnim djelovanjem vanjskih sila (oštar udarac) je mali, a samim tim i "mali" - gotovo se ne mijenja. Posljedično, smjer osi žiroskopa trebao bi se vrlo malo promijeniti. Doista, s oštrim udarcem, os žiroskopa ne ide daleko, već podrhtava, ostajući gotovo na mjestu. nakon udara prestaje se mijenjati. Ali os žiroskopa ne bi se trebala podudarati sa smjerom, već bi trebala biti samo blizu njega. Ona može napraviti male pokrete oko smjera. Takva kretanja osi žiroskopa oko pravca nazivaju se nutacije . Potresanje osi žiroskopa nakon udarca jedna je od vrsta nutacija.

Ako se žiroskop vrti oko svoje osi vrlo velikom brzinom, tada čak i uz prisutnost sporih rotacija oko drugih osi, vektor kutnog momenta praktički se podudara s osi žiroskopa. U nastavku ćemo pretpostaviti da se smjer poklapa s osi žiroskopa.

Duljim izlaganjem vanjskim silama vektor će promijeniti svoj smjer u prostoru. Zajedno s njim, žiroskop će promijeniti svoj smjer i os. Smjer? poklapa se sa smjerom, tj. ne sa smjerom sile, već sa smjerom momenta sile u odnosu na os O. Ako pritisnete žiroskop sa strane s nekom silom (slika 6.1), tada će se njegova os pomaknuti ne u smjeru sile, ali u smjeru momenta sile.

Ako sila djeluje na žiroskop, stvarajući stalni moment , tada će se smjer promijeniti u istim vremenskim razdobljima za isti iznos? = ?t. Ako u isto vrijeme uvijek leži u ravnini gibanja osi žiroskopa, onda? leži u istoj ravnini; vektor će ostati u istoj ravnini i rotirati konstantnom brzinom. Os žiroskopa će se okretati zajedno s njim. Ovo kretanje osi naziva se precesija.

Precesija žiroskopa može se pokazati vješanjem malog utega mase na os žiroskopa m(Sl. 6.1) na daljinu r. Sila gravitacije će stvoriti moment koji uvijek leži u vodoravnoj ravnini. U prisustvu opterećenja, os žiroskopa rotira u vodoravnoj ravnini konstantnom brzinom.

Izračunajmo kutnu brzinu rotacije osi žiroskopa.

Tijekom? t Os žiroskopa se okreće za kut

Uzimajući u obzir relaciju (6.2), za kutnu brzinu rotacije osi (precesijsku brzinu) dobivamo

Budući da je a, relaciju (6.3) prepisujemo u obliku

Iz dobivenog izraza proizlazi da što je manji moment vanjskih sila koje djeluju na žiroskop, a što je veći kutni moment žiroskopa, to je manja brzina njegove precesije.

Gurnete li precesirajući žiroskop u smjeru precesije, kraj osi na kojoj visi uteg će se podići. Naprotiv, ako pritisnete žiroskop suprotno od smjera precesije, tada će se kraj osi s teretom spustiti. Vanjske sile koje ometaju precesiju uzrokuju spuštanje utega. Tijekom precesije, sile trenja u ležaju djeluju na okomitu os, sprječavajući precesiju, tako da os precesirajućeg žiroskopa ne ostaje u horizontalnoj ravnini - kraj osi na koju visi teret postupno se spušta.

Precesija žiroskopa događa se pri konstantnoj brzini dok je vanjski moment na snazi, a zaustavlja se odmah čim vanjski moment nestane. Kretanje osi žiroskopa nema inerciju. To je zbog činjenice da je određena brzina rotacije osi aktivne snage. Inercija je manifestacija činjenice da su ubrzanja određena silama.

U svim opisanim pokusima ne djeluju samo vanjske sile na žiroskop, nego i žiroskop djeluje na ona tijela koja su izvor tih sila. Kada pritisnemo rukom na os žiroskopa, žiroskop jednakom snagom pritišće našu ruku. Ako je žiroskop kruto povezan s određenim tijelom, tada s bilo kojim kretanjem ovog tijela, praćeno promjenom smjera osi žiroskopa, nastaju sile koje djeluju na tijelo sa strane žiroskopa. Ove sile često igraju istaknutu ulogu.

Na primjer, rotirajući dijelovi brodskih strojeva su žiroskop s velikim kutnim momentom. Kad se brod nagne (kada se pramac broda diže i spušta), mijenja se smjer kutne količine gibanja stroja. Kao rezultat toga, sile pritiska proizlaze iz osovine na ležajeve. Te sile leže u horizontalnoj ravnini i rotiraju brod oko okomite osi. Ovakva “orijentacija kursa” uočljiva je kod malih brodova sa snažnim motorima (tegljači).

Sile koje nastaju pri promjeni smjera žiroskopske osi rotacije mogu se koristiti za postizanje stabilnosti plovila (smanjenje nagiba). U tu svrhu koriste se ogromni žiroskopi velike brzine.

Sva opisana svojstva žiroskopa objašnjavaju se činjenicom da se kretanje osi žiroskopa pokorava jednadžbi (6.1). Kretanje osi žiroskopa nije određeno smjerom sile, već smjerom momenta vanjskih sila. Ali ovaj trenutak je određen silama koje djeluju izvana na cijeli uređaj kao cjelinu, samo kada je žiroskop potpuno slobodan, tj. kada konstrukcija uređaja dopušta bilo koji položaj osi žiroskopa. Ako žiroskop nije potpuno slobodan, tada je potrebno uzeti u obzir momente onih sila koje mogu djelovati na os žiroskopa iz ležajeva u kojima je učvršćen.

Ovi momenti sile mogu potpuno promijeniti ponašanje žiroskopa pod utjecajem vanjskih sila. Na primjer, ako popravite okomitu os i omogućite rotaciju osi žiroskopa samo u horizontalnoj ravnini, tada postaje potpuno "poslušan". Pod djelovanjem sile koja djeluje na žiroskop u horizontalnoj ravnini, os žiroskopa počinje se okretati u smjeru djelovanja sile. Ova promjena u ponašanju žiroskopa objašnjava se činjenicom da uz moment sile na osi djeluje i moment sile sa strane stalka u kojem je fiksiran. Nastanak ovog trenutka lako je objasniti. U početku, iako nema sile koja djeluje na žiroskop, nema momenata koji djeluju na njega sa strane stalka. Žiroskop "ne zna" da je fiksan. Stoga se isprva ponaša kao potpuno slobodan žiroskop: pod utjecajem sile koja stvara moment usmjeren okomito prema gore, kraj osi žiroskopa počinje se dizati.

Vertikalna os, za koju je kruto vezana os žiroskopa, lagano se savija i javlja se moment elastičnih sila koje djeluju na os žiroskopa. Pod utjecajem tog momenta os žiroskopa će se pomicati u horizontalnoj ravnini točno u smjeru u kojem sila djeluje. Stoga je neslobodni žiroskop "poslušan": njegova se os okreće tamo gdje ga vanjska sila nastoji okrenuti. . U slobodnom žiroskopu os se okreće u ravnini okomitoj na silu.

Ako se na rotirajući žiroskop primijeni nekoliko sila koje teže da ga okreću oko osi okomite na os rotacije, tada će žiroskop doista rotirati, ali samo oko treće osi, okomite na prve dvije.

Detaljnija analiza pojava sličnih gore opisanima pokazuje da žiroskop nastoji postaviti svoju os rotacije na takav način da čini najmanji mogući kut s osi prisilne rotacije i da se obje rotacije odvijaju u istom smjeru.

Ovo svojstvo žiroskopa koristi se u žiroskopskom kompasu, koji je postao široko rasprostranjen, osobito u mornarici. Žirokompas je brzo rotirajući vrh (motor na trofaznu struju koji radi na 25 000 okretaja u minuti), koji pluta na posebnom plovku u posudi sa živom i čija je os postavljena u ravnini meridijana. U ovom slučaju, izvor vanjskog momenta je dnevna rotacija Zemlja oko svoje osi. Pod njegovim djelovanjem os rotacije žiroskopa teži da se po smjeru poklopi s osi rotacije Zemlje, a kako rotacija Zemlje djeluje na žiroskop kontinuirano, os žiroskopa zauzima taj položaj, tj. uspostavlja se duž meridijana i tamo ostaje na potpuno isti način kao i obična magnetska igla. Žiroskopski kompasi imaju brojne prednosti u odnosu na magnetske kompase. Na njihova očitanja ne utječu obližnje željezne mase i oni nisu osjetljivi na njih magnetske oluje itd.

