In diesem Artikel werden wir eine der grundlegenden geometrischen Formen – einen Winkel – umfassend analysieren. Beginnen wir mit Hilfskonzepten und Definitionen, die uns zur Definition eines Winkels führen. Anschließend stellen wir die gängigen Methoden zur Winkelbezeichnung vor. Als nächstes werden wir uns den Prozess der Winkelmessung im Detail ansehen. Abschließend zeigen wir, wie Sie die Ecken in der Zeichnung markieren können. Wir haben die gesamte Theorie mit den notwendigen Zeichnungen und grafischen Illustrationen versehen, damit Sie sich den Stoff besser merken können.

Seitennavigation.

Definition von Winkel.

Der Winkel ist eine der wichtigsten Größen in der Geometrie. Die Definition eines Winkels erfolgt durch die Definition eines Strahls. Ohne die Kenntnis geometrischer Figuren wie eines Punktes, einer Geraden und einer Ebene kann man sich wiederum keine Vorstellung von einem Strahl machen. Bevor Sie sich mit der Definition eines Winkels vertraut machen, empfehlen wir daher, die Theorie aus den Abschnitten und aufzufrischen.

Wir beginnen also mit den Konzepten eines Punktes, einer Linie auf einer Ebene und einer Ebene.

Geben wir zunächst die Definition eines Strahls an.

Lassen Sie uns eine gerade Linie im Flugzeug geben. Bezeichnen wir es mit dem Buchstaben a. Sei O ein Punkt der Geraden a. Punkt O teilt Linie a in zwei Teile. Jeder dieser Teile wird zusammen mit Punkt O aufgerufen Strahl, und Punkt O heißt der Anfang des Strahls. Sie können auch hören, wie der Balken heißt halbdirekt.

Der Kürze und Bequemlichkeit halber wurde die folgende Notation für Strahlen eingeführt: Ein Strahl wird entweder durch einen kleinen lateinischen Buchstaben (z. B. Strahl p oder Strahl k) oder durch zwei große lateinische Buchstaben bezeichnet, von denen der erste dem Anfang von entspricht der Strahl, und der zweite bezeichnet einen Punkt dieses Strahls (z. B. Strahl OA oder Strahl CD). Lassen Sie uns das Bild und die Bezeichnung der Strahlen in der Zeichnung zeigen.

Jetzt können wir die erste Definition eines Winkels geben.

Definition.

Ecke- Dies ist eine flache geometrische Figur (d. h. vollständig in einer bestimmten Ebene liegend), die aus zwei divergenten Strahlen mit einem gemeinsamen Ursprung besteht. Jeder der Strahlen wird aufgerufen Seite der Ecke, wird der gemeinsame Ursprung der Seiten eines Winkels genannt Scheitelpunkt des Winkels.

Es ist möglich, dass die Seiten eines Winkels eine gerade Linie bilden. Dieser Winkel hat einen eigenen Namen.

Definition.

Liegen beide Seiten eines Winkels auf derselben Geraden, so heißt ein solcher Winkel erweitert.

Wir präsentieren Ihnen eine grafische Darstellung eines gedrehten Winkels.

Um einen Winkel anzugeben, verwenden Sie das Winkelsymbol „“. Wenn die Seiten eines Winkels in kleinen lateinischen Buchstaben angegeben sind (z. B. eine Seite des Winkels ist k und die andere ist h), werden zur Bezeichnung dieses Winkels nach dem Winkelsymbol die Buchstaben geschrieben, die den Seiten entsprechen eine Zeile, und die Reihenfolge des Schreibens spielt keine Rolle (das heißt, oder). Wenn die Seiten eines Winkels durch zwei große lateinische Buchstaben gekennzeichnet sind (z. B. eine Seite des Winkels ist OA und die zweite Seite des Winkels ist OB), dann wird der Winkel wie folgt bezeichnet: nach dem Winkelsymbol drei Es werden Buchstaben aufgeschrieben, die an der Bezeichnung der Seiten des Winkels beteiligt sind, und der Buchstabe, der dem Scheitelpunkt des Winkels entspricht, befindet sich in der Mitte (in unserem Fall wird der Winkel als oder bezeichnet). Wenn der Scheitelpunkt eines Winkels nicht der Scheitelpunkt eines anderen Winkels ist, kann ein solcher Winkel durch einen Buchstaben bezeichnet werden, der dem Scheitelpunkt des Winkels entspricht (z. B. ). Manchmal sieht man, dass die Winkel in den Zeichnungen mit Zahlen (1, 2 usw.) gekennzeichnet sind, diese Winkel werden mit usw. bezeichnet. Der Übersichtlichkeit halber präsentieren wir eine Zeichnung, in der die Winkel dargestellt und angegeben sind.

Jeder Winkel teilt die Ebene in zwei Teile. Wenn außerdem der Winkel nicht gedreht wird, wird ein Teil der Ebene aufgerufen Inneneckbereich, und der andere - äußeren Eckbereich. Das folgende Bild erklärt, welcher Teil der Ebene dem Innenbereich der Ecke entspricht und welcher dem Außenbereich.

Jeder der beiden Teile, in die der entfaltete Winkel die Ebene teilt, kann als Innenbereich des entfalteten Winkels betrachtet werden.

Die Definition des inneren Bereichs eines Winkels bringt uns zur zweiten Definition eines Winkels.

Definition.

Ecke ist eine geometrische Figur, die aus zwei divergierenden Strahlen mit einem gemeinsamen Ursprung und der entsprechenden inneren Winkelfläche besteht.

Es ist zu beachten, dass die zweite Definition des Winkels strenger ist als die erste, da sie mehr Bedingungen enthält. Allerdings sollte die erste Definition des Winkels nicht außer Acht gelassen werden, noch sollten die erste und die zweite Definition des Winkels getrennt betrachtet werden. Lassen Sie uns diesen Punkt klären. Wenn wir von einem Winkel als einer geometrischen Figur sprechen, dann versteht man unter einem Winkel eine Figur, die aus zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Ursprung besteht. Müssen mit diesem Winkel Aktionen durchgeführt werden (z. B. einen Winkel messen), dann ist der Winkel bereits als zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Anfang und einer Innenfläche zu verstehen (ansonsten würde sich aufgrund der Vorhandensein sowohl innerer als auch äußerer Bereiche des Winkels).

Lassen Sie uns auch Definitionen benachbarter und vertikaler Winkel geben.

Definition.

Angrenzende Winkel- Dies sind zwei Winkel, bei denen eine Seite gemeinsam ist und die anderen beiden einen entfalteten Winkel bilden.

Aus der Definition folgt, dass sich benachbarte Winkel solange ergänzen, bis der Winkel umgedreht wird.

Definition.

Vertikale Winkel- Dies sind zwei Winkel, bei denen die Seiten des einen Winkels Fortsetzungen der Seiten des anderen sind.

Die Abbildung zeigt vertikale Winkel.

Offensichtlich bilden zwei sich schneidende Linien vier Paare benachbarter Winkel und zwei Paare vertikaler Winkel.

Winkelvergleich.

In diesem Absatz des Artikels werden wir die Definitionen von gleichen und ungleichen Winkeln verstehen und auch bei ungleichen Winkeln erklären, welcher Winkel als größer und welcher als kleiner gilt.

Denken Sie daran, dass zwei geometrische Figuren als gleich bezeichnet werden, wenn sie durch Überlappung kombiniert werden können.

Lassen Sie uns zwei Blickwinkel geben. Lassen Sie uns einige Überlegungen anführen, die uns helfen, eine Antwort auf die Frage zu finden: „Sind diese beiden Winkel gleich oder nicht?“

Offensichtlich können wir immer die Eckpunkte von zwei Ecken sowie eine Seite der ersten Ecke mit jeder Seite der zweiten Ecke abgleichen. Richten wir die Seite des ersten Winkels an der Seite des zweiten Winkels aus, sodass die übrigen Seiten der Winkel auf derselben Seite der geraden Linie liegen, auf der die kombinierten Seiten der Winkel liegen. Wenn dann die beiden anderen Seiten der Winkel zusammenfallen, werden die Winkel aufgerufen gleich.

Wenn die beiden anderen Seiten der Winkel nicht zusammenfallen, werden die Winkel aufgerufen ungleich, Und kleiner der Winkel, der einen Teil eines anderen bildet, wird berücksichtigt ( groß ist der Winkel, der einen anderen Winkel vollständig enthält).

Offensichtlich sind die beiden geraden Winkel gleich. Es ist auch offensichtlich, dass ein entwickelter Winkel größer ist als jeder nicht entwickelte Winkel.

Winkel messen.

Die Messung von Winkeln basiert auf dem Vergleich des gemessenen Winkels mit dem Winkel, der als Maßeinheit verwendet wird. Der Prozess der Winkelmessung sieht wie folgt aus: Von einer Seite des zu messenden Winkels ausgehend wird dessen Innenfläche nacheinander mit einzelnen Winkeln gefüllt und diese dicht nebeneinander platziert. Gleichzeitig wird die Anzahl der verlegten Winkel gespeichert, was das Maß für den gemessenen Winkel ergibt.

Tatsächlich kann jeder Winkel als Maßeinheit für Winkel übernommen werden. Es gibt jedoch viele allgemein anerkannte Einheiten zur Messung von Winkeln in Bezug auf verschiedene Bereiche der Wissenschaft und Technologie, sie haben spezielle Namen erhalten.

Eine der Einheiten zur Winkelmessung ist Grad.

Definition.

Ein Grad- Dies ist ein Winkel, der einem Hundertachtzigstel des Drehwinkels entspricht.

Ein Grad wird durch das Symbol „“ bezeichnet, daher wird ein Grad als bezeichnet.

Somit können wir in einem gedrehten Winkel 180 Winkel in ein Grad unterbringen. Es sieht aus wie ein halber runder Kuchen, der in 180 gleiche Stücke geschnitten wird. Sehr wichtig: Die „Kuchenstücke“ passen eng zusammen (d. h. die Seiten der Ecken sind ausgerichtet), wobei die Seite der ersten Ecke mit einer Seite des entfalteten Winkels und die Seite des letzten Einheitswinkels ausgerichtet ist fällt mit der anderen Seite des entfalteten Winkels zusammen.

Finden Sie beim Messen von Winkeln heraus, wie oft ein Grad (oder eine andere Maßeinheit für Winkel) in den zu messenden Winkel eingefügt wird, bis der innere Bereich des zu messenden Winkels vollständig abgedeckt ist. Wie wir bereits gesehen haben, beträgt der Grad bei einer Winkeldrehung genau das 180-fache. Nachfolgend finden Sie Beispiele für Winkel, in die ein Winkel von einem Grad genau 30-mal (ein solcher Winkel ist ein Sechstel des entfalteten Winkels) und genau 90-mal (die Hälfte des entfalteten Winkels) passt.

Um Winkel von weniger als einem Grad (oder einer anderen Maßeinheit für Winkel) zu messen und in Fällen, in denen der Winkel nicht mit einer ganzen Zahl von Graden (angenommenen Maßeinheiten) gemessen werden kann, ist es notwendig, Teile eines Grades (Teile von) zu verwenden genommene Maßeinheiten). Bestimmte Teile eines Abschlusses erhalten besondere Namen. Am gebräuchlichsten sind die sogenannten Minuten und Sekunden.

Definition.

Minute ist ein Sechzigstel Grad.

Definition.

Zweite ist eine Sechzigstel Minute.

Mit anderen Worten: Eine Minute hat sechzig Sekunden und ein Grad (3600 Sekunden) sechzig Minuten. Das Symbol „“ wird zur Bezeichnung von Minuten und das Symbol „“ zur Bezeichnung von Sekunden verwendet (nicht mit den Vorzeichen der Ableitung und der zweiten Ableitung verwechseln). Dann haben wir mit den eingeführten Definitionen und Notationen, und der Winkel, in den 17 Grad, 3 Minuten und 59 Sekunden passen, kann als bezeichnet werden.

Definition.

Gradmaß des Winkels ist eine positive Zahl, die angibt, wie oft ein Grad und seine Teile in einen bestimmten Winkel passen.

Beispielsweise ist das Gradmaß eines entwickelten Winkels einhundertachtzig und das Gradmaß eines Winkels ist gleich .

Zur Messung von Winkeln gibt es spezielle Messgeräte, das bekannteste davon ist der Winkelmesser.

Wenn sowohl die Bezeichnung des Winkels (z. B. ) als auch sein Gradmaß (z. B. 110) bekannt sind, verwenden Sie eine Kurzschreibweise der Form und sie sagen: „Der Winkel AOB beträgt einhundertzehn Grad.“

Aus den Definitionen eines Winkels und des Gradmaßes eines Winkels folgt, dass in der Geometrie das Maß eines Winkels in Grad durch eine reelle Zahl aus dem Intervall (0, 180] ausgedrückt wird (in der Trigonometrie Winkel mit beliebigem Grad). Maß betrachtet werden, werden sie genannt.) Ein Winkel von neunzig Grad hat einen besonderen Namen, er heißt rechter Winkel. Als Winkel wird ein Winkel von weniger als 90 Grad bezeichnet spitzer Winkel. Ein Winkel größer als neunzig Grad wird aufgerufen stumpfer Winkel. Das Maß eines spitzen Winkels in Grad wird also durch eine Zahl aus dem Intervall (0, 90) ausgedrückt, das Maß eines stumpfen Winkels wird durch eine Zahl aus dem Intervall (90, 180) ausgedrückt, ein rechter Winkel ist gleich neunzig Grad. Hier sind Abbildungen eines spitzen Winkels, eines stumpfen Winkels und eines rechten Winkels.

Aus dem Prinzip der Winkelmessung folgt, dass die Gradmaße gleicher Winkel gleich sind, das Gradmaß eines größeren Winkels größer ist als das Gradmaß eines kleineren und das Gradmaß eines Winkels, der aus mehreren besteht Winkel ist gleich der Summe der Gradmaße der Komponentenwinkel. Die folgende Abbildung zeigt den Winkel AOB, der sich in diesem Fall aus den Winkeln AOC, COD und DOB zusammensetzt.

Auf diese Weise, die Summe benachbarter Winkel beträgt einhundertachtzig Grad, da sie einen geraden Winkel bilden.

Aus dieser Aussage ergibt sich das. Wenn nämlich die Winkel AOB und COD vertikal sind, dann sind die Winkel AOB und BOC benachbart und die Winkel COD und BOC sind ebenfalls benachbart, daher sind die Gleichheiten und gültig, was die Gleichheit impliziert.

Zusammen mit dem Grad wird eine praktische Maßeinheit für Winkel genannt Bogenmaß. Das Bogenmaß wird häufig in der Trigonometrie verwendet. Definieren wir ein Bogenmaß.

Definition.

Winkel ein Bogenmaß- Das Zentralwinkel, was einer Bogenlänge entspricht, die der Länge des Radius des entsprechenden Kreises entspricht.

Lassen Sie uns einen Winkel von einem Bogenmaß grafisch veranschaulichen. In der Zeichnung ist die Länge des Radius OA (sowie des Radius OB) gleich der Länge des Bogens AB, daher ist der Winkel AOB per Definition gleich einem Bogenmaß.

Die Abkürzung „rad“ bezeichnet das Bogenmaß. Beispielsweise bedeutet der Eintrag 5 rad 5 Bogenmaß. Allerdings wird in der Schrift oft auf die Bezeichnung „rad“ verzichtet. Wenn beispielsweise geschrieben steht, dass der Winkel gleich Pi ist, bedeutet dies Pi rad.

Es ist gesondert zu beachten, dass die Größe des Winkels, ausgedrückt im Bogenmaß, nicht von der Länge des Kreisradius abhängt. Dies liegt daran, dass die durch einen bestimmten Winkel begrenzten Figuren und einen Kreisbogen mit einem Mittelpunkt im Scheitelpunkt eines bestimmten Winkels einander ähnlich sind.

Das Messen von Winkeln im Bogenmaß kann auf die gleiche Weise erfolgen wie das Messen von Winkeln in Grad: Finden Sie heraus, wie oft ein Winkel von einem Bogenmaß (und seine Teile) in einen bestimmten Winkel passt. Oder Sie können die Bogenlänge des entsprechenden Mittelpunktswinkels berechnen und diese dann durch die Länge des Radius dividieren.

Für praktische Zwecke ist es hilfreich zu wissen, in welcher Beziehung Grad- und Bogenmaßmaße zueinander stehen, da viele davon durchgeführt werden müssen. Dieser Artikel stellt einen Zusammenhang zwischen Grad- und Bogenmaßen des Winkels her und liefert Beispiele für die Umrechnung von Grad in Bogenmaß und umgekehrt.

Bezeichnung der Winkel in der Zeichnung.

