Eng oddiy trigonometrik tenglamalar, qoida tariqasida, formulalar yordamida echiladi. Sizga eslatib o'taman, eng oddiy trigonometrik tenglamalar:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x - topiladigan burchak,
a - har qanday raqam.
Va bu erda siz eng oddiy tenglamalarning echimlarini darhol yozishingiz mumkin bo'lgan formulalar.
Sinus uchun:
Kosinus uchun:
x = ± arccos a + 2p n, n ∈ Z
Tangens uchun:
x = arktan a + p n, n ∈ Z
Kotangent uchun:
x = arcctg a + p n, n ∈ Z
Aslida, bu shunday nazariy qismi eng oddiy echimlar trigonometrik tenglamalar. Bundan tashqari, hamma narsa!) Hech narsa. Biroq, bu mavzu bo'yicha xatolar soni shunchaki jadvaldan tashqarida. Ayniqsa, misol shablondan biroz chetga chiqsa. Nega?
Ha, chunki ko'p odamlar bu xatlarni yozadilar, ularning ma'nosini umuman tushunmasdan! Ehtiyotkorlik bilan yozadi, biror narsa sodir bo'lmasin ...) Buni tartibga solish kerak. Odamlar uchun trigonometriya yoki trigonometriya uchun odamlar!?)
Keling, buni aniqlaylik?
Bir burchak teng bo'ladi arccos a, ikkinchi: -arccos a.
Va bu har doim shunday ishlaydi. Har qanday uchun A.
Agar menga ishonmasangiz, sichqonchani rasm ustiga olib boring yoki planshetingizdagi rasmga teging.) Men raqamni o‘zgartirdim. A salbiy narsaga. Baribir, biz bir burchakka egamiz arccos a, ikkinchi: -arccos a.
Shuning uchun javob har doim ikkita ildiz qatori sifatida yozilishi mumkin:
x 1 = arccos a + 2p n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2p n, n ∈ Z
Keling, ushbu ikkita seriyani bittaga birlashtiramiz:
x= ± arccos a + 2p n, n ∈ Z
Va bu hammasi. Kosinus bilan eng oddiy trigonometrik tenglamani yechishning umumiy formulasini oldik.
Agar tushunsangiz, bu qandaydir o'ta ilmiy donolik emas, balki faqat ikkita javob seriyasining qisqartirilgan versiyasi, Shuningdek, siz "C" vazifalarini bajarishingiz mumkin. Tengsizliklar bilan, berilgan oraliqdan ildizlarni tanlash bilan ... U erda ortiqcha/minus bilan javob ishlamaydi. Ammo agar siz javobga ishbilarmonlik bilan munosabatda bo'lsangiz va uni ikkita alohida javobga ajratsangiz, hamma narsa hal qilinadi.) Aslida, shuning uchun biz buni ko'rib chiqmoqdamiz. Nima, qanday va qayerda.
Eng oddiy trigonometrik tenglamada
sinx = a
biz ikkita ildiz seriyasini ham olamiz. Har doim. Va bu ikki seriyani ham yozib olish mumkin bir qatorda. Faqatgina bu qator murakkabroq bo'ladi:
x = (-1) n arcsin a + p n, n ∈ Z
Ammo mohiyati bir xil bo'lib qolmoqda. Matematiklar bir qator ildizlar uchun ikkita yozuv o'rniga bitta kiritish uchun oddiygina formula ishlab chiqdilar. Va tamom!
Keling, matematiklarni tekshiramizmi? Va siz hech qachon bilmaysiz ...)
Oldingi darsda sinus bilan trigonometrik tenglamaning yechimi (formulalarsiz) batafsil muhokama qilindi:
Javob ikkita ildiz qatoriga olib keldi:
x 1 = p /6 + 2p n, n ∈ Z
x 2 = 5p /6 + 2p n, n ∈ Z
Agar biz bir xil tenglamani formuladan foydalanib yechsak, javobni olamiz:
x = (-1) n arksin 0,5 + p n, n ∈ Z
Aslida, bu tugallanmagan javob.) Talaba buni bilishi kerak arcsin 0,5 = p /6. To'liq javob quyidagicha bo'ladi:
x = (-1)n p /6+ p n, n ∈ Z
Bu qiziq savol tug'diradi. orqali javob bering x 1; x 2 (bu to'g'ri javob!) va yolg'izlik orqali X (va bu to'g'ri javob!) - ular bir xilmi yoki yo'qmi? Endi bilib olamiz.)
Javobni bilan almashtiramiz x 1 qiymatlar n =0; 1; 2; va hokazo, biz hisoblaymiz, biz bir qator ildizlarni olamiz:
x 1 = p/6; 13p/6; 25p/6 va hokazo.
bilan javoban bir xil almashtirish bilan x 2 , biz olamiz:
x 2 = 5p/6; 17p/6; 29p/6 va hokazo.
