Systeme linearer homogener Gleichungen

Formulierung des Problems. Finden Sie eine Basis und bestimmen Sie die Dimension des linearen Lösungsraums des Systems

Lösungsplan.

1. Notieren Sie die Systemmatrix:

und mithilfe elementarer Transformationen transformieren wir die Matrix in Dreiecksansicht, d.h. zu einer solchen Form, wenn alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind. Der Rang der Systemmatrix ist gleich der Anzahl der linear unabhängigen Zeilen, d. h. in unserem Fall der Anzahl der Zeilen, in denen Nicht-Null-Elemente verbleiben:

Die Dimension des Lösungsraums beträgt . Wenn , dann ist das homogene System eindeutig Nulllösung, wenn , dann hat das System unendlich viele Lösungen.

2. Wählen Sie grundlegende und freie Variablen aus. Freie Variablen werden mit bezeichnet. Dann drücken wir die Grundvariablen durch freie aus und erhalten so gemeinsame Entscheidung homogenes System lineare Gleichungen.

3. Wir schreiben die Basis des Lösungsraums des Systems, indem wir sequentiell eine der freien Variablen setzen gleich eins und der Rest auf Null. Die Dimension des linearen Lösungsraums des Systems ist gleich der Anzahl der Basisvektoren.

Notiz. Zu den elementaren Matrixtransformationen gehören:

1. Multiplizieren (Dividieren) einer Zeichenfolge mit einem Faktor ungleich Null;

2. Hinzufügen einer weiteren Zeile zu einer beliebigen Zeile, multipliziert mit einer beliebigen Zahl;

3. Neuordnung der Linien;

4. Transformationen 1–3 für Spalten (bei der Lösung linearer Gleichungssysteme werden elementare Transformationen von Spalten nicht verwendet).

Aufgabe 3. Finden Sie eine Basis und bestimmen Sie die Dimension des linearen Lösungsraums des Systems.

Wir schreiben die Matrix des Systems aus und reduzieren sie mithilfe elementarer Transformationen auf die Dreiecksform:

Wir vermuten dann

Als wir die Konzepte eines n-dimensionalen Vektors untersuchten und Operationen für Vektoren einführten, stellten wir fest, dass die Menge aller n-dimensionalen Vektoren einen linearen Raum erzeugt. In diesem Artikel werden wir über die wichtigsten verwandten Konzepte sprechen – die Dimension und Basis eines Vektorraums. Wir werden auch den Satz über die Entwicklung eines beliebigen Vektors in eine Basis und den Zusammenhang zwischen verschiedenen Basen des n-dimensionalen Raums betrachten. Lassen Sie uns die Lösungen typischer Beispiele im Detail untersuchen.

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Das Konzept der Dimension von Vektorraum und Basis.

Die Konzepte der Dimension und Basis eines Vektorraums stehen in direktem Zusammenhang mit dem Konzept eines linear unabhängigen Vektorsystems. Daher empfehlen wir Ihnen bei Bedarf, den Artikel Lineare Abhängigkeit eines Vektorsystems, Eigenschaften linearer Abhängigkeit und Unabhängigkeit zu lesen .

Definition.

Dimension des Vektorraums ist eine Zahl, die der maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren in diesem Raum entspricht.

Definition.

Vektorraumbasis ist eine geordnete Menge linear unabhängiger Vektoren dieses Raums, deren Anzahl gleich der Dimension des Raums ist.

Lassen Sie uns auf der Grundlage dieser Definitionen einige Überlegungen anstellen.

Betrachten Sie den Raum n-dimensionaler Vektoren.

Zeigen wir, dass die Dimension dieses Raumes n ist.

Nehmen wir ein System von n Einheitsvektoren der Form

Nehmen wir diese Vektoren als Zeilen der Matrix A. In diesem Fall ist Matrix A eine Identitätsmatrix der Dimension n mal n. Der Rang dieser Matrix ist n (siehe ggf. Artikel). Daher das Vektorsystem ist linear unabhängig, und diesem System kann kein einziger Vektor hinzugefügt werden, ohne seine lineare Unabhängigkeit zu verletzen. Da die Anzahl der Vektoren im System ist dann gleich n Die Dimension des Raums n-dimensionaler Vektoren ist n und die Einheitsvektoren sind die Grundlage dieses Raumes.

Aus der letzten Aussage und Definition der Basis können wir das schließen Jedes System n-dimensionaler Vektoren, dessen Anzahl weniger als n ist, ist keine Basis.