In den Zeichnungen können Ecken der Einfachheit und Übersichtlichkeit halber mit Bögen markiert werden, die normalerweise im inneren Bereich der Ecke von einer Seite der Ecke zur anderen gezeichnet werden. Gleiche Winkel werden mit der gleichen Anzahl an Bögen markiert, ungleiche Winkel mit einer unterschiedlichen Anzahl an Bögen. Rechte Winkel sind in der Zeichnung durch ein Symbol wie „“ gekennzeichnet, das im inneren Bereich des rechten Winkels von einer Seite des Winkels zur anderen dargestellt ist.

Wenn Sie in einer Zeichnung viele verschiedene Winkel markieren müssen (normalerweise mehr als drei), ist es beim Markieren von Winkeln zusätzlich zu normalen Bögen zulässig, Bögen eines speziellen Typs zu verwenden. Sie können beispielsweise gezackte Bögen oder ähnliches darstellen.

Es ist zu beachten, dass Sie sich bei der Bezeichnung der Winkel in den Zeichnungen nicht zu sehr darauf einlassen und die Zeichnungen nicht überladen. Wir empfehlen, nur die Winkel zu markieren, die für den Lösungs- oder Beweisprozess notwendig sind.

Referenzliste.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrie. Klassen 7 – 9: Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Lehrbuch für die Klassen 10-11 der Sekundarschule.
• Pogorelov A.V., Geometrie. Lehrbuch für die Klassen 7-11 in allgemeinbildenden Einrichtungen.

Sehr oft höre ich die Frage „Wie bekomme ich ein Häkchensymbol in Word?“ Die Antworten sind klüger als die anderen! Am einfachsten ist es, die Alt-Taste zu drücken und, ohne sie loszulassen, auf dem seitlichen Ziffernblock die Nummer 10003 einzugeben. Sie können auch die Nummer 2713 wählen und dann Alt X drücken. Es ist nur so, dass diese beiden Zahlen einander gleich sind: 10003 ( dezimal) = 2713 ( hexadezimal).

Wenn Sie viel mit Word und Excel arbeiten, beginnen Sie zu verstehen, dass es unbequem, unergonomisch und nicht... ist, die Tastatur wegzuwerfen, zur Maus zu greifen und dann wieder zur Tastatur zu wechseln. Dies ist wahrscheinlich der Grund, warum verschiedene Kombinationen von Tasten, Hotkeys usw. erfunden wurden. Besonders gut gefällt mir in dieser Hinsicht die Funktionstaste F4, mit deren Betätigung jede gerade ausgeführte Aktion wiederholt wird. Beispielsweise müssen Sie 8 Wörter an verschiedenen Stellen im Text fett hervorheben. Sie können das erste Wort „fett“ machen, indem Sie auf den Buchstaben „klicken“Und" im Menü oder durch gleichzeitiges Drücken zweier Tasten Strg und b (russischer Buchstabe i). Für die restlichen Wörter klicken Sie einfach mit der rechten Maustaste auf eine beliebige Stelle im gewünschten Wort und drücken Sie mit der linken Hand die Taste F4. „Und so noch einmal .“

Viele Menschen schaudern beim Wort „Makro“, aber an ihnen ist nichts Beängstigendes oder Gefährliches. Generell sind Makros eine sehr nützliche Sache! Das Erstellen eines Makros in Word ist so einfach wie das Schälen von Birnen. Nehmen wir an, Sie müssen bei der Eingabe häufig den Namen einer Organisation eingeben: LLC „Hörner und Hufe“. Oder drucken Sie am Ende des Dokuments aus: Darsteller - Vasya Pupkin. Schauen wir uns an, wie Sie den ersten Text eingeben, indem Sie nur zwei Tasten drücken, und den zweiten – durch einen Klick auf eine Schaltfläche mit einem beliebigen Bild, das im Schnellzugriffsfeld erstellt wurde.

Versuchen wir es also: Öffnen Sie Word und wählen Sie „Service-Makros“ oder „Ansicht-Makros“ (je nachdem, ob es 2003 oder 2007 ist) und klicken Sie auf „Makro aufzeichnen ...“. Im erscheinenden Fenster können Sie dem Makro einen Namen geben und es beschreiben, Sie können aber auch den Standardnamen „Makro1“ belassen und nichts beschreiben – ganz wie Sie möchten. Sie müssen jedoch auf das Symbol mit dem Bild einer Tastatur oder eines Hammers klicken. Im ersten Fall werden Sie aufgefordert, eine beliebige Tastenkombination einzugeben, im zweiten Fall eine Schaltfläche auf dem Bedienfeld. Wählen Sie für den ersten Text die Kombination Strg+P (zur besseren Merkbarkeit nehmen Sie den Anfangsbuchstaben von Horns) und klicken Sie dann auf „Zuweisen“ und „Schließen“. Das Fenster verschwindet und neben dem Cursor erscheint ein Kassettensymbol. Dies bedeutet, dass „alle Bewegungen aufgezeichnet werden“. In Word 2003 wird immer noch ein kleines schwebendes Bedienfeld angezeigt. Zum ersten und letzten Mal (dann übernimmt der Computer das für Sie) geben wir den erforderlichen Text mit dem Namen des Unternehmens ein und beenden die Aufzeichnung. Im alten Word – einfach durch Klicken auf das Quadrat im schwebenden Bedienfeld und im neuen – indem Sie zum Menü „Ansicht-Makros-Aufnahme stoppen“ gehen. Ab und zu (bis Sie Office neu installieren oder das Makro löschen) erhalten Sie durch Drücken der von Ihnen gewählten Tastenkombination das, was Sie beim Aufzeichnen des Makros eingegeben haben.

