За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт в Google (акаунт) и влезте: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Идентичности. Тъждествени трансформации на изрази. 7 клас.

Намерете стойността на изразите при x=5 и y=4 3(x+y)= 3(5+4)=3*9=27 3x+3y= 3*5+3*4=27 Намерете стойността на изразите при x=6 и y=5 3(x+y)= 3(6+5)=3*11=33 3x+3y= 3*6+3*5=33

ИЗВОД: Получихме същия резултат. От разпределителното свойство следва, че като цяло за всякакви стойности на променливите стойностите на изразите 3(x + y) и 3x + 3y са равни. 3(x+y) = 3x+3y

Помислете сега за изразите 2x + y и 2xy. за x=1 и y=2 те приемат еднакви стойности: 2x+y=2*1+2=4 2x=2*1*2=4 за x=3, y=4 стойностите на израза са различни 2x+y =2* 3+4=10 2xy=2*3*4=24

ИЗВОД: Изразите 3(x+y) и 3x+3y са идентично равни, но изразите 2x+y и 2xy не са идентично равни. Определение: Два израза, чиито стойности са равни за всякакви стойности на променливите, се наричат ​​идентично равни.

ИДЕНТИЧНОСТ Равенството 3(x+y) и 3x+3y е вярно за всякакви стойности на x и y. Такива равенства се наричат ​​тъждества. Определение: Равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливите, се нарича идентичност. Истинските числени равенства също се считат за идентичности. Вече се срещнахме с идентичности.

Тъждествата са равенства, изразяващи основните свойства на действията върху числата. a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Могат да се дадат и други примери за идентичности: a + 0 = a a * 1 = a a + (-a) = 0 a * (- b) = - ab a- b = a + (- b) (-a) * ( - b) = ab Замяната на един израз с друг израз, идентично равен на него, се нарича трансформация на идентичност или просто трансформация на израз.

За да донесете подобни термини, трябва да съберете техните коефициенти и да умножите резултата по общата буквена част. Пример 1. Даваме подобни термини 5x + 2x-3x \u003d x (5 + 2-3) \u003d 4x

Ако има знак плюс пред скобите, скобите могат да бъдат пропуснати, като се запази знакът на всеки термин, заграден в скоби. Пример 2. Разгънете скобите в израза 2a + (b -3 c) = 2 a + b - 3 c

Ако има знак минус преди скобите, тогава скобите могат да бъдат пропуснати чрез промяна на знака на всеки термин, заграден в скоби. Пример 3. Нека отворим скобите в израза a - (4 b - c) \u003d a - 4 b + c

Домашна работа: стр. 5, No 91, 97, 99 Благодаря за урока!

По темата: методически разработки, презентации и бележки

Методи за подготовка на учениците за изпита в раздела "Изрази и трансформация на изрази"

Този проект е разработен с цел подготовка на учениците за държавни изпити в 9 клас и по-късно за единен държавен изпит в 11 клас....

И така, приятели, в последния урок, който срещнахме с Разберете какво означават думите "изразът няма смисъл". И сега е време да го разберем Какво е трансформация на израз?И най-важното - защо е необходимо.

Какво е трансформация на израз?

Отговорът е прост, неприличен.) Това всяко действие с израз.И това е. Вие правите всички тези трансформации от първия клас. Не буквално, разбира се ... Това ще бъде обсъдено по-долу.)

Например, нека вземем някакъв супер готин числов израз Да кажем 3+2. Как може да се преобразува? Да, много лесно! Поне вземете и пребройте:

3+2 = 5

Това изчисление на детската градина ще бъде преобразуване на изрази.Можете да напишете същия израз по различен начин:

3+2 = 2+3

И тук не броихме абсолютно нищо. Просто взех и пренаписах нашия израз в различна форма.то също ще бъде трансформация на израза.Може да се напише и различно. Например така:

3+2 = 10-5

И този запис е също трансформация на израз.

Или така:

3+2 = 10:2

Също така трансформация на изражението!

Ако вие и аз сме по-големи, ние сме приятели с алгебра, тогава ще напишем:

Който е на "ти" с алгебрата, дори без особено да се напряга и да не брои нищо, ще осъзнае наум, че отляво и отдясно има обикновена петица. Стегнете се и опитайте.)

И ако наистина сме по-възрастни, тогава можем да запишем такива филми на ужасите:

дневник 2 8+ дневник 2 4 = дневник 2 32

Или дори така:

5 грях 2 х+5 cos 2 х=5 tgx ctgx

Вдъхновява ли? И такива трансформации, очевидно, могат да се правят колкото искате! Доколкото позволява фантазията. И набор от знания по математика.)

Разбрахте ли смисъла?

Всякаквидействие върху израз всякаквиписането му в друга форма се нарича преобразуване на изрази.И всички неща. Всичко е много просто.

Простотията, разбира се, винаги е хубаво и приятно нещо, но за всяка простотия трябва да се плати някъде, да .... Тук има едно основно „но“. Всички тези мистериозни трансформации винаги се подчиняват на едно много важно правило. Това правило е толкова важно, че може безопасно да се нарече основно правилоцялата математика. И нарушаването на това просто правило неизбежноще доведе до грешки. разбираме ли?)

Да предположим, че сме трансформирали израза си случайно, от глупости, някак така:

3+2 = 6+1

Трансформация? Разбира се. Написахме израза в различна форма! Но... какво не е наред тук?

Отговор: всичко не е така.) Работата е там, че трансформациите „както и да еот булдозера"Математиката изобщо не се интересува.) Защо? Тъй като цялата математика е изградена върху трансформации, при които външният вид се променя, но същността на израза не се променя.Това е нейното строго изискване. И нарушаването на това изискване ще доведе до грешки. Три плюс две могат да бъдат написани във всякаква форма. В който пример изисква, ще го напишем в тази форма. Но по своята същносттова е винаги трябва да са пет.В каквато и форма да запишем същите тези 3 + 2. Но ако внезапно, след като напишете израза 3 + 2 в различна форма, вместо пет, ще имате двадесет и пет,някъде сте направили грешка по пътя. Върнете се и го поправете.)

И сега е време за мъдри зелени мисли.)

Помня:

1. Всяко действие върху израз, записването му в различна форма, се нарича трансформация на израз.

2. Трансформации,изрази, които не променят същността, се наричат ​​идентични.

3. Цялата математика е изградена върху идентични трансформации на изрази.

Точно идентични трансформациии ни позволяват, стъпка по стъпка, малко по малко, да превърнем сложен пример в прост, бял и пухкав израз, като същевременно поддържаме същността на примера.Ако внезапно във веригата от нашите трансформации направим грешка някъде и на някаква стъпка направим НЕИДЕНТИЧНА трансформация, тогава ще решим по-нататък напълно различнипример. С други отговори, да ... Което вече няма да има нищо общо с правилните.) Нека разбием идентичността и да се объркаме някъде другаде - нека започнем да го решаваме вече третипример. И така нататък, в зависимост от броя на запасите, от проблема за влака и колата, можете да стигнете до проблема за един и половина багери.)

Друг пример. За ученици, които вече усилено изучават алгебра. Да кажем, че трябва да намерим стойността на израза (40+7) 2 . Как можете да излезете, т.е. трансформира нашето зло изражение? Можете просто да изчислите израза в скоби (получаваме 47), да умножите по колона сама по себе си и да получите (ако броите) 2209. Или можете да използвате формулата

(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 .

Получаваме: (40+7) 2 = 40 2 +2∙40∙7+7 2 = 1600+560+49 = 2209.

Но! Има изкушение (да речем, поради непознаване на формулата) при повдигане на квадрат да се напише просто:

(40+7) 2 = 40 2 +7 2 .

За съжаление, на този прост и привидно очевиден преход, идентичността на нашите трансформации нарушени. Отляво всичко е както трябва 2209, но отдясно - вече друг номер. 1649. Изчислете - и всичко ще стане ясно. Ето един типичен пример за НЕ идентична трансформация. И съответно се измъкна грешки.)

Ето го и основното правило за решаване на всякакви задачи: съответствие с идентичността на трансформациите.

Дадох пример с числови изрази 3 + 2 и (40 + 7) 2 чисто за яснота.

Какво относно алгебрични изрази?Все същото! Само в алгебричните изрази са дадени идентични трансформации формули и правила.Да кажем, че има формула в алгебрата:

a(b-c) = ab - ac

Така че във всеки пример имаме пълното право да заменим израза a(b-c)не се колебайте да напишете алтернативен израз аб-ак. И обратно. Тази математика ни предоставя избор от тези два израза. А кой да напише зависи от конкретния пример.

Или популярни:

а 2 - b 2 = (а- b)(а+ b)

Отново има две възможности. И двете са правилни.) Това също идентична трансформация.Какво е по-изгодно да напишете - разликата на квадратите или произведението на скоби - пример ще ви каже.)

Друг пример. Една от най-важните и необходими трансформации в математиката е основно свойство на дроб. Можете (ще) прочетете и гледате връзката за повече подробности (когато урокът приключи), но тук само ще напомня правилото:

Ако числителят и знаменателят на една дроб се умножат (разделят) на един и същчисло или израз, който не е равен на нула, дробта няма да се промени.

Ето пример за идентични трансформации за това свойство:

Както вероятно се досещате, тази славна верига може да продължи за неопределено време ...) Стига творческият импулс да е достатъчен. Всякакви минуси, корени, да не ви бъркат. Всичко е един и същфракция. от неговата същност.Две трети. 2/3. Просто написани в различни форми.:) Много важен имот. Именно то много често ви позволява да превърнете всякакви примерни чудовища в бели и пухкави.)

Разбира се, има много формули и правила, които дефинират идентични трансформации. Дори бих казал много. Но най-важните, без които в математиката може да се размине поне тройното ниво забранено е, е напълно разумна сума.

Ето някои от основните трансформации:

1. Работа с мономи и полиноми. Намаляване на подобни термини (или накратко - подобни);

2. Отваряне на скоби и затваряне на скоби ;

3. Факторизация ;

4. и разлагане на квадратен тричлен.

5. Работа с дроби и дробни изрази.

Тези пет основни трансформации се използват широко в цялата математика. От начален до напреднал. И ако не притежавате поне едно от тези пет прости неща, тогава неизбежно ще се сблъскате с големи проблеми както в цялата математика в гимназията, така и в гимназията, и още повече в университета. Затова ще започнем с тях. в следващите уроци в този раздел.)

Има още по-готини трансформации. За напреднали ученици и студенти.) Било то:

6., и всичко свързано с тях;

7. Пълна квадратна селекция от квадратен тричлен;

8. Деление на полиноми ъгълили по схемата на Хорнер ;

9. Разлагане на рационална дроб на сбор от елементарни (прости) дроби. Най-полезната функция за студенти по време на работа

И така, всичко е ясно за идентичността на трансформациите и значението на тяхното наблюдение? Отлично! Тогава е време да преминете към следващото ниво и най-накрая да преминете от примитивна аритметика към по-сериозна алгебра. И с блясък в очите.)

Трансформации на идентичността

1. Концепцията за идентичност. Основни видове тъждествени преобразувания и етапи на тяхното изследване.

Изучаването на различни трансформации на изрази и формули заема най-малката част от учебното време в курса на училищната математика. Най-простите ^ "" формации, базирани на свойствата на аритметичните операции, вече са в началното училище. Но основната тежест върху формирането на умения и способности за извършване на трансформации се носи от курса на училищната алгебра 1> това е свързано:

с рязко увеличаване на броя на извършените трансформации, тяхното разнообразие;

с усложняването на дейностите по тяхното обосноваване и изясняване на условията за приложимост;

и) с разпределението и изучаването на обобщени понятия за идентичност, идентична трансформация, еквивалентна трансформация, логическо следствие.

Линията от идентични трансформации получава следното развитие в курса по алгебра на основното училище:

,4 б класове - отваряне на скобите, извеждане на подобни термини, изваждане - M (фактор Chsho извън скобите;

7 Клас - тъждествени преобразувания на цели и дробни изрази;

H клас - тъждествени преобразувания на изрази, съдържащи четворни корени;

( > клас- идентични трансформации на тригонометрични изрази и mmrizhsny, съдържащи степен с рационален показател.

Линията на идентични трансформации е една от важните идеологически линии на курса по алгебра. Следователно обучението по математика в 5-6 клас е изградено от niKiiM по такъв начин, че учениците вече в тези класове да придобият умения за най-простите идентични трансформации (без да се използва терминът „идентично различни трансформации“). Тези умения се формират при изпълнение на упражнение за намаляване на подобни членове, отваряне на скоби и поставянето им в скоби, поставяне на фактор извън скоби и т.н. Разглеждат се и най-простите трансформации на числови и буквени изрази. На това ниво на обучение се усвояват трансформации, които се извършват непосредствено въз основа на законите и свойствата на аритметичните действия.

Основните типове задачи в 5-6 клас, при решаването на които активно се използват свойствата и законите на аритметичните операции и чрез които се формират умения за идентични трансформации, включват:

обосноваване на алгоритми за извършване на действия върху числата на изучаваните числови множества;

изчисляване на стойностите на числов израз по най-рационалния начин;

сравняване на стойностите на числови изрази без извършване на посочените действия;

опростяване на буквални изрази;

доказателство за равенството на стойностите на два буквални израза и др.

Изразете числото 153 като сбор от битови членове; като разлика на две числа, като произведение на две числа.

Изразете числото 27 като произведение на три еднакви множителя.

Тези упражнения върху представянето на едно и също число в различни форми на запис допринасят за усвояването на концепцията за идентични трансформации. Първоначално тези представи могат да бъдат произволни, в бъдеще - целенасочени. Например, представянето като сума от битови термини се използва за обяснение на правилата за добавяне на естествени числа в „колона“, представянето като сума или разлика на „удобни“ числа се използва за извършване на бързи изчисления на различни продукти и представянето като продукт на фактори се използва за опростяване на различни дробни изрази.

Намерете стойността на израза 928 36 + 72 36.

Рационалният начин за изчисляване на стойността на този израз се основава на използването на закона за разпределение на умножението по отношение на събирането: 928 36 + 72 36 = (928 + 72) 36 = 1000 36 = 36000.

В училищния курс по математика могат да се разграничат следните етапи на овладяване на прилагането на трансформации на буквено-цифрови изрази и формули.

сцена. Началото на алгебрата.На този етап се използва неразделна система от трансформации; тя е представена от правилата за извършване на действия върху едната или двете части на формулата.

Пример. Решете уравнения:

а) 5x - bx = 2; б) 5x = 3x + 2; в) 6 (2 - 4г) + 5u = 3 (1 - Зу).

Общата идея на решението е да се опростят тези формули с помощта на няколко правила. В първата задачаопростяването се постига чрез прилагане на идентичността: 5x- bx= (5 - 3)x. Трансформацията на идентичността, базирана на тази идентичност, трансформира даденото уравнение в еквивалентно urshshomie 2x - 2.

Второ уравнениеизисква за своето решение не само идентична, но и параноична трансформация; като такъв, той използва правото ||n, за да прехвърли членовете на уравнението от една част на уравнението в друга с модифициран шик. При решаването на такава проста задача като b) се използват и двете mon in трансформации - както идентични, така и еквивалентни. Това предложение се използва и за по-тромави задачи, като третата.

Молът на първия етап е да научите как бързо да решавате най-простите уравнения, да опростявате формулите, които определят функциите, рационално да извършвате изчисления въз основа на свойствата на действията.

синигер. Формиране на умения за прилагане на конкретни видове трансформацииII наклон Понятията идентичност и идентично преобразуване са изрично въведени в курса shn "sbra 7 клас. Така например в учебника на Ю. Н. Макаричев "Алгебра 7" np" се въвежда концепцията за идентично равни изрази: променливи, spy идентично равни"тогава концепцията за идентичност: „Равенство, което е сдвоено за всякакви стойности на променливите, се нарича идентичност."

Дадени са 11 примера:

В учебника A.G. Мордкович "Алгебра 7" се дава незабавно и усъвършенствана концепция за идентичност: „Идентичносте правилното равенство за всяко допустимостойности на съставните му променливи.

Когато се въвежда концепцията за идентична трансформация, трябва преди всичко да се отхвърли целесъобразността от изучаване на идентични трансформации. За да направите това, можете да разгледате различни упражнения, за да намерите значението на изразите.

liiiipiiMep, намерете стойността на израза 37,1x + 37,ly, когато х= 0,98, y = 0,02. Използвайки разпределителното свойство на умножението, изразът 37.1l + 37.1 приможе да се изчисли чрез израза 37.1(x + y), тъждествено равен на него. Още по-впечатляващо червей 1 решение на следното упражнение: намерете стойността на израза

() - (a-6) _ p r i. а) q = z > ^ = 2; б) а = 121, б - 38; в) а = 2,52, b= 1 -.

аб 9

След извършените трансформации се оказва, че наборът от стойности на този израз се състои от едно число 4.

В учебника на Ю. Н. Макаричев “Алгебра 7” въвеждането на концепцията за трансформация на идентичност е мотивирано с разглеждане на пример: “Да се ​​намери стойността на израза xy-da за x = 2,3; у = 0,8; z = 0,2, трябва да извършите 3 действия: ху - xz = 2,3 0,8 - 2,3 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38.

11 Необходимо е да се отбележи един вид трансформации, специфични за Куршовата алгебра и началото на анализа. Това са трансформации на изрази, съдържащи предпреходи,и трансформации, основани на правилата за диференциране и интегриране.Основната разлика между тези "аналитични" трансформации и "алгебрични" трансформации се крие в природата на набора, през който преминават променливите в идентичностите. В алгебричните идентичности променливите преминават през числови областии в аналитичните множества тези множества се скитат определено много функции.Например правилото за диференциране на сумата: (Z "+g)" тук / и g са променливи, преминаващи през множествата

I I но диференцируеми функции с обща област на дефиниция. Външно тези трансформации са подобни на трансформации от алгебричен тип, следователно понякога се казва "алгебра на границите", "алгебра на диференциацията".

Идентичностите, изучавани в училищния курс по алгебра и алгебричния майриал на курса по алгебра и началото на анализа, могат да бъдат разделени на два класа.

Първият се състои от идентичностите на намаленото умножение,справедлив в

av v.

iioGom комутативен пръстен и идентичностите - =-,а* 0, справедлив във всички случаи

Ом поле.

Вторият клас се формира от идентичности, свързващи аритметични изрази и основни елементарни функции, както и композиции от елементарниХхиксфункции.Повечето идентичности от този клас също имат обща математическа основа, състояща се във факта, че степенните, експоненциалните и логаритмичните функции са изоморфизми на различни числени групи. Например, има твърдение: съществува уникално непрекъснато изоморфно преобразуване / на адитивната група от реални числа в мултипликативната група от положителни реални числа, при което единицата o се преобразува в дадено число a> 0, един Ф 1; това картографиране се дава от реципрочна функция с основа а:/(Х)= а.Има подобни твърдения за степенни и логаритмични функции.

Методологията за изследване на идентичностите на двата класа има много общи черти. Като цяло трансформациите на идентичността, изучавани в училищния курс по математика, включват:

трансформации на изрази, съдържащи корени и степени с дробни показатели;

трансформации на изрази, съдържащи преминавания към границата, и трансформации, базирани на правилата за диференциране и интегриране.

Този резултат може да се получи чрез извършване само на две действия, използвайки израза x (y-z), идентично равен на израза xy-xz:x(y-z)= 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.

Опростихме изчисленията, като заменихме израза xy-xz тъждествено равен израз x (y - z).

Замяната на един израз с друг, тъждествено равен на него, се нарича трансформация на идентичносттаили просто трансформация на израза.

Разработването на различни видове трансформации на този етап започва с въвеждането на съкратени формули за умножение. След това разглеждаме трансформациите, свързани с операцията за повдигане на степен, с различни класове елементарни функции - експоненциални, степенни, логаритмични, тригонометрични. Всеки от тези видове трансформации преминава през етап на изследване, в който вниманието е насочено към усвояването на техните характерни черти.

С натрупването на материал става възможно да се отделят и на тази основа да се въведат понятията идентични и еквивалентни трансформации.

Трябва да се отбележи, че концепцията за идентична трансформация е дадена в училищния курс по алгебра не в пълна обобщеност, а само в приложение към изрази. Трансформациите са разделени на два класа: идентични трансформации са изразни трансформации и еквивалентен - формулни трансформации. В случай, че има нужда от опростяване на една част от формулата, в тази формула се маркира израз, който служи като аргумент за приложената идентична трансформация. Например уравненията 5x - Zx - 2 и 2x = 2 се считат не само за еквивалентни, но и за еднакви.

В учебниците по алгебра Ш.А. Алимова и др., понятието тъждество не е изрично въведено в 7-8 клас и само в 9 клас в темата „Тригонометрични тъждества“ при решаване на задача 1: „Докажете, че за afkk, да се < eZ , е валидно равенството 1 + ctg 2 a = -\-» се въвежда това понятие. Тук се обяснява на учениците, че грях а

посоченото равенство е „валидно за всички допустими стойности на a, т.е. така че лявата и дясната му част да имат смисъл. Такива равенства се наричат идентичности, а задачите за доказване на такива равенства се наричат ​​задачи за доказване на тъждества.

III етап. Организация на интегрална система от трансформации (синтез).

Основната цел на този етап е да се формира гъвкав и мощен апарат, подходящ за използване при решаване на различни образователни задачи.

Разгръщането на втория етап от изучаването на трансформациите се извършва през целия курс на алгебрата в основното училище. Преходът към третия етап се осъществява по време на окончателното повторение на курса в хода на разбирането на вече познатия материал, научен на части, според определени видове трансформации.

В хода на алгебрата и началото на анализа продължава постепенно да се усъвършенства цялостна система от трансформации, която по същество вече е формирана. Към него се добавят и някои нови видове трансформации (например свързани с тригонометрични и логаритмични функции), но те само го обогатяват, разширяват възможностите му, но не променят структурата му.

Методологията за изучаване на тези нови трансформации практически не се различава от тази, използвана в курса по алгебра.

Необходимо е да се отбележи един вид трансформации, специфични за курсовете по алгебра и началото на анализа. Това са трансформации на изрази, съдържащи ограничаване на преходите, и трансформации, основани на правилата за диференциране и интегриране. Основната разлика между тези "аналитични" трансформации и "алгебрични" трансформации се крие в характера на множеството, през което променливите преминават в идентичностите. В алгебричните идентичности променливите преминават през числови области докато в аналитичните набори определени много функции. Например правилото за диференциране на сумата: ( f + ж )" = f + ж "; тук фуг - променливи, преминаващи през диференцируеми функции с умножител с общ домейн на дефиниция. Външно тези трансформации са подобни на трансформации от алгебричен тип, следователно понякога се казва "алгебра на границите", "алгебра на диференциацията".

Идентичностите, изучавани в училищния курс по алгебра и алгебричният материал от курса по алгебра и началото на анализа, могат да бъдат разделени на два класа.

Първият се състои от идентичностите на намаленото умножение, справедлив в

всеки комутативен пръстен и идентичността - \u003d -, a * 0, валидна във всеки

ac s

Вторият клас се формира от идентичности, свързващи аритметични операции и основни елементарни функции, както и композиции от елементарни функции.Повечето идентичности от този клас също имат обща математическа основа, която се състои в това, че степенните, експоненциалните и логаритмичните функции са изоморфизми на различни числени групи. Например, има твърдение: съществува уникално непрекъснато изоморфно преобразуване / на адитивната група от реални числа в мултипликативната група от положителни реални числа, при което едно се преобразува в дадено число a> 0, един Ф един; това картографиране се дава от експоненциалната функция с база i: / (x) = a*. Има подобни твърдения за степенни и логаритмични функции.

Методологията за изследване на идентичностите на двата класа има много общи черти. Като цяло трансформациите на идентичността, изучавани в училищния курс по математика, включват:

трансформации на алгебрични изрази;

преобразуване на изрази, съдържащи радикали и степени с дробни показатели;

трансформации на тригонометрични изрази;

преобразуване на изрази, съдържащи степени и логаритми;

трансформации на изрази, съдържащи гранични преходи, и трансформации, базирани на правила, диференциране и интегриране.

2. Характеристики на организацията на системата от задачи при изучаване на идентични трансформации

Основният принцип за организиране на всяка система от задачи е представянето им от просто към сложно отчитане на необходимостта учениците да преодоляват възможни трудности и да създават проблемни ситуации. Този основен принцип изисква конкретизация във връзка с особеностите на този учебен материал. Нека дадем пример за система от упражнения по темата: „Квадратът на сбора и

разлика от две числа.

Аз ла тази основна система от упражнения свършва. Такава система трябва да осигури усвояването на основния материал.

Следващите упражнения (17-19) позволяват на учениците да се съсредоточат върху типичните грешки и допринасят за развитието на интереса и творческите им способности.

Във всеки случай броят на упражненията в системата може да бъде по-малък или по-голям, но последователността на тяхното изпълнение трябва да бъде една и съща.

За да опишете различни системи от задачи в методологията на математиката, използвайте и понятието цикъл на упражнения. Цикълът от упражнения се характеризира с това, че няколко аспекта на изучаване и методи за подреждане на материала се комбинират в последователност от упражнения. Във връзка с идентични трансформации идеята за цикъл може да бъде дадена по следния начин.

Цикъл от упражнения е свързан с изучаването на една идентичност, около която се групират други идентичности, които са в естествена връзка с нея. Функцията „спиране на цикъла заедно с изпълнителен включва задачи, които изискват разпознае-< ii в нито приложимостта на разглежданата идентичност. Изследваната идентичност се използва за извършване на изчисления в различни цифрови области.

Задачите във всеки цикъл са разделени на две групи. Да се първи включват задачи, които се изпълняват при първоначалното запознаване със самоличността. Те се изпълняват в няколко урока, обединени от една тема. Втора група упражнението свързва изследваната идентичност с различни приложения. Упражненията в тази група обикновено са разпръснати по различни теми.

Описаната структура на цикъла се отнася до етапа на формиране на умения за прилагане на конкретни видове трансформации. На последния етап - (Тан на синтеза, циклите се модифицират. първо, двете групи shdapia се комбинират, образувайки "размотан" цикъл , и запишете най-простите по отношение на формулировката или сложността на изпълнение от първата група. Останалите видове задачи стават по-трудни. второ, има сливане на цикли, свързани с различни идентичности, поради което се увеличава ролята на действията за разпознаване на приложимостта на една или друга идентичност.

Нека вземем конкретен пример за цикъл.

Пример. Работен цикъл за идентичност x -y 2 = (x-y)(x + y).

Изпълнението на първата група задачи от този цикъл се извършва по следния начин:

условия. Учениците току-що се запознаха с формулировката на тъждеството (или по-скоро с две формулировки: „Разликата на квадратите на два израза е равна на произведението на сбора и разликата на тези изрази“ и „Произведението на сбора и разликата на два израза е равна на разликата на квадратите на тези изрази”), записването му под формата на формула, доказателство . След това са дадени няколко примера за използване на трансформация, базирана на тази идентичност. Накрая учениците започват сами да изпълняват упражненията.

Първа група задачи

Втората група задачи

(Задачите на всяка група могат да бъдат представени на учениците с помощта на мултимедиен проектор)

Нека направим методически анализ на тази система от типове задачи.

Задачата a0 има за цел да фиксира структурата на изследваната идентичност. Това се постига чрез замяна на буквите (x и y)в обозначението на идентичността в други букви. Задачи от този тип ви позволяват да изясните връзката между словесното изразяване и символната форма на идентичност.

Задача а 2) е насочена към установяване на връзката на това тъждество с бройната система. Изразът, който се преобразува тук, не е чисто буквален, а буквено-цифров. За да се опишат извършените действия, е необходимо да се използва понятието заместванебукви по цифри в самоличността. Развитие на умения

използването на операцията за заместване и задълбочаването на идеята за нея се извършва при изпълнение на задачи от типа r 2).

Следващата стъпка в овладяването на идентичността е илюстрирана от задача а). В новата задача изразът, предложен за преобразуване, няма формата на разделяне на квадрати; трансформацията става възможна само когато. h(n1k ще забележи, че числото 121 може да бъде представено като квадрат на число. Така тази задача се изпълнява не на една стъпка, а на две: на платнотоiiiuима признание за възможността този израз да се сведе до mdf на разликата на квадратите, на вторияизвършва се трансформация с помощта на идентичността.

По време на първите етапи на овладяване на идентичността всяка стъпка се записва:

I "I / s 2 \u003d 11 2 - & 2 \u003d (11 - £) (11 + да се),в бъдеще някои операции за разпознаване се извършват от учениците устно.

В пример dd) се изисква да се установят връзки между тази идентичност и други, свързани с действия с мономи; д 3) два пъти трябва да се приложи тъждеството за разликата на квадратите; в) учениците ще трябва да преодолеят определена психологическа бариера, упражнявайки достъп до областта на ирационалните числа.

Задачите от тип b) са насочени към развиване на умения за замяна на продукта (, v - y)(x + y)към разликата х 2 - при 2 . Задачите от тип c) играят подобна роля. В примери от тип d) се изисква да се избере една от посоките на трансформациите.

Като цяло задачите на първата група са насочени към овладяване на структурата на идентичността, операциите за заместване в най-простите най-важни случаи и идеите за обратимостта на трансформациите, извършвани от идентичността,

Основните характеристики и цели, разкрити от нас при разглеждането на първия | руините на задачите на цикъла, се отнасят до всеки цикъл от упражнения, които формират щиковете на използването на идентичност. За всяка нововъведена peri-im идентичност, групата от задачи в цикъла трябва да запази функциите, описани тук; единствената разлика е в броя на задачите.

1 Втората група задачи от цикъла, за разлика от първата, е насочена към възможно най-пълното използване и отчитане на спецификата на тази конкретна идентичност t i pi. Задачите от тази група предполагат вече формирани умения за използване на тъждеството за разликата на квадратите (в най-простите случаи); cpi, задачите на тази група са да задълбочи разбирането на идентичността чрез разглеждане на нейните различни приложения в различни ситуации, в комбинация с използването на материал, свързан с други теми от курса по математика.

Разгледайте решението на задача l):

x 3 - 4x \u003d 15 o x 3 - 9x = 15 - 5x o x (x ~ 3) (x + 3) \u003d 5 (3 -x) ox \u003d 3, или \{\ 1-3) = -5. Уравнението x(x + 3) = -5 следователно няма реални корени \ 3 е единственият корен на уравнението.

Виждаме, че използването на тъждеството за разликата на квадратите е част от частта n и I в решаването на примера, което е водещата идея за извършване на трансформации.

Циклите на задачите, свързани с идентичности за елементарни функции, имат свои собствени характеристики, които се дължат на факта, че, първо. съответните идентичности се изучават във връзка с изследването на функционален материал и, /u>-“touykh,те се появяват по-късно от идентичностите на първата група и се изучават с

използване на вече формирани умения за извършване на идентични трансформации. Значителна част от използването на трансформации на идентичност, свързани с елементарни функции, се пада върху решаването на ирационални и трансцендентни уравнения. Циклите, свързани с асимилацията на идентичностите, включват само най-простите уравнения, но вече тук е препоръчително да се работи по овладяването на метода за решаване на такива уравнения: намаляването му чрез замяна на неизвестното с алгебрично уравнение.

Последователността от стъпки за това решение е следната:

а) намерете функция<р, для которой данное уравнение/(х) = 0 представимо в виде F (ср(лг)) = 0;

б) направете замяна при= cp(x) и решаване на уравнението F(y) = 0;

в) решете всяко от уравненията <р(х) = където (при k ) е набор от корени на уравнението F(y) = 0.

Нов въпрос, който трябва да се вземе предвид при изучаването на идентичности с елементарни функции, е разглеждането на домейна на дефиницията. Ето примери за три задачи:

а) Начертайте функцията y \u003d 4 log 2 x.

б) Решете уравнението lg х + lg (x - 3) = 1.

в) На кой набор е формулата lg (x - 5) + lg (x + 5) = lg ( х 2 - 25) е идентичност?

Типична грешка, която учениците правят при решаването на задача а) е използването на равенството а 1-во изключващо условие б > 0. В този случай в резултат желаната графика се оказва под формата на парабола вместо правилния отговор - дясното разклонение на параболата. В задача б) е показан един от източниците за получаване на сложни системи от уравнения и неравенства, когато е необходимо да се вземат предвид областите на дефиниране на функциите, а в задача в) - упражнение, което може да служи като подготвително упражнение.

Идеята, която обединява тези задачи - необходимостта от изучаване на областта на дефиниране на функция, може да бъде разкрита само чрез сравняване на такива задачи, които са разнородни по външна форма. Значението на тази идея за математиката е много голямо. Може да послужи като основа за няколко цикъла от упражнения – за всеки от класовете елементарни функции.

В заключение отбелязваме, че изучаването на идентични трансформации в училище е от голямо значение. образователна стойност. Способността да се правят някои изчисления, да се извършват изчисления, дълго време с непрестанно внимание да се следва някакъв обект е необходима за хора от голямо разнообразие от професии, независимо дали работят в областта на умствения или физическия труд. Спецификата на раздела „Тъждествени преобразувания на изрази“ е такава, че разкрива широки възможности за развиване на тези важни професионално значими умения у учениците.

Наред с изучаването на операциите и техните свойства в алгебрата, те изучават такива понятия като израз, уравнение, неравенство . Първоначалното запознаване с тях се случва в началния курс по математика. Те се въвеждат по правило без строги дефиниции, най-често нагледно, което налага учителят не само да бъде много внимателен при използването на термините, обозначаващи тези понятия, но и да познава редица техни свойства. Ето защо основната задача, която си поставяме, когато започваме да изучаваме материала на този параграф, е да изясним и задълбочим знанията за изрази (числови и с променливи), числови равенства и числени неравенства, уравнения и неравенства.

Изучаването на тези понятия е свързано с използването на математически език, то се отнася до изкуствени езици, които са създадени и разработени заедно с определена наука. Като всеки друг математически език, той има своя собствена азбука. В нашия курс тя ще бъде представена частично, поради необходимостта да се обърне повече внимание на връзката между алгебра и аритметика. Тази азбука включва:

1) числата 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; с тяхна помощ числата се записват по специални правила;

2) знаци на операции +, -, , :;

3) знаци за връзка<, >, =, М;

4) малки букви от латинската азбука, те се използват за обозначаване на числа;

5) скоби (кръгли, къдрави и т.н.), те се наричат ​​технически знаци.

С помощта на тази азбука в алгебрата се образуват думи, като се наричат ​​изрази, а от думи се получават изречения – числови равенства, числови неравенства, уравнения, неравенства с променливи.

Както знаете, записи 3 + 7, 24: 8, 3 × 2 - 4, (25 + 3)× 2-17 се наричат числови изрази. Те се образуват от числа, знаци за действие, скоби. Ако извършим всички действия, посочени в израза, получаваме извикано число стойността на числов израз . И така, стойността на числовия израз е 3 × 2 - 4 е равно на 2.

Има числови изрази, чиито стойности не могат да бъдат намерени. Такива изрази се казват нямат смисъл .

Например, израз 8: (4 - 4) няма смисъл, тъй като стойността му не може да бъде намерена: 4 - 4 = 0 и деленето на нула е невъзможно. Изразът 7-9 също няма смисъл, ако го разглеждаме в набор от естествени числа, тъй като стойностите на израза 7-9 не могат да бъдат намерени в този набор.

Помислете за нотацията 2a + 3. Тя се формира от числа, знаци за действие и буквата a. Ако вместо a заместим числа, тогава ще се получат различни числови изрази:

ако a = 7, тогава 2 × 7 + 3;

ако a = 0, тогава 2 × 0 + 3;

ако a = - 4, тогава 2 × (- 4) + 3.

В нотацията 2a + 3 се нарича такава буква a променлива , а самият запис 2a + 3 - променлив израз.

Променлива в математиката, като правило, се обозначава с всяка малка буква от латинската азбука. В началното училище се използват и други символи за обозначаване на променлива в допълнение към буквите, като . Тогава изразът с променлива има формата: 2× + 3.

Всеки израз с променлива съответства на набор от числа, чието заместване води до цифров израз, който има смисъл. Този набор се нарича обхват на изразяване .

Например,областта на израза 5: (x - 7) се състои от всички реални числа, с изключение на числото 7, тъй като за x = 7 изразът 5: (7 - 7) няма значение.

В математиката се считат изрази, които съдържат една, две или повече променливи.

Например, 2a + 3 е израз с една променлива и (3x + 8y) × 2 е израз с три променливи. За да получите числен израз от израз с три променливи, вместо всяка променлива, заменете числата, които принадлежат към обхвата на израза.

И така, разбрахме как се образуват числови изрази и изрази с променливи от азбуката на математическия език. Ако направим аналогия с руския език, тогава изразите са думите на математическия език.

Но, използвайки азбуката на математическия език, е възможно да се формират такива, например записи: (3 + 2)) - × 12 или 3x - y: +) 8, което не може да се нарече нито числов израз, нито израз с променлива. Тези примери показват, че описанието - от кои знаци от азбуката на изразите на математическия език се образуват, числови и с променливи, не е дефиниция на тези понятия. Нека дадем дефиниция на числов израз (израз с променливи се дефинира по подобен начин).

Определение.Ако f и q са числови изрази, тогава (f) + (q), (f) - (q), (f) × (q), (f) (q) са числови изрази. Всяко число се счита за числов израз.

Ако тази дефиниция се следва точно, тогава ще трябва да напишете твърде много скоби, например (7) + (5) или (6): (2). За да съкратим нотацията, се съгласихме да не пишем скоби, ако се добавят или изваждат няколко израза и тези операции се извършват отляво надясно. По същия начин не се пишат скоби, когато се умножават или делят няколко числа, а тези операции се извършват в ред отляво надясно.

Например, пишат така: 37 - 12 + 62 - 17 + 13 или 120:15-7:12.

Освен това се съгласихме първо да изпълним действията от втория етап (умножение и деление), а след това действията от първия етап (събиране и изваждане). Следователно изразът (12-4:3) + (5-8:2-7) се записва по следния начин: 12 - 4: 3 + 5 - 8: 2 - 7.

Задача.Намерете стойността на израза 3x (x - 2) + 4(x - 2) за x = 6.

Решение

1 начин. Заменете числото 6 вместо променлива в този израз: 3 × 6-(6 - 2) + 4 × (6 - 2). За да намерим стойността на получения числов израз, извършваме всички посочени действия: 3 × 6 × (6 - 2) + 4 × (6-2) = 18 × 4 + 4 × 4 = 72 + 16 = 88. Следователно , кога х= 6 стойността на израза 3x(x-2) + 4(x-2) е 88.

2 начина. Преди да заместим числото 6 в този израз, нека го опростим: Zx (x - 2) + 4 (x - 2) = (Х - 2)(3x + 4). И след това, замествайки в получения израз вместо хномер 6, направете следното: (6 - 2) × (3 × 6 + 4) = 4x (18 + 4) = 4x22 = 88.

Нека обърнем внимание на следното: както в първия метод за решаване на задачата, така и във втория сменихме един израз с друг.

Например, изразът 18 × 4 + 4 × 4 беше заменен с израза 72 + 16, а изразът 3x (x - 2) + 4(x - 2) - с израза (Х - 2)(3x + 4) и тези замествания водят до същия резултат. В математиката, описвайки решението на този проблем, те казват, че сме изпълнили идентични трансформации изрази.

Определение.Два израза се наричат ​​идентично равни, ако за всякакви стойности на променливите от домейна на изразите съответните им стойности са равни.

Примери за идентично равни изрази са изразите 5(x + 2) и 5x+ 10, защото за всякакви реални стойности хстойностите им са равни.

Ако два израза, които са идентично равни в определено множество, се съединят със знак за равенство, тогава получаваме изречение, наречено идентичност на този комплект.

Например, 5(x + 2) = 5x + 10 е идентичност в множеството от реални числа, тъй като за всички реални числа стойностите на израза 5(x + 2) и 5x + 10 са еднакви. Използвайки общата нотация на квантора, тази идентичност може да се запише по следния начин: (" x н R) 5(x + 2) = 5x + 10. Истинските числови равенства също се считат за идентичности.

Извиква се замяна на израз с друг, който е идентично равен на него в някакво множество идентичното преобразуване на дадения израз върху това множество.

И така, замествайки израза 5(x + 2) с израза 5x + 10, който е идентично равен на него, извършихме идентичното преобразуване на първия израз. Но как при дадени два израза да разберем дали те са идентично равни или не? Намерете съответните стойности на изрази, като заместите конкретни числа за променливи? Дълго и не винаги е възможно. Но тогава какви са правилата, които трябва да се спазват при извършване на идентични трансформации на изрази? Има много от тези правила, сред тях са свойствата на алгебричните операции.

Задача.Разложете израза ax - bx + ab - b 2 .

Решение.Нека групираме членовете на този израз на две (първият с втория, третият с четвъртия): ax - bx + ab - b 2 \u003d (ax-bx) + (ab-b 2). Тази трансформация е възможна въз основа на свойството за асоциативност на добавяне на реални числа.

Изваждаме общия фактор в получения израз от всяка скоба: (ax - bx) + (ab - b 2) \u003d x (a - b) + b (a - b) - тази трансформация е възможна въз основа на разпределителната свойство на умножението по отношение на изваждането на реални числа.

В получения израз термините имат общ фактор, изваждаме го от скоби: x (a - b) + b (a - b) \u003d (a - b) (x - b). В основата на извършеното преобразуване е разпределителното свойство на умножението спрямо събирането.

И така, ax - bx + ab - b 2 \u003d (a - b) (x - b).

В началния курс по математика по правило се извършват само идентични трансформации на числови изрази. Теоретичната основа на такива трансформации са свойствата на събиране и умножение, различни правила: добавяне на сума към число, число към сума, изваждане на число от сума и т.н.

Например, за да намерите произведението от 35 × 4, трябва да извършите трансформации: 35 × 4 = (30 + 5) × 4 = 30 × 4 + 5 × 4 = 120 + 20 = 140. Извършените преобразувания се основават на: разпределителното свойство на умножението спрямо събирането; принципът на записване на числата в десетичната бройна система (35 = 30 + 5); правила за умножение и събиране на естествени числа.

Нека са дадени два алгебрични израза:

Нека направим таблица със стойностите на всеки от тези изрази за различни числени стойности на буквата x.

Виждаме, че за всички онези стойности, които бяха дадени на буквата x, стойностите на двата израза се оказаха равни. Същото ще бъде вярно за всяка друга стойност на x.

За да проверим това, трансформираме първия израз. Въз основа на закона за разпределение пишем:

След като извършим посочените операции върху числата, получаваме:

И така, първият израз, след неговото опростяване, се оказа абсолютно същият като втория израз.

Сега е ясно, че за всяка стойност на x, стойностите на двата израза са равни.

Изрази, чиито стойности са равни за всякакви стойности на включените в тях букви, се наричат ​​идентично равни или идентични.

Следователно те са идентични изрази.

Нека направим една важна забележка. Да вземем изрази:

След като съставим таблица, подобна на предишната, ще се уверим, че и двата израза за всяка стойност на x, с изключение на имат равни числени стойности. Само когато вторият израз е равен на 6, а първият губи значението си, тъй като знаменателят е нула. (Припомнете си, че не можете да делите на нула.) Можем ли да кажем, че тези изрази са идентични?

По-рано се съгласихме, че всеки израз ще се разглежда само за допустими стойности на букви, тоест за тези стойности, за които изразът не губи значението си. Това означава, че тук, когато сравняваме два израза, ние вземаме предвид само тези буквени стойности, които са валидни и за двата израза. Следователно трябва да изключим стойността. И тъй като за всички други стойности на x и двата израза имат една и съща числена стойност, имаме право да ги считаме за идентични.

Въз основа на казаното даваме следната дефиниция на тъждествените изрази:

1. Изразите се наричат ​​идентични, ако имат еднакви числени стойности за всички допустими стойности на буквите, включени в тях.

Ако свържем два еднакви израза със знак за равенство, тогава получаваме тъждество. означава:

2. Идентичността е равенство, което е вярно за всички допустими стойности на буквите, включени в него.

Вече сме се сблъсквали с идентичности преди. Така например всички равенства са тъждества, с които изразихме основните закони на събирането и умножението.

Например равенства, изразяващи комутативния закон на събиране

и асоциативния закон на умножението

са валидни за всякакви стойности на буквите. Следователно тези равенства са тъждества.

Всички истински аритметични равенства също се считат за идентичности, например:

В алгебрата често трябва да се замени израз с друг, който е идентичен с него. Нека, например, е необходимо да се намери стойността на израза

Ще улесним значително изчисленията, ако заменим дадения израз с идентичен с него израз. Въз основа на закона за разпределение можем да напишем:

Но числата в скоби дават сбор от 100. И така, имаме идентичност:

Замествайки 6.53 вместо a от дясната му страна, веднага (в ума) намираме числената стойност (653) на този израз.

Замяната на един израз с друг, идентичен с него, се нарича тъждествено преобразуване на този израз.

Спомнете си, че всеки алгебричен израз за всякакви допустими стойности на буквите е някои

номер. От това следва, че всички закони и свойства на аритметичните операции, дадени в предишната глава, са приложими към алгебричните изрази. И така, прилагането на законите и свойствата на аритметичните операции преобразува даден алгебричен израз в израз, който е идентичен с него.