Ein Median ist ein Segment, das vom Scheitelpunkt eines Dreiecks bis zur Mitte der gegenüberliegenden Seite verläuft, d. h. es teilt es am Schnittpunkt in zwei Hälften. Der Punkt, an dem der Median die Seite schneidet, die dem Scheitelpunkt gegenüberliegt, aus dem er austritt, wird Basis genannt. Jeder Median des Dreiecks verläuft durch einen Punkt, den sogenannten Schnittpunkt. Die Formel für seine Länge kann auf verschiedene Arten ausgedrückt werden.

Formeln zum Ausdrücken der Länge des Medians

• Bei Geometrieproblemen müssen sich Studierende oft mit einem Segment wie dem Median eines Dreiecks befassen. Die Formel für seine Länge wird in Seiten ausgedrückt:

wobei a, b und c die Seiten sind. Darüber hinaus ist c die Seite, auf der der Median fällt. So sieht die einfachste Formel aus. Für Hilfsberechnungen werden manchmal Mediane eines Dreiecks benötigt. Es gibt andere Formeln.

• Wenn bei der Berechnung zwei Seiten eines Dreiecks und ein bestimmter Winkel α zwischen ihnen bekannt sind, wird die Länge des Medians des Dreiecks, abgesenkt auf die dritte Seite, wie folgt ausgedrückt.

Grundeigenschaften

• Alle Mediane haben einen gemeinsamen Schnittpunkt O und werden, vom Scheitelpunkt aus gezählt, durch diesen im Verhältnis zwei zu eins geteilt. Dieser Punkt wird als Schwerpunkt des Dreiecks bezeichnet.
• Der Median teilt das Dreieck in zwei andere, deren Flächen gleich sind. Solche Dreiecke nennt man flächentreue Dreiecke.
• Wenn Sie alle Mediane zeichnen, wird das Dreieck in 6 gleiche Figuren geteilt, die ebenfalls Dreiecke sind.
• Wenn alle drei Seiten eines Dreiecks gleich sind, dann ist jeder der Mediane auch eine Höhe und eine Winkelhalbierende, d. h. senkrecht zu der Seite, zu der es gezogen wird, und halbiert den Winkel, aus dem es hervorgeht.
• In einem gleichschenkligen Dreieck ist der Median, der von dem Scheitelpunkt aus gezogen wird, der der Seite gegenüberliegt, die keiner anderen Seite entspricht, auch die Höhe und die Winkelhalbierende. Die von anderen Eckpunkten fallenden Mediane sind gleich. Dies ist auch eine notwendige und hinreichende Bedingung für gleichschenklige.
• Wenn ein Dreieck die Basis einer regelmäßigen Pyramide ist, wird die zu dieser Basis abfallende Höhe auf den Schnittpunkt aller Mediane projiziert.

• In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht der zur längsten Seite gezogene Median der Hälfte seiner Länge.
• Sei O der Schnittpunkt der Mediane des Dreiecks. Die folgende Formel gilt für jeden Punkt M.

• Der Median eines Dreiecks hat eine weitere Eigenschaft. Die Formel für das Quadrat seiner Länge durch die Quadrate der Seiten ist unten dargestellt.

Eigenschaften der Seiten, zu denen der Median gezeichnet wird

• Wenn Sie zwei beliebige Schnittpunkte der Mediane mit den Seiten verbinden, auf denen sie abgelegt werden, ist das resultierende Segment die Mittellinie des Dreiecks und eine Hälfte der Seite des Dreiecks, mit der es keine gemeinsamen Punkte hat.
• Die Basen der Höhen und Mittelwerte eines Dreiecks sowie die Mittelpunkte der Segmente, die die Eckpunkte des Dreiecks mit dem Schnittpunkt der Höhen verbinden, liegen auf demselben Kreis.

Zusammenfassend lässt sich logischerweise sagen, dass einer der wichtigsten Abschnitte der Median des Dreiecks ist. Seine Formel kann verwendet werden, um die Längen seiner anderen Seiten zu ermitteln.

Eigenschaften

• Die Mittellinien eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem sogenannten Schwerpunkt, und werden durch diesen Punkt im Verhältnis 2:1 in zwei Teile geteilt, vom Scheitelpunkt aus gezählt.
• Ein Dreieck wird durch drei Mediane in sechs gleiche Dreiecke geteilt.
• Die größere Seite des Dreiecks entspricht dem kleineren Median.
• Aus den Vektoren, die die Mediane bilden, kann ein Dreieck gebildet werden.
• Bei affinen Transformationen wird der Median zum Median.
• Der Median eines Dreiecks teilt es in zwei gleiche Teile.

Formeln

• Die Formel für den Median in Bezug auf die Seiten (abgeleitet durch den Satz von Stewart oder durch Erweiterung auf ein Parallelogramm und Verwendung der Gleichheit im Parallelogramm der Summe der Quadrate der Seiten und der Summe der Quadrate der Diagonalen):

, wobei m c der Median zur Seite c ist; a, b, c sind die Seiten des Dreiecks, daher ist die Summe der Quadrate der Mediane eines beliebigen Dreiecks immer 4/3 kleiner als die Summe der Quadrate seiner Seiten.