Endi qiymatlarni almashtiramiz n (0; 1; 2; 3; 4...) yagona uchun umumiy formulaga X . Ya'ni, biz minus birni nol kuchga, keyin birinchi, ikkinchi va hokazolarga ko'taramiz. Albatta, biz ikkinchi muddatga 0 ni almashtiramiz; 1; 2 3; 4 va boshqalar. Va hisoblaymiz. Biz seriyani olamiz:
x = p/6; 5p/6; 13p/6; 17p/6; 25p/6 va hokazo.
Siz ko'rishingiz mumkin bo'lgan hamma narsa shu.) Umumiy formula bizga beradi aynan bir xil natijalar ikkita javob alohida-alohida. Hamma narsa bir vaqtning o'zida, tartibda. Matematiklar aldanishmagan.)
Tangens va kotangens bilan trigonometrik tenglamalarni yechish formulalari ham tekshirilishi mumkin. Lekin biz buni qilmaymiz.) Ular allaqachon oddiy.
Men bu almashtirishning barchasini yozdim va aniq tekshirdim. Bu erda bir narsani tushunish muhimdir oddiy narsa: elementar trigonometrik tenglamalarni yechish uchun formulalar mavjud, javoblarning qisqacha xulosasi. Bu qisqalik uchun biz kosinus eritmasiga plyus/minus va sinus eritmasiga (-1) n ni kiritishimiz kerak edi.
Ushbu qo'shimchalar oddiy tenglamaning javobini yozishingiz kerak bo'lgan vazifalarga hech qanday aralashmaydi. Ammo agar siz tengsizlikni hal qilishingiz kerak bo'lsa yoki javob bilan biror narsa qilishingiz kerak bo'lsa: intervalda ildizlarni tanlang, ODZni tekshiring va hokazo, bu qo'shimchalar odamni osongina bezovta qilishi mumkin.
Xo'sh, nima qilishim kerak? Ha, javobni ikki qatorda yozing yoki trigonometrik doira yordamida tenglama/tengsizlikni yeching. Keyin bu qo'shimchalar yo'qoladi va hayot osonlashadi.)
Xulosa qilishimiz mumkin.
Eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish uchun tayyor javob formulalari mavjud. To'rt bo'lak. Ular bir zumda tenglamaning yechimini yozish uchun yaxshi. Masalan, siz tenglamalarni echishingiz kerak:
sinx = 0,3
Osonlik bilan: x = (-1) n arksin 0,3 + p n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Muammosiz: x = ± arccos 0,2 + 2p n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Osonlik bilan: x = arktan 1,2 + p n, n ∈ Z
ctgx = 3.7
Biri qoldi: x= arcctg3,7 + p n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Agar siz bilim bilan porlayotgan bo'lsangiz, darhol javob yozing:
x= ± arccos 1,8 + 2p n, n ∈ Z
demak siz allaqachon porlab turibsiz, bu... ko'lmakdan.) To'g'ri javob: yechimlar yo'q. Nima uchun tushunmayapsizmi? Yoy kosinasi nima ekanligini o'qing. Bundan tashqari, agar dastlabki tenglamaning o'ng tomonida sinus, kosinus, tangens, kotangensning jadval qiymatlari mavjud bo'lsa, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 va h.k. - kamon orqali javob tugallanmagan bo'ladi. Arklar radianga aylantirilishi kerak.
Va agar siz tengsizlikka duch kelsangiz, yoqing
keyin javob:
x pn, n ∈ Z
kamdan-kam bema'nilik bor, ha ...) Bu erda kerak trigonometrik doira qaror. Tegishli mavzuda nima qilamiz.
Ushbu satrlarni qahramonona o'qiganlar uchun. Men sizning titanik sa'y-harakatlaringizni qadrlay olmayman. Siz uchun bonus.)
Bonus:
Xavotirli jangovar vaziyatda formulalarni yozishda hatto tajribali ahmoqlar ham qayerda ekanligi haqida bosh qotiradilar pn, qayerda 2p n. Mana siz uchun oddiy hiyla. In hamma formulalar arziydi pn. Ark kosinusli yagona formuladan tashqari. U erda turibdi 2p. Ikki peen. Kalit so'z - ikki. Xuddi shu formulada mavjud ikki boshida belgilang. Plyus va minus. Bu yerda va u yerda - ikki.
Shunday qilib, agar siz yozsangiz ikki yoy kosinusidan oldin belgi qo'ying, oxirida nima bo'lishini eslab qolish osonroq ikki peen. Va bu ham aksincha sodir bo'ladi. Odam belgini o'tkazib yuboradi ± , oxiriga yetadi, to'g'ri yozadi ikki Pien, va u o'ziga keladi. Oldinda nimadir bor ikki imzo! Inson boshiga qaytadi va xatosini tuzatadi! Mana bunday.)
