Sinus va kosinus dastlab to'g'ri burchakli uchburchaklardagi miqdorlarni hisoblash zaruratidan kelib chiqqan. Agar burchaklarning daraja o'lchovi bo'lsa, e'tiborga olindi to'g'ri uchburchak o'zgarmasa, u holda tomonlar nisbati, bu tomonlar uzunligi qanchalik o'zgargan bo'lmasin, har doim bir xil bo'lib qoladi.

Shunday qilib sinus va kosinus tushunchalari kiritildi. To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning sinusi qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati va kosinus - gipotenuzaga qo'shni tomonning nisbati.

Kosinuslar va sinuslar teoremalari

Ammo kosinuslar va sinuslar faqat to'g'ri burchakli uchburchaklar uchun emas, balki ko'proq uchun ishlatilishi mumkin. Har qanday uchburchakning o'tkir yoki o'tkir burchagi yoki tomonining qiymatini topish uchun kosinuslar va sinuslar teoremasini qo'llash kifoya.

Kosinus teoremasi juda oddiy: “Uchburchak tomonlarining kvadrati summasiga teng qolgan ikki tomonning kvadratlari bu tomonlarning ikki baravar ko'paytmasini ular orasidagi burchakning kosinusiga olib tashlang.

Sinus teoremasining ikkita talqini mavjud: kichik va kengaytirilgan. Kichkintoyning so'zlariga ko'ra: "Uchburchakda burchaklar qarama-qarshi tomonlarga proportsionaldir." Ushbu teorema ko'pincha uchburchakning aylanasi xususiyati tufayli kengaytiriladi: "Uchburchakda burchaklar qarama-qarshi tomonlarga proportsionaldir va ularning nisbati aylananing diametriga tengdir."

Hosilalar

Hosila - bu argumentning o'zgarishiga nisbatan funktsiya qanchalik tez o'zgarishini ko'rsatadigan matematik vositadir. Hosilalar geometriyada va bir qator texnik fanlarda qo'llaniladi.

Muammolarni hal qilishda siz trigonometrik funktsiyalarning hosilalarining jadval qiymatlarini bilishingiz kerak: sinus va kosinus. Sinusning hosilasi kosinus, kosinus esa sinus, lekin minus belgisi bilan.

Matematikada qo'llash

Sinuslar va kosinuslar, ayniqsa, to'g'ri burchakli uchburchaklar va ular bilan bog'liq masalalarni yechishda tez-tez ishlatiladi.

Sinuslar va kosinuslarning qulayligi texnologiyada ham namoyon bo'ladi. Burchaklar va tomonlarni kosinus va sinus teoremalari yordamida baholash oson edi, murakkab shakllar va ob'ektlarni "oddiy" uchburchaklarga bo'lishdi. Ko'pincha tomonlar nisbati va daraja o'lchovlarini hisoblash bilan shug'ullanadigan muhandislar jadvalsiz burchaklarning kosinuslari va sinuslarini hisoblash uchun ko'p vaqt va kuch sarfladilar.

Keyin turli burchaklardagi sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangenslarning minglab qiymatlarini o'z ichiga olgan Bradis jadvallari yordamga keldi. IN Sovet davri ba'zi o'qituvchilar o'z shogirdlarini Bradis jadvallari sahifalarini yodlashga majbur qilishgan.

Radian - uzunligi radius yoki 57,295779513 ° darajaga teng bo'lgan yoyning burchak qiymati.

Daraja (geometriyada) - aylananing 1/360 qismi yoki 1/90 qismi to'g'ri burchak.

p = 3,141592653589793238462… (Pi ning taxminiy qiymati).

Ushbu maqolada biz qanday qilib berishni ko'rsatamiz trigonometriyada burchak va sonning sinus, kosinus, tangens va kotangens ta’riflari. Bu erda biz yozuvlar haqida gapiramiz, yozuvlarga misollar keltiramiz va grafik rasmlarni beramiz. Xulosa qilib aytganda, trigonometriya va geometriyada sinus, kosinus, tangens va kotangens ta’riflari o‘rtasida parallellik o‘tkazamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'rifi

Keling, sinus, kosinus, tangens va kotangens tushunchasi qanday shakllanganligini ko'rib chiqaylik maktab kursi matematika. Geometriya darslarida to‘g‘ri burchakli uchburchakdagi o‘tkir burchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensining ta’rifi berilgan. Keyinchalik trigonometriya o'rganiladi, u sinus, kosinus, aylanish burchagi va sonning tangensi va kotangensi haqida gapiradi. Keling, ushbu ta'riflarning barchasini keltiramiz, misollar keltiramiz va kerakli sharhlarni beramiz.

To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak

Geometriya kursidan biz toʻgʻri burchakli uchburchakdagi oʻtkir burchakning sinus, kosinus, tangens va kotangens taʼriflarini bilamiz. Ular to'g'ri burchakli uchburchak tomonlari nisbati sifatida berilgan. Keling, ularning formulalarini keltiramiz.

Ta'rif.

To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak sinusi qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati.

Ta'rif.

To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning kosinusu- qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati.

Ta'rif.

To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning tangensi- bu qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati.

Ta'rif.

To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning kotangensi- bu qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbati.

U erda sinus, kosinus, tangens va kotangens belgilari ham kiritilgan - mos ravishda sin, cos, tg va ctg.

Masalan, agar ABC to'g'ri burchakli C burchakli to'g'ri burchakli uchburchak bo'lsa, u holda o'tkir burchakning sinusi A nisbatga teng AB gipotenuzasiga BC qarama-qarshi tomoni, ya'ni sin∠A=BC/AB.

Ushbu ta'riflar o'tkir burchakning sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlarini to'g'ri burchakli uchburchak tomonlarining ma'lum uzunliklaridan, shuningdek ma'lum qiymatlar sinus, kosinus, tangens, kotangens va tomonlardan birining uzunligi yordamida boshqa tomonlarning uzunliklarini toping. Masalan, to‘g‘ri burchakli uchburchakda AC oyog‘i 3 ga, AB gipotenuzasi 7 ga teng ekanligini bilsak, u holda A o‘tkir burchak kosinusining qiymatini ta’rif bo‘yicha hisoblashimiz mumkin: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Burilish burchagi

Trigonometriyada ular burchakka kengroq qarashni boshlaydilar - ular burilish burchagi tushunchasini kiritadilar. Aylanish burchagining kattaligi, o'tkir burchakdan farqli o'laroq, 0 dan 90 gradusgacha cheklanmaydi; gradusdagi aylanish burchagi (va radianlarda) -∞ dan +∞ gacha bo'lgan har qanday haqiqiy son bilan ifodalanishi mumkin.