• Nebenformel durch Mediane:

, wobei die Mediane der entsprechenden Seiten des Dreiecks die Seiten des Dreiecks sind.

Wenn zwei Mediane senkrecht zueinander stehen, dann ist die Summe der Quadrate der Seiten, auf denen sie weggelassen werden, fünfmal so groß wie das Quadrat der dritten Seite.

Mnemonische Regel

mittlerer Affe,
Wer hat ein scharfes Auge,
wird direkt in die Mitte springen
Seiten gegen oben,
wo ist es jetzt?

Anmerkungen

siehe auch

Links

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Enthält dieses Segment. Der Schnittpunkt des Medians mit der Seite des Dreiecks wird aufgerufen Basis des Medians.

• Sie können das Konzept auch vorstellen äußerer Median Dreieck.

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✪ MEDIANS von Winkelhalbierenden und HÖHEN eines Dreiecks – Klasse 7

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✪ Winkelhalbierende, Median, Höhe eines Dreiecks. Geometrie 7. Klasse

Untertitel

Eigenschaften

Haupteigentum

Alle drei Mediane eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der als Schwerpunkt oder Schwerpunkt des Dreiecks bezeichnet wird, und werden durch diesen Punkt vom Scheitelpunkt aus im Verhältnis 2:1 in zwei Teile geteilt.

Eigenschaften der Mediane eines gleichschenkligen Dreiecks

• In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Mediane, die auf gleiche Seiten des Dreiecks gezogen werden, gleich, und der dritte Median ist sowohl eine Winkelhalbierende als auch eine Höhe.
• Das Umgekehrte gilt auch: Wenn zwei Mediane in einem Dreieck gleich sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig und der dritte Median ist sowohl eine Winkelhalbierende als auch die Höhe des Winkels an seinem Scheitelpunkt.
• In einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Mediane gleich.

Eigenschaften von Medianbasen

• Satz von Euler für einen Kreis aus neun Punkten: die Basen der drei Höhen eines beliebigen Dreiecks, die Mittelpunkte seiner drei Seiten ( Basen seiner Mediane) und die Mittelpunkte von drei Segmenten, die seine Eckpunkte mit dem Orthozentrum verbinden, liegen alle auf demselben Kreis (dem sogenannten Neun-Punkte-Kreis).
• Ein durchgezogenes Segment Gründe Alle zwei Mediane eines Dreiecks sind seine Mittellinie. Die Mittellinie eines Dreiecks verläuft immer parallel zu der Seite des Dreiecks, mit der es keine gemeinsamen Punkte hat.
  • Folgerung (Satz von Thales über parallel Segmente). Die Mittellinie eines Dreiecks ist gleich der halben Länge der Seite des Dreiecks, zu der sie parallel ist.

Andere Eigenschaften

• Wenn ein Dreieck vielseitig (Skalen), dann liegt seine Winkelhalbierende, die von einem beliebigen Scheitelpunkt gezogen wird, zwischen dem Median und der Höhe, die von demselben Scheitelpunkt gezogen werden.
• Der Median teilt das Dreieck in zwei flächengleiche Dreiecke.
• Ein Dreieck wird durch drei Mediane in sechs gleiche Dreiecke geteilt.
• Aus den Segmenten, die die Mediane bilden, können Sie ein Dreieck erstellen, dessen Fläche 3/4 des gesamten Dreiecks beträgt. Die mittleren Längen erfüllen die Dreiecksungleichung.
• In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Median, der vom Scheitelpunkt mit dem rechten Winkel gezogen wird, gleich der Hälfte der Hypotenuse.
• Die größere Seite des Dreiecks entspricht dem kleineren Median.
• Gerades Segment, symmetrisch oder isogonal konjugiert Der interne Median relativ zur internen Winkelhalbierenden wird Symmedian des Dreiecks genannt. Drei Simedianer durch einen Punkt gehen - Lemoines Standpunkt.
• Median eines Dreieckswinkels isotomisch konjugiert an mich.

Grundlegende Beziehungen

Insbesondere beträgt die Summe der Quadrate der Mediane eines beliebigen Dreiecks 3/4 der Summe der Quadrate seiner Seiten: m a 2 + m b 2 + m c 2 = 3 4 (a 2 + b 2 + c 2) (\displaystyle m_(a)^(2)+m_(b)^(2)+m_(c)^(2) =(\frac (3)(4))(a^(2)+b^(2)+c^(2))).

• Umgekehrt können Sie die Länge einer beliebigen Seite eines Dreiecks als Mediane ausdrücken:

a = 2 3 2 (m b 2 + m c 2) − m a 2 (\displaystyle a=(\frac (2)(3))(\sqrt (2(m_(b)^(2)+m_(c)^ (2))-m_(a)^(2)))), Wo m a , m b , m c (\displaystyle m_(a),m_(b),m_(c)) Mediane zu den entsprechenden Seiten des Dreiecks, a , b , c (\displaystyle a,b,c)- Seiten des Dreiecks.