Agar sizga bu sayt yoqsa...
Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)
Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
Trigonometrik tenglamalar oson mavzu emas. Ular juda xilma-xildir.) Masalan, bular:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+p /4) = karyola(2x-p /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Va hokazo...
Ammo bu (va boshqa barcha) trigonometrik yirtqich hayvonlar ikkita umumiy va majburiy xususiyatga ega. Birinchidan - ishonmaysiz - tenglamalarda trigonometrik funktsiyalar mavjud.) Ikkinchidan: x bilan barcha ifodalar topiladi. xuddi shu funktsiyalar doirasida. Va faqat u erda! Agar biror joyda X paydo bo'lsa tashqarida, Masalan, sin2x + 3x = 3, bu allaqachon aralash turdagi tenglama bo'ladi. Bunday tenglamalar individual yondashuvni talab qiladi. Biz ularni bu erda ko'rib chiqmaymiz.
Biz bu darsda ham yomon tenglamalarni yechmaymiz.) Bu erda biz bilan shug'ullanamiz eng oddiy trigonometrik tenglamalar. Nega? Ha, chunki yechim har qanday trigonometrik tenglamalar ikki bosqichdan iborat. Birinchi bosqichda yovuz tenglama turli xil o'zgarishlar orqali oddiy tenglamaga tushiriladi. Ikkinchisida bu eng oddiy tenglama yechilgan. Boshqa yo'l yo'q.
Shunday qilib, agar siz ikkinchi bosqichda muammolarga duch kelsangiz, birinchi bosqich juda mantiqiy emas.)
Elementar trigonometrik tenglamalar qanday ko'rinishga ega?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Bu yerga A har qanday raqamni bildiradi. Har qanday.
Aytgancha, funktsiya ichida sof X emas, balki qandaydir ifoda bo'lishi mumkin, masalan:
cos(3x+p /3) = 1/2
va hokazo. Bu hayotni murakkablashtiradi, lekin trigonometrik tenglamani yechish usuliga ta'sir qilmaydi.
Trigonometrik tenglamalarni qanday yechish mumkin?
Trigonometrik tenglamalarni ikki usulda yechish mumkin. Birinchi usul: mantiq va trigonometrik doiradan foydalanish. Biz bu yo'lni shu erda ko'rib chiqamiz. Ikkinchi usul - xotira va formulalardan foydalanish - keyingi darsda muhokama qilinadi.
Birinchi usul tushunarli, ishonchli va unutish qiyin.) Bu trigonometrik tenglamalar, tengsizliklar va har xil nostandart misollarni echish uchun yaxshi. Mantiq xotiradan kuchliroq!)
Trigonometrik doira yordamida tenglamalarni yechish.
Biz elementar mantiqni va trigonometrik doiradan foydalanish qobiliyatini o'z ichiga olamiz. Qanday qilib bilmayapsizmi? Biroq ... Siz trigonometriyada qiyinchilikka duch kelasiz ...) Lekin bu muhim emas. Darslarni ko'ring "Trigonometrik doira...... Bu nima?" va "Trigonometrik doiradagi burchaklarni o'lchash". U erda hamma narsa oddiy. Darsliklardan farqli o'laroq...)
Oh, bilasizmi!? Va hatto "Trigonometrik doira bilan amaliy ish" ni o'zlashtirdi!? Tabriklaymiz. Bu mavzu sizga yaqin va tushunarli bo'ladi.) Ayniqsa, quvonarlisi shundaki, trigonometrik aylana qaysi tenglamani yechishingizga ahamiyat bermaydi. Sinus, kosinus, tangens, kotangens - uning uchun hamma narsa bir xil. Faqat bitta yechim printsipi mavjud.
Shunday qilib, biz har qanday elementar trigonometrik tenglamani olamiz. Hech bo'lmaganda bu:
cosx = 0,5
Biz X ni topishimiz kerak. Inson tilida gapirganda, sizga kerak kosinasi 0,5 bo'lgan burchakni (x) toping.
Ilgari biz aylanadan qanday foydalanganmiz? Biz unga burchak chizdik. Darajalar yoki radianlarda. Va darhol ko'rgan Bu burchakning trigonometrik funktsiyalari. Endi teskarisini qilaylik. Aylana ustiga 0,5 ga teng va darhol kosinus chizamiz Biz ko'ramiz burchak. Javobni yozishgina qoladi.) Ha, ha!
Doira chizing va kosinusni 0,5 ga teng belgilang. Albatta, kosinus o'qida. Mana bunday:
Endi bu kosinus bizga beradigan burchakni chizamiz. Sichqonchani rasm ustiga olib boring (yoki planshetingizdagi rasmga teging) va ko'rasiz aynan shu burchak X.
