В этом параграфе нами будет рассмотрена задача о продольных колебаниях однородного стержня. Стержень - это тело цилиндрической (в частности, призматической) формы, для растяжения или сжатия которого надо приложить известное усилие. Мы будем считать, что все силы действуют вдоль оси стержня и каждое из поперечных сечений стержня (рис. 23) перемещается поступательно только вдоль оси стержня.
Обычно это предположение оправдывается, если поперечные размеры стержня малы по сравнению с его длиной, а силы, действующие вдоль оси стержня, сравнительно невелики. На практике продольные колебания возникают чаще всего тогда, когда стержень предварительно немного растягивается или, наоборот, сжимается, а затем предоставляется самому себе. В этом случае в нем возникают свободные продольные колебания. Выведем уравнения этих колебаний.
Направим ось абсцисс по оси стержня (рис. 23); в состоянии покоя концы стержня имеют соответственно абсциссы Рассмотрим сечение ; - его абсцисса в состоянии покоя.
Смещение этого сечения в любой момент времени t будет характеризоваться функцией для отыскания которой мы и должны составить дифференциальное уравнение. Найдем прежде всего относительное удлинение участка стержня, ограниченного сечениями Если абсцисса сечения в состоянии покоя , то смещение этого сечения в момент времени t с точностью до бесконечно малых высшего порядка равно
Поэтому относительное удлинение стержня в сечении с абсциссой в момент времени t равно
Считая, что силы, вызывающие это удлинение, подчиняются закону Гука, найдем величину силы натяжения Т, действующей на сечение :
(5.2)
где - площадь поперечного сечения стержня, а - модуль упругости (модуль Юнга) материала стержня. Формула (5.2) должна быть хорошо известна читателю из курса сопротивления материалов.
Соответственно сила действующая на сечение равна
Поскольку силы заменяют действие отброшенных частей стержня, их результирующая равна разности
Считая выделенный участок стержня материальной точкой с массой , где - объемная плотность стержня, и применяя к нему второй закон Ньютона, составим уравнение
Сокращая на и вводя обозначение получим дифференциальное уравнение свободных продольных колебаний стержня
Если дополнительно предпоюжить, что к стержню приложена внешняя сила рассчитанная на единицу объема и действующая вдоль оси стержня, то к правой части соотношения (5 3) добавится слагаемое и уравнение (5.4) примет вид
что в точности совпадает с уравнением вынужденных котебаний струны.
Перейдем теперь к установлению начальных и краевых условий задачи и рассмотрим практически наиболее интересный случай, когда один конец стержня закреплен, и другой - свободен.
На свободном конце краевое условие будет иметь иной вид. Так как на этом конце внешние силы отсутствуют, то должна быть равна нулю и сила Т, действующая в сечении , т. е.
Колебания происходят оттого, что в начальный момент стержень был деформирован (растянут или сжат) и точкам стержня были приданы некоторые начальные скорости. Следовательно, мы должны знать смещение поперечных сечений стержня в момент
а также начальные скорости точек стержня
Итак, задача о свободных продольных колебаниях стержня, закрепленного на одном конце, возникающих благодаря начальному сжатию или растяжению, привела нас к уравнению
с начальными условиями
и краевыми условиями
Именно последнее условие и отличает с математической точки зрения рассматриваемую задачу от задачи о колебаниях струны, закрепленной на обоих концах.
Будем решать поставленную эадачу методом Фурье, т. е. отыскивать частные решения уравнения, удовлетворяющие краевым условиям (5.8), в виде
Так как дальнейший ход решения аналогичен уже изложенному в § 3, ограничимся только краткими указаниями. Дифференцируя функцию , подставляя полученные выражения в (5.6) и разделяя переменные, получим
(Предоставляем читателю самостоятельно установить, что в силу краевых условий постоянная в правой части не может быть числом положительным или нулем.) Общее решение уравнения имеет вид
В силу условий, наложенных на функцию будем иметь
Решения, не тождественно равные нулю, будут получаться только при соблюдении условия , т. е. при , где k может принимать значения
Итак, собственными числами задачи служат числа
Каждому соответствует собственная функция
Как мы уже знаем, умножая любую из собственных функций на произвольную постоянную, будем получать решение уравнения с поставленными краевыми условиями. Легко проверить, что, придавая числу k отрицательные значения, мы не получим новых собственных функций (например, при будет получаться функция, отличающаяся от собственной функции ) только знаком),
Докажем прежде всего, что собственные функции (5.11) ортогональны в интервале . Действительно, при
Если же , то
Доказать ортогональность собственных функций ожно и иначе, не опираясь на их явные выражения, а пользуясь только дифференциальным уравнением и краевыми усювиями. Пусть и - два различных собственных числа, и - соответствующие им собственные функции. По определению эти функции удовлетворяют уравнениям
и краевым условиям. Умножим первое из уравнений на второе на и вычтем одно из другого.
Стержнем называют тело, один из размеров которого, называемый продольным, значительно превышает его размеры в плоскости, перпендикулярной к продольному направлению, т.е. поперечные размеры. Основным свойством стержня является сопротивление, оказываемое продольному сжатию (растяжению) и изгибу. Это свойство коренным образом отличает стержень от струны, которая не растягивается и не сопротивляется изгибу. Если плотность материала стержня во всех его точках одинакова, то стержень называют однородным.
Обычно в качестве стержней рассматриваются протяженные тела, ограниченные замкнутой цилиндрической поверхностью. В этом случае площадь поперечного сечения остается постоянной. Мы будем изучать поведение именно такого однородного стержня длины l , предполагая, что он подвержен только сжатию или растяжению, подчиняясь при этом закону Гука. При изучении малых продольных деформаций стержня обычно принимается так называемая гипотеза плоских сечений. Она заключается в том, что поперечные сечения, перемещаясь при сжатии или растяжении вдоль стержня, остаются плоскими и параллельными друг другу.
Направим ось x вдоль продольной оси стержня (Рис. 19) и будем считать, что в начальный момент времени концы стержня находятся в точках x=0 и x=l . Возьмем произвольное сечение стержня с координатой x . Обозначим через u (x , t ) смещение этого сечения в момент времени t , тогда смещение сечения с координатой в тот же момент времени будет равно
Тогда относительное удлинение стержня в сечении x будет равно
Сила сопротивления этому удлинению по закону Гука будет равна
где E – модуль упругости материала стержня (модуль Юнга), а S – площадь поперечного сечения. На границах участка стержня длиной dx на него действуют силы T x и T x + dx , направленные вдоль оси x . Результирующая эти их сил будет равна
,
а ускорение рассматриваемого участка стержня равно , тогда уравнение движения этого участка стержня будет иметь вид:
, (67)
где ρ – плотность материала стержня. Если эта плотность и модуль Юнга, постоянны, то можно ввести величину через и, поделив обе части уравнения на Sdx , окончательно получить уравнение продольных колебаний стержня в отсутствии внешних сил
(68)
Это уравнение по форме совпадает с уравнением поперечных колебаний струны и методы решения для него те же, однако, коэффициентом a в этих уравнениях обозначены разные величины. В уравнении струны величина a 2 представляет дробь,в числителе которой стоит постоянная сила натяжения струны – Т , а в знаменателе линейная плотность ρ , а в уравнении струныв числители стоит модуль Юнга, а в знаменателе – объемная плотность материала стержня ρ . Отсюда и физический смысл величины a в этих уравнениях разный. Если для струны этот коэффициент является скоростью распространения малого поперечного смещения, то для стержня он является скоростью распространения малого продольного растяжения или сжатия и называется скоростью распространением звука , поскольку именно с этой скоростью будут распространяться по стержню малые продольные колебания, представляющие собой звук.
Для уравнения (68) задаются начальные условия, которые определяют смещение и скорость смещения любого сечения стержня в начальный момент времени:
Для ограниченного стержня задаются условия закрепления или приложения силы на его концах в виде граничных условий 1-го, 2-го и 3-го рода.
Граничные условия первого рода задают продольное перемещение на концах стержня:
Если концы стержня закреплены неподвижно, то в условиях (6) 
. В этом случае, так же как и в задаче о колебании защемленной струны применим метод разделения переменных.
В граничных условиях II рода на концах стержня задаются упругие силы, образующиеся в результате деформации по закону Гука в зависимости от времени. Согласно формуле (66) эти силы с точностью до постоянного множителя равны производной u x , поэтому на концах и задаются эти производные как функции времени:
Если один из концов стержня свободен, то на этом конце u x = 0.
