Instructions

Le calcul direct des limites est associé tout d'abord aux limites du rationnel Qm(x)/Rn(x), où Q et R sont des polynômes. Si la limite est calculée comme x → a (a est un nombre), alors une incertitude peut survenir, par exemple. Pour l'éliminer, divisez le numérateur et le dénominateur par (x-a). Répétez l'opération jusqu'à ce que l'incertitude disparaisse. La division des polynômes s'effectue presque de la même manière que la division des nombres. Elle repose sur le fait que la division et la multiplication sont des opérations inverses. Un exemple est montré sur la Fig. 1.

Application de la première limite remarquable. La formule pour la première limite remarquable est présentée sur la figure. 2a. Pour l'utiliser, convertissez votre exemple d'expression au formulaire approprié. Cela peut toujours être fait de manière purement algébrique ou en modifiant une variable. L'essentiel est de ne pas oublier que si le sinus est kx, alors le dénominateur est également kx. Un exemple est montré sur la Fig. 2e.De plus, si l'on tient compte du fait que tgx=sinx/cosx, cos0=1, alors, en conséquence, apparaît (voir Fig. 2b). arcsin(sinx)=x et arctg(tgx)=x. Il y a donc deux autres conséquences (Fig. 2c. et 2d). Une gamme assez large de méthodes a émergé.

L'utilisation de la deuxième limite est remarquable (voir Fig. 3a) : des limites de ce type sont utilisées pour éliminer les incertitudes de ce type. Pour résoudre les problèmes correspondants, transformez simplement la condition en une structure correspondant au type de limite. N'oubliez pas que lorsqu'on élève une expression à une puissance qui est déjà dans une certaine puissance, ses exposants sont multipliés. Un exemple correspondant est présenté sur la Fig. 2f. Appliquez la substitution α = 1/х et obtenez une conséquence de la deuxième limite remarquable (Fig. 2b). En prenant le logarithme des deux côtés de ce corollaire à la base a, vous arriverez au deuxième corollaire, y compris pour a = e (voir Fig. 2c). Effectuez le remplacement a^x-1=y. Alors x=log(a)(1+y). Comme x tend vers zéro, y tend également vers zéro. Par conséquent, une troisième conséquence apparaît (voir Fig. 2d).

Application des infinitésimaux équivalents. Les fonctions infinitésimales sont équivalentes à x → a si la limite de leur rapport α(x)/γ(x) égal à un. Lors du calcul des limites à l'aide de tels infinitésimaux, écrivez simplement γ(x)=α(x)+o(α(x)). o(α(x)) est un sur infinitésimal ordre élevé plus petit que α(x). Pour cela lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. Utilisez les mêmes merveilleuses limites pour déterminer l’équivalence. La méthode nous permet de simplifier considérablement le processus de recherche de limites, en le rendant plus transparent.

La règle de l'Hôpital

Définition 1

La règle de L'Hôpital : sous certaines conditions, la limite du rapport des fonctions dont la variable tend vers $a$ est égale à la limite du rapport de leurs dérivées, avec $x$ tendant également vers $a$ :

$\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"( x))(g"(x)) $

La règle de L'Hôpital a été découverte par le mathématicien suédois Johann Bernoulli, qui en a ensuite parlé à L'Hôpital dans une lettre. L'Hôpital a publié cette règle dans le premier manuel de calcul différentiel en 1696 sous sa propre paternité.

La règle de L'Hôpital s'applique aux expressions pouvant être réduites à des incertitudes du type suivant :

$\frac(0)(0) \begin(array)(ccc) () & () & (\frac(\infty )(\infty ) ) \end(array)$

Au lieu de zéro dans la première expression, il peut y avoir n'importe quelle valeur infinitésimale.

DANS cas général La règle de L'Hôpital peut être utilisée si le numérateur et le dénominateur sont tous deux nuls ou infinis.