Qaysi burchakning kosinasi 0,5 ga teng?
x = p /3
cos 60°= cos( p /3) = 0,5
Ba'zilar shubha bilan kulishadi, ha... Xuddi hamma narsa aniq bo'lsa, aylana yasash kerakmidi... Albatta, kulishingiz mumkin...) Lekin haqiqat shundaki, bu noto'g'ri javob. To'g'rirog'i, etarli emas. Doira biluvchilari bu erda 0,5 kosinusni beradigan bir qancha boshqa burchaklar mavjudligini tushunishadi.
Agar siz OA harakatlanuvchi tomonini aylantirsangiz to'liq burilish, A nuqtasi asl holatiga qaytadi. Xuddi shu kosinus bilan 0,5 ga teng. Bular. burchak o'zgaradi 360° yoki 2p radianga, va kosinus - yo'q. Yangi burchak 60° + 360° = 420° ham tenglamamizning yechimi boʻladi, chunki
Bunday to'liq inqiloblarni amalga oshirish mumkin cheksiz to'plam... Va bu barcha yangi burchaklar trigonometrik tenglamamizning yechimi bo'ladi. Va ularning barchasi javob sifatida qandaydir tarzda yozilishi kerak. Hammasi. Aks holda, qaror hisobga olinmaydi, ha...)
Matematika buni sodda va nafis bajarishi mumkin. Bitta qisqa javobda yozing cheksiz to'plam qarorlar. Bu bizning tenglamamiz uchun qanday ko'rinadi:
x = p /3 + 2p n, n ∈ Z
Men uni hal qilaman. Hali ham yozing mazmunli Bu ahmoqona sirli harflarni chizishdan ko'ra yoqimliroq, shunday emasmi?)
p /3 - bu biznikiga o'xshash burchak ko'rgan doira ustida va belgilangan kosinuslar jadvaliga ko'ra.
2p radyanlarda bitta to'liq inqilobdir.
n - bu to'liqlarning soni, ya'ni. butun rpm Bu aniq n 0, ±1, ±2, ±3.... ga teng bo'lishi mumkin va hokazo. Qisqa yozuvda ko'rsatilganidek:
n ∈ Z
n tegishli ( ∈ ) butun sonlar to'plami ( Z ). Aytgancha, xat o'rniga n harflardan foydalanish mumkin k, m, t va hokazo.
Bu belgi siz har qanday butun sonni olishingiz mumkinligini bildiradi n . Kamida -3, kamida 0, kamida +55. Xohlaganingiz. Agar siz ushbu raqamni javobga almashtirsangiz, siz aniq burchakka ega bo'lasiz, bu shubhasiz bizning qattiq tenglamamizning yechimi bo'ladi.)
Yoki boshqacha aytganda, x = p /3 cheksiz to‘plamning yagona ildizidir. Boshqa barcha ildizlarni olish uchun p /3 ga har qanday miqdordagi to'liq aylanishlarni qo'shish kifoya. n ) radianlarda. Bular. 2p radian.
Hammasi? Yo'q. Men zavqni ataylab uzaytiraman. Yaxshi eslab qolish uchun.) Biz tenglamamizga javoblarning faqat bir qismini oldik. Men yechimning birinchi qismini shunday yozaman:
x 1 = p /3 + 2p n, n ∈ Z
x 1 - faqat bitta ildiz emas, balki butun bir qator ildizlar, qisqa shaklda yozilgan.
Ammo 0,5 kosinusni ham beradigan burchaklar ham bor!
Keling, javobni yozgan rasmimizga qaytaylik. Mana u:
Sichqonchani tasvir ustiga olib boring va ko'ramiz boshqa burchak 0,5 kosinusni ham beradi. Nimaga teng deb o'ylaysiz? Uchburchaklar bir xil... Ha! Bu burchakka teng X , faqat salbiy yo'nalishda kechiktirildi. Bu burchak -X. Ammo biz allaqachon x ni hisoblab chiqdik. p /3 yoki 60°. Shunday qilib, biz ishonch bilan yozishimiz mumkin:
x 2 = - p /3
Albatta, biz to'liq aylanishlar orqali olingan barcha burchaklarni qo'shamiz:
x 2 = - p /3 + 2p n, n ∈ Z
Hammasi shu.) Trigonometrik doirada biz ko'rgan(kim tushunadi, albatta)) Hammasi 0,5 kosinus beradigan burchaklar. Va bu burchaklarni qisqacha yozdi matematik shakl. Javob ikkita cheksiz ildiz qatoriga olib keldi:
x 1 = p /3 + 2p n, n ∈ Z
x 2 = - p /3 + 2p n, n ∈ Z
Bu to'g'ri javob.
