Lernziele:

Studierende sollten wissen:

• Bestimmung der Wahrscheinlichkeit Zufälliges Ereignis;
• in der Lage sein, Probleme zu lösen, um die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses zu ermitteln;
• bewerben können Theoretisches Wissen zur Praxis.

Lernziele:

Lehrreich: Bedingungen schaffen, unter denen Schüler ein System von Wissen, Fertigkeiten und Fertigkeiten mit den Konzepten der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses beherrschen können.

Lehrreich: bei Schülern eine wissenschaftliche Weltanschauung zu entwickeln

Entwicklung: Entwicklung des kognitiven Interesses, der Kreativität, des Willens, des Gedächtnisses, der Sprache, der Aufmerksamkeit, der Vorstellungskraft und der Wahrnehmung der Schüler.

Methoden zur Organisation pädagogischer und kognitiver Aktivitäten:

• visuell,
• praktisch,
• durch geistige Aktivität: induktiv,
• je nach Materialassimilation: teilweise suchend, reproduktiv,
• nach Grad der Unabhängigkeit: selbständiges Arbeiten,
• anregend: Ermutigung,-
• Arten der Kontrolle: Überprüfung unabhängig gelöster Probleme.

Unterrichtsplan

1. Mündliche Übungen
2. Neues Material lernen
3. Aufgaben lösen.
4. Selbstständige Arbeit.
5. Zusammenfassung der Lektion.
6. Hausaufgaben kommentieren.

Ausrüstung: Multimedia-Projektor (Präsentation), Karten ( selbstständige Arbeit)

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer Moment.

Organisation des Unterrichts während des Unterrichts, Unterrichtsbereitschaft der Schüler, Ordnung und Disziplin.

Festlegung von Lernzielen für die Schüler, sowohl für die gesamte Unterrichtsstunde als auch für die einzelnen Phasen.

Bestimmen Sie die Bedeutung des zu studierenden Materials sowohl in diesem Thema als auch im gesamten Kurs.

II. Wiederholung

1. Was ist Wahrscheinlichkeit?

Wahrscheinlichkeit ist die Möglichkeit, dass etwas passiert oder machbar ist.

2. Welche Definition gibt der Begründer der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie A.N. Kolmogorov?

Die mathematische Wahrscheinlichkeit ist ein numerisches Merkmal des Wahrscheinlichkeitsgrads des Eintretens eines bestimmten Ereignisses unter bestimmten bestimmten Bedingungen, das unbegrenzt oft wiederholt werden kann.

3. Wie lautet die klassische Definition von Wahrscheinlichkeit durch die Autoren von Schulbüchern?

Die Wahrscheinlichkeit P(A) des Ereignisses A in einem Versuch mit gleich möglichen elementaren Ergebnissen ist das Verhältnis der Anzahl der Ergebnisse m, die für Ereignis A günstig sind, zur Anzahl n aller Ergebnisse des Versuchs.

Fazit: In der Mathematik wird die Wahrscheinlichkeit anhand der Zahl gemessen.

Heute werden wir uns weiterhin mit dem mathematischen Modell „Würfel“ befassen.

Gegenstand der Forschung sind Ereignisse, die unter bestimmten Bedingungen auftreten und unbegrenzt oft reproduziert werden können. Jedes Auftreten dieser Bedingungen wird als Test bezeichnet.

Test - Werfen Würfel.

Ereignis – eine Sechs würfeln oder eine gerade Anzahl von Punkten würfeln.

Bei mehrmaligem Würfeln hat jede Seite die gleiche Wahrscheinlichkeit, dass sie erscheint (der Würfel ist fair).

III. Mündliche Problemlösung.

1. Die Würfel (Würfel) wurden einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 4 gewürfelt wird?

Lösung. Ein Zufallsexperiment ist das Werfen eines Würfels. Ereignis – eine Zahl auf der fallengelassenen Seite. Es gibt nur sechs Gesichter. Lassen Sie uns alle Ereignisse auflisten: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Also P= 6. Ereignis A = (4 gewürfelte Punkte) wird durch ein Ereignis begünstigt: 4. Daher T= 1. Ereignisse sind gleichermaßen möglich, da davon ausgegangen wird, dass der Würfel fair ist. Daher ist P(A) = t/n= 1/6 = 0,17.

