Wie Sie wissen, kann die Menge der natürlichen Zahlen mithilfe der „Kleiner-als“-Beziehung geordnet werden. Aber die Regeln für die Konstruktion einer axiomatischen Theorie erfordern, dass diese Beziehung nicht nur definiert wird, sondern auch auf der Grundlage von Konzepten erfolgt, die bereits in dieser Theorie definiert sind. Dies kann erreicht werden, indem die „Kleiner-als“-Beziehung durch Addition definiert wird.
Definition. Die Zahl a ist kleiner als die Zahl b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = B.
Unter diesen Voraussetzungen spricht man auch von der Zahl B mehr A und schreibe b > a.
Satz 12. Für alle natürlichen Zahlen A Und B Es gilt nur eine von drei Beziehungen: a = b, a > b, A < B.
Auf den Beweis dieses Theorems verzichten wir.. Aus diesem Satz folgt, dass if
a¹ b, entweder A< b, oder a > b, diese. die Relation „weniger“ hat die Eigenschaft der Verbundenheit.
Satz 13. Wenn A< b Und B< с. Das A< с.
Nachweisen. Dieser Satz drückt die Transitivitätseigenschaft der „Kleiner-als“-Relation aus.
Als A< b Und B< с. dann gibt es nach der Definition der „Kleiner-als“-Relation natürliche Zahlen Zu Na und b = a + k und c = b + I. Aber dann c = (a + k)+ / und basierend auf der Assoziativitätseigenschaft der Addition erhalten wir: c = a + (k +/). Weil das k + I - natürliche Zahl, also gemäß der Definition von „kleiner als“, A< с.
Satz 14. Wenn A< b, das stimmt nicht B< а. Nachweisen. Dieser Satz drückt die Eigenschaft aus Antisymmetrie„weniger“ Beziehung.
Beweisen wir das zunächst für keine einzige natürliche Zahl A nicht du-!>! ■ )ihre Einstellung A< A. Nehmen wir das Gegenteil an, d.h. Was A< а tritt ein. Dann gibt es nach der Definition der „Kleiner-als“-Beziehung eine natürliche Zahl Mit, Was A+ Mit= A, und dies widerspricht Satz 6.
Lassen Sie uns nun beweisen, dass wenn A< B, dann stimmt das nicht B < A. Nehmen wir das Gegenteil an, d.h. was ist, wenn A< b , Das B< а durchgeführt. Aber aus diesen Gleichheiten haben wir nach Satz 12 A< а, was unmöglich ist.
Da die von uns definierte „Kleiner-als“-Relation antisymmetrisch und transitiv ist und die Eigenschaft der Verbundenheit besitzt, handelt es sich um eine Relation linearer Ordnung und um die Menge der natürlichen Zahlen linear geordnete Menge.
Aus der Definition von „kleiner als“ und seinen Eigenschaften können wir die bekannten Eigenschaften der Menge der natürlichen Zahlen ableiten.
Satz 15. Von allen natürlichen Zahlen ist eine die kleinste Zahl, d. h. ICH< а для любого натурального числа a¹1.
Nachweisen. Lassen A - jede natürliche Zahl. Dann sind zwei Fälle möglich: a = 1 und a¹ 1. Wenn a = 1, dann gibt es eine natürliche Zahl B, gefolgt von a: a = b " = b + Ich = 1 + B, d. h. per Definition der „Kleiner-als“-Beziehung 1< A. Daher ist jede natürliche Zahl gleich 1 oder größer als 1. Oder eins ist die kleinste natürliche Zahl.
Die Relation „kleiner als“ ist mit der Addition und Multiplikation von Zahlen durch die Eigenschaften der Monotonie verbunden.
Satz 16.
a = b => a + c = b + c und a c = b c;
A< b =>a + c< b + с и ас < bс;
a > b => a + c > b + c und ac > bc.
Nachweisen. 1) Die Gültigkeit dieser Aussage ergibt sich aus der Einzigartigkeit von Addition und Multiplikation.
2) Wenn A< b,
dann gibt es so eine natürliche Zahl k, Was A
+ k = b.
Dann B+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ Zu)= (a + c) + k. Gleichwertigkeit B+ c = (a + c) + k bedeutet, dass a + c< b
+ Mit.
Auf die gleiche Weise wird das bewiesen A< b =>ac< bс.
3) Der Beweis ist ähnlich.
Satz 17(die Umkehrung von Satz 16).
1) A+ c = b + c oder ac ~ vc-Þ a = b
2) a + c< Ь + с oder ac< v. ChrÞ A< Ь:
3) a + c > b+ mit oder ac > vcÞ a > b.
Nachweisen. Beweisen wir zum Beispiel das aus ac< bс sollen A< b Nehmen wir das Gegenteil an, d.h. dass die Schlussfolgerung des Theorems nicht gilt. Dann kann es das nicht sein a = b. denn dann wäre die Gleichheit erfüllt ac = bс(Satz 16); das kann nicht sein A> B, denn dann wäre es so ac > bс(Satz!6). Daher gilt nach Satz 12: A< b.
Aus den Sätzen 16 und 17 können wir die bekannten Regeln für die termweise Addition und Multiplikation von Ungleichungen ableiten. Wir lassen sie weg.
Satz 18. Für alle natürlichen Zahlen A Und B; Es gibt eine natürliche Zahl n, so dass p b> a.
Nachweisen. Für jeden A es gibt so eine Nummer P, Was n > a. Dazu genügt die Einnahme n = a + 1. Termweise Multiplikation von Ungleichungen P> A Und B> 1, wir bekommen pb > A.
Aus den betrachteten Eigenschaften der „Kleiner-als“-Relation ergeben sich wichtige Merkmale der Menge der natürlichen Zahlen, die wir ohne Beweis darstellen.
1. Nicht für jede natürliche Zahl A Es gibt keine solche natürliche Zahl P, Was A< п < а +
1. Diese Eigenschaft heißt Eigentum
Diskretion Mengen natürlicher Zahlen und Zahlen A Und ein + 1 heißt benachbart.
2.
Jede nicht leere Teilmenge natürlicher Zahlen enthält
kleinste Zahl.
3. Wenn M- nicht leere Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen
und es gibt so eine Zahl B, das für alle Zahlen x aus M nicht ausgeführt
Gleichheit x< B, dann im Überfluss M ist die größte Zahl.
Lassen Sie uns die Eigenschaften 2 und 3 anhand eines Beispiels veranschaulichen. Lassen M- eine Reihe zweistelliger Zahlen. Als M ist eine Teilmenge der natürlichen Zahlen und für alle Zahlen in dieser Menge gilt die Ungleichung x< 100, то в множестве M ist die größte Zahl 99. Die kleinste in einer gegebenen Menge enthaltene Zahl M, - Nummer 10.
Somit ermöglichte die „Kleiner-als“-Beziehung die Betrachtung (und in einigen Fällen den Nachweis) einer erheblichen Anzahl von Eigenschaften der Menge der natürlichen Zahlen. Insbesondere ist es linear geordnet, diskret und hat die kleinste Zahl 1.
Grundschüler werden gleich zu Beginn ihrer Schulzeit mit der „Kleiner-als“-Relation („größer als“) für natürliche Zahlen vertraut gemacht. Und oft wird neben der mengentheoretischen Interpretation auch die von uns im Rahmen der axiomatischen Theorie gegebene Definition implizit verwendet. Beispielsweise können die Schüler erklären, dass 9 > 7 ist, weil 9 7+2 ist. Auch die implizite Verwendung der Monotonieeigenschaften der Addition und Multiplikation ist üblich. Kinder erklären zum Beispiel: „6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».
Übungen
1. Warum kann die Menge der natürlichen Zahlen nicht mithilfe der „sofort folgen“-Beziehung geordnet werden?
Haltung definieren a > b und beweisen Sie, dass es transitiv und antisymmetrisch ist.
3. Beweisen Sie, dass wenn a, b, c sind natürliche Zahlen, dann:
A) A< b Þ ас < bс;
B) A+ Mit< b + сÞ> A< Ь.
4. Welche Sätze zur Monotonie von Addition und Multiplikation können
Verwendung durch jüngere Schüler beim Lösen der Aufgabe „Vergleichen ohne zu rechnen“:
a) 27 + 8 ... 27 + 18;
b) 27-8 ... 27 -18.
5. Welche Eigenschaften der Menge der natürlichen Zahlen werden von Grundschulkindern implizit genutzt, wenn sie die folgenden Aufgaben lösen:
A) Notieren Sie die Zahlen, die größer als 65 und kleiner als 75 sind.
B) Benennen Sie die vorherige und nachfolgende Zahl im Verhältnis zur Zahl 300 (800.609.999).
C) Nennen Sie die kleinste und größte dreistellige Zahl.
Subtraktion
In der axiomatischen Konstruktion der Theorie der natürlichen Zahlen wird die Subtraktion üblicherweise als die Umkehroperation der Addition definiert.
Definition. Die Subtraktion der natürlichen Zahlen a und b ist eine Operation, die die Bedingung a – b = c genau dann erfüllt, wenn b + c = a.
Nummer a - b heißt die Differenz zwischen den Zahlen a und B, Nummer A– Minuend, Zahl B- Selbstbehalt.
Satz 19. Differenz natürlicher Zahlen A- B existiert genau dann, wenn B< а.
Nachweisen. Lassen Sie den Unterschied A- B existiert. Dann gibt es nach der Definition der Differenz eine natürliche Zahl Mit, Was b + c = a, was bedeutet, dass B< а.
Wenn B< а, Dann gibt es nach der Definition der Beziehung „kleiner als“ eine natürliche Zahl c, so dass b + c = a. Dann ist per Definition der Differenz c = a - b, diese. Unterschied a - b existiert.
Satz 20. Wenn die Differenz natürlicher Zahlen A Und B existiert, dann ist es einzigartig.
Nachweisen. Angenommen, es gibt zwei unterschiedliche Werte der Differenz zwischen Zahlen A Und B;: a – b= s₁ Und a - b= s₂, Und s₁ ¹ s₂ . Dann gilt per Definition der Differenz: a = b + c₁, Und a = b + c₂ : . Es folgt dem B+ c₁ = b + c₂ : und basierend auf Satz 17 schließen wir: с₁ = с₂.. Wir sind mit der Annahme auf einen Widerspruch gestoßen, was bedeutet, dass sie falsch ist, aber dieser Satz ist richtig.
Basierend auf der Definition der Differenz natürlicher Zahlen und den Bedingungen ihrer Existenz lassen sich die bekannten Regeln zum Subtrahieren einer Zahl von einer Summe und einer Summe von einer Zahl begründen.
Satz 21. Lassen A. B Und Mit- ganze Zahlen.
und wenn a > c, dann ist (a + b) - c = (a - c) + b.
b) Wenn b > c. dann (a + b) – c – a + (b – c).
c) Wenn a > c und b > c. Dann können Sie jede dieser Formeln verwenden.
Nachweisen. Im Fall a) die Differenz der Zahlen A Und C existiert, weil a > s. Bezeichnen wir es mit x: a - c = x. Wo a = c + x. Wenn (A+ b) - c = y. dann, per Definition der Differenz, A+ B = Mit+ bei. Setzen wir stattdessen in diese Gleichheit ein A Ausdruck c + x:(c + x) + b = c + y. Nutzen wir die Assoziativitätseigenschaft der Addition: c + (x + b) = c+ bei. Lassen Sie uns diese Gleichheit basierend auf der Eigenschaft der Monotonie der Addition umwandeln und erhalten:
x + b = u..Ersetzen von x in dieser Gleichung durch den Ausdruck a - c, werde haben (A - G) + b = y. Damit haben wir bewiesen, dass if a > c, dann ist (a + b) - c = (a - c) + b
Der Beweis erfolgt analog im Fall b).
Der bewährte Satz lässt sich in Form einer leicht zu merkenden Regel formulieren: Um eine Zahl von einer Summe zu subtrahieren, reicht es aus, diese Zahl von einem Term der Summe zu subtrahieren und zum resultierenden Ergebnis einen weiteren Term hinzuzufügen.
Satz 22. Lassen a, b und c - ganze Zahlen. Wenn a > b+ s also A- (b + c) = (a - b) - c oder a - (b + c) = (a - c) - b.
Der Beweis dieser Theorie ähnelt dem Beweis von Satz 21.
Satz 22 lässt sich als Regel formulieren: Um die Summe der Zahlen von einer Zahl zu subtrahieren, reicht es aus, jeden Term einzeln von dieser Zahl zu subtrahieren.
Im Mathematikunterricht der Grundschule wird die Definition der Subtraktion als Umkehrung der Addition in der Regel nicht in allgemeiner Form gegeben, sondern wird ständig verwendet, beginnend mit der Durchführung von Operationen an einstelligen Zahlen. Die Schüler sollten klar verstehen, dass die Subtraktion mit der Addition zusammenhängt, und diese Beziehung in Berechnungen verwenden. Wenn Schüler beispielsweise die Zahl 16 von der Zahl 40 subtrahieren, argumentieren sie folgendermaßen: „Die Zahl 16 von 40 zu subtrahieren bedeutet, eine Zahl zu finden, deren Addition zur Zahl 16 das Ergebnis 40 ergibt; diese Zahl wird 24 sein, da 24 + 16 = 40. Also. 40 - 16 = 24.“
Die Regeln zum Subtrahieren einer Zahl von einer Summe und einer Summe von einer Zahl im Mathematik-Grundkurs sind die theoretische Grundlage für verschiedene Rechentechniken. Beispielsweise kann der Wert des Ausdrucks (40 + 16) - 10 nicht nur durch Berechnen der Summe in Klammern und anschließendes Subtrahieren der Zahl 10 davon ermittelt werden, sondern auch auf diese Weise;
a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.
Übungen
1. Stimmt es, dass jede natürliche Zahl von der unmittelbar nächsten durch Subtraktion von eins erhalten wird?
2. Was ist das Besondere an der logischen Struktur von Satz 19? Kann man es mit den Worten „notwendig und ausreichend“ formulieren?
3. Beweisen Sie Folgendes:
und wenn b > c, Das (a + b) - c = a + (b - c);
b) wenn a > b + c, Das a - (geb+ c) = (a - b) - c.
4. Ist es möglich, ohne Berechnungen zu sagen, welche Ausdrücke die gleichen Werte haben:
a) (50 + 16)- 14; d) 50 + (16 -14 ),
b) (50 - 14) + 16; e) 50 – (16 – 14);
c) (50 - 14) - 16, f) (50 + 14) - 16.
a) 50 - (16 + 14); d) (50 - 14) + 16;
b) (50 - 16) + 14; e) (50 - 14) - 16;
c) (50 - 16) - 14; e) 50 - 16-14.
5. Welche Eigenschaften der Subtraktion bilden die theoretische Grundlage für die folgenden Rechentechniken, die im Mathematik-Grundkurs erlernt werden:
12 - 2-3 12 -5 = 7
b) 16-7 = 16-6 - P;
c) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 =18;
d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Beschreiben Sie mögliche Möglichkeiten, den Wert eines Ausdrucks der Form zu bewerten. a - b- Mit und veranschaulichen sie anhand konkreter Beispiele.
7. Beweisen Sie das wann B< а und jedes natürliche c ist die Gleichheit wahr (a – b) c = ac – vc.
Notiz. Der Beweis basiert auf Axiom 4.
8. Bestimmen Sie den Wert eines Ausdrucks, ohne schriftliche Berechnungen durchzuführen. Begründen Sie Ihre Antworten.
a) 7865 × 6 – 7865 ×5: b) 957 × 11 – 957; c) 12 × 36 – 7 × 36.
Aufteilung
In der axiomatischen Konstruktion der Theorie der natürlichen Zahlen wird die Division üblicherweise als die Umkehroperation der Multiplikation definiert.
Definition. Die Division der natürlichen Zahlen a und b ist eine Operation, die die Bedingung erfüllt: a: b = c genau dann, wenn Zu wenn b× c = a.
Nummer a:b angerufen Privat Zahlen A Und B, Nummer A teilbar, Zahl B- Teiler.
Wie bekannt ist, gibt es eine Division auf der Menge der natürlichen Zahlen nicht immer, und es gibt kein so praktisches Zeichen für die Existenz eines Quotienten wie für eine Differenz. Es gibt nur eine notwendige Bedingung für die Existenz des Besonderen.
Satz 23. Damit es einen Quotienten zweier natürlicher Zahlen gibt A Und B, es ist nötig dass B< а.
Nachweisen. Sei der Quotient der natürlichen Zahlen A Und B existiert, d.h. Es gibt eine natürliche Zahl c, so dass v. Chr. = a. Denn für jede natürliche Zahl 1 gilt die Ungleichung 1 £ Mit, Dann werden beide Teile mit einer natürlichen Zahl multipliziert B, wir bekommen B£ v. Chr. Aber bc = a, somit, B£ A.
Satz 24. Wenn der Quotient der natürlichen Zahlen A Und B existiert, dann ist es einzigartig.
Der Beweis dieses Satzes ähnelt dem Beweis des Satzes über die Eindeutigkeit der Differenz natürlicher Zahlen.
Basierend auf der Definition des Quotienten natürlicher Zahlen und den Bedingungen seiner Existenz lassen sich die bekannten Regeln zur Division einer Summe (Differenz, Produkt) durch eine Zahl begründen.
Satz 25. Wenn die Zahlen A Und B durch eine Zahl teilbar Mit, dann ihre Summe a + b dividiert durch c und der durch Division der Summe erhaltene Quotient A+ B pro Nummer Mit, gleich der Summe der durch Division erhaltenen Quotienten A An Mit Und B An Mit, d.h. (a + b):c = a:c + b:Mit.
Nachweisen. Da die Nummer A geteilt durch Mit, dann gibt es eine natürliche Zahl x = A; Das ist es a = cx. Ebenso gibt es eine solche natürliche Zahl y = b:Mit, Was
B= su. Aber dann a + b = cx+ cy = - c(x + y). Das bedeutet es a + b wird durch c dividiert und der Quotient wird durch Division der Summe erhalten A+ B durch die Zahl c, gleich x + ja, diese. Axt + b: c.
Der bewährte Satz lässt sich als Regel zum Teilen einer Summe durch eine Zahl formulieren: Um die Summe durch eine Zahl zu teilen, genügt es, jeden Term durch diese Zahl zu dividieren und die resultierenden Ergebnisse zu addieren.
Satz 26. Wenn natürliche Zahlen A Und B durch eine Zahl teilbar Mit Und a > b, dann der Unterschied a - b wird durch c dividiert, und der durch Division der Differenz durch die Zahl c erhaltene Quotient ist gleich der Differenz der durch Division erhaltenen Quotienten A An Mit Und B auf c, d.h. (a - b):c = a:c - b:c.
Der Beweis dieses Satzes ähnelt dem Beweis des vorherigen Satzes.
Dieser Satz lässt sich als Regel zur Division der Differenz durch eine Zahl formulieren: Für Um die Differenz durch eine Zahl zu dividieren, genügt es, den Minuend und den Subtrahend durch diese Zahl zu dividieren und den zweiten vom ersten Quotienten zu subtrahieren.
Satz 27. Wenn eine natürliche Zahl A ist durch eine natürliche Zahl c teilbar, dann für jede natürliche Zahl B arbeiten ab geteilt durch s. In diesem Fall der Quotient, der sich durch Division des Produkts ergibt ab s nummerieren , gleich dem Produkt des durch Division erhaltenen Quotienten A An Mit, und Zahlen b: (a × b):c – (a:c) × b.
Nachweisen. Als A geteilt durch Mit, dann gibt es eine natürliche Zahl x, so dass a:c= x, wo a = cx. Beide Seiten der Gleichheit mit multiplizieren B, wir bekommen ab = (cx)b. Da die Multiplikation also assoziativ ist (cx) b = c(x b). Von hier (a b):c = x b= (a:c) b. Der Satz lässt sich als Regel zur Division eines Produkts durch eine Zahl formulieren: Um ein Produkt durch eine Zahl zu dividieren, genügt es, einen der Faktoren durch diese Zahl zu dividieren und das resultierende Ergebnis mit dem zweiten Faktor zu multiplizieren.
Im Mathematikunterricht der Grundschule wird die Definition der Division als Umkehroperation der Multiplikation in der Regel nicht in allgemeiner Form gegeben, sondern ab den ersten Lektionen der Einarbeitung in die Division ständig verwendet. Die Schüler sollten klar verstehen, dass Division mit Multiplikation zusammenhängt, und diese Beziehung bei Berechnungen verwenden. Wenn Schüler beispielsweise 48 durch 16 dividieren, argumentieren sie folgendermaßen: „48 durch 16 dividieren bedeutet, eine Zahl zu finden, die, wenn sie mit 16 multipliziert wird, 48 ergibt; eine solche Zahl wäre 3, da 16×3 = 48. Daher ist 48: 16 = 3.
Übungen
1. Beweisen Sie Folgendes:
a) wenn der Quotient der natürlichen Zahlen A und B existiert, dann ist es einzigartig;
b) wenn die Zahlen A und B sind geteilt in Mit Und a > b, Das (a - b): c = a: c - b: c.
2. Kann man sagen, dass alle diese Gleichheiten wahr sind:
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;
c) 850:170 =850:10:17.
Welche Regel verallgemeinert diese Fälle? Formulieren Sie es und beweisen Sie es.
3. Welche Eigenschaften der Teilung bilden die theoretische Grundlage?
Erledigung der folgenden Aufgaben, die Grundschülern angeboten werden:
Ist es möglich, ohne eine Division durchzuführen, zu sagen, welche Ausdrücke die gleichen Werte haben:
a) (40+ 8):2; c) 48:3; e) (20+ 28):2;
b) (30 + 16):3; g)(21+27):3; f) 48:2;
Sind die Gleichheiten wahr:
a) 48:6:2 = 48:(6:2); b) 96:4:2 = 96:(4-2);
c) (40 - 28): 4 = 10-7?
4. Beschreiben Sie mögliche Methoden zur Berechnung des Werts eines Ausdrucks
Typ:
A) (A+ b):c; B) A:B: Mit; V) ( a × b): Mit .
Veranschaulichen Sie die vorgeschlagenen Methoden anhand konkreter Beispiele.
5. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks auf rationale Weise; ihre
Begründen Sie Ihr Handeln:
a) (7 × 63):7; c) (15 × 18):(5× 6);
b) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.
6. Begründen Sie die folgenden Methoden zur Division durch eine zweistellige Zahl:
a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;
b) 882:18 = (900 – 18): 18 = 900:18 – 18:18 = 50 – 1 =49;
c) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
d) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120.
7. Finden Sie das Rationalste, ohne es mit einer Ecke zu teilen
auf Quotientenart; Begründen Sie die gewählte Methode:
a) 495:15; c) 455:7; e) 275:55;
6) 425:85; d) 225:9; e) 455:65.
Vorlesung 34. Eigenschaften der Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen
1. Die Menge der nicht negativen ganzen Zahlen. Eigenschaften der Menge nicht negativer Ganzzahlen.
2. Das Konzept eines Segments einer natürlichen Reihe von Zahlen und Zählelementen einer endlichen Menge. Ordinale und kardinale natürliche Zahlen.
Für das Staatsexamen im Fachgebiet
1. Linearer (Vektor-)Raum über dem Feld. Beispiele. Unterräume, einfachste Eigenschaften. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren.
2. Basis und Dimension des Vektorraums. Koordinatenmatrix eines Vektorsystems. Übergang von einer Basis zur anderen. Isomorphismus von Vektorräumen.
3. Algebraische Geschlossenheit des Körpers komplexer Zahlen.
4. Ring der ganzen Zahlen. Reihenfolge von ganzen Zahlen. Sätze über die „größten“ und „kleinsten“ ganzen Zahlen.
5. Gruppe, Beispiele für Gruppen. Die einfachsten Eigenschaften von Gruppen. Untergruppen. Homomorphismus und Isomorphismus von Gruppen.
6. Grundlegende Eigenschaften der Teilbarkeit ganzer Zahlen. Primzahlen. Die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen. Kanonische Zerlegung einer zusammengesetzten Zahl und ihre Eindeutigkeit.
7. Kronecker-Capelli-Theorem (Konsistenzkriterium für ein System linearer Gleichungen).
8. Grundlegende Eigenschaften von Vergleichen. Vollständige und reduzierte Systeme von Modulo-Abzügen. Modulo-Restklassenring. Die Sätze von Euler und Fermat.
9. Anwendung der Vergleichstheorie zur Ableitung von Teilbarkeitskriterien. Einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln und die Länge seiner Periode bestimmen.
10. Konjugation imaginärer Wurzeln eines Polynoms mit reellen Koeffizienten. Irreduzible Polynome über dem Körper der reellen Zahlen.
11. Lineare Vergleiche mit einer Variablen (Lösbarkeitskriterium, Lösungsmethoden).
12. Äquivalente lineare Gleichungssysteme. Methode zur sequentiellen Eliminierung von Unbekannten.
13. Klingeln. Beispiele für Ringe. Die einfachsten Eigenschaften von Ringen. Unterring. Homomorphismen und Isomorphismen von Ringen. Feld. Beispiele für Felder. Die einfachsten Eigenschaften. Minimalität des Körpers der rationalen Zahlen.
14. Natürliche Zahlen (Grundlagen der axiomatischen Theorie der natürlichen Zahlen). Sätze über die „größten“ und „kleinsten“ natürlichen Zahlen.
15. Polynome über einem Körper. Satz über die Division mit Rest. Der größte gemeinsame Teiler zweier Polynome, seine Eigenschaften und Ermittlungsmethoden.
16. Binäre Beziehungen. Äquivalenzbeziehung. Äquivalenzklassen, Faktorsatz.
17. Mathematische Induktion für natürliche und ganze Zahlen.
18. Eigenschaften relativer Primzahlen. Das kleinste gemeinsame Vielfache ganzer Zahlen, seine Eigenschaften und Methoden zum Finden.
19. Körper komplexer Zahlen, Zahlenkörper. Geometrische Darstellung und trigonometrische Form einer komplexen Zahl.
20. Satz über die Division mit Rest für ganze Zahlen. Der größte gemeinsame Teiler ganzer Zahlen, seine Eigenschaften und Ermittlungsmethoden.
21. Lineare Operatoren des Vektorraums. Kernel und Bild eines linearen Operators. Algebra linearer Operatoren in einem Vektorraum. Eigenwerte und Eigenvektoren eines linearen Operators.
22. Affine Transformationen der Ebene, ihre Eigenschaften und Spezifizierungsmethoden. Gruppe affiner Transformationen der Ebene und ihrer Untergruppen.
23. Polygone. Fläche eines Polygons. Existenz- und Einzigartigkeitssatz.
24. Gleiche Größe und gleiche Zusammensetzung der Polygone.
25. Geometrie von Lobatschewski. Konsistenz des Axiomensystems der Lobatschewski-Geometrie.
26. Das Konzept der Parallelität in der Lobatschewski-Geometrie. Die relative Position der Linien auf der Lobatschewski-Ebene.
27. Bewegungsformeln. Klassifizierung von Flugzeugbewegungen. Anwendungen zur Problemlösung.
28. Die relative Lage zweier Ebenen, einer Geraden und einer Ebene, zwei Geraden im Raum (in analytischer Darstellung).
29. Projektive Transformationen. Existenz- und Einzigartigkeitssatz. Formeln für projektive Transformationen.
30. Skalare, Vektor- und gemischte Vektorprodukte, ihre Anwendung zur Problemlösung.
31. Das Weyl-Axiomsystem des dreidimensionalen euklidischen Raums und seine inhaltliche Konsistenz.
32. Bewegungen des Flugzeugs und ihre Eigenschaften. Gruppe von Flugzeugbewegungen. Satz der Existenz und Einzigartigkeit der Bewegung.
33. Projektive Ebene und ihre Modelle. Projektive Transformationen, ihre Eigenschaften. Gruppe projektiver Transformationen.
34. Ebenenähnliche Transformationen, ihre Eigenschaften. Gruppe ebener Ähnlichkeitstransformationen und ihre Untergruppen.
35. Glatte Oberflächen. Die erste quadratische Form einer Fläche und ihre Anwendungen.
36. Paralleles Design und seine Eigenschaften. Abbildung flacher und räumlicher Figuren in Parallelprojektion.
37. Glatte Linien. Krümmung einer Raumkurve und ihre Berechnung.
38. Ellipse, Hyperbel und Parabel als Kegelschnitte. Kanonische Gleichungen.
39. Richtungseigenschaft von Ellipse, Hyperbel und Parabel. Polargleichungen.
40. Doppelverhältnis von vier Punkten auf einer Geraden, seine Eigenschaften und Berechnung. Harmonische Trennung von Punktpaaren. Vollständiges Viereck und seine Eigenschaften. Anwendung zur Lösung von Bauproblemen.
41. Sätze von Pascal und Brianchon. Pole und Polaren.
Beispielfragen zur mathematischen Analyse
Eine natürliche Zahl ist eine Zahl, die zum Zählen von Objekten verwendet wird. Es entstand aus den praktischen Bedürfnissen des Menschen. Die Entwicklung des Konzepts einer natürlichen Zahl kann in mehrere Phasen unterteilt werden: 1. Die alten Menschen stellten zum Vergleichen von Mengen Entsprechungen her: zum Beispiel so viel wie ein Finger an einer Hand. Nachteil: Die zu vergleichenden Sets mussten gleichzeitig sichtbar sein. 2. Viele - Vermittler, zum Beispiel Steine, Muscheln, Stöcke. Der Zahlenbegriff ist noch nicht vollständig. Und die Zahlen sind an bestimmte Artikel gebunden. 3. Aussehen einer Zahl (Bezeichnung einer Zahl in Form von Zahlen). Die Ursprünge der Arithmetik. Die Arithmetik als Wissenschaft entstand in den Ländern des Alten Ostens – China, Indien, Ägypten und entwickelte sich in Griechenland weiter. Der Begriff „natürliche Zahl“ wurde erstmals vom römischen Wissenschaftler Boethius verwendet. Um die Menge einer Menge zu bestimmen, ist Zählen notwendig. Teilen wir alle quantitativen Mengen in Äquivalenzklassen ein, beispielsweise in eine Äquivalenzklasse. wird viele Eckpunkte von Dreiecken, Seiten eines Quadrats und viele Buchstaben in der Wortwelt umfassen. Wenn wir diesen Prozess fortsetzen, dann aufgrund der Tatsache, dass in Bezug auf die Äquivalenz alles eine gleich starke Beziehung ist. Die endlichen Mengen werden in Klassen eingeteilt. Das. Theoretisch ist der Pluralsinn einer natürlichen Kardinalzahl eine allgemeine Eigenschaft der Klasse endlicher Mengen gleicher Potenz. Jede Klasse hat ihre eigene quantitative Zahl. Die Null wird entsprechend der leeren Menge platziert.
Die Zahlen A und B heißen gleich, wenn sie durch Mengen gleicher Kardinalität definiert sind.
Diese Methode wird in Grundschulklassen verwendet.
Methoden zur Bearbeitung von Problemen, die die spezifische Bedeutung arithmetischer Operationen offenbaren.
Rechenaufgaben nehmen im Mathematikunterricht einen bedeutenden Platz ein. Fast die Hälfte der Zeit im Mathematikunterricht wird mit dem Lösen von Problemen verbracht. Dies erklärt sich aus ihrer großen pädagogischen und erzieherischen Rolle, die sie beim Unterrichten von Kindern spielen. Das Lösen arithmetischer Aufgaben hilft dabei, die grundlegende Bedeutung arithmetischer Operationen zu erkennen, sie zu präzisieren und mit einer konkreten Lebenssituation in Verbindung zu bringen. Probleme tragen zur Assimilation mathematischer Konzepte, Beziehungen und Muster bei. Beim Lösen von Problemen entwickeln Kinder freiwillige Aufmerksamkeit, Beobachtungsgabe, logisches Denken, Sprache und Intelligenz. Das Lösen von Problemen trägt zur Entwicklung kognitiver Prozesse wie Analyse, Synthese, Vergleich und Verallgemeinerung bei.
Bei der Lösung arithmetischer Probleme lernen die Studierenden, ihre Aktivitäten zu planen und zu kontrollieren, Techniken zu beherrschen, sich selbst zu kontrollieren (das Problem überprüfen, Probleme abschätzen usw.), sie entwickeln Ausdauer, Willen und entwickeln Interesse an der Lösung des Problems Problem. Problemlösungen spielen eine große Rolle bei der Vorbereitung von Kindern auf das Leben und ihre zukünftige Arbeit. Beim Lösen von Story-Problemen lernen die Studierenden, Zusammenhänge zwischen Objekten und Größen in die „Sprache der Mathematik“ zu übersetzen. Bei Rechenaufgaben wird numerisches Material verwendet, das die Erfolge des Landes in verschiedenen Bereichen der Volkswirtschaft, Kultur, Wissenschaft usw. widerspiegelt. Dies trägt dazu bei, den Horizont der Studierenden zu erweitern und sie mit neuem Wissen über die umgebende Realität zu bereichern. Die Studierenden beherrschen die Fähigkeit, Rechenaufgaben mit großer Schwierigkeit zu lösen.
Die Gründe für fehlerhafte Problemlösungen von Kindern liegen vor allem in den Besonderheiten ihres Denkens. Im Prozess des Lernens, Probleme zu lösen, sollte man eine Schulung zum Lösen von Problemen einer bestimmten Art vermeiden; man sollte einen bewussten Ansatz zur Lösung von Problemen lehren, lehren, wie man eine bestimmte, in einem Problem beschriebene Lebenssituation bewältigt, und eine bewusste Auswahl der Aufgabe lehren Daten, eine bewusste Wahl von Handlungen. Bei der Bearbeitung einer Rechenaufgabe lassen sich folgende Phasen unterscheiden:
1. Bearbeiten Sie den Inhalt der Aufgabe.
2. Eine Lösung für das Problem finden.
3. Lösung des Problems.
4. Formulierung der Antwort.
5. Überprüfung der Lösung des Problems.
6. Nachbereitung des gelösten Problems.
Es sollte viel Wert auf die inhaltliche Bearbeitung der Aufgabe gelegt werden, d.h. Überverständnis der im Problem dargelegten Situation, Herstellung einer Beziehung zwischen den Daten und dem Gesuchten. Der Arbeitsablauf zur Beherrschung des Aufgabeninhalts;
a) Analyse unverständlicher Wörter oder Ausdrücke;
b) Lesen des Problemtextes durch Lehrer und Schüler;
c) Aufzeichnen der Problembedingungen;
d) Wiederholung der Aufgabe durch Fragen.
Den Schülern sollte beigebracht werden, den Text einer Aufgabe ausdrucksstark zu lesen. Es muss daran erinnert werden, dass Kindern ausdrücklich das ausdrucksstarke Lesen beigebracht werden muss; sie können die Aufgabe nicht alleine richtig lesen, können keine logischen Akzente setzen usw.
Neben der Konkretisierung des Inhalts einer Aufgabe mit Hilfe von Objekten, Schablonen und Zeichnungen haben sich in der Lehrerpraxis an Schulen folgende Formen der Erfassung des Inhalts einer Aufgabe durchgesetzt:
1. Eine abgekürzte Form der Aufzeichnung, bei der numerische Daten und nur die Wörter und Ausdrücke aus dem Text des Problems ausgeschrieben werden, die zum Verständnis der logischen Bedeutung des Problems erforderlich sind.
2. Eine abgekürzte Strukturform der Aufzeichnung, bei der jeder logische Teil des Problems in eine neue Zeile geschrieben wird.
3. Schematische Form der Aufnahme.
4. Grafische Form der Aufzeichnung.
Da die Kontrollfunktion bei Kindern geschwächt ist, hat die Überprüfung der Lösung eines Problems nicht nur pädagogische, sondern auch pädagogische Bedeutung. In den unteren Klassenstufen ist es notwendig:
1. Überprüfen Sie verbal formulierte Aufgaben, indem Sie Aktionen an Objekten ausführen.
2. Überprüfen Sie die Realität der Antwort.
3. Überprüfen Sie die Übereinstimmung der Antwort mit den Bedingungen und der Fragestellung der Aufgabe. Die Überprüfung der Lösung eines Problems mit anderen Lösungsmethoden ist ab der 4. Klasse möglich.
Um die Richtigkeit der Problemlösung zu kontrollieren, werden auch einige Elemente des programmierten Trainings verwendet. Dieses Element ist insofern sehr nützlich, als der Schüler sofort eine Bestätigung für die Richtigkeit oder umgekehrt die Fehlerhaftigkeit seines Handelns erhält. Wenn eine Entscheidung falsch ist, sucht er nach neuen Lösungen.
Ein Lehrer in der Schule kann oft nicht sicher sein, dass die Lösung eines Problems von allen Schülern verstanden wird. Daher ist es sehr sinnvoll, an der Konsolidierung der Lösung dieses Problems zu arbeiten. Die Konsolidierung der Problemlösung kann auf verschiedene Weise erfolgen.
1. Es werden zentrale Fragen zum Inhalt des Problems aufgeworfen.
2. Es wird vorgeschlagen, den gesamten Prozess der Problemlösung mit Begründung für die Wahl der Maßnahmen darzustellen.
3. Es werden Fragen zu einzelnen Aktionen oder Themen gestellt. Wichtig für Studierende ist nicht die Anzahl gelöster ähnlicher Probleme, sondern das Verständnis der Fachsituation in Bezug auf die Daten. Diesem Ziel dient die anschließende Bearbeitung des gelösten Problems, die als wichtige Technik zur Entwicklung von Fähigkeiten zur Lösung derartiger Probleme angesehen werden kann. Ein besseres Verständnis des fachlichen Inhalts von Problemen, der Beziehung zwischen den Daten und den erforderlichen Daten wird durch die Lösung von Problemen mit zusätzlichen oder fehlenden numerischen Daten erleichtert, die nicht in Zahlen, sondern in Worten geschrieben sind. Beobachtungen zeigen, dass die besten Lehrer häufig das Verfassen von Problemen durch die Schüler als eine der Methoden zum Unterrichten von Problemlösungen nutzen.
Das Aufstellen von Problemen hilft Kindern, die lebenswichtige und praktische Bedeutung einer Aufgabe besser zu verstehen, ihre Struktur besser zu verstehen sowie zwischen verschiedenen Arten von Problemen zu unterscheiden und die Methoden zu ihrer Lösung zu verstehen. Die Vorbereitung von Problemen erfolgt parallel zur Lösung vorgefertigter Probleme. Erfahrungen und Beobachtungen zeigen, dass die Teilbearbeitung von Aufgaben für Studierende am einfachsten ist. Die Schüler sollten dazu ermutigt werden, Probleme mit verschiedenen Handlungssträngen zu verfassen. Dies trägt zur Entwicklung ihrer Vorstellungskraft, ihres Einfallsreichtums und ihrer Initiative bei. Es ist sehr nützlich, wenn Studierende zum Verfassen von Problemen Material verwenden, das sie bei Exkursionen, aus Nachschlagewerken, Zeitungen, Zeitschriften usw. „bekommen“. Oberstufenschülern muss beigebracht werden, Geschäftsdokumente im Zusammenhang mit bestimmten Berechnungen auszufüllen und zu schreiben. Schreiben Sie beispielsweise eine Vollmacht, füllen Sie ein Formular für eine Geldüberweisung aus usw. Alle oben genannten Techniken können in großem Umfang zur Lösung aller Arten von Problemen eingesetzt werden.
Eine einfache Rechenaufgabe ist eine Aufgabe, die mit einer Rechenoperation gelöst werden kann. Einfache Probleme spielen im Mathematikunterricht für Schüler eine äußerst wichtige Rolle. Es sind einfache Aufgaben, die es ermöglichen, die Hauptbedeutung aufzudecken und arithmetische Operationen zu spezifizieren, um bestimmte mathematische Konzepte zu bilden. Einfache Probleme sind ein wesentlicher Bestandteil komplexer Probleme, und daher bereitet der Lehrer die Schüler durch die Entwicklung der Fähigkeit, sie zu lösen, auf die Lösung komplexer Probleme vor.
In jedem Studienjahr lernen die Studierenden neue Arten einfacher Probleme kennen. Ihre schrittweise Einführung erklärt sich aus den unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden mathematischer Konzepte, dem Ort des Studiums dieser arithmetischen Operationen und der spezifischen Bedeutung, deren sie offenbaren. Bei der Auswahl derartiger Aufgaben sind die Vorgaben und Inhalte des Lehrers nicht minder wichtig. Abschließend lehrt der Lehrer, wie man den Inhalt des Problems präzisiert und die Beziehung zwischen den Daten und dem Gesuchten anhand verschiedener Formen der Kurznotation offenlegt.
Die Erfahrung der besten Lehrer zeigt, dass die Vorbereitung auf die Lösung arithmetischer Probleme damit beginnen sollte, die praktischen Erfahrungen der Schüler zu bereichern und zu entwickeln und sie an der umgebenden Realität zu orientieren. Die Schüler müssen in eine Lebenssituation geführt werden, in der sie zählen, Rechenaufgaben lösen und Veränderungen vornehmen müssen. Darüber hinaus sollten diese Situationen zunächst nicht künstlich erzeugt werden, sondern die Aufmerksamkeit der Studierenden sollte lediglich auf sie gelenkt und gelenkt werden. Der Lehrer organisiert die Beobachtung von Veränderungen in der Anzahl der Elemente von Objektmengen, des Inhalts von Gefäßen usw., was dazu beiträgt, die Vorstellungen der Schüler über Quantität zu entwickeln, um sie mit bestimmten Terminologien vertraut zu machen, denen sie später in der verbalen Formulierung begegnen werden von Problemen: es wurde, alles blieb, sie nahmen, nahmen zu, nahmen ab usw. Es ist notwendig, die spielerischen und praktischen Aktivitäten der Studierenden so zu gestalten, dass die Studierenden als direkte Teilnehmer an dieser Aktivität sowie als Beobachter selbst im Einzelfall eine Schlussfolgerung ziehen können; die Anzahl der Elemente der Menge hat zu- oder abgenommen und welche Operation und welcher verbale Ausdruck dieser Zunahme oder Abnahme entspricht. Diese Phase der Vorbereitungsarbeit fällt mit dem Beginn der Arbeit an den ersten zehn Zahlen und dem Kennenlernen arithmetischer Operationen sowie dem Lösen und Zusammenstellen von Beispielen für Operationen mit Zielmengen zusammen.
Bevor der Lehrer mit dem Lösen von Rechenaufgaben beginnt, muss er sich klar vorstellen, welche Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten den Schülern vermittelt werden müssen. Um ein Problem zu lösen, müssen die Schüler Rechenbeispiele lösen, zuhören und dann das Problem lesen, das Problem Frage für Frage, aus einer kurzen Notiz, aus dem Gedächtnis wiederholen, die Komponenten des Problems identifizieren, das Problem lösen und seine Richtigkeit überprüfen. In der 1. Klasse lernen die Schüler, Aufgaben zur Summen- und Restbildung zu lösen. Diese Aufgaben werden erstmals beim Unterrichten der ersten zehn Zahlen eingeführt. Beim Erlernen der Lösung von Problemen beim Ermitteln der Summe identischer Terme, beim Teilen in gleiche Teile oder beim Teilen nach Inhalt sollte man sich darauf verlassen, dass die Schüler das Wesentliche der arithmetischen Operationen der Multiplikation und Division verstehen. Bevor die Aufgabe verschiedener Vergleiche gelöst wird, müssen die Schüler das Konzept des Vergleichs von Objekten einer Menge, zweier Subjektmengen, Mengen, Zahlen und der Herstellung von Gleichheits- und Ungleichheitsbeziehungen zwischen ihnen vermitteln. Ein zusammengesetztes oder komplexes Rechenproblem ist ein Problem, das durch zwei oder mehr Rechenoperationen gelöst werden kann. Psychologische Untersuchungen zu den Merkmalen der Lösung zusammengesetzter Rechenaufgaben zeigen, dass Kinder bekannte einfache Probleme im Kontext eines neuen zusammengesetzten Problems nicht erkennen. Vorbereitende Arbeiten zur Lösung zusammengesetzter Probleme sollten ein System von Übungen und Techniken sein, die die Studierenden gezielt dazu führen, die Lösung zusammengesetzter Probleme zu meistern. Der Lehrer kann mit der Lösung zusammengesetzter Probleme fortfahren, wenn er davon überzeugt ist, dass die Schüler die Techniken zur Lösung einfacher Probleme beherrschen, die in das zusammengesetzte Problem einbezogen werden, und selbst ein einfaches Problem eines bestimmten Typs erstellen können. Beim Lösen zusammengesetzter Probleme müssen die Schüler entweder Fragen zu den Daten stellen oder Daten auswählen, um die Frage zu beantworten. Daher während der Vorbereitungszeit, d.h. Im gesamten ersten Studienjahr und zu Beginn des zweiten Studienjahres sollen den Studierenden Aufgaben angeboten werden:
1. Wählen Sie Fragen für die vorgefertigte Bedingung aus.
2. Verfassen Sie ein Problem basierend auf der Frage und wählen Sie die fehlenden numerischen Daten aus.
Durch das Verfassen einfacher und zusammengesetzter Probleme lernen die Schüler nach und nach, einfache Probleme in einem zusammengesetzten Problem zu erkennen; Übungen zum Verfassen komplexer Probleme, die sie bereits bei der Lösung dieser Probleme erlebt haben, sind sehr nützlich. Dies wird zu einer besseren Assimilation der Arten einfacher Probleme und zur Fähigkeit, sie in einem zusammengesetzten Problem zu identifizieren, beitragen und den Schülern helfen, Probleme bewusster zu analysieren. Bei der Lösung zusammengesetzter Probleme sollten den Studierenden allgemeine Techniken zur Bearbeitung eines Problems vermittelt werden; die Fähigkeit, den Inhalt einer Aufgabe zu analysieren, bekannte Daten hervorzuheben, was gesucht wird (d. h. festzustellen, was in der Aufgabe gelernt werden muss) und festzustellen, welche Daten zur Beantwortung der Hauptfrage in der Aufgabe fehlen. In der Praxis der Schule hat sich die Methode der Arbeit mit Karten, Aufgaben, bei denen der Arbeitsablauf an einer Aufgabe festgelegt wird, bewährt. Bei der Lösung von Problemen wird die Formalisierung der Lösung mit Fragen niedergeschrieben oder jede Aktion wird aufgeschrieben und erklärt. Die Entwicklung einer verallgemeinerten Methode zur Lösung derartiger Probleme wird durch wiederholtes Lösen von Problemen unterschiedlicher Art, Plots, Lösen vorgefertigter, von den Studierenden selbst zusammengestellter Probleme, Vergleich von Problemen dieser Art mit zuvor gelösten Problemtypen usw. sichergestellt.
1. Erklären Sie die Berechnungsmethode für die Fälle 40+20, 50-30, 34+20, 34+2, 48-30, 48-3 – alle Berechnungsmethoden ab der Hunderterkonzentration.
1) 40+20= 4d+2d=6d=60
2) 50-30 = 5d-3d=2d=20
3) 34+20= 3d+4ed+2d=5d 4d=54
4) 34+2 = 3d+4ed+2d=3d 6d=36
5) 48-30 = 4d+8ed-3d=1d 8d= 18
6) 48-3= 4d+8ed-3d=4d 5d=45
Alle Berechnungsmethoden sind mündlich und basieren auf der Addition und Subtraktion nach Ziffern.
Ein Segment N einer natürlichen Reihe ist die Menge natürlicher Zahlen, die die natürliche Zahl a nicht überschreitet, d. h. N = (x|x N und x a).
Beispielsweise ist N die Menge der natürlichen Zahlen, die 7 nicht überschreitet, d. h. N = (1,2,3,4,5,6,7).
Beachten wir zwei wichtige Eigenschaften von Segmenten der natürlichen Reihe:
1) Jedes Segment N enthält eins. Diese Eigenschaft ergibt sich aus der Definition eines Segments einer natürlichen Reihe.
2) Wenn die Zahl x im Intervall N und x a enthalten ist, dann ist die ihnen unmittelbar folgende Zahl x+1 auch in N enthalten.
Eine Menge A heißt endlich, wenn sie einem Abschnitt N der natürlichen Reihe entspricht. Zum Beispiel sind die Menge A der Eckpunkte eines Dreiecks und die Menge B der Buchstaben im Wort „Welt“ endliche Mengen, weil sie sind gleich dem Segment N = (1,2,3), d.h. A~B~ N .
Wenn eine nicht leere endliche Menge A gleich dem Segment N ist, dann heißt die natürliche Zahl a die Anzahl der Elemente der Menge A und wird als n(A) = a geschrieben. Wenn A beispielsweise die Menge der Eckpunkte eines Dreiecks ist, dann ist n(A) = 3.
Jede nicht leere endliche Menge ist äquivalent zu einem und nur einem Segment der natürlichen Reihe, d. h. jeder endlichen Menge A kann eine eindeutig definierte Zahl a zugeordnet werden, sodass die Menge A eins zu eins auf das Segment abgebildet wird N.
Das Herstellen einer Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den Elementen einer nicht leeren endlichen Menge A und einem Segment einer natürlichen Reihe wird als Zählen der Elemente der Menge A bezeichnet. Da jeder nicht leeren endlichen Menge nur eine natürliche Zahl entspricht, Die gesamte Menge endlicher Mengen wird in Klassen gleicher Potenzmengen unterteilt. Eine Klasse enthält alle Einzelelementmengen, eine andere enthält Zweielementmengen usw. Und diese Zahl kann als allgemeine Eigenschaft der Klasse endlicher Mengen gleicher Potenz betrachtet werden. Aus mengentheoretischer Sicht ist eine natürliche Zahl also eine allgemeine Eigenschaft der Klasse endlicher Mengen gleicher Kardinalität.
Auch die Zahl 0 hat eine mengentheoretische Interpretation – sie wird mit der leeren Menge korrespondiert: n() = 0.
Die natürliche Zahl a als Größenmerkmal kann also aus zwei Positionen betrachtet werden:
1) als Anzahl der Elemente in Satz A, erhalten durch Zählen;
2) als allgemeine Eigenschaft der Klasse endlicher Mengen gleicher Potenz.
Der etablierte Zusammenhang zwischen endlichen Mengen und natürlichen Zahlen ermöglicht uns eine mengentheoretische Interpretation der „Kleiner-als“-Beziehung.
Wenn a = n(A), b = n(B), dann ist die Zahl a genau dann kleiner als die Zahl b, wenn die Menge A gleich ihrer eigenen Teilmenge der Menge B ist, d. h. A~B, wobei B B, B B, B (Abb. 1). Oder wenn ein Segment einer natürlichen Reihe N eine echte Teilmenge des Segments N ist, d. h. N N .
Die Zahlen a und b sind gleich, wenn sie durch gleiche Mengen definiert sind: a = k A~B, wobei n(A) = a, n (B) = k. Zum Beispiel 2 = 2, weil n(A) = 2, n(B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A~B.
Auch die Eigenschaften der „Kleiner-als“-Relation für natürliche Zahlen erfahren eine mengentheoretische Interpretation: Die Transitivität und Antisymmetrie dieser Relation hängen damit zusammen, dass die Relation „eine Teilmenge sein“ transitiv und antisymmetrisch ist.
Zeigen wir anhand der mengentheoretischen Interpretation der „Kleiner-als“-Relation für natürliche Zahlen, dass 2
Nehmen wir eine Menge A mit 2 Elementen und eine Menge B mit 5 Elementen, d. h. n(A) = 2, n(B) = 5. Zum Beispiel A = (a, b), B = (c, d, e, f, r). Aus der Menge B können wir eine Teilmenge B auswählen, die gleich der Menge A ist: zum Beispiel B = (c, d) und A~B. Gemäß der Definition des „Kleiner-als“-Verhältnisses beträgt 2
Die Gültigkeit dieser Ungleichung ergibt sich auch aus der Tatsache, dass N
Diese Ungleichung ist in Abbildung 2 zu sehen. Sei 2 die Anzahl der Kreise und 5 die Anzahl der Quadrate. Wenn wir die Kreise auf die Quadrate legen, werden wir sehen, dass einige der Quadrate unbedeckt bleiben.
Das bedeutet, dass die Anzahl der Kreise kleiner ist als die Anzahl der Quadrate, d.h. 2
Mengentheoretische Bedeutung der Ungleichung 0
Der Vergleich von Zahlen im Grundstudium der Mathematik wird auf verschiedene Weise durchgeführt – er basiert auf allen Ansätzen, die wir zur Interpretation der „Kleiner-als“-Beziehung in Betracht gezogen haben.
Sätze über die „größten“ und „kleinsten“ ganzen Zahlen
Satz 4 (über die „kleinste“ ganze Zahl). Jede nichtleere, nach unten begrenzte Menge ganzer Zahlen enthält die kleinste Zahl. (Hier wird wie bei den natürlichen Zahlen das Wort „Menge“ anstelle des Wortes „Teilmenge“ E verwendet
Nachweisen. Seien O A C Z und A nach unten beschränkt, d. h. 36? ZVa? A(b< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Sei nun b A.
Dann Ua e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >UM).
Bilden wir eine Menge M aller Zahlen der Form a - b, wobei a durch die Menge A verläuft, d.h. M = (c [ c = a - b, a E A)
Offensichtlich ist die Menge M nicht leer, da A 74 0 ist
Wie oben erwähnt, M C N . Folglich gibt es nach dem Satz der natürlichen Zahlen (54, Kap. III) in der Menge M die kleinste natürliche Zahl m. Dann ist m = a1 - b für eine Zahl a1? A, und da m das kleinste in M ist, dann Ua? Bei< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
Satz 5 (über die „größte“ ganze Zahl). Jede nicht leere, begrenzte Menge ganzer Zahlen enthält die größte Zahl.
Nachweisen. Seien O 74 A C Z und A von oben durch die Zahl b begrenzt, d.h. ? ZVa e A(a< Ь). Тогда -а >b für alle Zahlen a? A.
Folglich ist die Menge M (mit r = -a, a? A) nicht leer und wird nach unten durch die Zahl (-6) begrenzt. Daher kommt nach dem vorherigen Satz die kleinste Zahl in der Menge M vor, d.h. As? MUs? MS< с).
Bedeutet das Wah? A(c)< -а), откуда Уа? А(-с >A)
H. Verschiedene Formen der Methode der mathematischen Induktion für ganze Zahlen. Divisionssatz mit Rest
Satz 1 (erste Form der Methode der mathematischen Induktion). Sei P(c) ein einstelliges Prädikat, das auf der Menge Z der ganzen Zahlen 4 definiert ist. Wenn dann für eine ZAHL a Z der Satz P(o) und für eine beliebige ganze Zahl K > a aus P(K) P(K -4- 1) folgt, dann gilt der Satz P(r) für alle ganzen Zahlen mit > a (d. h. die folgende Formel der Prädikatenrechnung gilt für die Menge Z:
Р(а) Bogen > + 1)) Ус > аР(с)
für jede feste ganze Zahl a
Nachweisen. Alles, was in den Bedingungen des Satzes gesagt wird, sei für den Satz P (c) wahr, d.h.
1) P(a) – wahr;
2) UK Shch k + ist auch wahr.
Vom Gegenteil. Angenommen, es gibt eine solche Zahl
b > a, dass RF) falsch ist. Offensichtlich b a, da P(a) wahr ist. Bilden wir die Menge M = (z ? > a, P(z) ist falsch).
Dann ist die Menge M 0, da b? M und M- werden von unten durch die Zahl a begrenzt. Folglich gibt es nach dem Satz über die kleinste ganze Zahl (Satz 4, 2) eine kleinste ganze Zahl c in der Menge M. Daher ist c > a, was wiederum c - 1 > a impliziert.
Beweisen wir, dass P(c-1) wahr ist. Wenn c-1 = a, dann ist P (c-1) aufgrund der Bedingung wahr.
Sei c- 1 > a. Dann impliziert die Annahme, dass P(c- 1) falsch ist, die Zugehörigkeit zu 1? M, was nicht sein kann, da die Zahl c die kleinste in der Menge M ist.
Somit ist c - 1 > a und P(c - 1) wahr.
Daher ist aufgrund der Bedingungen dieses Theorems der Satz P((c- 1) + 1) wahr, d.h. R(s) – wahr. Dies widerspricht der Wahl der Zahl c, da c? M Der Satz ist bewiesen.
Beachten Sie, dass dieser Satz Korollar 1 von Peanos Axiomen verallgemeinert.
Satz 2 (zweite Form der Methode der mathematischen Induktion für ganze Zahlen). Sei P(c) ein einstelliges Prädikat, das auf der Menge Z von ganzen Zahlen definiert ist. Dann gilt, wenn der Satz P(c) für eine ganze Zahl K und für eine beliebige ganze Zahl s K gültig ist, aus der Gültigkeit des Satzes P(c) für alle ganzen Zahlen, die die Ungleichung K erfüllen< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >ZU.
Der Beweis dieses Satzes wiederholt weitgehend den Beweis eines ähnlichen Satzes für natürliche Zahlen (Satz 1, 55, Kapitel III).
Satz 3 (dritte Form der Methode der mathematischen Induktion). Sei P(c) ein einstelliges Prädikat, das auf der Menge Z ganzzahliger ZAHLEN definiert ist. Wenn dann P(c) für alle Zahlen einer unendlichen Teilmenge M der Menge der natürlichen Zahlen und für eine beliebige ganze Zahl a wahr ist, impliziert die Wahrheit von P(a) die Wahrheit von P(a - 1), dann gilt der Satz P(c) gilt für alle ganzen Zahlen.
Der Beweis ähnelt dem Beweis des entsprechenden Satzes für natürliche Zahlen.
Wir bieten es als interessante Übung an.
Beachten Sie, dass die dritte Form der mathematischen Induktion in der Praxis weniger verbreitet ist als die anderen. Dies wird durch die Tatsache erklärt, dass es für seine Anwendung notwendig ist, die unendliche Teilmenge M der Menge der natürlichen Zahlen zu kennen, die im Satz diskutiert wird. Ein solches Set zu finden kann eine schwierige Aufgabe sein.
Der Vorteil der dritten Form gegenüber den anderen besteht jedoch darin, dass mit ihrer Hilfe der Satz P(c) für alle ganzen Zahlen bewiesen werden kann.
Nachfolgend geben wir ein interessantes Beispiel für die Anwendung der dritten Form.“ Aber lassen Sie uns zunächst ein sehr wichtiges Konzept erläutern.
Definition. Der Absolutwert einer ganzen Zahl a ist eine durch die Regel bestimmte Zahl
0, wenn a O a, wenn a > O
Und wenn a< 0.
Wenn also eine 0, dann ? N.
Wir laden den Leser ein, als Übung die folgenden Eigenschaften von absolutem Wert zu beweisen:
Satz (über Division mit Rest). Für alle ganzen Zahlen a und b, wobei b 0 ist, existiert und darüber hinaus nur ein Zahlenpaar q U m mit a r: bq + T L D.
Nachweisen.
1. Existenz eines Paares (q, m).
Lassen Sie a, b? Z und 0. Zeigen wir, dass es ein Zahlenpaar q gibt, das die Bedingungen erfüllt
Wir führen den Beweis durch Induktion in der dritten Form über die Zahl a für eine feste Zahl b durch.
M = (mlm= n lbl,n? N).
Es ist offensichtlich, dass M C eine Abbildung f: N M ist, definiert durch die Regel f(n) = nlbl für jedes n? N ist eine Bijektion. Das bedeutet, dass M N, d.h. M-unendlich.
Beweisen wir, dass für eine beliebige Zahl a? Die M- (und b-feste) Aussage des Satzes über die Existenz eines Zahlenpaares q und m ist wahr.
In der Tat sei ein (- M. Dann ein pf! für einige n? N.
Wenn b > 0, dann a = n + O. Wenn wir nun q = n und m O setzen, erhalten wir das erforderliche Zahlenpaar q und m. Wenn b< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Machen wir nun eine induktive Annahme. Nehmen wir an, dass für eine beliebige ganze Zahl c (und ein beliebiges festes b 0) die Aussage des Satzes wahr ist, d.h. Es gibt ein Zahlenpaar (q, m), so dass
Beweisen wir, dass dies auch für die Zahl (mit 1) gilt. Aus der Gleichheit c = bq -4- folgt bq + (m - 1). (1)
Es kann Fälle geben.
1) m > 0. Dann ist 7" - 1 > 0. Wenn wir in diesem Fall - m - 1 setzen, erhalten wir c - 1 - bq + Tl, wobei das Paar (q, 7"1,) offensichtlich die Bedingung erfüllt
0. Dann c - 1 bq1 + 711 , wobei q1
Wir können leicht beweisen, dass 0< < Д.
Somit gilt die Aussage auch für ein Zahlenpaar
Der erste Teil des Satzes ist bewiesen.
P. Einzigartigkeit des Paares q usw.
Angenommen, für die Zahlen a und b 0 gibt es zwei Zahlenpaare (q, m) und (q1, die dann die Bedingungen (*) erfüllen
Beweisen wir, dass sie übereinstimmen. Also lass
und ein bq1 L O< Д.
Dies impliziert, dass b(q1 -q) m- 7 1 1. Aus dieser Gleichheit folgt Folgendes
Wenn wir nun annehmen, dass q ql, dann q - q1 0, woraus lq - q1l 1. Wenn wir diese Ungleichungen Term für Term mit der Zahl lbl multiplizieren, erhalten wir φ! - q11 D. (3)
Gleichzeitig aus Ungleichungen 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
Übungen:
1. Vervollständigen Sie die Beweise der Sätze 2 und 3 aus 5 1.
2. Beweisen Sie Korollar 2 aus Satz 3, 1.
3. Beweisen Sie, dass die Teilmenge H C Z aus allen Zahlen der Form besteht< п + 1, 1 >(n? N), geschlossen unter Addition und Multiplikation.
4. Es sei H dieselbe Menge wie in Aufgabe 3. Beweisen Sie, dass die Abbildung ј : M die Bedingungen erfüllt:
1) ј - Bijektion;
2) ј(n + m) = ј(n) + j(m) und j(nm) = ј(n) j(m) für beliebige Zahlen n, m (d. h. ј führt einen Isomorphismus der Algebren (N) durch , 4, und (H, + ,).
5. Vervollständigen Sie den Beweis von Satz 1 von 2.
6. Beweisen Sie, dass für alle ganzen Zahlen a, b, c die folgenden Implikationen gelten:
7. Beweisen Sie den zweiten und dritten Satz von Z.
8. Beweisen Sie, dass der Ring Z ganzer Zahlen keine Nullteiler enthält.
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