Shu nuqtai nazardan, sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'riflari o'tkir burchakka emas, balki ixtiyoriy o'lchamdagi burchakka - burilish burchagiga berilgan. Ular A 1 nuqtasining x va y koordinatalari orqali berilgan, unga boshlang'ich nuqta deb ataladigan A(1, 0) o'zining O nuqtasi atrofida a burchak bilan aylanganidan keyin ketadi - to'rtburchaklar Dekart koordinata tizimining boshlanishi. va birlik doirasining markazi.

Ta'rif.

Burilish burchagi sinusi a - A nuqtaning ordinatasi 1, ya'ni sina=y.

Ta'rif.

Aylanish burchagining kosinusu a ga A 1 nuqtaning abssissasi deyiladi, ya’ni cosa=x.

Ta'rif.

Aylanish burchagi tangensi a - A 1 nuqta ordinatasining uning abssissasiga nisbati, ya'ni tana=y/x.

Ta'rif.

Aylanish burchagi kotangensi a - A 1 nuqta abssissasining uning ordinatasiga nisbati, ya'ni ctga=x/y.

Sinus va kosinus har qanday a burchak uchun aniqlanadi, chunki biz har doim nuqtaning abscissa va ordinatasini aniqlashimiz mumkin, bu esa boshlang'ich nuqtani a burchakka aylantirish orqali olinadi. Lekin tangens va kotangens hech qanday burchak uchun aniqlanmagan. Boshlanish nuqtasi nol abscissa (0, 1) yoki (0, −1) bo‘lgan nuqtaga o‘tadigan a burchaklar uchun tangens aniqlanmagan va bu 90°+180° k, k∈Z (p) burchaklarda sodir bo‘ladi. /2+p·k rad). Darhaqiqat, bunday burilish burchaklarida tga=y/x ifodasi mantiqiy emas, chunki u nolga bo'linishni o'z ichiga oladi. Kotangentga kelsak, u boshlang'ich nuqtasi nol ordinatali (1, 0) yoki (-1, 0) nuqtaga o'tadigan a burchaklar uchun aniqlanmagan va bu 180 ° k, k ∈Z burchaklar uchun sodir bo'ladi. (p·k rad).

Demak, har qanday aylanish burchagi uchun sinus va kosinus, 90°+180°k, k∈Z (p/2+pk rad) dan boshqa barcha burchaklar uchun tangens, 180° ·k dan tashqari barcha burchaklar uchun kotangens aniqlanadi. , k∈Z (p·k rad).

Ta'riflar bizga allaqachon ma'lum bo'lgan sin, cos, tg va ctg belgilarini o'z ichiga oladi, ular aylanish burchagining sinus, kosinus, tangens va kotangensini belgilash uchun ham ishlatiladi (ba'zan siz tangens va kotangensga mos keladigan tan va kotangens belgilarini topishingiz mumkin) . Shunday qilib, 30 graduslik aylanish burchagining sinusini sin30 ° deb yozish mumkin, tg (-24 ° 17') va ctga yozuvlari aylanish burchagi tangensiga -24 gradus 17 daqiqaga va aylanish burchagi kotangensiga to'g'ri keladi a . Eslatib o'tamiz, burchakning radian o'lchovini yozishda "rad" belgisi ko'pincha o'tkazib yuboriladi. Masalan, uch pi rad burilish burchagining kosinusu odatda cos3·p bilan belgilanadi.

Ushbu fikrni yakunlab, shuni ta'kidlash kerakki, aylanish burchagining sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi haqida gap ketganda, ko'pincha "aylanish burchagi" iborasi yoki "aylanish" so'zi tushib qoladi. Ya'ni, odatda "aylanish burchagi alfa sinusi" iborasi o'rniga "alfa burchagi sinusi" yoki undan ham qisqaroq "sinus alfa" iborasi ishlatiladi. Xuddi shu narsa kosinus, tangens va kotangens uchun ham amal qiladi.

To'g'ri burchakli uchburchakda sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'riflari 0 dan 90 gradusgacha bo'lgan burilish burchagining sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi uchun berilgan ta'riflarga mos kelishini ham aytamiz. Biz buni oqlaymiz.

Raqamlar

Ta'rif.

Sonning sinus, kosinus, tangensi va kotangensi t - mos ravishda t radiandagi aylanish burchagining sinus, kosinus, tangensi va kotangensiga teng son.

Masalan, ta'rifi bo'yicha 8·p sonining kosinusu 8·p rad burchak kosinusiga teng sondir. Burchakning kosinusu esa 8 p rad birga teng, shuning uchun 8·p sonining kosinasi 1 ga teng.

Sonning sinus, kosinus, tangens va kotangensini aniqlashning yana bir usuli mavjud. U shundan iboratki, har bir haqiqiy son t birlik aylanasidagi nuqta bilan toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasining boshidagi markaz bilan bogʻlanadi va shu nuqtaning koordinatalari orqali sinus, kosinus, tangens va kotangens aniqlanadi. Keling, buni batafsil ko'rib chiqaylik.

Keling, aylanadagi haqiqiy sonlar va nuqtalar o'rtasidagi yozishmalar qanday o'rnatilishini ko'rsatamiz:

• 0 raqamiga A (1, 0) boshlang'ich nuqtasi beriladi;
• musbat t soni birlik aylanasidagi nuqta bilan bog'langan bo'lib, agar biz aylana bo'ylab boshlang'ich nuqtadan soat miliga teskari yo'nalishda harakat qilsak va t uzunlikdagi yo'lni bosib o'tsak, unga erishamiz;
• salbiy raqam t birlik aylana nuqtasi bilan bog'langan bo'lib, agar biz aylana bo'ylab boshlang'ich nuqtadan soat yo'nalishi bo'yicha harakat qilsak va |t| uzunlikdagi yo'ldan yursak, erishamiz. .

Endi t sonining sinus, kosinus, tangens va kotangens ta'riflariga o'tamiz. Faraz qilaylik, t soni aylananing A 1 (x, y) nuqtasiga mos keladi (masalan, &pi/2; soni A 1 (0, 1) nuqtaga mos keladi).

Ta'rif.

Raqamning sinusi t - t soniga mos keladigan birlik doiradagi nuqtaning ordinatasi, ya'ni sint=y.

Ta'rif.

Raqamning kosinusu t t soniga mos keladigan birlik aylana nuqtasining abssissasi deyiladi, ya'ni xarajat=x.

Ta'rif.

Raqam tangensi t - t soniga mos keladigan birlik doiradagi nuqtaning abssissasiga ordinataning nisbati, ya'ni tgt=y/x. Boshqa ekvivalent formulada t sonining tangensi bu sonning sinusining kosinusga nisbati, ya'ni tgt=sint/xarajatdir.

Ta'rif.

Raqamning kotangenti t - abssissaning t soniga mos keladigan birlik doiradagi nuqta ordinatasiga nisbati, ya'ni ctgt=x/y. Yana bir formulasi quyidagicha: t sonining tangensi t sonining kosinusining t sonining sinusiga nisbati: ctgt=cost/sint.

Bu erda biz hozirgina berilgan ta'riflar ushbu bandning boshida berilgan ta'rifga mos kelishini ta'kidlaymiz. Haqiqatan ham, t soniga mos keladigan birlik doirasidagi nuqta boshlang'ich nuqtani t radian burchakka aylantirish natijasida olingan nuqtaga to'g'ri keladi.

Hali ham bu fikrga aniqlik kiritishga arziydi. Aytaylik, bizda sin3 yozuvi bor. 3 sonining sinusi yoki 3 radianning aylanish burchagining sinusi haqida gapirayotganimizni qanday tushunish mumkin? Bu odatda kontekstdan aniq bo'ladi, aks holda bu muhim ahamiyatga ega emas.

Burchak va son argumentning trigonometrik funktsiyalari

Oldingi paragrafda keltirilgan ta'riflarga ko'ra, har bir aylanish burchagi a juda o'ziga xos xususiyatga mos keladi gunoh qiymati a, cosa qiymati kabi. Bundan tashqari, 90°+180°k, k∈Z (p/2+pk rad) dan boshqa barcha burilish burchaklari tga qiymatlariga mos keladi va 180°k dan boshqa qiymatlar, k∈Z (pk rad ) – qiymatlar. ctga ning. Shuning uchun sina, kosa, tana va ctga a burchakning funksiyalaridir. Boshqacha qilib aytganda, bu burchak argumentining funktsiyalari.

Raqamli argumentning sinus, kosinus, tangens va kotangens funksiyalari haqida ham xuddi shunday gapirishimiz mumkin. Darhaqiqat, har bir haqiqiy son t juda aniq qiymatga mos keladi sint, shuningdek, xarajat. Bundan tashqari, p/2+p·k, k∈Z dan boshqa barcha raqamlar tgt qiymatlariga, p·k, k∈Z raqamlari esa ctgt qiymatlariga mos keladi.

Sinus, kosinus, tangens va kotangens funksiyalar deyiladi asosiy trigonometrik funktsiyalar.

Odatda kontekstdan biz burchak argumentining trigonometrik funktsiyalari yoki raqamli argument bilan shug'ullanayotganimiz aniq bo'ladi. Aks holda, mustaqil o'zgaruvchini burchak o'lchovi (burchak argumenti) va raqamli argument sifatida ko'rishimiz mumkin.

Biroq, maktabda ular asosan o'qishadi raqamli funktsiyalar, ya'ni argumentlari mos funksiya qiymatlari kabi raqamlar bo'lgan funksiyalar. Shuning uchun, agar haqida gapiramiz Xususan, funksiyalar haqida trigonometrik funksiyalarni sonli argumentlar funksiyasi sifatida ko‘rib chiqish maqsadga muvofiqdir.

Geometriya va trigonometriya ta'riflari o'rtasidagi bog'liqlik

Agar aylanish burchagi a ni 0 dan 90 gradusgacha bo'lgan deb hisoblasak, u holda trigonometriya kontekstida aylanish burchagining sinus, kosinus, tangens va kotangens ta'riflari sinus, kosinus, tangens va kotangens ta'riflariga to'liq mos keladi. geometriya kursida berilgan to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak. Keling, buni oqlaylik.

Keling, Oksini to'rtburchaklar dekart koordinatalar tizimida tasvirlaylik birlik doirasi. A(1, 0) boshlang'ich nuqtasini belgilaymiz. Uni 0 dan 90 gradusgacha bo'lgan a burchak bilan aylantiramiz, A 1 (x, y) nuqtasini olamiz. A 1 nuqtadan Ox o'qiga A 1 H perpendikulyar tushiramiz.

To‘g‘ri burchakli uchburchakda A 1 OH burchak a burilish burchagiga, shu burchakka tutashgan oyoq uzunligi OH A 1 nuqta abssissasiga teng ekanligini, ya’ni |OH ekanligini ko‘rish oson. |=x, burchakka qarama-qarshi bo’lgan A 1 H oyoq uzunligi A 1 nuqta ordinatasiga, ya’ni |A 1 H|=y, OA 1 gipotenuza uzunligi esa birga teng, chunki u birlik doirasining radiusi. U holda, geometriya ta'rifiga ko'ra, A 1 OH to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak a sinusi qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng, ya'ni sina=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Va trigonometriya ta'rifiga ko'ra, a aylanish burchagining sinusi A 1 nuqtaning ordinatasiga teng, ya'ni sina=y. Bu shuni ko'rsatadiki, to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning sinusini aniqlash a 0 dan 90 gradusgacha bo'lganida, a aylanish burchagining sinusini aniqlashga tengdir.

Xuddi shunday, a o'tkir burchakning kosinus, tangensi va kotangensining ta'riflari a aylanish burchagining kosinus, tangensi va kotangensi ta'riflariga mos kelishini ko'rsatish mumkin.

Adabiyotlar ro'yxati.

1. Geometriya. 7-9 sinflar: darslik umumiy ta'lim uchun muassasalar / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev va boshqalar]. - 20-nashr. M.: Ta'lim, 2010. - 384 b.: kasal. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometriya: darslik. 7-9 sinflar uchun. umumiy ta'lim muassasalar / A. V. Pogorelov. - 2-nashr - M.: Ta'lim, 2001. - 224 b.: kasal. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra va elementar funktsiyalar : Qo'llanma 9-sinf o'quvchilari uchun o'rta maktab/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Fizika-matematika fanlari doktori O. N. Golovin tomonidan tahrirlangan - 4-nashr. M.: Ta'lim, 1969 yil.
4. Algebra: Darslik 9-sinf uchun. o'rtacha maktab/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovskiy. - M.: Ta'lim, 1990. - 272 b.: kasal. - ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 sinflar uchun. umumiy ta'lim muassasalar / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn va boshqalar; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14-nashr - M.: Ta'lim, 2004. - 384 pp.: kasal. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A.G. Algebra va tahlilning boshlanishi. 10-sinf. Soat 14 da 1-qism: uchun o'quv qo'llanma ta'lim muassasalari(profil darajasi)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4-nashr, qo'shimcha. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 b.: kasal. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra va matematik tahlilning boshlanishi. 10-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun muassasalar: asosiy va profil. darajalari /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; tomonidan tahrirlangan A. B. Jijchenko. - 3-nashr. - I.: Ta'lim, 2010.- 368 b.: kasal.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Algebra va tahlilning boshlanishi: Darslik. 10-11 sinflar uchun. o'rtacha maktab - 3-nashr. - M.: Ta'lim, 1993. - 351 b.: kasal. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

Sinusni qanday topish mumkin?

Geometriyani o'rganish fikrlashni rivojlantirishga yordam beradi. Ushbu element tarkibiga kiritilishi kerak maktabga tayyorgarlik. Kundalik hayotda ushbu mavzu bo'yicha bilim foydali bo'lishi mumkin - masalan, kvartirani rejalashtirishda.

Tarixdan

Geometriya kursi trigonometrik funktsiyalarni o'rganuvchi trigonometriyani ham o'z ichiga oladi. Trigonometriyada biz burchaklarning sinuslari, kosinuslari, tangenslari va kotangenslarini o'rganamiz.

Lekin davom bu daqiqa Eng oddiy narsadan boshlaylik - sinus. Keling, eng birinchi tushunchani - geometriyadagi burchak sinusini batafsil ko'rib chiqaylik. Sinus nima va uni qanday topish mumkin?

"Sinus burchak" va sinusoidlar tushunchasi

Burchakning sinusi - bu qarama-qarshi tomonning qiymatlari va to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi nisbati. Bu to'g'ridan-to'g'ri trigonometrik funktsiya bo'lib, u "sin (x)" deb yoziladi, bu erda (x) - uchburchakning burchagi.

Grafikda burchakning sinusi o'ziga xos xususiyatlarga ega sinus to'lqin bilan ko'rsatilgan. Sinus to'lqin koordinata tekisligida ma'lum chegaralar ichida joylashgan doimiy to'lqinli chiziqqa o'xshaydi. Funktsiya g'alati, shuning uchun u koordinata tekisligida 0 ga yaqin simmetrikdir (u koordinatalarning boshidan chiqadi).

Ushbu funktsiyani aniqlash sohasi Dekart koordinata tizimida -1 dan +1 gacha bo'lgan oraliqda joylashgan. Sinus burchak funksiyasining davri 2 Pi ga teng. Bu shuni anglatadiki, har 2 Pida naqsh takrorlanadi va sinus to'lqin to'liq tsikldan o'tadi.

Sinus to'lqin tenglamasi

• sin x = a/c
• bu yerda a - uchburchak burchagiga qarama-qarshi oyoq
• c - to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi

Burchak sinusining xossalari

1. sin(x) = - sin(x). Bu xususiyat funktsiyaning simmetrik ekanligini ko'rsatadi va agar x va (-x) qiymatlari koordinatalar tizimida har ikki yo'nalishda chizilgan bo'lsa, u holda bu nuqtalarning ordinatalari qarama-qarshi bo'ladi. Ular bo'ladi teng masofa bir biridan.
2. Bu funksiyaning yana bir xususiyati shundaki, [- P/2 + 2 Pn] segmentida funksiya grafigi ortadi; [P/2 + 2Pn], bu erda n har qanday butun son. Segmentda burchak sinusining grafigida pasayish kuzatiladi: [P/2 + 2Pn]; [3P/2 + 2Pn].
3. x oraliqda bo'lganda sin(x) > 0 (2Pn, P + 2Pn)
4. (x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Burchak sinuslarining qiymatlari maxsus jadvallar yordamida aniqlanadi. Bunday jadvallar murakkab formulalar va tenglamalarni hisoblash jarayonini osonlashtirish uchun yaratilgan. Foydalanish oson va nafaqat ma'nolarni o'z ichiga oladi vazifalari gunoh(x), balki boshqa funksiyalarning qiymatlari ham.

Bundan tashqari, ushbu funktsiyalarning standart qiymatlari jadvali ko'paytirish jadvali kabi majburiy xotirani o'rganishga kiritilgan. Bu, ayniqsa, fizikaviy va matematik jihatdan moyil bo'lgan sinflar uchun to'g'ri keladi. Jadvalda trigonometriyada ishlatiladigan asosiy burchaklarning qiymatlarini ko'rishingiz mumkin: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 va 360 daraja.

Shuningdek, nostandart burchaklarning trigonometrik funktsiyalari qiymatlarini belgilaydigan jadval mavjud. Turli xil jadvallardan foydalanib, ba'zi burchaklarning sinus, kosinus, tangens va kotangensini osongina hisoblashingiz mumkin.

Tenglamalar trigonometrik funksiyalar bilan tuziladi. Agar oddiy tenglamalarni bilsangiz, bu tenglamalarni yechish oson trigonometrik identifikatsiyalar va funksiyalarning qisqarishi, masalan, sin (P/2 + x) = cos (x) va boshqalar. Bunday qisqartirishlar uchun alohida jadval ham tuzilgan.

Burchakning sinusini qanday topish mumkin

Vazifa burchakning sinusini topish bo'lsa va shartga ko'ra, biz faqat burchakning kosinus, tangensi yoki kotangensiga egamiz, biz trigonometrik identifikatsiyalar yordamida kerakli narsani osongina hisoblashimiz mumkin.