Žiroskopi se često koriste kao stabilizatori. Instaliraju se kako bi se smanjio nagib na oceanskim brodovima. Također su dizajnirani stabilizatori za jednostruke tračnice željeznice; Masivni, brzo rotirajući žiroskop smješten unutar vagona s jednom tračnicom sprječava prevrtanje vagona. Rotori za žiroskopske stabilizatore proizvode se od 1 do 100 tona ili više.

1. Slobodne osi rotacije. Razmotrimo dva slučaja rotacije čvrstog štapa oko osi koja prolazi kroz središte mase.

Ako motku odvrnete u odnosu na os O.O. i prepustiti je samoj sebi, odnosno osloboditi os rotacije od ležajeva, tada će se u slučaju slike 71-a promijeniti orijentacija osi slobodne rotacije u odnosu na štap, budući da je štap ispod utjecaj para centrifugalnih sila tromosti, razvit će se u horizontalnu ravninu. U slučaju slike 71-b, moment para centrifugalnih sila je jednak nuli, pa će se nezapleteni štap nastaviti okretati oko osi OO a nakon njezina oslobađanja.

Os rotacije, čiji se položaj u prostoru održava bez djelovanja bilo kakvih vanjskih sila, naziva se slobodnom osi rotacijskog tijela. Prema tome, os koja je okomita na štap i prolazi kroz njegov centar mase je slobodna os rotacije štapa.

Svako kruto tijelo ima tri međusobno okomite slobodne osi rotacije koje se sijeku u središtu mase. Položaj slobodnih osi za homogena tijela podudara se s položajem njihovih geometrijskih osi simetrije (slika 72).

U paralelopipedu su sve tri osi nepomične. Cilindar ima samo jednu fiksnu os, koja se poklapa s geometrijskom osi. Sve tri osi lopte nisu fiksne.

Nazivaju se i slobodne osi rotacije glavne osi tromosti. Kada se tijela slobodno okreću oko glavnih osi tromosti, stabilne su samo one rotacije oko onih osi koje odgovaraju maksimalnim i minimalnim vrijednostima momenta tromosti. Ako na tijelo djeluju vanjske sile, tada je rotacija stabilna samo oko glavne osi kojoj odgovara najveći moment tromosti.

2. Žiroskop(od grčkog gyreuo- Vrtim i skopeo– Vidim) je homogeno rotacijsko tijelo koje brzo rotira oko osi simetrije, čija os može mijenjati svoj položaj u prostoru.

Kada proučavamo kretanje žiroskopa, pretpostavljamo da:

A. Središte mase žiroskopa poklapa se s njegovom fiksnom točkom O. Ovaj žiroskop se zove uravnotežena.

b. Kutna brzina w rotacija žiroskopa oko osi mnogo je veća od kutne brzine W gibanja osi u prostoru, tj. w >> W.

B. Vektor kutne količine gibanja žiroskopa L poklapa se s vektorom kutne brzine w , jer žiroskop rotira oko glavne osi tromosti.

Neka sila djeluje na os žiroskopa F tijekom vremena D t. Prema drugom zakonu dinamike za rotacijsko gibanje, promjena kutne količine gibanja žiroskopa tijekom tog vremena, (26.1)

Gdje r – radijus vektor povučen iz fiksne točke O do mjesta djelovanja sile (slika 73).

Promjena kutne količine gibanja žiroskopa može se smatrati rotacijom osi žiroskopa za kut s kutnom brzinom . (26.2)

Ovdje je komponenta sile koja djeluje na njega normalno na os žiroskopa.