Umid, trigonometrik tenglamalarni yechishning umumiy tamoyili aylanadan foydalanish aniq. Biz aylana bo'ylab kosinusni (sinus, tangens, kotangens) belgilaymiz berilgan tenglama, mos burchaklarni chizing va javobni yozing. Albatta, biz qaysi burchaklar ekanligimizni aniqlashimiz kerak ko'rgan doira ustida. Ba'zida bu unchalik aniq emas. Xo'sh, men bu erda mantiq kerakligini aytdim.)
Masalan, boshqa trigonometrik tenglamani ko'rib chiqamiz:
Iltimos, 0,5 raqami tenglamalarda mumkin bo'lgan yagona raqam emasligini hisobga oling!) Men uchun uni ildiz va kasrlardan ko'ra yozish qulayroq.
Biz umumiy printsip asosida ishlaymiz. Biz doira chizamiz, belgilaymiz (sinus o'qi bo'yicha, albatta!) 0,5. Biz bir vaqtning o'zida ushbu sinusga mos keladigan barcha burchaklarni chizamiz. Biz ushbu rasmni olamiz:
Avval burchak bilan shug'ullanamiz X birinchi chorakda. Biz sinuslar jadvalini eslaymiz va bu burchakning qiymatini aniqlaymiz. Bu oddiy masala:
x = p /6
Biz to'liq burilishlarni eslaymiz va toza vijdon bilan javoblarning birinchi qatorini yozamiz:
x 1 = p /6 + 2p n, n ∈ Z
Ishning yarmi tugadi. Ammo endi biz aniqlashimiz kerak ikkinchi burchak ... Bu kosinuslarni ishlatishdan ko'ra qiyinroq, ha... Lekin bizni mantiq qutqaradi! Ikkinchi burchakni qanday aniqlash mumkin x orqali? Ha oson! Rasmdagi uchburchaklar bir xil va qizil burchak X burchakka teng X . Faqat u p burchakdan manfiy yo'nalishda hisoblanadi. Shuning uchun u qizil.) Va javob uchun bizga musbat yarim o'q OX dan to'g'ri o'lchangan burchak kerak, ya'ni. 0 daraja burchakdan.
Biz kursorni chizilgan ustiga olib boramiz va hamma narsani ko'ramiz. Rasmni murakkablashtirmaslik uchun birinchi burchakni olib tashladim. Bizni qiziqtirgan burchak (yashil rangda chizilgan) quyidagilarga teng bo'ladi:
p - x
X buni bilamiz p /6 . Shunday qilib, ikkinchi burchak quyidagicha bo'ladi:
p - p /6 = 5p /6
Biz yana to'liq inqiloblarni qo'shishni eslaymiz va javoblarning ikkinchi seriyasini yozamiz:
x 2 = 5p /6 + 2p n, n ∈ Z
Ana xolos. To'liq javob ikki qator ildizlardan iborat:
x 1 = p /6 + 2p n, n ∈ Z
x 2 = 5p /6 + 2p n, n ∈ Z
Tangens va kotangens tenglamalar trigonometrik tenglamalarni yechishda bir xil umumiy printsip yordamida osonlikcha yechilishi mumkin. Agar, albatta, siz trigonometrik doirada tangens va kotangensni qanday chizishni bilsangiz.
Yuqoridagi misollarda men sinus va kosinusning jadval qiymatidan foydalandim: 0,5. Bular. talaba biladigan ma'nolardan biri kerak. Endi imkoniyatlarimizni kengaytiramiz boshqa barcha qadriyatlar. Qaror qiling, qaror qiling!)
Deylik, bu trigonometrik tenglamani yechishimiz kerak:
Qisqa jadvallarda bunday kosinus qiymati yo'q. Biz buni sovuqqonlik bilan e'tiborsiz qoldiramiz dahshatli fakt. Doira chizing, kosinus o'qiga 2/3 ni belgilang va mos keladigan burchaklarni chizing. Biz bu rasmni olamiz.
Keling, birinchi navbatda, birinchi chorakdagi burchakka qaraylik. Agar x ning nimaga tengligini bilsak edi, darhol javobni yozar edik! Biz bilmaymiz... Muvaffaqiyatsizlik!? Sokin! Matematika o'z xalqini qiyinchilikda qoldirmaydi! U bu holat uchun yoy kosinuslarini o'ylab topdi. Bilmayman? Bekordan bekorga. Aniqlang, bu siz o'ylagandan ham osonroq. Ushbu havolada "teskari trigonometrik funktsiyalar" haqida biron bir hiyla-nayrang yo'q ... Bu mavzuda bu ortiqcha.
Agar siz bilsangiz, shunchaki o'zingizga ayting: "X - kosinasi 2/3 ga teng bo'lgan burchak." Va darhol, yoy kosinusining ta'rifiga ko'ra, biz yozishimiz mumkin:
Biz qo'shimcha inqiloblarni eslaymiz va trigonometrik tenglamamizning birinchi qator ildizlarini xotirjamlik bilan yozamiz:
x 1 = arccos 2/3 + 2p n, n ∈ Z
Ikkinchi burchak uchun ildizlarning ikkinchi seriyasi deyarli avtomatik ravishda yoziladi. Hammasi bir xil, faqat X (arccos 2/3) minus bilan bo'ladi:
x 2 = - arccos 2/3 + 2p n, n ∈ Z
Va shunday! Bu to'g'ri javob. Jadval qiymatlariga qaraganda osonroq. Hech narsani eslab qolishning hojati yo'q.) Aytgancha, eng diqqatli kishi bu rasmda yechimni yoy kosinasi orqali ko'rsatayotganini sezadi. uchun rasmdan deyarli farq qilmaydi cos tenglamalari x = 0,5.
Aynan shunday! Umumiy tamoyil Shuning uchun bu keng tarqalgan! Men ataylab ikkita deyarli bir xil rasm chizdim. Doira bizga burchakni ko'rsatadi X uning kosinasi bilan. Bu jadvalli kosinusmi yoki yo'qmi, hamma uchun noma'lum. Bu qanday burchak, p /3 yoki yoy kosinasi nima - buni o'zimiz hal qilamiz.
Sinus bilan bir xil qo'shiq. Masalan:
Yana aylana chizing, sinusni 1/3 ga teng belgilang, burchaklarni chizing. Bu biz olgan rasm:
Va yana rasm tenglama bilan deyarli bir xil sinx = 0,5. Yana birinchi chorakda burchakdan boshlaymiz. Agar uning sinusi 1/3 bo'lsa, X nimaga teng? Hammasi joyida!
Endi ildizlarning birinchi to'plami tayyor:
x 1 = arksin 1/3 + 2p n, n ∈ Z
Keling, ikkinchi burchak bilan shug'ullanamiz. Jadval qiymati 0,5 bo'lgan misolda u quyidagilarga teng edi:
p - x
Bu erda ham xuddi shunday bo'ladi! Faqat x farq qiladi, arksin 1/3. Nima bo'libdi!? Siz ikkinchi ildiz to'plamini ishonch bilan yozishingiz mumkin:
x 2 = p - yoy 1/3 + 2p n, n ∈ Z
Bu mutlaqo to'g'ri javob. Garchi u juda tanish ko'rinmasa ham. Lekin bu aniq, umid qilamanki.)
Aylana yordamida trigonometrik tenglamalar shunday yechiladi. Bu yo'l aniq va tushunarli. Aynan u ma'lum oraliqda ildizlarni tanlash bilan trigonometrik tenglamalarda saqlaydi trigonometrik tengsizliklar- ular odatda deyarli har doim aylanada hal qilinadi. Muxtasar qilib aytganda, odatdagidan biroz qiyinroq bo'lgan har qanday vazifalarda.
Keling, bilimlarni amalda qo'llaylik?)
Trigonometrik tenglamalarni yeching:
Birinchidan, oddiyroq, to'g'ridan-to'g'ri ushbu darsdan.
Endi bu yanada murakkab.
Maslahat: bu erda siz doira haqida o'ylashingiz kerak bo'ladi. Shaxsan.)
Va endi ular tashqi ko'rinishida sodda ... Ularni maxsus holatlar ham deyiladi.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Maslahat: bu yerda siz aylana ichida ikkita javob seriyasi borligini va qaerda bitta javob borligini aniqlashingiz kerak ... Va ikkita javob seriyasi o'rniga qanday qilib bitta javob yozish kerak. Ha, cheksiz sondan birorta ham ildiz yo'qolmasligi uchun!)
Xo'sh, juda oddiy):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Maslahat: bu erda siz arksin va arkkosin nima ekanligini bilishingiz kerakmi? Arktangens, arktangens nima? Eng oddiy ta'riflar. Lekin siz hech qanday jadval qiymatlarini eslab qolishingiz shart emas!)
Javoblar, albatta, chalkashlikdir):
x 1= arcsin0,3 + 2p n, n ∈ Z
x 2= p - arcsin0,3 + 2
Hammasi yaxshi emasmi? Bo'ladi. Darsni yana o'qing. Faqat o'ylab(bunday eskirgan so'z bor...) Va havolalarni kuzatib boring. Asosiy havolalar doira haqida. Busiz trigonometriya yo'lni ko'r bilan kesib o'tishga o'xshaydi. Ba'zan ishlaydi.)
Agar sizga bu sayt yoqsa...
Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)
Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
Buyurtma berishingiz mumkin batafsil yechim sizning vazifangiz !!!