Lassen Sie uns nun den ersten und zweiten Vektor des Systems vertauschen . Es ist leicht zu zeigen, dass das resultierende Vektorsystem entsteht ist auch eine Basis eines n-dimensionalen Vektorraums. Erstellen wir eine Matrix, indem wir die Vektoren dieses Systems als Zeilen verwenden. Diese Matrix kann aus der Identitätsmatrix durch Vertauschen der ersten und zweiten Zeile erhalten werden, daher ist ihr Rang n. Somit ein System von n Vektoren ist linear unabhängig und die Basis eines n-dimensionalen Vektorraums.

Wenn wir andere Vektoren des Systems neu anordnen , dann bekommen wir eine andere Basis.

Wenn wir ein linear unabhängiges System von Nicht-Einheitsvektoren nehmen, dann ist es auch die Basis eines n-dimensionalen Vektorraums.

Auf diese Weise, Ein Vektorraum der Dimension n hat so viele Basen, wie es linear unabhängige Systeme von n n -dimensionalen Vektoren gibt.

Wenn wir von einem zweidimensionalen Vektorraum (also von einer Ebene) sprechen, dann sind seine Basis zwei beliebige kollinearer Vektor. Basis dreidimensionaler Raum sind drei beliebige nichtkoplanare Vektoren.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel.

Sind Vektoren die Basis des dreidimensionalen Vektorraums?

Lösung.

Untersuchen wir dieses Vektorsystem auf lineare Abhängigkeit. Dazu erstellen wir eine Matrix, deren Zeilen die Koordinaten der Vektoren sind, und ermitteln ihren Rang:


Somit sind die Vektoren a, b und c linear unabhängig und ihre Anzahl ist gleich der Dimension des Vektorraums, daher sind sie die Basis dieses Raums.

Antwort:

Ja, sie sind.

Beispiel.

Kann ein Vektorsystem die Basis eines Vektorraums sein?

Lösung.

Dieses Vektorsystem ist linear abhängig, da die maximale Anzahl linear unabhängiger dreidimensionaler Vektoren drei beträgt. Folglich kann dieses Vektorsystem keine Basis eines dreidimensionalen Vektorraums sein (obwohl ein Subsystem des ursprünglichen Vektorsystems eine Basis ist).

Antwort:

Nein, er kann nicht.

Beispiel.

Stellen Sie sicher, dass die Vektoren

kann die Basis eines vierdimensionalen Vektorraums sein.

Lösung.

Erstellen wir eine Matrix, indem wir die Originalvektoren als Zeilen verwenden:

Lass uns finden:

Somit ist das System der Vektoren a, b, c, d linear unabhängig und ihre Anzahl ist gleich der Dimension des Vektorraums, daher sind a, b, c, d seine Basis.

Antwort:

Die ursprünglichen Vektoren sind tatsächlich die Grundlage des vierdimensionalen Raums.

Beispiel.

Bilden Vektoren die Basis eines Vektorraums der Dimension 4?

Lösung.

Auch wenn das ursprüngliche Vektorsystem linear unabhängig ist, reicht die Anzahl der darin enthaltenen Vektoren nicht aus, um die Basis eines vierdimensionalen Raums zu bilden (die Basis eines solchen Raums besteht aus 4 Vektoren).

Antwort:

Nein, das ist nicht der Fall.

Zerlegung eines Vektors gemäß der Basis des Vektorraums.

Lassen Sie beliebige Vektoren sind die Basis eines n-dimensionalen Vektorraums. Wenn wir ihnen einen n-dimensionalen Vektor x hinzufügen, ist das resultierende Vektorsystem linear abhängig. Aus den Eigenschaften der linearen Abhängigkeit wissen wir, dass mindestens ein Vektor eines linear abhängigen Systems durch die anderen linear ausgedrückt wird. Mit anderen Worten: Mindestens einer der Vektoren eines linear abhängigen Systems wird in die übrigen Vektoren entwickelt.

Dies bringt uns zu einem sehr wichtigen Satz.

Satz.

Jeder Vektor eines n-dimensionalen Vektorraums kann eindeutig in eine Basis zerlegt werden.

Nachweisen.

Lassen - Basis des n-dimensionalen Vektorraums. Fügen wir diesen Vektoren einen n-dimensionalen Vektor x hinzu. Dann ist das resultierende Vektorsystem linear abhängig und der Vektor x kann linear durch Vektoren ausgedrückt werden : , wo sind einige Zahlen. So haben wir die Entwicklung des Vektors x bezüglich der Basis erhalten. Es bleibt zu beweisen, dass diese Zerlegung einzigartig ist.

Nehmen wir an, dass es eine weitere Zerlegung gibt, wo - einige Zahlen. Subtrahieren wir von der linken und rechten Seite der letzten Gleichung die linke bzw. rechte Seite der Gleichheit:

Seit dem System der Basisvektoren linear unabhängig ist, ist die resultierende Gleichheit nach der Definition der linearen Unabhängigkeit eines Vektorsystems nur dann möglich, wenn alle Koeffizienten gleich Null sind. Daher ist , was die Eindeutigkeit der Vektorzerlegung in Bezug auf die Basis beweist.

Definition.

Die Koeffizienten werden aufgerufen Koordinaten des Vektors x in der Basis .

Nachdem wir uns mit dem Satz über die Zerlegung eines Vektors in eine Basis vertraut gemacht haben, beginnen wir, die Essenz des Ausdrucks „uns wird ein n-dimensionaler Vektor gegeben“ zu verstehen " Dieser Ausdruck bedeutet, dass wir einen Vektor eines x n -dimensionalen Vektorraums betrachten, dessen Koordinaten auf einer bestimmten Basis angegeben sind. Gleichzeitig verstehen wir, dass derselbe Vektor x in einer anderen Basis des n-dimensionalen Vektorraums andere Koordinaten als haben wird.

Betrachten wir das folgende Problem.

Gegeben sei ein System von n linear unabhängigen Vektoren auf einer Basis eines n-dimensionalen Vektorraums

und Vektor . Dann die Vektoren sind auch die Basis dieses Vektorraums.

Wir müssen die Koordinaten des Vektors x in der Basis finden . Bezeichnen wir diese Koordinaten als .

Vektor x in Basis hat eine Idee. Schreiben wir diese Gleichheit in Koordinatenform:

Diese Gleichheit entspricht einem System von n linearen algebraische Gleichungen mit n unbekannten Variablen :

Die Hauptmatrix dieses Systems hat die Form

Bezeichnen wir es mit dem Buchstaben A. Die Spalten der Matrix A stellen Vektoren eines linear unabhängigen Vektorsystems dar , also ist der Rang dieser Matrix n, daher ist ihre Determinante ungleich Null. Diese Tatsache weist darauf hin, dass das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat, die beispielsweise mit jeder Methode oder gefunden werden kann.

Auf diese Weise werden die erforderlichen Koordinaten gefunden Vektor x in der Basis .

Schauen wir uns die Theorie anhand von Beispielen an.

Beispiel.

In einigen Grundlagen des dreidimensionalen Vektorraums sind die Vektoren

Stellen Sie sicher, dass das Vektorsystem auch eine Basis dieses Raums ist und ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors x in dieser Basis.

Lösung.

Damit ein Vektorsystem die Grundlage eines dreidimensionalen Vektorraums bilden kann, muss es linear unabhängig sein. Lassen Sie uns dies herausfinden, indem wir den Rang der Matrix A bestimmen, deren Zeilen Vektoren sind. Lassen Sie uns den Rang mithilfe der Gaußschen Methode ermitteln


daher Rank(A) = 3, was zeigt lineare Unabhängigkeit Vektorsysteme.

Vektoren sind also die Basis. Der Vektor x soll in dieser Basis Koordinaten haben. Dann ist, wie wir oben gezeigt haben, die Beziehung zwischen den Koordinaten dieses Vektors durch das Gleichungssystem gegeben

Wenn wir die aus der Bedingung bekannten Werte in diese einsetzen, erhalten wir

Lösen wir es mit der Cramer-Methode:

Somit hat der Vektor x in der Basis Koordinaten .

Antwort:

Beispiel.

Auf irgendeiner Basis eines vierdimensionalen Vektorraums ist ein linear unabhängiges Vektorsystem gegeben

Es ist bekannt, dass . Finden Sie die Koordinaten des Vektors x in der Basis .

Lösung.

Da das Vektorsystem linear unabhängig durch Bedingung, dann ist es eine Basis des vierdimensionalen Raums. Dann Gleichheit bedeutet, dass der Vektor x in der Basis hat Koordinaten. Bezeichnen wir die Koordinaten des Vektors x in der Basis Wie .

Gleichungssystem, das die Beziehung zwischen den Koordinaten des Vektors x in Basen definiert Und sieht aus wie

Wir ersetzen es bekannte Werte und finden Sie die erforderlichen Koordinaten:

Antwort:

.

Beziehung zwischen Basen.

Gegeben seien zwei linear unabhängige Vektorsysteme auf einer Basis eines n-dimensionalen Vektorraums

Und

das heißt, sie sind auch die Grundlagen dieses Raumes.

