حتى، إذا كان ما يلي صحيحًا لجميع \(x\) من مجال التعريف الخاص به: \(f(-x)=f(x)\) .

الرسم البياني للدالة الزوجية متماثل حول المحور \(y\):

مثال: الدالة \(f(x)=x^2+\cos x\) زوجية، لأن \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) يتم استدعاء الدالة \(f(x)\). غريب، إذا كان ما يلي صحيحًا لجميع \(x\) من مجال التعريف الخاص به: \(f(-x)=-f(x)\) .

الرسم البياني للدالة الفردية متماثل حول الأصل:

مثال: الدالة \(f(x)=x^3+x\) فردية لأن \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) تسمى الوظائف غير الزوجية أو الفردية بالدوال ذات الشكل العام. يمكن دائمًا تمثيل مثل هذه الدالة بشكل فريد كمجموع دالة زوجية وفردية.

على سبيل المثال، الدالة \(f(x)=x^2-x\) هي مجموع الدالة الزوجية \(f_1=x^2\) والدالة الفردية \(f_2=-x\) .

\(\المثلث الأسود\) بعض الخصائص:

1) حاصل ضرب وحاصل وظيفتين متساويتين في التكافؤ هو دالة زوجية.

2) حاصل ضرب وحاصل وظيفتين لهما تكافؤات مختلفة هو دالة فردية.

3) مجموع وفرق الدوال الزوجية - الدالة الزوجية.

4) مجموع وفرق الدوال الفردية - دالة فردية.

5) إذا كانت \(f(x)\) دالة زوجية، فإن المعادلة \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) لها جذر فريد إذا وفقط عندما \( س =0\) .

6) إذا كانت \(f(x)\) دالة زوجية أو فردية، والمعادلة \(f(x)=0\) لها جذر \(x=b\)، فمن الضروري أن يكون لهذه المعادلة جذر ثاني الجذر \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) تسمى الدالة \(f(x)\) بشكل دوري على \(X\) إذا كان ما يلي بالنسبة لبعض الأرقام \(T\ne 0\) هو: \(f(x)=f( x+T) \) ، حيث \(x, x+T\in X\) . أصغر \(T\) التي تتحقق فيها هذه المساواة تسمى الفترة الرئيسية (الرئيسية) للدالة.

تحتوي الدالة الدورية على أي رقم على شكل \(nT\) ، حيث \(n\in \mathbb(Z)\) ستكون أيضًا نقطة.

مثال: أي دالة مثلثية تكون دورية؛
بالنسبة للدوال \(f(x)=\sin x\) و \(f(x)=\cos x\) الدورة الرئيسية تساوي \(2\pi\)، بالنسبة للدوال \(f(x )=\mathrm( tg)\,x\) و \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) الفترة الرئيسية تساوي \(\pi\) .

من أجل إنشاء رسم بياني لدالة دورية، يمكنك رسم الرسم البياني الخاص بها على أي مقطع بطول \(T\) (الفترة الرئيسية)؛ ثم يكتمل الرسم البياني للدالة بأكملها عن طريق تحويل الجزء المبني بعدد صحيح من الفترات إلى اليمين واليسار:

\(\blacktriangleright\) المجال \(D(f)\) للدالة \(f(x)\) هو مجموعة تتكون من جميع قيم الوسيطة \(x\) التي تكون الدالة منطقية لها (ويعرف).

مثال: الدالة \(f(x)=\sqrt x+1\) لها مجال تعريف: \(x\in

المهمة 1 #6364

مستوى المهمة: يساوي امتحان الدولة الموحدة

عند أي قيم للمعلمة \(a\) تقوم المعادلة

لديه حل واحد؟

لاحظ أنه نظرًا لأن \(x^2\) و \(\cos x\) دالتان زوجيتان، إذا كانت المعادلة لها جذر \(x_0\) ، فسيكون لها أيضًا جذر \(-x_0\) .
وبالفعل، ليكن \(x_0\) جذراً، أي المساواة \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\)يمين. لنستبدل \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

وبالتالي، إذا كان \(x_0\ne 0\) ، فسيكون للمعادلة بالفعل جذران على الأقل. ولذلك، \(x_0=0\) . ثم:

لقد حصلنا على قيمتين للمعلمة \(a\) . لاحظ أننا استخدمنا حقيقة أن \(x=0\) هو بالضبط جذر المعادلة الأصلية. لكننا لم نستخدم أبدًا حقيقة أنه الوحيد. لذلك، تحتاج إلى استبدال القيم الناتجة للمعلمة \(a\) في المعادلة الأصلية والتحقق من أن \(a\) الجذر \(x=0\) المحدد سيكون فريدًا حقًا.

1) إذا كانت \(a=0\) فإن المعادلة ستكون على الشكل \(2x^2=0\) . من الواضح أن هذه المعادلة لها جذر واحد فقط \(x=0\) . ولذلك فإن القيمة \(a=0\) تناسبنا.

2) إذا كان \(a=-\mathrm(tg)\,1\) فستأخذ المعادلة الشكل \ دعونا نعيد كتابة المعادلة في النموذج \ لأن \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\)، الذي - التي \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). وبالتالي فإن قيم الجانب الأيمن من المعادلة (*) تنتمي إلى القطعة \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

بما أن \(x^2\geqslant 0\) ، فإن الجانب الأيسر من المعادلة (*) أكبر من أو يساوي \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

وبالتالي، فإن المساواة (*) لا يمكن أن تكون صحيحة إلا عندما يكون طرفا المعادلة متساويين مع \(\mathrm(tg)^2\,1\) . وهذا يعني ذلك \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\]ولذلك فإن القيمة \(a=-\mathrm(tg)\,1\) تناسبنا.

إجابة:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

المهمة 2 #3923

مستوى المهمة: يساوي امتحان الدولة الموحدة

ابحث عن جميع قيم المعلمة \(a\) ، لكل منها الرسم البياني للدالة \

متناظرة حول الأصل.

إذا كان الرسم البياني للدالة متماثلًا بالنسبة إلى الأصل، فإن هذه الدالة تكون فردية، أي أن \(f(-x)=-f(x)\) ينطبق على أي \(x\) من المجال من تعريف الدالة. وبالتالي، من الضروري العثور على قيم المعلمات التي \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(محاذاة) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ الخطيئة \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(محاذاة)\]

يجب أن تتحقق المعادلة الأخيرة لجميع \(x\) من مجال \(f(x)\)، لذلك، \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

إجابة:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

المهمة 3 #3069

مستوى المهمة: يساوي امتحان الدولة الموحدة

أوجد جميع قيم المعلمة \(a\) ، لكل منها المعادلة \ لها 4 حلول، حيث \(f\) دالة دورية زوجية ذات الفترة \(T=\dfrac(16)3\) محددة على سطر الأعداد بالكامل و \(f(x)=ax^2\) لـ \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(مهمة من المشتركين)

بما أن \(f(x)\) دالة زوجية، فإن رسمها البياني يكون متماثلًا حول المحور الإحداثي، لذلك عندما \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . وهكذا متى \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\)، وهذا مقطع بطول \(\dfrac(16)3\) ، دالة \(f(x)=ax^2\) .

1) دع \(a>0\) . بعد ذلك سيبدو الرسم البياني للدالة \(f(x)\) كما يلي:


ثم، لكي يكون للمعادلة 4 حلول، من الضروري أن يمر الرسم البياني \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) عبر النقطة \(A\) :


لذلك، \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a) +2)=-32a\end(محاذاة)\end(مجمعة)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(متجمع)\begin(محاذاة) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(محاذاة) \end( مجمعة)\صحيح.\]بما أن \(a>0\) ، فإن \(a=\dfrac(18)(23)\) مناسب.

2) دع \(أ<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


من الضروري أن يمر الرسم البياني \(g(x)\) عبر النقطة \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23) )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(محاذاة) \end(مجمع)\right.\]منذ \(أ<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) الحالة التي تكون فيها \(a=0\) غير مناسبة، حيث أن \(f(x)=0\) لجميع \(x\) و \(g(x)=2\sqrtx\) و المعادلة سيكون لها جذر واحد فقط

إجابة:

\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

المهمة 4 #3072

مستوى المهمة: يساوي امتحان الدولة الموحدة

أوجد جميع قيم \(a\) التي المعادلة لكل منها \

لديه جذر واحد على الأقل.

(مهمة من المشتركين)

دعونا نعيد كتابة المعادلة في النموذج \ وفكر في وظيفتين: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) و \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
الدالة \(g(x)\) زوجية ولها نقطة صغرى \(x=0\) (و \(g(0)=49\) ).
الدالة \(f(x)\) لـ \(x>0\) آخذة في التناقص، ولـ \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
في الواقع، عندما \(x>0\) سيتم فتح الوحدة الثانية بشكل إيجابي (\(|x|=x\) )، لذلك، بغض النظر عن كيفية فتح الوحدة الأولى، \(f(x)\) ستكون متساوية إلى \( kx+A\) ، حيث \(A\) هو تعبير \(a\) و \(k\) يساوي \(-9\) أو \(-3\) . عندما \(س<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
لنجد قيمة \(f\) عند النقطة القصوى: \

لكي يكون للمعادلة حل واحد على الأقل، من الضروري أن تحتوي الرسوم البيانية للدالتين \(f\) و \(g\) على نقطة تقاطع واحدة على الأقل. لذلك، أنت بحاجة إلى: \ \\]

إجابة:

\(أ\في \(-7\)\كوب\)

المهمة 5 #3912

مستوى المهمة: يساوي امتحان الدولة الموحدة

ابحث عن جميع قيم المعلمة \(a\) التي المعادلة لكل منها \

لديه ستة حلول مختلفة.

لنقم بالاستبدال \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . ثم سوف تأخذ المعادلة الشكل \ سنكتب تدريجيًا الشروط التي بموجبها سيكون للمعادلة الأصلية ستة حلول.
لاحظ أن المعادلة التربيعية \((*)\) يمكن أن تحتوي على حلين كحد أقصى. أي معادلة تكعيبية \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) لا يمكن أن تحتوي على أكثر من ثلاثة حلول. لذلك، إذا كانت المعادلة \((*)\) لها حلين مختلفين (موجب!، حيث أن \(t\) يجب أن تكون أكبر من الصفر) \(t_1\) و \(t_2\) ، ثم عن طريق إجراء العكس بالتعويض نحصل على: \[\left[\begin(gathered)\begin(محاذاة) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(محاذاة)\end(مجمع)\right.\]نظرًا لأنه يمكن تمثيل أي رقم موجب كـ \(\sqrt2\) إلى حد ما، على سبيل المثال، \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\)، ثم ستتم إعادة كتابة المعادلة الأولى للمجموعة بالشكل \ كما قلنا سابقًا، أي معادلة تكعيبية ليس لها أكثر من ثلاثة حلول، وبالتالي فإن كل معادلة في المجموعة لن يكون لها أكثر من ثلاثة حلول. وهذا يعني أن المجموعة بأكملها لن تحتوي على أكثر من ستة حلول.
هذا يعني أنه لكي يكون للمعادلة الأصلية ستة حلول، يجب أن يكون للمعادلة التربيعية \((*)\) حلين مختلفين، وكل معادلة تكعيبية ناتجة (من المجموعة) يجب أن يكون لها ثلاثة حلول مختلفة (وليس حل واحد من يجب أن تتزامن معادلة واحدة مع أي -بقرار من الثانية!)
من الواضح أنه إذا كانت المعادلة التربيعية \((*)\) لها حل واحد، فلن نحصل على ستة حلول للمعادلة الأصلية.

وهكذا تتضح خطة الحل. دعونا نكتب الشروط التي يجب استيفاؤها نقطة بنقطة.

1) لكي يكون للمعادلة \(*)\) حلان مختلفان، يجب أن يكون مميزها موجبًا: \

2) ومن الضروري أيضًا أن يكون كلا الجذرين موجبًا (بما أن \(t>0\) ). إذا كان حاصل ضرب جذرين موجبًا ومجموعهما موجبًا، فإن الجذور نفسها ستكون موجبة. لذلك، أنت بحاجة إلى: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

وهكذا، فقد قدمنا ​​لأنفسنا بالفعل جذرين إيجابيين مختلفين \(t_1\) و \(t_2\) .

3) دعونا ننظر إلى هذه المعادلة \ لماذا \(t\) سيكون له ثلاثة حلول مختلفة؟
خذ بعين الاعتبار الدالة \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
يمكن تحليلها إلى عوامل: \ ولذلك فإن أصفارها هي: \(x=-1;2\) .
إذا وجدنا المشتقة \(f"(x)=3x^2-6x\) ، فسنحصل على نقطتين متطرفتين \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
لذلك، يبدو الرسم البياني كما يلي:


نرى أن أي خط أفقي \(y=k\) حيث \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\)كان لديه ثلاثة حلول مختلفة، فمن الضروري أن \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
وبالتالي، تحتاج إلى: \[\تبدأ (الحالات) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] لنلاحظ أيضًا على الفور أنه إذا كان الرقمان \(\t_1\) و\(t_2\) مختلفين، فسيكون الرقمان \(\log_(\sqrt2)t_1\) و\(\log_(\sqrt2)t_2\) مختلفة، وهو ما يعني المعادلات \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)و \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)سيكون لها جذور مختلفة.
يمكن إعادة كتابة النظام \(**)\) على النحو التالي: \[\تبدأ (الحالات) 1

وبالتالي، فقد قررنا أن كلا جذري المعادلة \((*)\) يجب أن يقع في الفترة \((1;4)\) . كيف أكتب هذا الشرط؟
لن نكتب الجذور بشكل صريح.
خذ بعين الاعتبار الدالة \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . الرسم البياني الخاص به عبارة عن قطع مكافئ له فروع تصاعدية، وله نقطتا تقاطع مع المحور السيني (كتبنا هذا الشرط في الفقرة 1)). كيف يجب أن يبدو الرسم البياني الخاص به بحيث تكون نقاط التقاطع مع المحور السيني في الفاصل الزمني \((1;4)\)؟ لذا:


أولاً، يجب أن تكون قيم \(g(1)\) و \(g(4)\) للدالة عند النقطتين \(1\) و \(4\) موجبة، وثانياً، يجب أن يكون رأس الدالة القطع المكافئ \(t_0\ ) يجب أن يكون أيضًا في الفاصل الزمني \((1;4)\) . لذلك يمكننا كتابة النظام: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) دائمًا له جذر واحد على الأقل \(x=0\) . وهذا يعني أنه لتحقيق شروط المشكلة لا بد من المعادلة \

كان له أربعة جذور مختلفة، مختلفة عن الصفر، تمثل، مع \(x=0\)، تقدمًا حسابيًا.

لاحظ أن الدالة \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) زوجية، مما يعني أنه إذا كان \(x_0\) هو جذر المعادلة \( (*)\ ) ، فسيكون \(-x_0\) هو جذره أيضًا. فمن الضروري أن تكون جذور هذه المعادلة أرقامًا مرتبة تصاعديًا: \(-2d, -d, d, 2d\) (ثم \(d>0\)). عندها ستشكل هذه الأرقام الخمسة تقدمًا حسابيًا (مع الفرق \(d\)).

لكي تكون هذه الجذور هي الأرقام \(-2d, -d, d, 2d\) ، من الضروري أن تكون الأرقام \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) هي جذور المعادلة \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . ثم، وفقا لنظرية فييتا:

دعونا نعيد كتابة المعادلة في النموذج \ وفكر في وظيفتين: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) و \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
الدالة \(g(x)\) لها نقطة قصوى \(x=0\) (و \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). المشتقة الصفرية: \(x=0\) . عندما \(س<0\) имеем: \(g">0\) ، لـ \(x>0\) : \(g"<0\) .
الدالة \(f(x)\) لـ \(x>0\) آخذة في التزايد، ولـ \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
في الواقع، عندما \(x>0\) سيتم فتح الوحدة الأولى بشكل إيجابي (\(|x|=x\)) وبالتالي، بغض النظر عن كيفية فتح الوحدة الثانية، \(f(x)\) ستكون متساوية إلى \( kx+A\) ، حيث \(A\) هو التعبير عن \(a\) و \(k\) يساوي إما \(13-10=3\) أو \(13+10 =23\) . عندما \(س<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
لنجد قيمة \(f\) عند النقطة الصغرى: \

لكي يكون للمعادلة حل واحد على الأقل، من الضروري أن تحتوي الرسوم البيانية للدالتين \(f\) و \(g\) على نقطة تقاطع واحدة على الأقل. لذلك، أنت بحاجة إلى: \ وبحل هذه المجموعة من الأنظمة نحصل على الجواب: \\]

إجابة:

\(أ\في \(-2\)\كوب\)

تعد المساواة والغرابة في الدالة إحدى خصائصها الرئيسية، ويحتل التكافؤ جزءًا مثيرًا للإعجاب من مقرر الرياضيات بالمدرسة. إنه يحدد إلى حد كبير سلوك الوظيفة ويسهل بشكل كبير بناء الرسم البياني المقابل.

دعونا نحدد تكافؤ الوظيفة. بشكل عام، يتم أخذ الدالة قيد الدراسة في الاعتبار حتى لو تبين أن القيم المقابلة للمتغير المستقل (x) الموجود في مجال تعريفها متساوية.

دعونا نعطي تعريفا أكثر صرامة. خذ بعين الاعتبار بعض الوظائف f (x)، التي تم تعريفها في المجال D. وستكون كذلك حتى لو كانت لأي نقطة x تقع في مجال التعريف:

• -x (النقطة المقابلة) تقع أيضًا في هذا النطاق،

• و(-س) = و(خ).

من التعريف أعلاه يتبع الشرط اللازم لمجال تعريف مثل هذه الوظيفة، وهو التماثل بالنسبة إلى النقطة O، التي هي أصل الإحداثيات، لأنه إذا كانت هناك نقطة ب موجودة في مجال تعريف زوجية الدالة، فإن النقطة المقابلة b تقع أيضًا في هذا المجال. مما سبق، نستنتج أن الدالة الزوجية لها شكل متماثل بالنسبة للمحور الإحداثي (Oy).

كيفية تحديد تكافؤ الوظيفة في الممارسة العملية؟

دعها تحدد باستخدام الصيغة h(x)=11^x+11^(-x). باتباع الخوارزمية التي تتبع التعريف مباشرة، نقوم أولاً بفحص مجال التعريف الخاص به. ومن الواضح أنه محدد لجميع قيم الوسيطة، أي استيفاء الشرط الأول.

والخطوة التالية هي استبدال القيمة المعاكسة (-x) للوسيطة (x).
نحن نحصل:
ح(-س) = 11^(-س) + 11^س.
بما أن الجمع يفي بالقانون التبادلي (التبادلي)، فمن الواضح أن h(-x) = h(x) والاعتماد الوظيفي المعطى زوجي.

دعونا نتحقق من تكافؤ الدالة h(x)=11^x-11^(-x). باتباع نفس الخوارزمية، نحصل على h(-x) = 11^(-x) -11^x. بإخراج الطرح، في النهاية لدينا
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). لذلك، h(x) أمر غريب.

وبالمناسبة، يجب التذكير بأن هناك دوال لا يمكن تصنيفها وفق هذه المعايير، ولا تسمى زوجية ولا فردية.

حتى الوظائف لها عدد من الخصائص المثيرة للاهتمام:

• ونتيجة لإضافة وظائف مماثلة، فإنها تحصل على واحدة؛
• نتيجة لطرح هذه الوظائف، يتم الحصول على واحدة؛
• حتى، حتى أيضًا؛
• نتيجة لضرب وظيفتين من هذا القبيل، يتم الحصول على واحد؛
• نتيجة لضرب الوظائف الفردية والزوجية، يتم الحصول على واحد فردي؛
• نتيجة لتقسيم الوظائف الفردية والزوجية، يتم الحصول على واحد فردي؛
• ومشتقة هذه الدالة غريبة؛
• إذا قمت بتربيع دالة فردية، فستحصل على دالة زوجية.

يمكن استخدام تكافؤ الدالة لحل المعادلات.

لحل معادلة مثل g(x) = 0، حيث يكون الجانب الأيسر من المعادلة دالة زوجية، سيكون كافيًا إيجاد حلولها للقيم غير السالبة للمتغير. يجب دمج الجذور الناتجة للمعادلة مع الأرقام المقابلة. واحد منهم يخضع للتحقق.

يتم استخدام هذا أيضًا بنجاح لحل المشكلات غير القياسية ذات المعلمة.

على سبيل المثال، هل هناك أي قيمة للمعلمة a التي سيكون للمعادلة 2x^6-x^4-ax^2=1 لها ثلاثة جذور؟

إذا أخذنا في الاعتبار أن المتغير يدخل المعادلة بقوى زوجية، فمن الواضح أن استبدال x بـ - x لن يغير المعادلة المعطاة. ويترتب على ذلك أنه إذا كان عدد معين هو جذره، فإن الرقم المقابل هو جذره أيضًا. الاستنتاج واضح: جذور المعادلة التي تختلف عن الصفر يتم تضمينها في مجموعة حلولها في "أزواج".

من الواضح أن الرقم نفسه ليس 0، أي أن عدد جذور هذه المعادلة يمكن أن يكون زوجيًا فقط، وبطبيعة الحال، لأي قيمة للمعلمة لا يمكن أن يكون لها ثلاثة جذور.

لكن عدد جذور المعادلة 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 يمكن أن يكون فرديًا، ولأي قيمة للمعلمة. في الواقع، من السهل التحقق من أن مجموعة جذور هذه المعادلة تحتوي على حلول "في أزواج". دعونا نتحقق مما إذا كان 0 هو الجذر. وعندما نعوض به في المعادلة نحصل على 2=2. وبالتالي، بالإضافة إلى تلك "المقترنة"، فإن 0 هو أيضًا جذر، مما يثبت عددها الفردي.

إخفاء العرض

طرق تحديد الوظيفة

دع الدالة تُعطى بالصيغة: y=2x^(2)-3. من خلال تعيين أي قيم للمتغير المستقل x، يمكنك حساب، باستخدام هذه الصيغة، القيم المقابلة للمتغير التابع y. على سبيل المثال، إذا كانت x=-0.5، فباستخدام الصيغة، نجد أن القيمة المقابلة لـ y هي y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5.

بأخذ أي قيمة مأخوذة بواسطة الوسيطة x في الصيغة y=2x^(2)-3، يمكنك حساب قيمة واحدة فقط للدالة المقابلة لها. يمكن تمثيل الدالة كجدول:

س	−2	−1	0	1	2	3
ذ	−4	−3	−2	−1	0	1

باستخدام هذا الجدول، يمكنك أن ترى أنه بالنسبة لقيمة الوسيطة −1 فإن قيمة الدالة −3 سوف تتوافق؛ والقيمة x=2 ستتوافق مع y=0، وما إلى ذلك. من المهم أيضًا معرفة أن كل قيمة وسيطة في الجدول تتوافق مع قيمة دالة واحدة فقط.

يمكن تحديد المزيد من الوظائف باستخدام الرسوم البيانية. باستخدام الرسم البياني، يتم تحديد قيمة الدالة التي ترتبط بقيمة معينة x. في أغلب الأحيان، ستكون هذه قيمة تقريبية للدالة.

الوظيفة الزوجية والفردية

الوظيفة هي دالة زوجية، عندما يكون f(-x)=f(x) لأي x من مجال التعريف. ستكون مثل هذه الوظيفة متناظرة حول محور أوي.

الوظيفة هي وظيفة غريبة، عندما يكون f(-x)=-f(x) لأي x من مجال التعريف. ستكون مثل هذه الوظيفة متماثلة حول الأصل O (0;0) .

الوظيفة هي ليس حتى, لا غريبويسمى وظيفة عامة، عندما لا يكون هناك تماثل حول المحور أو الأصل.

دعونا نفحص الوظيفة التالية للتكافؤ:

و(س)=3س^(3)-7س^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) مع مجال تعريف متماثل بالنسبة إلى الأصل. و(-س)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -و(خ).

هذا يعني أن الدالة f(x)=3x^(3)-7x^(7) فردية.

وظيفة دورية

تسمى الدالة y=f(x) ، في مجالها المساواة f(x+T)=f(x-T)=f(x) لأي x وظيفة دوريةمع الفترة T \neq 0 .

تكرار الرسم البياني للدالة على أي قطعة من المحور السيني بطول T.

الفترات التي تكون فيها الدالة موجبة، أي f(x) > 0، هي أجزاء من محور الإحداثي السيني تتوافق مع نقاط الرسم البياني للدالة الواقعة فوق محور الإحداثي السيني.

و(خ) > 0 على (x_(1); x_(2)) \كوب (x_(3); +\infty)

الفترات التي تكون فيها الدالة سالبة، أي f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

و (خ)< 0 на (-\infty; x_(1)) \كوب (x_(2); x_(3))

وظيفة محدودة

يحدها من الأسفلمن المعتاد استدعاء دالة y=f(x), x \in X عندما يكون هناك رقم A الذي تنطبق عليه المتراجحة f(x) \geq A لأي x \in X .

مثال على دالة محددة من الأسفل: y=\sqrt(1+x^(2)) منذ y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 لأي ​​x .

يحدها من فوقيتم استدعاء الدالة y=f(x), x \in X عندما يكون هناك رقم B الذي تنطبق عليه المتراجحة f(x) \neq B لأي x \in X .

مثال على دالة محدودة أدناه: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]بما أن y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 لأي ​​x \in [-1;1] .

محدودمن المعتاد استدعاء دالة y=f(x), x \in X عندما يكون هناك رقم K > 0 حيث تكون المتراجحة \left | و(س)\يمين | \neq K لأي x \in X .

مثال على دالة محدودة: y=\sin x محدودة على محور الرقم بأكمله، حيث أن \اليسار | \ الخطيئة × \ الحق | \neq 1.

زيادة ونقصان وظيفة

من المعتاد التحدث عن دالة تزداد في الفترة قيد النظر وظيفة متزايدةثم، عندما تتوافق قيمة x الأكبر مع قيمة أكبر للدالة y=f(x) . ويترتب على ذلك أنه بأخذ قيمتين عشوائيتين للوسيطة x_(1) و x_(2) من الفاصل الزمني قيد النظر، مع x_(1) > x_(2) ، ستكون النتيجة y(x_(1)) > ص(س_(2)).

تسمى الدالة التي تتناقص في الفترة قيد النظر وظيفة متناقصةعندما تتوافق قيمة x الأكبر مع قيمة أصغر للدالة y(x) . ويترتب على ذلك أنه إذا أخذنا من الفاصل الزمني قيد النظر قيمتين عشوائيتين للوسيطة x_(1) و x_(2) و x_(1) > x_(2) ، فإن النتيجة ستكون y(x_(1))< y(x_{2}) .

جذور الوظيفةمن المعتاد استدعاء النقاط التي تتقاطع عندها الدالة F=y(x) مع محور الإحداثي السيني (يتم الحصول عليها عن طريق حل المعادلة y(x)=0).

أ) إذا زادت الدالة الزوجية بالنسبة لـ x > 0، فإنها تنخفض بالنسبة لـ x< 0

ب) عندما تتناقص الدالة الزوجية عند x > 0، فإنها تزيد عند x< 0

ج) عندما تزيد الدالة الفردية عند x > 0، فإنها تزيد أيضًا عند x< 0

د) عندما تتناقص الدالة الفردية لـ x > 0، فإنها ستنخفض أيضًا لـ x< 0

الحد الأقصى للوظيفة

النقطة الدنيا للدالة y=f(x) يُطلق عليها عادةً النقطة x=x_(0) التي سيكون بجوارها نقاط أخرى (باستثناء النقطة x=x_(0))، وبالنسبة لهم ستكون المتباينة f(x) > f راض (x_(0)) . y_(min) - تعيين الوظيفة عند النقطة الدنيا.

النقطة القصوى للدالةتُسمى y=f(x) عادةً بالنقطة x=x_(0) التي سيكون بجوارها نقاط أخرى (باستثناء النقطة x=x_(0))، وبالنسبة لهم سيتم تحقيق عدم المساواة f(x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

المتطلبات المسبقة

وفقًا لنظرية فيرما: f"(x)=0 عندما يكون للدالة f(x) القابلة للاشتقاق عند النقطة x_(0) حد أقصى عند هذه النقطة.

شرط كاف

1. عندما تشير التغييرات المشتقة من علامة الجمع إلى علامة الطرح، فإن x_(0) ستكون النقطة الدنيا؛
2. x_(0) - ستكون النقطة القصوى فقط عندما تتغير المشتقة من ناقص إلى زائد عند المرور عبر النقطة الثابتة x_(0) .

أكبر وأصغر قيمة للدالة على فترة

خطوات الحساب:

1. يتم البحث عن المشتقة f"(x)؛
2. تم العثور على النقاط الثابتة والحرجة للوظيفة واختيار تلك التي تنتمي إلى القطاع؛
3. تم العثور على قيم الدالة f(x) في النقاط الثابتة والحرجة ونهايات المقطع. أصغر النتائج التي تم الحصول عليها ستكون أصغر قيمة للدالة، و اكثر - الاكبر.

دراسة الوظيفة.

1) D(y) - مجال التعريف: مجموعة كل قيم المتغير x. التي تكون فيها التعبيرات الجبرية f(x) وg(x) منطقية.

إذا تم إعطاء دالة بواسطة صيغة، فإن مجال التعريف يتكون من جميع قيم المتغير المستقل الذي تكون الصيغة منطقية له.

2) خصائص الدالة: زوجي/فردي، الدورية:

غريبو حتىيتم استدعاء الوظائف التي تكون رسومها البيانية متماثلة فيما يتعلق بالتغيرات في إشارة الوسيطة.

وظيفة غريبة- دالة تغير القيمة إلى العكس عندما تتغير إشارة المتغير المستقل (متناظرة بالنسبة لمركز الإحداثيات).

دالة زوجية- دالة لا تتغير قيمتها عندما تتغير إشارة المتغير المستقل (متناظرة حول الإحداثي).

لا حتى ولا وظيفة غريبة (وظيفة عامة)- دالة ليس لها تماثل. تتضمن هذه الفئة وظائف لا تندرج ضمن الفئتين السابقتين.

يتم استدعاء الوظائف التي لا تنتمي إلى أي من الفئات المذكورة أعلاه لا حتى ولا غريب(أو الوظائف العامة).

وظائف غريبة

القوة الفردية حيث يوجد عدد صحيح تعسفي.

حتى الوظائف

حتى القوة حيث هو عدد صحيح تعسفي.

وظيفة دورية- دالة تكرر قيمها عند فاصل زمني منتظم للوسيطة، أي أنها لا تغير قيمتها عند إضافة بعض الأرقام الثابتة غير الصفرية إلى الوسيطة ( فترةوظائف) على كامل مجال التعريف.

3) أصفار (جذور) الدالة هي النقاط التي تصبح فيها صفرًا.

العثور على نقطة تقاطع الرسم البياني مع المحور أوي. للقيام بذلك تحتاج إلى حساب القيمة F(0). أوجد أيضًا نقاط تقاطع الرسم البياني مع المحور ثورلماذا تجد جذور المعادلة F(س) = 0 (أو تأكد من عدم وجود جذور).

تسمى النقاط التي يتقاطع عندها الرسم البياني مع المحور وظيفة الأصفار. للعثور على أصفار دالة، عليك حل المعادلة، أي إيجادها تلك معاني "x"حيث تصبح الدالة صفراً.

4) فترات ثبات العلامات والعلامات فيها.

الفترات التي تحافظ فيها الدالة f(x) على الإشارة.

الفاصل الزمني لثبات الإشارة هو الفاصل الزمني في كل نقطة منهاالدالة إيجابية أو سلبية.

فوق المحور السيني.

أسفل المحور.

5) الاستمرارية (نقاط الانقطاع، طبيعة الانقطاع، الخطوط المقاربة).

وظيفة مستمرة- دالة بدون "قفزات"، أي دالة تؤدي فيها التغييرات الصغيرة في الوسيطة إلى تغييرات صغيرة في قيمة الوظيفة.

نقاط الاستراحة القابلة للإزالة

إذا كان الحد من الدالة موجودولكن لم يتم تعريف الدالة عند هذه النقطة، أو أن الحد لا يتطابق مع قيمة الدالة عند هذه النقطة:

,

ثم يتم استدعاء النقطة نقطة انقطاع قابلة للإزالةوظائف (في التحليل المعقد، نقطة مفردة قابلة للإزالة).

إذا قمنا "بتصحيح" الوظيفة عند نقطة الانقطاع القابل للإزالة ووضعنا ثم نحصل على دالة مستمرة عند نقطة معينة. تسمى هذه العملية على دالة تمديد الوظيفة إلى المستمرأو إعادة تعريف الوظيفة بالاستمرارية، وهو ما يبرر اسم النقطة كنقطة قابل للإزالةتمزق.

نقاط الانقطاع من النوع الأول والثاني

إذا كانت الدالة لها انقطاع عند نقطة معينة (أي أن نهاية الدالة عند نقطة معينة غائبة أو لا تتطابق مع قيمة الدالة عند نقطة معينة)، فبالنسبة للدوال العددية هناك خياران محتملان المرتبطة بوجود وظائف عددية الحدود الأحادية:

إذا كانت النهايات من جانب واحد موجودة ومحدودة، فإن هذه النقطة تسمى نقطة انقطاع من النوع الأول. نقاط الانقطاع القابلة للإزالة هي نقاط انقطاع من النوع الأول؛

إذا كانت إحدى النهايات أحادية الجانب على الأقل غير موجودة أو ليست قيمة منتهية، فسيتم استدعاء هذه النقطة نقطة الانقطاع من النوع الثاني.

الخط المقارب - مستقيم، والتي لها خاصية المسافة من نقطة على المنحنى إلى هذه النقطة مستقيميميل إلى الصفر حيث تتحرك النقطة بعيدًا على طول الفرع إلى ما لا نهاية.

رَأسِيّ

الخط المقارب العمودي - خط النهاية .

كقاعدة عامة، عند تحديد الخط المقارب العمودي، لا يبحثون عن حد واحد، بل عن حدين من جانب واحد (يسار ويمين). يتم ذلك لتحديد كيفية تصرف الوظيفة عند اقترابها من الخط المقارب الرأسي من اتجاهات مختلفة. على سبيل المثال:

أفقي

الخط المقارب الأفقي - مستقيمالأنواع، رهنا بوجودها حد

.

يميل

الخط المقارب - مستقيمالأنواع، رهنا بوجودها حدود

ملحوظة: لا يمكن أن تحتوي الدالة على أكثر من خطين مقاربين مائلين (أفقيين).

ملحوظة: إذا كان أحد الحدين المذكورين أعلاه على الأقل غير موجود (أو يساوي )، فإن الخط المقارب المائل عند (أو ) غير موجود.

إذا كان في البند 2.)، ثم، وتم العثور على النهاية باستخدام صيغة الخط المقارب الأفقي، .

6) العثور على فترات من الرتابة.العثور على فترات الرتابة من وظيفة F(س)(أي فترات الزيادة والنقصان). يتم ذلك عن طريق فحص إشارة المشتقة F(س). للقيام بذلك، ابحث عن المشتقة F(س) وحل عدم المساواة F(س)0. على الفترات التي تستمر فيها هذه المتباينة، تكون الدالة F(س)يزيد. حيث يحمل عدم المساواة العكسية F(س)0، وظيفة F(س) آخذ في التناقص.

العثور على الحد الأقصى المحلي.بعد العثور على فترات الرتابة، يمكننا على الفور تحديد النقاط القصوى المحلية، حيث يتم استبدال الزيادة بانخفاض، وتقع الحدود القصوى المحلية، وحيث يتم استبدال النقصان بزيادة، وتقع الحدود الدنيا المحلية. احسب قيمة الدالة عند هذه النقاط. إذا كانت الدالة تحتوي على نقاط حرجة ليست نقاطًا متطرفة محلية، فمن المفيد حساب قيمة الدالة عند هذه النقاط أيضًا.

إيجاد القيم الأكبر والأصغر للدالة y = f(x) على القطعة(استمرار)

1. العثور على مشتق من وظيفة: F(س). 2. أوجد النقاط التي يكون فيها المشتق صفراً: F(س)=0س 1, س 2 ,... 3. تحديد انتماء النقاط X 1 ,X 2 , … شريحة [ أ; ب]: يترك س 1أ;ب، أ س 2أ;ب . 4. ابحث عن قيم الوظيفة عند النقاط المحددة وفي نهايات المقطع: F(س 1), F(س 2),..., F(س أ),F(س ب), 5. اختيار أكبر وأصغر قيم الدالة من تلك الموجودة. تعليق. إذا كان على الجزء [ أ; ب] توجد نقاط انقطاع، فمن الضروري حساب الحدود الأحادية عندها، ومن ثم أخذ قيمها في الاعتبار عند اختيار القيم الأكبر والأصغر للدالة.

7) العثور على فترات التحدب والتقعر. ويتم ذلك عن طريق فحص إشارة المشتقة الثانية F(س). أوجد نقاط انعطاف عند تقاطعات الفترات المحدبة والمقعرة. احسب قيمة الدالة عند نقاط الانقلاب. إذا كانت الدالة لها نقاط أخرى من الاستمرارية (باستثناء نقاط الانعطاف) التي يكون عندها المشتق الثاني 0 أو غير موجود، فمن المفيد أيضًا حساب قيمة الدالة عند هذه النقاط. بعد أن وجدت F(س) ، نحن نحل عدم المساواة F(س)0. في كل فترة من فترات الحل ستكون الدالة محدبة للأسفل. حل المتباينة العكسية F(س)0، نجد الفترات التي تكون فيها الدالة محدبة لأعلى (أي مقعرة). نحدد نقاط الانعطاف على أنها تلك النقاط التي تتغير عندها الدالة اتجاه التحدب (وهي مستمرة).

نقطة انعطاف الدالة- هذه هي النقطة التي تكون فيها الدالة متصلة وعند المرور من خلالها تتغير الدالة اتجاه التحدب.

شروط الوجود

شرط ضروري لوجود نقطة انعطاف:إذا كانت الدالة قابلة للتمييز مرتين في بعض المناطق المثقوبة للنقطة، إذن أو .

وظيفةهي واحدة من أهم المفاهيم الرياضية. وظيفة - التبعية المتغيرة فيمن متغير س، إذا كانت كل قيمة Xيطابق قيمة واحدة في. عامل Xيسمى المتغير المستقل أو الوسيطة. عامل فييسمى المتغير التابع . جميع قيم المتغير المستقل (variable س) تشكل مجال تعريف الوظيفة. جميع القيم التي يأخذها المتغير التابع (variable ذ) ، قم بتشكيل نطاق قيم الوظيفة.

الرسم البياني الوظيفياستدعاء مجموعة جميع نقاط المستوى الإحداثي، التي تساوي حروفها قيم الوسيطة، والإحداثيات تساوي القيم المقابلة للدالة، أي قيم الدالة يتم رسم المتغير على طول محور الإحداثي س، ويتم رسم قيم المتغير على طول المحور الإحداثي ذ. لرسم دالة بيانيا، عليك أن تعرف خصائص الدالة. سيتم مناقشة الخصائص الرئيسية للوظيفة أدناه!

لإنشاء رسم بياني لدالة، نوصي باستخدام برنامجنا - وظائف الرسم البياني عبر الإنترنت. إذا كانت لديك أي أسئلة أثناء دراسة المواد الموجودة على هذه الصفحة، فيمكنك دائمًا طرحها على منتدانا. سيساعدونك في المنتدى أيضًا في حل المشكلات في الرياضيات والكيمياء والهندسة ونظرية الاحتمالات والعديد من الموضوعات الأخرى!

الخصائص الأساسية للوظائف.

1) مجال الوظيفة ونطاق الوظيفة.

مجال الدالة هو مجموعة كافة قيم الوسيطات الصالحة س(عامل س)، والتي الوظيفة ص = و(س)عازم.
مدى الدالة هو مجموعة القيم الحقيقية ذ، والتي تقبلها الدالة.

في الرياضيات الابتدائية، تتم دراسة الوظائف فقط على مجموعة الأعداد الحقيقية.

2) الأصفار الوظيفية.

قيم X، الذي ص=0، مُسَمًّى وظيفة الأصفار. هذه هي حدود نقاط تقاطع الرسم البياني للوظيفة مع محور الثور.

3) فترات الإشارة الثابتة للدالة.

فترات الإشارة الثابتة للدالة هي فترات من القيم س، حيث تكون قيم الدالة ذيتم استدعاء إما الإيجابية فقط أو السلبية فقط فترات الإشارة الثابتة للدالة.

4) رتابة الوظيفة.

الدالة المتزايدة (في فترة زمنية معينة) هي دالة تكون فيها القيمة الأكبر للوسيطة من هذا الفاصل الزمني تتوافق مع قيمة أكبر للدالة.

الدالة المتناقصة (في فترة زمنية معينة) هي دالة تكون فيها القيمة الأكبر للوسيطة من هذا الفاصل الزمني تتوافق مع قيمة أصغر للدالة.

5) الدالة الزوجية (الفردية)..

الدالة الزوجية هي دالة يكون مجال تعريفها متماثلًا بالنسبة إلى الأصل ولأي X و(-س) = و(خ). الرسم البياني للدالة الزوجية متماثل حول الإحداثي.

الدالة الفردية هي دالة يكون مجال تعريفها متماثلًا بالنسبة إلى الأصل ولأي Xمن مجال التعريف المساواة صحيحة و(-س) = - و(س). الرسم البياني للدالة الفردية متماثل بالنسبة إلى الأصل.

دالة زوجية
1) مجال التعريف متماثل بالنسبة للنقطة (0؛ 0)، أي إذا كانت النقطة أينتمي إلى مجال التعريف، ثم هذه النقطة -أينتمي أيضًا إلى مجال التعريف.
2) لأي قيمة س و(-س)=و(خ)
3) الرسم البياني للدالة الزوجية متماثل حول محور أوي.

وظيفة غريبةلديه الخصائص التالية:
1) مجال التعريف متماثل حول النقطة (0؛ 0).
2) لأي قيمة س، تنتمي إلى مجال التعريف، المساواة و(-س)=-و(خ)
3) الرسم البياني للدالة الفردية متماثل بالنسبة إلى الأصل (0؛ 0).

ليست كل دالة زوجية أو فردية. المهام منظر عامليست حتى ولا غريبة.

6) وظائف محدودة وغير محدودة.

تسمى الدالة مقيدة إذا كان هناك رقم موجب M مثل |f(x)| ≥ M لجميع قيم x. إذا لم يكن هذا الرقم موجودا، فإن الوظيفة غير محدودة.

7) دورية الوظيفة.

تكون الدالة f(x) دورية إذا كان هناك رقم غير الصفر T بحيث يكون لأي x من مجال تعريف الدالة ما يلي: f(x+T) = f(x). ويسمى هذا الرقم الأصغر فترة الدالة. جميع الدوال المثلثية دورية. (الصيغ المثلثية).

وظيفة Fيسمى الدوري إذا كان هناك رقم من هذا القبيل لأي سمن مجال تعريف المساواة و(س)=و(س-T)=و(س+T). تهي فترة الوظيفة.

كل دالة دورية لها عدد لا نهائي من الفترات. ومن الناحية العملية، عادة ما تؤخذ في الاعتبار أصغر فترة إيجابية.

تتكرر قيم الدالة الدورية بعد فترة تساوي الفترة. يتم استخدامه عند إنشاء الرسوم البيانية.