La dépendance d'une variable y sur une variable x, dans laquelle chaque valeur de x correspond à une seule valeur de y, est appelée une fonction. Pour la désignation, utilisez la notation y=f(x). Chaque fonction possède un certain nombre de propriétés de base, telles que la monotonie, la parité, la périodicité et autres.

Examinez de plus près la propriété de parité.

Une fonction y=f(x) est appelée même si elle satisfait aux deux conditions suivantes :

2. La valeur de la fonction au point x, appartenant au domaine de définition de la fonction, doit être égale à la valeur de la fonction au point -x. Autrement dit, pour tout point x, l'égalité suivante doit être satisfaite à partir du domaine de définition de la fonction : f(x) = f(-x).

Calendrier même fonction

Si vous tracez un graphique d’une fonction paire, il sera symétrique par rapport à l’axe Oy.

Par exemple, la fonction y=x^2 est paire. Regardons ça. Le domaine de définition est l’ensemble de l’axe numérique, ce qui signifie qu’il est symétrique par rapport au point O.

Prenons un x=3 arbitraire. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Donc f(x) = f(-x). Ainsi, les deux conditions sont remplies, ce qui signifie que la fonction est paire. Vous trouverez ci-dessous un graphique de la fonction y=x^2.

La figure montre que le graphique est symétrique par rapport à l’axe Oy.

Graphique d'une fonction impaire

Une fonction y=f(x) est dite impaire si elle satisfait aux deux conditions suivantes :

1. Le domaine de définition d'une fonction donnée doit être symétrique par rapport au point O. Autrement dit, si un point a appartient au domaine de définition de la fonction, alors le point correspondant -a doit également appartenir au domaine de définition de la fonction donnée.

2. Pour tout point x, l'égalité suivante doit être satisfaite à partir du domaine de définition de la fonction : f(x) = -f(x).

Le graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport au point O - l'origine des coordonnées. Par exemple, la fonction y=x^3 est impaire. Regardons ça. Le domaine de définition est l’ensemble de l’axe numérique, ce qui signifie qu’il est symétrique par rapport au point O.

Prenons un x=2 arbitraire. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Donc f(x) = -f(x). Ainsi, les deux conditions sont remplies, ce qui signifie que la fonction est impaire. Vous trouverez ci-dessous un graphique de la fonction y=x^3.

La figure montre clairement que la fonction impaire y=x^3 est symétrique par rapport à l'origine.

Une fonction est appelée paire (impaire) si pour tout et l'égalité

.

Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe
.

Le graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

Exemple 6.2. Examiner si une fonction est paire ou impaire

1)
; 2)
; 3)
.

Solution.

1) La fonction est définie lorsque
. Nous trouverons
.

Ceux.
. Cela signifie que cette fonction est paire.

2) La fonction est définie lorsque

Ceux.
. Cette fonction est donc étrange.

3) la fonction est définie pour , c'est-à-dire Pour

,
. La fonction n’est donc ni paire ni impaire. Appelons cela une fonction de forme générale.

3. Etude de la fonction de monotonie.

Fonction
est appelé croissant (décroissant) sur un certain intervalle si dans cet intervalle chaque valeur plus grande de l'argument correspond à une valeur plus grande (plus petite) de la fonction.

Les fonctions croissantes (décroissantes) sur un certain intervalle sont appelées monotones.

Si la fonction
différentiable sur l'intervalle
et a une dérivée positive (négative)
, alors la fonction
augmente (diminue) sur cet intervalle.

Exemple 6.3. Trouver des intervalles de monotonie des fonctions

1)
; 3)
.

Solution.

1) Cette fonction est définie sur toute la droite numérique. Trouvons la dérivée.

La dérivée est égale à zéro si
Et
. Le domaine de définition est l'axe des nombres, divisé par des points
,
à intervalles. Déterminons le signe de la dérivée dans chaque intervalle.

Dans l'intervalle
la dérivée est négative, la fonction décroît sur cet intervalle.

Dans l'intervalle
la dérivée est positive, donc la fonction augmente sur cet intervalle.

2) Cette fonction est définie si
ou

.

Nous déterminons le signe du trinôme quadratique dans chaque intervalle.

Ainsi, le domaine de définition de la fonction

Trouvons la dérivée
,
, Si
, c'est à dire.
, Mais
. Déterminons le signe de la dérivée dans les intervalles
.

Dans l'intervalle
la dérivée est négative, donc la fonction décroît sur l'intervalle
. Dans l'intervalle
la dérivée est positive, la fonction augmente sur l'intervalle
.

4. Etude de la fonction à l'extremum.

Point
appelé le point maximum (minimum) de la fonction
, s'il existe un tel voisinage du point c'est pour tout le monde
de ce quartier, l'inégalité persiste

.

Les points maximum et minimum d’une fonction sont appelés points extremum.

Si la fonction
à ce point a un extremum, alors la dérivée de la fonction en ce point est égale à zéro ou n'existe pas (condition nécessaire à l'existence d'un extremum).

Les points auxquels la dérivée est nulle ou n'existe pas sont appelés critiques.

5. Conditions suffisantes existence d'un extremum.

Règle 1. Si pendant la transition (de gauche à droite) par le point critique dérivé
change de signe de « + » à « – », puis au point fonction
a un maximum ; si de « – » à « + », alors le minimum ; Si
ne change pas de signe, alors il n’y a pas d’extremum.

Règle 2. Laissez au point
dérivée première d'une fonction
égal à zéro
, et la dérivée seconde existe et est différente de zéro. Si
, Que – point maximum, si
, Que – point minimum de la fonction.

Exemple 6.4. Explorez les fonctions maximales et minimales :

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Solution.

1) La fonction est définie et continue sur l'intervalle
.

Trouvons la dérivée
et résoudre l'équation
, c'est à dire.
.D'ici
- points critiques.

Déterminons le signe de la dérivée dans les intervalles ,
.

Lors du passage par des points
Et
la dérivée change de signe de « – » à « + », donc, selon la règle 1
– un minimum de points.

En passant par un point
la dérivée change de signe de « + » à « – », donc
– point maximum.

,
.

2) La fonction est définie et continue dans l'intervalle
. Trouvons la dérivée
.

Après avoir résolu l'équation
, nous trouverons
Et
- points critiques. Si le dénominateur
, c'est à dire.
, alors la dérivée n’existe pas. Donc,
– troisième point critique. Déterminons le signe de la dérivée par intervalles.

Par conséquent, la fonction a un minimum au point
, maximum en points
Et
.

3) Une fonction est définie et continue si
, c'est à dire. à
.

Trouvons la dérivée

.

Trouvons les points critiques :

Quartiers de points
n’appartiennent pas au domaine de la définition, ils ne sont donc pas des extrema. Alors, examinons les points critiques
Et
.

4) La fonction est définie et continue sur l'intervalle
. Utilisons la règle 2. Trouvez la dérivée
.

Trouvons les points critiques :

Trouvons la dérivée seconde
et déterminer son signe aux points

Aux points
la fonction a un minimum.

Aux points
la fonction a un maximum.

En juillet 2020, la NASA lance une expédition vers Mars. Vaisseau spatial livrera sur Mars un support électronique avec les noms de tous les participants à l'expédition inscrits.

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Un autre réveillon du Nouvel An... temps glacial et flocons de neige sur les vitres... Tout cela m'a incité à écrire à nouveau sur... les fractales, et ce que Wolfram Alpha en sait. A cette occasion il y a article intéressant, qui contient des exemples de structures fractales bidimensionnelles. Ici, nous verrons plus exemples complexes fractales tridimensionnelles.

Une fractale peut être visuellement représentée (décrite) comme une figure ou un corps géométrique (ce qui signifie que les deux sont un ensemble, dans ce cas, un ensemble de points), dont les détails ont la même forme que la figure originale elle-même. C'est-à-dire qu'il s'agit d'une structure auto-similaire, dont l'examen des détails lors d'un grossissement nous permettra de voir la même forme que sans grossissement. Alors que dans le cas des figure géométrique(pas une fractale), en zoomant, nous verrons des détails qui ont plus forme simple que la figure originale elle-même. Par exemple, avec un grossissement suffisamment élevé, une partie d’une ellipse ressemble à un segment de ligne droite. Cela ne se produit pas avec les fractales : à chaque augmentation de celles-ci, nous reverrons la même forme complexe, qui se répétera encore et encore à chaque augmentation.

Benoit Mandelbrot, le fondateur de la science des fractales, a écrit dans son article Fractals and Art in the Name of Science : « Les fractales sont formes géométriques, qui sont aussi complexes dans leurs détails que dans leur forme générale. Autrement dit, si une partie d’une fractale est agrandie à la taille du tout, elle apparaîtra comme le tout, soit exactement, soit peut-être avec une légère déformation. »

. Pour ce faire, utilisez du papier millimétré ou une calculatrice graphique. Sélectionnez n'importe quel nombre de valeurs numériques pour la variable indépendante x (\displaystyle x) et branchez-les dans la fonction pour calculer les valeurs de la variable dépendante y (\displaystyle y) . Tracez les coordonnées trouvées des points sur avion coordonné, puis connectez ces points pour représenter graphiquement la fonction.

• Remplacez les positifs dans la fonction valeurs numériques x (\displaystyle x) et les valeurs numériques négatives correspondantes. Par exemple, étant donné une fonction f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) . Remplacez-y les valeurs suivantes x (\displaystyle x) :

Vérifiez si le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l'axe Y. Par symétrie, nous entendons l'image miroir du graphique par rapport à l'axe Y. Si la partie du graphique à droite de l'axe Y (valeurs positives de la variable indépendante) est la même que la partie du graphique à gauche de l'axe Y (valeurs négatives de la variable indépendante ), le graphique est symétrique par rapport à l’axe Y. Si la fonction est symétrique par rapport à l’axe Y, la fonction est paire.

Vérifiez si le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l'origine. L'origine est le point de coordonnées (0,0). La symétrie par rapport à l'origine signifie qu'une valeur positive de y (\displaystyle y) (pour une valeur positive de x (\displaystyle x) ) correspond à une valeur négative de (\displaystyle y) (\displaystyle y) (pour une valeur négative de x (\displaystyle x) ), et vice versa. Les fonctions impaires ont une symétrie par rapport à l'origine.

Vérifiez si le graphique de la fonction a une symétrie. Le dernier type de fonction est une fonction dont le graphique n'a pas de symétrie, c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'image miroir à la fois par rapport à l'axe des ordonnées et par rapport à l'origine. Par exemple, étant donné la fonction .

• Remplacez plusieurs positifs et correspondants dans la fonction valeurs négatives x (\displaystyle x) :
• D’après les résultats obtenus, il n’y a pas de symétrie. Les valeurs de y (\displaystyle y) pour les valeurs opposées de x (\displaystyle x) ne sont pas les mêmes et ne sont pas opposées. La fonction n’est donc ni paire ni impaire.
• Veuillez noter que la fonction f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) peut s'écrire comme suit : f (x) = (x + 1 ) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . Lorsqu'elle est écrite sous cette forme, la fonction apparaît paire car il y a un exposant pair. Mais cet exemple prouve que le type de fonction ne peut pas être déterminé rapidement si la variable indépendante est mise entre parenthèses. Dans ce cas, vous devez ouvrir les parenthèses et analyser les exposants obtenus.

Qui vous étaient familiers à un degré ou à un autre. Il y a également été noté que le stock de propriétés fonctionnelles serait progressivement reconstitué. Deux nouvelles propriétés seront abordées dans cette section.

Définition 1.

La fonction y = f(x), x є X, est appelée même si pour toute valeur x de l'ensemble X l'égalité f (-x) = f (x) est vraie.

Définition 2.

La fonction y = f(x), x є X, est appelée impaire si pour toute valeur x de l'ensemble X l'égalité f (-x) = -f (x) est vraie.

Montrer que y = x 4 est une fonction paire.

Solution. On a : f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Mais (-x) 4 = x 4. Cela signifie que pour tout x, l'égalité f(-x) = f(x) est vraie, c'est-à-dire la fonction est paire.

De même, on peut prouver que les fonctions y - x 2, y = x 6, y - x 8 sont paires.

Montrer que y = x 3 ~ une fonction impaire.

Solution. On a : f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Mais (-x) 3 = -x 3. Cela signifie que pour tout x, l'égalité f (-x) = -f (x) est vraie, c'est-à-dire la fonction est étrange.

De même, on peut prouver que les fonctions y = x, y = x 5, y = x 7 sont impaires.

Vous et moi avons déjà été convaincus à plusieurs reprises que les nouveaux termes mathématiques ont le plus souvent une origine « terrestre », c'est-à-dire ils peuvent être expliqués d’une manière ou d’une autre. C’est le cas des fonctions paires et impaires. Voir : y - x 3, y = x 5, y = x 7 sont des fonctions impaires, tandis que y = x 2, y = x 4, y = x 6 sont des fonctions paires. Et d'une manière générale, pour toute fonction de la forme y = x" (ci-dessous nous étudierons spécifiquement ces fonctions), où n est un nombre naturel, on peut conclure : si n n'est pas nombre pair, alors la fonction y = x" est impaire ; si n est un nombre pair, alors la fonction y = xn est paire.

Il existe également des fonctions qui ne sont ni paires ni impaires. Telle est par exemple la fonction y = 2x + 3. En effet, f(1) = 5, et f (-1) = 1. Comme vous pouvez le constater, ici donc, ni l'identité f(-x) = f (x), ni l'identité f(-x) = -f(x).

Ainsi, une fonction peut être paire, impaire ou ni l’un ni l’autre.

Étudier la question de savoir si fonction donnée pair ou impair est généralement appelé l'étude d'une fonction de parité.

Dans les définitions 1 et 2 nous parlons de sur les valeurs de la fonction aux points x et -x. Cela suppose que la fonction est définie à la fois au point x et au point -x. Cela signifie que le point -x appartient au domaine de définition de la fonction simultanément avec le point x. Si un ensemble numérique X, avec chacun de ses éléments x, contient également l'élément opposé -x, alors X est appelé un ensemble symétrique. Disons que (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sont des ensembles symétriques, tandis que )