Die einfachsten trigonometrischen Identitäten
Der Quotient der Division des Sinus des Winkels Alpha durch den Kosinus desselben Winkels ist gleich dem Tangens dieses Winkels (Formel 1). Siehe auch den Beweis der Richtigkeit der Transformation der einfachsten trigonometrischen Identitäten.
Der Quotient der Division des Kosinus des Winkels Alpha durch den Sinus desselben Winkels ist gleich dem Kotangens desselben Winkels (Formel 2)
Die Sekante eines Winkels ist gleich eins dividiert durch den Kosinus desselben Winkels (Formel 3)
Die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus desselben Winkels ist gleich eins (Formel 4). siehe auch den Beweis der Quadratsumme von Cosinus und Sinus.
Die Summe der Einheit und des Tangens des Winkels ist gleich dem Verhältnis der Einheit zum Quadrat des Kosinus dieses Winkels (Formel 5)
Die Einheit plus der Kotangens des Winkels ist gleich dem Quotienten der Division der Einheit durch das Sinusquadrat dieses Winkels (Formel 6)
Das Produkt aus Tangens und Kotangens desselben Winkels ist gleich eins (Formel 7).
Konvertieren negativer Winkel trigonometrischer Funktionen (gerade und ungerade)
Um den negativen Wert des Gradmaßes des Winkels bei der Berechnung von Sinus, Cosinus oder Tangens loszuwerden, können Sie die folgenden trigonometrischen Transformationen (Identitäten) verwenden, die auf den Prinzipien von gerade oder ungerade basieren trigonometrische Funktionen.
Wie gesehen, Kosinus und Sekante ist gleiche Funktion
, Sinus, Tangens und Kotangens sind ungerade Funktionen.
Sinus negativer Winkel gleich negativer Wert der Sinus derselben positiver Winkel(minus Sinus Alpha).
Der Kosinus "minus Alpha" ergibt den gleichen Wert wie der Kosinus des Winkels Alpha.
Tangens minus Alpha ist gleich Tangens minus Alpha.
Formeln zur Reduktion von Doppelwinkeln (Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Doppelwinkels)
Wenn es notwendig ist, den Winkel zu halbieren oder umgekehrt, gehen Sie von doppelter Winkel zu Single können Sie die folgenden trigonometrischen Identitäten verwenden:
Doppelwinkelumwandlung (Doppelwinkelsinus, Doppelwinkelkosinus und Doppelwinkeltangens) in eins erfolgt nach folgenden Regeln:
Sinus eines Doppelwinkels ist gleich dem doppelten Produkt aus Sinus und Cosinus eines einzelnen Winkels
Kosinus eines Doppelwinkels ist gleich der Differenz zwischen dem Quadrat des Kosinus eines einzelnen Winkels und dem Quadrat des Sinus dieses Winkels
Kosinus eines Doppelwinkels gleich dem doppelten Quadrat des Kosinus eines einzelnen Winkels minus eins
Kosinus eines Doppelwinkels gleich eins minus dem doppelten Sinusquadrat eines einzelnen Winkels
Doppelte Winkeltangente ist gleich einem Bruch, dessen Zähler das Doppelte des Tangens eines einzelnen Winkels ist und dessen Nenner gleich eins minus dem Tangens des Quadrats eines einzelnen Winkels ist.
Doppelwinkelkotangens ist gleich einem Bruch, dessen Zähler das Quadrat des Kotangens eines einzelnen Winkels minus eins ist, und dessen Nenner gleich dem doppelten Kotangens eines einzelnen Winkels ist
Universelle trigonometrische Substitutionsformeln
Die folgenden Umrechnungsformeln können nützlich sein, wenn Sie das Argument der trigonometrischen Funktion (sin α, cos α, tg α) durch zwei teilen und den Ausdruck auf den Wert des halben Winkels bringen müssen. Aus dem Wert von α erhalten wir α/2 .Diese Formeln werden aufgerufen Formeln der universellen trigonometrischen Substitution. Ihr Wert liegt darin, dass der trigonometrische Ausdruck mit ihrer Hilfe auf den Ausdruck des Tangens eines halben Winkels reduziert wird, unabhängig davon, welche trigonometrischen Funktionen ( Sünde cos tg ctg) waren ursprünglich im Ausdruck. Danach ist die Gleichung mit dem Tangens eines halben Winkels viel einfacher zu lösen.
