Zahlenkreis ist ein Einheitskreis, dessen Punkte bestimmten reellen Zahlen entsprechen.

Ein Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius 1.

Generelle Form Zahlenkreis.

1) Sein Radius wird als Maßeinheit verwendet.

2) Der horizontale und vertikale Durchmesser teilen den Zahlenkreis in vier Viertel. Sie werden jeweils als erstes, zweites, drittes und viertes Viertel bezeichnet.

3) Der horizontale Durchmesser wird mit AC bezeichnet, wobei A das Extrem ist Rechts Punkt.
Der vertikale Durchmesser wird mit BD bezeichnet, wobei B der höchste Punkt ist.
Jeweils:

Das erste Viertel ist der Bogen AB

zweites Viertel - Bogen BC

drittes Viertel - Bogen-CD

viertes Viertel - Bogen DA

4) Der Ausgangspunkt des Zahlenkreises ist Punkt A.

Das Zählen entlang des Zahlenkreises kann sowohl im Uhrzeigersinn als auch gegen den Uhrzeigersinn erfolgen.

Zählen ab Punkt A gegen im Uhrzeigersinn heißt positive Richtung.

Zählen ab Punkt A Von im Uhrzeigersinn genannt negative Richtung.

Zahlenkreis eingeschaltet Koordinatenebene.

Der Mittelpunkt des Radius des Zahlenkreises entspricht dem Ursprung (Zahl 0).

Der horizontale Durchmesser entspricht der Achse X, vertikale Achse j.

Ausgangspunkt Ein ZahlenkreisDas T-Stück liegt auf der AchseXund hat die Koordinaten (1; 0).

Namen und Orte der Hauptpunkte auf dem Zahlenkreis:

So merken Sie sich Nummernkreisnamen.

Es gibt mehrere einfache Muster, die Ihnen helfen, sich die Grundnamen des Zahlenkreises leicht zu merken.

Bevor wir beginnen, möchten wir Sie daran erinnern: Die Zählung erfolgt in positiver Richtung, also ab Punkt A (2π) gegen den Uhrzeigersinn.

1) Beginnen wir mit Extrempunkte auf den Koordinatenachsen.

Der Startpunkt ist 2π (der Punkt ganz rechts auf der Achse). X, gleich 1).

Wie Sie wissen, ist 2π der Umfang eines Kreises. Das bedeutet, dass ein Halbkreis 1π oder π ist. Achse X teilt den Kreis genau in zwei Hälften. Dementsprechend der Punkt ganz links auf der Achse X gleich -1 heißt π.

Der höchste Punkt auf der Achse bei, gleich 1, teilt den oberen Halbkreis in zwei Hälften. Das heißt, wenn ein Halbkreis π ist, dann ist ein halber Halbkreis π/2.

Gleichzeitig ist π/2 auch ein Viertelkreis. Zählen wir drei solcher Viertel vom ersten bis zum dritten – und wir kommen zum tiefsten Punkt der Achse bei, gleich -1. Wenn es jedoch drei Viertel umfasst, lautet sein Name 3π/2.

2) Kommen wir nun zu den restlichen Punkten. Bitte beachten Sie: Alle gegensätzlichen Punkte haben gleichen Nenner- und das sind gegenüberliegende Punkte und relativ zur Achse bei, sowohl relativ zur Mitte der Achsen als auch relativ zur Achse X. Dies wird uns helfen, ihre Punktwerte zu kennen, ohne sie zu pauken.

Sie müssen sich nur die Bedeutung der Punkte des ersten Viertels merken: π/6, π/4 und π/3. Und dann werden wir einige Muster „sehen“:

- Relativ zur Achse bei An den Punkten des zweiten Viertels sind im Gegensatz zu den Punkten des ersten Viertels die Zahlen in den Zählern um 1 kleiner als die Größe der Nenner. Nehmen wir zum Beispiel den Punkt π/6. Der gegenüberliegende Punkt relativ zur Achse bei hat auch 6 im Nenner und 5 im Zähler (1 weniger). Das heißt, der Name dieses Punktes lautet: 5π/6. Der Punkt gegenüber π/4 hat ebenfalls 4 im Nenner und 3 im Zähler (1 kleiner als 4) – das heißt, es ist ein 3π/4-Punkt.
Der Punkt gegenüber π/3 hat ebenfalls 3 im Nenner und 1 weniger im Zähler: 2π/3.

- Bezogen auf die Mitte der Koordinatenachsen Alles ist umgekehrt: Die Zahlen in den Zählern entgegengesetzter Punkte (im dritten Viertel) sind um 1 größer als der Wert der Nenner. Nehmen wir noch einmal den Punkt π/6. Der ihm relativ zum Mittelpunkt gegenüberliegende Punkt hat ebenfalls 6 im Nenner und im Zähler ist die Zahl 1 mehr – also 7π/6.
Der Punkt gegenüber dem Punkt π/4 hat ebenfalls 4 im Nenner und im Zähler ist die Zahl 1 mehr: 5π/4.
Der Punkt gegenüber dem Punkt π/3 hat ebenfalls 3 im Nenner und im Zähler ist die Zahl 1 mehr: 4π/3.

- Relativ zur Achse X(viertes Viertel) die Sache ist komplizierter. Hier müssen Sie zum Wert des Nenners eine um 1 kleinere Zahl addieren – diese Summe entspricht dem numerischen Teil des Zählers des gegenüberliegenden Punktes. Beginnen wir noch einmal mit π/6. Addieren wir zum Nennerwert gleich 6 eine Zahl, die 1 kleiner als diese Zahl ist – also 5. Wir erhalten: 6 + 5 = 11. Das bedeutet, dass sie entgegengesetzt zur Achse ist X Der Punkt hat 6 im Nenner und 11 im Zähler – also 11π/6.

Punkt π/4. Wir addieren zum Wert des Nenners eine um 1 kleinere Zahl: 4 + 3 = 7. Dies bedeutet, dass er der Achse entgegengesetzt ist X Der Punkt hat 4 im Nenner und 7 im Zähler – also 7π/4.
Punkt π/3. Der Nenner ist 3. Wir addieren zu 3 eine um eins kleinere Zahl – also 2. Wir erhalten 5. Das bedeutet, dass der gegenüberliegende Punkt 5 im Zähler hat – und das ist der Punkt 5π/3.

3) Ein weiteres Muster für die Punkte der Viertelmittelpunkte. Es ist klar, dass ihr Nenner 4 ist. Achten wir auf die Zähler. Der Zähler der Mitte des ersten Viertels ist 1π (aber es ist nicht üblich, 1 zu schreiben). Der Zähler der Mitte des zweiten Viertels ist 3π. Der Zähler der Mitte des dritten Viertels ist 5π. Der Zähler des mittleren vierten Viertels ist 7π. Es stellt sich heraus, dass die Zähler der mittleren Viertel die ersten vier ungeraden Zahlen in aufsteigender Reihenfolge enthalten:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Auch das ist ganz einfach. Da die Mittelpunkte aller Viertel im Nenner 4 haben, kennen wir sie bereits ganze Namen: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Merkmale des Zahlenkreises. Vergleich mit dem Zahlenstrahl.

Wie Sie wissen, entspricht auf dem Zahlenstrahl jeder Punkt Singular. Wenn beispielsweise Punkt A auf einer Geraden gleich 3 ist, kann er keiner anderen Zahl mehr entsprechen.

Beim Zahlenkreis ist das anders, weil es ein Kreis ist. Um beispielsweise von Punkt A eines Kreises zu Punkt M zu gelangen, können Sie dies wie auf einer Geraden tun (nur durch einen Bogen) oder Sie können einen ganzen Kreis umrunden und dann zu Punkt M gelangen. Abschluss:

Der Punkt M sei gleich einer Zahl t. Wie wir wissen, beträgt der Umfang eines Kreises 2π. Das bedeutet, dass wir einen Punkt auf einem Kreis t auf zwei Arten schreiben können: t oder t + 2π. Es handelt sich um äquivalente Werte.
Das heißt, t = t + 2π. Der einzige Unterschied besteht darin, dass Sie im ersten Fall sofort zum Punkt M gekommen sind, ohne einen Kreis zu machen, und im zweiten Fall haben Sie einen Kreis gemacht, sind aber am selben Punkt M gelandet. Sie können zwei, drei oder zweihundert solcher machen Kreise. Wenn wir die Anzahl der Kreise mit dem Buchstaben bezeichnen N, dann erhalten wir einen neuen Ausdruck:
t = t + 2π N.

Daher die Formel:

In dieser Lektion werden wir es wiederholen wichtige Eigenschaft Zahlenkreis und platzieren Sie den Einheitszahlenkreis nach bestimmten Regeln in der Koordinatenebene. Erinnern wir uns an die Gleichung des Einheitszahlenkreises und lösen wir damit mehrere Probleme beim Ermitteln der Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitszahlenkreis. Am Ende der Lektion erstellen wir eine Koordinatentabelle für Punkte, die Vielfache von π/6 und π/4 sind.

Unterrichtsthema, Wiederholung

Zuvor haben wir den Zahlenkreis untersucht und seine Eigenschaften herausgefunden (Abb. 1).

Jede reelle Zahl entspricht einem einzelnen Punkt auf dem Kreis.

Jeder Punkt auf dem Zahlenkreis entspricht nicht nur einer Zahl, sondern allen Zahlen der Form

Zahlenkreis in der Koordinatenebene

Platzieren wir den Kreis Koordinatenebene. Nach wie vor entspricht jede Zahl einem Punkt auf dem Kreis. Nun entspricht dieser Punkt auf dem Kreis zwei Koordinaten, genau wie jeder Punkt auf der Koordinatenebene.

Unsere Aufgabe ist es angegebene Nummer Finden Sie nicht nur einen Punkt, sondern auch seine Koordinaten und umgekehrt, indem Sie die Koordinaten verwenden, um eine oder mehrere entsprechende Zahlen zu finden.

Beispiel 1. Gegeben sei ein Punkt – die Mitte eines Bogens. Der Punkt entspricht Zahlen der Form

Finden Sie die Koordinaten des Punktes (Abb. 3).

Koordinaten können auf zwei verschiedene Arten gefunden werden, schauen wir sie uns der Reihe nach an.

1. Der Punkt liegt auf dem Kreis, R=1, was bedeutet, dass er die Kreisgleichung erfüllt

Nach Bedingung. Wir erinnern uns, dass die Größe des Mittelpunktswinkels numerisch gleich der Länge des Bogens im Bogenmaß ist, also dem Winkel. Das bedeutet auch, dass die gerade Linie das erste Viertel genau in zwei Hälften teilt, was bedeutet, dass es eine gerade Linie ist

Ein Punkt liegt auf einer Geraden und erfüllt daher die Gleichung dieser Geraden.

Erstellen wir ein System aus zwei Gleichungen.

Nachdem wir das System gelöst haben, erhalten wir die erforderlichen Koordinaten.

2. Betrachten Sie ein rechteckiges Modell (Abb. 4).

Also haben wir eine Zahl festgelegt, einen Punkt und seine Koordinaten gefunden. Bestimmen wir auch die Koordinaten der dazu symmetrischen Punkte (Abb. 5).

Ermitteln der rechtwinkligen Koordinaten von Punkten, deren krummlinige Koordinaten ein Vielfaches sind

Die nächste Aufgabe besteht darin, die Koordinaten von Punkten zu bestimmen, die ein Vielfaches von sind

Ein Kreis mit dem Radius R=1 wird in die Koordinatenebene gelegt. Finden Sie einen Punkt auf dem Kreis und seine Koordinaten (Abb. 6).

Betrachten Sie - rechteckig.

Das heißt, der Winkel

Finden wir die Koordinaten der symmetrischen Punkte (Abb. 7).

Wir haben eine Zahl festgelegt, einen Punkt auf dem Kreis gefunden, dieser Punkt ist der einzige, und seine Koordinaten ermittelt.

Probleme lösen

Beispiel 1. Ermitteln Sie für einen gegebenen Punkt seine rechtwinkligen Koordinaten.

Der Punkt liegt in der Mitte des dritten Viertels (Abb. 8).

Fazit, Fazit

Wir haben den Zahlenkreis in der Koordinatenebene platziert und gelernt, anhand der Zahl einen Punkt auf dem Kreis und seine Koordinaten zu finden. Diese Technik ist die Grundlage für die Definition von Sinus und Cosinus, auf die später noch eingegangen wird.

Referenzliste

Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Anleitung für Bildungsinstitutionen(Profilebene)/ed.

A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2009. Algebra und die Anfänge der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für allgemeinbildende Einrichtungen (Profilebene) / hrsg.

A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyna, 2007. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Algebra und mathematische Analyse für die 10. Klasse ( Lernprogramm für Schüler von Schulen und Klassen mit vertieftem Mathematikstudium). - M.: Bildung, 1996. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Eingehende Studie Algebra und mathematische Analyse. - M.: Aufklärung, 1997. Sammlung von Problemen in der Mathematik für Bewerber an Hochschulen (herausgegeben von M. I. Skanavi). - M.: Höhere Schule, 1992. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. Algebraischer Simulator. - K.: A. S.K., 1997. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Probleme in der Algebra und Prinzipien der Analyse (ein Handbuch für Schüler der Klassen 10-11 allgemeinbildender Einrichtungen). - M.: Bildung, 2003. Karp A.P. Sammlung von Problemen zur Algebra und Prinzipien der Analyse: Lehrbuch. Zulage für die Klassen 10-11. mit Tiefgang studiert Mathematik. - M.: Bildung, 2006.

Mathematik. ru. Probleme. ru. ICH WERDE DIE VERWENDUNG LÖSEN.

Hausaufgaben

Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für allgemeinbildende Einrichtungen (Profilebene) / hrsg. A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2007.

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Folienunterschriften:

Zahlenkreis in der Koordinatenebene

Wiederholen wir: Einheitskreis– ein Zahlenkreis mit dem Radius 1. R=1 C=2 π + - y x

Wenn Punkt M des Zahlenkreises der Zahl t entspricht, dann entspricht er auch einer Zahl der Form t+2 π k, wobei k eine beliebige ganze Zahl (k ϵ Z) ist. M(t) = M(t+2 π k), wobei k ϵ Z

Grundlayouts Erstes Layout 0 π y x Zweites Layout y x

x y 1 A(1, 0) B (0, 1) C (- 1, 0) D (0, -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y

Finden wir die Koordinaten des Punktes M, der dem Punkt entspricht. 1) 2) x y M P 45° O A

Koordinaten der Hauptpunkte des ersten Layouts 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D y x

M P x y O A Finden wir die Koordinaten des Punktes M, der dem Punkt entspricht. 1) 2) 30°

M P Finden wir die Koordinaten des Punktes M, der dem Punkt entspricht. 1) 2) 30° x y O A B

Mithilfe der Symmetrieeigenschaft ermitteln wir die Koordinaten von Punkten, die ein Vielfaches von y x sind

Koordinaten der Hauptpunkte des zweiten Layouts x y x y y x

Beispiel Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf einem Zahlenkreis. Lösung: P y x

Beispiel Finden Sie Punkte mit Ordinate auf dem Zahlenkreis. Lösung: y x ​​​​x y x y

Übungen: Finden Sie die Koordinaten der Punkte auf dem Zahlenkreis: a) , b) . Finden Sie die Punkte mit einer Abszisse auf dem Zahlenkreis.

Koordinaten der Hauptpunkte 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 Koordinaten der Hauptpunkte des ersten Layouts x y x y Koordinaten des Hauptlayouts Punkte des zweiten Layouts

Zum Thema: methodische Entwicklungen, Präsentationen und Notizen

Didaktisches Material zur Algebra und den Anfängen der Analysis in der 10. Klasse (Profilstufe) „Zahlenkreis auf der Koordinatenebene“

Option 1.1. Finden Sie den Punkt auf dem Zahlenkreis: A) -2∏/3B) 72. Welches Viertel des Zahlenkreises ergibt Punkt 16.3. Finden Sie den...

Analytische Geometrie gibt einheitliche Techniken zur Lösung geometrischer Probleme. Dazu werden alle vorgegebenen und gesuchten Punkte und Linien einem Koordinatensystem zugeordnet.

In einem Koordinatensystem kann jeder Punkt durch seine Koordinaten und jede Linie durch eine Gleichung mit zwei Unbekannten charakterisiert werden, deren Graph diese Linie ist. Auf diese Weise geometrisches Problem reduziert sich auf algebraisch, wo alle Berechnungsmethoden gut entwickelt sind.

Ein Kreis ist ein geometrischer Ort von Punkten mit einer bestimmten Eigenschaft (jeder Punkt auf dem Kreis hat den gleichen Abstand von einem Punkt, der als Mittelpunkt bezeichnet wird). Die Kreisgleichung muss diese Eigenschaft widerspiegeln und diese Bedingung erfüllen.

Die geometrische Interpretation der Kreisgleichung ist die Kreislinie.

Wenn Sie einen Kreis in einem Koordinatensystem platzieren, erfüllen alle Punkte auf dem Kreis eine Bedingung: Der Abstand von ihnen zum Mittelpunkt des Kreises muss gleich und gleich dem Kreis sein.

Kreis mit Mittelpunkt in einem Punkt A und Radius R Platzieren Sie es in der Koordinatenebene.

Wenn die Mittelpunktkoordinaten (a;b) und die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Kreis (x;y) , dann hat die Kreisgleichung die Form:

Wenn das Quadrat des Radius eines Kreises gleich der Summe der Quadrate der Differenzen zwischen den entsprechenden Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Kreis und seinem Mittelpunkt ist, dann ist diese Gleichung die Gleichung eines Kreises in einem ebenen Koordinatensystem.

Wenn der Mittelpunkt des Kreises mit dem Ursprung übereinstimmt, ist das Quadrat des Kreisradius gleich der Summe der Quadrate der Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Kreis. In diesem Fall hat die Kreisgleichung die Form:

Daher jeder geometrische Figur wie der geometrische Ort von Punkten durch eine Gleichung bestimmt wird, die die Koordinaten ihrer Punkte verbindet. Umgekehrt bezieht sich die Gleichung auf die Koordinaten X Und bei Definieren Sie eine Linie als den geometrischen Ort von Punkten der Ebene, deren Koordinaten erfüllen diese Gleichung.

Beispiele für die Lösung von Problemen zur Kreisgleichung

Aufgabe. Schreiben Sie eine Gleichung für einen gegebenen Kreis

Schreiben Sie eine Gleichung für einen Kreis mit Mittelpunkt im Punkt O (2;-3) und Radius 4.

Lösung.
Wenden wir uns der Formel für die Kreisgleichung zu:
R 2 = (x-a) 2 + (y-b) 2

Setzen wir die Werte in die Formel ein.
Kreisradius R = 4
Koordinaten des Kreismittelpunkts (je nach Bedingung)
a = 2
b = -3

Wir bekommen:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
oder
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Aufgabe. Gehört ein Punkt zur Kreisgleichung?

Überprüfen Sie, ob ein Punkt zu gehört A(2;3) Gleichung eines Kreises (x - 2) 2 +(y+3) 2 = 16 .

Lösung.
Gehört ein Punkt zu einem Kreis, so erfüllen seine Koordinaten die Kreisgleichung.
Um zu prüfen, ob ein Punkt mit gegebenen Koordinaten zu einem Kreis gehört, setzen Sie die Koordinaten des Punktes in die Gleichung des gegebenen Kreises ein.

In Gleichung ( X - 2) 2 + (j + 3) 2 = 16
Ersetzen wir entsprechend der Bedingung die Koordinaten des Punktes A(2;3), d. h
x = 2
y=3

Lassen Sie uns den Wahrheitsgehalt der resultierenden Gleichheit überprüfen
(X - 2) 2 + (j + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 Gleichheit ist falsch

Auf diese Weise, Sollwert nicht gehören gegebene Gleichung Kreise.

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