Pod silom F primijenjena na os žiroskopa, os se ne okreće u smjeru sile, već u smjeru momenta sile M u odnosu na fiksnu točku O. U svakom trenutku, brzina rotacije osi žiroskopa proporcionalna je veličini momenta sile, a kod konstantnog kraka sile proporcionalna je samoj sili. Tako, kretanje osi žiroskopa je bez inercije. Ovo je jedini slučaj gibanja bez inercije u mehanici.

Kretanje osi žiroskopa pod utjecajem vanjske sile naziva se prisilnim precesijažiroskop (od lat. praecessio - kretanje naprijed).

3. Udarno djelovanje na os žiroskopa. Odredimo kutni pomak osi žiroskopa kao rezultat kratkotrajne sile na osi, odnosno udarca. Ostavite na kratko dt do osi žiroskopa na udaljenosti r od centra OKO sila djeluje F . Pod utjecajem impulsa ove sile F dt os se okreće (sl. 74) u smjeru momenta impulsa sile koji stvara M dt pod nekim kutom

dq = W dt=(rF/Iw)dt. (26.3)

Ako se točka primjene sile ne promijeni, tada r= const i integracijom dobivamo. q = .(26.4)

Integral u svakom slučaju ovisi o vrsti funkcije ( t). U normalnim uvjetima kutna brzina rotacije žiroskopa je vrlo velika, pa je brojnik najčešće puno manji od nazivnika, a samim time i kut q – mala vrijednost. Brzo rotirajući žiroskop otporan je na udar - što je veći, to je veći njegov kutni moment.

4. Zanimljivo je da sila pod kojom os žiroskopa precesira ne vrši nikakav rad. To se događa jer se točka na žiroskopu na koju djeluje sila u svakom trenutku pomakne u smjeru okomitom na smjer sile. Stoga je skalarni produkt sile i malog vektora pomaka uvijek jednak nuli.

Sile u ovoj manifestaciji nazivaju se žiroskopski. Stoga je Lorentzova sila koja djeluje na električki nabijenu česticu sa strane uvijek žiroskopska magnetsko polje u kojoj se kreće.

5. Uvjet ravnoteže CT. Da bi CT bio u ravnoteži, potrebno je da zbroj vanjskih sila i zbroj momenata vanjskih sila budu jednaki nuli:

. (26.5)

Postoje 4 vrste ravnoteže: stabilan, nestabilan, sedlast i ravnodušan.

A. Ravnotežni položaj TP je stabilan ako uz mala odstupanja od ravnoteže na tijelo počnu djelovati sile koje ga teže vratiti u ravnotežni položaj.

Slika 75 prikazuje situacije stabilne ravnoteže tijela u gravitacijskom polju. Sile gravitacije su sile mase, stoga se rezultanta sila gravitacije koje djeluju na točkaste elemente TT primjenjuje na središte mase. U takvim situacijama centar mase se naziva težište.

Stabilan položaj ravnoteže odgovara minimalnoj potencijalnoj energiji tijela.

b. Ako uz mala odstupanja od ravnotežnog položaja na tijelo počnu djelovati sile u smjeru od ravnotežnog položaja, tada je ravnotežni položaj nestabilan. Nestabilan položaj ravnoteže odgovara relativnom maksimumu potencijalne energije tijela (slika 76).

V. Sedlasta ravnoteža je kada je pri kretanju po jednom stupnju slobode ravnoteža tijela stabilna, a pri kretanju po drugom stupnju slobode nestabilna. U situaciji prikazanoj na slici 77. Položaj tijela u odnosu na koordinatu x je stabilan, au odnosu na koordinatu g– nestabilan.

G. Ako se pri odstupanju tijela od položaja ravnoteže ne pojavljuju sile koje teže pomicanju tijela u jednom ili drugom smjeru, tada se položaj ravnoteže naziva indiferentnim. Na primjer, lopta u gravitacijskom polju na ekvipotencijalnoj površini, kruto tijelo ovješeno u točki središta mase (u točki težišta) (slika 78).

U slučajevima kada se tijelo oslanja na oslonac, ravnoteža tijela je stabilnija što je površina oslonca veća i što je težište niže (slika 79).