Граничные условия третьего рода могут быть представлены как условия, при которых к каждому концу стержня прикреплена пружина, другой конец которой перемещается вдоль оси по заданному закону времени θ (t ), как это изображено на Рис. 20. Эти условия могут быть записаны следующим образом
, (72)
где k 1 и k 2 – жесткости пружин.
Если на стержень вдоль оси действует ещё и внешняя сила p (x , t ), рассчитанная на единицу объема, то вместо уравнения (50) следует записать неоднородное уравнение
,
Которое, после деления на примет вид
, (73)
где 
. Уравнение (73) представляет собой уравнение вынужденных продольных колебаний стержня, которое решается по аналогии с уравнением вынужденных колебаний струны.
Замечание. Следует заметить, что и струна и стержень являются моделями реальных тел, которые в действительности могут проявлять как свойства струны, так и стержня, в зависимости от условий, в которых они находятся. Кроме того, в полученных уравнениях не учитываются силы сопротивления окружающей среды и силы внутреннего трения, в результате чего эти уравнения описывают незатухающие колебания. Для учета эффекта затухания в простейшем случае используется диссипативная сила, пропорциональная скорости и направленная в сторону, противоположную движению, т.е. скорости. В результате уравнение (73) принимает вид
(74)
Свободные колебания систем с распределённымипараметрами
Основная особенность процесса свободных колебаний систем с бесконечным числом степеней свободы выражается в бесконечности числа собственных частот и форм колебаний. С этим связаны и особенности математического характера: вместо обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих колебания систем с конечным числом степеней свободы, здесь приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в частных производных. Кроме начальных условий, определяющих начальные смещения и скорости, необходимо учитывать и граничные условия, характеризующие закрепление системы.
6.1. Продольные колебания стержней
При анализе продольных колебаний прямолинейного стержня (рис.67,а) будем считать, что поперечные сечения остаются плоскими и что частицы стержня не совершают поперечных движений, а перемещаются только в продольном направлении.
Пусть u - продольное перемещение текущего сечения стержня при колебаниях; это перемещение зависит от расположения сечения (координаты x ) и от времени t . Таким образом, есть функция двух переменных; её определение и представляет основную задачу. Перемещение бесконечно близкого сечения равно , следовательно, абсолютное удлинение бесконечно малого элемента равно (рис.67,б), а относительное его удлинение .
Соответственно продольная сила в сечении с координатой х может быть записана в виде
,(173)
где жёсткость стержня при растяжении (сжатии). Сила N также является функцией двух аргументов – координаты х и времени t .
Рассмотрим элемент стержня, расположенный между двумя бесконечно близкими сечениями (рис.67,в). К левой грани элемента приложена сила N, а к правой – сила . Если обозначить через плотность материала стержня, то масса рассматриваемого элемента составляет . Поэтому уравнение движения в проекции на ось х
,
Учитывая(173)ипринимая A = const , получим
Следуя методу Фурье, ищем частное решение дифференциального уравнения (175) в виде
,(177)
т.е. предположим, что перемещение u можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от аргумента х , а другая только от аргумента t . Тогда вместо определения функции двух переменных u (x , t ) необходимо определять две функции X(x ) и T(t ), каждая из которых зависит только от одной переменной.
Подставив (177) в (174), получим
где штрихами обозначена операция дифференцирования по x , а точками – по t . Перепишем это уравнение таким образом:
Здесь левая часть зависит только от x,а правая – только от t . Для тождественного выполнения этого равенства (при любых x и t ) необходимо, чтобы каждая из его частей была равна постоянной, которую обозначим через :
; .(178)
Отсюда следуют два уравнения:
;
.(179)
Первое уравнение имеет решение:
,(180)
указывающее на колебательный характер, причём из (180) видно, что неизвестная величина имеет смысл частоты свободных колебаний.
Второе из уравнений (179) имеет решение:
,(181)
определяющее форму колебаний.
Частотное уравнение, определяющее величину , составляется путём использования граничных условий. Это уравнение всегда трансцендентное и имеет бесконечное число корней. Таким образом, число собственных частот бесконечно, причём каждому значению частоты соответствует своя функция T n (t ), определяемая зависимостью (180), и своя функция Xn (x ), определяемая зависимостью (181). Решение (177) является лишь частным и не даёт полного описания движения. Полное решение получается путём наложения всех частных решений:
.
Функции X n (x ) называются собственными функциями задачи и описывают собственные формы колебаний. Они не зависят от начальных условий и удовлетворяют условию ортогональности, которое при А=const имеет вид
, если .
Рассмотрим некоторые варианты граничных условий.
Закреплённыйконец стержня (рис.68,а). В концевом сечении перемещение u должно быть равно нулю; отсюда следует, что в этом сечении
X=0(182)
Свободный конец стержня (рис.68,б). В концевом сечении продольная сила
(183)
должна тождественно равняться нулю, что возможно, если в концевом сечении X"=0.
Упругозакреплённый конец стержня (рис.68,в).
При
перемещении u
концевого стержня возникает
упругая реакция опоры 
, где С о - жёсткость опоры. Учитывая (183)
для продольной силы, получим граничное условие
еслиопора расположена на левом конце стержня (рис.68,в),и
если опора расположена на правом конце стержня (рис.68,г).
Сосредоточенная масса на конце стержня.
Развиваемая массой сила инерции:
.
Так как, согласно первому из уравнений (179), , то сила инерции может быть записана в виде . Получаем граничное условие
,
если масса находится на левом конце (рис.68,д),и
, (184)
если масса связана с правым концом (рис.68,е).
Определим собственные частоты консольного стержня (рис.68,a").
Согласно (182) и (183), граничные условия
X=0при х=0;
X"=0 при х= .
Подставляя поочерёдно эти условия в решение (181), получим
Условие С0 приводит к частотному уравнению:
Корни этого уравнения
(n=1,2,…)
определяют собственные частоты:
(n=1,2,…).(185)
Первая (низшая) частота при n=1:
.
Вторая частота (при n=2):
Определим собственные частоты стержня с массой на конце (рис.68,е).
Согласно (182) и (184),имеем
X=0 при х=0;
при х=
.
Подставляя эти условия в решение (181), получим:
D=0; 
.
Следовательно, частотное уравнение при учёте(176) имеет вид
.
Здесь праваячасть представляет собой отношение массы стержня к массе концевого груза.
Для решения полученного трансцендентного уравнения необходимо воспользоваться каким-либо приближённым способом.
При и значения наиболее важного низшего корня будут соответственно 0.32 и 0.65 .
При малом отношении решающее влияние оказывает груз и хорошие результаты даёт приближённое решение
.
Для стержней переменного сечения, т.е. при Аconst , из (173) и (174) получается уравнение движения в виде
.
Это дифференциальное уравнение не поддаётся решению в замкнутом виде. Поэтому в подобных случаях приходится прибегать к приближённым методам определения собственных частот.
6.2. Крутильные колебания валов
Крутильные колебания валас непрерывно распределенной массой (рис.69,а) описываются уравнениями, которые по структуре полностью совпадают с приведенными выше уравнениями продольных колебаний стержней.
Крутящий моментМв сечении с абсциссой х связан с углом поворота дифференциальной зависимостью, аналогичной (173):
где J p -полярный момент инерции поперечного сечения.
В сечении, расположенном на расстоянии dx , крутящий момент равен (рис.69,б):
Обозначая через (где - плотность материала вала) интенсивность момента инерции массы вала относительно его оси (т.е. момент инерции единицы длины), уравнение движения элементарного участка вала можно записать так:
,
или подобно (174):
.
Подставляя сюда выражение (186), приJp =const получим, аналогично (175):
, (187)
Общее решение уравнения (187), как и уравнения (175), имеет вид
,
(188)
Собственные частоты и собственные функции при этом определяются конкретными граничными условиями.
В основных случаях закрепления концов аналогично случаю продольных колебаний получим
а) закрепленный конец (=0): Х=0;
б) свободный конец (М=0): Х"=0;
в) упругозакрепленный левый конец: СоХ=GJpX " (Со-коэффициент жёсткости);
г) упругозакрепленный правый конец: -СоХ=GJpX ";
д
) диск на левом конце: 
(Jo-момент инерции
диска относительно оси стержня);
е) диск на
правом конце: 
.
Если вал закреплён на левом конце (х=0), а правый конец (х= ) свободен, то Х=0 при х=0 и Х"=0 при x= ; собственные частоты определяются аналогично (185):
(n=1,2,…).
Если левый конец закреплён, а на правом конце имеется диск, получим трансцендентное уравнение:
.
Если оба конца вала закреплены, то граничные условия будут X=0 при х=0 и х= . В этом случае из (188) получим
т.е.
(n=1,2,…),
отсюда находим собственные частоты:
Если левый конец вала свободен, а на правом конце имеется диск, то X"=0 при х=0 ;Jo X=GJpX "при х= .
При помощи (188) находим
С=0; 
,
или трансцендентное частотное уравнение:
.
6.3.Изгибные колебания балок
6.3.1.Основное уравнение
Из курса сопротивления материалов известны дифференциальные зависимости при изгибе балок:
где EJ - жёсткость при изгибе; y=y (x , t ) - прогиб; M=M(x , t ) - изгибающий момент; q - интенсивность распределённой нагрузки.
Объединяя (189) и (190), получим
.(191)
В задаче о свободных колебаниях нагрузкой для упругого скелета являются распределённые силы инерции:
где m - интенсивность массы балки (масса единицы длины), и уравнение (191) принимает вид
.
В частном случае постоянного поперечного сечения, когда EJ = const , m = const , имеем:
.(192)
Для решения уравнения (192) полагаем, как и выше,
y = X (x ) × T (t ).(193)
Подставляя (193) в (192), приходим к уравнению:
.
Для тождественного выполнения этого равенства необходимо, чтобы каждая из частей равенства была постоянной. Обозначая эту постоянную через , получим два уравнения:
.(195)
Первое уравнение указывает на то, что движение носит колебательный характер с частотой .
Второе уравнение определяет форму колебаний. Решение уравнения (195) содержит четыре постоянных и имеет вид
Удобно использовать вариант записи общего решения, предложенный А.Н.Крыловым:
(198)
представляют собой функции А.Н.Крылова.
Обратим внимание на то, что S=1, T=U=V=0 при x=0. Функции S,T,U,V связаны между собой следующим образом:
Поэтому производные выражения (197) записываются в виде
(200)
В задачах рассматриваемого класса число собственных частот бесконечно велико; каждой из них отвечает своя функция времени T n и своя фундаментальная функция X n . Общее решение получится путём наложения частных решений вида (193)
.(201)
Для определения собственных частот и формул необходимо рассмотреть граничные условия.
6.3.2. Граничные условия
Для каждого конца стержня можно указать два граничных условия.
Свободный конец стержня (рис. 70,а). Нулю равны поперечная сила Q=EJX"""T и изгибающий момент M=EJX""T. Поэтому граничные условия имеют вид
X""=0; X"""=0 .(202)
Шарнирно-опёртый конец стержня (рис.70,б). Нулю равны прогиб y=XT и изгибающий момент M=EJX""T. Следовательно, граничные условиятаковы:
X=0 ; X""=0 .(203)
Защемленный конец (рис.70,в). Нулю равны прогиб y=XT и угол поворота . Граничные условия:
X=0; X"=0 . (204)
На конце стержня имеется точечный груз массы
(рис.70,г). Его
сила инерции 
может быть при помощи
уравнения (194) записана так: ; она должна быть равна поперечной силеQ=EJX"""T , поэтому граничные условия
принимают вид
; X""=0 .(205)
В первом условии знак плюс принимается в случае, когда точечныйгруз связан с левым концом стержня, и знак минус, когда он связан с правым концом стержня. Второе условие вытекает из отсутствия изгибающего момента.
Упруго-опертый конец стержня
(рис.70,д).
Здесь изгибающий момент равен нулю, а поперечная сила Q=EJX"""T равна реакции
опоры 
(C o -коэффициент
жёсткости опоры).
Граничные условия:
X""=0 ; (206)
(знак минус принимается в случае, когда упругая опора является левой, и знак плюс, когда она является правой).
6.3.3. Частотное уравнение и собственные формы
Развёрнутая запись граничных условий приводит к однородным уравнениям относительно постоянных C 1 , C 2 , C 3 , C 4 .
Чтобы эти постоянные не равнялись нулю, должен равняться нулю определитель, составленный из коэффициентов системы; это приводит к частотному уравнению. При этих операциях выясняются соотношения между C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , т.е. определяются собственные формы колебаний (с точностью до постоянного множителя).
Проследим составление частотных уравнений на примерах.
Для балки с шарнирно-опёртыми концами согласно (203) имеем следующие граничные условия: X=0; X""=0 при x=0 и x= . При помощи(197)-(200) получим из первых двух условий: C 1 =C 3 =0. Два оставшихся условия можно записать в виде
Чтобы C 2 и C 4 не были равны нулю, необходимо равенство нулю определителя:
.
