Шамшурин А.В. 1

Гагарина Н.А. 1

1 Общински бюджет образователна институция"Средно аритметично общообразователно училище№ 31"

Текстът на работата е публикуван без изображения и формули.
Пълна версияработата е достъпна в раздела „Работни файлове“ в PDF формат

Въведение

Започнах, като разгледах много теми по математика в Интернет и избрах тази тема, защото вярвам, че значението на намирането на DL играе огромна роля при решаването на уравнения и задачи. В неговия изследователска работаРазгледах уравнения, в които е достатъчно само да се намери ОДЗ, опасност, избираемост, ограничена ОДЗ, някои забрани в математиката. Най-важното за мен е да издържа добре Единния държавен изпит по математика и за това трябва да знам: кога, защо и как да намеря DL. Това ме накара да проуча темата, чиято цел беше да покажа, че овладяването на тази тема ще помогне на учениците да изпълняват правилно задачите на Единния държавен изпит. За да постигна тази цел, проучих Допълнителна информацияи други източници. Чудех се дали учениците от нашето училище знаят: кога, защо и как да намерят ОДЗ. Затова проведох тест на тема „Кога, защо и как да намеря ODZ?“ (Бяха дадени 10 уравнения). Броят на учениците е 28. Справили са се - 14%, опасността от ДД (взета предвид) - 68%, избираемост (взета под внимание) - 36%.

Мишена: идентификация: кога, защо и как да намерите ODZ.

проблем:уравнения и неравенства, в които е необходимо да се намери ODZ, не намериха място в курса по алгебра за систематично представяне, което вероятно е причината моите връстници и аз често да правим грешки при решаването на такива примери, прекарвайки много време в решаването им, като същевременно забравяме относно ОДЗ.

Задачи:

1. Покажете значението на ОДЗ при решаване на уравнения и неравенства.
2. Проведете практическа работа по тази тема и обобщете нейните резултати.

Мисля, че знанията и уменията, които придобих, ще ми помогнат да реша въпроса: необходимо ли е да търся ДЗ или не? Ще спра да правя грешки, като се науча как да правя ODZ правилно. Дали мога да направя това, времето или по-скоро Единният държавен изпит ще покаже.

Глава 1

Какво е ODZ?

ODZ е регион приемливи стойности , тоест това са всички стойности на променливата, за които изразът има смисъл.

важно.За намиране на ОДЗ не решаваме пример! Ние решаваме части от примера, за да намерим забранени места.

Някои забрани в математиката.В математиката има много малко такива забранени действия. Но не всеки ги помни...

• Изрази, състоящи се от четен знак за множественост или трябва да бъдат>0 или равни на нула, ODZ:f(x)
• Изразът в знаменателя на дробта не може да бъде равен на нула, ODZ:f(x)
• |f(x)|=g(x), ODZ: g(x) 0

Как да запиша ODZ?Много просто. Винаги пишете ODZ до примера. Под тези известни писма, разглеждайки оригиналното уравнение, ние записваме стойностите на x, които са разрешени за оригиналния пример. Трансформирането на примера може да промени OD и съответно отговора.

Алгоритъм за намиране на ODZ:

1. Определете вида на забраната.
2. Намерете стойности, при които изразът няма смисъл.
3. Елиминирайте тези стойности от набора от реални числа R.

Решете уравнението: =

Без ДЗ	С ОДЗ
Отговор: x=5	ODZ: => => Отговор: няма корени

Диапазонът от допустими стойности ни предпазва от такива сериозни грешки. Честно казано, именно заради ОДЗ много „шокови ученици” се превръщат в „В”класници. Като имат предвид, че търсенето и отчитането на ДЛ е незначителна стъпка в решението, те го пропускат и след това се чудят: „защо учителят му е дал 2?“ Да, затова го слагам, защото отговорът е грешен! Това не е „придирчивост“ на учителя, а много специфична грешка, точно като неправилно изчисление или изгубен знак.

Допълнителни уравнения:

а) = ; б) -42=14x+; в) =0; г) |x-5|=2x-2

Глава 2

ОДЗ. За какво? Кога? как?

Диапазон от допустими стойности - има решение

1. ОДЗ представлява празен комплект, което означава, че оригиналният пример няма решения

• = ODZ:

Отговор: няма корени.

• = ODZ:

Отговор: няма корени.

0, уравнението няма корени

Отговор: няма корени.

Допълнителни примери:

а) + =5; б) + =23x-18; в) =0.

1. ODZ съдържа едно или повече числа и простото заместване бързо определя корените.

ODZ: x=2, x=3

Проверете: x=2, + , 0<1, верно

Проверете: x=3, + , 0<1, верно.

Отговор: x=2, x=3.

• > ODZ: x=1,x=0

Проверка: x=0, > , 0>0, неправилно

Проверка: x=1, > , 1>0, вярно

Отговор: x=1.

• + =x ODZ: x=3

Проверка: + =3, 0=3, неправилно.

Отговор: няма корени.

Допълнителни примери:

а) = ; б) + =0; в) + =x -1

Опасност от ДД

Имайте предвид, че трансформациите на самоличността могат:

• не влияят на DL;
• водят до разширени DL;
• водят до стесняване на ОДЗ.

Известно е също, че в резултат на някои трансформации, които променят оригиналния ODZ, това може да доведе до неправилни решения.

Нека илюстрираме всеки случай с пример.

1) Разгледайте израза x + 4x + 7x, ODZ на променливата x за това е множеството R. Нека представим подобни термини. В резултат на това ще приеме формата x 2 +11x. Очевидно ODZ на променливата x на този израз също е множество R. Следователно извършената трансформация не променя ODZ.

2) Вземете уравнението x+ - =0. В този случай ODZ: x≠0. Този израз също съдържа подобни членове, след редуциране на които стигаме до израза x, за който ODZ е R. Какво виждаме: в резултат на трансформацията ODZ беше разширена (числото нула беше добавено към ODZ на променлива x за оригиналния израз).

3) Да вземем израза. ODZ на променлива x се определя от неравенството (x−5)·(x−2)≥0, ODZ: (−∞, 2]∪∪/Режим на достъп: Материали от сайтове www.fipi.ru, www.eg

Диапазон от приемливи стойности - има решение [ Електронен ресурс]/Режим на достъп: rudocs.exdat.com›docs/index-16853.html

ODZ - зона на приемливи стойности, как да намерите ODZ [Електронен ресурс]/Режим на достъп: cleverstudents.ru›expressions/odz.html

Диапазон на допустимите стойности: теория и практика [Електронен ресурс]/Режим на достъп: pandia.ru›text/78/083/13650.php

Какво е ODZ [Електронен ресурс]/ Режим на достъп: www.cleverstudents.ru›odz.html

Какво е ОДЗ и как да го търсим - обяснение и пример. Електронен ресурс]/ Режим на достъп: cos-cos.ru›math/82/

Приложение 1

Практическа работа „ODZ: кога, защо и как?“

Опция 1	Вариант 2
│x+14│= 2 - 2x
	│3x│=1 - 3x

Приложение 2

Отговори на задачи практическа работа"ODZ: кога, защо и как?"

Опция 1	Вариант 2
Отговор: няма корени	Отговор: x-всяко число освен x=5
9x+ = +27 ODZ: x≠3 Отговор: няма корени	ODZ: x=-3, x=5. Отговор: -3;5.
y= -намалява, y= -увеличава Това означава, че уравнението има най-много един корен. Отговор: x=6.	ODZ: → →х≥5 Отговор: x≥5, x≤-6.
│x+14│=2-2x ODZ:2-2x≥0, x≤1 x=-4, x=16, 16 не принадлежи на ODZ	Намалява, увеличава Уравнението има най-много един корен. Отговор: няма корени.
0, ODZ: x≥3, x≤2 Отговор: x≥3, x≤2	8x+ = -32, ODZ: x≠-4. Отговор: няма корени.
х=7, х=1. Отговор: няма решения	Увеличаване - намаляване Отговор: x=2.
0 ODZ: x≠15 Отговор: x е всяко число освен x=15.	│3-х│=1-3х, ODZ: 1-3х≥0, x≤ x=-1, x=1 не принадлежи на ОДЗ. Отговор: x=-1.

Всеки израз с променлива има свой собствен диапазон от валидни стойности, където съществува. ODZ винаги трябва да се вземат предвид при вземане на решения. Ако липсва, може да получите неправилен резултат.

Тази статия ще покаже как правилно да намерите ODZ и да използвате примери. Ще бъде обсъдено и значението на посочването на ДЗ при вземане на решение.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Валидни и невалидни стойности на променливи

Тази дефиниция е свързана с разрешените стойности на променливата. Като въвеждаме дефиницията, да видим до какъв резултат ще доведе.

Започвайки от 7 клас, започваме да работим с числа и числени изрази. Първоначалните дефиниции с променливи преминават към значението на изрази с избрани променливи.

Когато има изрази с избрани променливи, някои от тях може да не удовлетворяват. Например израз от формата 1: a, ако a = 0, тогава няма смисъл, тъй като е невъзможно да се раздели на нула. Тоест изразът трябва да има стойности, които са подходящи във всеки случай и ще дадат отговор. С други думи, те имат смисъл със съществуващите променливи.

Определение 1

Ако има израз с променливи, тогава той има смисъл само ако стойността може да бъде изчислена чрез тяхното заместване.

Определение 2

Ако има израз с променливи, тогава той няма смисъл, когато при заместването им не може да се изчисли стойността.

Тоест, това предполага пълно определение

Определение 3

Съществуващите допустими променливи са тези стойности, за които изразът има смисъл. И ако няма смисъл, тогава те се считат за неприемливи.

За да изясним горното: ако има повече от една променлива, тогава може да има двойка подходящи стойности.

Пример 1

Например, разгледайте израз от формата 1 x - y + z, където има три променливи. В противен случай можете да го запишете като x = 0, y = 1, z = 2, докато друг запис има формата (0, 1, 2). Тези стойности се наричат ​​валидни, което означава, че стойността на израза може да бъде намерена. Получаваме, че 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1. От това виждаме, че (1, 1, 2) са неприемливи. Заместването води до деление на нула, тоест 1 1 - 2 + 1 = 1 0.

Какво е ODZ?

Диапазонът от приемливи стойности е важен елемент при оценяването на алгебрични изрази. Ето защо си струва да обърнете внимание на това, когато правите изчисления.

Определение 4

Район ОДЗе набор от стойности, разрешени за даден израз.

Нека разгледаме примерен израз.

Пример 2

Ако имаме израз от формата 5 z - 3, тогава ODZ има формата (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) . Това е диапазонът от валидни стойности, който удовлетворява променливата z за даден израз.

Ако има изрази под формата z x - y, тогава е ясно, че x ≠ y, z приема произволна стойност. Това се нарича ODZ изрази. Трябва да се вземе предвид, за да не се получи деление на нула при заместване.

Диапазонът на допустимите стойности и диапазонът на дефиниция имат едно и също значение. Само вторият от тях се използва за изрази, а първият се използва за уравнения или неравенства. С помощта на DL изразът или неравенството има смисъл. Областта на дефиниране на функцията съвпада с обхвата на допустимите стойности на променливата x за израза f (x).

Как да намеря ODZ? Примери, решения

Намирането на ODZ означава намиране на всички валидни стойности, подходящи за дадена функцияили неравенство. Неспазването на тези условия може да доведе до неправилни резултати. За да се намери ODZ, често е необходимо да се премине през трансформации в даден израз.

Има изрази, чието изчисляване е невъзможно:

• ако има деление на нула;
• вземане на корен от отрицателно число;
• наличие на индикатор за отрицателно цяло число - само за положителни числа;
• пресмятане на логаритъм на отрицателно число;
• област на дефиниране на тангенс π 2 + π · k, k ∈ Z и котангенс π · k, k ∈ Z;
• намиране на стойността на арксинуса и аркосинуса на число за стойност, която не принадлежи на [-1; 1 ] .

Всичко това показва колко е важно да има ОДЗ.

Пример 3

Намерете ODZ израза x 3 + 2 x y − 4 .

Решение

Всяко число може да бъде подложено на куб. Този изразняма дроб, така че стойностите на x и y могат да бъдат всякакви. Тоест ODZ е произволно число.

Отговор: x и y – всякакви стойности.

Пример 4

Намерете ODZ на израза 1 3 - x + 1 0.

Решение

Може да се види, че има една дроб, чийто знаменател е нула. Това означава, че за всяка стойност на x ще получим деление на нула. Това означава, че можем да заключим, че този израз се счита за недефиниран, т.е. той няма допълнителна отговорност.

Отговор: ∅ .

Пример 5

Намерете ODZ на дадения израз x + 2 · y + 3 - 5 · x.

Решение

Наличност корен квадратенпоказва, че този израз трябва да бъде по-голям или равен на нула. При отрицателна стойностняма смисъл. Това означава, че е необходимо да се напише неравенство от вида x + 2 · y + 3 ≥ 0. Тоест, това е желаният диапазон от приемливи стойности.

Отговор:набор от x и y, където x + 2 y + 3 ≥ 0.

Пример 6

Определете ODZ израза от формата 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .

Решение

По условие имаме дроб, така че знаменателят му не трябва да е равен на нула. Получаваме, че x + 1 - 1 ≠ 0. Радикалният израз винаги има смисъл, когато е по-голям или равен на нула, тоест x + 1 ≥ 0. Тъй като има логаритъм, изразът му трябва да е строго положителен, т.е. x 2 + 3 > 0. Основата на логаритъма също трябва да има положителна стойност и да е различна от 1, след което добавяме условията x + 8 > 0 и x + 8 ≠ 1. От това следва, че желаният ODZ ще приеме формата:

x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1

С други думи, тя се нарича система от неравенства с една променлива. Решението ще доведе до следната ODZ нотация [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .

Отговор: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Защо е важно да вземете предвид DPD, когато стимулирате промяна?

По време на трансформациите на идентичността е важно да се намери ODZ. Има случаи, когато съществуването на ODZ не се случва. За да разберете дали даден израз има решение, трябва да сравните VA на променливите на оригиналния израз и VA на получения израз.

Трансформации на идентичността:

• може да не повлияе на DL;
• може да доведе до разширяване или добавяне на ДЗ;
• може да стесни ДЗ.

Нека разгледаме един пример.

Пример 7

Ако имаме израз във формата x 2 + x + 3 · x, тогава неговата ODZ е дефинирана върху цялата област на дефиниция. Дори при въвеждане на подобни термини и опростяване на израза, ODZ не се променя.

Пример 8

Ако вземем за пример израза x + 3 x − 3 x, тогава нещата са различни. Ние имаме дробен израз. И знаем, че деленето на нула е неприемливо. Тогава ODZ има формата (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . Вижда се, че нулата не е решение, така че я добавяме със скоба.

Нека разгледаме пример с наличието на радикален израз.

Пример 9

Ако има x - 1 · x - 3, тогава трябва да обърнете внимание на ODZ, тъй като трябва да бъде записано като неравенството (x − 1) · (x − 3) ≥ 0. Възможно е да се реши чрез метода на интервала, тогава откриваме, че ODZ ще приеме формата (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . След преобразуване на x - 1 · x - 3 и прилагане на свойството на корените, имаме, че ODZ може да бъде допълнена и всичко може да бъде написано под формата на система от неравенства от вида x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ 0. При решаването му намираме, че [ 3 , + ∞) . Това означава, че ODZ се записва изцяло, както следва: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

Трябва да се избягват трансформации, които стесняват DZ.

Пример 10

Нека разгледаме пример за израза x - 1 · x - 3, когато x = - 1. При заместване получаваме, че - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Ако преобразуваме този израз и го доведем до формата x - 1 · x - 3, тогава при изчисляване откриваме, че 2 - 1 · 2 - 3 изразът няма смисъл, тъй като радикалният израз не трябва да е отрицателен.

Трябва да се спазва трансформации на идентичността, които ОДЗ няма да променят.

Ако има примери, които го разширяват, тогава трябва да се добави към DL.

Пример 11

Нека да разгледаме примера на дроб от вида x x 3 + x. Ако съкратим с x, тогава получаваме това 1 x 2 + 1. Тогава ODZ се разширява и става (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Освен това, когато изчисляваме, ние вече работим с втората опростена дроб.

При наличието на логаритми ситуацията е малко по-различна.

Пример 12

Ако има израз под формата ln x + ln (x + 3), той се заменя с ln (x · (x + 3)), въз основа на свойството на логаритъма. От това можем да видим, че ODZ от (0 , + ∞) до (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Следователно, за да се определи ODZ ln (x · (x + 3)), е необходимо да се извършат изчисления върху ODZ, т.е. наборът (0, + ∞).

При решаването винаги е необходимо да се обръща внимание на структурата и вида на израза, даден от условието. Ако дефиниционната област е намерена правилно, резултатът ще бъде положителен.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Ако уравнението ODZ се състои от крайно числостойности, достатъчно е да замените всяка стойност в уравнението, за да проверите дали тази стойност е корен.

Примери за прилагане на крайните за решаване на уравнения.

Под знака на корена дори степентрябва да стои неотрицателно число, Ето защо

Първото неравенство е квадратно, нека го решим. Второ - .

Решението на системата е пресечната точка на решенията на двете неравенства:

ODZ се състои от една стойност: (3).

Остава да проверим дали 3 е коренът на уравнението:

Получихме правилното равенство, следователно x=3 е коренът на това уравнение.

Знакът за квадратен корен трябва да има неотрицателно число. Оттук и ОДЗ

Първите две неравенства са квадратни. Решаваме ги по интервалния метод. Третият е линеен. Отбелязваме решението на всяко неравенство на числовата ос и намираме пресечната точка на решенията:

ODZ се състои от две стойности: (2; 3).

Да проверим.

По този начин, дадено уравнениеима единичен корен x=3.

Диапазонът на допустимите стойности на арксинуса е затвореният интервал от -1 до 1. Основата на степен с нецяло число положителен показател трябва да бъде неотрицателно число. ODZ:

По този начин диапазонът от приемливи стойности на уравнението се състои от една стойност: (1). Остава да проверим дали x=1 е корен на това уравнение.

Отговор: 1.
Ако ODZ на дадено уравнение се състои от едно или повече числа, този метод може да ви помогне да изпълните задачата бързо и лесно.

Подобно на други методи за решаване на уравнения, базирани на свойствата на функциите, използването на краен брой стойности често позволява решаването на доста сложни нестандартни задачи. И въпреки че в училищен курсалгебра, не се появява често; полезно е да го запомните и да можете да го прилагате.

Категория: |

Как да потърся същото това ODZ? Ние внимателно разглеждаме примера и търсим опасни места. Места, където са възможни забранени действия. Има много малко такива забранени действия в математиката.

Още уроци на сайта

VA (област на приемлива стойност)

Диапазонът от приемливи стойности на уравнение е наборът от стойности на x, за които дясната и лявата страна на уравнението имат смисъл.

Това са стойностите на x, които могат да бъдат по принцип. Да кажем, че в уравнението = 1 все още не знаем на какво е равно x. Все още не сме решили уравнението. Но вече знаем със сигурност, че x не може да бъде равно на нула при никакви обстоятелства! Не можеш да делиш на нула!Всякакви други числа - цяло, дробно, отрицателно - моля, но нула - никога! В противен случай оригиналният израз става глупост. Това означава, че ODZ в този пример е: x – нещо различно от нула. Схванах го?

Как да намеря, как да запиша, как да работя с него?

Много просто. Напишете ODZ до примера. Под тези добре познати букви, гледайки оригиналното уравнение, записваме стойностите на x, които са разрешени за оригиналния пример. Или обратното: намерете забранените стойности на x,в които оригиналният пример губи всякакъв смисъл, и ги изключете.

Но не всеки ги помни. Сега ще ви ги припомня и ви съветвам да ги запомните.

Изразът под корена на четната кратност трябва да бъде по-голям или равен на нула.

Изразът в знаменателя на една дроб не може да бъде равен на нула.

1. Има две функции, които съдържат "скрита" дроб:

В логаритмичните уравнения също има забрани - това ще разгледаме в съответните теми. Всичко. Когато намерим опасни места, изчисляваме х, което ще доведе до глупости.

За да намерите обхвата на приемливите стойности на израза, трябва да проверите дали има такиваизраз на уравнениекоито изброих по-горе. И докато откривате изрази, запишете ограниченията, които те поставят, движейки се „навън“ „навътре“. И ние ги изключваме.

важно! За намиране на ОДЗ не решаваме пример! Ние решаваме части от примера, за да намерим забранените X. Това изглежда трудно за обяснение, но на практика е много лесно.

Конкретно не казах нищо за DD в предишните уроци. За да не ви плаша... В разгледаните примери DL не повлия по никакъв начин на отговорите. Наистина, в нашите изброени забрани експоненциална функцияНе. Случва се. Но в задачите за ВЪНШНО НЕЗАВИСИМО ТЕСТВАНЕ, DL по правило влияе на отговора! Трябва да се пише не за инспектори, а за себе си. не пишете, ако е очевидно, че x е произволно число. Както например в линейните уравнения.

В много примери намирането на ODZ ви позволява да получите отговор без тромави изчисления. Или дори устно. В някои уравнения той представлява празно множество. Това означава, че първоначалното уравнение няма решения. Или там има едно или повече числа и простото заместване бързо определя корените.

Какво не харесвам? Точно така – дроб. И на мен не ми харесва, затова предлагам да се отърва от него. Това може да стане по различни начини. За да се отърва от знаменателя, ще умножа двете страни на уравнението по общ знаменателх-4.

Научен ръководител:

1. Въведение 3

2. Исторически очерк 4

3. “Място” на ОДЗ при решаване на уравнения и неравенства 5-6

4. Характеристики и опасности на ОДЗ 7

5. ОДЗ – има решение 8-9

6. Намирането на ODZ е допълнителна работа. Еквивалентност на преходи 10-14

7. ОДЗ в Единния държавен изпит 15-16

8. Заключение 17

9. Литература 18

1. Въведение

проблем:уравнения и неравенства, в които е необходимо да се намери ODZ, не намериха място в курса по алгебра за систематично представяне, което вероятно е причината моите връстници и аз често да правим грешки при решаването на такива примери, прекарвайки много време в решаването им, като същевременно забравяме относно ОДЗ.

Мишена:да може да анализира ситуацията и да прави логически правилни заключения в примери, където е необходимо да се вземе предвид DL.

Задачи:

1. Изучаване на теоретичен материал;

2. Решете множество уравнения, неравенства: а) дробно-рационални; б) ирационален; в) логаритмичен; г) съдържащи обратни тригонометрични функции;

3. Приложете изучаваните материали в ситуация, различна от стандартната;

4. Създайте работа по темата „Зона на приемливите ценности: теория и практика“

Работа по проект:Започнах работа по проекта, като повторих функциите, които познавах. Обхватът на много от тях е ограничен.

ODZ възниква:

1. Когато решавате дробни рационални уравненияи неравенства

2. При решаване ирационални уравненияи неравенства

3. При решаване логаритмични уравненияи неравенства

4. При решаване на уравнения и неравенства, съдържащи обратни тригонометрични функции

След като реших много примери от различни източници (USE учебници, учебници, справочници), систематизирах решението на примери съгласно следните принципи:

· можете да решите примера и да вземете предвид ODZ (най-често срещаният метод)

· възможно е решаването на примера без отчитане на ОДЗ

· възможно е да се стигне до правилното решение само като се вземе предвид ODZ.

Използвани методи в работата: 1) анализ; 2) статистически анализ; 3) приспадане; 4) класификация; 5) прогнозиране.

Проучи анализа Резултати от единния държавен изпитпрез изминалите години. Допуснати са много грешки в примери, в които е необходимо да се вземе предвид DL. Това още веднъж подчертава уместностмоята тема.

2. Исторически очерк

Подобно на други концепции на математиката, концепцията за функция не се разви веднага, а премина дълги разстоянияразвитие. В работата на П. Ферма „Въведение и изследване на равнина и плътни места“ (1636 г., публикувана 1679 г.) се казва: „Когато има две неизвестни количества в крайното уравнение, има място.“ По същество говорим за функционална зависимост и нейната графично представяне("място" на Ферма означава линия). Изследването на линиите според техните уравнения в "Геометрията" на Р. Декарт (1637) също показва ясно разбиране на взаимната зависимост на две променливи. В I. Barrow („Лекции по геометрия“, 1670 г.) в геометрична формаустановява се взаимният обратен характер на действията на диференциация и интеграция (разбира се, без да се използват самите тези термини). Това вече говори за напълно ясно владеене на понятието функция. Ние също намираме това понятие в геометрична и механична форма при I. Нютон. Въпреки това, терминът „функция“ се появява за първи път едва през 1692 г. с Г. Лайбниц и освен това не съвсем в съвременното му разбиране. Г. Лайбниц нарича различни сегменти, свързани с крива (например абсцисата на нейните точки), функция. В първия отпечатан курс, „Анализ на безкрайно малки за познаване на кривите линии“ от L'Hopital (1696), терминът „функция“ не се използва.

Първата дефиниция на функция в смисъл, близък до съвременния, се намира в I. Bernoulli (1718): „Функцията е количество, съставено от променлива и константа.“ Това не съвсем ясно определение се основава на идеята за определяне на функция чрез аналитична формула. Същата идея се появява в определението на Л. Ойлер, дадено от него в „Въведение в анализа на безкрайностите“ (1748): „Функцията на променлива величина е аналитичен израз, съставен по някакъв начин от тази променлива величина и числа или постоянни количества.” Но Л. Ойлер вече не е чужд на съвременното разбиране на функцията, което не свързва понятието функция с нито един от нейните аналитични изрази. Неговото „Диференциално смятане“ (1755) казва: „Когато определени количества зависят от други по такъв начин, че когато последните се променят, самите те са обект на промяна, тогава първите се наричат ​​функции на последните.“

СЪС началото на XIXвекове, все по-често те дефинират понятието функция, без да споменават нейното аналитично представяне. В „Трактат за диференциално и интегрално смятане“ (1797-1802) С. Лакроа казва: „Всяко количество, чиято стойност зависи от една или много други величини, се нарича функция на последните.“ В „Аналитичната теория на топлината” от Ж. Фурие (1822) има фраза: „Функция f(x)обозначава напълно произволна функция, тоест последователност от дадени стойности, независимо дали са подчинени или не на общ закон и отговарящи на всички стойности хсъдържа между 0 и някаква стойност х" Определението на Н. И. Лобачевски е близко до съвременното: „... Обща концепцияфункцията изисква функцията от хназовете номера, който е даден за всеки хи заедно с хпостепенно се променя. Стойността на функция може да бъде дадена или чрез аналитичен израз, или чрез условие, което осигурява средство за тестване на всички числа и избор на едно от тях, или накрая зависимостта може да съществува и да остане неизвестна. Там също се казва малко по-надолу: „Общият възглед на теорията допуска съществуването на зависимост само в смисъл, че числата едно с друго във връзка се разбират като дадени заедно.“ По този начин съвременната дефиниция на функция, свободна от препратки към аналитичната задача, обикновено приписвана на P. Dirichlet (1837), беше многократно предложена пред него.

Домейнът на дефиниция (допустими стойности) на функция y е набор от стойности на независимата променлива x, за която е дефинирана тази функция, т.е. домейнът на промяна на независимата променлива (аргумент).

3. „Място“ на диапазона от приемливи стойности при решаване на уравнения и неравенства

1. При решаване на дробни рационални уравнения и неравенствазнаменателят не трябва да е нула.

2. Решаване на ирационални уравнения и неравенства.

2.1..gif" width="212" height="51"> .

В този случай не е необходимо да се намира ODZ: от първото уравнение следва, че получените стойности на x отговарят на следното неравенство: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33. gif" width="107" height="27 src="> е системата:

Тъй като те влизат в уравнението еднакво, тогава вместо неравенство можете да включите неравенство https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51">

3. Решаване на логаритмични уравнения и неравенства.

3.1. Схема за решаване на логаритмично уравнение

Но е достатъчно да проверите само едно условие на ODZ.

3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">

4. Тригонометрични уравнениямилса еквивалентни на системата (вместо неравенство, можете да включите неравенство в системата https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> са еквивалентни към уравнението

4. Характеристики и опасности от диапазона на допустимите стойности

В уроците по математика от нас се изисква да намерим DL във всеки пример. В същото време, според математическата същност на въпроса, намирането на ODZ изобщо не е задължително, често не е необходимо, а понякога и невъзможно - и всичко това без никакво увреждане на решението на примера. От друга страна, често се случва след решаване на пример учениците да забравят да вземат предвид DL, да го запишат като окончателен отговор и да вземат предвид само някои условия. Това обстоятелство е добре известно, но „войната“ продължава всяка година и, изглежда, ще продължи още дълго време.

Помислете например за следното неравенство:

Тук се търси ОДЗ и се решава неравенството. Въпреки това, когато решават това неравенство, учениците понякога вярват, че е напълно възможно да се мине без търсене на DL, или по-точно, възможно е да се мине без условието

Всъщност, за да се получи правилният отговор, е необходимо да се вземат предвид както неравенството , така и .

Но, например, решението на уравнението: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">

което е еквивалентно на работа с ОДЗ. В този пример обаче подобна работа не е необходима - достатъчно е да се провери изпълнението само на две от тези неравенства и на произволни две.

Нека ви напомня, че всяко уравнение (неравенство) може да бъде сведено до формата . ODZ е просто областта на дефиниране на функцията от лявата страна. Фактът, че тази област трябва да се наблюдава, следва от дефиницията на корена като число от областта на дефиниране на дадена функция, следователно от ODZ. Ето забавен пример по тази тема..gif" width="20" height="21 src="> има домейн на дефиниция на набор от положителни числа (това, разбира се, е съгласие да се разглежда функция с , но разумно), и тогава -1 не е коренът.

5. Диапазон от допустими стойности – има решение

И накрая, в много примери намирането на ODZ ви позволява да получите отговора без обемисти оформления,или дори устно.

1. OD3 е празно множество, което означава, че оригиналният пример няма решения.

1) 2) 3)

2. БОДЗ едно или повече числа са намерени и простото заместване бързо определя корените.

1) , х=3

2)Тук в ОДЗ има само цифрата 1, като след замяна се вижда, че не е корен.

3) В ОДЗ има два номера: 2 и 3 и двата са подходящи.

4) > В ОДЗ има два номера 0 и 1, като само 1 е подходящо.

ODZ може да се използва ефективно в комбинация с анализ на самия израз.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2. Тогда в неравенство подставим 2.

6) От ODZ следва, че където имаме ..gif" width="143" height="24"> От ODZ имаме: . Но тогава и . Тъй като няма решения.

От ODZ имаме: https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, което означава Решавайки последното неравенство, получаваме x<- 4, что не входит в ОДЗ. По­этому решения нет.

3) ODZ: . От тогава

От друга страна, https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">

ODZ:. Разгледайте уравнението на интервала [-1; 0).

Той изпълнява следните неравенства https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src="> и няма решения. С функцията и https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">. ODZ: x>2..gif" width="233" height ="45 src="> Да намерим ODZ:

Целочислено решение е възможно само за x=3 и x=5. Чрез проверка откриваме, че коренът x=3 не се побира, което означава, че отговорът е x=5.

6. Намирането на диапазона от приемливи стойности е допълнителна работа. Еквивалентност на преходите.

Можете да дадете примери, когато ситуацията е ясна и без да намерите DZ.

1.

Равенството е невъзможно, защото при изваждане на по-голям израз от по-малък резултатът трябва да е отрицателно число.

2. .

Сборът от две неотрицателни функции не може да бъде отрицателен.

Ще дам и примери, при които намирането на ODZ е трудно, а понякога просто невъзможно.

И накрая, търсенията на ODZ много често са просто допълнителна работа, без която можете да се справите, като по този начин доказвате разбирането си за случващото се. Има огромен брой примери, които могат да бъдат дадени тук, така че ще избера само най-типичните. Основният метод за решение в този случай е еквивалентните трансформации при преминаване от едно уравнение (неравенство, система) към друго.

1.. ODZ не е необходим, тъй като след като намерим тези стойности на x, за които x2 = 1, не можем да получим x = 0.

2. . ODZ не е необходим, защото намираме кога радикалният израз е равен на положително число.

3. . ODZ не е необходим поради същите причини, както в предишния пример.

4.

ODZ не е необходим, тъй като радикалният израз е равен на квадрата на някаква функция и следователно не може да бъде отрицателен.

5.

6. ..gif" width="271" height="51"> За решаване е достатъчно само едно ограничение за коренния израз.Всъщност от написаната смесена система следва, че другият радикален израз е неотрицателен.

8. DZ не е необходим по същите причини, както в предишния пример.

9. ODZ не е необходим, тъй като е достатъчно два от трите израза под логаритъм да са положителни, за да се гарантира положителността на третия.

10. .gif" width="357" height="51"> ODZ не е необходим поради същите причини, както в предишния пример.

Заслужава да се отбележи обаче, че при решаване с помощта на метода на еквивалентните трансформации, познаването на ODZ (и свойствата на функциите) помага.

Ето няколко примера.

1. . OD3, което означава, че изразът от дясната страна е положителен и е възможно да се напише уравнение, еквивалентно на това, в тази форма https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif" ширина ="112" height="27 "> ODZ: Но тогава и при решаването на това неравенство не е необходимо да се разглежда случаят, когато дясна частпо-малко от 0.

3. . От ODZ следва, че и следователно случаят, когато https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> Отидете на общ изгледизглежда така:

https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">

Има два възможни случая: 0 >1.

Това означава, че първоначалното неравенство е еквивалентно на следния набор от системи от неравенства:

Първата система няма решения, но от втората получаваме: x<-1 – решение неравенства.

Разбирането на условията на еквивалентност изисква познаване на някои тънкости. Например, защо следните уравнения са еквивалентни:

Или

И накрая, може би най-важното. Факт е, че еквивалентността гарантира правилността на отговора, ако се направят някои трансформации на самото уравнение, но не се използва за трансформации само в една от частите. Съкращенията и използването на различни формули в една от частите не се покриват от теоремите за еквивалентност. Вече дадох някои примери от този тип. Нека да разгледаме още няколко примера.

1. Това решение е естествено. От лявата страна до имота логаритмична функциянека да преминем към израза ..gif" width="111" height="48">

След като решихме тази система, получаваме резултата (-2 и 2), който обаче не е отговор, тъй като числото -2 не е включено в ODZ. И така, трябва ли да инсталираме ODS? Разбира се, че не. Но тъй като ние използвахме определено свойство на логаритмичната функция в решението, тогава ние сме длъжни да предоставим условията, при които то е изпълнено. Такова условие е положителността на изразите под знака логаритъм..gif" width="65" height="48">.

2. ..gif" width="143" height="27 src="> числата подлежат на замяна по този начин . Кой иска да прави такива досадни изчисления?.gif" width="12" height="23 src="> добавете условие и веднага можете да видите, че само числото https://pandia.ru/text/78/083 / отговаря на това условие images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) е доказано от 52% от участниците в теста. Една от причините за толкова ниските показатели е фактът, че много от завършилите не са избрали корените, получени от уравнението след повдигането му на квадрат.

3) Помислете например за решението на един от проблемите C1: „Намерете всички стойности на x, за които точките на графиката на функцията лежат над съответните точки от графиката на функцията ". Задачата се свежда до решаване на дробно неравенство, съдържащо логаритмичен израз. Познаваме методите за решаване на такива неравенства. Най-често срещаният от тях е методът на интервалите. Въпреки това, когато използвайки го, участниците в теста правят различни грешки. Нека разгледаме най-често срещаните грешки, използвайки примера на неравенството:

х< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие х < 10.

8. Заключение

Обобщавайки, можем да кажем, че няма универсален метод за решаване на уравнения и неравенства. Всеки път, ако искате да разберете какво правите и да не действате механично, възниква дилема: какво решение да изберете, по-специално, трябва да търсите ODZ или не? Мисля, че натрупаният опит ще ми помогне да реша тази дилема. Ще спра да правя грешки, като се науча как да използвам ODZ правилно. Дали мога да направя това, времето или по-скоро Единният държавен изпит ще покаже.

9. Литература

И др.“Алгебра и началото на анализа 10-11” Задача и учебник, М.: “Просвещение”, 2002. “Наръчник по елементарна математика.” М.: „Наука“, 1966 г. Вестник „Математика“ № 46, Вестник „Математика“ № Вестник „Математика“ № „История на математиката в училище VII-VIII клас“. М.: „Просвещение”, 1982 г. и др. „Най-пълното издание на версиите на реални задачи за единен държавен изпит: 2009/FIPI” - М.: „Астрел”, 2009 г. и др. „Единен държавен изпит. Математика. Универсални материали за подготовка на студенти/FIPI" - М.: "Интелигентен център", 2009 г. и др. "Алгебра и началото на анализа 10-11." М.: „Просвещение“, 2007. , „Работилница за решаване на проблеми училищна математика(работилница по алгебра).“ М.: Образование, 1976. „25 000 урока по математика.“ М.: „Просвещение”, 1993 г. „Подготовка за олимпиади по математика.” М.: „Изпит”, 2006 г. „Енциклопедия за деца „МАТЕМАТИКА”” том 11, М.: Аванта +; 2002. Материали от сайтовете www. *****, www. *****.