Wenn - Koordinaten des Vektors in der Basis , dann die Koordinatenverbindung Und ist durch ein System linearer Gleichungen gegeben (wir haben darüber im vorherigen Absatz gesprochen):

, was in Matrixform geschrieben werden kann als

Ebenso können wir für einen Vektor schreiben

Die vorherigen Matrixgleichungen können zu einer zusammengefasst werden, die im Wesentlichen die Beziehung zwischen den Vektoren zweier verschiedener Basen definiert

Ebenso können wir alle Basisvektoren ausdrücken durch Basis :

Definition.

Matrix angerufen Übergangsmatrix von der Basis zur Basis , dann ist die Gleichheit wahr

Multiplizieren Sie beide Seiten dieser Gleichheit von rechts mit

wir bekommen

Lassen Sie uns die Übergangsmatrix finden, aber wir werden uns nicht im Detail mit der Suche nach der Umkehrmatrix und den Multiplikationsmatrizen befassen (siehe Artikel und ggf.):

Es bleibt die Beziehung zwischen den Koordinaten des Vektors x in den gegebenen Basen herauszufinden.

Der Vektor x soll dann Koordinaten in der Basis haben

und in der Basis hat der Vektor x dann Koordinaten

Da die linken Seiten der letzten beiden Gleichungen gleich sind, können wir die rechten Seiten gleichsetzen:

Wenn wir beide Seiten rechts mit multiplizieren

dann bekommen wir


Andererseits

(Finden Sie die inverse Matrix selbst).
Die letzten beiden Gleichungen geben uns die erforderliche Beziehung zwischen den Koordinaten des Vektors x in den Basen und .

Antwort:

Die Übergangsmatrix von Basis zu Basis hat die Form
;
Koordinaten des Vektors x in Basen und sind durch die Beziehungen verbunden

oder
.

Wir untersuchten die Konzepte von Dimension und Basis eines Vektorraums, lernten, einen Vektor in eine Basis zu zerlegen, und entdeckten die Verbindung zwischen verschiedenen Basen des n-dimensionalen Vektorraums durch die Übergangsmatrix.

Seite 1

Unterraum, seine Basis und Dimension.

Lassen L– linearer Raum über dem Feld P Und A– Teilmenge von L. Wenn A selbst bildet einen linearen Raum über dem Feld P bezüglich der gleichen Operationen wie L, Das A wird als Unterraum des Raumes bezeichnet L.

Nach der Definition des linearen Raums also A War ein Unterraum, muss die Machbarkeit geprüft werden A Operationen:

1) :
;

2)
:
;

und überprüfen Sie, ob die Vorgänge ausgeführt werden A unterliegen acht Axiomen. Letzteres wird jedoch redundant sein (aufgrund der Tatsache, dass diese Axiome in L gelten), d. h. Folgendes ist wahr

Satz. Sei L ein linearer Raum über einem Feld P und
. Eine Menge A ist genau dann ein Unterraum von L, wenn die folgenden Anforderungen erfüllt sind:

1. :
;

2.
:
.

Stellungnahme. Wenn L – N-dimensionaler linearer Raum und A sein Unterraum also A ist auch ein endlichdimensionaler linearer Raum und seine Dimension überschreitet nicht N.

P Beispiel 1. Ist ein Unterraum des Raums der Segmentvektoren V 2 die Menge S aller Ebenenvektoren, die jeweils auf einer der Koordinatenachsen 0x oder 0y liegen?

Lösung: Lassen
,
Und
,
. Dann
. Daher ist S kein Unterraum .

Beispiel 2. V 2 Es gibt viele ebene Segmentvektoren S alle ebenen Vektoren, deren Anfang und Ende auf einer gegebenen Geraden liegen l dieses Flugzeug?

Lösung.

E Sli-Vektor
mit reeller Zahl multiplizieren k, dann erhalten wir den Vektor
, ebenfalls zu S. If gehörend Und sind dann zwei Vektoren aus S
(gemäß der Regel der Addition von Vektoren auf einer Geraden). Daher ist S ein Unterraum .

Beispiel 3. Ist ein linearer Unterraum eines linearen Raums V 2 ein Haufen A alle ebenen Vektoren, deren Enden auf einer gegebenen Geraden liegen l, (Angenommen, der Ursprung eines Vektors fällt mit dem Koordinatenursprung zusammen)?

R Entscheidung.

In dem Fall, wo die gerade Linie l die Menge geht nicht durch den Ursprung A linearer Unterraum des Raumes V 2 ist nicht, weil
.

In dem Fall, wo die gerade Linie l geht durch den Ursprung, eingestellt A ist ein linearer Unterraum des Raumes V 2 , Weil
und beim Multiplizieren eines beliebigen Vektors
zu einer reellen Zahl α aus dem Bereich R wir bekommen
. Somit ist der lineare Platzbedarf für eine Menge A vollendet.

Beispiel 4. Gegeben sei ein System von Vektoren
aus dem linearen Raum Lüber das Feld P. Beweisen Sie, dass die Menge aller möglichen Linearkombinationen ist
mit Chancen
aus P ist ein Unterraum L(Dies ist ein Unterraum A heißt der vom Vektorsystem erzeugte Unterraum
oder lineare Schale dieses Vektorsystem und wie folgt bezeichnet:
oder
).

Lösung. In der Tat, seitdem, dann für alle Elemente X, jA wir haben:
,
, Wo
,
. Dann

Als
, Das
, Deshalb
.

Überprüfen wir, ob die zweite Bedingung des Satzes erfüllt ist. Wenn X– jeder Vektor von A Und T– eine beliebige Zahl von P, Das . Weil das
Und
,
, Das
,
, Deshalb
. Somit ist nach dem Satz die Menge A– Unterraum des linearen Raums L.

Für endlichdimensionale lineare Räume gilt auch das Umgekehrte.

Satz. Jeder Unterraum A linearer Raum Lüber das Feld ist die lineare Spanne eines Vektorsystems.

Bei der Lösung des Problems, die Basis und Dimension einer linearen Schale zu finden, wird der folgende Satz verwendet.

Satz. Lineare Schalenbasis
stimmt mit der Basis des Vektorsystems überein
. Lineare Schalenabmessung
stimmt mit dem Rang des Vektorsystems überein
.

Beispiel 4. Finden Sie die Basis und Dimension des Unterraums
linearer Raum R 3 [ X] , Wenn
,
,
,
.

Lösung. Es ist bekannt, dass Vektoren und ihre Koordinatenzeilen (Spalten) die gleichen Eigenschaften haben (in Bezug auf lineare Abhängigkeit). Eine Matrix erstellen A=
aus Koordinatenspalten von Vektoren
in der Basis
.

Lassen Sie uns den Rang der Matrix ermitteln A.

. M 3 =
.
.

Daher der Rang R(A)= 3. Also der Rang des Vektorsystems
ist gleich 3. Das bedeutet, dass die Dimension des Unterraums S gleich 3 ist und seine Basis aus drei Vektoren besteht
(da im Grundmoll
enthält nur die Koordinaten dieser Vektoren)., . Dieses Vektorsystem ist linear unabhängig. In der Tat, lass es sein.

UND
.

Stellen Sie sicher, dass das System
linear abhängig für jeden Vektor X aus H. Das ist der Beweis dafür
maximales linear unabhängiges System von Unterraumvektoren H, d.h.
– Basis in H und dunkel H=N 2 .

Seite 1

Eine Teilmenge eines linearen Raums bildet einen Unterraum, wenn er durch Addition von Vektoren und Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen wird.

Beispiel 6.1. Bildet ein Unterraum in einer Ebene eine Menge von Vektoren, deren Enden: a) im ersten Viertel liegen; b) auf einer Geraden durch den Ursprung? (Die Ursprünge der Vektoren liegen im Koordinatenursprung)

Lösung.

a) nein, da die Menge bei Multiplikation mit einem Skalar nicht abgeschlossen ist: bei Multiplikation mit eine negative Zahl das Ende des Vektors fällt in das dritte Viertel.

b) ja, denn wenn Vektoren addiert und mit einer beliebigen Zahl multipliziert werden, bleiben ihre Enden auf derselben Geraden.

Übung 6.1. Bilden die folgenden Teilmengen der entsprechenden linearen Räume einen Unterraum:

a) eine Menge ebener Vektoren, deren Enden im ersten oder dritten Viertel liegen;

b) eine Menge ebener Vektoren, deren Enden auf einer geraden Linie liegen, die nicht durch den Ursprung geht;

c) eine Menge von Koordinatenlinien ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 0);

d) Satz von Koordinatenlinien ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 1);

e) eine Menge von Koordinatenlinien ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 = x 2 2).

Die Dimension eines linearen Raums L ist die Anzahl dim L der Vektoren, die in einer seiner Basis enthalten sind.

Die Dimensionen der Summe und der Schnittmenge von Unterräumen hängen durch die Relation zusammen

dim (U + V) = dim U + dim V – dim (U Ç V).

Beispiel 6.2. Finden Sie die Basis und Dimension der Summe und Schnittmenge der Unterräume, die von den folgenden Vektorsystemen aufgespannt werden:

Lösung: Jedes der Vektorsysteme, die die Unterräume U und V erzeugen, ist linear unabhängig, das heißt, es ist eine Basis des entsprechenden Unterraums. Lassen Sie uns aus den Koordinaten dieser Vektoren eine Matrix erstellen, sie in Spalten anordnen und ein System durch eine Linie vom anderen trennen. Lassen Sie uns die resultierende Matrix auf eine schrittweise Form reduzieren.

~ ~ ~ .

Die Basis U + V bilden die Vektoren , , , denen die führenden Elemente in der Stufenmatrix entsprechen. Daher ist dim (U + V) = 3. Dann

dim (UÇV) = dim U + dim V – dim (U + V) = 2 + 2 – 3 = 1.

Der Schnittpunkt der Unterräume bildet eine Menge von Vektoren, die die Gleichung erfüllen (links stehend und die richtigen Teile diese Gleichung). Wir erhalten die Schnittbasis mit grundlegendes System Lösungen für ein System linearer Gleichungen, das dieser Vektorgleichung entspricht. Die Matrix dieses Systems wurde bereits auf eine Stufenform reduziert. Daraus schließen wir, dass y 2 eine freie Variable ist, und setzen y 2 = c. Dann ist 0 = y 1 – y 2, y 1 = c,. und der Schnittpunkt von Unterräumen bildet eine Menge von Vektoren der Form = c (3, 6, 3, 4). Folglich bildet die Basis UÇV den Vektor (3, 6, 3, 4).

Anmerkungen. 1. Wenn wir das System weiter lösen und die Werte der Variablen x ermitteln, erhalten wir x 2 = c, x 1 = c und auf der linken Seite der Vektorgleichung erhalten wir einen Vektor, der dem oben erhaltenen entspricht .

2. Mit der angegebenen Methode können Sie die Basis der Summe erhalten, unabhängig davon, ob die erzeugenden Vektorsysteme linear unabhängig sind. Die Schnittbasis wird jedoch nur dann korrekt erhalten, wenn zumindest das System, das den zweiten Unterraum erzeugt, linear unabhängig ist.

3. Wenn festgestellt wird, dass die Dimension des Schnittpunkts 0 ist, hat der Schnittpunkt keine Basis und es besteht keine Notwendigkeit, danach zu suchen.

Übung 6.2. Finden Sie die Basis und Dimension der Summe und Schnittmenge der Unterräume, die von den folgenden Vektorsystemen aufgespannt werden:

A)

B)

Euklidischer Raum

Der euklidische Raum ist ein linearer Raum über einem Körper R, in dem eine Skalarmultiplikation definiert ist, die jedem Vektorpaar einen Skalar zuweist und die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

2) (a + b) = a() + b();

3) ¹Þ > 0.

Standard Skalarprodukt nach Formeln berechnet

(a 1 , … , a n) (b 1 , … , b n) = a 1 b 1 + … + a n b n.

Vektoren und heißen orthogonal und werden ^ geschrieben, wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist.

Ein Vektorsystem heißt orthogonal, wenn die darin enthaltenen Vektoren paarweise orthogonal sind.

Ein orthogonales Vektorsystem ist linear unabhängig.

Der Prozess der Orthogonalisierung eines Vektorsystems , ... , besteht aus dem Übergang zu einem äquivalenten Orthogonalsystem , ... , der gemäß den Formeln durchgeführt wird:

, wobei , k = 2, … , n.

Beispiel 7.1. Orthogonalisieren Sie ein Vektorsystem

= (1, 2, 2, 1), = (3, 2, 1, 1), = (4, 1, 3, -2).

Lösung. Wir haben = = (1, 2, 2, 1);

, = = = 1;

= (3, 2, 1, 1) – (1, 2, 2, 1) = (2, 0, -1, 0).

, = = =1;

= =1;

= (4, 1, 3, -2) – (1, 2, 2, 1) – (2, 0, -1, 0) = (1, -1, 2, -3).

Übung 7.1. Vektorsysteme orthogonalisieren:

a) = (1, 1, 0, 2), = (3, 1, 1, 1), = (-1, -3, 1, -1);

b) = (1, 2, 1, 1), = (3, 4, 1, 1), = (0, 3, 2, -1).

Beispiel 7.2. Vollständiges Vektorsystem = (1, -1, 1, -1),

= (1, 1, -1, -1), zur orthogonalen Basis des Raums.

Lösung: Das ursprüngliche System ist orthogonal, daher ist das Problem sinnvoll. Da die Vektoren im vierdimensionalen Raum vorliegen, müssen wir zwei weitere Vektoren finden. Der dritte Vektor = (x 1, x 2, x 3, x 4) wird aus den Bedingungen = 0, = 0 bestimmt. Diese Bedingungen ergeben ein Gleichungssystem, dessen Matrix aus den Koordinatenlinien der Vektoren und gebildet wird . Wir lösen das System:

~ ~ .

Den freien Variablen x 3 und x 4 können beliebige Werte außer Null zugewiesen werden. Wir nehmen zum Beispiel x 3 = 0, x 4 = 1 an. Dann ist x 2 = 0, x 1 = 1 und = (1, 0, 0, 1).

Ebenso finden wir = (y 1, y 2, y 3, y 4). Dazu fügen wir der oben erhaltenen Stufenmatrix eine neue Koordinatenlinie hinzu und reduzieren sie auf die Stufenform:

~ ~ .

Für die freie Variable y 3 setzen wir y 3 = 1. Dann ist y 4 = 0, y 2 = 1, y 1 = 0 und = (0, 1, 1, 0).

Die Norm eines Vektors im euklidischen Raum ist eine nicht negative reelle Zahl.

Ein Vektor heißt normalisiert, wenn seine Norm 1 ist.

Um einen Vektor zu normalisieren, muss er durch seine Norm geteilt werden.

Ein orthogonales System normalisierter Vektoren heißt Orthonormal.

Übung 7.2. Vervollständigen Sie das Vektorsystem zu einer Orthonormalbasis des Raumes:

a) = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2), = (-1/2, 1/2, -1/2, 1/2);

b) = (1/3, -2/3, 2/3).

Lineare Abbildungen

Seien U und V lineare Räume über dem Körper F. Eine Abbildung f: U ® V heißt linear if and .

Beispiel 8.1. Sind Transformationen des dreidimensionalen Raums linear:

a) f(x 1, x 2, x 3) = (2x 1, x 1 – x 3, 0);

b) f(x 1, x 2, x 3) = (1, x 1 + x 2, x 3).

Lösung.

a) Es gilt f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3)) = f(x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3) =

= (2(x 1 + y 1), (x 1 + y 1) – (x 3 + y 3), 0) = (2x 1, x 1 – x 3, 0) + (2y 1, y 1 - y 3 , 0) =

F((x 1, x 2, x 3) + f(y 1, y 2, y 3));

f(l(x 1 , x 2 , x 3)) = f(lx 1 , lx 2 , lx 3) = (2lx 1 , lx 1 – lx 3 , 0) = l(2x 1 , x 1 – x 3 , 0) =

L f(x 1, x 2, x 3).

Daher ist die Transformation linear.

b) Es gilt f((x 1 , x 2 , x 3) + (y 1 , y 2 , y 3)) = f(x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3) =

= (1, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3);

f((x 1 , x 2 , x 3) + f(y 1 , y 2 , y 3)) = (1, x 1 + x 2 , x 3) + (1, y 1 + y 2 , y 3 ) =

= (2, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3) ¹ f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3) ).

Daher ist die Transformation nicht linear.

Das Bild einer linearen Abbildung f: U ® V ist die Menge der Bilder von Vektoren aus U, das heißt

Im (f) = (f() ï О U). + … + ein m1

Übung 8.1. Finden Sie den Rang, den Defekt, die Basen des Bildes und den Kern der linearen Abbildung f, die durch die Matrix gegeben ist:

a) A = ; b) A = ; c) A = .

P Und A– Teilmenge von L. Wenn A selbst bildet einen linearen Raum über dem Feld P bezüglich der gleichen Operationen wie L, Das A wird als Unterraum des Raumes bezeichnet L.

Nach der Definition des linearen Raums also A War ein Unterraum, muss die Machbarkeit geprüft werden A Operationen:

1) :
;

2)
:
;

und überprüfen Sie, ob die Vorgänge ausgeführt werden A unterliegen acht Axiomen. Letzteres wird jedoch redundant sein (aufgrund der Tatsache, dass diese Axiome in L gelten), d. h. Folgendes ist wahr

Satz. Sei L ein linearer Raum über einem Feld P und
. Eine Menge A ist genau dann ein Unterraum von L, wenn die folgenden Anforderungen erfüllt sind:

Stellungnahme. Wenn L – N-dimensionaler linearer Raum und A sein Unterraum also A ist auch ein endlichdimensionaler linearer Raum und seine Dimension überschreitet nicht N.

P Beispiel 1. Ist ein Unterraum des Raums der Segmentvektoren V 2 die Menge S aller Ebenenvektoren, die jeweils auf einer der Koordinatenachsen 0x oder 0y liegen?

Lösung: Lassen
,
Und
,
. Dann
. Daher ist S kein Unterraum .

Beispiel 2. Ist ein linearer Unterraum eines linearen Raums V 2 Es gibt viele ebene Segmentvektoren S alle ebenen Vektoren, deren Anfang und Ende auf einer gegebenen Geraden liegen l dieses Flugzeug?

Lösung.

E Sli-Vektor
mit reeller Zahl multiplizieren k, dann erhalten wir den Vektor
, ebenfalls zu S. If gehörend Und sind dann zwei Vektoren aus S
(gemäß der Regel der Addition von Vektoren auf einer Geraden). Daher ist S ein Unterraum .

Beispiel 3. Ist ein linearer Unterraum eines linearen Raums V 2 ein Haufen A alle ebenen Vektoren, deren Enden auf einer gegebenen Geraden liegen l, (Angenommen, der Ursprung eines Vektors fällt mit dem Koordinatenursprung zusammen)?

R Entscheidung.

In dem Fall, wo die gerade Linie l die Menge geht nicht durch den Ursprung A linearer Unterraum des Raumes V 2 ist nicht, weil
.

In dem Fall, wo die gerade Linie l geht durch den Ursprung, eingestellt A ist ein linearer Unterraum des Raumes V 2 , Weil
und beim Multiplizieren eines beliebigen Vektors
zu einer reellen Zahl α aus dem Bereich R wir bekommen
. Somit ist der lineare Platzbedarf für eine Menge A vollendet.

Beispiel 4. Gegeben sei ein System von Vektoren
aus dem linearen Raum Lüber das Feld P. Beweisen Sie, dass die Menge aller möglichen Linearkombinationen ist
mit Chancen
aus P ist ein Unterraum L(Dies ist ein Unterraum A heißt der von einem System von Vektoren erzeugte Unterraum oder lineare Schale dieses Vektorsystem und wie folgt bezeichnet:
oder
).

Lösung. In der Tat, seitdem, dann für alle Elemente X, jA wir haben:
,
, Wo
,
. Dann

Seit damals
, Deshalb
.

Überprüfen wir, ob die zweite Bedingung des Satzes erfüllt ist. Wenn X– jeder Vektor von A Und T– eine beliebige Zahl von P, Das . Weil das
Und
,, Das
, , Deshalb
. Somit ist nach dem Satz die Menge A– Unterraum des linearen Raums L.

Für endlichdimensionale lineare Räume gilt auch das Umgekehrte.

Satz. Jeder Unterraum A linearer Raum Lüber das Feld ist die lineare Spanne eines Vektorsystems.

Bei der Lösung des Problems, die Basis und Dimension einer linearen Schale zu finden, wird der folgende Satz verwendet.

Satz. Lineare Schalenbasis
stimmt mit der Basis des Vektorsystems überein. Die Dimension der linearen Hülle stimmt mit dem Rang des Vektorsystems überein.

Beispiel 4. Finden Sie die Basis und Dimension des Unterraums
linearer Raum R 3 [ X] , Wenn
,
,
,
.

Lösung. Es ist bekannt, dass Vektoren und ihre Koordinatenzeilen (Spalten) die gleichen Eigenschaften haben (hinsichtlich der linearen Abhängigkeit). Eine Matrix erstellen A=
aus Koordinatenspalten von Vektoren
in der Basis
.

Lassen Sie uns den Rang der Matrix ermitteln A.

. M 3 =
.
.

Daher der Rang R(A)= 3. Der Rang des Vektorsystems ist also 3. Das bedeutet, dass die Dimension des Unterraums S 3 ist und seine Basis aus drei Vektoren besteht
(da im Grundmoll
nur die Koordinaten dieser Vektoren sind enthalten).

Beispiel 5. Beweisen Sie, dass die Menge H arithmetische Raumvektoren
, dessen erste und letzte Koordinate 0 sind, bildet einen linearen Unterraum. Finden Sie seine Grundlage und Dimension.

Lösung. Lassen
.

Dann , und . Somit,
für jeden. Wenn
,
, Das . Somit ist nach dem Satz des linearen Unterraums die Menge H ist ein linearer Unterraum des Raumes. Finden wir die Basis H. Betrachten Sie die folgenden Vektoren von H:
,
, . Dieses Vektorsystem ist linear unabhängig. In der Tat, lass es sein.