Conditions dans lesquelles la règle de L'Hôpital peut s'appliquer :

• La condition est remplie selon laquelle les limites des fonctions $f(x)$ et $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ sont égales entre elles et tendent vers zéro ou l'infini : $\mathop(\ lim )\limits_(x \to a) f(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=0$ ou $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) f(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=\infty $;
• Il est possible d'obtenir des dérivées de $f(x)$ et $g(x)$ au voisinage de $a$ ;
• La dérivée de la fonction $g(x)$ n'est pas nulle $g"(x)\ne 0$ au voisinage de $a$ ;
• La limite du rapport des dérivées des fonctions $f(x)$ et $g(x)$, écrite sous la forme $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"(x) )(g"( x)) $ existe.

Preuve de la règle de L'Hôpital :

1. Soit les fonctions $f(x)$ et $g(x)$, et l'égalité des limites est observée :
2. $\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) f(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) g(x)=0 $.
3. Définissons les fonctions au point $a$. Pour ce point, la condition suivante sera vraie :
4. $\frac(f(x))(g(x)) =\frac(f(x)-f(a))(g(x)-g(a)) =\frac(f"(c)) (g"(c))$.
5. La valeur de $c$ dépend de $x$, mais si $x\to a+0$, alors $c\to a$.
6. $\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) \frac(f(x))(g(x)) =\mathop(\lim )\limits_(c\to a+0) \frac (f"(c))(g"(c)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) \frac(f"(c))(g"(c)) $.

Algorithme de calcul de la solution selon la règle de L'Hôpital

1. Vérification de l'incertitude de l'expression entière.
2. Vérifiez toutes les conditions énoncées ci-dessus avant d'utiliser davantage la règle de L'Hôpital.
3. Vérifier si la dérivée d'une fonction tend vers $0$.
4. Nouveau test pour l'incertitude.

Exemple 1:

Trouvez la limite :

$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) +5x)(3x) $

Solution:

• La limite de la fonction $f(x)$ est égale à la limite de $g(x)$ et les deux sont égales à zéro : $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) f(x )=\mathop(\lim )\limits_ (x\to 0) (x^(2) +5x)=0$; $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (3x)=0$
• $g"(x)=3\ne 0$ au voisinage de $a$
• $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"(x))(g"(x)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(2x +5)(3)$

$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) +5x)(3x) =\left\langle \frac(0)(0) \right\rangle =\mathop( \lim )\limits_(x\to 0) \frac(\left(x^(2) +5x\right)")(\left(3x\right)") =\mathop(\lim )\limits_(x \à 0) \frac(2x+5)(3) =\frac(0+5)(3) =\frac(5)(3) $

Exemple n°2 :

Trouvez la limite :

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(x^(3) -3x^(2) +2x)(x^(3) -x) $

Solution:

Vérifions les conditions d'applicabilité de la règle de L'Hôpital :

• $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) f(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (x^(3) -3x^(2) +2x) =\infty$; $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (x^(3) -x)=\infty $
• $f(x)$ et $g(x)$ sont dérivables dans un voisinage de $a$
• $g"(x)=6\ne 0$ au voisinage de $a$
• $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"(x))(g"(x)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac( 3x^(2) -6x+2)(3x^(2) -1) $

Écrivons la dérivée et trouvons la limite de la fonction :

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(x^(3) -3x^(2) +2x)(x^(3) -x) =\left\langle \frac( \infty )(\infty ) \right\rangle =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left(x^(3) -3x^(2) +2x\right)" )(\left(x^(3) -x\right)") =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(3x^(2) -6x+2)(3x^( 2) -1) =\left\langle \frac(\infty )(\infty ) \right\rangle $

Nous répétons le calcul de la dérivée jusqu'à ce que nous nous débarrassions de l'incertitude :

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left(3x^(2) -6x+2\right)")(\left(3x^(2) -1\right) ") =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(6x-6)(6x) =\left\langle \frac(\infty )(\infty ) \right\rangle =\mathop (\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left(6x-6\right)")(\left(6x\right)") =\frac(6)(6) =1$

Exemple n°3 :

Trouvez la limite :

$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(\sin 5x)(x) $

Solution:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(\sin 5x)(x) =\left\langle \frac(0)(0) \right\rangle =\mathop(\lim )\ limites_(x\to 0) \frac(\left(\sin 5x\right)")(\left(x\right)") =\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(5 \cos 5x)(1) =5\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \cos 5x=5$

Exemple n°4 :

Trouvez la limite :

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (1+x^(2))^(1/x) $

Solution:

Logarithmonons la fonction :

$\ln y=\frac(1)(x) \ln (1+x^(2))=\frac(\ln (1+x^(2)))(x) $

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\ln (1+x^(2)))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left[\ln (1+x^(2))\right]")(x") =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\frac(2x) (1+x^(2) ) )(1) =0$

Puisque la fonction $ln(y)$ est continue, on obtient :

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (\ln y)=\ln (\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) y)$

Ainsi,

$\ln (\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) y)=0$

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) y=1$

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (1+x^(2))^(1/x) =1$

Solution limites des fonctions en ligne. Trouver la valeur limite d'une fonction ou d'une séquence fonctionnelle en un point, calculer ultime la valeur de la fonction à l'infini. déterminer la convergence d'une série de nombres et bien plus peut être fait grâce à notre un service en ligne- . Nous vous permettons de trouver en ligne les limites de fonction de manière rapide et précise. Vous le saisissez vous-même variable de fonction et la limite à laquelle il tend, notre service effectue pour vous tous les calculs en vous donnant une réponse précise et simple. Et pour trouver la limite en ligne vous pouvez saisir à la fois des séries numériques et des fonctions analytiques contenant des constantes en expression littérale. Dans ce cas, la limite trouvée de la fonction contiendra ces constantes comme arguments constants dans l'expression. Notre service résout tous les problèmes complexes de recherche limites en ligne, il suffit d'indiquer la fonction et le point où il faut calculer valeur limite de la fonction. Calculateur limites en ligne, vous pouvez utiliser diverses méthodes et règles pour les résoudre, tout en vérifiant le résultat obtenu avec résoudre les limites en ligne sur le site www.site, ce qui mènera à la réussite de la tâche - vous éviterez vos propres erreurs et erreurs d'écriture. Ou vous pouvez nous faire entièrement confiance et utiliser notre résultat dans votre travail, sans consacrer d'efforts ni de temps supplémentaires au calcul indépendant de la limite de la fonction. Nous autorisons la saisie de valeurs limites telles que l'infini. Il est nécessaire de saisir un membre commun d'une séquence de numéros et www.site calculera la valeur limite en ligneà plus ou moins l'infini.

L'un des concepts de base de l'analyse mathématique est limite de fonction Et limite de séquence en un point et à l'infini, il est important de pouvoir résoudre correctement limites. Avec notre service, cela ne sera pas difficile. Une décision est prise limites en ligne en quelques secondes, la réponse est précise et complète. L'étude de l'analyse mathématique commence par passage à la limite, limites sont utilisés dans presque tous les domaines des mathématiques supérieures, il est donc utile d'avoir un serveur à portée de main pour solutions de limites en ligne, qui est matematikam.ru.

L'application de la règle de L'Hôpital est nécessaire pour calculer des limites lors de l'obtention d'incertitudes de la forme 0 0 et ∞ ∞.

Il existe des incertitudes de la forme 0 · ∞ et ∞ - ∞.

La partie la plus importante de la règle de L'Hôpital consiste à différencier une fonction et à trouver sa dérivée.

La règle de l'Hôpital

Définition 1

Lorsque lim x → x 0 f (x) g (x) = 0 0 ou ∞ ∞ et que les fonctions f (x) , g (x) sont dérivables au sein du point x 0 , alors lim x → x 0 f (x) g (x) = lim x → x 0 f " (x) g " (x) .

Si l'incertitude est insoluble après application de la règle de L'Hôpital, il faut alors l'appliquer à nouveau. Pour un concept complet, regardons quelques exemples.

Exemple 1

Effectuez les calculs en utilisant la règle de L'Hôpital lim x → 0 sin 2 (3 x) x · cos (x) .

Solution

Pour résoudre en utilisant la règle de L'Hôpital, vous devez d'abord effectuer une substitution. On obtient que lim x → 0 sin 2 (3 x) x · cos (x) = sin 2 (3 · 0) 0 · cos (0) = 0 0 .

Vous pouvez maintenant procéder au calcul des limites à l'aide de la règle. Nous obtenons cela

lim x → 0 sin 2 (3 x) x cos (x) = 0 0 = lim x → 0 sin 2 (3 x) " x cos (x) " = lim x → 0 2 sin (3 x) ( sin ( 3 x)) " x " cos (x) + x (cos (x)) " = = lim x → 0 6 sin (3 x) cos (3 x) cos (x) - x sin ( x) = 6 sin (3 0) cos (3 0) cos (0) - 0 péché (0) = 0 1 = 0

Répondre: lim x → 0 sin 2 (3 x) x · cos (x) = 0 .

Exemple 2

Calculer la limite fonction donnée lim x → ∞ ln (x) x .

Solution

On met en scène à l'infini. Nous obtenons cela

lim x → ∞ ln (x) x = ln (∞) ∞ = ∞ ∞

L'incertitude qui en résulte indique que la règle de L'Hôpital doit être appliquée. Nous avons ça

lim x → ∞ ln (x) x = ∞ ∞ = lim x → ∞ ln (x) " x " = lim x → ∞ 1 x 1 = 1 ∞ = 0

Réponse : lim x → ∞ ln (x) x = 0

Exemple 3

Calculer la limite d'une fonction donnée lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x))

Solution

Nous substituons la valeur x. nous comprenons cela

lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = (0 + 0) 4 ln (0 + 0) = 0 (- ∞)

La solution aboutissait à une incertitude de la forme zéro fois moins l’infini. Cela indique qu'il est nécessaire de consulter le tableau d'incertitude et de prendre des décisions pour sélectionner une méthode pour trouver cette limite. Après la transformation, nous appliquons la règle de L'Hôpital. Nous obtenons cela

lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = 0 (- ∞) = lim x → 0 + 0 ln (x) x - 4 = ln (0 + 0) (0 + 0) - 4 = - ∞ + ∞

L’arrivée de l’incertitude suggère qu’il est nécessaire de réappliquer cette règle. Nous avons ça

lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = 0 (- ∞) = lim x → 0 + 0 ln (x) x - 4 = - ∞ + ∞ = = lim x → 0 + 0 (ln ( x)) " (x - 4) " = lim x → 0 + 0 1 x - 4 - 5 = - 1 4 lim x → 0 + 0 1 x - 4 = - 1 4 1 (0 + 0) - 4 = = - 1 4 · (0 + 0) 4 = 0

Répondre: lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = 0

Exemple 4

Calculer la limite de la fonction lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 .

Solution

Après substitution, on obtient

lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = ∞ - ∞

La présence d'incertitude indique que la règle de L'Hôpital devrait être utilisée. Nous obtenons cela

lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = ∞ - ∞ = lim x → 0 cos 2 (x) sin 2 (x) - 1 x 2 = = lim x → 0 x 2 cos 2 (x) - péché 2 (x) x 2 péché 2 (x) = lim x → 0 x cos x - péché x x cos x + péché x x 2 péché 2 (x) = = lim x → 0 x cos x - péché x x péché 2 (x ) x cos x + sin x x = lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) cos x + sin x x = = lim x → 0 cos x + sin x x lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) = 2 lim x → 0 x cos x - péché x x péché 2 (x) = = 2 0 cos (0) - péché (0) 0 péché 2 (0) = 0 0

Pour la dernière transition, la première limite remarquable a été utilisée. Après quoi on arrive à une solution selon L'Hôpital. Nous obtenons cela

2 lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) = 0 0 = 2 lim x → 0 (x cos x - sin x) " (x sin 2 (x)) " = = 2 lim x → 0 cos x - x sin x - cos x sin 2 (x) + 2 x sin x cos x = 2 lim x → 0 - x sin (x) + 2 x cos x = 0 0

Puisque l'incertitude n'a pas disparu, une autre application de la règle de L'Hôpital s'impose. On obtient la limite de la forme

2 lim x → 0 - x sin (x) + 2 x cos x = 0 0 = 2 lim x → 0 - x " sin (x) + 2 x cos x " = = 2 lim x → 0 1 cos x + 2 cos x - 2 x péché x = - 2 1 3 cos (0) - 2 0 péché (0) = - 2 3

Répondre: lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = - 2 3

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Une méthode pour résoudre les limites en utilisant la règle de L'Hôpital est présentée. Les formulations des théorèmes correspondants sont données. Des exemples de résolution de limites contenant des incertitudes ∞/∞, 0/0, 0 à la puissance 0 et ∞ - ∞ en utilisant la règle de L'Hopital sont analysés en détail.

Contenu

Voir également: Règles de calcul des dérivés

Méthode de résolution

L'une des méthodes les plus puissantes pour découvrir les incertitudes et calculer les limites des fonctions consiste à utiliser la règle de L'Hôpital. Il permet de révéler les incertitudes de la forme 0/0 ou ∞/∞ en un point final ou infini, que nous notons x 0 . La règle de L'Hôpital est que l'on trouve les dérivées du numérateur et du dénominateur d'une fraction. S'il y a une limite, .
Si après différenciation nous obtenons à nouveau une incertitude, alors le processus peut être répété, c'est-à-dire que la règle de L'Hôpital peut être appliquée à la limite. Et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’incertitude soit révélée.

Pour appliquer cette règle, il doit exister un tel voisinage perforé du point x 0 , sur lequel les fonctions au numérateur et au dénominateur sont différentiables et la fonction au dénominateur et sa dérivée ne disparaissent pas.

L'application de la règle de L'Hôpital comprend les étapes suivantes.
1) On réduit l'incertitude à la forme 0/0 ou ∞/∞. Pour ce faire, si nécessaire, nous effectuons des transformations et remplaçons la variable. En conséquence, nous obtenons une limite de la forme .
2) On s'assure qu'il existe un tel voisinage perforé du point x 0 , sur lequel les fonctions du numérateur et du dénominateur sont différentiables et le dénominateur et sa dérivée ne disparaissent pas.
3) Trouvez les dérivées du numérateur et du dénominateur.
4) S'il existe une limite finie ou infinie, alors le problème est résolu : .
5) Si la limite n'existe pas, cela ne signifie pas que la limite initiale n'existe pas. Cela signifie que ce problème ne peut être résolu par la règle de L'Hôpital. Vous devez utiliser une méthode différente (voir exemple ci-dessous).
6) Si une incertitude réapparaît sur la limite, alors la règle de L'Hôpital peut également lui être appliquée, à partir du point 2).

Comme indiqué ci-dessus, l'application de la règle de L'Hôpital peut aboutir à une fonction pour laquelle il n'y a pas de limite. Toutefois, cela ne signifie pas qu’il n’y a pas de limite initiale. Considérez l'exemple suivant.
.
Nous appliquons la règle de L'Hôpital. , .
Cependant, il n’y a aucune limite. Malgré cela, la fonction originale a une limite :
.

La règle de l'Hôpital. Énoncés de théorèmes

Nous présentons ici les formulations des théorèmes sur lesquels se base la divulgation des incertitudes selon la règle de L'Hopital.

Théorème de divulgation de l’incertitude 0/0
Soit les fonctions f et g avoir des dérivées dans un voisinage perforé (bilatéral ou unilatéral) d'un point fini ou infiniment distant (), et ne pas être égales à zéro dans ce voisinage. Laisse tomber
.
,
alors il y a une limite qui lui est égale
.

Théorème de divulgation de l'incertitude ∞/∞
Soit les fonctions f et g avoir des dérivées dans un voisinage perforé (bilatéral ou unilatéral) d'un point fini ou infiniment distant (), et ne pas être égales à zéro dans ce voisinage. Laisse tomber
.
Alors, s’il existe une limite finie ou infinie
,
alors il y a une limite qui lui est égale
.
Ici pour le quartier à double sens. Pour un quartier unilatéral, , ou .

Exemples

Exemple 1

Montrer que l'exposant est croissant plus vite que quiconque fonction de puissance, et le logarithme est plus lent. Autrement dit, pour montrer que
UN) ;
B),
Où .

Considérons la limite A). À . Il s’agit d’une incertitude sur les espèces. Pour le révéler, nous appliquons la règle de L'Hôpital. Laisser
.
Trouver des dérivés. . Alors
.
Si , alors l'incertitude disparaît, depuis quand . Selon la règle de L'Hôpital,
.

Si , alors nous appliquons n fois la règle de L'Hôpital, où - partie entière les chiffres B.
;

.
Parce qu'alors . Bien que nous soyons habitués à lire de gauche à droite, cette série d’égalités doit être lue de droite à gauche comme suit. Puisqu’il y a une limite, il y a une limite égale. Puisqu’il y a une limite, il y a une limite égale. Et ainsi de suite jusqu’à atteindre la limite.

Considérons maintenant la limite B) :
. Faisons un changement de variable. Alors ; à ; .

Exemple 2

Trouvez la limite en utilisant la règle de L'Hôpital :
.

C'est l'incertitude de la forme 0/0 . Nous le trouvons en utilisant la règle de L'Hôpital.

.

Ici, après la première application de la règle, nous sommes à nouveau confrontés à l'incertitude. La règle de L'Hôpital a donc été appliquée une seconde fois. Cette série d'égalités doit être lue de droite à gauche comme suit. Puisqu’il y a une limite, il y a une limite égale. Puisqu’il existe une limite, il existe une limite originelle qui lui est égale.

Exemple 3

Calculez la limite en utilisant la règle de L'Hôpital.
.

Retrouvons les valeurs du numérateur et du dénominateur à :
;

.
Le numérateur et le dénominateur sont égaux à zéro. Nous avons une incertitude de la forme 0/0 . Pour le révéler, nous appliquons la règle de L'Hôpital.

.

Exemple 4

Résolvez la limite en utilisant la règle de L'Hôpital.
.

Nous avons ici une incertitude de la forme (+0) +0 . Transformons-le sous la forme +∞/+∞. Pour ce faire, nous effectuons des transformations.
.

On trouve la limite dans l'exposant en utilisant la règle de L'Hôpital.
.

Puisque l'exposant est une fonction continue pour toutes les valeurs de l'argument, alors
.

Exemple 5

Trouvez la limite en utilisant la règle de L'Hôpital :
.

Nous avons ici une incertitude de la forme ∞ - ∞. Réduire des fractions à dénominateur commun, réduisons-le à l'incertitude de la forme 0/0 :
.

Nous appliquons la règle de L'Hôpital.
;
;
.

Ici encore, nous avons une incertitude sur la forme 0/0 . Appliquons à nouveau la règle de L'Hôpital.
;

;
.

Finalement nous avons :

.
Comme pour toutes les limites calculées selon la règle de L'Hôpital, il faut lire depuis la fin. Puisqu’il y a une limite, il y a une limite égale. Puisqu’il existe une limite, il existe une limite originelle qui lui est égale.

Note. Vous pouvez simplifier les calculs si vous utilisez le théorème de remplacement des fonctions par des fonctions équivalentes dans la limite du quotient. Selon ce théorème, si une fonction est une fraction ou un produit de facteurs, alors les facteurs peuvent être remplacés par des fonctions équivalentes. Depuis à , alors

.

Les références:
L.D. Kudryavtsev, A.D. Koutassov, V.I. Tchekhlov, M.I. Shabounine. Collection de problèmes sur l'analyse mathématique. Tome 1. Moscou, 2003.

Voir également: