1. Pair et impair. La fonction f(x) est appelée même si ses valeurs sont symétriques par rapport à l'axe OY, c'est-à-dire f(-x) = f(x). Une fonction f(x) est dite impaire si sa valeur change à l'opposé lorsque la variable x change de -x, c'est-à-dire f(-x) = -f(x). Sinon, la fonction est appelée fonction générale.

2.Monotonie. Une fonction est dite croissante (décroissante) sur l'intervalle X si une valeur plus grande de l'argument de cet intervalle correspond à une valeur plus grande (plus petite) de la fonction, c'est-à-dire à x1< (>) x2, f(x1)< (>) f(x2).

3. Fréquence. Si la valeur de la fonction f(x) se répète après une certaine période T, alors la fonction est dite périodique de période T ≠ 0, c'est-à-dire f(x + T) = f(x). Sinon non périodique.

4. Limité. Une fonction f (x) est dite bornée sur l'intervalle X s'il existe un nombre positif M > 0 tel que pour tout x, appartenant à l'intervalle X, | f(x) |< M. В противном случае функция называется неограниченной.

1) Domaine fonctionnel et plage de fonctions.

Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides X(variable X), pour lequel la fonction y = f(x) déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles oui, ce que la fonction accepte.

En mathématiques élémentaires, les fonctions sont étudiées uniquement sur l’ensemble des nombres réels.

2) Zéros de fonction.

La fonction zéro est la valeur de l'argument pour laquelle la valeur de la fonction est égale à zéro.

3) Intervalles de signe constant d'une fonction.

Les intervalles de signe constant d'une fonction sont des ensembles de valeurs d'arguments sur lesquels les valeurs de la fonction sont uniquement positives ou uniquement négatives.

4) Monotonie de la fonction.

Une fonction croissante (dans un certain intervalle) est une fonction dans laquelle une plus grande valeur de l'argument de cet intervalle correspond à une plus grande valeur de la fonction.

Une fonction décroissante (dans un certain intervalle) est une fonction dans laquelle une valeur plus grande de l'argument de cet intervalle correspond à une valeur plus petite de la fonction.

5) Fonction paire (impaire).

Une fonction paire est une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X du domaine de la définition l'égalité f(-x) = f(x). Calendrier même fonction symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Une fonction impaire est une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X du domaine de la définition, l'égalité est vraie f(-x) = - f(x). Calendrier fonction impaire symétrique par rapport à l'origine.

6) Fonctions limitées et illimitées.

Une fonction est dite bornée s'il existe un nombre positif M tel que |f(x)| ≤ M pour toutes les valeurs de x. Si un tel nombre n’existe pas, alors la fonction est illimitée.

7) Périodicité de la fonction.

Une fonction f(x) est périodique s'il existe un nombre T non nul tel que pour tout x du domaine de définition de la fonction, ce qui suit est valable : f(x+T) = f(x). Ce plus petit nombre est appelé la période de la fonction. Tous fonctions trigonométriques sont périodiques. (Formules trigonométriques).

19. De base fonctions élémentaires, leurs propriétés et graphiques. Application des fonctions en économie.

Fonctions élémentaires de base. Leurs propriétés et graphiques

1. Fonction linéaire.

Fonction linéaire est appelée une fonction de la forme , où x est une variable, a et b sont des nombres réels.

Nombre UN appelé pente droite, elle est égale à la tangente de l'angle d'inclinaison de cette droite à la direction positive de l'axe des abscisses. Le graphique d'une fonction linéaire est une ligne droite. Il est défini par deux points.

Propriétés d'une fonction linéaire

1. Domaine de définition - l'ensemble de tous les nombres réels : D(y)=R

2. L'ensemble des valeurs est l'ensemble de tous les nombres réels : E(y)=R

3. La fonction prend une valeur nulle lorsque ou.

4. La fonction augmente (diminue) sur tout le domaine de définition.

5. Une fonction linéaire est continue sur tout le domaine de définition, différentiable et .

2. Fonction quadratique.

Une fonction de la forme où x est une variable, les coefficients a, b, c sont des nombres réels, est appelée quadratique

De l'avis de certains scientifiques, l'objectif principal des graphiques est leur importance pour l'activité heuristique - des illustrations pour la présentation de la théorie et, surtout, indiquant des exemples et des contre-exemples pour prouver ou réfuter les liens entre diverses propriétés des fonctions, c'est-à-dire le recours à la pensée « bilingue », le bilinguisme mathématique, développé conformément aux exigences de la norme.