Belgi ostida noma'lumni o'z ichiga olgan tenglik trigonometrik funktsiya(`sin x, cos x, tan x` yoki `ctg x`) trigonometrik tenglama deyiladi va biz ularning formulalarini keyinroq ko`rib chiqamiz.
Eng oddiy tenglamalar `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, bu yerda `x` topiladigan burchak, `a` istalgan son. Keling, ularning har biri uchun ildiz formulalarini yozamiz.
1. `sin x=a` tenglamasi.
`|a|>1` uchun uning yechimlari yo'q.
Qachon `|a| \leq 1` cheksiz sonli yechimlarga ega.
Ildiz formulasi: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. `cos x=a` tenglama
`|a|>1` uchun - sinus holatida bo'lgani kabi, haqiqiy sonlar orasida yechimlari yo'q.
Qachon `|a| \leq 1` cheksiz sonli yechimlarga ega.
Ildiz formulasi: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Grafiklarda sinus va kosinus uchun maxsus holatlar. 
3. `tg x=a` tenglama
Har qanday `a` qiymatlari uchun cheksiz ko'p yechimlarga ega.
Ildiz formulasi: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. `ctg x=a` tenglama
Shuningdek, "a" ning har qanday qiymatlari uchun cheksiz ko'p echimlar mavjud.
Ildiz formulasi: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Jadvaldagi trigonometrik tenglamalarning ildizlari uchun formulalar
Sinus uchun: 
Kosinus uchun: 
Tangens va kotangens uchun: 
Teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan tenglamalarni yechish formulalari:
Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari
Har qanday trigonometrik tenglamani yechish ikki bosqichdan iborat:
- uni eng oddiyga aylantirish yordamida;
- yuqorida yozilgan ildiz formulalari va jadvallar yordamida olingan eng oddiy tenglamani yeching.
Keling, misollar yordamida asosiy yechim usullarini ko'rib chiqaylik.
Algebraik usul.
Bu usul o'zgaruvchini almashtirish va uni tenglikka almashtirishni o'z ichiga oladi.
Misol. Tenglamani yeching: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
almashtiring: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, keyin `2y^2-3y+1=0`,
biz ildizlarni topamiz: `y_1=1, y_2=1/2`, undan ikkita holat kelib chiqadi:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Javob: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktorizatsiya.
Misol. Tenglamani yeching: `sin x+cos x=1`.
Yechim. Tenglikning barcha shartlarini chapga siljiymiz: `sin x+cos x-1=0`. dan foydalanib, biz chap tomonni aylantiramiz va faktorlarga ajratamiz:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Javob: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Bir jinsli tenglamaga keltirish
Birinchidan, ushbu trigonometrik tenglamani ikkita shakldan biriga qisqartirishingiz kerak:
`a sin x+b cos x=0` (birinchi darajali bir jinsli tenglama) yoki `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ikkinchi darajali bir jinsli tenglama).
Keyin ikkala qismni birinchi holat uchun "cos x \ne 0" ga, ikkinchisi uchun "cos^2 x \ne 0" ga bo'ling. Biz `tg x` uchun tenglamalarni olamiz: `a tg x+b=0` va `a tg^2 x + b tg x +c =0`, ularni ma'lum usullar yordamida yechish kerak.
Misol. Tenglamani yeching: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Yechim. O'ng tomonni `1=sin^2 x+cos^2 x` shaklida yozamiz:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Bu ikkinchi darajali bir hil trigonometrik tenglama bo'lib, biz uning chap va o'ng tomonlarini `cos^2 x \ne 0` ga ajratamiz, biz quyidagilarni olamiz:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. `t^2 + t - 2=0` ga olib keladigan `tg x=t` almashtirishni kiritamiz. Bu tenglamaning ildizlari `t_1=-2` va `t_2=1`. Keyin:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Javob. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Yarim burchakka o'tish
Misol. Tenglamani yeching: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Yechim. Keling, formulalarni qo'llaylik ikki burchak, natijada: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^ 2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Yuqoridagilarni qo'llash algebraik usul, biz olamiz:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Javob. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Yordamchi burchakning kiritilishi
`a sin x + b cos x =c` trigonometrik tenglamada a,b,c koeffitsientlar va x o'zgaruvchi bo'lib, ikkala tomonni `sqrt (a^2+b^2)` ga bo'ling:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.
Chap tarafdagi koeffitsientlar sinus va kosinus xossalariga ega, ya'ni kvadratlari yig'indisi 1 ga teng, modullari esa 1 dan katta emas. Ularni quyidagicha belgilaymiz: `\frac a(sqrt (a^2). +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, keyin:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Keling, quyidagi misolni batafsil ko'rib chiqaylik:
Misol. Tenglamani yeching: `3 sin x+4 cos x=2`.
