Die Fibonacci-Formel sieht so aus: Fibonacci-Zahlen: lustige mathematische Fakten. Leonardo von Pisa, auch bekannt als Fibonacci

Die Welt um uns herum, von den kleinsten unsichtbaren Teilchen bis zu den fernen Galaxien des endlosen Weltraums, ist voller ungelöster Geheimnisse. Dank des neugierigen Geistes einiger Wissenschaftler konnte der Schleier des Mysteriums jedoch bereits über einige von ihnen gelüftet werden.

Ein solches Beispiel ist „Goldener Schnitt“ und Fibonacci-Zahlen , die seine Grundlage bilden. Dieses Muster wurde in mathematischer Form widergespiegelt und findet sich oft in der Natur um den Menschen herum, was wiederum die Möglichkeit ausschließt, dass es durch Zufall entstanden ist.

Fibonacci-Zahlen und ihre Reihenfolge

Fibonacci-Zahlenfolge ist eine Reihe von Zahlen, von denen jede die Summe der beiden vorherigen ist:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 …

Die Besonderheit dieser Folge sind die Zahlenwerte, die man erhält, wenn man die Zahlen dieser Reihe durcheinander dividiert.

Die Fibonacci-Zahlenreihe hat ihre eigenen interessanten Muster:

In der Fibonacci-Zahlenreihe zeigt jede durch die nächste geteilte Zahl einen Wert an, der dazu tendiert 0,618 . Je weiter die Zahlen vom Beginn der Reihe entfernt sind, desto genauer ist das Verhältnis. Zum Beispiel die Zahlen, die am Anfang der Zeile stehen 5 Und 8 wird zeigen 0,625 (5/8=0,625 ). Wenn wir die Zahlen nehmen 144 Und 233 , dann wird das Verhältnis angezeigt 0.618 .
Wenn wir wiederum in einer Reihe von Fibonacci-Zahlen eine Zahl durch die vorherige dividieren, tendiert das Ergebnis der Division dazu 1,618 . Für das Beispiel wurden die gleichen Zahlen wie oben besprochen verwendet: 8/5=1,6 Und 233/144=1,618 .
Eine Zahl dividiert durch die nächstfolgende Zahl zeigt einen nahenden Wert an 0,382 . Und je weiter die Zahlen vom Beginn der Reihe entfernt sind, desto genauer ist der Wert des Verhältnisses: 5/13=0,385 Und 144/377=0,382 . Das Ergebnis erhält man, wenn man die Zahlen in umgekehrter Reihenfolge dividiert 2,618 : 13/5=2,6 Und 377/144=2,618 .

Mit den oben beschriebenen Berechnungsmethoden und der Vergrößerung der Lücken zwischen den Zahlen können Sie die folgende Wertereihe ableiten: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236, die in Fibonacci-Tools auf dem Forex-Markt weit verbreitet ist.

Goldener Schnitt oder göttlicher Anteil

Die Analogie mit einem Segment stellt den „Goldenen Schnitt“ und die Fibonacci-Zahlen sehr deutlich dar. Wenn Segment AB durch Punkt C in einem solchen Verhältnis geteilt wird, dass die Bedingung erfüllt ist:

AC/BC=BC/AB, dann ergibt sich der „Goldene Schnitt“

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Überraschenderweise ist genau dieser Zusammenhang in der Fibonacci-Reihe nachvollziehbar. Indem Sie ein paar Zahlen aus einer Reihe nehmen, können Sie rechnerisch überprüfen, ob dies der Fall ist. Zum Beispiel diese Folge von Fibonacci-Zahlen ... 55, 89, 144 ... Die Zahl 144 sei das oben erwähnte ganzzahlige Segment AB. Da 144 die Summe der beiden vorherigen Zahlen ist, gilt 55+89=AC+BC=144.

Die Aufteilung der Segmente führt zu folgenden Ergebnissen:

AC/BC=55/89=0,618

BC/AB=89/144=0,618

Wenn wir das Segment AB als Ganzes oder als Einheit nehmen, dann ist AC=55 0,382 dieses Ganzen und BC=89 ist gleich 0,618.

Wo kommen Fibonacci-Zahlen vor?

Die regelmäßige Folge der Fibonacci-Zahlen kannten die Griechen und Ägypter schon lange vor Leonardo Fibonacci selbst. Diese Zahlenreihe erhielt diesen Namen, nachdem der berühmte Mathematiker für die weite Verbreitung dieses mathematischen Phänomens unter Wissenschaftlern sorgte.

Es ist wichtig zu beachten, dass die goldenen Fibonacci-Zahlen nicht nur eine Wissenschaft sind, sondern eine mathematische Darstellung der Welt um uns herum. Viele Naturphänomene, Vertreter der Flora und Fauna haben in ihren Proportionen den „Goldenen Schnitt“. Dies sind die spiralförmigen Locken der Schale und die Anordnung von Sonnenblumenkernen, Kakteen und Ananas.

Die Spirale, deren Proportionen den Gesetzen des „Goldenen Schnitts“ unterliegen, liegt der Entstehung eines Hurrikans, dem Weben eines Netzes durch eine Spinne, der Form vieler Galaxien, der Verflechtung von DNA-Molekülen usw. zugrunde viele andere Phänomene.

Die Länge des Schwanzes der Eidechse zu ihrem Körper hat ein Verhältnis von 62 zu 38. Der Chicorée-Spross macht einen Auswurf, bevor er ein Blatt freigibt. Nachdem das erste Blatt freigegeben wurde, erfolgt vor der Freigabe des zweiten Blattes ein zweiter Auswurf mit einer Kraft, die 0,62 der herkömmlichen Krafteinheit des ersten Auswurfs entspricht. Der dritte Ausreißer liegt bei 0,38 und der vierte bei 0,24.

Für einen Händler ist es außerdem von großer Bedeutung, dass die Preisbewegung auf dem Forex-Markt häufig dem Muster der goldenen Fibonacci-Zahlen unterliegt. Basierend auf dieser Sequenz wurden eine Reihe von Tools erstellt, die ein Händler in seinem Arsenal verwenden kann

Das von Händlern häufig verwendete Tool „ “ kann mit hoher Genauigkeit die Ziele der Preisbewegung sowie deren Korrekturniveaus anzeigen.

Es gibt noch viele ungelöste Rätsel im Universum, von denen Wissenschaftler einige bereits identifizieren und beschreiben konnten. Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt bilden die Grundlage für die Entschlüsselung der Welt um uns herum, für den Aufbau ihrer Form und für die optimale visuelle Wahrnehmung durch den Menschen, mit deren Hilfe er Schönheit und Harmonie spüren kann.

Goldener Schnitt

Das Prinzip der Bestimmung der Dimensionen des Goldenen Schnitts liegt der Vollkommenheit der ganzen Welt und ihrer Teile in ihrer Struktur und Funktion zugrunde, ihre Manifestation ist in Natur, Kunst und Technik zu sehen. Die Lehre vom Goldenen Schnitt entstand als Ergebnis der Forschung antiker Wissenschaftler über die Natur der Zahlen.

Es basiert auf der Theorie der Proportionen und Verhältnisse der Segmentteilungen, die vom antiken Philosophen und Mathematiker Pythagoras aufgestellt wurde. Er bewies, dass bei der Aufteilung eines Segments in zwei Teile: X (kleiner) und Y (größer) das Verhältnis des größeren zum kleineren gleich dem Verhältnis ihrer Summe (des gesamten Segments) ist:

Das Ergebnis ist eine Gleichung: x 2 - x - 1=0, was gelöst wird als x=(1±√5)/2.

Wenn wir das Verhältnis 1/x betrachten, dann ist es gleich 1,618…

Beweise für die Verwendung des Goldenen Schnitts durch antike Denker finden sich in Euklids Buch „Elemente“, das bereits im 3. Jahrhundert geschrieben wurde. BC, der diese Regel zur Konstruktion regelmäßiger Fünfecke anwendete. Bei den Pythagoräern gilt diese Figur als heilig, da sie sowohl symmetrisch als auch asymmetrisch ist. Das Pentagramm symbolisierte Leben und Gesundheit.

Fibonacci-Zahlen

Das berühmte Buch Liber abaci des italienischen Mathematikers Leonardo von Pisa, der später als Fibonacci bekannt wurde, wurde 1202 veröffentlicht. Darin zitiert der Wissenschaftler erstmals das Zahlenmuster, in dem jede Zahl die Summe der Zahlen darstellt 2 vorherige Ziffern. Die Fibonacci-Zahlenfolge lautet wie folgt:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 usw.

Der Wissenschaftler nannte auch eine Reihe von Mustern:

Jede Zahl aus der Reihe geteilt durch die nächste ergibt einen Wert, der gegen 0,618 tendiert. Darüber hinaus ergeben die ersten Fibonacci-Zahlen keine solche Zahl, aber je weiter wir vom Anfang der Folge fortschreiten, desto genauer wird dieses Verhältnis.
Wenn Sie die Zahl aus der Reihe durch die vorherige dividieren, beträgt das Ergebnis schnell 1,618.
Eine durch die nächste geteilte Zahl durch eins ergibt einen Wert, der gegen 0,382 tendiert.

Die Anwendung der Zusammenhänge und Muster des Goldenen Schnitts, der Fibonacci-Zahl (0,618), findet sich nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Natur, Geschichte, Architektur und Bauwesen sowie in vielen anderen Wissenschaften.

Archimedes-Spirale und goldenes Rechteck

Spiralen, die in der Natur sehr häufig vorkommen, wurden von Archimedes untersucht, der sogar ihre Gleichung herstellte. Die Form der Spirale basiert auf den Gesetzen des Goldenen Schnitts. Beim Abwickeln erhält man eine Länge, auf die sich Proportionen und Fibonacci-Zahlen anwenden lassen; die Schrittweite nimmt gleichmäßig zu.

Die Parallele zwischen den Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt lässt sich erkennen, indem man ein „goldenes Rechteck“ konstruiert, dessen Seiten proportional zu 1,618:1 sind. Es entsteht, indem man von einem größeren Rechteck zu kleineren übergeht, sodass die Seitenlängen den Zahlen aus der Reihe entsprechen. Es kann auch in umgekehrter Reihenfolge aufgebaut werden, beginnend mit dem Quadrat „1“. Wenn die Ecken dieses Rechtecks durch Linien in der Mitte ihres Schnittpunkts verbunden werden, erhält man eine Fibonacci- oder logarithmische Spirale.

Geschichte der Verwendung goldener Proportionen

Viele antike Baudenkmäler Ägyptens wurden mit goldenen Proportionen errichtet: die berühmten Cheops-Pyramiden usw. Architekten des antiken Griechenlands verwendeten sie häufig beim Bau architektonischer Objekte wie Tempel, Amphitheater und Stadien. Solche Proportionen wurden beispielsweise beim Bau des antiken Parthenon-Tempels (Athen) und anderer Objekte verwendet, die zu Meisterwerken antiker Architektur wurden und Harmonie auf der Grundlage mathematischer Muster demonstrierten.

In späteren Jahrhunderten ließ das Interesse am Goldenen Schnitt nach und die Muster gerieten in Vergessenheit, doch in der Renaissance kam es mit dem Buch des Franziskanermönchs L. Pacioli di Borgo „Das göttliche Verhältnis“ (1509) wieder zum Vorschein. Es enthielt Illustrationen von Leonardo da Vinci, der den neuen Namen „Goldener Schnitt“ begründete. Auch 12 Eigenschaften des Goldenen Schnitts wurden wissenschaftlich nachgewiesen, und der Autor sprach darüber, wie er sich in der Natur und in der Kunst manifestiert und nannte ihn „das Prinzip des Aufbaus der Welt und der Natur“.

Der vitruvianische Mensch Leonardo

Die Zeichnung, die Leonardo da Vinci 1492 zur Illustration des Buches Vitruv verwendete, zeigt eine menschliche Figur in zwei Positionen mit seitlich ausgebreiteten Armen. Die Figur ist in einen Kreis und ein Quadrat eingeschrieben. Diese Zeichnung gilt als die kanonischen Proportionen des menschlichen Körpers (männlich), die von Leonardo auf der Grundlage ihrer Untersuchung in den Abhandlungen des römischen Architekten Vitruv beschrieben wurden.

Центром тела как равноудаленной точкой от конца рук и ног считается пупок, длина рук приравнивается к росту человека, максимальная ширина плеч = 1/8 роста, расстояние от верха груди до волос = 1/7, от верха груди до верха головы =1/6 usw.

Seitdem wird die Zeichnung als Symbol für die innere Symmetrie des menschlichen Körpers verwendet.

Leonardo verwendete den Begriff „Goldener Schnitt“, um proportionale Verhältnisse in der menschlichen Figur zu bezeichnen. Beispielsweise hängt der Abstand von der Taille bis zu den Füßen mit dem gleichen Abstand vom Nabel bis zur Oberseite des Kopfes zusammen wie die Körpergröße mit der ersten Länge (von der Taille abwärts). Diese Berechnung erfolgt ähnlich wie das Segmentverhältnis bei der Berechnung des Goldenen Schnitts und liegt tendenziell bei 1,618.