Large application trouvé fonction logarithmique en astronomie : Par exemple, la magnitude de la luminosité des étoiles change en fonction de celle-ci, si vous comparez les caractéristiques de luminosité notées par l'œil et à l'aide d'instruments, vous pouvez dresser le graphique suivant : Ici, sur l'axe vertical, on trace la luminosité des étoiles en unités Hipparque (répartition des étoiles selon des caractéristiques subjectives (à l'œil nu) en 6 groupes) , et sur les lectures horizontales des instruments. Le graphique montre que les caractéristiques objectives et subjectives ne sont pas proportionnelles et que l'appareil enregistre une augmentation de la luminosité non pas du même montant, mais de 2,5 fois. Cette dépendance est exprimée par une fonction logarithmique.

Considérez comment ils sont construits.

Choisissons un système de coordonnées rectangulaires sur le plan et traçons les valeurs de l'argument sur l'axe des abscisses X, et en ordonnée - les valeurs de la fonction y = f(x) .

Graphique de fonction y = f(x) est l'ensemble de tous les points dont les abscisses appartiennent au domaine de définition de la fonction, et les ordonnées sont égales aux valeurs correspondantes de la fonction.

Autrement dit, le graphe de la fonction y = f (x) est l'ensemble de tous les points du plan, coordonnées X, à qui satisfont la relation y = f(x) .

En figue. 45 et 46 montrent des graphiques de fonctions y = 2x + 1 Et y = x 2 - 2x .

À proprement parler, il faut distinguer le graphique d'une fonction (exact définition mathématique qui a été donné ci-dessus) et une courbe tracée, qui ne donne toujours qu'une esquisse plus ou moins précise du graphique (et même alors, en règle générale, pas la totalité du graphique, mais seulement une partie de celui-ci, située dans la partie finie du avion). Cependant, dans ce qui suit, nous dirons généralement « graphique » plutôt que « croquis graphique ».

À l’aide d’un graphique, vous pouvez trouver la valeur d’une fonction en un point. À savoir, si le point x = un appartient au domaine de définition de la fonction y = f(x), puis pour trouver le numéro FA)(c'est-à-dire les valeurs de la fonction au point x = un) vous devriez faire ceci. Il faut passer par le point d'abscisse x = un tracer une ligne droite parallèle à l'axe des ordonnées ; cette ligne coupera le graphique de la fonction y = f(x)à un moment donné; l'ordonnée de ce point sera, en vertu de la définition du graphique, égale à FA)(Fig. 47).

Par exemple, pour la fonction f(x) = x2 - 2x en utilisant le graphique (Fig. 46) on trouve f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, etc.

Un graphique de fonction illustre clairement le comportement et les propriétés d'une fonction. Par exemple, en considérant la Fig. 46, il est clair que la fonction y = x 2 - 2x prend des valeurs positives lorsque X< 0 et à x > 2, négatif - à 0< x < 2; plus petite valeur fonction y = x 2 - 2x accepte à x = 1 .

Pour représenter graphiquement une fonction f(x) il faut trouver tous les points de l'avion, les coordonnées X , à qui satisfont à l'équation y = f(x). Dans la plupart des cas, cela est impossible à faire, car il existe un nombre infini de tels points. Par conséquent, le graphique de la fonction est représenté approximativement - avec plus ou moins de précision. La plus simple est la méthode consistant à tracer un graphique utilisant plusieurs points. Cela consiste dans le fait que l’argument X donner numéro final valeurs - disons, x 1, x 2, x 3,..., x k et constituez un tableau qui inclut les valeurs de fonction sélectionnées.

Le tableau ressemble à ceci :

Après avoir dressé un tel tableau, nous pouvons tracer plusieurs points sur le graphique de la fonction y = f(x). Ensuite, en reliant ces points par une ligne lisse, nous obtenons une vue approximative du graphique de la fonction y = f(x).

Il convient toutefois de noter que la méthode de tracé multipoint est très peu fiable. En fait, le comportement du graphe entre les points visés et son comportement en dehors du segment entre les points extrêmes pris restent inconnus.

Exemple 1. Pour représenter graphiquement une fonction y = f(x) quelqu'un a compilé un tableau de valeurs d'arguments et de fonctions :

Les cinq points correspondants sont représentés sur la Fig. 48.

Sur la base de l'emplacement de ces points, il a conclu que le graphique de la fonction est une ligne droite (représentée sur la figure 48 par une ligne pointillée). Cette conclusion peut-elle être considérée comme fiable ? À moins de considérations supplémentaires pour étayer cette conclusion, elle peut difficilement être considérée comme fiable. fiable.

Pour étayer notre affirmation, considérons la fonction

.

Les calculs montrent que les valeurs de cette fonction aux points -2, -1, 0, 1, 2 sont exactement décrites par le tableau ci-dessus. Cependant, le graphique de cette fonction n'est pas du tout une ligne droite (il est représenté sur la Fig. 49). Un autre exemple serait la fonction y = x + l + sinπx ; ses significations sont également décrites dans le tableau ci-dessus.

Ces exemples montrent que dans sa forme « pure », la méthode de tracé d'un graphique utilisant plusieurs points n'est pas fiable. Par conséquent, pour tracer un graphique d’une fonction donnée, En règle générale, ils procèdent comme suit. Tout d’abord, nous étudions les propriétés de cette fonction, à l’aide desquelles nous pouvons construire un croquis du graphique. Ensuite, en calculant les valeurs de la fonction en plusieurs points (dont le choix dépend des propriétés établies de la fonction), on trouve les points correspondants du graphe. Et enfin, une courbe est tracée passant par les points construits en utilisant les propriétés de cette fonction.

Nous examinerons plus tard certaines propriétés (les plus simples et les plus fréquemment utilisées) des fonctions utilisées pour trouver une esquisse graphique, mais nous examinerons maintenant certaines méthodes couramment utilisées pour construire des graphiques.

Graphique de la fonction y = | f(x) |.

Il est souvent nécessaire de tracer une fonction y = |f(x)|, où f(x) - fonction donnée. Rappelons comment cela se fait. Prieuré A valeur absolue les nombres peuvent être écrits

Cela signifie que le graphique de la fonction y = | f(x) | peut être obtenu à partir du graphique, fonction y = f(x) comme suit : tous les points du graphique de la fonction y = f(x), dont les ordonnées sont non négatives, doivent rester inchangées ; de plus, au lieu des points du graphique de la fonction y = f(x) ayant des coordonnées négatives, vous devez construire les points correspondants sur le graphique de la fonction y = -f(x)(c'est-à-dire une partie du graphique de la fonction
y = f(x), qui se trouve en dessous de l'axe X, doit être réfléchi symétriquement par rapport à l'axe X).

Exemple 2. Représenter graphiquement la fonction y = |x|.

Prenons le graphique de la fonction y = x(Fig. 50, a) et une partie de ce graphique à X< 0 (situé sous l'axe X) réfléchi symétriquement par rapport à l'axe X. En conséquence, nous obtenons un graphique de la fonction y = |x|(Fig. 50, b).

Exemple 3. Représenter graphiquement la fonction y = |x 2 - 2x|.

Commençons par tracer la fonction y = x 2 - 2x. Le graphe de cette fonction est une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut, le sommet de la parabole a les coordonnées (1 ; -1), son graphe coupe l'axe des x aux points 0 et 2. Sur l'intervalle (0 ; 2) la fonction prend valeurs négatives, nous afficherons donc symétriquement cette partie du graphique par rapport à l'axe des abscisses. La figure 51 montre le graphique de la fonction y = |x 2 -2x|, basé sur le graphique de la fonction y = x 2 - 2x

Graphique de la fonction y = f(x) + g(x)

Considérons le problème de la construction d'un graphique d'une fonction y = f(x) + g(x). si des graphiques de fonctions sont donnés y = f(x) Et y = g(x) .

Notez que le domaine de définition de la fonction y = |f(x) + g(x)| est l'ensemble de toutes les valeurs de x pour lesquelles les deux fonctions y = f(x) et y = g(x) sont définies, c'est-à-dire ce domaine de définition est l'intersection des domaines de définition, fonctions f(x) et g(x).

Laissez les points (x 0 , y 1) Et (x 0, y 2) appartiennent respectivement aux graphes de fonctions y = f(x) Et y = g(x), c'est-à-dire y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Alors le point (x0;. y1 + y2) appartient au graphe de la fonction y = f(x) + g(x)(pour f(x 0) + g(x 0) = oui 1 +y2),. et n'importe quel point du graphique de la fonction y = f(x) + g(x) peut être obtenu de cette façon. Par conséquent, le graphique de la fonction y = f(x) + g(x) peut être obtenu à partir de graphiques de fonctions y = f(x). Et y = g(x) en remplaçant chaque point ( x n, y 1) graphiques de fonctions y = f(x) point (x n, y 1 + y 2), Où y 2 = g(x n), c'est à dire en décalant chaque point ( x n, y 1) graphique de fonction y = f(x) le long de l'axe à par le montant oui 1 = g(x n). Dans ce cas, seuls ces points sont pris en compte X n pour lequel les deux fonctions sont définies y = f(x) Et y = g(x) .

Cette méthode de tracé d'une fonction y = f(x) + g(x) est appelé addition de graphiques de fonctions y = f(x) Et y = g(x)

Exemple 4. Sur la figure, un graphique de la fonction a été construit en utilisant la méthode d'addition de graphiques
y = x + sinx .

Lors du traçage d'une fonction y = x + sinx nous pensions que f(x) = x, UN g(x) = sinx. Pour tracer le graphique de fonction, nous sélectionnons des points avec les abscisses -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5, , 1,5, 2. Valeurs f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Calculons aux points sélectionnés et plaçons les résultats dans le tableau.

Sur la base des résultats obtenus, nous construirons des points qui seront reliés par une courbe lisse, qui sera une esquisse du graphique de la fonction y = x + sinx .

Les graphiques de fonctions peuvent être construits non seulement à la main à l'aide de points, mais également à l'aide de divers programmes (Excel, Maple), ainsi que de la programmation en Pascal. En apprenant le langage Pascal, vous améliorerez à la fois vos connaissances en informatique, mais aussi serez rapidement capable de construire différents graphes de fonctions. des exemples de fonctions en Pascal vous aideront à comprendre la syntaxe du langage et à construire vous-même vos premiers graphiques.

Propriétés de base des fonctions.

1) Domaine fonctionnel et plage de fonctions .

Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides X(variable X), pour lequel la fonction y = f(x) déterminé.
L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles oui, ce que la fonction accepte.

En mathématiques élémentaires, les fonctions sont étudiées uniquement sur l’ensemble des nombres réels.

2) Zéros de fonction .

La fonction zéro est la valeur de l'argument pour laquelle la valeur de la fonction est égale à zéro.

3) Intervalles de signe constant d'une fonction .

Les intervalles de signe constant d'une fonction sont des ensembles de valeurs d'arguments sur lesquels les valeurs de la fonction sont uniquement positives ou uniquement négatives.

4) Monotonie de la fonction .

Une fonction croissante (dans un certain intervalle) est une fonction dans laquelle une plus grande valeur de l'argument de cet intervalle correspond à une plus grande valeur de la fonction.

Une fonction décroissante (dans un certain intervalle) est une fonction dans laquelle une valeur plus grande de l'argument de cet intervalle correspond à une valeur plus petite de la fonction.

5) Fonction paire (impaire) .

Une fonction paire est une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X du domaine de la définition l'égalité f(-x) = f(x). Le graphique d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’ordonnée.

Une fonction impaire est une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X du domaine de la définition, l'égalité est vraie f(-x) = - f(x). Le graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

6) Fonctions limitées et illimitées .

Une fonction est dite bornée s'il existe un nombre positif M tel que |f(x)| ≤ M pour toutes les valeurs de x. Si un tel nombre n’existe pas, alors la fonction est illimitée.

7) Périodicité de la fonction .

Une fonction f(x) est périodique s'il existe un nombre T non nul tel que pour tout x du domaine de définition de la fonction, ce qui suit est valable : f(x+T) = f(x). Ce plus petit nombre est appelé la période de la fonction. Toutes les fonctions trigonométriques sont périodiques

Fonction $f(x)=|x|$

$|x|$ -module. Il est défini comme suit : Si le nombre réel est non négatif, alors la valeur du module est la même que le nombre lui-même. S'il est négatif, alors la valeur du module coïncide avec la valeur absolue du nombre donné.

Mathématiquement, cela peut s'écrire ainsi :

Exemple 1

Fonction $f(x)=[x]$

La fonction $f\left(x\right)=[x]$ est une fonction de la partie entière d'un nombre. On le trouve en arrondissant le nombre (s'il n'est pas lui-même un entier) « vers le bas ».

Exemple : $=2.$

Exemple 2

Explorons et construisons son graphique.

1. $D\gauche(f\droite)=R$.
2. Évidemment, cette fonction n'accepte que des valeurs entières, c'est-à-dire $\E\left(f\right)=Z$
3. $f\left(-x\right)=[-x]$. Cette fonction sera donc de forme générale.
4. $(0,0)$ est le seul point d'intersection avec les axes de coordonnées.
5. $f"\gauche(x\droite)=0$
6. La fonction a des points de discontinuité (sauts de fonction) pour tous $x\in Z$.

Figure 2.

Fonction $f\left(x\right)=\(x\)$

La fonction $f\left(x\right)=\(x\)$ est une fonction de la partie fractionnaire d'un nombre. On le trouve en « écartant » la partie entière de ce nombre.

Exemple 3

Explorons et traçons la fonction

Fonction $f(x)=signe(x)$

La fonction $f\left(x\right)=sign(x)$ est une fonction signum. Cette fonction montre quel signe possède un nombre réel. Si le nombre est négatif, alors la fonction a la valeur $-1$. Si le nombre est positif, alors la fonction est égale à un. Si le nombre est zéro, la valeur de la fonction prendra également une valeur nulle.

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