• sin 2 x + cos 2 x = 1

Ushbu tenglamadan qaysi qiymat noma'lumligiga qarab sinus va kosinusni topishimiz mumkin. Biz qila olamiz trigonometrik tenglama bitta noma'lum bilan:

• sin 2 x = 1 - cos 2 x
• sin x = ± √ 1 - cos 2 x
• karavot 2 x + 1 = 1 / gunoh 2 x

Bu tenglamadan burchak kotangensining qiymatini bilib, sinusning qiymatini topish mumkin. Soddalashtirish uchun sin 2 x = y ni almashtiring va sizda oddiy tenglama mavjud. Masalan, kotangent qiymati 1 ga teng, keyin:

• 1 + 1 = 1/y
• 2 = 1/y
• 2u = 1
• y = 1/2

Endi biz o'yinchini teskari almashtirishni amalga oshiramiz:

• gunoh 2 x = ½
• sin x = 1 / √2

Standart burchak uchun kotangent qiymatini olganimiz sababli (45 0), olingan qiymatlarni jadvalda tekshirish mumkin.

Agar sizga tangens qiymat berilsa va sinusni topishingiz kerak bo'lsa, boshqa trigonometrik identifikatsiya yordam beradi:

• tg x * ctg x = 1

Bundan kelib chiqadiki:

• karavot x = 1 / tan x

Nostandart burchakning sinusini topish uchun, masalan, 240 0, burchakni qisqartirish formulalaridan foydalanish kerak. Bilamizki, p 180 0 ga mos keladi. Shunday qilib, biz tengligimizni standart burchaklar yordamida kengaytirish orqali ifodalaymiz.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Biz quyidagilarni topishimiz kerak: gunoh (180 0 + 60 0). Trigonometriyada bu holatda foydali bo'lgan kamaytirish formulalari mavjud. Bu formula:

• gunoh (p + x) = - gunoh (x)

Shunday qilib, 240 graduslik burchakning sinusi quyidagilarga teng:

• gunoh (180 0 + 60 0) = - gunoh (60 0) = - √3/2

Bizning holatda, x = 60 va P, mos ravishda, 180 daraja. Biz standart burchaklar funktsiyalari qiymatlari jadvalidan (-√3/2) qiymatini topdik.

Shu tarzda, nostandart burchaklar kengaytirilishi mumkin, masalan: 210 = 180 + 30.

Ko'rib turganingizdek, berilgan doira Dekart koordinatalari tizimida tuzilgan. Doira radiusi birga teng, aylananing markazi koordinatalarning boshida joylashgan bo'lsa, radius vektorining boshlang'ich pozitsiyasi o'qning musbat yo'nalishi bo'ylab o'rnatiladi (bizning misolimizda bu radius).

Doiradagi har bir nuqta ikkita raqamga to'g'ri keladi: o'q koordinatasi va o'q koordinatasi. Bu koordinata raqamlari nima? Va umuman olganda, ularning mavzuga qanday aloqasi bor? Buning uchun biz ko'rib chiqilgan to'g'ri burchakli uchburchak haqida eslashimiz kerak. Yuqoridagi rasmda siz ikkita to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rishingiz mumkin. Uchburchakni ko'rib chiqing. U to'rtburchaklar, chunki u o'qga perpendikulyar.

Uchburchak nimaga teng? Hammasi to'g'ri. Bundan tashqari, biz bilamizki, bu birlik doirasining radiusi, ya'ni . Keling, bu qiymatni kosinus formulamizga almashtiramiz. Mana nima sodir bo'ladi:

Uchburchak nimaga teng? Xo'sh, albatta,! Ushbu formulaga radius qiymatini almashtiring va quyidagilarni oling:

Shunday qilib, aylanaga tegishli nuqta qanday koordinatalarga ega ekanligini ayta olasizmi? Xo'sh, yo'qmi? Agar buni tushunsangiz va shunchaki raqamlar bo'lsa-chi? U qaysi koordinataga mos keladi? Albatta, koordinatalar! Va u qaysi koordinataga mos keladi? To'g'ri, koordinatalar! Shunday qilib, davr.

Xo'sh, nimaga teng va nimaga teng? To'g'ri, keling, tangens va kotangensning tegishli ta'riflaridan foydalanamiz va buni olamiz, a.

Agar burchak kattaroq bo'lsa-chi? Masalan, ushbu rasmdagi kabi:

Ushbu misolda nima o'zgardi? Keling, buni aniqlaylik. Buning uchun yana to'g'ri burchakli uchburchakka o'taylik. To'g'ri uchburchakni ko'rib chiqing: burchak (burchakka qo'shni sifatida). Burchak uchun sinus, kosinus, tangens va kotangensning qiymatlari qanday? To'g'ri, biz trigonometrik funktsiyalarning tegishli ta'riflariga amal qilamiz:

Ko'rib turganingizdek, burchak sinusining qiymati hali ham koordinataga to'g'ri keladi; burchak kosinusining qiymati - koordinata; va mos keladigan nisbatlarga tangens va kotangens qiymatlari. Shunday qilib, bu munosabatlar radius vektorining har qanday aylanishiga taalluqlidir.

Radius vektorining boshlang'ich pozitsiyasi o'qning musbat yo'nalishi bo'ylab joylashganligi allaqachon aytib o'tilgan. Hozirgacha biz bu vektorni soat sohasi farqli ravishda aylantirdik, lekin agar biz uni soat yo'nalishi bo'yicha aylantirsak nima bo'ladi? Hech qanday g'ayrioddiy narsa yo'q, siz ham ma'lum bir qiymatga ega burchakka ega bo'lasiz, lekin faqat salbiy bo'ladi. Shunday qilib, radius vektorini soat sohasi farqli ravishda aylantirganda, biz olamiz ijobiy burchaklar , va soat yo'nalishi bo'yicha aylanganda - salbiy.

Shunday qilib, biz bilamizki, radius vektorining aylana atrofida butun aylanishi yoki. Radius vektorini burish mumkinmi? Xo'sh, albatta qila olasiz! Birinchi holda, shuning uchun radius vektori bitta to'liq aylanishni amalga oshiradi va yoki pozitsiyasida to'xtaydi.

Ikkinchi holda, ya'ni radius vektori uchta to'liq aylanishni amalga oshiradi va yoki holatida to'xtaydi.

Shunday qilib, yuqoridagi misollardan xulosa qilishimiz mumkinki, bir-biridan farq qiladigan burchaklar yoki (bu erda har qanday butun son) radius vektorining bir xil holatiga mos keladi.