Таким образом, частотное уравнение имеет вид
.
Подставляя выражения T и U, получим
Так как , то окончательно частотное уравнение записывается так:
. (207)
Корни этого уравнения:
,(n =1,2,3,...).
Учитывая (196), получим
.(208)
Перейдём к определению собственных форм. Из записанных выше однородных уравнений вытекает следующее соотношениемежду постоянными C 2 и C 4:
.
Следовательно, (197) приобретает вид
Согласно (207), имеем
,(209)
где - новая постоянная, значение которой остаётся неопределённым, пока не введены в рассмотрение начальные условия.
6.3.4. Определение движения по начальным условиям
Если требуется определить движение, следующее после начального возмущения, то необходимо указать для всех точек балки как начальные смещения, так и начальные скорости:
(210)
и использовать свойство ортогональности собственных форм:
.
Общее решение (201) запишем так:
.(211)
Скорость определяется выражением
.(212)
Подставляя в правые части уравнений (211) и (212) , а в левые части - предполагаемые известными начальные смещения и скорости, получим
.
Умножая эти выражения на и интегрируя по всей длине, имеем
(213)
Бесконечные суммы в правых частях исчезли вследствие свойства ортогональности. Из (213) следуют формулы для постоянных и
(214)
Теперь эти результаты нужно подставить в решение (211).
Снова подчеркнём, что выбор масштаба собственных форм несущественен. Если, например, в выражении собственной формы (209) принять вместо величину в раз большую, то (214) дадут результаты в раз меньшие; после подстановки в решение (211) эти различия компенсируют друг друга. Тем не менее часто пользуются нормированными собственными функциями, выбирая их масштаб таким, чтобы знаменатели выражений (214) равнялись единице, что упрощает выражения и .
6.3.5. Влияние постоянной продольной силы
Рассмотрим случай, когда колеблющаяся балка испытывает действие продольной силы N , величина которой не меняется в процессе колебаний. В этом случае уравнение статического изгиба усложняется и приобретает вид (при условии, что сжимающая сила считается положительной)
.
Полагая и считая жёсткость постоянной, получаем уравнение свободных колебаний
.(215)
Принимаем по-прежнему частное решение в виде.
Тогда уравнение (215) распадается на два уравнения:
Первое уравнение выражает колебательный характер решения, второе определяет форму колебаний, а также позволяет найти частоты. Перепишем его таким образом:
(216)
где K определяется формулой (196), а
Решение уравнения (216) имеет вид
Рассмотрим
случай, когда оба конца стержня имеют шарнирные опоры. Условия на левом конце 
дают . Удовлетворяя те же условия на правом конце, получим
Приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов при величинах и , приходим к уравнению
Корни этого частотного уравнения:
Следовательно, собственная частота определится из уравнения
.
Отсюда при учёте (217) находим
.(219)
При растяжении частота увеличивается, при сжатии уменьшается. Когда сжимающая сила N приближается к критическому значению, корень стремится к нулю.
6.3.6. Влияние цепных усилий
Ранее продольная сила считалась заданной и не зависящей от перемещений системы. В некоторых практических задачах сопровождающая процесс поперечных колебаний продольная сила возникает вследствие изгиба балки и носит характер реакции опоры. Рассмотрим, например, балку на двух шарнирно-неподвижных опорах. При её изгибе возникают горизонтальные реакции опор, вызывающие растяжение балки; соответствующее горизонтальное усилие принято называть цепным усилием . Если балка совершает поперечные колебания, то цепное усилие будет изменяться во времени.
Если в мгновение t прогибы балки определяются функцией , то удлинение оси можно найти по формуле
.
Соответствующее цепное усилие найдём при помощи закона Гука
.
Подставим этот результат в (215) вместо продольной силы N (с учётом знака)
.(220)
Полученное нелинейное интегродифференциальное уравнение упрощается при помощи подстановки
,(221)
где безразмерная функция времени, максимальное значение которой можно положить равным любому числу, например, единице; амплитуда колебаний.
Подставляя (221) в (220), получим обыкновенное дифференциальное уравнение
,(222)
коэффициенты которого имеют следующие значения:
;.
Дифференциальное уравнение (222) является нелинейным, следовательно, частота свободных колебаний зависит от их амплитуды.
Точное решение для частоты поперечных колебаний имеет вид
где частота поперечных колебаний, вычисленная без учёта цепных усилий; поправочный коэффициент, зависящий от отношения амплитуды колебаний к радиусу инерции поперечного сечения ; величина приводится в справочной литературе.
При соизмеримости амплитуды и радиуса инерции поперечного сечения поправка к частоте становится значительной. Если, например, амплитуда колебаний стержня круглого сечения равна его диаметру, то , и частота почти в два раза больше, чем в случае свободного смещения опор.
Случай соответствует нулевому значению радиуса инерции, когда изгибная жёсткость балки исчезающе мала - струна. При этом формула для даёт неопределённость. Раскрывая эту неопределённость, получим формулу для частоты колебаний струны
.
Эта формула относится к случаю, когда в положении равновесия натяжение равно нулю. Часто задачу о колебаниях струны ставят в других предположениях: считают, что перемещения малы, а растягивающая сила задана и остаётся неизменной в процессе колебаний.
При этом формула для частоты имеет вид
где N - постоянная растягивающая сила.
6.4. Влияние вязкого трения
Ранее предполагалось, что материал стержней идеально упругий и трение отсутствует. Рассмотрим влияние внутреннего трения, считая, что оно является вязким; тогда связь напряжений с деформациями описывается соотношениями
;
.(223)
Пусть стержень с распределёнными параметрами совершает свободные продольные колебания. В этом случае продольная сила запишется в виде
Из уравнения движения элемента стержня было получено соотношение (174)
Подставляя сюда (224), приходим к основному дифференциальному уравнению
,(225)
которое отличается от (175) вторым слагаемым, выражающим влияние сил вязкого трения.
Следуя методу Фурье, ищем решение уравнения (225) в виде
,(226)
где функция только координаты x , а функция только времени t .
При этом каждый член ряда должен удовлетворять граничным условиям задачи, а вся сумма - также и начальным условиям. Подставляя(226)в(225)и требуя, чтобы равенство удовлетворялось для любого номера r , получим
,(227)
где штрихи обозначают дифференцирование по координате x , а точки - дифференцирование по времени t .
Разделив
(227) на произведение 
, приходим к равенству
,(228)
левая часть, которого может зависеть только от координаты x , а правая - только от времени t . Для тождественного выполнения равенства (228) необходимо, чтобы обе части были равны одной и той же постоянной, которую обозначим через .
Из этого следуют уравнения
(229)
.(230)
Уравнение (229) не зависит от коэффициента вязкости K и, в частности, остаётся таким же в случае идеально упругой системы, когда . Поэтому числа полностью совпадают с найденными ранее; однако, как будет показано ниже, величина даёт лишь приближённое значение собственной частоты. Отметим, что собственные формы совершенно не зависят от вязких свойств стержня, т.е. формы свободных затухающих колебаний совпадают с формами свободных незатухающих колебаний.
Теперь перейдём к уравнению (230), описывающему процесс затухающих колебаний; его решение имеет вид
.(233)
Выражение (232) определяет темп затухания, а (233) - частоту колебаний.
Таким образом, полное решение уравнения задачи
.(234)
Постоянные и всегда можно найти по заданным начальным условиям. Пусть начальные смещения и начальные скорости всех сечений стержня заданы следующим образом:
;
,(235)
где и - известные функции.
Тогда при , согласно (211) и (212), имеем
умножая обе части этих равенств на и интегрируя в пределах всей длины стержня, получим
(236)
Соответственно условию ортогональности собственных форм все остальные слагаемые, входящие в правые части этих равенств, обращаются в нуль. Теперь из равенств (236) легко найти и для любого номера r .
Рассматривая (232) и (234), заметим, что чем выше номер формы колебаний , тем быстрее её затухание. Кроме того, слагаемые, входящие в(234), описывают затухающие колебания, если есть действительное число. Из (233) видно, что это имеет место лишь для нескольких начальных значений r , пока выполняется неравенство
При достаточно больших значенияхr неравенство (237) нарушается и величина становится мнимой. При этом соответствующие члены общего решения (234) уже не будут описывать затухающие колебания, но будут представлять апериодическое затухающее движение. Другими словами, колебания, в обычном смысле слова, выражает только некоторая конечная часть суммы (234).
Все эти качественные выводы относятся не только к случаю продольных колебаний, но и к случаям крутильных и изгибных колебаний.
6.5. Колебания стержней переменного сечения
В тех случаях, когда распределённая масса и сечение стержня переменны по его длине, следует вместо уравнения продольных колебаний (175) исходить из уравнения
.(238)
Уравнение крутильных колебаний (187) должно быть заменено уравнением
,(239)
а уравнение поперечных колебаний (192) – уравнением
.(240)
Уравнения (238)-(240) при помощи однотипных подстановок ;;можно привести к обыкновенным дифференциальным уравнениям для функции
Продольные волны
Определение 1
Волна, в которой колебания происходят в направлении ее распространения. Примером продольной волны может служить звуковая волна.
Рисунок 1. Продольная волна
Механические продольные волны также называют компрессионными волнами или волнами сжатия, так как они производят сжатие при движении через среду. Поперечные механические волны также называют "Т-волны" или "волны сдвига".
Продольные волны включают в себя акустические волны (скорость частиц, распространяющихся в упругой среде) и сейсмические Р-волны (созданные в результате землетрясений и взрывов). В продольных волнах, смещение среды параллельно направлению распространения волны.
Звуковые волны
В случае продольных гармонических звуковых волн , частота и длина волны может быть описана формулой:
$y_0-$ амплитуда колебаний;\textit{}
$\omega -$ угловая частота волны;
$c-$ скорость волны.
Обычная частота $\left({\rm f}\right)$волны задается
Скорость звука распространения зависит от типа, температуры и состава среды, через которую он распространяется.
В упругой среде, гармоническая продольная волна проходит в положительном направлении вдоль оси.
Поперечные волны
Определение 2
Поперечная волна - волна, в которой направление молекул колебаний среды перпендикулярно к направлению распространения. Примером поперечных волн служит электромагнитная волна.
Рисунок 2. Продольная и поперечная волны
Рябь в пруду и волны на струне легко представить в виде поперечных волн.
Рисунок 3. Световые волны являются примером поперечной волны
Поперечные волны являются волнами, которые колеблются перпендикулярно к направлению распространения. Есть два независимых направления, в которых могут возникать волновые движения.
Определение 3
Двумерные поперечные волны демонстрируют явление, называемое поляризацией.
Электромагнитные волны ведут себя таким же образом, хотя это немного сложнее увидеть. Электромагнитные волны также являются двухмерными поперечными волнами.
Пример 1
Докажите, что уравнение плоской незатухающей волны ${\rm y=Acos}\left(\omega t-\frac{2\pi }{\lambda }\right)x+{\varphi }_0$ для волны, которая представлена на рисунке, можно записать в виде ${\rm y=Asin}\left(\frac{2\pi }{\lambda }\right)x$. Убедитесь в этом, подставив значения координаты$\ \ x$, которые раны $\frac{\lambda}{4}$; $\frac{\lambda}{2}$; $\frac{0,75}{\lambda}$.
Рисунок 4.
Уравнение $y\left(x\right)$ для плоской незатухающей волны не зависит от $t$, значит, момент времени $t$ можно выбрать произвольным. Выберем момент времени $t$ таким, что
\[\omega t=\frac{3}{2}\pi -{\varphi }_0\] \
Подставим это значение в уравнение:
\ \[=Acos\left(2\pi -\frac{\pi }{2}-\left(\frac{2\pi }{\lambda }\right)x\right)=Acos\left(2\pi -\left(\left(\frac{2\pi }{\lambda }\right)x+\frac{\pi }{2}\right)\right)=\] \[=Acos\left(\left(\frac{2\pi }{\lambda }\right)x+\frac{\pi }{2}\right)=Asin\left(\frac{2\pi }{\lambda }\right)x\] \ \ \[{\mathbf x}{\mathbf =}\frac{{\mathbf 3}}{{\mathbf 4}}{\mathbf \lambda }{\mathbf =}{\mathbf 18},{\mathbf 75}{\mathbf \ см,\ \ \ }{\mathbf y}{\mathbf =\ }{\mathbf 0},{\mathbf 2}{\cdot}{\mathbf sin}\frac{{\mathbf 3}}{{\mathbf 2}}{\mathbf \pi }{\mathbf =-}{\mathbf 0},{\mathbf 2}\]
Ответ: $Asin\left(\frac{2\pi }{\lambda }\right)x$
