بيان نظرية المعاملة بالمثل العمل (نظرية بيتي)، تم إثباته في عام 1872 بواسطة E. Betti: إن العمل المحتمل لقوى الدولة الأولى على الإزاحات المقابلة التي تسببها قوى الدولة الثانية يساوي العمل المحتمل لقوى الدولة الثانية على الإزاحات المقابلة الناجمة عن قوى الدولة الأولى.

24. نظرية المعاملة بالمثل من النزوح (ماكسويل)

فليكن. نظرية المعاملة بالمثل من النزوحمع الأخذ في الاعتبار الترميز المقبول للإزاحة من وحدة القوة، يكون لها الشكل: .تم إثبات نظرية تبادل الإزاحات بواسطة ماكسويل. صياغة نظرية المعاملة بالمثل للنزوح: إزاحة نقطة تطبيق وحدة القوة الأولى الناتجة عن عمل القوة الثانية تساوي إزاحة نقطة تطبيق وحدة القوة الثانية الناتجة عن عمل وحدة القوة الأولى

25. نظرية رايلي في ردود الفعل المتبادلة.

26. نظرية غفوزديف حول التبادلية بين الإزاحات وردود الفعل.

27. تحديد الإزاحات بسبب الحمل. صيغة موهر.

صيغة الطاعون

28. تحديد الإزاحات بسبب تأثيرات درجات الحرارة والإزاحة.

تأثير درجة الحرارة.

مسودة

29. حكم فيريشاجين. صيغة الضرب شبه المنحرفة، صيغة سمبسون.

صيغة الضرب شبه المنحرف.

صيغة لضرب شبه المنحرف المنحني

31. خصائص الأنظمة غير المحددة بشكل ثابت.

لتحديد القوى وردود الفعل، معادلات الاستاتيكا ليست كافية، فمن الضروري استخدام معادلات استمرارية التشوه والإزاحة.

تعتمد القوى وردود الفعل على نسبة صلابة العناصر الفردية.

التغيرات في درجات الحرارة ودعم الاستقرار تؤدي إلى ظهور قوى داخلية.

في غياب الحمل، من الممكن حدوث حالة من التوتر الذاتي.

32. تحديد درجة عدم التحديد الساكن، مبادئ اختيار النظام الأساسي لطريقة القوى.

للأنظمة غير المحددة بشكل ثابت W<0

يتم تحديد عدد الاتصالات الإضافية بواسطة الصيغة:

ل = -دبليو+ 3 كيلو,

حيث W هو عدد المعلمات الهندسية المستقلة التي تحدد موضع الهيكل على المستوى دون مراعاة تشوه الهيكل (عدد درجات الحرية)، K هو عدد الخطوط الكنتورية المغلقة (الخطوط الكنتورية التي يوجد فيها لا المفصلي).

دبليو= 3D – 2SH – شركة

صيغة Chebyshev لتحديد درجة الحرية، حيث D هو عدد الأقراص، Ш هو عدد المفصلات، Co هو عدد قضبان الدعم.

يجب أن يكون OSMS غير قابل للتغيير هندسيًا.

يجب أن تكون قابلة للتعريف بشكل ثابت (إزالة الاتصالات غير الضرورية).

يجب أن يكون هذا النظام سهل الحساب.

إذا كان النظام الأصلي متماثلًا، فسيتم اختيار نظام OSMS، إن أمكن، ليكون متماثلًا.

33. المعادلات القانونية لطريقة القوة ومعناها الفيزيائي.

المعادلات الكنسية:

المعنى المادي:

يجب أن تكون الحركة الإجمالية في اتجاه كل رابط بعيد = 0

34. حساب معاملات المعادلات القانونية ومعناها الفيزيائي والتحقق من صحة المعاملات الموجودة.

التحرك في اتجاه الاتصال البعيد الناتج عن قوة واحدة.

الحركة في اتجاه الاتصال عن بعد بسبب الحمل الخارجي.

من أجل التحقق من صحة المعاملات التي تم العثور عليها، تحتاج إلى استبدالها في نظام المعادلات الأساسية والعثور على X1 وX2.

دعونا نفكر في حالتين لنظام مرن في حالة توازن. وفي كل حالة من هذه الحالات، يخضع النظام لبعض الأحمال الثابتة (الشكل 4 أ). ولنشير إلى الحركات في اتجاهات القوى F1 وF2، حيث يشير المؤشر "i" إلى اتجاه الحركة، والمؤشر "j" هو السبب الذي أدى إلى ذلك.

ولنشير إلى عمل حمل الحالة الأولى (القوة F1) على إزاحات الحالة الأولى بواسطة A11، وعمل القوة F2 على الإزاحات الناجمة عنها بواسطة A22:

باستخدام (1.9)، يمكن التعبير عن العملين A11 وA22 بدلالة عوامل القوة الداخلية:

دعونا نفكر في حالة التحميل الثابت لنفس النظام (الشكل 5، أ) بالتسلسل التالي. أولا، يتم تطبيق قوة متزايدة بشكل ثابت F1 على النظام (الشكل 23، ب)؛ عند اكتمال عملية نموها الثابت، يصبح تشوه النظام والقوى الداخلية المؤثرة فيه كما هو الحال في الحالة الأولى (الشكل 23، أ). الشغل المبذول بالقوة F1 سيكون:

ثم تبدأ قوة متزايدة بشكل ثابت F2 في التأثير على النظام (الشكل 5، ب). ونتيجة لذلك، يتلقى النظام تشوهات إضافية وتنشأ فيه قوى داخلية إضافية، كما هو الحال في الحالة الثانية (الشكل 5، أ). في عملية زيادة القوة F2 من الصفر إلى قيمتها النهائية، فإن القوة F1، مع بقائها دون تغيير، تتحرك لأسفل بمقدار الانحراف الإضافي، وبالتالي تقوم بعمل إضافي:

القوة F2 تقوم بالعمل:

إجمالي العمل A مع التحميل المتسلسل للنظام بواسطة القوى F1، F2 يساوي:

ومن ناحية أخرى ووفقاً للـ (1.4) يمكن تعريف إجمالي العمل على النحو التالي:

بمساواة التعبيرين (1.11) و (1.12) ببعضهما البعض نحصل على:

أ12=أ21 (1.14)

تسمى المساواة (1.14) بنظرية تبادل الشغل أو نظرية بيتي: عمل قوى الحالة الأولى على الإزاحات في اتجاهاتها التي تسببها قوى الحالة الثانية يساوي عمل قوى الحالة الثانية على النزوح في اتجاهاتهم سببته قوى الدولة الأولى. بحذف الحسابات الوسيطة، نعبر عن عمل A12 من حيث لحظات الانحناء والقوى الطولية والعرضية الناشئة في الحالتين الأولى والثانية:

يمكن اعتبار كل تكامل على الجانب الأيمن من هذه المساواة بمثابة نتاج القوة الداخلية الناشئة في قسم القضيب من قوى الحالة الأولى وتشوه العنصر dz الناجم عن قوى الحالة الثانية.

إثبات نظرية المعاملة بالمثل

لنضع علامة على النقطتين 1 و 2 على الشعاع (الشكل 15.4، أ).

دعونا نطبق قوة ثابتة عند النقطة 1. وسوف يسبب انحرافا عند هذه النقطة، وعند النقطة 2 – .

نستخدم مؤشرين للإشارة إلى الحركات. المؤشر الأول يعني مكان الحركة، والثاني – سبب هذه الحركة. وهذا هو، تقريبا كما هو الحال في مظروف الرسالة، حيث نشير إلى: أين ومن.

على سبيل المثال، يعني انحراف الشعاع عند النقطة 2 عن الحمل.

بعد اكتمال نمو القوة. دعونا نطبق قوة ثابتة (15.4، ب) على الحالة المشوهة للحزمة عند النقطة 2. سوف تتلقى الحزمة انحرافات إضافية: عند النقطة 1 وعند النقطة 2.

دعونا ننشئ تعبيرًا عن الشغل الذي تقوم به هذه القوى على الإزاحات المقابلة لها: .

هنا يمثل المصطلحان الأول والثالث العمل المرن للقوى و . وفقا لنظرية كلابيرون، لديهم معامل. الحد الثاني ليس له هذا المعامل، لأن القوة لا تغير قيمتها وتبذل شغلًا ممكنًا على الإزاحة التي تسببها قوة أخرى.

إن بداية الإزاحات المحتملة، كونها مبدأً عامًا في الميكانيكا، لها أهمية قصوى بالنسبة لنظرية الأنظمة المرنة. كما هو مطبق عليهم، يمكن صياغة هذا المبدأ على النحو التالي: إذا كان النظام في حالة توازن تحت تأثير الحمل المطبق، فإن مجموع عمل القوى الخارجية والداخلية على الإزاحات المتناهية الصغر المحتملة للنظام يكون صفرًا.

أين - قوى خارجية؛
- التحركات المحتملة لهذه القوى؛
- عمل القوى الداخلية .

لاحظ أنه خلال عملية الحركة المحتملة للنظام، يظل حجم واتجاه القوى الخارجية والداخلية دون تغيير. لذلك، عند حساب الشغل، ينبغي للمرء أن يأخذ النصف، والقيمة الكاملة لحاصل ضرب القوى والإزاحات المقابلة.

دعونا نفكر في حالتين من النظام في حالة توازن (الشكل 2.2.9). قادر يتشوه النظام بواسطة قوة معممة (الشكل 2.2.9، أ)، في الدولة - بالقوة (الشكل 2.2.9، ب).

عمل قوات الدولة على تحركات الدولة وكذلك عمل قوات الدولة على تحركات الدولة ، سيكون ممكنا.

(2.2.14)

دعونا الآن نحسب العمل المحتمل للقوى الداخلية للدولة على الحركات الناجمة عن تحميل الدولة . للقيام بذلك، النظر في عنصر طول قضيب تعسفي
في كلتا الحالتين. بالنسبة للانحناء المسطح، يتم التعبير عن عمل الأجزاء البعيدة على العنصر من خلال نظام القوى ,,
(الشكل 2.2.10، أ). القوى الداخلية لها اتجاهات معاكسة للقوى الخارجية (كما هو موضح بالخطوط المتقطعة). في التين. 2.2.10، ب يظهر القوى الخارجية ,,
، يتصرف على العنصر
قادر . دعونا نحدد التشوهات الناجمة عن هذه الجهود.

استطالة العنصر واضح
الناجمة عن القوات

.

عمل القوى المحورية الداخلية على هذه الخطوة المحتملة

. (2.2.15)

الزاوية المتبادلة لدوران وجوه العناصر الناتجة عن الأزواج
,

.

عمل لحظات الانحناء الداخلي
على هذه الخطوة

. (2.2.16)

وبالمثل، نحدد عمل القوى المستعرضة على الحركات الناجمة عن القوى

. (2.2.17)

بتلخيص العمل الذي تم الحصول عليه، نحصل على العمل المحتمل للقوى الداخلية المطبقة على العنصر
قضيب، على الحركات الناجمة عن حمل تعسفي آخر تمامًا، مميز بمؤشر

بعد تلخيص الشغل الأولي داخل القضيب، نحصل على القيمة الكاملة للشغل المحتمل للقوى الداخلية:

(2.2.19)

دعونا نطبق بداية الإزاحات المحتملة، ونلخص عمل القوى الداخلية والخارجية على الإزاحات المحتملة للنظام، ونحصل على تعبير عام لبداية الإزاحات المحتملة لنظام قضيب مرن مسطح:

(2.2.20)

أي أنه إذا كان النظام المرن في حالة توازن، فإن عمل القوى الخارجية والداخلية يكون في حالة على الحركات المحتملة الناجمة عن حمل تعسفي آخر تمامًا، يتميز بمؤشر ، يساوي الصفر.

نظريات المعاملة بالمثل في العمل والحركة

دعونا نكتب التعبيرات الخاصة ببداية الحركات المحتملة للحزمة الموضحة في الشكل. 2.2.9، بعد أن قبلت للدولة كما الحركات المحتملة الناجمة عن هذه الحالة ، وبالنسبة للدولة - الحركات الناجمة عن الحالة .

(2.2.21)

(2.2.22)

وبما أن التعابير الخاصة بعمل القوى الداخلية واحدة، فمن الواضح أن ذلك

(2.2.23)

يسمى التعبير الناتج نظرية المعاملة بالمثل (نظرية بيتي). ويتم صياغتها على النحو التالي: العمل المحتمل لقوى الدولة الخارجية (أو الداخلية). على تحركات الدولة يساوي العمل المحتمل للقوى الخارجية (أو الداخلية) للدولة على تحركات الدولة .

دعونا نطبق نظرية الشغل المتبادل على الحالة الخاصة للتحميل، عندما يتم تطبيق وحدة واحدة من القوة المعممة في كلتا حالتي النظام
و
.

أرز. 2.2.11

وبناء على نظرية المعاملة بالمثل في العمل، نحصل على المساواة

, (2.2.24)

والتي تسمى نظرية تبادلية الإزاحات (نظرية ماكسويل). وصياغتها على النحو التالي: إن حركة نقطة تطبيق القوة الأولى في اتجاهها، الناتجة عن عمل وحدة القوة الثانية، تساوي حركة نقطة تطبيق القوة الثانية في اتجاهها، الناجمة عن من خلال عمل قوة الوحدة الأولى.

تعمل نظريات المعاملة بالمثل في العمل والإزاحة على تبسيط حل العديد من المشكلات بشكل كبير في تحديد الإزاحة.

باستخدام نظرية الشغل المتبادل، نحدد الانحراف
الحزم في منتصف الامتداد عند العمل على دعم ثانٍ
(الشكل 2.2.12، أ).

نستخدم الحالة الثانية للشعاع - العمل عند النقطة 2 للقوة المركزة . زاوية دوران القسم المرجعي
نحدد من حالة تثبيت الشعاع عند النقطة B:

أرز. 2.2.12

وفقا لنظرية العمل المتبادل

,

نظرية المعاملة بالمثل. نظرية المعاملة بالمثل من النزوح

دعونا نفكر في نظام قابل للتشوه خطيًا في حالتين مختلفتين يتوافقان مع حملين مختلفين (الشكل 5.15) لتبسيط الحسابات، دعونا نفكر في حزمة بسيطة ثنائية الدعم يتم تحميلها تسلسليًا بواسطة قوتين مركزتين.

الشكل 15. الترتيب المباشر والعكسي لتطبيق التحميل

نحصل على معادلة إجمالي العمل للترتيب الأمامي والخلفي لتطبيق الأحمال

يسمى الشغل الذي تبذله قوة ما على الإزاحات التي تسببها قوة أو قوى أخرى، العمل الإضافي.

وفقًا لنظرية تبادل الشغل، فإن الشغل الذي تبذله قوى الحالة الأولى لتحريك الحالة الثانية يساوي الشغل الذي تبذله قوى الحالة الثانية لتحريك الحالة الأولى.

وبطريقة مماثلة، يمكن أيضًا إثبات التبادلية للعمل الإضافي للقوى الداخلية.

الشكل 16. المعاملة بالمثل للعمل الإضافي للقوى الداخلية.

باستخدام قانون حفظ الطاقة، يمكن إثبات أن الشغل الإضافي للقوى الخارجية يساوي في القيمة المطلقة الشغل الإضافي للقوى الداخلية:

مع الأخذ

نحصل على نظرية حول المعاملة بالمثل من النزوح.

إن إزاحة نقطة تطبيق قوة الوحدة الثانية في اتجاهها، الناتجة عن قوة الوحدة الثانية، تساوي إزاحة نقطة تطبيق قوة الوحدة الثانية في اتجاه الأخيرة، والناجمة عن فعل القوة. قوة الوحدة الأولى

تحديد الإزاحات بطريقة موهر

بدلاً من نظام القوى F 1 و F 2، نقدم حالات الحمل والحالات المساعدة:

الشكل 17. مقدمة من البضائع والدول المساعدة

دعونا نكتب نظرية الشغل المتبادل لهاتين الحالتين:

بعد جمع الأجزاء الفردية من الحزمة، نحصل على تكامل موهر

مثال 5.2.دعونا نفكر في مثال لاستخدام تكامل موهر لتحديد الإزاحات لحزمة ناتئ محملة بقوة مركزة

الشكل 18. بناء مخطط الحمل والمساعد لشعاع ناتئ

نحن نستخدم تكامل موهر.

ومن الناحية العملية، فإن استخدام هذا النهج أمر صعب. يتم التغلب على هذه الصعوبة عن طريق تنظيم التكامل، حيث يتم تنفيذ التكامل بسهولة على جهاز الكمبيوتر.

طريقة الرسم التحليلي لتحديد إزاحة الانحناء. طريقة فيريشاجين

دعونا نقدم حالتين مبسطتين:

دالة خطية في حدود المنطقة المدروسة.

الشكل 19 الحساب التحليلي البياني لتكامل موهر

يمثل التكامل الأخير العزم الثابت للشكل ABCD حول المحور y. عمل

يمثل الإحداثيات المأخوذة على المخطط المساعد تحت مركز ثقل الحمولة.

حيث n هو رقم الموقع

مثال 5.3.دعونا نلقي نظرة على الشعاع الكابولي مرة أخرى

الشكل 20. استخدام طريقة Vereshchagin للعارضة الكابولية

حالات أكثر تعقيدا:

1. ضرب شبه منحرف في شبه منحرف

أرز. 21. ضرب شبه منحرف في شبه منحرف

لضرب شبه منحرف في شبه منحرف، يمكنك الانتقال إلى ضرب مستطيل في شبه منحرف ومثلث في شبه منحرف.

تعريف ضرب المستطيل في شبه المنحرف يعني أننا نأخذ A f على المستطيل، وM إلى c على شبه المنحرف.

تنطبق قاعدة التقليب فقط على المخططات الخطية.

2. الجزء المكافئ

الشكل 22. مساحة وموقع مركز الثقل لقطعة مكافئة

3. مثلث مكافئ مقعر

الشكل 23. مساحة وموقع مركز الثقل في المثلث المكافئ المقعر

4. مثلث محدب

الشكل 24. مساحة وموقع مركز الثقل لمثلث مكافئ محدب

5. شبه منحرف مكافئ محدب.

الشكل 25. تقسيم مناطق ومواقع مراكز الثقل لشبه منحرف مكافئ محدب

مثال: 5.4.دعونا نفكر في حالة أكثر تعقيدًا لتحميل عارضة ناتئة عندما تعمل جميع أنواع الأحمال الخارجية الثلاثة. من الضروري تحديد الزاوية القصوى لدوران الحزمة

أرز. شعاع ناتئ تحت العمل المتزامن لثلاثة أحمال

الطريقة الأولى دعونا نستبدل الرسم البياني M f بمجموعة من الأشكال الأبسط.

أي أن قمة القطع المكافئ تقع خارج الشعاع.

لإنشاء مخطط مساعد تحتاج إلى:

1. خذ بعين الاعتبار بعض الحزم بدون أحمال خارجية.

2. عند نقطة معينة، قم بتطبيق F=1 أو M=1، على التوالي، لتحديد الانحراف أو زاوية الدوران. اتجاه عمل الأحمال الخارجية تعسفي.

3. باعتبار أن حمل الوحدة خارجي، نقوم بتحديد التفاعلات وإنشاء المخططات.

صيغة تحديد زاوية الدوران باستخدام طريقة Vereshchagin سوف تأخذ الشكل التالي

أين يتم الإحداثي المأخوذ على المخطط المساعد M k تحت مركز ثقل مخطط الحمولة - مع مراعاة تقسيم الحمولة إلى أشكال أولية

عند بناء المحور المنحني للكمرة نستخدم:

1. علامة الإزاحة المعممة. بالنسبة للحالة قيد النظر، يتم تدوير النقطة في اتجاه عقارب الساعة.

2. نستخدم علامة لحظة الانحناء على مخطط الحمل.

يظهر الشكل تقريبي للمحور المنحني للحزمة. 5.24.

الطريقة الثانية. باستخدام مبدأ التراكب.

أرز باستخدام مبدأ التراكب