Die Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus für zwei Winkel α und β ermöglichen es Ihnen, von der Summe der angegebenen Winkel zum Produkt der Winkel α + β 2 und α - β 2 zu gelangen. Wir weisen gleich darauf hin, dass Sie die Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus nicht mit den Formeln für Sinus und Cosinus von Summe und Differenz verwechseln sollten. Nachfolgend listen wir diese Formeln auf, geben ihre Herleitung an und zeigen Anwendungsbeispiele für konkrete Problemstellungen.

Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus

Schreiben wir auf, wie die Summen- und Differenzenformeln für Sinus und Cosinus aussehen

Summen- und Differenzenformeln für Sinus

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Summen- und Differenzenformeln für Kosinus

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 β - α2

Diese Formeln gelten für beliebige Winkel α und β. Die Winkel α + β 2 und α - β 2 werden als Halbsumme bzw. Halbdifferenz der Winkel Alpha und Beta bezeichnet. Wir geben für jede Formel eine Formulierung an.

Definitionen von Summen- und Differenzformeln für Sinus und Cosinus

Die Summe der Sinus zweier Winkel ist gleich dem doppelten Produkt aus dem Sinus der Halbsumme dieser Winkel und dem Kosinus der Halbdifferenz.

Differenz der Sinus zweier Winkel ist gleich dem doppelten Produkt aus dem Sinus der Halbdifferenz dieser Winkel und dem Kosinus der Halbsumme.

Die Summe der Kosinuswerte zweier Winkel ist gleich dem doppelten Produkt aus dem Kosinus der Halbsumme und dem Kosinus der Halbdifferenz dieser Winkel.

Kosinusdifferenz zweier Winkel ist gleich dem doppelten Produkt aus dem Sinus der Halbsumme und dem Kosinus der Halbdifferenz dieser Winkel, genommen mit negativem Vorzeichen.

Herleitung von Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus

Um Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus zweier Winkel herzuleiten, werden Additionsformeln verwendet. Nachfolgend stellen wir sie vor

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Wir stellen auch die Winkel selbst als Summe von Halbsummen und Halbdifferenzen dar.

α \u003d α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Wir gehen direkt zur Herleitung der Summen- und Differenzenformeln für sin und cos über.

Herleitung der Formel für die Summe der Sinus

In der Summe sin α + sin β ersetzen wir α und β durch die oben angegebenen Ausdrücke für diese Winkel. Bekommen

Sünde α + Sünde β = Sünde α + β 2 + α - β 2 + Sünde α + β 2 - α - β 2

Jetzt wenden wir die Additionsformel auf den ersten Ausdruck an und die Sinusformel der Winkeldifferenzen auf den zweiten (siehe Formeln oben)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Die Schritte zum Ableiten der restlichen Formeln sind ähnlich.

Herleitung der Formel für die Sinusdifferenz

Sünde α - Sünde β = Sünde α + β 2 + α - β 2 - Sünde α + β 2 - α - β 2 Sünde α + β 2 + α - β 2 - Sünde α + β 2 - α - β 2 = Sünde α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Herleitung der Formel für die Kosinussumme

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Herleitung der Cosinus-Differenzformel

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Beispiele zur Lösung praktischer Probleme

Zunächst überprüfen wir eine der Formeln, indem wir bestimmte Winkelwerte einsetzen. Sei α = π 2 , β = π 6 . Lassen Sie uns den Wert der Summe der Sinus dieser Winkel berechnen. Zuerst verwenden wir die Tabelle der Grundwerte der trigonometrischen Funktionen, und dann wenden wir die Formel für die Summe der Sinus an.

Beispiel 1. Überprüfung der Formel für die Summe der Sinus zweier Winkel

α \u003d π 2, β \u003d π 6 Sünde π 2 + Sünde π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 Sünde π 2 + Sünde π 6 \u003d 2 Sünde π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 \u003d 2 Sünde π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2

Betrachten wir nun den Fall, wenn die Werte der Winkel von den in der Tabelle angegebenen Grundwerten abweichen. Sei α = 165°, β = 75°. Lassen Sie uns den Wert der Differenz zwischen den Sinus dieser Winkel berechnen.