Quyidagi rasmda burchak ko'rsatilgan. Xuddi shu rasm burchakka mos keladi va hokazo. Ushbu ro'yxatni cheksiz davom ettirish mumkin. Bu burchaklarning barchasi umumiy formula yoki (bu yerda har qanday butun son) bilan yozilishi mumkin.

Endi, asosiy trigonometrik funktsiyalarning ta'riflarini bilib, birlik doirasidan foydalanib, qiymatlar nima ekanligiga javob berishga harakat qiling:

Mana sizga yordam beradigan birlik doirasi:

Qiyinchiliklar bormi? Keyin buni aniqlaylik. Shunday qilib, biz buni bilamiz:

Bu erdan ma'lum burchak o'lchovlariga mos keladigan nuqtalarning koordinatalarini aniqlaymiz. Keling, tartibda boshlaylik: burchak koordinatali nuqtaga to'g'ri keladi, shuning uchun:

Mavjud emas;

Bundan tashqari, xuddi shu mantiqqa rioya qilgan holda, biz burchaklar mos ravishda koordinatali nuqtalarga mos kelishini aniqlaymiz. Buni bilib, tegishli nuqtalarda trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini aniqlash oson. Avval o'zingiz sinab ko'ring, keyin javoblarni tekshiring.

Javoblar:

Mavjud emas

Mavjud emas

Mavjud emas

Mavjud emas

Shunday qilib, biz quyidagi jadvalni tuzishimiz mumkin:

Bu barcha qadriyatlarni eslab qolishning hojati yo'q. Birlik aylanasidagi nuqtalar koordinatalari va trigonometrik funktsiyalar qiymatlari o'rtasidagi muvofiqlikni eslash kifoya:

Ammo burchaklarning trigonometrik funktsiyalarining qiymatlari va quyidagi jadvalda keltirilgan, eslash kerak:

Qo'rqmang, endi biz sizga bitta misol keltiramiz mos keladigan qiymatlarni eslab qolish juda oddiy:

Ushbu usuldan foydalanish uchun burchakning barcha uch o'lchovi uchun sinus qiymatlarini (), shuningdek burchak tangensining qiymatini eslab qolish juda muhimdir. Ushbu qiymatlarni bilib, butun jadvalni tiklash juda oddiy - kosinus qiymatlari strelkalar bo'yicha uzatiladi, ya'ni:

Buni bilib, siz uchun qiymatlarni tiklashingiz mumkin. Numerator " " mos keladi va maxraj " " mos keladi. Kotangent qiymatlari rasmda ko'rsatilgan o'qlarga muvofiq o'tkaziladi. Agar siz buni tushunsangiz va o'qlar bilan diagrammani eslab qolsangiz, jadvaldagi barcha qiymatlarni eslab qolish kifoya qiladi.

Doiradagi nuqtaning koordinatalari

Aylanada nuqtani (uning koordinatalarini) topish mumkinmi? aylana markazining koordinatalarini, uning radiusini va burilish burchagini bilish?

Xo'sh, albatta qila olasiz! Keling, chiqaraylik umumiy formula nuqtaning koordinatalarini topish uchun.

Masalan, oldimizda aylana bor:

Bizga nuqta aylananing markazi ekanligi berilgan. Doira radiusi teng. Nuqtani gradusga aylantirish orqali olingan nuqtaning koordinatalarini topish kerak.

Rasmdan ko'rinib turibdiki, nuqta koordinatasi segment uzunligiga to'g'ri keladi. Segmentning uzunligi aylana markazining koordinatasiga to'g'ri keladi, ya'ni u tengdir. Segment uzunligini kosinus ta'rifi yordamida ifodalash mumkin:

Keyin biz nuqta koordinatasini olamiz.

Xuddi shu mantiqdan foydalanib, nuqta uchun y koordinata qiymatini topamiz. Shunday qilib,

Shunday qilib, ichida umumiy ko'rinish Nuqtalarning koordinatalari quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:

Doira markazining koordinatalari,

Doira radiusi,

Vektor radiusining burilish burchagi.

Ko'rib turganingizdek, biz ko'rib chiqayotgan birlik doirasi uchun bu formulalar sezilarli darajada kamayadi, chunki markazning koordinatalari nolga va radius birga teng:

Xo'sh, keling, aylana bo'ylab nuqtalarni topishni mashq qilib, ushbu formulalarni sinab ko'raylik?

1. Nuqtani aylantirib olingan birlik doiradagi nuqtaning koordinatalarini toping.

2. Nuqtani aylantirib olingan birlik doiradagi nuqtaning koordinatalarini toping.

3. Nuqtani aylantirib olingan birlik doiradagi nuqtaning koordinatalarini toping.

4. Nuqta aylananing markazidir. Doira radiusi teng. Dastlabki radius vektorini ga aylantirish orqali olingan nuqtaning koordinatalarini topish kerak.

5. Nuqta aylananing markazidir. Doira radiusi teng. Dastlabki radius vektorini ga aylantirish orqali olingan nuqtaning koordinatalarini topish kerak.

Aylanadagi nuqtaning koordinatalarini topishda muammo bormi?

Ushbu beshta misolni yeching (yoki ularni echishni yaxshi biling) va siz ularni topishni o'rganasiz!

1.

Siz buni sezishingiz mumkin. Ammo biz boshlang'ich nuqtaning to'liq inqilobiga nima mos kelishini bilamiz. Shunday qilib, kerakli nuqta burilish paytida bo'lgani kabi bir xil holatda bo'ladi. Buni bilib, biz nuqtaning kerakli koordinatalarini topamiz:

2. Birlik doirasi nuqtada markazlashtirilgan, ya'ni biz soddalashtirilgan formulalardan foydalanishimiz mumkin:

Siz buni sezishingiz mumkin. Biz boshlang'ich nuqtaning ikkita to'liq inqilobiga nima mos kelishini bilamiz. Shunday qilib, kerakli nuqta burilish paytida bo'lgani kabi bir xil holatda bo'ladi. Buni bilib, biz nuqtaning kerakli koordinatalarini topamiz:

Sinus va kosinus jadval qiymatlari hisoblanadi. Biz ularning ma'nolarini eslaymiz va olamiz:

Shunday qilib, kerakli nuqta koordinatalarga ega.

3. Birlik doirasi nuqtada markazlashtirilgan, ya'ni biz soddalashtirilgan formulalardan foydalanishimiz mumkin:

Siz buni sezishingiz mumkin. Keling, ushbu misolni rasmda tasvirlaymiz:

Radius o'qga teng va o'q bilan burchaklarni hosil qiladi. Kosinus va sinusning jadval qiymatlari teng ekanligini bilib, bu erda kosinus manfiy, sinus esa ijobiy qiymat olishini aniqlab, biz:

Batafsil shunga o'xshash misollar mavzu bo'yicha trigonometrik funktsiyalarni qisqartirish formulalarini o'rganishda tushuniladi.

Shunday qilib, kerakli nuqta koordinatalarga ega.

4.

Vektor radiusining burilish burchagi (shart bo'yicha)

Sinus va kosinusning tegishli belgilarini aniqlash uchun biz birlik doira va burchakni quramiz:

Ko'rib turganingizdek, qiymat, ya'ni ijobiy, qiymat esa, ya'ni salbiy. Tegishli trigonometrik funktsiyalarning jadval qiymatlarini bilib, biz quyidagilarni olamiz:

Olingan qiymatlarni formulamizga almashtiramiz va koordinatalarni topamiz:

Shunday qilib, kerakli nuqta koordinatalarga ega.

5. Ushbu muammoni hal qilish uchun biz umumiy shakldagi formulalardan foydalanamiz, bu erda

Doira markazining koordinatalari (bizning misolimizda,

Doira radiusi (shart bo'yicha)

Vektor radiusining burilish burchagi (shart bo'yicha).

Keling, barcha qiymatlarni formulaga almashtiramiz va olamiz:

va - jadval qiymatlari. Keling, eslaylik va ularni formulaga almashtiramiz:

Shunday qilib, kerakli nuqta koordinatalarga ega.

XULOSA VA ASOSIY FORMULALAR

Burchakning sinusi - bu qarama-qarshi (uzoq) oyoqning gipotenuzaga nisbati.

Burchakning kosinusu - qo'shni (yaqin) oyoqning gipotenuzaga nisbati.

Burchakning tangensi - qarama-qarshi (uzoq) tomonning qo'shni (yaqin) tomonga nisbati.

Burchakning kotangensi - qo'shni (yaqin) tomonning qarama-qarshi (uzoq) tomonga nisbati.

Trigonometriya - bo'lim matematika fani, bu trigonometrik funktsiyalar va ularning geometriyada qo'llanilishini o'rganadi. Trigonometriyaning rivojlanishi qadimgi Yunonistonda boshlangan. Oʻrta asrlarda bu fanning rivojlanishiga Yaqin Sharq va Hindiston olimlari muhim hissa qoʻshgan.

Ushbu maqola trigonometriyaning asosiy tushunchalari va ta'riflariga bag'ishlangan. Unda asosiy trigonometrik funktsiyalarning ta'riflari muhokama qilinadi: sinus, kosinus, tangens va kotangens. Ularning ma'nosi geometriya kontekstida tushuntiriladi va tasvirlanadi.

Dastlab argumenti burchak boʻlgan trigonometrik funksiyalarning taʼriflari toʻgʻri burchakli uchburchak tomonlari nisbati bilan ifodalangan.

Trigonometrik funksiyalarning ta’riflari

Burchakning sinusi (sin a) - bu burchakka qarama-qarshi bo'lgan oyoqning gipotenuzaga nisbati.

Burchakning kosinusu (cos a) - qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati.

Burchak tangensi (t g a) - qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati.

Burchak kotangenti (c t g a) - qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbati.

Bu ta'riflar to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagi uchun berilgan!

Keling, misol keltiraylik.

To'g'ri burchakli C burchakli ABC uchburchakda A burchakning sinusi BC oyoqning AB gipotenuzasiga nisbatiga teng.

Sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'riflari ushbu funktsiyalarning qiymatlarini uchburchak tomonlarining ma'lum uzunliklaridan hisoblash imkonini beradi.

Esda tutish muhim!

Sinus va kosinus qiymatlari diapazoni -1 dan 1 gacha. Boshqacha qilib aytganda, sinus va kosinus -1 dan 1 gacha qiymatlarni oladi. Tangens va kotangens qiymatlari diapazoni butun son chizig'idir, ya'ni bu funksiyalar har qanday qiymatlarni qabul qilishi mumkin.

Yuqorida keltirilgan ta'riflar o'tkir burchaklarga tegishli. Trigonometriyada burilish burchagi tushunchasi kiritiladi, uning qiymati o'tkir burchakdan farqli o'laroq 0 dan 90 gradusgacha chegaralanmaydi Aylanish burchagi gradus yoki radianlarda - ∞ dan + ∞ gacha bo'lgan har qanday haqiqiy son bilan ifodalanadi. .

Shu nuqtai nazardan, biz ixtiyoriy kattalikdagi burchakning sinusini, kosinusini, tangensini va kotangensini aniqlashimiz mumkin. Markazi Dekart koordinata tizimining boshida joylashgan birlik doirani tasavvur qilaylik.

Koordinatalari (1, 0) bo'lgan boshlang'ich A nuqta ma'lum a burchak orqali birlik doira markazi atrofida aylanadi va A 1 nuqtaga boradi. Ta'rif A 1 (x, y) nuqtaning koordinatalari bo'yicha berilgan.

Aylanish burchagining sinus (sin).

Aylanish burchagi a sinusi A nuqtaning ordinatasi 1 (x, y). sin a = y

Aylanish burchagining kosinusu (cos).

Aylanish burchagi a kosinusu A 1 (x, y) nuqtaning abssissasidir. cos a = x

Aylanish burchagining tangensi (tg).

A burilish burchagi tangensi A 1 (x, y) nuqta ordinatasining uning abssissasiga nisbati hisoblanadi. t g a = y x

Aylanish burchagining kotangenti (ctg).

Aylanish burchagi a kotangensi A 1 (x, y) nuqta abssissasining uning ordinatasiga nisbati hisoblanadi. c t g a = x y

Har qanday aylanish burchagi uchun sinus va kosinus aniqlanadi. Bu mantiqan to'g'ri, chunki aylanmadan keyin nuqtaning abscissa va ordinatasi istalgan burchakda aniqlanishi mumkin. Tangens va kotangens bilan vaziyat boshqacha. Aylanishdan keyin nuqta nol abscissa (0, 1) va (0, - 1) nuqtaga o'tganda tangens aniqlanmagan. Bunday hollarda t g a = y x tangensi ifodasi shunchaki ma'noga ega emas, chunki u nolga bo'linishni o'z ichiga oladi. Vaziyat kotangent bilan o'xshash. Farqi shundaki, nuqta ordinatasi nolga tushgan hollarda kotangent aniqlanmaydi.

Esda tutish muhim!

Har qanday a burchak uchun sinus va kosinus aniqlanadi.

Tangens a = 90° + 180° k, k ∈ Z (a = p 2 + p k, k ∈ Z) dan tashqari barcha burchaklar uchun aniqlanadi.

Kotangent a = 180° k, k ∈ Z (a = p k, k ∈ Z) dan tashqari barcha burchaklar uchun aniqlanadi.

Amaliy misollarni yechishda “aylanish burchagi sinusi a” demang. "Aylanish burchagi" so'zlari shunchaki olib tashlandi, bu esa kontekstdan nima muhokama qilinayotgani allaqachon aniq ekanligini anglatadi.

Raqamlar

Aylanish burchagi emas, balki sonning sinus, kosinus, tangens va kotangens ta'rifi haqida nima deyish mumkin?

Sonning sinus, kosinus, tangensi, kotangensi

Sonning sinus, kosinus, tangensi va kotangensi t-da mos ravishda sinus, kosinus, tangens va kotangensga teng bo'lgan son t radian.

Masalan, 10 p sonining sinusi 10 p rad aylanish burchagi sinusiga teng.

Sonning sinus, kosinus, tangens va kotangensini aniqlashning yana bir usuli mavjud. Keling, buni batafsil ko'rib chiqaylik.

Har qanday haqiqiy raqam t birlik doiradagi nuqta to'rtburchaklar Dekart koordinata tizimining boshidagi markaz bilan bog'langan. Bu nuqtaning koordinatalari orqali sinus, kosinus, tangens va kotangens aniqlanadi.

Doiradagi boshlang'ich nuqta koordinatalari (1, 0) bo'lgan A nuqtadir.

Ijobiy raqam t

Salbiy raqam t aylana boʻylab soat miliga teskari yoʻnalishda harakatlanib, t yoʻlidan oʻtsa, boshlangʻich nuqtasi ketadigan nuqtaga toʻgʻri keladi.

Aylanadagi son bilan nuqta o‘rtasidagi bog‘lanish o‘rnatilgandan so‘ng, sinus, kosinus, tangens va kotangens ta’rifiga o‘tamiz.

t ning sinusi (gunohi).

Raqamning sinusi t- songa mos keladigan birlik doiradagi nuqtaning ordinatasi t. sin t = y

Kosinus (cos) t

Sonning kosinusu t- songa mos keladigan birlik aylana nuqtasining abssissasi t. cos t = x

Tangensi (tg) t

Sonning tangensi t- songa mos keladigan birlik doiradagi nuqtaning abssissasiga ordinataning nisbati t. t g t = y x = sin t cos t

Eng so'nggi ta'riflar ushbu bandning boshida berilgan ta'rifga mos keladi va unga zid kelmaydi. Raqamga mos keladigan aylanaga ishora qiling t, burchak bilan burilgandan keyin boshlang'ich nuqtasi ketadigan nuqtaga to'g'ri keladi t radian.

Burchak va son argumentning trigonometrik funktsiyalari

Burchakning har bir qiymati a bu burchakning sinusi va kosinusining ma'lum bir qiymatiga mos keladi. Xuddi a = 90 ° + 180 ° k dan boshqa barcha a burchaklar kabi, k ∈ Z (a = p 2 + p k, k ∈ Z) ma'lum bir tangens qiymatiga mos keladi. Kotangent, yuqorida aytib o'tilganidek, a = 180° k, k ∈ Z (a = p k, k ∈ Z) dan tashqari barcha a uchun aniqlanadi.

Aytishimiz mumkinki, sin a, cos a, t g a, c t g a alfa burchakning funksiyalari yoki burchak argumentining funksiyalaridir.

Xuddi shunday, sonli argumentning funktsiyalari sifatida sinus, kosinus, tangens va kotangens haqida gapirishimiz mumkin. Har bir haqiqiy raqam t sonning sinus yoki kosinusining ma'lum bir qiymatiga mos keladi t. p 2 + p · k, k ∈ Z dan boshqa barcha raqamlar tangens qiymatiga mos keladi. Xuddi shunday kotangent p · k, k ∈ Z dan boshqa barcha sonlar uchun aniqlanadi.

Trigonometriyaning asosiy funktsiyalari

Sinus, kosinus, tangens va kotangens asosiy trigonometrik funktsiyalardir.

Odatda kontekstdan trigonometrik funktsiyaning qaysi argumenti aniq bo'ladi ( burchak argumenti yoki raqamli argument) bilan shug'ullanamiz.

Keling, eng boshida berilgan ta'riflarga va 0 dan 90 darajagacha bo'lgan alfa burchagiga qaytaylik. Sinus, kosinus, tangens va kotangensning trigonometrik ta'riflari to'liq mos keladi geometrik ta'riflar, to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlar nisbati yordamida berilgan. Keling, ko'rsataylik.

To'g'ri to'rtburchaklar Dekart koordinatalari tizimida markazi bo'lgan birlik doirani olaylik. A (1, 0) boshlang'ich nuqtasini 90 gradusgacha burchakka aylantiramiz va hosil bo'lgan A 1 (x, y) nuqtadan abscissa o'qiga perpendikulyar chizamiz. Hosil bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakda A 1 O H burchak burilish burchagi a ga, oyog'ining uzunligi O H A 1 nuqtaning abssissasiga teng (x, y). Burchakka qarama-qarshi turgan oyoqning uzunligi A 1 (x, y) nuqtaning ordinatasiga teng, gipotenuzaning uzunligi esa bir ga teng, chunki u birlik doirasining radiusi.

Geometriya ta'rifiga ko'ra, a burchakning sinusi qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbatiga teng.

sin a = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Bu shuni anglatadiki, to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning sinusini tomonlar nisbati orqali aniqlash, alfa 0 dan 90 darajagacha bo'lgan oraliqda joylashgan aylanish burchagining sinusini aniqlashga teng.

Xuddi shunday, ta'riflarning mosligini kosinus, tangens va kotangens uchun ko'rsatish mumkin.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing