Trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari quyidagilardir: tenglamalarni eng oddiyga qisqartirish (foydalanish) trigonometrik formulalar), yangi o'zgaruvchilarni kiritish, faktorizatsiya. Keling, ulardan foydalanishni misollar bilan ko'rib chiqaylik. Trigonometrik tenglamalar yechimlarini yozish formatiga e'tibor bering.

Majburiy shart muvaffaqiyatli yechim trigonometrik tenglamalar - trigonometrik formulalarni bilish (6-ishning 13-mavzu).

Misollar.

1. Eng soddaga qisqartirilgan tenglamalar.

1) tenglamani yeching

Yechim:

Javob:

2) tenglamaning ildizlarini toping

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, segmentga tegishli.

Yechim:

Javob:

2. Kvadratga keltiruvchi tenglamalar.

1) 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 tenglamani yeching.

Yechim: sin 2 x = 1 – cos 2 x formulasidan foydalanib, biz olamiz

Javob:

2) cos 2x = 1 + 4 cosx tenglamasini yeching.

Yechim: cos 2x = 2 cos 2 x – 1 formulasidan foydalanib, olamiz

Javob:

3) qaror qabul qiling tgx tenglamasi– 2ctgx + 1 = 0

Yechim:

Javob:

3. Bir jinsli tenglamalar

1) 2sinx – 3cosx = 0 tenglamasini yeching

Yechish: cosx = 0 bo'lsin, keyin 2sinx = 0 va sinx = 0 - sin 2 x + cos 2 x = 1 ekanligi bilan ziddiyat. Bu cosx ≠ 0 ni bildiradi va biz tenglamani cosx ga bo'lishimiz mumkin. olamiz

Javob:

2) 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x tenglamasini yeching

Yechim:

Biz 1 = sin 2 x + cos 2 x va sin 2x = 2 sinxcosx formulalaridan foydalanamiz, biz olamiz

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Cosx = 0 bo'lsin, keyin sin 2 x = 0 va sinx = 0 - sin 2 x + cos 2 x = 1 ekanligi bilan ziddiyat.
Bu cosx ≠ 0 degan ma'noni anglatadi va biz tenglamani cos 2 x ga bo'lishimiz mumkin . olamiz

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
tgx = y ni belgilaymiz
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arktan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arktan2 + 2 k, k .

Javob: arctg4 + 2 k, arktan2 + 2 k,k

4. Shaklning tenglamalari a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Tenglamani yeching.

Yechim:

Javob:

5. Faktorlarga ajratish yo‘li bilan yechilgan tenglamalar.

1) sin2x – sinx = 0 tenglamasini yeching.

Tenglamaning ildizi f (X) = φ ( X) faqat 0 raqami sifatida xizmat qilishi mumkin. Keling, buni tekshiramiz:

cos 0 = 0 + 1 - tenglik to'g'ri.

0 raqami bu tenglamaning yagona ildizidir.

Javob: 0.

Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari Mundarija

• O'zgaruvchilarni almashtirish usuli
• Faktorizatsiya usuli
• Bir jinsli trigonometrik tenglamalar
• Trigonometrik formulalardan foydalanish:
• Qo'shish formulalari
• Qisqartirish formulalari
• Ikki argumentli formulalar

O'zgaruvchilarni almashtirish usuli

t = sinx yoki t = cosx almashtirishdan foydalanish, bu erda t∈ [−1;1] asl tenglamani yechish kvadrat yoki boshqa algebraik tenglamani yechishga qisqartiradi.

1-3 misollarga qarang

Ba'zan universal trigonometrik almashtirish qo'llaniladi: t = tg

1-misol 2-misol 3-misol Faktorizatsiya usuli

Ushbu usulning mohiyati shundan iboratki, bir nechta omillarning mahsuloti nolga teng, agar ulardan kamida bittasi nolga teng bo'lsa, qolganlari esa o'z ma'nosini yo'qotmasa:

f(x) g(x) h(x) … = 0⟺ f(x) = 0 yoki g(x) = 0 yoki h(x) = 0

va hokazo. omillarning har biri mavjudligi sharti bilan

4-5-misollarga qarang

4-misol 5-misol Bir jinsli trigonometrik tenglamalar a sin x + b cos x = 0 ko'rinishdagi tenglama birinchi darajali bir jinsli trigonometrik tenglama deyiladi.

a sin x + b cos x = 0

Izoh.

Yechimlardan beri cos x ga bo'linish qabul qilinadi cos tenglamalari x = 0 a sin x + b cos x = 0 tenglamaning yechimi emas.

a sin x b cos x 0

a tan x + b = 0

tan x = -

Bir jinsli trigonometrik tenglamalar

a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0

a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 ko'rinishdagi tenglama ikkinchi darajali bir jinsli trigonometrik tenglama deyiladi.

a tg2x + b tg x + c = 0

a sin2x b sin x cos x c cos2x 0

Izoh. Agarda berilgan tenglama a = 0 yoki c = 0 bo'lsa, tenglama kengaytirish usuli bilan echiladi

multiplikatorlar orqali.

6-misol

8-misol 9-misol 10-misol 11-misol 1. Qo‘shish formulalari:

sin (x + y) = sinx cozy + cosx siny

cos (x + y) = cosx qulay − sinx siny

tgx + tgy

sarg'ish (x + y) =

1 − tgx tgy

sin (x - y) = sinx cozy + cosx siny

cos (x - y) = cosx cozy + sinx siny

tgx − tgy

tg (x − y) =

1 + tgx tgy

stgx stgy − 1

stg (x + y) =

stgu + s tgx

stgx stgy + 1

stg (x − y) =

stgu − s tgx

12-misol 13-misol Trigonometrik formulalardan foydalanish 2. Qisqartirish formulalari:

Ot qoidasi

Qadimgi yaxshi kunlarda, javob izlayotganda, funktsiyaning nomini o'zgartirgan yoki o'zgartirmagan aqlsiz matematik yashagan ( sinus yoqilgan kosinus), uning aqlli otiga qaradi va u argumentning birinchi hadiga mos keladigan nuqta tegishli bo'lgan koordinata o'qi bo'ylab boshini qimirlatib qo'ydi. π/ 2 + α yoki π + α .

Agar ot o'q bo'ylab boshini qimirlasa OU, keyin matematik javob olinganiga ishondi "Ha, o'zgartiring", agar eksa bo'ylab OH, Bu "Yo'q, o'zgartirmang".

Trigonometrik formulalardan foydalanish 3. Ikki argument formulalari:

sin 2x = 2sinx cosx

cos 2x = cos2x - sin2x

cos 2x = 2cos2x – 1

cos 2x = 1 – 2sin2x

1 - tg2x

ctg 2x =

ctg2x - 1

14-misol Trigonometrik formulalardan foydalanish 4. Darajani pasaytirish formulalari:

5. Yarim burchak formulalari:

Trigonometrik formulalardan foydalanish 6. Yig‘indi va ayirma formulalari: Trigonometrik formulalardan foydalanish 7. Mahsulot formulalari: Mnemonik qoida "Qo'lingizdagi trigonometriya"

Ko'pincha siz ma'nolarni yoddan bilishingiz kerak cos, gunoh, tg, ctg 0°, 30°, 45°, 60°, 90° burchaklar uchun.

Ammo to'satdan ba'zi ma'no unutilgan bo'lsa, unda siz qo'l qoidasidan foydalanishingiz mumkin.

Qoida: Agar siz kichik barmoq va bosh barmog'ingiz orqali chiziqlar chizsangiz,

keyin ular "oy tepaligi" deb ataladigan nuqtada kesishadi.

90 ° burchak hosil bo'ladi. Kichkina barmoqning chizig'i 0 ° burchak hosil qiladi.

Halqa, o'rta va ko'rsatkich barmoqlari orqali "oy tepaligi" dan nurlarni chizish orqali biz mos ravishda 30 °, 45 °, 60 ° burchaklarni olamiz.

O'rniga almashtirish n: 0, 1, 2, 3, 4, biz qiymatlarni olamiz gunoh, 0°, 30°, 45°, 60°, 90° burchaklar uchun.

Uchun cos Ortga hisoblash teskari tartibda sodir bo'ladi.

Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari.

Trigonometrik tenglamani yechish ikki bosqichdan iborat: tenglama transformatsiyasi eng oddiy olish uchun yozing (yuqoriga qarang) va yechimnatijada eng oddiy trigonometrik tenglama. Yetti bor trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari.

1. Algebraik usul.

(o'zgaruvchan almashtirish va almashtirish usuli).

2. Faktorizatsiya.

Misol 1. Tenglamani yeching: gunoh x+cos x = 1 .

Yechish.Tenglamaning barcha shartlarini chapga siljiymiz:

Gunoh x+cos x – 1 = 0 ,

Keling, ifodani o'zgartiramiz va faktorlarga ajratamiz

Tenglamaning chap tomoni:

2-misol. Tenglamani yeching: cos 2 x+ gunoh x cos x = 1.

Yechim: cos 2 x+ gunoh x cos x– gunoh 2 x- chunki 2 x = 0 ,

Gunoh x cos x– gunoh 2 x = 0 ,

Gunoh x· (cos x– gunoh x ) = 0 ,

Misol 3. Tenglamani yeching: chunki 2 x-cos 8 x+ cos 6 x = 1.

Yechim: cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos 8 x,

2 chunki 4 x chunki 2 x= 2cos² 4 x ,

Cos 4 x · (chunki 2 x- cos 4 x) = 0 ,

Cos 4 x · 2 gunoh 3 x gunoh x = 0 ,

1). chunki 4 x= 0, 2). gunoh 3 x= 0, 3). gunoh x = 0 ,

3. ga qisqartirish bir jinsli tenglama. Tenglama chaqirdi dan bir hil haqida gunoh Va cos , Agar hammasi nisbatan bir xil darajadagi shartlar gunoh Va cos bir xil burchak. Bir hil tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi: A) barcha a'zolarini chap tomonga siljitish; b) barcha umumiy omillarni qavs ichidan chiqaring; V) barcha omillar va qavslarni nolga tenglashtiring; G) nolga teng qavslar beradi bo'linishi kerak bo'lgan kichik darajadagi bir hil tenglama cos(yoki gunoh) oliy o'quv yurtlarida; d) natijani yeching algebraik tenglama nisbatansarg'ish . gunoh 2 x+ 4 gunoh x cos x+ 5cos 2 x = 2. Yechim: 3sin 2 x+ 4 gunoh x cos x+ 5 chunki 2 x= 2sin 2 x+ 2cos 2 x , Gunoh 2 x+ 4 gunoh x cos x+ 3 chunki 2 x = 0 , Tan 2 x+ 4 tan x + 3 = 0 , bu yerdan y 2 + 4y +3 = 0 , Bu tenglamaning ildizlari:y 1 = - 1, y 2 = - 3, shuning uchun 1) sarg'ish x= –1, 2) sarg'ish x = –3,

4. Yarim burchakka o'tish.

Keling, ushbu usulni misol yordamida ko'rib chiqaylik:

MISOL Tenglamani yeching: 3 gunoh x– 5 cos x = 7.

Yechimi: 6 gunoh ( x/ 2) chunki ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =

7 gunoh² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 gunoh² ( x/ 2) - 6 gunoh ( x/ 2) chunki ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

tan² ( x/ 2) – 3 tan ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Yordamchi burchakning kiritilishi.

Shaklning tenglamasini ko'rib chiqing:

a gunoh x + b cos x = c ,

Qayerda a, b, c- koeffitsientlar;x- noma'lum.

Endi tenglamaning koeffitsientlari sinus va kosinus xususiyatlariga ega, aynan: har birining moduli (mutlaq qiymat). ulardan 1 tadan ko'p bo'lmagan, va ularning kvadratlari yig'indisi 1 ga teng. Keyin biz belgilashimiz mumkin ularga mos ravishda Qanaqasiga cos va gunoh (bu erda - deb atalmish yordamchi burchak), Vatenglamamizni oling