Wenn Sie in der Anfangsphase auf den Hammer klicken, erscheint im Jahr 2003 ein Einstellungsfenster mit einem Standard-Makrosymbol, das Sie mit der Maus anfassen und an eine beliebige Stelle in der oberen Menüleiste ziehen müssen, und dann auf „ Klicken Sie auf die Schaltfläche „Ausgewähltes Objekt bearbeiten“ und wählen Sie in der Zeile „Symbol für die Schaltfläche auswählen“ ein Emoticon oder ein beliebiges Design aus. Wenn Sie auf die Zeile „Symbol auf der Schaltfläche ändern...“ klicken, öffnet sich ein einfacher Grafikeditor, in dem Sie ein Symbol nach Ihrem Geschmack zeichnen können.

Im Jahr 2007 ein ähnlicher Weg: Wenn Sie einen Hammer auswählen, wird die Symbolleiste für den Schnellzugriff konfigurieren angezeigt. Markieren Sie bei Bedarf das Makro im linken Fenster und klicken Sie auf die Schaltfläche „Hinzufügen“. Danach wird im rechten Fenster ein Standard-Makrosymbol mit Ihrem Namen hinzugefügt, wo Sie es erneut auswählen und auf die Schaltfläche „Bearbeiten“ klicken können. Die Auswahl an Zeichnungen wird größer sein als im alten Word, aber die Möglichkeit, ein eigenes Symbol zu zeichnen, wurde entfernt und kann nur noch im Schnellzugriffsfeld platziert werden.

Weitere Aktionen sind die gleichen wie im Jahr 2003: Eingabe des erforderlichen Textes und Stoppen der Aufnahme. Sie können so viele ähnliche Makros erstellen, wie Sie möchten, sodass Sie mit einem Klick auf Ihr Symbol (das wohlgemerkt keiner Ihrer Kollegen hat!) den gewünschten Text oder eine beliebige Abfolge von Operationen erhalten.

Wie und was müssen Sie auf der Tastatur eingeben, um ein Herzbild in einem Textdokument zu erhalten? Am einfachsten ist es, die Alt-Taste zu drücken und, ohne sie loszulassen, die Zahl 3 auf der rechten Seite der Tastatur zu drücken. Eine andere Möglichkeit: Wählen Sie die Nummer 2665 und drücken Sie die Tastenkombination Alt+x. Sie können auch die Nummern 2765, 2764 oder 2661 wählen, um Herzen zu erhalten. Einer der Buchstaben des georgischen Alphabets, ღ, ist einem Herzen sehr ähnlich, das Sie erhalten, indem Sie den Code 10E5 (E – Latein) eingeben und Alt drücken +x.

Um ein beliebiges Zeichen zu erhalten, geben Sie es im Allgemeinen einfach ein Geben Sie den ASCII-Code ein und drücken Sie Alt+x. Um beispielsweise das Dollarzeichen „$“ zu drucken, ist es einfacher und schneller, ohne zur englischen Schriftart wechseln zu müssen, die Zahl 24 einzugeben und dann zu drücken Alt+x. Sie können schnell das Summenzeichen „∑“ (Code – 2211), das Winkelsymbol „∠“ (Code – 2220) und die ungefähre Gleichheit erhalten« ≈ » (Code - 2248), verschiedene Pfeile usw. Deshalb sagen sie manchmal anstelle des Wortes „Hund“ „vierzig alt x“, was @ bedeutet.

Hier ist eine Tabelle mit Codes für einige Zeichen:

Code	Symbol	Code	Symbol	Code	Symbol	Code	Symbol
23	#	2020	†	2194	↔	2265	≥
24	$	2030	‰	2195	↕	2640	♀
26	&	2122	™	2211	∑	2642	♂
27	"	2190	←	2220		2660	♠
40	@	2191		2248	≈	2663	♣
60	`	2192	→	2260	≠	2665
394	Δ	2193	↓	2264	≤	2666	♦

Der Winkel ist die wichtigste geometrische Figur, die wir im gesamten Thema analysieren werden. Definitionen, Einstellungsmethoden, Notation und Winkelmessung. Schauen wir uns die Prinzipien zum Hervorheben von Ecken in Zeichnungen an. Die gesamte Theorie ist illustriert und verfügt über eine große Anzahl visueller Zeichnungen.

Definition 1

Ecke– eine einfache wichtige Figur in der Geometrie. Der Winkel hängt direkt von der Definition eines Strahls ab, der wiederum aus den Grundbegriffen Punkt, Gerade und Ebene besteht. Für ein gründliches Studium müssen Sie tiefer in die Themen eintauchen Gerade in einer Ebene - notwendige Informationen Und Flugzeug - notwendige Informationen.

Der Begriff eines Winkels beginnt mit den Begriffen eines Punktes, einer Ebene und einer auf dieser Ebene dargestellten Geraden.

Definition 2

Gegeben sei eine gerade Linie a in der Ebene. Bezeichnen wir darauf einen bestimmten Punkt O. Eine Gerade wird durch einen Punkt in zwei Teile geteilt, von denen jeder einen Namen hat Strahl, und Punkt O – Anfang des Balkens.

Mit anderen Worten, der Strahl bzw halbgerade – Es ist ein Teil einer Linie, die aus Punkten einer bestimmten Linie besteht, die sich relativ zum Startpunkt, also Punkt O, auf derselben Seite befinden.

Die Balkenbezeichnung ist in zwei Varianten zulässig: einem Kleinbuchstaben oder zwei Großbuchstaben des lateinischen Alphabets. Bei der Bezeichnung mit zwei Buchstaben hat der Balken einen Namen, der aus zwei Buchstaben besteht. Schauen wir uns die Zeichnung genauer an.

Kommen wir zum Konzept der Winkelbestimmung.

Definition 3

Ecke ist eine Figur, die sich in einer bestimmten Ebene befindet und aus zwei divergierenden Strahlen besteht, die einen gemeinsamen Ursprung haben. Winkelseite ist ein Strahl Scheitel– gemeinsamer Ursprung der Seiten.

Es gibt einen Fall, in dem die Seiten eines Winkels wie eine Gerade wirken können.

Definition 4

Wenn beide Seiten eines Winkels auf derselben Geraden liegen oder seine Seiten als zusätzliche Halblinien einer Geraden dienen, nennt man einen solchen Winkel erweitert.

Das Bild unten zeigt eine gedrehte Ecke.

Ein Punkt auf einer Geraden ist der Scheitelpunkt eines Winkels. Am häufigsten wird es mit dem Punkt O bezeichnet.

Ein Winkel wird in der Mathematik mit dem Zeichen „∠“ bezeichnet. Wenn die Seiten eines Winkels durch kleine lateinische Buchstaben gekennzeichnet sind, werden zur korrekten Bestimmung des Winkels die Buchstaben in einer Reihe geschrieben, die den Seiten entspricht. Wenn zwei Seiten mit k und h bezeichnet werden, wird der Winkel mit ∠ k h oder ∠ h k bezeichnet.

Wenn die Bezeichnung in Großbuchstaben erfolgt, werden die Seiten des Winkels jeweils mit O A und O B bezeichnet. In diesem Fall hat der Winkel einen Namen, der aus drei hintereinander geschriebenen Buchstaben des lateinischen Alphabets besteht, in der Mitte mit einem Scheitelpunkt – ∠ A O B und ∠ B O A. Eine Bezeichnung in Form von Zahlen liegt vor, wenn die Winkel keine Namen oder Buchstabenbezeichnungen haben. Unten sehen Sie ein Bild, in dem Winkel auf unterschiedliche Weise angegeben werden.

Ein Winkel teilt eine Ebene in zwei Teile. Wenn der Winkel nicht gedreht wird, wird ein Teil der Ebene aufgerufen Inneneckbereich, das andere - äußeren Eckbereich. Unten sehen Sie ein Bild, das erklärt, welche Teile des Flugzeugs außen und welche innen liegen.

Bei der Division durch einen entwickelten Winkel in einer Ebene wird jeder seiner Teile als innerer Bereich des entwickelten Winkels betrachtet.

Der Innenbereich des Winkels ist ein Element, das zur zweiten Definition des Winkels dient.

Definition 5

Winkel bezeichnet eine geometrische Figur, die aus zwei divergenten Strahlen besteht, die einen gemeinsamen Ursprung und einen entsprechenden Innenwinkelbereich haben.

Diese Definition ist strenger als die vorherige, da sie mehr Bedingungen enthält. Es ist nicht ratsam, beide Definitionen getrennt zu betrachten, da ein Winkel eine geometrische Figur ist, die mithilfe zweier von einem Punkt ausgehender Strahlen transformiert wird. Wenn Aktionen mit einem Winkel ausgeführt werden müssen, bedeutet die Definition das Vorhandensein von zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Anfang und einer inneren Fläche.

Definition 6

Die beiden Winkel werden aufgerufen benachbart, wenn es eine gemeinsame Seite gibt und die anderen beiden zusätzliche Halbgeraden sind oder einen geraden Winkel bilden.

Die Abbildung zeigt, dass benachbarte Winkel einander ergänzen, da sie eine Fortsetzung voneinander darstellen.

Definition 7

Die beiden Winkel werden aufgerufen Vertikale, wenn die Seiten des einen komplementäre Halblinien des anderen sind oder Fortsetzungen der Seiten des anderen sind. Das Bild unten zeigt ein Bild vertikaler Winkel.

Wenn sich Geraden schneiden, erhält man 4 Paare benachbarter und 2 Paare vertikaler Winkel. Unten ist im Bild dargestellt.

Der Artikel zeigt die Definitionen von gleichen und ungleichen Winkeln. Schauen wir uns an, welcher Winkel als größer und welcher als kleiner gilt und welche anderen Eigenschaften der Winkel hat. Zwei Figuren gelten als gleich, wenn sie bei der Überlagerung vollständig übereinstimmen. Die gleiche Eigenschaft gilt für den Vergleich von Winkeln.

Es sind zwei Winkel angegeben. Es muss geklärt werden, ob diese Winkel gleich sind oder nicht.

Es ist bekannt, dass es eine Überlappung der Eckpunkte zweier Winkel und der Seiten des ersten Winkels mit jeder anderen Seite des zweiten gibt. Das heißt, wenn bei der Überlagerung der Winkel eine vollständige Übereinstimmung vorliegt, richten sich die Seiten der gegebenen Winkel vollständig aus, die Winkel gleich.

Es kann sein, dass beim Übereinanderlegen die Seiten nicht übereinstimmen, dann die Ecken ungleich, kleiner davon besteht aus einem anderen, und mehr enthält einen völlig anderen Blickwinkel. Unten sind ungleiche Winkel aufgeführt, die beim Überlagern nicht ausgerichtet wurden.

Gerade Winkel sind gleich.

Das Messen von Winkeln beginnt mit der Messung der Seite des zu messenden Winkels und seiner Innenfläche, dem Füllen dieser Winkel mit Einheitswinkeln und deren gegenseitiger Anwendung. Es ist notwendig, die Anzahl der verlegten Winkel zu zählen, sie geben das Maß des gemessenen Winkels vor.

Die Winkeleinheit kann durch jeden messbaren Winkel ausgedrückt werden. Es gibt allgemein anerkannte Maßeinheiten, die in Wissenschaft und Technik verwendet werden. Sie sind auf andere Titel spezialisiert.

Das am häufigsten verwendete Konzept Grad.

Definition 8

Ein Grad bezeichnet einen Winkel, der einhundertachtzigstel Teil eines geraden Winkels hat.

Die Standardbezeichnung für einen Grad ist „°“, dann ist ein Grad 1°. Daher besteht ein gerader Winkel aus 180 solchen Winkeln von einem Grad. Alle verfügbaren Ecken werden eng aneinander gelegt und die Seiten der vorherigen werden an der nächsten ausgerichtet.

Es ist bekannt, dass die Gradzahl eines Winkels das eigentliche Maß für den Winkel ist. Ein entfalteter Winkel besteht aus 180 gestapelten Winkeln. Die folgende Abbildung zeigt Beispiele, bei denen der Winkel 30-mal, also ein Sechstel des entfalteten Winkels, und 90-mal, also die Hälfte, gelegt wird.

Zur genauen Messung von Winkeln werden Minuten und Sekunden verwendet. Sie werden verwendet, wenn der Winkelwert keine ganze Gradangabe ist. Diese Bruchteile eines Grades ermöglichen genauere Berechnungen.

Definition 9

in einer Minute ein Sechzigstel Grad genannt.

Definition 10

In einer Sekunde eine Sechzigstelminute genannt.

Ein Grad umfasst 3600 Sekunden. Minuten werden mit „““ bezeichnet, Sekunden mit „““. Die Bezeichnung erfolgt:

1 ° = 60 " = 3600 "", 1 " = (1 60) °, 1 " = 60 "", 1 "" = (1 60) " = (1 3600) °,

und die Bezeichnung für einen Winkel von 17 Grad 3 Minuten und 59 Sekunden lautet 17° 3 „59““.

Definition 11

Lassen Sie uns ein Beispiel für die Bezeichnung des Gradmaßes eines Winkels von 17 ° 3 „59“ geben. Der Eintrag hat eine andere Form: 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600.

Um Winkel genau zu messen, verwenden Sie ein Messgerät wie einen Winkelmesser. Bei der Bezeichnung des Winkels ∠ A O B und seines Gradmaßes von 110 Grad wird eine bequemere Schreibweise verwendet: ∠ A O B = 110 °, die lautet: „Winkel A O B ist gleich 110 Grad.“

In der Geometrie wird ein Winkelmaß aus dem Intervall (0, 180] verwendet, in der Trigonometrie ein beliebiges Gradmaß Drehwinkel. Der Winkelwert wird immer als reelle Zahl ausgedrückt. Rechter Winkel- Dies ist ein Winkel von 90 Grad. Scharfe Ecke– ein Winkel, der weniger als 90 Grad beträgt, und unverblümt- mehr.

Ein spitzer Winkel wird im Intervall (0, 90) und ein stumpfer Winkel (90, 180) gemessen. Nachfolgend sind drei Arten von Winkeln deutlich dargestellt.

Jedes Gradmaß eines beliebigen Winkels hat den gleichen Wert. Ein größerer Winkel hat ein entsprechend größeres Gradmaß als ein kleinerer. Das Gradmaß eines Winkels ist die Summe aller verfügbaren Gradmaße der Innenwinkel. Unten sehen Sie eine Abbildung, die den Winkel AOB zeigt, bestehend aus den Winkeln AOC, COD und DOB. Im Detail sieht es so aus: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45° + 30° + 60° = 135°.

Daraus können wir schließen Summe alle benachbarte Winkel sind gleich 180 Grad, weil sie alle einen geraden Winkel bilden.

Daraus folgt, dass jeder Vertikalwinkel sind gleich. Wenn wir dies als Beispiel betrachten, stellen wir fest, dass die Winkel A O B und C O D vertikal sind (in der Zeichnung), dann werden die Winkelpaare A O B und B O C, C O D und B O C als benachbart betrachtet. In diesem Fall gilt die Gleichheit ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° zusammen mit ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° als eindeutig wahr. Daher gilt ∠ A O B = ∠ C O D . Nachfolgend finden Sie ein Beispiel für das Bild und die Bezeichnung von Vertikalverschlüssen.

Neben Grad, Minuten und Sekunden wird eine weitere Maßeinheit verwendet. Es wird genannt Bogenmaß. Am häufigsten findet man es in der Trigonometrie bei der Angabe der Winkel von Polygonen. Wie heißt ein Bogenmaß?

Definition 12

Ein Bogenmaßwinkel Der sogenannte Mittelpunktswinkel hat einen Kreisradius, der der Länge des Bogens entspricht.

In der Abbildung ist das Bogenmaß als Kreis dargestellt, in dem es einen Mittelpunkt gibt, der durch einen Punkt angezeigt wird, wobei zwei Punkte auf dem Kreis verbunden und in die Radien O A und O B umgewandelt werden. Per Definition ist dieses Dreieck A O B gleichseitig, das heißt Die Länge des Bogens A B ist gleich den Längen der Radien O B und O A.

Als Winkelbezeichnung wird „rad“ angenommen. Das heißt, das Schreiben von 5 Bogenmaß wird als 5 rad abgekürzt. Manchmal findet man eine Notation namens Pi. Das Bogenmaß hängt nicht von der Länge eines bestimmten Kreises ab, da die Zahlen durch den Winkel und seinen Bogen begrenzt sind, wobei der Mittelpunkt am Scheitelpunkt des gegebenen Winkels liegt. Sie gelten als ähnlich.

Bogenmaß hat die gleiche Bedeutung wie Grad, der einzige Unterschied liegt in der Größe. Um dies zu ermitteln, ist es notwendig, die berechnete Bogenlänge des Mittelpunktswinkels durch die Länge seines Radius zu dividieren.

In der Praxis verwenden sie Konvertieren von Grad in Bogenmaß und Bogenmaß in Grad für eine bequemere Problemlösung. Dieser Artikel enthält Informationen zum Zusammenhang zwischen dem Gradmaß und dem Bogenmaß. Dort können Sie die Umrechnungen von Grad in Bogenmaß und umgekehrt im Detail studieren.

Zeichnungen dienen der visuellen und praktischen Darstellung von Bögen und Winkeln. Es ist nicht immer möglich, diesen oder jenen Winkel, Bogen oder Namen korrekt darzustellen und zu markieren. Gleiche Winkel werden durch die gleiche Anzahl von Bögen bezeichnet, ungleiche Winkel durch eine unterschiedliche Zahl. Die Zeichnung zeigt die korrekte Bezeichnung von spitzen, gleichen und ungleichen Winkeln.

Wenn mehr als drei Ecken markiert werden müssen, werden spezielle Bogensymbole verwendet, z. B. wellenförmig oder gezackt. Es ist nicht so wichtig. Unten ist ein Bild, das ihre Bezeichnung zeigt.

Winkelsymbole sollten einfach gehalten werden, um andere Bedeutungen nicht zu beeinträchtigen. Beim Lösen eines Problems empfiehlt es sich, nur die für die Lösung notwendigen Winkel hervorzuheben, um nicht die gesamte Zeichnung zu überladen. Dies beeinträchtigt die Lösung und den Beweis nicht und verleiht der Zeichnung auch ein ästhetisches Aussehen.

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Eingabetaste

Zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen begrenzen einen Teil der Ebene, der zwischen den Strahlen liegt. Die dabei entstehende Figur nennt man Winkel. Strahlen mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt im Ursprungspunkt der Strahlen werden Winkelseiten genannt. Der Scheitelpunkt des Winkels liegt im Ursprungspunkt der Strahlen.

Ecke - Teil der Ebene, begrenzt durch zwei Strahlen, die von einem Punkt ausgehen.

Ecke ist eine geometrische Figur mit einem Scheitelpunkt, Seiten und einem eigenen Gradmaß.

Die Ebene wird durch die Seiten des Winkels in zwei Teile geteilt. Der kleinere der Winkel wird als intern bezeichnet, der größere als extern. Um unterschiedliche Interpretationen darüber zu vermeiden, um welche Ecke es sich handelt, sind ihre Seiten in der Zeichnung durch einen Bogen verbunden. (siehe Bild)

Winkelmaß des Winkels

Das Winkelmaß hat folgende Eigenschaften:

• gleiche Winkel entsprechen gleichen Winkelmaßen;
• ein kleinerer Winkel entspricht einem kleineren Winkelmaß;
• ein Winkel, dessen Seiten zusammenfallen (Nullwinkel), hat ein Winkelmaß gleich Null (dasselbe gilt für den Winkel zwischen parallelen Linien);
• Jeder Winkel ungleich Null hat ein bestimmtes Winkelmaß, das größer als Null ist.
• (Additivität) Das Winkelmaß eines Winkels ist gleich der Summe der Winkelmaße der Winkel, in die er durch einen zwischen seinen Seiten verlaufenden Strahl geteilt wird (siehe das Axiom der Winkelmessung).

1 Umdrehung = 360 Grad = 2π Bogenmaß = 400 Grad

Betrachten Sie einen Winkel, dessen Seiten zusammenfallen ( ∠ VAV 1 ). Sein Gradmaß ist 0°

Wenn eine Seite des Winkels ( AB ) befestigen und die zweite Seite ( AB 1 ) gegen den Uhrzeigersinn drehen, bis es mit der ersten Seite (AB) übereinstimmt, dann wird die Ebene eines solchen Winkels sein voller Winkel(Abb. 5). Daher der Winkel A (bezeichnet ∠ A ) ist ein vollständiger Winkel.

Winkelbezeichnung

Ein Winkel kann beispielsweise als Kombination aus dem Vorzeichen des Winkels und seinem Scheitelpunkt bezeichnet werden ∠ A ; (Abb.1)

Der Winkel kann auch mit lateinischen Großbuchstaben angegeben werden. Zum Beispiel ∠ABC- Dies ist ein Winkel mit Scheitelpunkt B, dessen Seiten die Strahlen BA und BC sind. (Abb. 2)

Es kann eine Bezeichnung wie ein Winkelsymbol geben, das die Seiten des Winkels angibt (z. B ∠ ab ). (Abb. 3)

Winkel können mit griechischen Buchstaben bezeichnet werden α, β, γ usw. (Abb. 4) Die einzige Ausnahme ist der Buchstabe „π“. Es wird nicht zur Winkelangabe verwendet.

Gradmaß des Winkels

Wenn Sie einen vollständigen Winkel nehmen und ihn in 360 Teile (Winkel) unterteilen, dann ist jeder Teil, der ihn ausmacht 1/360 Ein Teil des Vollwinkels wird Eckenradius genannt (bezeichnet mit 1°).

Daher beträgt der Gesamtwinkel 1 ° *360=360°.

Ein halber Vollwinkel ist ein gerader Winkel, der 360°:2=180° entspricht.

Zentrale und beschriftete Winkel

Zentraler Winkel wird ein Winkel genannt, dessen Scheitelpunkt mit dem Mittelpunkt des Kreises zusammenfällt (Abbildung 2). Das Gradmaß (die Größe) eines solchen Winkels ist gleich dem Gradmaß des zwischen den Seiten des Winkels eingeschlossenen Kreisbogens.

Beschrifteter Winkel ist ein Winkel, dessen Scheitelpunkt auf dem Kreis liegt und dessen Seiten ihn schneiden (Abbildung 1). Die Größe eines solchen Winkels entspricht dem halben Winkelmaß des Kreisbogens, der zwischen seinen Seiten eingeschlossen ist.

Eigenschaften der in einen Kreis eingeschriebenen Winkel:

• Eingeschriebene Winkel, die denselben Kreisbogen treffen, sind gleich.
• Die Größe eines eingeschriebenen Winkels, der von demselben Kreisbogen wie ein Zentralwinkel begrenzt wird, ist gleich der Hälfte der Größe eines solchen Zentralwinkels.