Conférence 15

Le gradient d'une fonction de deux variables et la dérivée directionnelle.

Définition. Dégradé de fonction

appelé vecteur

.

Comme vous pouvez le voir à partir de la définition du gradient de la fonction, les composantes du vecteur gradient sont les dérivées partielles de la fonction.

Exemple. Calculer le gradient de la fonction

au point A(2,3).

Décision. Nous calculons les dérivées partielles de la fonction.

En général, le gradient de la fonction a la forme :

=

Remplacer les coordonnées du point A(2,3) dans les expressions des dérivées partielles

La fonction gradient au point A(2,3) a la forme :

De même, on peut définir la notion de gradient d'une fonction de trois variables :

Définition. Fonction de gradient de trois variables

appelé vecteur

Sinon, ce vecteur peut s'écrire comme suit :

Définition dérivée de direction.

Soit une fonction de deux variables soit donnée

et un vecteur arbitraire

Considérez l'incrément de cette fonction prise le long du vecteur donné

Ceux. le vecteur est colinéaire par rapport au vecteur . Longueur d'incrément d'argument

La dérivée dans une direction est la limite du rapport de l'incrément d'une fonction le long d'une direction donnée à la longueur de l'incrément de l'argument, lorsque la longueur de l'incrément de l'argument tend vers 0.

Formule dérivée directionnelle.

Sur la base de la définition du gradient, la dérivée d'une fonction par rapport à la direction peut être calculée comme suit.

un vecteur. Un vecteur de même direction mais Célibataire appelons la longueur

Les coordonnées de ce vecteur sont calculées comme suit :

A partir de la définition de la dérivée directionnelle, la dérivée directionnelle peut être calculée à l'aide de la formule suivante :

Le côté droit de cette formule est le produit scalaire de deux vecteurs

Par conséquent, la dérivée directionnelle peut être représentée par la formule suivante :

Plusieurs propriétés importantes du vecteur gradient découlent de cette formule.

La première propriété d'un gradient découle du fait évident que le produit scalaire de deux vecteurs est le plus grand lorsque les vecteurs sont dans la même direction. La deuxième propriété découle du fait que le produit scalaire des vecteurs perpendiculaires est égal à zéro. De plus, la signification géométrique du gradient découle de la première propriété - le gradient est un vecteur, le long de la direction, dont la dérivée le long de la direction est la plus grande. Puisque la dérivée directionnelle détermine la tangente de la pente de la tangente à la surface de la fonction, le gradient est dirigé le long de la plus grande pente de la tangente.

Exemple 2 Pour une fonction (de l'exemple 1)

Calculer la dérivée directionnelle

au point A(2,3).

Décision. Pour calculer la dérivée directionnelle, vous devez calculer le vecteur de gradient au point spécifié et le vecteur de direction unitaire (c'est-à-dire normaliser le vecteur ).

Le vecteur gradient a été calculé dans l'exemple 1 :

Calculez le vecteur de direction unitaire :

On calcule la dérivée dans la direction :

#2. Maximum et minimum d'une fonction de plusieurs variables.

Définition. Une fonction

A un maximum en un point (c'est-à-dire à et ) si

Définition. Exactement de la même manière, on dit que la fonction

A un minimum en un point (c'est-à-dire à et ) si

pour tout point suffisamment proche du point et distinct de celui-ci.

Le maximum et le minimum d'une fonction sont appelés les extrema de la fonction, c'est-à-dire qu'ils disent que la fonction a un extremum en un point donné si cette fonction a un maximum ou un minimum en un point donné.

Par exemple, la fonction

A un minimum évident z = -1 à x = 1 et y = 2.

A un maximum en un point à x = 0 et y = 0.

Théorème.(conditions extrêmes nécessaires).

Si la fonction atteint un extremum à , , alors chaque dérivée partielle du premier ordre de z soit s'annule à ces valeurs des arguments, soit n'existe pas.

Commenter. Ce théorème n'est pas suffisant pour étudier la question des valeurs extrêmes d'une fonction. Nous pouvons donner des exemples de fonctions qui ont des dérivées partielles nulles en certains points, mais qui n'ont pas d'extremum en ces points.

Exemple. Une fonction qui a des dérivées partielles nulles mais pas d'extremum.

En effet:

Conditions suffisantes pour un extremum.

Théorème. Soit dans une zone contenant le point , la fonction a des dérivées partielles continues jusqu'au troisième ordre inclus ; soit, en outre, le point un point critique de la fonction , c'est-à-dire

Puis à ,

Exemple 3.2. Examiner la fonction au maximum et au minimum

Trouvons les points critiques, c'est-à-dire points où les premières dérivées partielles sont égales à zéro ou n'existent pas.

Tout d'abord, nous calculons les dérivées partielles elles-mêmes.

Nous assimilons les dérivées partielles à zéro et résolvons le système d'équations linéaires suivant

Multipliez la deuxième équation par 2 et ajoutez-la à la première. Vous obtenez une équation à partir de y uniquement.

Trouver et remplacer dans la première équation

transformons

Par conséquent, le point () est critique.

Calculons les dérivées secondes du second ordre et substituons-y les coordonnées du point critique.

Dans notre cas, il n'est pas nécessaire de substituer les valeurs des points critiques, puisque les dérivées secondes sont des nombres.

En conséquence, nous avons :

Par conséquent, le point critique trouvé est le point extrême. De plus, depuis

alors c'est le point minimum.

Pente les fonctions est une grandeur vectorielle dont la découverte est associée à la définition des dérivées partielles de la fonction. La direction du gradient indique le chemin de la croissance la plus rapide de la fonction d'un point du champ scalaire à un autre.

Instruction

1. Pour résoudre le problème sur le gradient d'une fonction, des méthodes de calcul différentiel sont utilisées, à savoir la recherche de dérivées partielles du premier ordre en trois variables. On suppose que la fonction elle-même et toutes ses dérivées partielles ont la propriété de continuité dans le domaine de la fonction.

2. Un gradient est un vecteur dont la direction indique le sens de la croissance la plus rapide de la fonction F. Pour cela, deux points M0 et M1 sont sélectionnés sur le graphe, qui sont les extrémités du vecteur. La valeur du gradient est égale au taux de croissance de la fonction du point M0 au point M1.

3. La fonction est différentiable en tous points de ce vecteur, par conséquent, les projections du vecteur sur les axes de coordonnées sont toutes ses dérivées partielles. La formule du gradient ressemble alors à ceci : grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, où i, j, k sont les coordonnées du vecteur unitaire. Autrement dit, le gradient d'une fonction est un vecteur dont les coordonnées sont ses dérivées partielles grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Exemple 1. Soit la fonction F = sin (x z?) / y soit donnée. Il faut trouver son gradient au point (?/6, 1/4, 1).

5. Solution Déterminez les dérivées partielles par rapport à n'importe quelle variable: F'_x \u003d 1 / y cos (x z?) z?; F'_y \u003d sin (x z?) (-1) 1 / (y?); F '_z \u003d 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Remplacez les fameuses coordonnées du point : F'_x = 4 cos(?/6) = 2 ?3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8 ; F'_z \u003d 4 cos (? / 6) 2? / 6 \u003d 2? /? 3.

7. Appliquez la formule du gradient de la fonction : grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Exemple 2. Trouver les coordonnées du gradient de la fonction F = y arсtg (z / x) au point (1, 2, 1).

9. Solution F'_x \u003d 0 arctg (z / x) + y (arctg (z / x)) '_x \u003d y 1 / (1 + (z / x)?) (-z / x?) \u003d -y z / (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 arctg(z/x) = arctg 1 = ?/4;F'_z = 0 arctg(z/x ) + y (arctg(z/x))'_z = y 1/(1 + (z/x) ?) 1/x = y/(x (1 + (z/x) ?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

Le gradient de champ scalaire est une grandeur vectorielle. Ainsi, pour le trouver, il est nécessaire de déterminer toutes les composantes du vecteur correspondant, en se basant sur la connaissance de la division du champ scalaire.

Instruction

1. Lisez dans un manuel de mathématiques supérieures ce qu'est le gradient d'un champ scalaire. Comme vous le savez, cette quantité vectorielle a une direction caractérisée par le taux de décroissance maximal de la fonction scalaire. Un tel sens d'une grandeur vectorielle donnée est justifié par une expression permettant de déterminer ses composantes.

2. Rappelez-vous que chaque vecteur est défini par les valeurs de ses composants. Les composantes vectorielles sont en fait des projections de ce vecteur sur l'un ou l'autre axe de coordonnées. Ainsi, si l'espace tridimensionnel est considéré, alors le vecteur doit avoir trois composantes.

3. Notez comment les composants d'un vecteur qui est le gradient d'un champ sont déterminés. L'ensemble des coordonnées d'un tel vecteur est égal à la dérivée du potentiel scalaire par rapport à la variable dont on calcule la coordonnée. Autrement dit, si vous devez calculer la composante "x" du vecteur de gradient de champ, vous devez différencier la fonction scalaire par rapport à la variable "x". Notez que la dérivée doit être un quotient. Cela signifie que lors de la différenciation, les variables restantes qui n'y participent pas doivent être considérées comme des constantes.

4. Écrivez une expression pour le champ scalaire. Comme vous le savez, ce terme désigne chacun uniquement une fonction scalaire de plusieurs variables, qui sont également des quantités scalaires. Le nombre de variables d'une fonction scalaire est limité par la dimension de l'espace.

5. Différenciez séparément la fonction scalaire par rapport à chaque variable. En conséquence, vous aurez trois nouvelles fonctions. Écrivez n'importe quelle fonction dans l'expression du vecteur de gradient du champ scalaire. Chacune des fonctions obtenues est en réalité un indicateur d'un vecteur unitaire d'une coordonnée donnée. Ainsi, le vecteur de gradient final devrait ressembler à un polynôme avec des exposants comme dérivés d'une fonction.

Lorsque l'on considère les problèmes impliquant la représentation d'un gradient, il est plus courant de considérer chacun comme un champ scalaire. Par conséquent, nous devons introduire la notation appropriée.

Tu auras besoin de

• - boum;
• - plume.

Instruction

1. Soit la fonction donnée par trois arguments u=f(x, y, z). La dérivée partielle d'une fonction, par exemple par rapport à x, est définie comme la dérivée par rapport à cet argument, obtenue en fixant les arguments restants. Le reste des arguments est similaire. La notation des dérivées partielles s'écrit : df / dx \u003d u'x ...

2. Le différentiel total sera égal à du \u003d (df / dx) dx + (df / dy) dy + (df / dz) dz.Les dérivées partielles peuvent être comprises comme des dérivées dans les directions des axes de coordonnées. Dès lors, la question se pose de trouver la dérivée par rapport à la direction d'un vecteur s donné au point M(x, y, z) (n'oublions pas que la direction s spécifie un vecteur-ort s^o unitaire). Dans ce cas, le vecteur différentiel des arguments est (dx, dy, dz)=(dscos(alpha), dscos(beta), dscos(gamma)).

3. En considérant la forme de la différentielle totale du, on peut conclure que la dérivée par rapport à la direction s au point M est : (du/ds)|M=((df/dx)|M)cos(alpha) + ((df/dy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gamma). Si s= s(sx,sy,sz), alors les cosinus directeurs (cos(alpha), cos(bêta), cos(gamma)) sont calculés (voir Fig. 1a).

4. La définition de la dérivée en direction, en considérant le point M comme une variable, peut se réécrire sous la forme d'un produit scalaire : (du/ds)=((df/dx, df/dy,df/dz), (cos(alpha) , cos(beta), cos (gamma)))=(grad u, s^o). Cette expression sera objective pour un champ scalaire. Si on considère une fonction facile, alors gradf est un vecteur dont les coordonnées coïncident avec les dérivées partielles f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dx, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Ici (i, j, k) sont les vecteurs unitaires des axes de coordonnées dans un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires.

5. Si nous utilisons l'opérateur vectoriel différentiel Hamilton Nabla, alors gradf peut être écrit comme la multiplication de cet opérateur vecteur par le scalaire f (voir Fig. 1b). Du point de vue de la liaison de gradf avec la dérivée directionnelle, l'égalité (gradf, s^o)=0 est admissible si ces vecteurs sont orthogonaux. Par conséquent, gradf est souvent défini comme la direction de la métamorphose la plus rapide d'un champ scalaire. Et du point de vue des opérations différentielles (gradf en est une), les propriétés de gradf répètent exactement les propriétés de différenciation des fonctions. En particulier, si f=uv, alors gradf=(vgradu+ugradv).

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Pente c'est un outil qui, dans les éditeurs graphiques, remplit la silhouette d'une transition en douceur d'une couleur à l'autre. Pente peut donner à une silhouette le résultat du volume, simuler un éclairage, des reflets de lumière sur la surface d'un objet, ou le résultat d'un coucher de soleil en arrière-plan d'une photographie. Cet outil a une large utilisation, par conséquent, pour le traitement de photographies ou la création d'illustrations, il est très important d'apprendre à l'utiliser.

Tu auras besoin de

• Ordinateur, éditeur graphique Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net ou autre.

Instruction

1. Ouvrez l'image dans le programme ou créez-en une nouvelle. Faites une silhouette ou sélectionnez la zone souhaitée sur l'image.

2. Activez l'outil Dégradé dans la barre d'outils de l'éditeur graphique. Placez le curseur de la souris sur un point à l'intérieur de la zone ou de la silhouette sélectionnée, là où la 1ère couleur du dégradé commencera. Cliquez et maintenez le bouton gauche de la souris. Déplacez le curseur au point où le dégradé doit passer à la couleur finale. Relâchez le bouton gauche de la souris. La silhouette sélectionnée sera remplie avec un remplissage dégradé.

3. Pente y il est possible de régler la transparence, les couleurs et leur rapport à un certain point de remplissage. Pour ce faire, ouvrez la fenêtre Gradient Edit. Pour ouvrir la fenêtre d'édition dans Photoshop, cliquez sur l'exemple de dégradé dans le panneau Options.

4. Dans la fenêtre qui s'ouvre, les options de remplissage dégradé disponibles sont affichées à titre d'exemples. Pour modifier l'une des options, sélectionnez-la avec un clic de souris.

5. Un exemple de dégradé s'affiche en bas de la fenêtre sous la forme d'une large échelle avec des curseurs. Les curseurs indiquent les points auxquels le dégradé doit avoir les classements spécifiés, et dans l'intervalle entre les curseurs, la couleur passe uniformément de celle spécifiée au premier point à la couleur du 2ème point.

6. Les curseurs situés en haut de l'échelle définissent la transparence du dégradé. Pour modifier la transparence, cliquez sur le curseur souhaité. Un champ apparaîtra sous l'échelle, dans lequel entrez le degré de transparence requis en pourcentage.

7. Les curseurs en bas de l'échelle définissent les couleurs du dégradé. En cliquant sur l'un d'entre eux, vous pourrez lui préférer la couleur souhaitée.

8. Pente peut avoir plusieurs couleurs de transition. Pour définir une autre couleur, cliquez sur un espace vide en bas de l'échelle. Un autre curseur apparaîtra dessus. Définissez la couleur souhaitée pour celui-ci. L'échelle affichera un exemple de dégradé avec un point de plus. Vous pouvez déplacer les curseurs en les maintenant avec l'appui du bouton gauche de la souris afin d'obtenir la combinaison souhaitée.

9. Pente Il existe plusieurs types qui peuvent donner forme à des silhouettes plates. Disons que pour donner à un cercle la forme d'une boule, un dégradé radial est appliqué, et pour donner la forme d'un cône, un dégradé conique est appliqué. Un dégradé spéculaire peut être utilisé pour donner à la surface l'illusion d'un renflement, et un dégradé en losange peut être utilisé pour créer des reflets.

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Il est connu d'un cours de mathématiques à l'école qu'un vecteur sur un plan est un segment orienté. Son début et sa fin ont deux coordonnées. Les coordonnées vectorielles sont calculées en soustrayant les coordonnées de début des coordonnées de fin.

Le concept de vecteur peut également être étendu à un espace à n dimensions (au lieu de deux coordonnées, il y aura n coordonnées).

Pente grad z de la fonction z = f(х 1 , х 2 , …х n) est le vecteur des dérivées partielles de la fonction au point, c'est-à-dire vecteur de coordonnées.

On peut prouver que le gradient d'une fonction caractérise la direction de la croissance la plus rapide du niveau de la fonction en un point.

Par exemple, pour la fonction z \u003d 2x 1 + x 2 (voir Figure 5.8), le gradient en tout point aura des coordonnées (2; 1). Il peut être construit sur le plan de différentes manières, en prenant n'importe quel point comme début du vecteur. Par exemple, vous pouvez connecter le point (0 ; 0) au point (2 ; 1), ou le point (1 ; 0) au point (3 ; 1), ou le point (0 ; 3) au point (2 ; 4), ou t .P. (voir figure 5.8). Tous les vecteurs ainsi construits auront pour coordonnées (2 - 0; 1 - 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

La figure 5.8 montre clairement que le niveau de la fonction croît dans le sens du gradient, puisque les lignes de niveau construites correspondent aux valeurs de niveau 4 > 3 > 2.

Figure 5.8 - Fonction de gradient z \u003d 2x 1 + x 2

Prenons un autre exemple - la fonction z = 1/(x 1 x 2). Le gradient de cette fonction ne sera plus toujours le même en différents points, puisque ses coordonnées sont déterminées par les formules (-1 / (x 1 2 x 2) ; -1 / (x 1 x 2 2)).

La figure 5.9 montre les droites de niveau de la fonction z = 1 / (x 1 x 2) pour les niveaux 2 et 10 (la droite 1 / (x 1 x 2) = 2 est indiquée par une ligne pointillée, et la droite
1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - trait plein).

Figure 5.9 - Gradients de la fonction z \u003d 1 / (x 1 x 2) en différents points

Prenez, par exemple, le point (0,5 ; 1) et calculez le gradient à ce point : (-1/(0,5 2 *1 ); -1/(0,5*1 2)) = (-4 ; - 2). Notez que le point (0,5; 1) se trouve sur la ligne de niveau 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, car z \u003d f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. Pour dépeignent le vecteur (-4 ; -2) sur la figure 5.9, nous connectons le point (0,5 ; 1) avec le point (-3,5 ; -1), car
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Prenons un autre point sur la même ligne de niveau, par exemple, le point (1 ; 0,5) (z = f(1 ; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Calculer le gradient à ce point
(-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4). Pour le représenter dans la Figure 5.9, nous connectons le point (1 ; 0,5) avec le point (-1 ; -3,5), car (-1 - 1 ; -3,5 - 0,5) = (-2 ; - 4).

Prenons un point de plus sur la même ligne de niveau, mais seulement maintenant dans un quart de coordonnées non positif. Par exemple, point (-0,5 ; -1) (z = f(-0,5 ; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Le gradient à ce point sera
(-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2). Représentons-le sur la Figure 5.9 en reliant le point (-0.5 ; -1) au point (3.5 ; 1), car (3.5 - (-0.5) ; 1 - (-1)) = (4 ; 2).

1 0 Le gradient est dirigé le long de la normale à la surface plane (ou à la ligne de niveau si le champ est plat).

2 0 Le gradient est dirigé dans le sens de la fonction de champ croissante.

3 0 Le module gradient est égal à la plus grande dérivée de la direction en un point donné du champ :

Ces propriétés donnent une caractéristique invariante du gradient. Ils disent que le vecteur gradU indique la direction et l'amplitude du plus grand changement dans le champ scalaire en un point donné.

Remarque 2.1. Si la fonction U(x,y) est une fonction de deux variables, alors le vecteur

se trouve dans le plan oxy.

Soient U=U(x,y,z) et V=V(x,y,z) des fonctions dérivables au point М 0 (x,y,z). Alors les égalités suivantes sont vérifiées :

a) grad()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV ;

c) grad(U V) = gradU gradV ; d) d) grad = , V ;

e) gradU( = gradU, où , U=U() a une dérivée par rapport à .

Exemple 2.1. La fonction U=x 2 +y 2 +z 2 est donnée. Déterminez le gradient de la fonction au point M(-2;3;4).

Décision. D'après la formule (2.2), on a

Les surfaces planes de ce champ scalaire sont la famille des sphères x 2 +y 2 +z 2 , le vecteur gradU=(-4;6;8) est le vecteur normal des plans.

Exemple 2.2. Trouver le gradient du champ scalaire U=x-2y+3z.

Décision. D'après la formule (2.2), on a

Les surfaces planes d'un champ scalaire donné sont les plans

x-2y+3z=C; le vecteur gradU=(1;-2;3) est le vecteur normal des plans de cette famille.

Exemple 2.3. Trouver la pente la plus raide de la surface U=x y au point M(2;2;4).

Décision. Nous avons:

Exemple 2.4. Trouver le vecteur normal unitaire à la surface plane du champ scalaire U=x 2 +y 2 +z 2 .

Décision. Surfaces planes d'un Champ-sphère scalaire donné x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Le gradient est dirigé le long de la normale à la surface plane, de sorte que

Définit le vecteur normal à la surface plane au point M(x,y,z). Pour un vecteur normal unitaire, on obtient l'expression

Exemple 2.5. Trouvez le gradient de champ U= , où et sont des vecteurs constants, r est le rayon vecteur du point.

Décision. Laisser être

Puis: . Par la règle de différenciation du déterminant, on obtient

Ainsi,

Exemple 2.6. Trouvez le gradient de distance , où P(x,y,z) est le point du champ étudié, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) est un point fixe.

Décision. Nous avons un vecteur de direction unitaire.

Exemple 2.7. Trouver l'angle entre les gradients des fonctions au point M 0 (1,1).

Décision. On retrouve les gradients de ces fonctions au point M 0 (1,1), on a

; L'angle entre gradU et gradV au point M 0 est déterminé à partir de l'égalité

Donc =0.

Exemple 2.8. Trouver la dérivée par rapport à la direction, le rayon vecteur est égal à

Décision. Trouver le gradient de cette fonction :

En substituant (2.5) à (2.4), on obtient

Exemple 2.9. Trouver au point M 0 (1;1;1) la direction du plus grand changement dans le champ scalaire U=xy+yz+xz et l'amplitude de ce plus grand changement en ce point.

Décision. La direction du plus grand changement dans le champ est indiquée par le vecteur grad U(M). Nous le trouvons :

Et donc, . Ce vecteur détermine la direction de la plus grande augmentation de ce champ au point M 0 (1;1;1). La valeur du plus grand changement dans le champ à ce point est égale à

Exemple 3.1. Trouvez les lignes vectorielles du champ vectoriel où est un vecteur constant.

Décision. Nous avons tellement

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la première fraction par x, la seconde par y, la troisième par z et additionnez terme à terme. En utilisant la propriété de proportion, on obtient

D'où xdx+ydy+zdz=0, ce qui signifie

x 2 + y 2 + z 2 =A 1 , A 1 -const>0. En multipliant maintenant le numérateur et le dénominateur de la première fraction (3.3) par c 1, la deuxième par c 2, la troisième par c 3 et en sommant terme à terme, on obtient

D'où c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

Et donc avec 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . Un 2-const.

Équations requises des lignes vectorielles

Ces équations montrent que les lignes vectorielles sont obtenues à la suite de l'intersection de sphères ayant un centre commun à l'origine avec des plans perpendiculaires au vecteur. Il s'ensuit que les droites vectorielles sont des cercles dont les centres sont sur une droite passant par l'origine dans la direction du vecteur c. Les plans des cercles sont perpendiculaires à la ligne spécifiée.

Exemple 3.2. Trouvez la ligne vectorielle de champ passant par le point (1,0,0).

Décision.Équations différentielles des lignes vectorielles

Nous avons donc . Résolution de la première équation. Soit si on introduit le paramètre t, alors on aura Dans ce cas, l'équation prend la forme ou dz=bdt, d'où z=bt+c 2 .

Considérons la formule de la dérivée de la fonction scalaire u dans la direction λ

Les seconds facteurs sont des projections du vecteur unitaire dirigé le long du rayon λ .

Prenons un vecteur dont les projections sur les axes de coordonnées seront les valeurs des dérivées partielles dans le t choisi.Р(x, y, z).

Ce vecteur est appelé le gradient de la fonction u (x, y, z) et est noté gradu ou

Définition. Le gradient d'une fonction u(x, y, z) est un vecteur dont les projections sont les valeurs des dérivées partielles de cette fonction, c'est-à-dire

La dérivée d'une fonction selon une direction donnée est égale au produit scalaire du gradient de la fonction et du vecteur unitaire de cette direction.

En développant le produit scalaire, on obtient

,

où φ est l'angle entre le vecteur degrés et un rayon λ.

Atteint la valeur la plus élevée

Ainsi, il y a la plus grande valeur de la dérivée dans le t.P donné, et la direction grad u coïncide avec la direction du faisceau sortant de t.P, le long de laquelle la fonction change le plus rapidement.

Établissons un lien entre la direction du gradient de la fonction et les surfaces planes du champ scalaire.

Théorème. Le gradient de la fonction u (x,y,z) en chaque point coïncide avec la normale à la surface plane du champ scalaire passant par ce point.

Preuve. Nous choisissons un t arbitraire R 0 (x 0, y 0, z 0).

Équation de surface

niveau passant par

c'est-à-dire u(x,y,z)= ,

u 0 \u003d u (x 0, y 0, z 0)

L'équation de la normale à cette surface, en t., sera

Il s'ensuit donc que le vecteur normal directeur, qui a des projections , est le gradient de la fonction u (x, y, z) en t. P 0 , p.t.d.

Ainsi, le gradient en chaque point est perpendiculaire au plan tangent à la surface plane passant par le point donné, c'est-à-dire sa projection sur ce plan est nulle.

Ainsi: La dérivée dans n'importe quelle direction tangente à la surface plane passant par le point donné est égale à zéro.

Les principales propriétés de la fonction gradient :

2) diplômé , où C- Const.

4) diplômé

Toutes les propriétés sont prouvées en utilisant la définition du gradient de la fonction.

Exemple. Au point M(1, 1, 1) trouvez la direction du plus grand changement dans le champ scalaire et l'amplitude de ce changement.