All diese harmonischen Proportionen werden von Künstlern oft genutzt, um schöne und beeindruckende Werke zu schaffen.

Forschungen zum Goldenen Schnitt im 16. bis 19. Jahrhundert

Anhand des Goldenen Schnitts und der Fibonacci-Zahlen wird seit Jahrhunderten zum Thema Proportionen geforscht. Parallel zu Leonardo da Vinci arbeitete auch der deutsche Künstler Albrecht Dürer an der Entwicklung der Theorie der richtigen Proportionen des menschlichen Körpers. Zu diesem Zweck hat er sogar einen speziellen Kompass geschaffen.

Im 16. Jahrhundert Der Frage nach dem Zusammenhang zwischen der Fibonacci-Zahl und dem Goldenen Schnitt widmete sich die Arbeit des Astronomen I. Kepler, der diese Regeln erstmals auf die Botanik anwendete.

Eine neue „Entdeckung“ erwartete den Goldenen Schnitt im 19. Jahrhundert. mit der Veröffentlichung der „Ästhetischen Untersuchung“ des deutschen Wissenschaftlers Professor Zeisig. Er erhob diese Proportionen zu Absolutheiten und erklärte, dass sie für alle Naturphänomene universell seien. Er führte Studien an einer großen Anzahl von Menschen bzw. deren Körperproportionen (etwa 2.000) durch, auf deren Grundlage Rückschlüsse auf statistisch bestätigte Muster in den Verhältnissen verschiedener Körperteile gezogen wurden: die Länge der Schultern, Unterarme, Hände, Finger usw.

Auch Kunstgegenstände (Vasen, architektonische Strukturen), musikalische Töne und Größen beim Verfassen von Gedichten wurden untersucht – Zeisig stellte dies alles anhand der Längen von Segmenten und Zahlen dar und führte auch den Begriff „mathematische Ästhetik“ ein. Nach Erhalt der Ergebnisse stellte sich heraus, dass die Fibonacci-Reihe erhalten wurde.

Fibonacci-Zahl und der Goldene Schnitt in der Natur

In der Pflanzen- und Tierwelt gibt es eine Tendenz zur Morphologie in Form von Symmetrie, die in Wachstums- und Bewegungsrichtung beobachtet wird. Aufteilung in symmetrische Teile, in denen goldene Proportionen eingehalten werden – dieses Muster ist vielen Pflanzen und Tieren inhärent.

Die Natur um uns herum lässt sich beispielsweise mit Fibonacci-Zahlen beschreiben:

die Anordnung der Blätter oder Zweige einer Pflanze sowie die Abstände entsprechen einer Reihe vorgegebener Zahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 usw.;
Sonnenblumenkerne (Schuppen an Zapfen, Ananaszellen), in zwei Reihen entlang gedrehter Spiralen in verschiedene Richtungen angeordnet;
das Verhältnis der Länge des Schwanzes und des gesamten Körpers der Eidechse;
die Form eines Eies, wenn man durch seinen breiten Teil eine Linie zieht;
Verhältnis der Fingergrößen an der Hand einer Person.

Und zu den interessantesten Formen gehören natürlich spiralförmige Schneckenhäuser, Muster auf Spinnennetzen, die Bewegung des Windes im Inneren eines Hurrikans, die Doppelhelix in der DNA und die Struktur von Galaxien – allesamt mit der Fibonacci-Folge verbunden.

Verwendung des Goldenen Schnitts in der Kunst

Forscher, die nach Beispielen für die Verwendung des Goldenen Schnitts in der Kunst suchen, studieren im Detail verschiedene architektonische Objekte und Kunstwerke. Es gibt berühmte Skulpturenwerke, deren Schöpfer sich an goldene Proportionen hielten – Statuen des olympischen Zeus, des Apollo von Belvedere und

Eine von Leonardo da Vincis Schöpfungen, „Porträt der Mona Lisa“, ist seit vielen Jahren Gegenstand wissenschaftlicher Forschung. Sie entdeckten, dass die Komposition des Werkes ausschließlich aus „goldenen Dreiecken“ besteht, die zu einem regelmäßigen Fünfeckstern vereint sind. Alle Werke da Vincis zeugen davon, wie tief sein Wissen über die Struktur und Proportionen des menschlichen Körpers war, dank dessen er das unglaublich geheimnisvolle Lächeln der Mona Lisa einfangen konnte.

Goldener Schnitt in der Architektur

Als Beispiel untersuchten Wissenschaftler architektonische Meisterwerke, die nach den Regeln des „Goldenen Schnitts“ geschaffen wurden: ägyptische Pyramiden, Pantheon, Parthenon, Kathedrale Notre Dame de Paris, Basilius-Kathedrale usw.

Der Parthenon – eines der schönsten Gebäude im antiken Griechenland (5. Jahrhundert v. Chr.) – hat 8 Säulen und 17 auf verschiedenen Seiten, das Verhältnis seiner Höhe zur Länge der Seiten beträgt 0,618. Die Vorsprünge an den Fassaden sind nach dem „Goldenen Schnitt“ gefertigt (Foto unten).

Einer der Wissenschaftler, der eine Verbesserung des modularen Proportionssystems für Architekturobjekte (den sogenannten „Modulor“) entwickelte und erfolgreich anwendete, war der französische Architekt Le Corbusier. Der Modulator basiert auf einem Messsystem, das mit der bedingten Aufteilung in Teile des menschlichen Körpers verbunden ist.

Der russische Architekt M. Kazakov, der mehrere Wohngebäude in Moskau sowie das Senatsgebäude im Kreml und das Golitsyn-Krankenhaus (heute das 1. nach N. I. Pirogov benannte Krankenhaus) baute, war einer der Architekten, die die Gesetze bei der Gestaltung und Gestaltung verwendeten Konstruktion über den Goldenen Schnitt.

Anwendung von Proportionen im Design

Im Bekleidungsdesign kreieren alle Modedesigner neue Bilder und Modelle unter Berücksichtigung der Proportionen des menschlichen Körpers und der Regeln des Goldenen Schnitts, obwohl nicht alle Menschen von Natur aus ideale Proportionen haben.

Bei der Planung der Landschaftsgestaltung und der Gestaltung dreidimensionaler Parkkompositionen mit Hilfe von Pflanzen (Bäumen und Sträuchern), Brunnen und kleinen architektonischen Objekten können auch die Gesetze der „göttlichen Proportionen“ angewendet werden. Schließlich sollte die Gestaltung des Parks darauf ausgerichtet sein, einen Eindruck beim Besucher zu hinterlassen, der sich frei darin bewegen und das kompositorische Zentrum finden kann.

Alle Elemente des Parks sind in solchen Proportionen angeordnet, dass sie mithilfe der geometrischen Struktur, der relativen Position, der Beleuchtung und des Lichts einen Eindruck von Harmonie und Perfektion erwecken.

Anwendung des Goldenen Schnitts in Kybernetik und Technik

Die Gesetze des Goldenen Schnitts und der Fibonacci-Zahlen tauchen auch bei Energieübergängen, bei Prozessen mit Elementarteilchen, aus denen chemische Verbindungen bestehen, in Weltraumsystemen und in der genetischen Struktur der DNA auf.

Ähnliche Prozesse finden im menschlichen Körper statt und äußern sich in den Biorhythmen seines Lebens, in der Wirkung von Organen, beispielsweise dem Gehirn oder dem Sehvermögen.

Algorithmen und Muster goldener Proportionen werden in der modernen Kybernetik und Informatik häufig verwendet. Eine der einfachen Aufgaben, die unerfahrene Programmierer lösen müssen, besteht darin, mithilfe von Programmiersprachen eine Formel zu schreiben und die Summe der Fibonacci-Zahlen bis zu einer bestimmten Zahl zu bestimmen.

Moderne Forschung zur Theorie des Goldenen Schnitts

Seit der Mitte des 20. Jahrhunderts hat das Interesse an den Problemen und dem Einfluss der Gesetze der goldenen Proportionen auf das menschliche Leben stark zugenommen, und zwar bei vielen Wissenschaftlern verschiedener Berufe: Mathematikern, Ethnoforschern, Biologen, Philosophen, Medizinern, Ökonomen, Musikern, usw.

In den Vereinigten Staaten begann in den 1970er Jahren die Veröffentlichung der Zeitschrift The Fibonacci Quarterly, in der Arbeiten zu diesem Thema veröffentlicht wurden. In der Presse erscheinen Werke, in denen die verallgemeinerten Regeln des Goldenen Schnitts und der Fibonacci-Reihe in verschiedenen Wissensgebieten Anwendung finden. Zum Beispiel für die Informationskodierung, chemische Forschung, biologische Forschung usw.

All dies bestätigt die Schlussfolgerungen antiker und moderner Wissenschaftler, dass der Goldene Schnitt multilateral mit grundlegenden Fragen der Wissenschaft zusammenhängt und sich in der Symmetrie vieler Schöpfungen und Phänomene der Welt um uns herum manifestiert.

Fibonacci-Zahlenfolge. Hören Sie zum ersten Mal davon und wissen noch nicht einmal, aus welchem Wissensgebiet es stammt? Es stellt sich heraus, dass die Regelmäßigkeit der Naturphänomene, die Struktur und Vielfalt der lebenden Organismen auf unserem Planeten, alles, was uns umgibt, mit seiner Harmonie und Ordnung, den Gesetzen des Universums, der Bewegung des menschlichen Denkens und den Errungenschaften der Menschen die Vorstellungskraft beeindrucken Wissenschaft - das alles wird durch Summierung erklärt Fibonacci-Folge.

Der ewige Wunsch des Menschen, sich selbst und die Welt um ihn herum zu verstehen, hat die Wissenschaft vorangebracht.

Eine der bedeutendsten Errungenschaften der Mathematik ist die Einführung arabischer Ziffern anstelle römischer Ziffern. Es gehört einem der bemerkenswertesten Wissenschaftler des zwölften Jahrhunderts, Fibonacci (1175). Eine weitere Entdeckung, die er machte, wurde nach ihm benannt – die Summenfolge: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,... Das sind die sogenannten Fibonacci-Zahlen.

Dieses Muster in der Mathematik war für einen anderen mittelalterlichen Wissenschaftler, Thomas von Aquin, von Interesse. Angetrieben von dem Wunsch, „Harmonie mit Algebra zu messen“, kam der Wissenschaftler zu dem Schluss, dass es einen direkten Zusammenhang zwischen Mathematik und Schönheit gibt. Thomas von Aquin erläuterte die ästhetischen Gefühle, die entstehen, wenn man harmonische Objekte betrachtet, die von der Natur nach dem gleichen Prinzip der summativen Abfolge in Proportionen geschaffen wurden.

Dieses Prinzip erklärt, dass ab 1,1 die nächste Zahl die Summe der beiden vorherigen Zahlen ist. Dieses Muster ist von großer Bedeutung. Diese Sequenz wird immer langsamer – asymptotisch – und nähert sich einem bestimmten konstanten Verhältnis. Diese Beziehung ist jedoch irrational, das heißt, sie weist im Bruchteil eine unendliche und unvorhersehbare Zahlenfolge auf. Sein genauer Ausdruck ist unmöglich. Dividiert man einen beliebigen Term der Fibonacci-Folge durch den vorhergehenden Term, erhält man einen Wert, der um den Wert 1,61803398875... (irrational) schwankt und diesen entweder nicht jedes Mal erreicht oder überschreitet. Selbst die Ewigkeit reicht nicht aus, um dieses Verhältnis genau zu bestimmen. Der Kürze halber verwenden wir 1,618.

Der mittelalterliche Mathematiker Luca Pacioli nannte dieses Verhältnis das göttliche Verhältnis. Kepler nannte die Summationsfolge „einen der Schätze der Geometrie“. In der modernen Wissenschaft Summation Fibonacci-Folge hat mehrere Namen, die nicht weniger poetisch sind: Verhältnis rotierender Quadrate, Goldener Durchschnitt, Goldener Schnitt. In der Mathematik wird es mit dem griechischen Buchstaben Phi (Ф=1,618) bezeichnet.

Die asymptotische Natur der Folge, ihre zum Abklingen neigenden Schwankungen um die irrationale Fibonacci-Zahl, wird deutlicher, wenn wir die Beziehungen der ersten Glieder dieser Folge betrachten. Im folgenden Beispiel betrachten wir Fibonacci-Zahlen und geben das Verhältnis des zweiten zum ersten Term, des dritten zum zweiten usw. an:
1:1 = 1,0000, das ist um 0,6180 kleiner als Phi
2:1 = 2,0000, das sind 0,3820 mehr als Phi
3:2 = 1,5000, das ist um 0,1180 kleiner als Phi
5:3 = 1,6667, das sind 0,0486 mehr als Phi
8:5 = 1,6000, das ist um 0,0180 kleiner als Phi
Im weiteren Verlauf der Fibonacci-Folge teilt jeder neue Term den nächsten und kommt der unerreichbaren Zahl F immer näher.

Anschließend werden wir einige sehen Fibonacci-Zahlen, die ihre Summationsfolge bilden, sind in der Dynamik der Preise für verschiedene Güter sichtbar; Unter Forex werden technische Analysemethoden verwendet Fibonacci-Level. Schwankungen der Verhältnisse in der Nähe von 1,615 um den einen oder anderen Betrag können in der Alternationsregel erkannt werden, in der sie auftreten. Unterbewusst strebt jeder Mensch nach der berüchtigten göttlichen Proportion, die notwendig ist, um den Wunsch nach Komfort zu befriedigen.

Wenn wir einen Term der Fibonacci-Folge durch den darauf folgenden Term dividieren, erhalten wir den Kehrwert von 1,618, also 1:1,618. Auch das ist ein eher ungewöhnliches Phänomen, vielleicht sogar bemerkenswert. Das ursprüngliche Verhältnis ist ein unendlicher Bruch, daher muss dieses Verhältnis auch unendlich sein.

Eine weitere wichtige Tatsache ist die folgende. Das Quadrat eines beliebigen Termes in der Fibonacci-Folge ist gleich der Zahl, die in der Folge davor steht, multipliziert mit der Zahl, die danach kommt, plus oder minus.
5 2 = (3 x 8) + 1
8 2 = (5 x 13) – 1
13 2 = (8 x 21) + 1
Plus und Minus wechseln sich immer ab, und dies ist Teil der Elliott-Wellen-Theorie, die als Alternationsregel bezeichnet wird. Diese Regel besagt: Komplexe Wellen korrigierender Natur wechseln sich mit einfachen ab, starke Wellen impulsiver Natur wechseln sich mit schwachen Wellen korrigierender Natur ab und so weiter.

Manifestationen göttlichen Ausmaßes in der Natur

Die entdeckte mathematische Folge ermöglicht die Berechnung einer unendlichen Anzahl von Konstanten. Die Mitglieder dieser Sequenz werden immer in unendlich vielen Kombinationen auftreten.
Anhand eines etablierten Musters wird eine mathematische Interpretation natürlicher Phänomene gegeben. In dieser Hinsicht nimmt die Entdeckung einer mathematischen Folge einen der bedeutendsten Stellen im historischen Wissen ein.
Wir können auf eine Reihe interessanter Theorien verweisen, die aus der mathematischen Reihenfolge abgeleitet sind.

Pyramide von Gizeh

Der Entwurf der Pyramide basiert auf dem Verhältnis Ф=1,618. Diese Entdeckung wurde nach zahlreichen Versuchen gemacht, die Geheimnisse dieser Pyramide zu lüften. Die Pyramide von Gizeh selbst scheint eine Art Botschaft an die Nachkommen zu sein, um bestimmte Kenntnisse über die Gesetze der mathematischen Reihenfolge zu vermitteln. Zum Zeitpunkt des Baus der Pyramide hatten ihre Erbauer nicht genügend Möglichkeiten, die ihnen bekannten Gesetze zum Ausdruck zu bringen. Zu dieser Zeit gab es keine Schrift und Hieroglyphen wurden nicht verwendet. Den Schöpfern der Pyramide gelang es jedoch mithilfe der geometrischen Proportionen ihrer Schöpfung, ihr Wissen über mathematische Muster an zukünftige Generationen weiterzugeben.

Die Tempelpriester verrieten Herodot das Geheimnis der Pyramide von Gizeh. Es ist so gebaut, dass die Fläche jeder Fläche gleich dem Quadrat der Höhe dieser Fläche ist.
Fläche des Dreiecks: 356 x 440 / 2 = 78320
Quadratische Fläche: 280 x 280 = 78400
Die Vorderseite der Pyramide von Gizeh ist 783,3 Fuß (238,7 m) lang und ihre Höhe beträgt 484,4 Fuß (147,6 m). Wenn man die Länge der Fläche durch die Höhe dividiert, erhält man das Verhältnis Ф=1,618. Die Höhe von 484,4 Fuß entspricht 5813 Zoll (5-8-13), was nichts anderes als die Fibonacci-Folgezahlen ist. Alle diese Beobachtungen führen uns zu dem Schluss, dass der gesamte Entwurf der Pyramide auf dem Verhältnis Ф = 1,618 basiert.
Dies sind Zahlen aus der Fibonacci-Folge. Diese interessanten Beobachtungen legen nahe, dass das Design der Pyramide auf dem Verhältnis Ф=1,618 basiert.
Diese Informationen geben Anlass zu der Annahme, dass die Kenntnisse in den Bereichen Mathematik und Astrologie zu dieser Zeit hoch entwickelt waren. Diese größte Schöpfung nicht nur menschlicher Hände, sondern auch seines Geistes wurde in strikter Übereinstimmung mit der Zahl 1.618 errichtet. Die inneren und äußeren Proportionen der Pyramide, die in strikter Übereinstimmung mit dem Gesetz des Goldenen Schnitts eingehalten werden, sind für uns Nachkommen eine Botschaft aus den Tiefen jahrhundertelanger größter Erkenntnis.

Mexikanische Pyramiden

Es ist erstaunlich, dass die Pyramiden in Mexiko nach dem gleichen Prinzip gebaut wurden. Man kann nicht anders, als anzunehmen, dass die mexikanischen Pyramiden zur gleichen Zeit wie die ägyptischen gebaut wurden; außerdem verfügten die Erbauer über Kenntnisse des mathematischen Gesetzes des Goldenen Schnitts.
Ein Querschnitt der Pyramide lässt die Form einer Treppe erkennen. Die erste Stufe hat 16 Stufen, die zweite 42 Stufen und die dritte 68 Stufen. Die Zahlen basieren auf der Fibnacci-Folge wie folgt:
16 x 1,618 = 26
16 + 26 = 42
26 x 1,618 = 42
42 + 26 = 68
Die Zahl Ф = 1,618 liegt den Proportionen der mexikanischen Pyramide zugrunde. (

Fibonacci-Zahlen... in der Natur und im Leben

Leonardo Fibonacci ist einer der größten Mathematiker des Mittelalters. In einem seiner Werke, „Das Buch der Berechnungen“, beschrieb Fibonacci das indisch-arabische Rechensystem und die Vorteile seiner Verwendung gegenüber dem römischen.

Definition
Fibonacci-Zahlen oder Fibonacci-Folge ist eine Zahlenfolge mit einer Reihe von Eigenschaften. Beispielsweise ergibt die Summe zweier benachbarter Zahlen in einer Folge den Wert der nächsten (z. B. 1+1=2; 2+3=5 usw.), was die Existenz der sogenannten Fibonacci-Koeffizienten bestätigt , d.h. konstante Verhältnisse.

Die Fibonacci-Folge beginnt wie folgt: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Vollständige Definition der Fibonacci-Zahlen

3.

Eigenschaften der Fibonacci-Folge

1. Das Verhältnis jeder Zahl zur nächsten tendiert mit zunehmender Seriennummer immer mehr zu 0,618. Das Verhältnis jeder Zahl zur vorherigen beträgt tendenziell 1,618 (das Gegenteil von 0,618). Die Zahl 0,618 heißt (FI).

2. Wenn man jede Zahl durch die darauf folgende Zahl dividiert, beträgt die Zahl nach eins 0,382; im Gegenteil – jeweils 2,618.

3. Wenn wir die Verhältnisse auf diese Weise auswählen, erhalten wir den Hauptsatz der Fibonacci-Verhältnisse: ... 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.

5.

Der Zusammenhang zwischen der Fibonacci-Folge und dem „Goldenen Schnitt“

Die Fibonacci-Folge neigt asymptotisch (immer langsamer) zu einer konstanten Beziehung. Allerdings ist dieses Verhältnis irrational, das heißt, es repräsentiert eine Zahl mit einer unendlichen, unvorhersehbaren Folge von Dezimalstellen im Nachkommateil. Es ist unmöglich, es genau auszudrücken.

Wenn ein Mitglied der Fibonacci-Folge durch seinen Vorgänger geteilt wird (z. B. 13:8), ist das Ergebnis ein Wert, der um den irrationalen Wert 1,61803398875 schwankt... und diesen manchmal überschreitet, manchmal nicht erreicht. Aber selbst nachdem man eine Ewigkeit damit verbracht hat, ist es unmöglich, das Verhältnis bis auf die letzte Dezimalstelle genau herauszufinden. Der Kürze halber werden wir es in der Form 1,618 darstellen. Diesem Verhältnis wurden spezielle Namen gegeben, noch bevor Luca Pacioli (ein mittelalterlicher Mathematiker) es das göttliche Verhältnis nannte. Zu seinen modernen Namen gehören der Goldene Schnitt, der Goldene Durchschnitt und das Verhältnis rotierender Quadrate. Kepler nannte diese Beziehung einen der „Schätze der Geometrie“. In der Algebra wird es allgemein mit dem griechischen Buchstaben Phi bezeichnet

Stellen wir uns den Goldenen Schnitt am Beispiel eines Segments vor.

Betrachten Sie ein Segment mit den Enden A und B. Lassen Sie Punkt C das Segment AB so teilen, dass

AC/CB = CB/AB oder

AB/CB = CB/AC.

Man kann es sich ungefähr so vorstellen: A-–C--–B

Der Goldene Schnitt ist eine solche proportionale Aufteilung eines Segments in ungleiche Teile, bei der das gesamte Segment zum größeren Teil in Beziehung steht, wie der größere Teil selbst zum kleineren Teil; oder mit anderen Worten: Das kleinere Segment verhält sich zum Größeren wie das Größere zum Ganzen.

Segmente des Goldenen Schnitts werden als unendlicher irrationaler Bruch 0,618... ausgedrückt, wenn AB als Eins angenommen wird, ist AC = 0,382. Wie wir bereits wissen, sind die Zahlen 0,618 und 0,382 die Koeffizienten der Fibonacci-Folge.

Fibonacci-Proportionen und der Goldene Schnitt in Natur und Geschichte

10.

Es ist wichtig anzumerken, dass Fibonacci die Menschheit an seine Sequenz zu erinnern schien. Es war den alten Griechen und Ägyptern bekannt. Und tatsächlich wurden seitdem durch Fibonacci-Verhältnisse beschriebene Muster in der Natur, Architektur, bildenden Künste, Mathematik, Physik, Astronomie, Biologie und vielen anderen Bereichen gefunden. Es ist erstaunlich, wie viele Konstanten mithilfe der Fibonacci-Folge berechnet werden können und wie ihre Terme in einer Vielzahl von Kombinationen vorkommen. Es ist jedoch keine Übertreibung zu sagen, dass es sich hier nicht nur um ein Spiel mit Zahlen handelt, sondern um den wichtigsten mathematischen Ausdruck natürlicher Phänomene, der jemals entdeckt wurde.

11.

Die folgenden Beispiele zeigen einige interessante Anwendungen dieser mathematischen Folge.

12.

1. Die Spüle ist spiralförmig gedreht. Wenn man es auseinanderfaltet, erhält man eine Länge, die etwas kürzer ist als die Länge der Schlange. Die kleine, zehn Zentimeter große Schale hat eine 35 cm lange Spirale. Die Form der spiralförmig gewundenen Schale erregte die Aufmerksamkeit von Archimedes. Tatsache ist, dass das Verhältnis der Abmessungen der Muschellocken konstant ist und 1,618 beträgt. Archimedes untersuchte die Spirale von Muscheln und leitete die Gleichung der Spirale ab. Die nach dieser Gleichung gezeichnete Spirale trägt seinen Namen. Die Steigerung ihres Schritts ist immer gleichmäßig. Derzeit ist die Archimedes-Spirale in der Technik weit verbreitet.

2. Pflanzen und Tiere. Goethe betonte auch die Tendenz der Natur zur Spiralität. Die helikale und spiralförmige Anordnung der Blätter an Baumzweigen wurde schon vor langer Zeit bemerkt. Die Spirale wurde in der Anordnung von Sonnenblumenkernen, Tannenzapfen, Ananas, Kakteen usw. gesehen. Die gemeinsame Arbeit von Botanikern und Mathematikern bringt Licht auf diese erstaunlichen Naturphänomene. Es stellte sich heraus, dass sich die Fibonacci-Reihe in der Anordnung der Blätter auf einem Zweig aus Sonnenblumenkernen und Tannenzapfen manifestiert und sich daher das Gesetz des Goldenen Schnitts manifestiert. Die Spinne webt ihr Netz spiralförmig. Ein Hurrikan dreht sich wie eine Spirale. Eine verängstigte Rentierherde läuft spiralförmig davon. Das DNA-Molekül ist in einer Doppelhelix verdreht. Goethe nannte die Spirale die „Kurve des Lebens“.

Zwischen den Kräutern am Straßenrand wächst eine unauffällige Pflanze – Chicorée. Schauen wir es uns genauer an. Aus dem Hauptstamm hat sich ein Spross gebildet. Das erste Blatt befand sich genau dort. Der Spross macht einen kräftigen Auswurf in den Weltraum, stoppt, gibt ein Blatt frei, aber dieses Mal ist es kürzer als der erste, führt erneut einen Auswurf in den Weltraum durch, aber mit weniger Kraft, lässt ein noch kleineres Blatt frei und wird erneut ausgeworfen . Wenn die erste Emission mit 100 Einheiten angenommen wird, entspricht die zweite 62 Einheiten, die dritte 38, die vierte 24 usw. Auch die Länge der Blütenblätter unterliegt dem goldenen Verhältnis. Beim Wachsen und Erobern des Raums behielt die Pflanze bestimmte Proportionen bei. Die Wachstumsimpulse nahmen im Verhältnis zum Goldenen Schnitt allmählich ab.

Die Eidechse ist lebendgebärend. Auf den ersten Blick hat die Eidechse für unsere Augen angenehme Proportionen – die Länge ihres Schwanzes entspricht der Länge des restlichen Körpers und beträgt 62 zu 38.

Sowohl in der Pflanzen- als auch in der Tierwelt bricht immer wieder die Gestaltungstendenz der Natur durch – die Symmetrie hinsichtlich der Wachstums- und Bewegungsrichtung. Hier erscheint der Goldene Schnitt in den Anteilen senkrecht zur Wachstumsrichtung. Die Natur hat die Einteilung in symmetrische Teile und goldene Proportionen vorgenommen. Die Teile offenbaren eine Wiederholung der Struktur des Ganzen.

Pierre Curie formulierte zu Beginn dieses Jahrhunderts eine Reihe tiefgreifender Ideen zur Symmetrie. Er argumentierte, dass man die Symmetrie eines Körpers nicht berücksichtigen könne, ohne die Symmetrie der Umgebung zu berücksichtigen. Die Gesetze der Goldenen Symmetrie manifestieren sich in den Energieübergängen von Elementarteilchen, in der Struktur einiger chemischer Verbindungen, in Planeten- und kosmischen Systemen, in den Genstrukturen lebender Organismen. Diese Muster existieren, wie oben angedeutet, in der Struktur einzelner menschlicher Organe und des Körpers als Ganzes und manifestieren sich auch im Biorhythmus und in der Funktionsweise des Gehirns und der visuellen Wahrnehmung.

3. Raum. Aus der Geschichte der Astronomie ist bekannt, dass I. Titius, ein deutscher Astronom des 18. Jahrhunderts, mit Hilfe dieser Reihe (Fibonacci) ein Muster und eine Ordnung in den Abständen zwischen den Planeten des Sonnensystems fand

Ein Fall schien jedoch dem Gesetz zu widersprechen: Zwischen Mars und Jupiter gab es keinen Planeten. Die gezielte Beobachtung dieses Teils des Himmels führte zur Entdeckung des Asteroidengürtels. Dies geschah nach dem Tod von Titius zu Beginn des 19. Jahrhunderts.

Die Fibonacci-Reihe ist weit verbreitet: Sie wird verwendet, um die Architektur von Lebewesen, von Menschen geschaffenen Strukturen und der Struktur von Galaxien darzustellen. Diese Tatsachen sind ein Beweis für die Unabhängigkeit der Zahlenreihe von den Bedingungen ihrer Manifestation, was eines der Zeichen ihrer Universalität ist.

4. Pyramiden. Viele haben versucht, die Geheimnisse der Pyramide von Gizeh zu lüften. Im Gegensatz zu anderen ägyptischen Pyramiden handelt es sich hier nicht um ein Grab, sondern um ein unlösbares Rätsel aus Zahlenkombinationen. Der bemerkenswerte Einfallsreichtum, das Können, die Zeit und die Arbeit, die die Architekten der Pyramide beim Bau des ewigen Symbols aufwendeten, zeigen die außerordentliche Bedeutung der Botschaft, die sie künftigen Generationen übermitteln wollten. Ihre Ära war präliterarisch, prähieroglyphisch und Symbole waren die einzigen Mittel, um Entdeckungen aufzuzeichnen. Der Schlüssel zum geometrisch-mathematischen Geheimnis der Pyramide von Gizeh, das der Menschheit so lange ein Rätsel gewesen war, wurde Herodot tatsächlich von den Tempelpriestern gegeben, die ihn darüber informierten, dass die Pyramide so gebaut wurde, dass die Fläche von jede seiner Flächen war gleich dem Quadrat seiner Höhe.

Fläche eines Dreiecks

356 x 440 / 2 = 78320

Quadratischer Bereich

280 x 280 = 78400

Die Länge der Kante der Basis der Pyramide von Gizeh beträgt 783,3 Fuß (238,7 m), die Höhe der Pyramide beträgt 484,4 Fuß (147,6 m). Die Länge der Basiskante dividiert durch die Höhe ergibt das Verhältnis Ф=1,618. Die Höhe von 484,4 Fuß entspricht 5813 Zoll (5-8-13) – das sind die Zahlen aus der Fibonacci-Folge. Diese interessanten Beobachtungen legen nahe, dass das Design der Pyramide auf dem Verhältnis Ф=1,618 basiert. Einige moderne Gelehrte neigen zu der Interpretation, dass die alten Ägypter sie ausschließlich zu dem Zweck errichteten, Wissen weiterzugeben, das sie für künftige Generationen bewahren wollten. Intensive Studien der Pyramide von Gizeh zeigten, wie umfangreich die Kenntnisse in Mathematik und Astrologie damals waren. In allen inneren und äußeren Proportionen der Pyramide spielt die Zahl 1,618 eine zentrale Rolle.

Pyramiden in Mexiko. Nicht nur, dass die ägyptischen Pyramiden in Übereinstimmung mit den perfekten Proportionen des Goldenen Schnitts gebaut wurden, das gleiche Phänomen wurde auch bei den mexikanischen Pyramiden beobachtet. Es entsteht die Idee, dass sowohl die ägyptische als auch die mexikanische Pyramide ungefähr zur gleichen Zeit von Menschen gleicher Herkunft errichtet wurden.

Die Fibonacci-Folge ist wie folgt definiert:

Einige seiner ersten Mitglieder:

Geschichte

Diese Zahlen wurden 1202 von Leonardo Fibonacci (auch bekannt als Leonardo Pisano) eingeführt. Es war jedoch dem Mathematiker Lucas aus dem 19. Jahrhundert zu verdanken, dass der Name „Fibonacci-Zahlen“ allgemein verwendet wurde.

Indische Mathematiker erwähnten die Zahlen dieser Folge jedoch schon früher: Gopala bis 1135, Hemachandra – im Jahr 1150.

Fibonacci-Zahlen in der Natur

Fibonacci selbst erwähnte diese Zahlen im Zusammenhang mit dem folgenden Problem: „Ein Mann legte ein Kaninchenpaar in einen Pferch, der auf allen Seiten von einer Mauer umgeben war. Wie viele Kaninchenpaare kann dieses Paar in einem Jahr produzieren, wenn man weiß, dass jedes.“ Monat, ab dem zweiten, bringt jedes Paar ein Kaninchenpaar hervor?“ Die Lösung dieses Problems werden die Nummern der nun zu seinen Ehren benannten Folge sein. Die von Fibonacci beschriebene Situation ist jedoch eher ein Spiel des Geistes als der realen Natur.

Die indischen Mathematiker Gopala und Hemachandra erwähnten die Zahlen dieser Folge im Zusammenhang mit der Anzahl rhythmischer Muster, die sich aus dem Wechsel langer und kurzer Silben in der Poesie oder starken und schwachen Taktschlägen in der Musik ergeben. Die Anzahl solcher Ziehungen mit einer Gesamtzahl von Aktien beträgt .

Fibonacci-Zahlen tauchen auch in Keplers Werk über in der Natur vorkommende Zahlen aus dem Jahr 1611 auf (Über sechseckige Schneeflocken).

Ein interessantes Beispiel für eine Pflanze ist die Schafgarbe, deren Anzahl an Stängeln (und damit Blüten) immer der Fibonacci-Zahl entspricht. Der Grund dafür ist einfach: Nachdem er zunächst nur einen einzigen Stamm hatte, teilte sich dieser Stamm dann in zwei, dann zweigte ein weiterer Zweig vom Hauptstamm ab, dann verzweigten sich die ersten beiden Stämme erneut, dann gabelten sich alle bis auf die letzten beiden Zweige und so weiter An. Somit „überspringt“ jeder Stamm nach seinem Erscheinen einen Zweig und beginnt sich dann auf jeder Verzweigungsebene zu teilen, was zu Fibonacci-Zahlen führt.

Im Allgemeinen entspricht die Anzahl der Blütenblätter bei vielen Blumen (z. B. Lilien) der einen oder anderen Fibonacci-Zahl.

Auch in der Botanik ist das Phänomen der „Phyllotaxis“ bekannt. Ein Beispiel ist die Anordnung von Sonnenblumenkernen: Betrachtet man ihre Anordnung von oben, erkennt man gleichzeitig zwei Reihen von Spiralen (als ob sie einander überlagert wären): Einige sind im Uhrzeigersinn, andere gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Es stellt sich heraus, dass die Anzahl dieser Spiralen ungefähr mit zwei aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen übereinstimmt: 34 und 55 oder 89 und 144. Ähnliche Tatsachen gelten für einige andere Blumen sowie für Tannenzapfen, Brokkoli, Ananas usw.

Für viele Pflanzen (einigen Quellen zufolge für 90 %) trifft diese interessante Tatsache zu. Betrachten wir ein Blatt und gehen von dort nach unten, bis wir ein Blatt erreichen, das sich auf dem Stiel genau auf die gleiche Weise befindet (d. h. in genau die gleiche Richtung gerichtet). Unterwegs zählen wir alle Blätter, die uns begegnet sind (d. h. in der Höhe zwischen dem Startblatt und dem letzten Blatt liegen), aber unterschiedlich angeordnet sind. Indem wir sie nummerieren, drehen wir uns nach und nach um den Stängel (da die Blätter spiralförmig am Stängel angeordnet sind). Je nachdem, ob man Drehungen im oder gegen den Uhrzeigersinn durchführt, erhält man eine unterschiedliche Anzahl an Drehungen. Aber es stellt sich heraus, dass die Anzahl der Drehungen, die wir im Uhrzeigersinn gemacht haben, die Anzahl der Drehungen, die wir gegen den Uhrzeigersinn gemacht haben, und die Anzahl der Blätter, denen wir begegnet sind, drei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen bilden.

Es ist jedoch zu beachten, dass es auch Pflanzen gibt, für die die obigen Berechnungen Zahlen aus völlig unterschiedlichen Sequenzen liefern, sodass man nicht sagen kann, dass das Phänomen der Phyllotaxis ein Gesetz ist, sondern vielmehr ein interessanter Trend.

Eigenschaften

Fibonacci-Zahlen haben viele interessante mathematische Eigenschaften.

Hier sind nur einige davon:

Fibonacci-Zahlensystem

Satz von Zeckendorff besagt, dass jede natürliche Zahl eindeutig als Summe von Fibonacci-Zahlen dargestellt werden kann:

wobei , , , (d. h. zwei benachbarte Fibonacci-Zahlen können nicht im Eintrag verwendet werden).

Daraus folgt, dass jede Zahl eindeutig geschrieben werden kann Fibonacci-Zahlensystem, Zum Beispiel:

Außerdem kann keine Zahl zwei Einsen hintereinander haben.

Es ist nicht schwer, die Regel für das Addieren von eins zu einer Zahl im Fibonacci-Zahlensystem zu erhalten: Wenn die niedrigste Ziffer 0 ist, dann ersetzen wir sie durch 1, und wenn sie gleich 1 ist (d. h. am Ende steht 01) , dann wird 01 durch 10 ersetzt. Dann „korrigieren“ wir den Datensatz, indem wir 011 nacheinander überall um 100 korrigieren. Als Ergebnis wird in linearer Zeit ein Datensatz mit einer neuen Zahl erhalten.

Die Konvertierung einer Zahl in das Fibonacci-Zahlensystem erfolgt durch einen einfachen „gierigen“ Algorithmus: Wir sortieren einfach die Fibonacci-Zahlen von groß nach klein und, falls vorhanden, werden sie in die Notation der Zahl einbezogen und von ihr subtrahiert und setzen Sie die Suche fort.

Formel für die n-te Fibonacci-Zahl

Formel über Radikale

Es gibt eine wunderbare Formel, die nach dem französischen Mathematiker Binet benannt ist, obwohl sie Moivre schon vor ihm bekannt war:

Diese Formel lässt sich leicht durch Induktion beweisen, sie kann jedoch mithilfe des Konzepts der Erzeugung von Funktionen oder durch Lösen einer Funktionsgleichung abgeleitet werden.

Sie können sofort erkennen, dass der Modul des zweiten Termes immer kleiner als 1 ist und darüber hinaus sehr schnell (exponentiell) abnimmt. Daraus folgt, dass der Wert des ersten Termes „fast“ den Wert ergibt. Dies kann in strenger Form geschrieben werden:

Dabei geben eckige Klammern die Rundung auf die nächste ganze Zahl an.

Allerdings sind diese Formeln für den praktischen Einsatz in Berechnungen wenig geeignet, da sie bei der Arbeit mit Bruchzahlen eine sehr hohe Genauigkeit erfordern.