Trigonometrische Halbwinkeltransformationsidentitäten
Formeln unten trigonometrische Transformation den halben Wert des Winkels auf seinen ganzzahligen Wert.Der Wert des Arguments der trigonometrischen Funktion α/2 wird auf den Wert des Arguments der trigonometrischen Funktion α reduziert.
Trigonometrische Formeln zum Addieren von Winkeln
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Tangens und Kotangens der Winkelsumme alpha und beta können nach folgenden Regeln zur Umrechnung trigonometrischer Funktionen umgerechnet werden:
Tangens der Winkelsumme gleich einem Bruch ist, dessen Zähler die Summe der Tangente des ersten und der Tangente des zweiten Winkels ist, und der Nenner ist eins minus dem Produkt der Tangente des ersten Winkels und der Tangente des zweiten Winkels.
Winkeldifferenz tangens ist gleich einem Bruch, dessen Zähler gleich der Differenz zwischen der Tangente des reduzierten Winkels und der Tangente des zu subtrahierenden Winkels ist, und der Nenner ist eins plus das Produkt der Tangenten dieser Winkel.
Kotangens der Winkelsumme gleich einem Bruch ist, dessen Zähler gleich dem Produkt der Kotangenten dieser Winkel plus eins ist, und dessen Nenner gleich der Differenz zwischen dem Kotangens des zweiten Winkels und dem Kotangens des ersten Winkels ist.
Kotangens der Winkeldifferenz ist gleich einem Bruch, dessen Zähler das Produkt der Kotangenten dieser Winkel minus eins und des Nenners ist ist gleich der Summe Kotangens dieser Winkel.
Diese trigonometrischen Identitäten sind bequem zu verwenden, wenn Sie beispielsweise den Tangens von 105 Grad (tg 105) berechnen müssen. Wenn es als tg (45 + 60) dargestellt wird, können Sie die angegebenen identischen Transformationen des Tangens der Winkelsumme verwenden, wonach Sie einfach die Tabellenwerte des Tangens von 45 und des Tangens ersetzen von 60 Grad.
Formeln zur Umrechnung der Summe oder Differenz trigonometrischer Funktionen
Ausdrücke, die die Summe der Form sin α + sin β darstellen, können mit den folgenden Formeln umgewandelt werden:
Dreifachwinkelformeln - konvertieren Sie sin3α cos3α tg3α in sinα cosα tgα
Manchmal ist es notwendig, den dreifachen Wert des Winkels so umzuwandeln, dass der Winkel α anstelle von 3α zum Argument der trigonometrischen Funktion wird.In diesem Fall können Sie die Formeln (Identitäten) zur Transformation des Tripelwinkels verwenden:
Formeln zur Transformation des Produkts trigonometrischer Funktionen
Wenn es notwendig wird, das Produkt von Sinus verschiedener Winkel in Cosinus verschiedener Winkel oder sogar das Produkt von Sinus und Cosinus umzuwandeln, können Sie die folgenden trigonometrischen Identitäten verwenden:
In diesem Fall wird das Produkt der Sinus-, Cosinus- oder Tangensfunktionen verschiedener Winkel in eine Summe oder Differenz umgewandelt.
Formeln zur Reduktion trigonometrischer Funktionen
Sie müssen die Besetzungstabelle wie folgt verwenden. Wählen Sie in der Zeile die Funktion aus, die uns interessiert. Die Spalte ist ein Winkel. Zum Beispiel der Sinus des Winkels (α+90) am Schnittpunkt der ersten Zeile und der ersten Spalte, wir finden heraus, dass sin (α+90) = cos α .
BEI identische Transformationen trigonometrische Ausdrücke Die folgenden algebraischen Tricks können verwendet werden: Addieren und Subtrahieren identischer Terme; Herausnehmen des gemeinsamen Teilers aus Klammern; Multiplikation und Division mit demselben Wert; Anwendung abgekürzter Multiplikationsformeln; Auswahl volles Quadrat; Zersetzung quadratisches Trinom für Multiplikatoren; Einführung neuer Variablen zur Vereinfachung von Transformationen.
Beim Konvertieren von trigonometrischen Ausdrücken, die Brüche enthalten, können Sie die Proportionseigenschaften verwenden, Brüche kürzen oder Brüche in umwandeln gemeinsamer Nenner. Darüber hinaus können Sie die Auswahl des ganzzahligen Teils des Bruchs nutzen, indem Sie Zähler und Nenner des Bruchs mit demselben Wert multiplizieren, und auch, wenn möglich, die Einheitlichkeit des Zählers oder Nenners berücksichtigen. Bei Bedarf kannst du einen Bruch als Summe oder Differenz mehrerer einfacher Brüche darstellen.
Darüber hinaus muss bei der Anwendung aller erforderlichen Methoden zur Konvertierung trigonometrischer Ausdrücke die Fläche ständig berücksichtigt werden zulässige Werte umgewandelte Ausdrücke.
Schauen wir uns ein paar Beispiele an.
Beispiel 1
Berechnen Sie A = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x - π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+
sin (3π/2 - x) sin (2x -5π/2)) 2
Entscheidung.
Aus den Reduktionsformeln folgt:
sin (2x - π) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;
sin (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;
cos (x - π / 2) \u003d Sünde x; cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;
Sünde (3π / 2 - x) \u003d -cos x; sin (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.
Daraus erhalten wir aufgrund der Formeln für die Addition von Argumenten und der trigonometrischen Grundidentität
A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1
Antwort 1.
Beispiel 2
Wandle den Ausdruck M = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β – sin (α + β) sin γ + cos γ in ein Produkt um.
Entscheidung.
Aus den Formeln für die Addition von Argumenten und den Formeln für die Umwandlung der Summe trigonometrischer Funktionen in ein Produkt haben wir nach der entsprechenden Gruppierung
М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =
2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =
2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =
2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =
2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =
4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).
Antwort: М = 4cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2) cos ((β + γ)/2).
Beispiel 3.
Zeigen Sie, dass der Ausdruck A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) für alle x von R eins nimmt und den gleichen Wert. Finden Sie diesen Wert.
Entscheidung.
Wir stellen zwei Methoden zur Lösung dieses Problems vor. Wenden wir die erste Methode an, indem wir das volle Quadrat isolieren und die entsprechenden trigonometrischen Grundformeln verwenden, erhalten wir
A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d
4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =
Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.
Um das Problem auf die zweite Art zu lösen, betrachten Sie A als eine Funktion von x aus R und berechnen Sie ihre Ableitung. Nach Transformationen erhalten wir
А´ \u003d -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x - π/6) + cos (x + π/6) sin ( x + π/6)) - 2cos (x - π/6) sin (x - π/6) =
Sünde 2(x + π/6) + Sünde ((x + π/6) + (x - π/6)) - Sünde 2(x - π/6) =
Sin 2x - (sin (2x + π/3) + sin (2x - π/3)) =
Sin 2x - 2sin 2x cos π/3 = sin 2x - sin 2x ≡ 0.
Daher schließen wir aufgrund des Kriteriums der Konstanz einer auf einem Intervall differenzierbaren Funktion, dass
A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x ∈ R. 
Antwort: A = 3/4 für x € R.
Die wichtigsten Methoden zum Beweis trigonometrischer Identitäten sind:
a) Reduktion der linken Seite der Identität auf die rechte Seite durch entsprechende Transformationen;
b) Reduktion der rechten Seite der Identität nach links;
in) Reduktion des rechten und linken Teils der Identität auf die gleiche Form;
G) Reduzierung der Differenz zwischen dem linken und dem rechten Teil der zu beweisenden Identität auf Null.
Beispiel 4
Überprüfe, dass cos 3x = -4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3).
Entscheidung.
Transformation der rechten Seite dieser Identität entsprechend der entsprechenden trigonometrische Formeln, wir haben
4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =
2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =
2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =
2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.
Die rechte Seite der Identität wird auf die linke Seite reduziert.
Beispiel 5
Beweisen Sie, dass sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ = 2, wenn α, β, γ Innenwinkel eines Dreiecks sind.
Entscheidung.
Unter Berücksichtigung, dass α, β, γ Innenwinkel eines Dreiecks sind, erhalten wir das
α + β + γ = π und somit γ = π – α – β.
sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ =
Sin 2 α + Sin 2 β + Sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =
Sin 2 α + Sin 2 β + Sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =
sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =
1/2 (1 - cos 2α) + ½ (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 (cos 2α + cos 2β) = 2.
Die ursprüngliche Gleichheit ist bewiesen.
Beispiel 6
Beweisen Sie, dass, damit einer der Winkel α, β, γ des Dreiecks gleich 60° ist, es notwendig und ausreichend ist, dass sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0 ist.
Entscheidung.
Die Bedingung dieses Problems setzt den Nachweis sowohl der Notwendigkeit als auch der Hinlänglichkeit voraus.
Zuerst beweisen wir Notwendigkeit.
Das lässt sich zeigen
sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).
Unter Berücksichtigung von cos (3/2 60°) = cos 90° = 0 erhalten wir also, dass wenn einer der Winkel α, β oder γ gleich 60° ist, dann
cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 und somit sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.
Beweisen wir es jetzt Angemessenheit den angegebenen Zustand.
Wenn sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, dann ist cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, und daher
entweder cos (3α/2) = 0 oder cos (3β/2) = 0 oder cos (3γ/2) = 0.
Folglich,
oder 3α/2 = π/2 + πk, d.h. α = π/3 + 2πk/3, 
oder 3β/2 = π/2 + πk, d.h. β = π/3 + 2πk/3,
oder 3γ/2 = π/2 + πk,
jene. γ = π/3 + 2πk/3, wobei k ϵ Z.
Aus der Tatsache, dass α, β, γ die Winkel eines Dreiecks sind, haben wir
0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.
Daher gilt für α = π/3 + 2πk/3 oder β = π/3 + 2πk/3 bzw
γ = π/3 + 2πk/3 von allen kϵZ passt nur k = 0.
Daraus folgt, dass entweder α = π/3 = 60° oder β = π/3 = 60° oder γ = π/3 = 60°.
Die Behauptung ist bewiesen.
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Wird für alle Werte des Arguments (aus dem allgemeinen Bereich) ausgeführt.
Universelle Substitutionsformeln.
Mit diesen Formeln ist es einfach, jeden Ausdruck, der verschiedene trigonometrische Funktionen eines Arguments enthält, in einen rationalen Ausdruck einer Funktion umzuwandeln. tg (α /2):
Formeln zur Umrechnung von Summen in Produkte und von Produkten in Summen.
Bisher wurden die obigen Formeln verwendet, um Berechnungen zu vereinfachen. Sie berechneten mit logarithmischen Tabellen und später - einem Rechenschieber, da Logarithmen am besten zum Multiplizieren von Zahlen geeignet sind. Deshalb wurde jeder ursprüngliche Ausdruck auf eine Form reduziert, die für Logarithmen geeignet wäre, dh für Produkte, zum Beispiel:
2 Sünde α Sünde b = cos (α - b) - cos (α + b);
2 cos α cos b = cos (α - b) + cos (α + b);
2 Sünde α cos b = Sünde (α - b) + Sünde (α + b).
wo ist der Winkel, für den insbesondere
Formeln für die Tangens- und Kotangensfunktionen erhält man leicht aus dem Obigen.
Formeln zur Gradreduzierung.
|
Sünde 2 α \u003d (1 - cos 2α) / 2; |
cos2α = (1 + cos2α)/2; |
|
Sünde 3α = (3 Sündeα - Sünde 3α )/4; |
cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4. |
Mit Hilfe dieser Formeln trigonometrische Gleichungen lassen sich leicht auf Gleichungen mit niedrigeren Potenzen zurückführen. Auf die gleiche Weise werden Absenkungsformeln für mehr hergeleitet hohe Abschlüsse Sünde und cos.
Ausdruck trigonometrischer Funktionen durch eine von ihnen mit demselben Argument.
Das Vorzeichen vor der Wurzel hängt vom Viertel des Winkels ab α .