Yechim. Tenglikning ikkala tomonini `sqrt (3^2+4^2)` ga ajratsak, biz quyidagilarga erishamiz:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` ni belgilaymiz. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` bo`lgani uchun yordamchi burchak sifatida `\varphi=arcsin 4/5` ni olamiz. Keyin tengligimizni quyidagi shaklda yozamiz:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Sinus uchun burchaklar yig'indisi formulasini qo'llagan holda, biz tengligimizni quyidagi shaklda yozamiz:
`sin (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Javob. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Kasrli ratsional trigonometrik tenglamalar
Bular soni va maxraji trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan kasrlar bilan tenglikdir.
Misol. Tenglamani yeching. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Yechim. Tenglikning o'ng tomonini `(1+cos x)` ga ko'paytiring va bo'ling. Natijada biz quyidagilarni olamiz:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Maxraj nolga teng bo'lmasligini hisobga olsak, Z`da `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \ni olamiz.
Kasrning ayiruvchisini nolga tenglashtiramiz: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Keyin `sin x=0` yoki `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` ekanligini hisobga olsak, yechimlar `x=2\pi n, n \da Z` va `x=\pi /2+2\pi n` bo`ladi. , `n \in Z`.
Javob. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Trigonometriya, xususan, trigonometrik tenglamalar geometriya, fizika va texnikaning deyarli barcha sohalarida qo'llaniladi. O'qish 10-sinfda boshlanadi, har doim yagona davlat imtihoniga topshiriqlar mavjud, shuning uchun trigonometrik tenglamalarning barcha formulalarini eslab qolishga harakat qiling - ular sizga albatta foydali bo'ladi!
Biroq, ularni eslab qolishning hojati yo'q, asosiysi, mohiyatini tushunish va uni chiqarib olishdir. Bu ko'rinadigan darajada qiyin emas. Videoni tomosha qilib o'zingiz ko'ring.
Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.
Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish
Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.
Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.
Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.
Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:
- Saytda ariza topshirganingizda, biz sizning ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingiz kabi turli xil ma'lumotlarni to'plashimiz mumkin Elektron pochta va hokazo.
Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:
- Biz tomonidan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
- Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
- Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish maqsadida auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
- Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.
Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish
Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.
Istisnolar:
- Agar kerak bo'lsa - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va/yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining ommaviy so'rovlari yoki so'rovlari asosida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
- Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.
Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish
Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.
Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish
Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.
Eng oddiy trigonometrik tenglamalar tenglamalardir
Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a
cos(x) = a tenglama
Tushuntirish va asoslash
- cosx = a tenglamaning ildizlari. Qachon | a | > 1 tenglamaning ildizlari yo'q, chunki | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 yoki a da< -1 не пересекает график функцииy = cosx).
Keling | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции
y = cos x. Intervalda y = cos x funksiya 1 dan -1 gacha kamayadi. Ammo kamayuvchi funktsiya o'zining har bir qiymatini faqat ta'rif sohasining bir nuqtasida oladi, shuning uchun cos x = a tenglama bu oraliqda faqat bitta ildizga ega bo'lib, arkkosin ta'rifi bo'yicha quyidagilarga teng: x 1 = arccos a (va bu ildiz uchun cos x = A).
Kosinus - hatto funktsiya, shuning uchun [-n oraliqda; 0] tenglama cos x = va faqat bitta ildizga ega - x 1 ga qarama-qarshi raqam, ya'ni
x 2 = -arccos a.
Shunday qilib, [-n oraliqda; p] (uzunligi 2p) tenglama cos x = a | bilan a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.
y = cos x funktsiyasi 2n davri bilan davriydir, shuning uchun boshqa barcha ildizlar 2n (n € Z) bilan topilganlardan farq qiladi. cos x = a qachon tenglamaning ildizlari uchun quyidagi formulani olamiz
x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.
- cosx = a tenglamani yechishning maxsus holatlari.
Cos x = a qachon tenglamaning ildizlari uchun maxsus belgilarni eslab qolish foydalidir
a = 0, a = -1, a = 1, uni mos yozuvlar sifatida birlik doirasi yordamida osongina olish mumkin.
Chunki kosinus mos keladigan nuqtaning abssissasiga teng birlik doirasi, biz cos x = 0 ni faqat birlik doiraning mos nuqtasi A nuqta yoki B nuqta bo'lsagina olamiz.
Xuddi shunday, cos x = 1, agar birlik aylananing mos keladigan nuqtasi C nuqta bo'lsa, demak,
x = 2p, k € Z.
Shuningdek, cos x = -1, agar birlik doiraning mos nuqtasi D nuqtasi bo'lsa, shuning uchun x = n + 2n,
tenglama sin(x) = a
Tushuntirish va asoslash
- Ildizlar sinks tenglamalari= a. Qachon | a | > 1 tenglamaning ildizlari yo'q, chunki | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 yoki a da< -1 не пересекает график функции y = sinx).
