Eine Gleichung mit einer Unbekannten, die nach Öffnen der Klammern und Einbringen ähnlicher Terme die Form annimmt

Axt + B = 0, wobei a und b beliebige Zahlen sind, heißt Lineargleichung mit einem Unbekannten. Heute werden wir herausfinden, wie man diese linearen Gleichungen löst.

Zum Beispiel alle Gleichungen:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) – linear.

Der Wert der Unbekannten, der die Gleichung in eine echte Gleichheit umwandelt, wird aufgerufen Entscheidung oder Wurzel der Gleichung .

Wenn wir beispielsweise in der Gleichung 3x + 7 = 13 anstelle der Unbekannten x die Zahl 2 einsetzen, erhalten wir die korrekte Gleichheit 3 ​​2 +7 = 13. Das bedeutet, dass der Wert x = 2 die Lösung oder Wurzel ist der Gleichung.

Und der Wert x = 3 verwandelt die Gleichung 3x + 7 = 13 nicht in eine echte Gleichheit, da 3 2 +7 ≠ 13. Das bedeutet, dass der Wert x = 3 keine Lösung oder Wurzel der Gleichung ist.

Lösung von irgendjemandem lineare Gleichungen reduziert sich auf das Lösen von Gleichungen der Form

Axt + B = 0.

Verschieben wir den freien Term von der linken Seite der Gleichung nach rechts und ändern das Vorzeichen vor b in das Gegenteil, so erhalten wir

Wenn a ≠ 0, dann x = ‒ b/a .

Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung 3x + 2 =11.

Verschieben wir 2 von der linken Seite der Gleichung nach rechts und ändern das Vorzeichen vor 2 in das Gegenteil, so erhalten wir
3x = 11 – 2.

Dann führen wir die Subtraktion durch
3x = 9.

Um x zu finden, müssen Sie das Produkt durch einen bekannten Faktor dividieren
x = 9:3.

Das bedeutet, dass der Wert x = 3 die Lösung oder Wurzel der Gleichung ist.

Antwort: x = 3.

Wenn a = 0 und b = 0, dann erhalten wir die Gleichung 0x = 0. Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen, denn wenn wir eine beliebige Zahl mit 0 multiplizieren, erhalten wir 0, aber b ist auch gleich 0. Die Lösung dieser Gleichung ist eine beliebige Zahl.

Beispiel 2. Lösen Sie die Gleichung 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Erweitern wir die Klammern:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Hier sind einige ähnliche Begriffe:
0x = 0.

Antwort: x – eine beliebige Zahl.

Wenn a = 0 und b ≠ 0, dann erhalten wir die Gleichung 0x = - b. Diese Gleichung hat keine Lösungen, denn wenn wir eine beliebige Zahl mit 0 multiplizieren, erhalten wir 0, aber b ≠ 0.

Beispiel 3. Lösen Sie die Gleichung x + 8 = x + 5.

Lassen Sie uns Begriffe mit Unbekannten auf der linken Seite und freie Begriffe auf der rechten Seite gruppieren:
x – x = 5 – 8.

Hier sind einige ähnliche Begriffe:
0х = ‒ 3.

Antwort: keine Lösungen.

An Abbildung 1 zeigt ein Diagramm zur Lösung einer linearen Gleichung

Lassen Sie uns ein allgemeines Schema zum Lösen von Gleichungen mit einer Variablen erstellen. Betrachten wir die Lösung zu Beispiel 4.

Beispiel 4. Angenommen, wir müssen die Gleichung lösen

1) Multiplizieren Sie alle Terme der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner, gleich 12.

2) Nach Reduktion erhalten wir
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Um Begriffe, die unbekannte und freie Begriffe enthalten, zu trennen, öffnen Sie die Klammern:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Gruppieren wir in einem Teil die Begriffe, die Unbekannte enthalten, und im anderen Teil die freien Begriffe:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Lassen Sie uns ähnliche Begriffe vorstellen:
- 22x = - 154.

6) Teilen durch – 22, wir erhalten
x = 7.

Wie Sie sehen können, ist die Wurzel der Gleichung sieben.

Im Allgemeinen so Gleichungen können mit dem folgenden Schema gelöst werden:

a) Bringen Sie die Gleichung in ihre ganzzahlige Form;

b) Öffnen Sie die Klammern;

c) gruppieren Sie die Terme, die das Unbekannte enthalten, in einem Teil der Gleichung und die freien Terme im anderen;

d) ähnliche Mitglieder mitbringen;

e) Lösen Sie eine Gleichung der Form aх = b, die nach Einführung ähnlicher Terme erhalten wurde.

Allerdings ist dieses Schema nicht für jede Gleichung notwendig. Beim Lösen vieler weiterer einfache Gleichungen Sie müssen nicht beim ersten, sondern beim zweiten beginnen ( Beispiel. 2), dritte ( Beispiel. 13) und sogar ab der fünften Stufe, wie in Beispiel 5.

Beispiel 5. Lösen Sie die Gleichung 2x = 1/4.

Finden Sie das Unbekannte x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Schauen wir uns die Lösung einiger linearer Gleichungen an, die im Hauptstaatsexamen gefunden wurden.

Beispiel 6. Lösen Sie die Gleichung 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Antwort: - 0,125

Beispiel 7. Lösen Sie die Gleichung – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Antwort: 2.3

Beispiel 8. Löse die Gleichung

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Beispiel 9. Finden Sie f(6), wenn f (x + 2) = 3 7er

Lösung

Da wir f(6) finden müssen und f (x + 2) kennen,
dann ist x + 2 = 6.

Wir lösen die lineare Gleichung x + 2 = 6,
wir erhalten x = 6 – 2, x = 4.

Wenn x = 4 dann
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Antwort: 27.

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Lassen Sie uns zwei Arten von Lösungen für Gleichungssysteme analysieren:

1. Lösen des Systems mit der Substitutionsmethode.
2. Lösen des Systems durch termweise Addition (Subtraktion) der Systemgleichungen.

Um das Gleichungssystem zu lösen durch Substitutionsmethode Sie müssen einem einfachen Algorithmus folgen:
1. Express. Aus jeder Gleichung drücken wir eine Variable aus.
2. Ersatz. Wir setzen den resultierenden Wert anstelle der ausgedrückten Variablen in eine andere Gleichung ein.
3. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit einer Variablen. Wir finden eine Lösung für das System.

Lösen System durch Term-für-Term-Additions- (Subtraktions-)Methode müssen:
1. Wählen Sie eine Variable aus, für die wir identische Koeffizienten erstellen.
2. Wir addieren oder subtrahieren Gleichungen, was zu einer Gleichung mit einer Variablen führt.
3. Lösen Sie die resultierende lineare Gleichung. Wir finden eine Lösung für das System.

Die Lösung des Systems sind die Schnittpunkte der Funktionsgraphen.

Betrachten wir die Lösung von Systemen anhand von Beispielen im Detail.

Beispiel 1:

Lassen Sie uns mit der Substitutionsmethode lösen

Lösen eines Gleichungssystems mit der Substitutionsmethode

2x+5y=1 (1 Gleichung)
x-10y=3 (2. Gleichung)

1. Express
Es ist ersichtlich, dass es in der zweiten Gleichung eine Variable x mit einem Koeffizienten von 1 gibt, was bedeutet, dass es am einfachsten ist, die Variable x aus der zweiten Gleichung auszudrücken.
x=3+10y

2. Nachdem wir es ausgedrückt haben, ersetzen wir 3+10y in der ersten Gleichung anstelle der Variablen x.
2(3+10y)+5y=1

3. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit einer Variablen.
2(3+10y)+5y=1 (öffnen Sie die Klammern)
6+20J+5J=1
25 Jahre = 1–6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Die Lösung des Gleichungssystems sind die Schnittpunkte der Graphen, daher müssen wir x und y finden, weil der Schnittpunkt aus x und y besteht. Suchen wir x, in dem ersten Punkt, an dem wir es ausgedrückt haben, ersetzen wir y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Es ist üblich, Punkte zu schreiben, an erster Stelle schreiben wir die Variable x und an zweiter Stelle die Variable y.
Antwort: (1; -0,2)

Beispiel #2:

Lassen Sie uns das Problem mit der Methode der Term-für-Term-Addition (Subtraktion) lösen.

Lösen eines Gleichungssystems mit der Additionsmethode

3x-2y=1 (1 Gleichung)
2x-3y=-10 (2. Gleichung)

1. Wir wählen eine Variable, sagen wir, wir wählen x. In der ersten Gleichung hat die Variable x einen Koeffizienten von 3, in der zweiten - 2. Wir müssen die Koeffizienten gleich machen, dafür haben wir das Recht, die Gleichungen zu multiplizieren oder durch eine beliebige Zahl zu dividieren. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und die zweite mit 3 und erhalten einen Gesamtkoeffizienten von 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Subtrahieren Sie die zweite von der ersten Gleichung, um die Variable x zu entfernen. Lösen Sie die lineare Gleichung.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Finden Sie x. Wir setzen das gefundene y in eine der Gleichungen ein, sagen wir in die erste Gleichung.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Der Schnittpunkt ist x=4,6; y=6,4
Antwort: (4.6; 6.4)

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Was sind irrationale Gleichungen und wie löst man sie?

Gleichungen, in denen die Variable im Wurzelzeichen oder im Zeichen der Potenzierung in eine gebrochene Potenz enthalten ist, werden aufgerufen irrational. Wenn wir uns mit gebrochenen Potenzen befassen, verzichten wir auf viele mathematische Operationen zur Lösung der Gleichung, sodass irrationale Gleichungen auf besondere Weise gelöst werden.

Irrationale Gleichungen werden normalerweise gelöst, indem beide Seiten der Gleichung mit der gleichen Potenz potenziert werden. Darüber hinaus ist es nicht sinnvoll, beide Seiten der Gleichung gleichzusetzen sogar Grad ist eine äquivalente Transformation einer Gleichung und in eine gerade ist eine ungleiche Transformation. Dieser Unterschied ergibt sich aus solchen Merkmalen der Potenzierung, beispielsweise wenn sie zu einer geraden Potenz erhöht wird negative Werte"Hau ab."

Der Sinn der Potenzierung beider Seiten einer irrationalen Gleichung ist der Wunsch, die „Irrationalität“ loszuwerden. Daher müssen wir beide Seiten der irrationalen Gleichung so weit anheben, dass alle Teilkräfte Beide Seiten der Gleichung wurden zu einem Ganzen. Dann können Sie nach einer Lösung suchen gegebene Gleichung, die mit den Lösungen der irrationalen Gleichung zusammenfällt, mit dem Unterschied, dass bei einer Potenzierung das Vorzeichen verloren geht und die endgültigen Lösungen überprüft werden müssen und nicht alle geeignet sind.

Somit besteht die Hauptschwierigkeit darin, beide Seiten der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz zu erhöhen – aufgrund der Ungleichheit der Transformation können Fremdwurzeln auftreten. Daher ist es notwendig, alle gefundenen Wurzeln zu überprüfen. Wer eine irrationale Gleichung löst, vergisst meistens, die gefundenen Wurzeln zu überprüfen. Es ist auch nicht immer klar, inwieweit eine irrationale Gleichung angehoben werden muss, um die Irrationalität loszuwerden und zu lösen. Unser intelligenter Rechner wurde speziell dafür entwickelt, irrationale Gleichungen zu lösen und automatisch alle Wurzeln zu überprüfen, was Sie vor dem Vergessen bewahrt.

Kostenloser Online-Rechner für irrationale Gleichungen

Mit unserem kostenlosen Löser können Sie eine irrationale Gleichung beliebiger Komplexität in Sekundenschnelle online lösen. Sie müssen lediglich Ihre Daten in den Rechner eingeben. Wie Sie die Gleichung lösen können, erfahren Sie auch auf unserer Website. Und wenn Sie noch Fragen haben, können Sie diese in unserer VKontakte-Gruppe stellen.

Anweisungen

Notiz:π wird als pi geschrieben; Quadratwurzel als sqrt().

Schritt 1. Geben Sie ein gegebenes Beispiel ein, das aus Brüchen besteht.

Schritt 2. Klicken Sie auf die Schaltfläche „Lösen“.

Schritt 3. Erhalten Sie detaillierte Ergebnisse.

Um sicherzustellen, dass der Rechner Brüche korrekt berechnet, geben Sie den Bruch durch das Zeichen „/“ getrennt ein. Zum Beispiel: . Der Rechner berechnet die Gleichung und zeigt sogar in der Grafik an, warum dieses Ergebnis erzielt wurde.

Was ist eine Gleichung mit Brüchen?

Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, in der sich die Koeffizienten befinden Bruchzahlen. Lineare Gleichungen mit Brüchen werden nach dem Standardschema gelöst: Die Unbekannten werden auf die eine Seite übertragen, die Bekannten auf die andere.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Brüche mit Unbekannten werden nach links übertragen, andere Brüche werden nach rechts übertragen. Bei der Übertragung von Zahlen über das Gleichheitszeichen hinaus ändert sich das Vorzeichen der Zahlen ins Gegenteil:

Jetzt müssen Sie nur noch die Aktionen beider Seiten der Gleichheit ausführen:

Das Ergebnis ist eine gewöhnliche lineare Gleichung. Jetzt müssen Sie die linke und rechte Seite durch den Koeffizienten der Variablen dividieren.

Lösen Sie Gleichungen online mit Brüchen aktualisiert: 7. Oktober 2018 von: Wissenschaftliche Artikel.Ru

In der Phase der Vorbereitung auf den Abschlusstest müssen Gymnasiasten ihre Kenntnisse zum Thema „Exponentialgleichungen“ verbessern. Die Erfahrung der vergangenen Jahre zeigt, dass solche Aufgaben für Schüler gewisse Schwierigkeiten bereiten. Daher müssen Gymnasiasten unabhängig von ihrem Vorbereitungsstand die Theorie gründlich beherrschen, sich die Formeln merken und das Prinzip der Lösung solcher Gleichungen verstehen. Nachdem die Absolventen gelernt haben, mit solchen Problemen umzugehen, können sie beim Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik mit guten Ergebnissen rechnen.

Machen Sie sich bereit für die Prüfungsprüfung mit Shkolkovo!

Bei der Durchsicht der behandelten Materialien stehen viele Studierende vor dem Problem, die Formeln zu finden, die zum Lösen von Gleichungen erforderlich sind. Das Schulbuch ist nicht immer zur Hand und Auswahl notwendige Informationen Die Auseinandersetzung mit dem Thema im Internet dauert lange.

Das Bildungsportal Shkolkovo lädt Studierende ein, unsere Wissensdatenbank zu nutzen. Wir implementieren eine völlig neue Methode zur Vorbereitung auf den Abschlusstest. Durch das Studium auf unserer Website können Sie Wissenslücken erkennen und sich auf die Aufgaben konzentrieren, die die größten Schwierigkeiten bereiten.

Die Lehrer von Shkolkovo sammelten, systematisierten und präsentierten alles Notwendige dafür Erfolgreiche Fertigstellung Material zum Einheitlichen Staatsexamen in der einfachsten und zugänglichsten Form.

Grundlegende Definitionen und Formeln werden im Abschnitt „Theoretischer Hintergrund“ vorgestellt.

Um den Stoff besser zu verstehen, empfehlen wir Ihnen, die Bearbeitung der Aufgaben zu üben. Sehen Sie sich die Beispiele auf dieser Seite sorgfältig an. Exponentialgleichungen mit der Lösung, um den Berechnungsalgorithmus zu verstehen. Fahren Sie anschließend mit der Ausführung der Aufgaben im Abschnitt „Verzeichnisse“ fort. Sie können mit den einfachsten Aufgaben beginnen oder direkt mit der Lösung komplexer Exponentialgleichungen mit mehreren Unbekannten fortfahren oder . Die Übungsdatenbank auf unserer Website wird ständig ergänzt und aktualisiert.

Beispiele mit Indikatoren, die Ihnen Schwierigkeiten bereitet haben, können Sie zu Ihren „Favoriten“ hinzufügen. Auf diese Weise können Sie sie schnell finden und die Lösung mit Ihrem Lehrer besprechen.

Um das Einheitliche Staatsexamen erfolgreich zu bestehen, lernen Sie jeden Tag auf dem Shkolkovo-Portal!