Lektionen 32-33. Umkehren trigonometrische Funktionen

09.07.2015 6432 0

Ziel: Betrachten Sie inverse trigonometrische Funktionen und ihre Verwendung zum Schreiben von Lösungen trigonometrische Gleichungen.

I. Vermittlung des Themas und Zwecks des Unterrichts

II. Neues Material lernen

1. Inverse trigonometrische Funktionen

Beginnen wir unsere Diskussion dieses Themas mit dem folgenden Beispiel.

Beispiel 1

Lösen wir die Gleichung: a) Sünde x = 1/2; b) Sünde x = a.

a) Auf der Ordinatenachse tragen wir den Wert 1/2 ein und konstruieren die Winkel x 1 und x2, wofür Sünde x = 1/2. In diesem Fall x1 + x2 = π, daher x2 = π – x 1 . Mithilfe der Wertetabelle der trigonometrischen Funktionen ermitteln wir dann den Wert x1 = π/6Berücksichtigen wir die Periodizität der Sinusfunktion und schreiben wir die Lösungen auf gegebene Gleichung: wobei k ∈ Z.

b) Offensichtlich der Algorithmus zur Lösung der Gleichung Sünde x = a ist dasselbe wie im vorherigen Absatz. Natürlich wird nun der Wert a auf der Ordinatenachse aufgetragen. Es besteht die Notwendigkeit, den Winkel x1 irgendwie zu bezeichnen. Wir haben vereinbart, diesen Winkel mit dem Symbol zu kennzeichnen Arcsin A. Dann können die Lösungen dieser Gleichung in die Form geschrieben werdenDiese beiden Formeln können zu einer kombiniert werden: dabei

Die übrigen inversen trigonometrischen Funktionen werden auf ähnliche Weise eingeführt.

Sehr oft ist es notwendig, die Größe des Winkels zu bestimmen bekannter Wert seine trigonometrische Funktion. Ein solches Problem ist mehrwertig – es gibt unzählige Winkel, deren trigonometrische Funktionen den gleichen Wert haben. Basierend auf der Monotonie trigonometrischer Funktionen werden daher die folgenden inversen trigonometrischen Funktionen eingeführt, um Winkel eindeutig zu bestimmen.

Arcussinus der Zahl a (Arcsinus , dessen Sinus gleich a ist, d.h.

Arkuskosinus einer Zahl a(arccos a) ist ein Winkel a aus dem Intervall, dessen Kosinus gleich a ist, d.h.

Arkustangens einer Zahl a(arctg a) - ein solcher Winkel a aus dem Intervalldessen Tangens gleich a ist, d.h.tg a = a.

Arckotangens einer Zahl a(arcctg a) ist ein Winkel a aus dem Intervall (0; π), dessen Kotangens gleich a ist, d.h. ctg a = a.

Beispiel 2

Lass uns finden:

Unter Berücksichtigung der Definitionen inverser trigonometrischer Funktionen erhalten wir:

Beispiel 3

Rechnen wir

Sei der Winkel a = arcsin 3/5, dann per Definition sin a = 3/5 und . Deshalb müssen wir finden cos A. Mit Basic trigonometrische Identität, wir bekommen:Es wird berücksichtigt, dass cos a ≥ 0. Also,

Funktionseigenschaften	Funktion
	y = arcsin x	y = arccos x	y = arctan x	y = arcctg x
Domain	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Wertebereich	y ∈ [ -π/2 ; π /2 ]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0;π)
Parität	Seltsam	Weder gerade noch ungerade	Seltsam	Weder gerade noch ungerade
Funktionsnullstellen (y = 0)	Bei x = 0	Bei x = 1	Bei x = 0	y ≠ 0
Intervalle der Vorzeichenkonstanz	y > 0 für x ∈ (0; 1], bei< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 für x ∈ [-1; 1)	y > 0 für x ∈ (0; +∞), bei< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 für x ∈ (-∞; +∞)
Monoton	Zunehmend	Absteigend	Zunehmend	Absteigend
Beziehung zur trigonometrischen Funktion	Sünde y = x	weil y = x	tg y = x	ctg y = x
Zeitplan

Lassen Sie uns eine Reihe typischerer Beispiele im Zusammenhang mit den Definitionen und grundlegenden Eigenschaften inverser trigonometrischer Funktionen geben.

Beispiel 4

Finden wir den Definitionsbereich der Funktion

Damit die Funktion y definiert werden kann, muss die Ungleichung erfüllt seinwas dem System der Ungleichungen entsprichtDie Lösung der ersten Ungleichung ist das Intervall x∈ (-∞; +∞), Sekunde - Dieses Intervall und ist eine Lösung des Ungleichungssystems und damit des Definitionsbereichs der Funktion

Beispiel 5

Finden wir den Änderungsbereich der Funktion

Betrachten wir das Verhalten der Funktion z = 2x - x2 (siehe Bild).

Es ist klar, dass z ∈ (-∞; 1]. In Anbetracht dessen, dass das Argument z Die Arkuskotangensfunktion variiert innerhalb der angegebenen Grenzen. Aus den Tabellendaten erhalten wir diesAlso der Bereich der Veränderung

Beispiel 6

Beweisen wir, dass die Funktion y = arctg x ungerade. LassenDann ist tg a = -x oder x = - tg a = tg (- a), und Daher ist - a = arctg x oder a = - arctg X. So sehen wir dasd.h. y(x) ist eine ungerade Funktion.

Beispiel 7

Lassen Sie uns durch alle inversen trigonometrischen Funktionen ausdrücken

Lassen Es ist klar, dass Dann seitdem

Lassen Sie uns den Winkel vorstellen Als Das

Ebenso deshalb Und

Also,

Beispiel 8

Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion y = erstellen cos(arcsin x).

Bezeichnen wir also a = arcsin x Berücksichtigen wir, dass x = sin a und y = cos a, also x 2 + y2 = 1 und Einschränkungen für x (x∈ [-1; 1]) und y (y ≥ 0). Dann ist der Graph der Funktion y = cos(arcsin x) ist ein Halbkreis.

Beispiel 9

Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion y = erstellen arccos (cos x ).

Da die cos-Funktion x ändert sich im Intervall [-1; 1], dann ist die Funktion y auf der gesamten numerischen Achse definiert und variiert auf dem Segment . Denken wir daran, dass y = arccos(cosx) = x auf dem Segment; Die Funktion y ist gerade und periodisch mit der Periode 2π. In Anbetracht dessen, dass die Funktion diese Eigenschaften hat weil x Jetzt ist es ganz einfach, ein Diagramm zu erstellen.

Beachten wir einige nützliche Gleichheiten:

Beispiel 10

Finden wir das kleinste und Höchster Wert Funktionen Bezeichnen wir Dann Holen wir uns die Funktion Diese Funktion hat an diesem Punkt ein Minimum z = π/4, und es ist gleich An dieser Stelle wird der größte Wert der Funktion erreicht z = -π/2, und es ist gleich So und

Beispiel 11

Lassen Sie uns die Gleichung lösen

Berücksichtigen wir das Dann sieht die Gleichung so aus:oder Wo Per Definition des Arkustangens erhalten wir:

2. Einfache trigonometrische Gleichungen lösen

Ähnlich wie in Beispiel 1 können Sie Lösungen für die einfachsten trigonometrischen Gleichungen erhalten.

Die gleichung	Lösung
tgx = a
ctg x = a

Beispiel 12

Lassen Sie uns die Gleichung lösen

Da die Sinusfunktion ungerade ist, schreiben wir die Gleichung in der FormLösungen dieser Gleichung:Woher finden wir es?

Beispiel 13

Lassen Sie uns die Gleichung lösen

Mit der angegebenen Formel schreiben wir die Lösungen der Gleichung auf:und wir werden es finden

Beachten Sie, dass in Sonderfällen (a = 0; ±1) beim Lösen der Gleichungen gilt sin x = a und cos x =, aber es ist einfacher und bequemer, es nicht zu verwenden allgemeine Formeln, und notieren Sie Lösungen basierend auf dem Einheitskreis:

für die Gleichung sin x = 1 Lösung

für die Gleichung sin x = 0 Lösungen x = π k;

für die Gleichung sin x = -1 Lösung

für die cos-Gleichung x = 1 Lösungen x = 2π k ;

für die Gleichung cos x = 0 Lösungen

für die Gleichung cos x = -1 Lösung

Beispiel 14

Lassen Sie uns die Gleichung lösen

Denn in diesem Beispiel gibt es besonderer Fall Gleichungen, dann schreiben wir mit der entsprechenden Formel die Lösung:Woher können wir es finden?

III. Kontrollfragen (Frontalbefragung)

1. Definieren und listen Sie die Haupteigenschaften inverser trigonometrischer Funktionen auf.

2. Geben Sie Diagramme inverser trigonometrischer Funktionen an.

3. Einfache trigonometrische Gleichungen lösen.

IV. Unterrichtsaufgabe

§ 15 Nr. 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16 Nr. 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

§ 17 Nr. 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).

V. Hausaufgaben

§ 15 Nr. 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;

§ 16 Nr. 4 (c, d); 7 (b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);

§ 17 Nr. 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

VI. Kreative Aufgaben

1. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion:

Antworten:

2. Finden Sie den Bereich der Funktion:

Antworten:

3. Zeichnen Sie einen Graphen der Funktion:

VII. Zusammenfassung der Lektionen

Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik

Experiment

Lektion 9. Inverse trigonometrische Funktionen.

Üben

Zusammenfassung der Lektion

Bei der Lösung trigonometrischer Gleichungen und Ungleichungen benötigen wir vor allem die Fähigkeit, mit Bogenfunktionen zu arbeiten.

Die Aufgaben, die wir nun betrachten, sind in zwei Typen unterteilt: Berechnung der Werte inverser trigonometrischer Funktionen und ihrer Transformationen anhand grundlegender Eigenschaften.

Berechnung der Werte von Bogenfunktionen

Beginnen wir mit der Berechnung der Werte der Bogenfunktionen.

Aufgabe Nr. 1. Berechnung.

Wie wir sehen, sind alle Argumente von Bogenfunktionen positiv und tabellarisch, was bedeutet, dass wir den Winkelwert aus dem ersten Teil der Wertetabelle trigonometrischer Funktionen für Winkel von bis wiederherstellen können. Dieser Winkelbereich ist im Wertebereich jeder Bogenfunktion enthalten. Wir verwenden also einfach die Tabelle, suchen darin den Wert der trigonometrischen Funktion und stellen fest, welchem ​​Winkel er entspricht.

A)

B)

V)

G)

Antwort. .

Aufgabe Nr. 2. Berechnung

.

In diesem Beispiel sehen wir bereits negative Argumente. Häufiger Fehler In diesem Fall müssen Sie lediglich das Minus unter der Funktion entfernen und die Aufgabe einfach auf die vorherige reduzieren. Dies ist jedoch nicht in allen Fällen möglich. Erinnern wir uns daran, wie wir im theoretischen Teil der Lektion die Parität aller Bogenfunktionen besprochen haben. Die ungeraden sind Arkussinus und Arkustangens, d. h. das Minus wird aus ihnen herausgenommen, und Arkuskosinus und Arkuskotangens sind Funktionen Gesamtansicht Um das Minus im Argument zu vereinfachen, gibt es spezielle Formeln. Um Fehler zu vermeiden, prüfen wir nach der Berechnung, ob das Ergebnis innerhalb des Wertebereichs liegt.

Wenn die Funktionsargumente in positiver Form vereinfacht werden, schreiben wir die entsprechenden Winkelwerte aus der Tabelle aus.

Es kann sich die Frage stellen: Warum nicht den Wert des entsprechenden Winkels beispielsweise direkt aus der Tabelle notieren? Erstens, weil die Tabelle davor schwerer zu merken ist als zuvor, und zweitens, weil darin keine negativen Sinuswerte enthalten sind, und negative Werte Tangente ergibt laut Tabelle den falschen Winkel. Es ist besser, einen universellen Lösungsansatz zu haben, als sich durch viele verschiedene Lösungsansätze verwirren zu lassen.

Aufgabe Nr. 3. Berechnung.

a) Ein typischer Fehler in diesem Fall besteht darin, ein Minus herauszunehmen und etwas zu vereinfachen. Das erste, was auffällt, ist, dass das Arkussinus-Argument nicht im Geltungsbereich von liegt

Daher hat dieser Eintrag keine Bedeutung und der Arkussinus kann nicht berechnet werden.

b) Der Standardfehler in diesem Fall besteht darin, dass sie die Werte des Arguments und der Funktion verwechseln und die Antwort geben. Das ist nicht wahr! Natürlich entsteht der Gedanke, dass in der Tabelle der Kosinus dem Wert entspricht, aber in diesem Fall ist es verwirrend, dass Bogenfunktionen nicht aus Winkeln, sondern aus den Werten trigonometrischer Funktionen berechnet werden. Das ist nicht .

Da wir außerdem herausgefunden haben, was genau das Argument des Arkuskosinus ist, müssen wir überprüfen, ob es im Definitionsbereich enthalten ist. Um dies zu erreichen, erinnern wir uns daran , d. h., was bedeutet, dass der Arkuskosinus keinen Sinn ergibt und nicht berechnet werden kann.

Übrigens macht der Ausdruck zum Beispiel Sinn, weil , aber da der Wert des Kosinus gleich nicht tabellarisch ist, ist es unmöglich, den Arkuskosinus anhand der Tabelle zu berechnen.

Antwort. Die Ausdrücke ergeben keinen Sinn.

In diesem Beispiel berücksichtigen wir Arkustangens und Arkuskotangens nicht, da ihr Definitionsbereich nicht begrenzt ist und die Funktionswerte für beliebige Argumente gelten.

Aufgabe Nr. 4. Berechnung .

Im Wesentlichen läuft die Aufgabe auf die allererste Aufgabe hinaus. Wir müssen lediglich die Werte der beiden Funktionen separat berechnen und sie dann in den ursprünglichen Ausdruck einsetzen.

Das Arkustangens-Argument ist tabellarisch und das Ergebnis gehört zum Wertebereich.

Das Arkuskosinus-Argument ist nicht tabellarisch, aber das sollte uns nicht erschrecken, denn egal, was der Arkuskosinus ist, sein Wert, wenn er mit Null multipliziert wird, ergibt Null. Es bleibt noch ein wichtiger Hinweis: Es muss überprüft werden, ob das Arkuskosinus-Argument zum Definitionsbereich gehört, denn wenn dies nicht der Fall ist, ergibt der gesamte Ausdruck keinen Sinn, unabhängig davon, ob er eine Multiplikation mit Null enthält . Aber deshalb können wir sagen, dass es Sinn macht und wir erhalten als Antwort eine Null.

Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel geben, bei dem es notwendig ist, eine Bogenfunktion berechnen zu können und dabei den Wert einer anderen zu kennen.

Problem Nr. 5. Berechnen Sie, ob das bekannt ist.

Es mag den Anschein haben, dass es notwendig ist, zuerst den Wert von x aus der angegebenen Gleichung zu berechnen und ihn dann in den gewünschten Ausdruck, d. h. in den Umkehrtangens, einzusetzen, aber das ist nicht notwendig.

Erinnern wir uns an die Formel, nach der diese Funktionen miteinander in Beziehung stehen:

Und lassen Sie uns daraus zum Ausdruck bringen, was wir brauchen:

Um sicherzugehen, können Sie überprüfen, ob das Ergebnis im Bogenkotangensbereich liegt.

Transformationen von Bogenfunktionen anhand ihrer Grundeigenschaften

Kommen wir nun zu einer Reihe von Aufgaben, bei denen wir Transformationen von Bogenfunktionen unter Verwendung ihrer Grundeigenschaften verwenden müssen.

Problem Nr. 6. Berechnung .

Zur Lösung verwenden wir die Grundeigenschaften der angegebenen Bogenfunktionen und achten dabei lediglich auf die Prüfung der entsprechenden Einschränkungen.

A)

B) .

Antwort. A) ; B) .

Problem Nr. 7. Berechnung.

Ein typischer Fehler in diesem Fall besteht darin, als Antwort sofort 4 zu schreiben. Wie wir im vorherigen Beispiel angedeutet haben, ist es für die Nutzung der grundlegenden Eigenschaften von Arc-Funktionen notwendig, die entsprechenden Einschränkungen ihres Arguments zu überprüfen. Wir kümmern uns um die Immobilie:

bei

Aber . Das Wichtigste in dieser Phase der Entscheidung ist, nicht zu glauben, dass der angegebene Ausdruck keinen Sinn ergibt und nicht berechnet werden kann. Schließlich können wir die Vier, die das Argument des Tangens ist, reduzieren, indem wir die Periode des Tangens subtrahieren, und dies hat keinen Einfluss auf den Wert des Ausdrucks. Nachdem wir diese Schritte ausgeführt haben, haben wir die Möglichkeit, das Argument so zu reduzieren, dass es in den angegebenen Bereich fällt.

Denn seitdem, also, , Weil .

Problem Nr. 8. Berechnung.

Im obigen Beispiel haben wir es mit einem Ausdruck zu tun, der der Grundeigenschaft des Arkussinus ähnelt, aber nur Kofunktionen enthält. Es muss auf die Form Sinus von Arcussinus oder Cosinus von Arccosinus reduziert werden. Da es einfacher ist, direkte trigonometrische Funktionen umzuwandeln als inverse, gehen wir mithilfe der Formel „trigonometrische Einheit“ vom Sinus zum Kosinus über.

Wie wir bereits wissen:

In unserem Fall in der Rolle. Lassen Sie uns zunächst der Einfachheit halber rechnen .

Bevor wir ihn in die Formel einsetzen, wollen wir sein Vorzeichen herausfinden, d. h. das Vorzeichen des ursprünglichen Sinus. Wir müssen den Sinus aus dem Arkuskosinuswert berechnen. Was auch immer dieser Wert ist, wir wissen, dass er im Bereich liegt. Dieser Bereich entspricht den Winkeln des ersten und zweiten Viertels, in denen der Sinus positiv ist (überprüfen Sie dies selbst anhand eines trigonometrischen Kreises).

Am heutigen praktische Lektion Wir haben uns mit der Berechnung und Transformation von Ausdrücken befasst, die inverse trigonometrische Funktionen enthalten

Stärken Sie den Stoff mit Trainingsgeräten

Trainer 1 Trainer 2 Trainer 3 Trainer 4 Trainer 5

Die Abschlussarbeit zum Thema „Inverse trigonometrische Funktionen. Probleme mit inversen trigonometrischen Funktionen“ wurde in Fortbildungsveranstaltungen abgeschlossen.

Enthält kurzes theoretisches Material, detaillierte Beispiele und Aufgaben zur unabhängigen Lösung für jeden Abschnitt.

Die Arbeit richtet sich an Gymnasiasten und Lehrer.

Herunterladen:

Vorschau:

ABSCHLUSSARBEIT

THEMA:

„INVERSE TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN.

PROBLEME MIT INVERSEN TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN

Durchgeführt:

Mathematiklehrer

Städtische Bildungseinrichtung Sekundarschule Nr. 5, Lermontov

GORBACHENKO V.I.

Pjatigorsk 2011

INVERSE TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN.

PROBLEME MIT INVERSEN TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN

1. KURZE THEORETISCHE INFORMATIONEN

1.1. Lösungen der einfachsten Gleichungen mit inversen trigonometrischen Funktionen:

Tabelle 1.

Die gleichung	Lösung

1.2. Lösen einfacher Ungleichungen mit inversen trigonometrischen Funktionen

Tabelle 2.

Ungleichheit	Lösung

1.3. Einige Identitäten für inverse trigonometrische Funktionen

Aus der Definition inverser trigonometrischer Funktionen ergeben sich die Identitäten

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

Darüber hinaus die Identitäten

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

Identitäten, die sich auf ungleiche inverse trigonometrische Funktionen beziehen

(9)

(10)

2. GLEICHUNGEN, DIE INVERSE TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN ENTHALTEN

2.1. Gleichungen der Form usw.

Solche Gleichungen reduzieren sich auf rationale Gleichungen Auswechslung.

Beispiel.

Lösung.

Ersatz ( ) reduziert die Gleichung auf eine quadratische Gleichung, deren Wurzeln.

Wurzel 3 erfüllt die Bedingung nicht.

Dann erhalten wir die umgekehrte Substitution

Antwort .

Aufgaben.

2.2. Gleichungen der Form, Wo - rationale Funktion.

Um Gleichungen dieser Art zu lösen, ist es notwendig, zu setzen, lösen Sie die Gleichung der einfachsten Formund führen Sie die umgekehrte Substitution durch.

Beispiel.

Lösung .

Lassen . Dann

Antwort . .

Aufgaben .

2.3. Gleichungen, die entweder unterschiedliche Bogenfunktionen oder Bogenfunktionen mit unterschiedlichen Argumenten enthalten.

Wenn die Gleichung Ausdrücke enthält, die unterschiedliche Bogenfunktionen enthalten, oder diese Bogenfunktionen von unterschiedlichen Argumenten abhängen, erfolgt die Reduktion solcher Gleichungen auf ihre algebraische Konsequenz normalerweise durch die Berechnung einer trigonometrischen Funktion auf beiden Seiten der Gleichung. Die entstehenden Fremdwurzeln werden durch Inspektion abgetrennt. Wenn Tangens oder Kotangens als direkte Funktion gewählt wird, gehen möglicherweise Lösungen verloren, die im Definitionsbereich dieser Funktionen enthalten sind. Bevor Sie den Wert des Tangens oder Kotangens auf beiden Seiten der Gleichung berechnen, sollten Sie daher sicherstellen, dass sich zwischen den Punkten, die nicht im Definitionsbereich dieser Funktionen enthalten sind, keine Wurzeln der ursprünglichen Gleichung befinden.

Beispiel.

Lösung .

Lasst uns einen neuen Termin vereinbaren auf die rechte Seite und berechnen Sie den Sinuswert auf beiden Seiten der Gleichung

Als Ergebnis von Transformationen erhalten wir

Die Wurzeln dieser Gleichung

Lass uns das Prüfen

Wenn wir haben

Auf diese Weise, ist die Wurzel der Gleichung.

Ersetzen Beachten Sie, dass die linke Seite der resultierenden Beziehung positiv und die rechte Seite negativ ist. Auf diese Weise,- Fremdwurzel der Gleichung.

Antwort. .

Aufgaben.

2.4. Gleichungen, die inverse trigonometrische Funktionen eines Arguments enthalten.

Solche Gleichungen können unter Verwendung der Grundidentitäten (1) – (10) auf das einfachste reduziert werden.

Beispiel.

Lösung.

Antwort.

Aufgaben.

3. Ungleichungen mit inversen trigonometrischen Funktionen

3.1. Die einfachsten Ungleichungen.

Die Lösung der einfachsten Ungleichungen basiert auf der Anwendung der Formeln in Tabelle 2.

Beispiel.

Lösung.

Weil , dann ist die Lösung der Ungleichung das Intervall.

Antwort .

Aufgaben.

3.2. Ungleichungen der Form, - eine rationale Funktion.

Ungleichungen der Form, ist eine rationale Funktion und- Eine der inversen trigonometrischen Funktionen wird in zwei Schritten gelöst: Zunächst wird die Ungleichung bezüglich der Unbekannten gelöst, und dann die einfachste Ungleichung, die die umgekehrte trigonometrische Funktion enthält.

Beispiel.

Lösung.

Dann lass es sein

Lösungen für Ungleichheiten

Zurück zur ursprünglichen Unbekannten stellen wir fest, dass die ursprüngliche Ungleichung auf zwei einfachste reduziert werden kann

Durch die Kombination dieser Lösungen erhalten wir Lösungen für die ursprüngliche Ungleichung

Antwort .

Aufgaben.

3.3. Ungleichungen, die entweder entgegengesetzte Bogenfunktionen oder Bogenfunktionen unterschiedlicher Argumente enthalten.

Es ist praktisch, Ungleichungen zu lösen, die die Werte verschiedener inverser trigonometrischer Funktionen oder die aus verschiedenen Argumenten berechneten Werte einer trigonometrischen Funktion verbinden, indem die Werte einer trigonometrischen Funktion von beiden Seiten der Ungleichungen berechnet werden. Es ist zu beachten, dass die resultierende Ungleichung nur dann der ursprünglichen Ungleichung entspricht, wenn die Wertemenge der rechten und linken Seite der ursprünglichen Ungleichung zum gleichen Monotonieintervall dieser trigonometrischen Funktion gehört.

Beispiel.

Lösung.

Ein Haufen akzeptable Werte in der Ungleichung enthalten:. Bei . Daher die Wertesind keine Lösungen für die Ungleichung.

Bei sowohl die rechte als auch die linke Seite der Ungleichung haben Werte, zum Intervall gehörend . Weil zwischenDie Sinusfunktion steigt dann monoton andie ursprüngliche Ungleichung ist äquivalent

Lösung der letzten Ungleichung

Kreuzung mit Lücke, wir bekommen eine Lösung

Antwort.

Kommentar. Kann mit gelöst werden

Aufgaben.

3.4. Ungleichheit der Form, Wo - eine der inversen trigonometrischen Funktionen,- rationale Funktion.

Solche Ungleichungen werden durch Substitution gelöstund Reduktion auf die einfachste Ungleichung in Tabelle 2.

Beispiel.

Lösung.

Dann lass es sein

Machen wir die umgekehrte Substitution und erhalten das System

Antwort .

Aufgaben.

Bundesagentur für Bildung der Russischen Föderation

Staatliche Bildungseinrichtung für höhere Berufsbildung „Mari State University“

Fachbereich Mathematik und MPM

Kursarbeit

Inverse trigonometrische Funktionen

Durchgeführt:

Student

33 JNF-Gruppen

Yashmetova L. N.

Wissenschaftlicher Leiter:

Ph.D. AssistenzprofessorIn

Borodina M.V.

Joschkar-Ola

Einleitung……………………………………………………………………………………...3

Kapitel I. Definition inverser trigonometrischer Funktionen.

1.1. Funktion y =Arcsin X……………………………………………………........4

1.2. Funktion y =arccos X…………………………………………………….......5

1.3. Funktion y =arctg X………………………………………………………….6

1.4. Funktion y =arcctg X…………………………………………………….......7

Kapitel II. Gleichungen mit inversen trigonometrischen Funktionen lösen.

Grundlegende Beziehungen für inverse trigonometrische Funktionen....8

Lösen von Gleichungen mit inversen trigonometrischen Funktionen……………………………………………………………………………..11

Berechnung der Werte inverser trigonometrischer Funktionen............21

Fazit……………………………………………………………………………….25

Referenzliste……………………………………………………………...26

Einführung

Bei vielen Problemen besteht die Notwendigkeit, nicht nur die Werte trigonometrischer Funktionen aus einem bestimmten Winkel zu finden, sondern umgekehrt auch einen Winkel oder Bogen aus Wert einstellen eine trigonometrische Funktion.

Probleme mit inversen trigonometrischen Funktionen sind in den Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens enthalten (besonders viele in den Teilen B und C). In Teil B des Einheitlichen Staatsexamens war es beispielsweise erforderlich, den Wert des Sinus (Cosinus) zu verwenden, um den entsprechenden Wert des Tangens zu ermitteln oder den Wert eines Ausdrucks zu berechnen, der tabellarische Werte umgekehrter trigonometrischer Funktionen enthält. Bezüglich dieser Art von Aufgaben stellen wir fest, dass solche Aufgaben in Schulbüchern nicht ausreichen, um eine ausgeprägte Kompetenz bei der Umsetzung zu entwickeln.

Das. Zweck Kursarbeit besteht darin, inverse trigonometrische Funktionen und ihre Eigenschaften zu betrachten und zu lernen, wie man Probleme mit inversen trigonometrischen Funktionen löst.

Um das Ziel zu erreichen, müssen wir folgende Aufgaben lösen:

Erkunden theoretische Basis inverse trigonometrische Funktionen,

Zeigen Sie die Anwendung theoretischen Wissens in der Praxis.

KapitelICH. Definition inverser trigonometrischer Funktionen

1.1. Funktion y =ArcsinX

Betrachten Sie die Funktion,
. (1)

In diesem Intervall ist die Funktion monoton (steigt von -1 auf 1), es liegt also eine Umkehrfunktion vor

,
. (2)

Jeder gegebene Wert bei(Sinuswert) aus dem Intervall [-1,1] entspricht einem wohldefinierten Wert X(Bogengröße) aus dem Intervall
. Wenn wir zur allgemein akzeptierten Notation übergehen, erhalten wir

Wo
. (3)

Dies ist die analytische Spezifikation der zur Funktion (1) inversen Funktion. Funktion (3) wird aufgerufen Arkussinus Streit . Der Graph dieser Funktion ist eine Kurve symmetrisch zum Graphen der Funktion, wobei , relativ zur Winkelhalbierenden der Koordinatenwinkel I und III.

Lassen Sie uns die Eigenschaften der Funktion darstellen, wobei .

Eigentum 1. Bereich zum Ändern des Funktionswerts: .

Eigentum 2. Die Funktion ist ungerade, d.h.

Eigentum 3. Die Funktion, wobei , eine einzelne Wurzel hat
.

Eigentum 4. Wenn, dann
; Wenn , Das.

Eigentum 5. Die Funktion ist monoton: Wenn das Argument von -1 auf 1 steigt, erhöht sich der Wert der Funktion von
Vor
.

1.2. Funktionj = arMitcosX

Betrachten Sie die Funktion
, . (4)

In diesem Intervall ist die Funktion monoton (fällt von +1 auf -1 ab), was bedeutet, dass es für sie eine Umkehrfunktion gibt

, , (5)

diese. jeder Wert (Kosinuswerte) aus dem Intervall [-1,1] entspricht einem wohldefinierten Wert (Bogenwerte) aus dem Intervall. Wenn wir zur allgemein akzeptierten Notation übergehen, erhalten wir

, . (6)

Dies ist die analytische Spezifikation der zur Funktion (4) inversen Funktion. Funktion (6) wird aufgerufen Arkuskosinus Streit X. Der Graph dieser Funktion kann auf der Grundlage der Eigenschaften von Graphen zueinander inverser Funktionen konstruiert werden.

Die Funktion wo hat die folgenden Eigenschaften.

Eigentum 1. Bereich zum Ändern des Funktionswerts:
.

Eigentum 2. Mengen
Und
durch die Relation verbunden

Eigentum 3. Die Funktion hat eine einzelne Wurzel
.

Eigentum 4. Die Funktion akzeptiert keine negativen Werte.

Eigentum 5. Die Funktion ist monoton: Wenn das Argument von -1 auf +1 steigt, sinken die Funktionswerte von auf 0.

1.3. Funktionj = arctgx

Betrachten Sie die Funktion
,
. (7)

Beachten Sie, dass diese Funktion für alle Werte definiert ist, die genau im Intervall von bis liegen; an den Enden dieses Intervalls existiert es nicht, da die Werte

- Tangentenbruchpunkte.

In der Zwischenzeit
die Funktion ist monoton (steigt von -
Vor
), daher gibt es für Funktion (1) eine Umkehrfunktion:

,
, (8)

diese. jeder gegebene Wert (Tangentenwert) aus dem Intervall
entspricht einem ganz bestimmten Wert (Bogengröße) aus dem Intervall.

Wenn wir zur allgemein akzeptierten Notation übergehen, erhalten wir

,
. (9)

Dies ist die analytische Spezifikation der Umkehrfunktion (7). Funktion (9) wird aufgerufen Arkustangens Streit X. Beachten Sie, wann
Funktionswert
, und wann

, d.h. Der Graph der Funktion hat zwei Asymptoten:
Und.

Die Funktion , hat die folgenden Eigenschaften.

Eigentum 1. Bereich der Änderung von Funktionswerten
.

Eigentum 2. Die Funktion ist ungerade, d.h. .

Eigentum 3. Die Funktion hat eine einzelne Wurzel.

Eigentum 4. Wenn
, Das

; Wenn , Das
.

Eigentum 5. Die Funktion ist monoton: Wenn das Argument von auf steigt, steigt der Funktionswert von auf +.

1.4. Funktionj = arcctgx

Betrachten Sie die Funktion
,
. (10)

Diese Funktion ist für alle Werte definiert, die im Bereich von 0 bis liegen; an den Enden dieses Intervalls existiert es nicht, da die Werte und die Haltepunkte des Kotangens sind. Im Intervall (0,) ist die Funktion monoton (nimmt von bis ab), daher gibt es für Funktion (1) eine Umkehrfunktion

, (11)

diese. zu jedem gegebenen Wert (Kotangenswert) aus dem Intervall (
) entspricht einem genau definierten Wert (Bogengröße) aus dem Intervall (0,). Wenn wir zu allgemein akzeptierten Notationen übergehen, erhalten wir die folgende Beziehung: Zusammenfassung >> Mathematik trigonometrisch Funktionen. ZU umkehren trigonometrisch Funktionen normalerweise als sechs bezeichnet Funktionen: Arkussinus...

Dialektik der Konzeptentwicklung Funktionen in einem Schulmathematikkurs

Abschlussarbeit >> Pädagogik

... . Umkehren trigonometrisch Funktionen. Das Hauptziel besteht darin, die Eigenschaften zu untersuchen trigonometrisch Funktionen Bringen Sie den Schülern bei, wie sie ihre Diagramme erstellen. Erste trigonometrisch Funktion ...

Wie das Konzept entstand und sich entwickelte Funktionen

Zusammenfassung >> Mathematik

Wie passt diese Gleichung? umkehren trigonometrisch Funktion, die Zykloide ist nicht algebraisch... und auch die Notation trigonometrisch) umkehren trigonometrisch, exponentiell und logarithmisch Funktionen. Solch Funktionen elementar genannt. Bald...