2. Die Würfel (Würfel) wurden einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als 4 Punkte gewürfelt werden?

P= 6. Ereignis A = (nicht mehr als 4 gewürfelte Punkte) wird von 4 Ereignissen begünstigt: 1, 2, 3, 4. Daher T= 4. Daher P(A) = t/n= 4/6 = 0,67.

3. Die Würfel (Würfel) wurden einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, weniger als 4 Punkte zu würfeln?

Lösung. Ein Zufallsexperiment ist das Werfen eines Würfels. Ereignis – eine Zahl auf der fallengelassenen Seite. Bedeutet P= 6. Ereignis A = (weniger als 4 gewürfelte Punkte) wird von 3 Ereignissen begünstigt: 1, 2, 3. Daher T= 3. P(A) = t/n= 3/6 = 0,5.

4. Die Würfel (Würfel) wurden einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine ungerade Anzahl an Punkten gewürfelt wird?

Lösung. Ein Zufallsexperiment ist das Werfen eines Würfels. Ereignis – eine Zahl auf der fallengelassenen Seite. Bedeutet P= 6. Ereignis A = (eine ungerade Anzahl an Punkten wird gewürfelt) wird von 3 Ereignissen begünstigt: 1,3,5. Deshalb T= 3. P(A) = t/n= 3/6 = 0,5.

IV. Neue Dinge lernen

Heute betrachten wir Probleme, wenn in einem Zufallsexperiment zwei Würfel verwendet oder zwei oder drei Würfe ausgeführt werden.

1. Bei einem Zufallsexperiment werden zwei Würfel geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der gezogenen Punkte 6 beträgt. Runden Sie das Ergebnis auf das nächste Hundertstel .

Lösung. Das Ergebnis dieses Experiments ist ein geordnetes Zahlenpaar. Die erste Zahl erscheint auf dem ersten Würfel, die zweite auf dem zweiten. Es ist praktisch, eine Reihe von Ergebnissen in einer Tabelle darzustellen.

Die Reihen entsprechen der Punktzahl des ersten Würfels, die Spalten - dem zweiten Würfel. Insgesamt elementare Ereignisse P= 36.

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Schreiben wir die Summe der gewürfelten Punkte in jede Zelle und färben wir die Zellen ein, in denen die Summe 6 beträgt.

Es gibt 5 solcher Zellen. Das bedeutet, dass das Ereignis A = (die Summe der gezogenen Punkte beträgt 6) durch 5 Ausgänge begünstigt wird. Somit, T= 5. Daher ist P(A) = 5/36 = 0,14.

2. Bei einem Zufallsexperiment werden zwei Würfel geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtpunktzahl 3 Punkte beträgt. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel .

P= 36.

Ereignis A = (Summe gleich 3) wird durch 2 Ergebnisse begünstigt. Somit, T= 2.

Daher ist P(A) = 2/36 = 0,06.

3. Bei einem Zufallsexperiment werden zwei Würfel geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtpunktzahl mehr als 10 Punkte beträgt. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel .

Lösung. Das Ergebnis dieses Experiments ist ein geordnetes Zahlenpaar. Gesamtzahl der Ereignisse P= 36.

Ereignis A = (insgesamt werden mehr als 10 Punkte gewürfelt) wird durch 3 Ausgänge begünstigt.

Somit, T

4. Lyuba wirft zweimal Würfel. Insgesamt erzielte sie 9 Punkte. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Würfe 5 Punkte ergibt .

Lösung Das Ergebnis dieses Experiments ist ein geordnetes Zahlenpaar. Die erste Zahl erscheint beim ersten Wurf, die zweite beim zweiten. Es ist praktisch, eine Reihe von Ergebnissen in einer Tabelle darzustellen.

Die Zeilen entsprechen dem Ergebnis des ersten Wurfs, die Spalten dem Ergebnis des zweiten Wurfs.

Gesamtzahl der Ereignisse, bei denen die Gesamtpunktzahl 9 beträgt P= 4. Ereignis A = (einer der Würfe ergab 5 Punkte) wird durch 2 Ergebnisse begünstigt. Somit, T= 2.

Daher ist P(A) = 2/4 = 0,5.

5. Sveta würfelt zweimal. Insgesamt erzielte sie 6 Punkte. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Würfe 1 Punkt ergibt.

Erster Wurf		Zweiter Wurf		Summe der Punkte

Es gibt 5 gleichermaßen mögliche Ergebnisse.

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses beträgt p = 2/5 = 0,4.

6. Olya würfelt zweimal. Sie bekam insgesamt 5 Punkte. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim ersten Wurf 3 Punkte erhalten.

Erster Wurf		Zweiter Wurf		Summe der Punkte
	+		=
	+		=
	+		=
	+		=

Es gibt 4 gleichermaßen mögliche Ergebnisse.

Günstige Ergebnisse – 1.

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses R= 1/4 = 0,25.

7. Natasha und Vitya spielen Würfel. Sie würfeln einmal.

Derjenige, der mehr Punkte wirft, gewinnt. Bei Punktegleichheit herrscht Unentschieden. Insgesamt gibt es 8 Punkte. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Natasha gewonnen hat.

				Summe der Punkte
	+		=
	+		=
	+		=
	+		=
	+		=

Es gibt 5 gleichermaßen mögliche Ergebnisse.

Günstige Ergebnisse – 2.

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses R= 2/5 = 0,4.

8. Tanya und Natasha spielen Würfel. Sie würfeln einmal. Derjenige, der mehr Punkte wirft, gewinnt. Bei Punktegleichheit herrscht Unentschieden. Insgesamt wurden 6 Punkte gewürfelt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Tanya verloren hat.

Tanja		Natascha		Summe der Punkte
	+		=
	+		=
	+		=
	+		=
	+		=

Es gibt 5 gleichermaßen mögliche Ergebnisse.

Günstige Ergebnisse – 2.

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses R= 2/5 = 0,4.

9. Kolya und Lena spielen Würfel. Sie würfeln einmal. Derjenige, der mehr Punkte wirft, gewinnt. Bei Punktegleichheit herrscht Unentschieden. Kolya warf als Erster und bekam 3 Punkte. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Lena nicht gewinnt.

Kolya bekam 3 Punkte.

Lena hat 6 gleich mögliche Ergebnisse.

Es gibt 3 günstige Ergebnisse für eine Niederlage (bei 1 und bei 2 und bei 3).

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses R= 3/6 = 0,5.

10. Mascha würfelt dreimal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, alle drei Male gerade Zahlen zu erhalten?

Mascha hat 6 6 6 = 216 gleich mögliche Ergebnisse.

Es gibt 3 · 3 · 3 = 27 günstige Ergebnisse für eine Niederlage.

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses R= 27/216 = 1/8 = 0,125.

11. Bei einem Zufallsexperiment werden drei Würfel geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtpunktzahl 16 Punkte beträgt. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel.

Lösung.

		Zweite		Dritte		Summe der Punkte
	+		+		=
	+		+		=
	+		+		=
	+		+		=
	+		+		=
	+		+		=

Ebenso mögliche Ergebnisse – 6 6 6 = 216.

Günstige Ergebnisse – 6.

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses R= 6/216 = 1/36 = 0,277... = 0,28. Somit, T= 3. Daher ist P (A) = 3/36 = 0,08.

V. Selbständiges Arbeiten.

Variante 1.

1. Die Würfel (Würfel) werden einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mindestens 4 Punkte gewürfelt haben? (Antwort:0,5)
2. Bei einem Zufallsexperiment werden zwei Würfel geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtpunktzahl 5 Punkte beträgt. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel. (Antwort: 0,11)
3. Anya würfelt zweimal. Sie bekam insgesamt 3 Punkte. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim ersten Wurf 1 Punkt erhalten. (Antwort:0,5)
4. Katya und Ira spielen Würfel. Sie würfeln einmal. Derjenige, der mehr Punkte wirft, gewinnt. Bei Punktegleichheit herrscht Unentschieden. Die Gesamtpunktzahl beträgt 9 Punkte. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Ira verloren hat. (Antwort:0,5)
5. Bei einem Zufallsexperiment werden drei Würfel geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtpunktzahl 15 Punkte beträgt. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel. (Antwort: 0,05)

Option 2.

1. Die Würfel (Würfel) werden einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als 3 Punkte gewürfelt werden? (Antwort:0,5)
2. Bei einem Zufallsexperiment werden zwei Würfel geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtpunktzahl 10 Punkte beträgt. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel. (Antwort: 0,08)
3. Zhenya würfelt zweimal. Sie bekam insgesamt 5 Punkte. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim ersten Wurf 2 Punkte erhalten. (Antwort: 0,25)
4. Mascha und Dascha spielen Würfel. Sie würfeln einmal. Derjenige, der mehr Punkte wirft, gewinnt. Bei Punktegleichheit herrscht Unentschieden. Insgesamt gab es 11 Punkte. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Mascha gewonnen hat. (Antwort:0,5)
5. Bei einem Zufallsexperiment werden drei Würfel geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtpunktzahl 17 Punkte beträgt. Runden Sie das Ergebnis ab

VI. Hausafgaben

1. Bei einem Zufallsexperiment werden drei Würfel geworfen. Insgesamt gibt es 12 Punkte. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim ersten Wurf 5 Punkte erhalten. Runden Sie das Ergebnis auf das nächste Hundertstel.
2. Katya würfelt dreimal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Male die gleichen Zahlen auftauchen?

VII. Zusammenfassung der Lektion

Was müssen Sie wissen, um die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses zu ermitteln?

Um die klassische Wahrscheinlichkeit zu berechnen, müssen Sie alle möglichen Ausgänge eines Ereignisses und günstige Ausgänge kennen.

Die klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition ist nur auf Ereignisse mit gleich wahrscheinlichem Ausgang anwendbar, was ihren Anwendungsbereich einschränkt.

Warum studieren wir Wahrscheinlichkeitstheorie in der Schule?

Viele Phänomene in der Welt um uns herum können nur mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie beschrieben werden.

Literatur

1. Algebra und die Anfänge der mathematischen Analyse. Klassen 10-11: Lehrbuch. für Bildungseinrichtungen: ein Grundniveau von/ [Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva und andere]. – 16. Auflage, überarbeitet. – M.: Bildung, 2010. – 464 S.
2. Semenov A.L. Einheitliches Staatsexamen: 3000 Aufgaben mit Antworten in Mathematik. Alle Aufgaben der Gruppe B / – 3. Aufl., überarbeitet. und zusätzlich – M.: Verlag „Exam“, 2012. – 543 S.
3. Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. Einheitliches Staatsexamen 2012. Mathematik. Aufgabe B10. Wahrscheinlichkeitstheorie. Arbeitsheft/Hrsg. A. L. Semenov und I. V. Yashchenko. – M.: MCSHMO, 2012. – 48 S.

Erklären Sie das Prinzip der Lösung des Problems. Es wurde einmal gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, weniger als 4 Punkte zu würfeln? und bekam die beste Antwort

Antwort von Divergent[Guru]
50 Prozent
Das Prinzip ist denkbar einfach. Gesamtergebnisse 6: 1,2,3,4,5,6
Davon erfüllen drei die Bedingung: 1,2,3 und drei nicht: 4,5,6. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit 3/6=1/2=0,5=50 %

Antwort von Ich bin Superman[Guru]
Insgesamt kann es sechs Optionen geben (1,2,3,4,5,6)
Und von diesen Optionen 1, 2 und 3 sind es weniger als vier
Also 3 von 6 Antworten
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, teilen wir die günstige Verteilung durch alles, also 3 durch 6 = 0,5 oder 50 %

Antwort von Oriy Dovbysh[aktiv]
50%
100 % durch die Anzahl der Würfelzahlen dividieren,
und multiplizieren Sie dann den erhaltenen Prozentsatz mit dem Betrag, den Sie ermitteln müssen, also mit 3)

Antwort von Ivan Panin[Guru]
Ich weiß es nicht genau, ich bereite mich auf das GIA vor, aber der Lehrer hat mir heute etwas erzählt, nur über die Wahrscheinlichkeit von Autos, da ich verstanden habe, dass das Verhältnis als Bruch dargestellt wird, oben ist die Zahl günstig , und ganz unten, meiner Meinung nach, ist es im Allgemeinen allgemein, nun ja, wir hatten es über Autos: Bei einem Taxiunternehmen in dieser Moment Gratis 3 schwarze, 3 gelbe und 14 grüne Autos. Eines der Autos fuhr zum Kunden. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein gelbes Taxi zu ihm kommt. Es gibt also 3 gelbe Taxis und von der Gesamtzahl der Autos sind es 3, es stellt sich heraus, dass wir 3 oben auf den Bruch schreiben, da dies eine günstige Anzahl von Autos ist, und unten schreiben wir 20 , da es insgesamt 20 Autos in der Taxiflotte gibt, ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit 3 ​​zu 20 oder 3/20 als Bruchteil, also so habe ich es verstanden.... Ich weiß nicht genau, wie ich damit umgehen soll Knochen, aber vielleicht hat es irgendwie geholfen ...

Antwort von 3 Antworten[Guru]

Hallo! Hier finden Sie eine Auswahl an Themen mit Antworten auf Ihre Frage: Erläutern Sie das Prinzip der Problemlösung. Es wurde einmal gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, weniger als 4 Punkte zu würfeln?

Aufgabe 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)

Olya, Denis, Vitya, Arthur und Rita schütteten aus, wer das Spiel starten sollte. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Rita das Spiel starten sollte.

Lösung

Insgesamt können 5 Personen das Spiel starten.

Antwort: 0,2.

Aufgabe 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)

Mischa hatte vier Süßigkeiten in der Tasche – „Grillage“, „Mask“, „Eichhörnchen“ und „Rotkäppchen“ sowie die Schlüssel zur Wohnung. Beim Herausnehmen der Schlüssel ließ Misha versehentlich ein Bonbon fallen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Maskenbonbon verloren geht.

Lösung

Insgesamt gibt es 4 Optionen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Misha das Mask-Bonbon fallen gelassen hat, ist gleich

Antwort: 0,25.

Aufgabe 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)

Die Würfel (Würfel) werden einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gewürfelte Zahl nicht kleiner als 3 ist?

Lösung

Gesamt Verschiedene Optionen gewürfelte Punkte - 6.

Die Anzahl der Punkte, nicht weniger als 3, kann betragen: 3,4,5,6 – also 4 Optionen.

Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit P = 4/6 = 2/3 beträgt.

Antwort: 2/3.

Aufgabe 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)

Die Großmutter beschloss, ihrem Enkel Iljuscha zufällig ausgewählte Früchte für die Reise zu schenken. Sie hatte 3 grüne Äpfel, 3 grüne Birnen und 2 gelbe Bananen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Ilya von seiner Großmutter eine grüne Frucht erhält.

Lösung

3+3+2 = 8 - Gesamtfrüchte. Davon sind 6 grün (3 Äpfel und 3 Birnen).

Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ilya von seiner Großmutter eine grüne Frucht bekommt, gleich

P = 6/8 = 3/4 = 0,75.

Antwort: 0,75.

Aufgabe 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)

Es wird zweimal gewürfelt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Male eine Zahl größer als 3 gewürfelt wird.

Lösung

6*6 = 36 – Gesamtzahl der möglichen Zahlen beim Würfeln mit zwei Würfeln.

Die Optionen, die zu uns passen, sind:

Insgesamt gibt es 9 solcher Optionen.

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass beide Male eine Zahl größer als 3 gewürfelt wird, gleich ist

P = 9/36 = 1/4 = 0,25.

Antwort: 0,25.

Aufgabe 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)

Die Würfel (Würfel) werden 2 Mal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass einmal eine Zahl größer als 3 und ein anderes Mal eine Zahl kleiner als 3 gewürfelt wird.

Lösung

Gesamtoptionen: 6*6 = 36.

Folgende Ergebnisse passen zu uns: