Bevor Sie beginnen, das Konzept einer Kugel zu studieren, wie groß das Volumen einer Kugel ist und Formeln zur Berechnung ihrer Parameter in Betracht ziehen, müssen Sie sich an das Konzept eines Kreises erinnern, das Sie zuvor im Geometriekurs untersucht haben. Schließlich ähneln die meisten Aktionen im dreidimensionalen Raum der zweidimensionalen Geometrie oder ergeben sich aus dieser, angepasst an das Erscheinungsbild der dritten Koordinate und des dritten Grades.

Was ist ein Kreis?

Ein Kreis ist eine Figur auf einer kartesischen Ebene (dargestellt in Abbildung 1); Am häufigsten klingt die Definition wie „die geometrische Lage aller Punkte auf der Ebene, deren Abstand zu einem bestimmten Punkt (Mittelpunkt) eine bestimmte nicht negative Zahl, den Radius, nicht überschreitet.“

Wie wir aus der Abbildung ersehen können, ist Punkt O der Mittelpunkt der Figur, und die Menge absolut aller Punkte, die den Kreis ausfüllen, zum Beispiel A, B, C, K, E, liegen nicht weiter als einen bestimmten Radius (Gehen Sie nicht über den in Abb. 2 gezeigten Kreis hinaus).

Wenn der Radius Null ist, wird der Kreis zu einem Punkt.

Probleme mit dem Verständnis

Studierende verwechseln diese Konzepte oft. Mit einer Analogie ist es leicht, sich daran zu erinnern. Der Reifen, den Kinder im Sportunterricht drehen, ist ein Kreis. Wenn Kinder dies verstehen oder sich daran erinnern, dass die Anfangsbuchstaben beider Wörter „O“ sind, werden sie den Unterschied mnemonisch verstehen.

Einführung des Begriffs „Ball“

Eine Kugel ist ein Körper (Abb. 3), der von einer bestimmten Kugeloberfläche begrenzt wird. Um welche Art von „kugelförmiger Oberfläche“ es sich handelt, geht aus ihrer Definition hervor: Dies ist der geometrische Ort aller Punkte auf der Oberfläche, deren Abstand zu einem bestimmten Punkt (Mittelpunkt) eine bestimmte nicht negative Zahl namens „ nicht überschreitet Radius. Wie Sie sehen, sind die Konzepte eines Kreises und einer Kugeloberfläche ähnlich, nur die Räume, in denen sie sich befinden, unterscheiden sich. Wenn wir eine Kugel im zweidimensionalen Raum darstellen, erhalten wir einen Kreis, dessen Rand ein Kreis ist (der Rand einer Kugel ist eine Kugeloberfläche). In der Abbildung sehen wir eine Kugeloberfläche mit den Radien OA = OB.

Ball geschlossen und offen

In Vektor- und metrischen Räumen werden auch zwei Konzepte im Zusammenhang mit der Kugeloberfläche berücksichtigt. Wenn die Kugel diese Kugel enthält, heißt sie geschlossen, wenn nicht, ist die Kugel offen. Hierbei handelt es sich um „fortgeschrittenere“ Konzepte; sie werden in Instituten im Rahmen ihrer Einführung in die Analyse untersucht. Für den einfachen, auch alltäglichen Gebrauch reichen die Formeln aus, die im Stereometriekurs für die Klassen 10-11 erlernt werden. Es sind diese Konzepte, die fast jedem durchschnittlich gebildeten Menschen zugänglich sind und die im Folgenden besprochen werden.

Konzepte, die Sie für die folgenden Berechnungen kennen müssen

Radius und Durchmesser.

Der Radius einer Kugel und ihr Durchmesser werden auf die gleiche Weise wie bei einem Kreis bestimmt.

Der Radius ist ein Segment, das einen beliebigen Punkt am Rand des Balls mit dem Punkt verbindet, der den Mittelpunkt des Balls darstellt.

Der Durchmesser ist ein Segment, das zwei Punkte am Rand einer Kugel verbindet und durch deren Mittelpunkt verläuft. Abbildung 5a zeigt deutlich, welche Segmente die Radien der Kugel sind, und Abbildung 5b zeigt die Durchmesser der Kugel (Segmente, die durch Punkt O verlaufen).

Abschnitte in einer Kugel (Kugel)

Jeder Abschnitt einer Kugel ist ein Kreis. Geht er durch den Mittelpunkt der Kugel, spricht man von einem großen Kreis (Kreis mit Durchmesser AB), die restlichen Abschnitte heißen kleine Kreise (Kreis mit Durchmesser DC).

Die Fläche dieser Kreise wird nach folgenden Formeln berechnet:

Dabei ist S die Bezeichnung für Fläche, R für Radius, D für Durchmesser. Es gibt auch eine Konstante von 3,14. Lassen Sie sich jedoch nicht verwirren, dass zur Berechnung der Fläche eines großen Kreises der Radius oder Durchmesser der Kugel (Kugel) selbst verwendet wird und zur Bestimmung der Fläche die Abmessungen des Radius des kleinen Kreises erforderlich sind.

Man kann unendlich viele solcher Schnitte zeichnen, die durch zwei auf dem Rand der Kugel liegende Punkte gleichen Durchmessers verlaufen. Als Beispiel unser Planet: zwei Punkte am Nord- und Südpol, die die Enden der Erdachse und im geometrischen Sinne die Enden des Durchmessers sind, und die Meridiane, die durch diese beiden Punkte verlaufen (Abbildung 7) . Das heißt, die Anzahl der großen Kreise auf einer Kugel tendiert gegen Unendlich.

Kugelteile

Wenn Sie mithilfe einer bestimmten Ebene ein „Stück“ von der Kugel abschneiden (Abbildung 8), spricht man von einer Kugel oder einem Kugelsegment. Es wird eine Höhe haben – eine Senkrechte vom Mittelpunkt der Schnittebene zur Kugeloberfläche O 1 K. Der Punkt K auf der Kugeloberfläche, an dem die Höhe liegt, wird als Scheitelpunkt des Kugelsegments bezeichnet. Und ein kleiner Kreis mit einem Radius von O 1 T (in diesem Fall ging die Ebene laut Abbildung nicht durch den Mittelpunkt der Kugel, aber wenn der Abschnitt durch den Mittelpunkt geht, dann wird der Querschnittskreis sein groß), gebildet durch Abschneiden des Kugelsegments, wird die Basis unseres Stücks Kugel genannt - Kugelsegment.

Wenn wir jeden Basispunkt eines Kugelsegments mit dem Mittelpunkt der Kugel verbinden, erhalten wir eine Figur, die „Kugelsektor“ genannt wird.

Wenn zwei Ebenen durch eine Kugel verlaufen und parallel zueinander sind, wird der zwischen ihnen eingeschlossene Teil der Kugel als Kugelschicht bezeichnet (Abbildung 9 zeigt eine Kugel mit zwei Ebenen und einer separaten Kugelschicht).

Die Oberfläche (hervorgehobener Teil in Abbildung 9 rechts) dieses Teils der Kugel wird Gürtel genannt (zum besseren Verständnis kann wiederum eine Analogie zum Globus gezogen werden, nämlich zu seinen Klimazonen – arktisch, tropisch, gemäßigt). usw.), und die Schnittkreise bilden die Basis der sphärischen Schicht. Die Höhe der Schicht ist Teil des Durchmessers, der senkrecht zu den Schnittebenen von den Mittelpunkten der Basen aus gezogen wird. Es gibt auch das Konzept einer sphärischen Kugel. Sie entsteht, wenn zueinander parallele Ebenen die Kugel nicht schneiden, sondern sie jeweils in einem Punkt berühren.

Formeln zur Berechnung des Volumens einer Kugel und ihrer Oberfläche

Die Kugel entsteht durch Drehung um den festen Durchmesser eines Halbkreises oder Kreises. Um verschiedene Parameter eines bestimmten Objekts zu berechnen, sind nicht viele Daten erforderlich.

Das Volumen einer Kugel, dessen Berechnungsformel oben angegeben ist, wird durch Integration abgeleitet. Lassen Sie es uns Punkt für Punkt herausfinden.

Wir betrachten einen Kreis in einer zweidimensionalen Ebene, da es, wie oben erwähnt, der Kreis ist, der der Konstruktion der Kugel zugrunde liegt. Wir verwenden nur den vierten Teil (Abbildung 10).

Wir nehmen einen Kreis mit Einheitsradius und Mittelpunkt im Ursprung. Die Gleichung eines solchen Kreises lautet wie folgt: X 2 + Y 2 = R 2. Wir drücken Y hier aus: Y 2 = R 2 - X 2.

Beachten Sie unbedingt, dass die resultierende Funktion nicht negativ, stetig und auf dem Segment X (0; R) abnehmend ist, da der Wert von X im Fall, dass wir ein Viertel eines Kreises betrachten, zwischen Null und dem Wert liegt Radius, also zur Einheit.

Als nächstes drehen wir unseren Viertelkreis um die x-Achse. Als Ergebnis erhalten wir eine Halbkugel. Um sein Volumen zu bestimmen, werden wir auf Integrationsmethoden zurückgreifen.

Da dies nur das Volumen einer Halbkugel ist, verdoppeln wir das Ergebnis, woraus wir schließen, dass das Volumen der Kugel gleich ist:

Kleine Nuancen

Wenn Sie das Volumen einer Kugel anhand ihres Durchmessers berechnen müssen, denken Sie daran, dass der Radius der Hälfte des Durchmessers entspricht, und setzen Sie diesen Wert in die obige Formel ein.

Zur Formel für das Volumen einer Kugel gelangt man auch über die Fläche ihrer Grenzfläche – der Kugel. Erinnern wir uns daran, dass die Fläche einer Kugel nach der Formel S = 4πr 2 berechnet wird, durch deren Integration wir auch zur obigen Formel für das Volumen einer Kugel gelangen. Mit denselben Formeln können Sie den Radius ausdrücken, wenn die Problemstellung einen Volumenwert enthält.

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Der Radius einer Kugel (bezeichnet als r oder R) ist das Segment, das den Mittelpunkt der Kugel mit einem beliebigen Punkt auf ihrer Oberfläche verbindet. Wie bei einem Kreis ist der Radius einer Kugel eine wichtige Größe, die benötigt wird, um den Durchmesser, den Umfang, die Oberfläche und/oder das Volumen der Kugel zu ermitteln. Der Radius der Kugel lässt sich aber auch aus einem gegebenen Wert aus Durchmesser, Umfang und anderen Größen ermitteln. Verwenden Sie eine Formel, in die Sie diese Werte einsetzen können.

Schritte

Formeln zur Berechnung des Radius

Berechnen Sie den Radius aus dem Durchmesser. Der Radius ist gleich dem halben Durchmesser, also verwenden Sie die Formel g = D/2. Dies ist dieselbe Formel, die zur Berechnung des Radius und Durchmessers eines Kreises verwendet wird.

• Angenommen, eine Kugel hat einen Durchmesser von 16 cm. Der Radius dieser Kugel beträgt: r = 16/2 = 8 cm. Wenn der Durchmesser 42 cm beträgt, beträgt der Radius 21 cm (42/2=21).

1. Berechnen Sie den Radius aus dem Umfang. Verwenden Sie die Formel: r = C/2π. Da der Umfang eines Kreises C = πD = 2πr ist, teilen Sie die Formel zur Berechnung des Umfangs durch 2π und erhalten Sie die Formel zur Ermittlung des Radius.

   • Angenommen, eine Kugel hat einen Umfang von 20 cm. Der Radius dieser Kugel beträgt: r = 20/2π = 3,183 cm.
   • Die gleiche Formel wird verwendet, um den Radius und den Umfang eines Kreises zu berechnen.

2. Berechnen Sie den Radius aus dem Volumen der Kugel. Verwenden Sie die Formel: r = ((V/π)(3/4)) 1/3. Das Volumen der Kugel wird nach der Formel V = (4/3)πr 3 berechnet. Isoliert man r auf einer Seite der Gleichung, erhält man die Formel ((V/π)(3/4)) 3 = r, d. h. um den Radius zu berechnen, dividiert man das Volumen der Kugel durch π und multipliziert das Ergebnis mit 3/4 und potenzieren Sie das resultierende Ergebnis mit 1/3 (oder ziehen Sie die Kubikwurzel).

   • Nehmen wir zum Beispiel eine Kugel mit einem Volumen von 100 cm 3 . Der Radius dieser Kugel berechnet sich wie folgt:
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31,83)(3/4)) 1/3 = r
     • (23.87) 1/3 = r
     • 2,88 cm= r

3. Berechnen Sie den Radius aus der Oberfläche. Verwenden Sie die Formel: g = √(A/(4 π)). Die Oberfläche der Kugel wird nach der Formel A = 4πr 2 berechnet. Wenn Sie r auf einer Seite der Gleichung isolieren, erhalten Sie die Formel √(A/(4π)) = r, die darin besteht, den Radius zu berechnen, indem Sie die Quadratwurzel der Oberfläche dividiert durch 4π ziehen. Anstatt die Wurzel zu ziehen, kann der Ausdruck (A/(4π)) mit 1/2 potenziert werden.

   • Nehmen wir zum Beispiel eine Kugel mit einer Oberfläche von 1200 cm 3 . Der Radius dieser Kugel berechnet sich wie folgt:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95,49) = r
     • 9,77 cm= r

   Bestimmung von Grundgrößen

   1. Denken Sie an die grundlegenden Größen, die für die Berechnung des Radius einer Kugel relevant sind. Der Radius einer Kugel ist das Segment, das den Mittelpunkt der Kugel mit jedem Punkt auf ihrer Oberfläche verbindet. Der Radius einer Kugel kann aus vorgegebenen Werten für Durchmesser, Umfang, Volumen oder Oberfläche berechnet werden.

      Verwenden Sie die Werte dieser Größen, um den Radius zu ermitteln. Der Radius kann aus gegebenen Werten von Durchmesser, Umfang, Volumen und Oberfläche berechnet werden. Darüber hinaus können die angegebenen Werte ab einem gegebenen Radiuswert ermittelt werden. Um den Radius zu berechnen, konvertieren Sie einfach die Formeln, um die angezeigten Werte zu ermitteln. Nachfolgend finden Sie die Formeln (einschließlich Radius) zur Berechnung von Durchmesser, Umfang, Volumen und Oberfläche.

   Ermitteln des Radius aus dem Abstand zwischen zwei Punkten

   1. Finden Sie die Koordinaten (x,y,z) des Mittelpunkts des Balls. Der Radius einer Kugel ist gleich dem Abstand zwischen ihrem Mittelpunkt und einem beliebigen Punkt auf der Oberfläche der Kugel. Wenn die Koordinaten des Mittelpunkts des Balls und eines beliebigen auf seiner Oberfläche liegenden Punktes bekannt sind, können Sie den Radius des Balls mithilfe einer speziellen Formel ermitteln, indem Sie den Abstand zwischen zwei Punkten berechnen. Ermitteln Sie zunächst die Koordinaten des Mittelpunkts des Balls. Bedenken Sie, dass der Punkt drei Koordinaten (x, y, z) und nicht zwei (x, y) hat, da es sich bei einer Kugel um eine dreidimensionale Figur handelt.

      • Schauen wir uns ein Beispiel an. Gegeben sei ein Ball mit Mittelpunktskoordinaten (4,-1,12) . Verwenden Sie diese Koordinaten, um den Radius des Balls zu ermitteln.

   2. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes, der auf der Oberfläche des Balls liegt. Jetzt müssen wir die Koordinaten (x,y,z) finden beliebig Punkt, der auf der Oberfläche des Balls liegt. Da alle auf der Oberfläche des Balls liegenden Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt des Balls haben, können Sie für die Berechnung des Ballradius einen beliebigen Punkt auswählen.

      • Nehmen wir in unserem Beispiel an, dass ein Punkt auf der Oberfläche des Balls Koordinaten hat (3,3,0) . Indem Sie den Abstand zwischen diesem Punkt und dem Mittelpunkt der Kugel berechnen, ermitteln Sie den Radius.

   3. Berechnen Sie den Radius mit der Formel d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Nachdem Sie die Koordinaten des Mittelpunkts der Kugel und eines auf ihrer Oberfläche liegenden Punktes ermittelt haben, können Sie den Abstand zwischen ihnen ermitteln, der dem Radius der Kugel entspricht. Der Abstand zwischen zwei Punkten wird nach der Formel d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2) berechnet, wobei d der Abstand zwischen den Punkten ist , (x 1, y 1 ,z 1) – Koordinaten des Mittelpunkts des Balls, (x 2 , y 2 , z 2) – Koordinaten eines Punktes, der auf der Oberfläche des Balls liegt.

      • Im betrachteten Beispiel ersetzen Sie anstelle von (x 1 ,y 1 ,z 1) (4,-1,12) und anstelle von (x 2 ,y 2 ,z 2) (3,3,0):
        • d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d = 12,69. Dies ist der gewünschte Radius des Balls.

   4. Beachten Sie, dass im Allgemeinen r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Alle auf der Oberfläche des Balls liegenden Punkte haben den gleichen Abstand vom Mittelpunkt des Balls. Wenn in der Formel zur Ermittlung des Abstands zwischen zwei Punkten „d“ durch „r“ ersetzt wird, erhält man eine Formel zur Berechnung des Kugelradius aus den bekannten Koordinaten (x 1,y 1,z 1) des Kugelmittelpunkts und die Koordinaten (x 2,y 2,z 2 ) jeder Punkt, der auf der Oberfläche des Balls liegt.

      • Quadrieren Sie beide Seiten dieser Gleichung und Sie erhalten r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2. Beachten Sie, dass diese Gleichung der Gleichung einer Kugel r 2 = x 2 + y 2 + z 2 entspricht, deren Mittelpunkt bei den Koordinaten (0,0,0) liegt.
   • Vergessen Sie nicht die Reihenfolge, in der mathematische Operationen ausgeführt werden. Wenn Sie sich an diese Reihenfolge nicht erinnern und Ihr Rechner mit Klammern arbeiten kann, verwenden Sie sie.
   • In diesem Artikel geht es um die Berechnung des Radius einer Kugel. Wenn Sie jedoch Schwierigkeiten beim Erlernen der Geometrie haben, beginnen Sie am besten damit, die mit einer Kugel verbundenen Größen anhand eines bekannten Radiuswerts zu berechnen.
   • π (Pi) ist ein Buchstabe des griechischen Alphabets, der eine Konstante bezeichnet, die dem Verhältnis des Durchmessers eines Kreises zur Länge seines Umfangs entspricht. Pi ist eine irrationale Zahl, die nicht als Verhältnis reeller Zahlen geschrieben wird. Es gibt viele Näherungen, zum Beispiel ermöglicht Ihnen das Verhältnis 333/106, Pi auf vier Dezimalstellen genau zu ermitteln. In der Regel verwenden sie den ungefähren Wert von Pi, der 3,14 beträgt.

Definition eines Balls

Ball ist ein Körper, dessen alle Punkte von einem gegebenen Punkt in einem Abstand von nicht mehr als R liegen.

Online-Rechner

Der gegebene Punkt, auf den sich die Definition einer Kugel bezieht, heißt Center dieser Ball. Und der genannte Abstand beträgt Radius von diesem Ball.

Eine Kugel hat analog zu einem Kreis auch einen Durchmesser D D D, was der doppelten Länge des Radius entspricht:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D=2 ⋅ R

Formel für das Volumen einer Kugel in Abhängigkeit von ihrem Radius

Das Volumen der Kugel wird nach folgender Formel berechnet:

Formel für das Volumen einer Kugel in Bezug auf den Radius

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3V=3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3

R R R- der Radius dieser Kugel.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Problem 1

Eine Kugel ist diagonal in einen Würfel eingeschrieben d d D was gleich ist 500 cm. \sqrt(500)\text( cm.)5 0 0 ​ cm . Finden Sie das Volumen des Balls.

Lösung

D = 500 d=\sqrt(500) d =5 0 0 ​

Zuerst müssen Sie die Seitenlänge des Würfels bestimmen. Wir gehen davon aus, dass es gleich ist ein a A. Daher ist die Diagonale des Würfels gleich (basierend auf dem Satz des Pythagoras):

D = a 2 + a 2 + a 2 d=\sqrt(a^2+a^2+a^2)d =A 2 + A 2 + A 2 ​

D = 3 ⋅ a 2 d=\sqrt(3\cdot a^2)d =3 ⋅ A 2 ​

D = 3 ⋅ a d=\sqrt(3)\cdot ad =3 ​ ⋅ A

500 = 3 ⋅ a \sqrt(500)=\sqrt(3)\cdot a5 0 0 ​ = 3 ​ ⋅ A

A = 500 3 a=\sqrt(\frac(500)(3))a =3 5 0 0 ​ ​

A ≈ 12,9 a\ungefähr 12,9 ein ≈1 2 . 9

Wenn eine Kugel in einen Würfel eingeschrieben ist, dann ist ihr Radius gleich der halben Seitenlänge dieses Würfels. Als Ergebnis haben wir:

R = 1 2 ⋅ a R=\frac(1)(2)\cdot aR=2 1 ​ ⋅ A

R = 1 2 ⋅ 12,9 ≈ 6,4 R=\frac(1)(2)\cdot 12,9\ approx6,4R=2 1 ​ ⋅ 1 2 . 9 ≈ 6 . 4

Der letzte Schritt besteht darin, das Volumen des Balls mithilfe der Formel zu ermitteln:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 4 3 ⋅ π ⋅ (6.4) 3 ≈ 1097, 5 cm 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3\ approx\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot (6,4)^3\ungefähr1097,5\text( cm)^3V=3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 3 4 ​ ⋅ π ⋅ (6 . 4 ) 3 ≈ 1 0 9 7 , 5 cm3

Antwort

1097,5 cm3. 1097,5\text( cm)^3.1 0 9 7 , 5 cm3 .

Formel für das Volumen einer Kugel im Verhältnis zu ihrem Durchmesser

Das Volumen einer Kugel lässt sich auch über ihren Durchmesser ermitteln. Dazu nutzen wir den Zusammenhang zwischen Radius und Durchmesser der Kugel:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D=2 ⋅ R

R = D 2 R=\frac(D)(2) R=2 D​

Setzen wir diesen Ausdruck in die Formel für das Volumen der Kugel ein:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 = 4 3 ⋅ π ⋅ (D 2) 3 = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3=\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot\Big(\frac(D)(2)\Big)^3=\frac(\pi)(6)\cdot D^3V=3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3 = 3 4 ​ ⋅ π ⋅ ( 2 D​ ) 3 = 6 π ​ ⋅ D 3

Volumen einer Kugel durch Durchmesser

V = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3V=6 π ​ ⋅ D 3

D D D- der Durchmesser dieser Kugel.

Problem 2

Der Durchmesser der Kugel beträgt 15 cm. 15\text( cm.) 1 5 cm . Finden Sie die Lautstärke.

Lösung

D=15 D=15 D=1 5

Setzen Sie den Durchmesserwert sofort in die Formel ein:

V = π 6 ⋅ D 3 = π 6 ⋅ 1 5 3 ≈ 1766,25 cm 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3=\frac(\pi)(6)\cdot 15^3\ ca. 1766,25\text( cm)^3V=6 π ​ ⋅ D 3 = 6 π ​ ⋅ 1 5 3 ≈ 1 7 6 6 . 2 5 cm3

Antwort

$1766.25\text{cm3 .}$

Eine Kugel ist ein geometrischer Rotationskörper, der durch die Drehung eines Kreises oder Halbkreises um seinen Durchmesser entsteht. Außerdem ist eine Kugel ein Raum, der von einer Kugeloberfläche begrenzt wird. Es gibt viele reale kugelförmige Objekte und damit verbundene Probleme, die die Bestimmung des Volumens einer Kugel erfordern.

Ball und Kugel

Der Kreis ist die älteste geometrische Figur, und alte Wissenschaftler haben ihm eine heilige Bedeutung beigemessen. Der Kreis ist ein Symbol für endlose Zeit und Raum, ein Symbol für das Universum und die Existenz. Nach Pythagoras ist der Kreis die schönste aller Figuren. Im dreidimensionalen Raum verwandelt sich ein Kreis in eine Kugel, so ideal, kosmisch und schön wie ein Kreis.

Kugel bedeutet im Altgriechischen „Kugel“. Eine Kugel ist eine Fläche, die aus unendlich vielen Punkten mit gleichem Abstand vom Mittelpunkt der Figur besteht. Der von einer Kugel begrenzte Raum ist eine Kugel. Eine Kugel ist eine ideale geometrische Figur, deren Form viele reale Objekte annehmen. Im wirklichen Leben haben beispielsweise Kanonenkugeln, Lager oder Kugeln die Form einer Kugel, in der Natur - Wassertropfen, Baumkronen oder Beeren, im Weltraum - Sterne, Meteore oder Planeten.

Ballvolumen

Die Bestimmung des Volumens einer Kugelfigur ist eine schwierige Aufgabe, da ein solcher geometrischer Körper nicht in Würfel oder dreieckige Prismen unterteilt werden kann, deren Volumenformeln bereits bekannt sind. Die moderne Wissenschaft ermöglicht es Ihnen, das Volumen einer Kugel mithilfe eines bestimmten Integrals zu berechnen. Aber wie wurde die Volumenformel im antiken Griechenland abgeleitet, als noch nie jemand von Integralen gehört hatte? Archimedes berechnete das Volumen einer Kugel anhand eines Kegels und eines Zylinders, da die Formeln für die Volumina dieser Figuren bereits vom antiken griechischen Philosophen und Mathematiker Demokrit festgelegt worden waren.

Archimedes stellte eine halbe Kugel mit identischen Kegeln und Zylindern dar, wobei der Radius jeder Figur gleich ihrer Höhe R = h war. Der antike Wissenschaftler stellte sich vor, dass Kegel und Zylinder in unendlich viele kleine Zylinder unterteilt seien. Archimedes erkannte, dass er das Volumen einer Halbkugel Vsh erhält, wenn er das Volumen des Kegels Vk vom Volumen des Zylinders Vc abzieht:

0,5 Vsh = Vc − Vk

Das Volumen eines Kegels wird mit einer einfachen Formel berechnet:

Vk = 1/3 × So × h,

aber wenn man das weiß In diesem Fall ist es die Fläche des Kreises und h = R, dann wird die Formel in Folgendes umgewandelt:

Vk = 1/3 × pi × R × R 2 = 1/3 pi × R 3

Das Volumen des Zylinders wird nach folgender Formel berechnet:

Vc = pi × R 2 × h,

Aber unter der Annahme, dass die Höhe des Zylinders gleich seinem Radius ist, erhalten wir:

Vc = pi × R 3 .

Mit diesen Formeln erhielt Archimedes:

0,5 Vsh = pi × R 3 – 1/3 pi × R 3 oder Vsh = 4/3 pi × R 3

Die moderne Definition der Formel für das Volumen einer Kugel leitet sich aus dem Integral der Fläche der Kugeloberfläche ab, das Ergebnis bleibt jedoch das gleiche

Vsh = 4/3 pi × R 3

Die Berechnung des Volumens einer Kugel kann sowohl im wirklichen Leben als auch bei der Lösung abstrakter Probleme erforderlich sein. Um das Volumen einer Kugel mit einem Online-Rechner zu berechnen, müssen Sie nur einen Parameter kennen, aus dem Sie wählen können: den Durchmesser oder Radius der Kugel. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiele aus dem Leben

Kanonenkugeln

Nehmen wir an, Sie möchten wissen, wie viel Gusseisen benötigt wird, um eine Kanonenkugel mit einem Kaliber von 1,80 m zu werfen. Sie wissen, dass der Durchmesser eines solchen Kerns 9,6 Zentimeter beträgt. Geben Sie diese Zahl in die Zelle „Durchmesser“ des Rechners ein und Sie erhalten die Antwort als

Um eine Kanonenkugel eines bestimmten Kalibers zu schmelzen, benötigt man also 463 Kubikzentimeter oder 0,463 Liter Gusseisen.

Luftballons

Vielleicht sind Sie neugierig, wie viel Luft benötigt wird, um einen Ballon in eine perfekte Kugelform aufzublasen. Sie wissen, dass der Radius des ausgewählten Balls 10 cm beträgt. Geben Sie diesen Wert in die Rechnerzelle „Radius“ ein und Sie erhalten das Ergebnis

Das bedeutet, dass zum Aufblasen eines solchen Ballons 4188 Kubikzentimeter oder 4,18 Liter Luft benötigt werden.

Abschluss

Die Notwendigkeit, das Volumen eines Balls zu bestimmen, kann in verschiedenen Situationen auftreten: von abstrakten Schulproblemen bis hin zu wissenschaftlichen Forschungs- und Produktionsproblemen. Um Fragen beliebiger Komplexität zu lösen, nutzen Sie unseren Online-Rechner, der Ihnen sofort das genaue Ergebnis und die notwendigen mathematischen Berechnungen liefert.

Ball Dies ist ein geometrischer Körper, der durch die Drehung eines Halbkreises um die Achse seines Durchmessers entsteht.

Berechnen Sie das Volumen der Kugel

Ballvolumen kann mit der Formel berechnet werden:

R – Radius der Kugel

V – Volumen des Balls

Ermitteln Sie das Volumen einer Kugel mit einem Radius von Zentimetern.

Um das Volumen einer Kugel zu berechnen, wird folgende Formel verwendet:

Wo ist das erforderliche Volumen der Kugel, –, ist der Radius.

Bei einem Radius von Zentimetern ist das Volumen der Kugel also gleich:

V

3,14×103

= 4186,7

Kubikzentimeter.

In der Geometrie Ball ist definiert als ein bestimmter Körper, der eine Ansammlung aller Punkte im Raum ist, die sich vom Mittelpunkt in einem Abstand von nicht mehr als einem bestimmten Abstand befinden, der als Radius der Kugel bezeichnet wird.

Die Oberfläche der Kugel wird Kugel genannt, und die Kugel selbst entsteht durch Drehung eines Halbkreises um ihren Durchmesser, wobei sie bewegungslos bleibt.

Dieser geometrische Körper wird häufig von Konstrukteuren und Architekten angetroffen, die oft darauf angewiesen sind Berechnen Sie das Volumen einer Kugel. Beispielsweise werden bei der Konstruktion der Vorderradaufhängung der allermeisten modernen Autos sogenannte Kugelgelenke verwendet, bei denen, wie der Name schon vermuten lässt, Kugeln eines der Hauptelemente sind.

Mit ihrer Hilfe werden die Naben der gelenkten Räder und Hebel verbunden. Wie richtig es sein wird berechnet Ihr Volumen hängt nicht nur von der Haltbarkeit dieser Einheiten und der korrekten Funktionsweise ab, sondern auch von der Verkehrssicherheit.

In der Technik werden häufig Teile wie Kugellager verwendet, mit deren Hilfe Achsen in den festen Teilen verschiedener Bauteile und Baugruppen befestigt und deren Drehung sichergestellt werden.

Es ist zu beachten, dass die Konstrukteure bei der Berechnung das Volumen der Kugel (bzw. der im Käfig platzierten Kugeln) mit einem hohen Maß an Genauigkeit ermitteln müssen. Bei der Herstellung von Lagerkugeln aus Metall erfolgt die Herstellung aus Metalldraht in einem komplexen Verfahren, das die Schritte Umformen, Härten, Grobschleifen, Endbearbeiten und Reinigen umfasst.

Übrigens werden die Kugeln, die im Design aller Kugelschreiber enthalten sind, mit genau der gleichen Technologie hergestellt.

Sehr häufig werden Kugeln in der Architektur verwendet, wo sie meist dekorative Elemente von Gebäuden und anderen Bauwerken sind.

In den meisten Fällen bestehen sie aus Granit, was oft viel Handarbeit erfordert. Natürlich ist es nicht notwendig, bei der Herstellung dieser Kugeln eine so hohe Präzision einzuhalten, wie sie in verschiedenen Einheiten und Mechanismen verwendet wird.

Ein so interessantes und beliebtes Spiel wie Billard ist ohne Bälle undenkbar. Für ihre Herstellung werden verschiedene Materialien (Knochen, Stein, Metall, Kunststoffe) und verschiedene technologische Verfahren verwendet.

Eine der Hauptanforderungen an Billardkugeln ist ihre hohe Festigkeit und die Fähigkeit, hohen mechanischen Belastungen (vor allem Stößen) standzuhalten. Darüber hinaus muss ihre Oberfläche eine exakte Kugel sein, um ein reibungsloses und gleichmäßiges Abrollen auf der Oberfläche der Billardtische zu gewährleisten.

Schließlich kommt kein einziger Neujahrs- oder Weihnachtsbaum ohne geometrische Körper wie Kugeln aus. Diese Dekorationen werden in den meisten Fällen aus Glas im Blasverfahren hergestellt, wobei bei ihrer Herstellung nicht auf Maßhaltigkeit, sondern auf die Ästhetik der Produkte größtes Augenmerk gelegt wird.

Der technologische Prozess ist nahezu vollständig automatisiert und die Weihnachtskugeln werden ausschließlich manuell verpackt.

Eine Kugel ist einer der einfachsten geometrischen Körper, bei dem alle Punkte auf ihrer Oberfläche den gleichen Abstand vom Bildmittelpunkt haben. Der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zu einem beliebigen Punkt auf ihrer Oberfläche wird Radius genannt.

Ballvolumen

Der Durchmesser der Kugel wird als doppelter Radius bezeichnet.

So ermitteln Sie das Volumen einer Kugel um ihren Radius

Wenn wir den Radius einer Kugel kennen, können wir ihre Größe leicht berechnen. Multiplizieren Sie dazu den Würfel mit dem Radius und der vierfachen Zahl Pi und teilen Sie das Ergebnis anschließend durch drei. Die Formel zur Bestimmung des Volumens einer Kugel anhand ihres Radius lautet wie folgt: .
Für diejenigen, die es vergessen haben: Wir erinnern uns, dass Pi ein fester Wert ist und 3,14 entspricht.

So ermitteln Sie das Volumen einer Kugel anhand des Durchmessers

Wenn der Durchmesser der Kugel aus den Bedingungen des Problems bekannt ist, wird ihr Volumen mit der folgenden Formel berechnet: , also.

die Zahl Pi sollte mit dem Durchmesser des Durchmessers multipliziert werden, dann wird das Ergebnis durch 6 geteilt.

So bestimmen Sie die Masse einer Kugel

Die Körpermasse ist eine physikalische Größe, die den Grad ihrer Trägheit angibt. Die Masse eines physischen Körpers hängt vom Volumen des eingenommenen Raums und der Dichte des Materials ab, aus dem er zusammengesetzt ist. Das Volumen eines Körpers regelmäßiger Form (z. B. schlagen) ist nicht schwer zu berechnen, und wenn auch das Material bekannt ist, aus dem es besteht, in großen Mengen es darf sehr primitiv sein.

Anweisungen

Erste Geben Sie den Betrag ein schlagen .

So berechnen Sie das Volumen einer Kugel

Dazu reicht es aus, einen Ihrer Parameter zu kennen – Radius, Durchmesser, Oberfläche usw. Sagen Sie mir, ob Sie den Durchmesser kennen schlagen(d) darf sein Volumen (V) als ein Sechstel eines Produktes mit würfelförmig ansteigendem Durchmesser mit der Zahl Pi bestimmt werden: ​​V = π * d? / 6. Durch den Radius schlagen(r) Das Volumen wird als ein Drittel des Produkts von Pi ausgedrückt, das sich mit dem im Würfel platzierten Radius vervierfacht: V = 4 * π * r? / 3.

zweite zählen in großen Mengenschlagen(m), multiplizieren Sie sein Volumen mit der herrlichen Dichte der Materie (p): m = p * V.

Wenn das das Material ist schlagen nicht homogen, dann müssen wir die durchschnittliche Dichte nehmen. In dieser Formel ersetzen wir das Volumen schlagen Aufgrund seiner bekannten Parameter ist es zulässig, den bekannten Durchmesser anzunehmen schlagen Formel m = p * π * d? / 6 und für den Hauptradius m = p * 4 * π * r? / 3.

dritte Verwenden Sie für Berechnungen beispielsweise den typischen Software-Rechner, der mit dem Basis-Windows-Betriebssystem geliefert wird, also jeder heute verwendeten leistungsstarken Version.

Der einfachste Einstieg besteht darin, Win + R zu drücken, um den typischen Dialog zum Ausführen des Programms zu öffnen, dann den Befehl calc einzugeben und auf OK zu klicken.

Erweitern Sie im Menü „Rechner“ den Abschnitt „Ansicht“ und wählen Sie die Zeile „Ingenieur“ oder „Wissenschaftler“ (je nach verwendeter Betriebssystemversion) – die Schnittstelle dieses Modus verfügt über eine Schaltfläche zur Eingabe der Pi-Nummer mit eins klicken. Die Operationen Multiplikation und Division in diesem Rechner müssen keine Fragen aufwerfen, sondern werden bei der Berechnung der Masse ermittelt schlagen Es gibt mehrere Schaltflächen mit den Symbolen x^2 und x^3.

WASSER- UND SANITÄRGESTALTUNG

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Berechnen des Volumens einer Kugel anhand von Radius oder Durchmesser

Eine Kugel ist ein geometrischer Körper, der eine Ansammlung aller Punkte im Raum ist, die sich in einem bestimmten Abstand vom Mittelpunkt befinden.

So berechnen Sie das Volumen einer Kugel

Das wichtigste mathematische Merkmal einer Kugel ist ihr Radius.

Die Zahl einer Kugel ist ein quantitatives Merkmal dieser Zahl im Universum.

Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel:

V = 4/3 * π * r 3

V = 1/6 * π * d 3

r ist der Radius der Kugel;
d ist der Durchmesser der Kugel.

Siehe auch den Artikel zu allen geometrischen Formen (linear 1D, flach 2D und 3D 3D).

Diese Seite ist der einfachste Webrechner zur Berechnung des Volumens einer Kugel anhand des Radius oder Durchmessers.