Beispiel 2. Anwendung der Sinusdifferenzformel

α = 165 ° , β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Mit den Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus kannst du von der Summe oder Differenz zum Produkt trigonometrischer Funktionen gehen. Oft werden diese Formeln als Formeln für den Übergang von Summe zu Produkt bezeichnet. Die Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus werden häufig beim Lösen verwendet trigonometrische Gleichungen und beim umbauen trigonometrische Ausdrücke.

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Doppelwinkelformeln werden verwendet, um Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens eines Winkels mit einem Wert von 2 α auszudrücken trigonometrische Funktionen Winkel α . Dieser Artikel stellt alle Doppelwinkelformeln mit Beweisen vor. Beispiele für die Anwendung von Formeln werden betrachtet. Im letzten Teil werden die Formeln für die dreifachen, vierfachen Winkel gezeigt.

Liste der Doppelwinkelformeln

Um Doppelwinkelformeln umzuwandeln, denken Sie daran, dass Winkel in der Trigonometrie die Form n α Notation haben, wobei n ist natürliche Zahl, wird der Wert des Ausdrucks ohne Klammern geschrieben. Somit wird angenommen, dass sin n α die gleiche Bedeutung wie sin (n α) hat. Mit der Notation sin n α haben wir eine ähnliche Notation (sin α) n . Die Verwendung der Notation gilt für alle trigonometrischen Funktionen mit Potenzen von n.

Das Folgende sind die Doppelwinkelformeln:

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α

Beachten Sie, dass die Daten Sünde Formeln und cos gelten für jeden Wert des Winkels α. Die Formel für den Tangens eines Doppelwinkels gilt für jeden Wert von α, wobei t g 2 α sinnvoll ist, dh α ≠ π 4 + π 2 · z, z ist eine beliebige ganze Zahl. Der Kotangens eines Doppelwinkels existiert für jedes α , wobei c t g 2 α auf α ≠ π 2 · z definiert ist.

Der Kosinus eines Doppelwinkels hat eine dreifache Notation eines Doppelwinkels. Alle von ihnen sind anwendbar.

Beweis von Doppelwinkelformeln

Der Beweis der Formeln stammt aus den Additionsformeln. Wir wenden die Formeln für den Sinus der Summe an:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β und der Kosinus der Summe cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β. Angenommen, β = α , dann bekommen wir das

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α und cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α = cos 2 α - sin2α

Somit sind die Formeln für den Sinus und Kosinus des Doppelwinkels sin 2 α \u003d 2 sin α cos α und cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α bewiesen.

Die verbleibenden Formeln cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α und cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 führen beim Ersetzen zur Form cos 2 α \u003d cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α 1 mit der Quadratsumme durch die Grundidentität sin 2 α + cos 2 α = 1 . Wir erhalten, dass sin 2 α + cos 2 α = 1. Also 1 - 2 sin 2 α \u003d sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α und 2 cos 2 α - 1 \u003d 2 cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) \u003d cos 2 α - sin 2 α.

Um die Formeln für den Doppelwinkel von Tangens und Kotangens zu beweisen, wenden wir die Gleichungen t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α und c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α an. Nach der Transformation erhalten wir das t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α - sin 2 α und c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α 2 · sin α · cos α . Teilen Sie den Ausdruck durch cos 2 α, wobei cos 2 α ≠ 0 mit einem beliebigen Wert von α ist, wenn t g α definiert ist. Teilen Sie einen anderen Ausdruck durch sin 2 α , wobei sin 2 α ≠ 0 mit beliebigen Werten von α , wenn c t g 2 α sinnvoll ist. Um die Doppelwinkelformel für Tangens und Kotangens zu beweisen, setzen wir ein und erhalten:

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Die Grundformeln der Trigonometrie sind Formeln, die Beziehungen zwischen grundlegenden trigonometrischen Funktionen herstellen. Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens sind durch viele Beziehungen miteinander verbunden. Unten sind die wichtigsten trigonometrische Formeln, und der Einfachheit halber gruppieren wir sie nach ihrem Zweck. Mit diesen Formeln können Sie fast jedes Problem aus dem Standard-Trigonometriekurs lösen. Wir stellen gleich fest, dass im Folgenden nur die Formeln selbst angegeben sind und nicht ihre Herleitung, der separate Artikel gewidmet werden.

Grundlegende Identitäten der Trigonometrie

Trigonometrische Identitäten geben eine Beziehung zwischen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels an, wodurch eine Funktion durch eine andere ausgedrückt werden kann.

Trigonometrische Identitäten

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2α

Diese Identitäten folgen direkt aus den Definitionen Einheitskreis, Sinus (sin), Kosinus (cos), Tangens (tg) und Kotangens (ctg).

Gießen Sie Formeln

Gießformeln ermöglichen es Ihnen, von der Arbeit mit willkürlichen und willkürlich großen Winkeln zur Arbeit mit Winkeln im Bereich von 0 bis 90 Grad überzugehen.

Gießen Sie Formeln

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Die Reduktionsformeln sind eine Folge der Periodizität trigonometrischer Funktionen.

Trigonometrische Additionsformeln

Mit den Additionsformeln in der Trigonometrie können Sie die trigonometrische Funktion der Summe oder Differenz von Winkeln durch die trigonometrischen Funktionen dieser Winkel ausdrücken.

Trigonometrische Additionsformeln

sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β cos α + β = cos α cos β - sin α sin β cos α - β = cos α cos β + sin α sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Basierend auf den Additionsformeln werden trigonometrische Formeln für einen Vielfachwinkel hergeleitet.

Formeln mit mehreren Winkeln: doppelt, dreifach usw.

Doppel- und Dreifachwinkelformeln

sin 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 t g 2 α \ u003d 2 t g α 1 - t g 2 α mit t g 2 α \u003d mit t g 2 α - 1 2 mit t g α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α \u003d 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Halbwinkelformeln

Die Halbwinkelformeln in der Trigonometrie sind eine Folge der Doppelwinkelformeln und drücken den Zusammenhang zwischen den Grundfunktionen des Halbwinkels und dem Kosinus des Ganzwinkels aus.

Halbwinkelformeln

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Reduktionsformeln

Reduktionsformeln

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Bei Berechnungen ist es oft unbequem, mit umständlichen Potenzen zu arbeiten. Mit Gradreduktionsformeln können Sie den Grad einer trigonometrischen Funktion von beliebig groß auf den ersten reduzieren. Hier ist ihre Gesamtansicht:

Allgemeine Form von Reduktionsformeln

für gerade n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C k n cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

für ungerade n

Sünde n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n Sünde ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Summe und Differenz trigonometrischer Funktionen

Differenz und Summe trigonometrischer Funktionen lassen sich als Produkt darstellen. Das Faktorisieren der Differenzen von Sinus und Cosinus ist sehr praktisch beim Lösen trigonometrischer Gleichungen und Vereinfachen von Ausdrücken.

Summe und Differenz trigonometrischer Funktionen

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + β 2 sin α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Produkt trigonometrischer Funktionen

Wenn Sie mit den Formeln für die Summe und Differenz von Funktionen zu ihrem Produkt gehen können, führen die Formeln für das Produkt trigonometrischer Funktionen den umgekehrten Übergang durch - vom Produkt zur Summe. Es werden Formeln für das Produkt von Sinus, Cosinus und Sinus zu Cosinus betrachtet.

Formeln für das Produkt trigonometrischer Funktionen

sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (Sünde (α - β) + Sünde (α + β))

Universelle trigonometrische Substitution

Alle trigonometrischen Grundfunktionen – Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens – können als Tangens eines halben Winkels ausgedrückt werden.

Universelle trigonometrische Substitution

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2

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Die Verhältnisse zwischen den wichtigsten trigonometrischen Funktionen - Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens - sind angegeben trigonometrische Formeln. Und da es zwischen trigonometrischen Funktionen recht viele Zusammenhänge gibt, erklärt dies auch die Fülle an trigonometrischen Formeln. Einige Formeln verbinden die trigonometrischen Funktionen desselben Winkels, andere - die Funktionen eines Mehrfachwinkels, andere - ermöglichen es Ihnen, den Grad zu verringern, die vierte - um alle Funktionen durch die Tangente eines halben Winkels auszudrücken usw.

In diesem Artikel listen wir der Reihe nach alle grundlegenden trigonometrischen Formeln auf, die ausreichen, um die überwiegende Mehrheit der trigonometrischen Probleme zu lösen. Zur leichteren Einprägung und Verwendung gruppieren wir sie nach ihrem Zweck und tragen sie in Tabellen ein.

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Grundlegende trigonometrische Identitäten

Hauptsächlich trigonometrische Identitäten Stellen Sie die Beziehung zwischen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels ein. Sie ergeben sich aus der Definition von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens sowie dem Begriff des Einheitskreises. Sie ermöglichen es Ihnen, eine trigonometrische Funktion durch eine andere auszudrücken.

Eine ausführliche Beschreibung dieser Trigonometrieformeln, ihre Herleitung und Anwendungsbeispiele finden Sie im Artikel.

Gießen Sie Formeln

Gießen Sie Formeln folgen aus den Eigenschaften von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens, dh sie spiegeln die Eigenschaft der Periodizität trigonometrischer Funktionen, die Eigenschaft der Symmetrie und auch die Eigenschaft der Verschiebung um einen bestimmten Winkel wider. Mit diesen trigonometrischen Formeln können Sie von der Arbeit mit beliebigen Winkeln zur Arbeit mit Winkeln zwischen null und 90 Grad wechseln.

Die Gründe für diese Formeln, eine Merkregel zum Auswendiglernen und Beispiele für ihre Anwendung können im Artikel studiert werden.

Additionsformeln

Trigonometrische Additionsformeln Zeigen Sie, wie die trigonometrischen Funktionen der Summe oder Differenz zweier Winkel durch die trigonometrischen Funktionen dieser Winkel ausgedrückt werden. Diese Formeln dienen als Grundlage für die Ableitung der folgenden trigonometrischen Formeln.

Formeln für doppelt, dreifach usw. Winkel

Formeln für doppelt, dreifach usw. Winkel (sie werden auch Mehrfachwinkelformeln genannt) zeigen, wie die trigonometrischen Funktionen von doppelt, dreifach usw. Winkel () werden als trigonometrische Funktionen eines einzelnen Winkels ausgedrückt. Ihre Herleitung basiert auf Additionsformeln.

Genauere Informationen sind in den Artikelformeln für doppelt, dreifach usw. gesammelt. Winkel .

Halbwinkelformeln

Halbwinkelformeln zeigen, wie die trigonometrischen Funktionen eines halben Winkels durch den Kosinus eines ganzzahligen Winkels ausgedrückt werden. Diese trigonometrischen Formeln folgen aus den Doppelwinkelformeln.

Ihr Fazit und Anwendungsbeispiele finden Sie im Artikel.

Reduktionsformeln

Trigonometrische Formeln für abnehmende Grade entwickelt, um den Übergang von zu erleichtern natürliche Abschlüsse trigonometrische Funktionen zu Sinus und Cosinus ersten Grades, aber mehrere Winkel. Mit anderen Worten, sie erlauben es, die Potenzen trigonometrischer Funktionen auf die erste zu reduzieren.

Formeln für die Summe und Differenz trigonometrischer Funktionen

Der Hauptzweck Summen- und Differenzenformeln für trigonometrische Funktionen besteht im Übergang zum Produkt von Funktionen, was bei der Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke sehr nützlich ist. Diese Formeln werden auch häufig zum Lösen trigonometrischer Gleichungen verwendet, da sie die Faktorisierung der Summe und Differenz von Sinus und Cosinus ermöglichen.

Formeln für das Produkt von Sinus, Kosinus und Sinus mal Kosinus

Der Übergang vom Produkt trigonometrischer Funktionen zur Summe oder Differenz erfolgt über die Formeln für das Produkt von Sinus, Cosinus und Sinus zu Cosinus.

Universelle trigonometrische Substitution

Wir vervollständigen die Wiederholung der Grundformeln der Trigonometrie mit Formeln, die trigonometrische Funktionen in Bezug auf die Tangente eines halben Winkels ausdrücken. Dieser Ersatz wird aufgerufen universelle trigonometrische Substitution. Seine Bequemlichkeit liegt in der Tatsache, dass alle trigonometrischen Funktionen durch die Tangente eines halben Winkels rational ohne Wurzeln ausgedrückt werden.

Referenzliste.

• Algebra: Proz. für 9 Zellen. durchschn. Schule / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 S.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra und Beginn der Analysis: Proc. für 10-11 Zellen. durchschn. Schule - 3. Aufl. - M.: Aufklärung, 1993. - 351 S.: Abb. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra und Beginn der Analyse: Proc. für 10-11 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn und andere; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. Aufl.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 S.: Abb.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.

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