The elektron resurs o'tkazish uchun ajoyib materialdir interaktiv ta'lim V zamonaviy maktablar. U to'g'ri yozilgan, aniq tuzilishga ega va maktab o'quv dasturiga mos keladi. Batafsil tushuntirishlar tufayli video darsda keltirilgan mavzu sinfdagi imkon qadar ko'proq o'quvchilarga tushunarli bo'ladi. O'qituvchilar yodda tutishlari kerakki, hamma o'quvchilar ham bir xil idrok darajasi, tushunish tezligi yoki asosiga ega emas. Bunday materiallar sizga qiyinchiliklarni engishga va tengdoshlaringiz bilan uchrashishga, akademik ko'rsatkichlaringizni yaxshilashga yordam beradi. Ularning yordami bilan sokin uy sharoitida, mustaqil ravishda yoki o'qituvchi bilan birgalikda talaba muayyan mavzuni tushunishi, nazariyani o'rganishi va misollarni ko'rishi mumkin. amaliy qo'llash u yoki bu formula va boshqalar.
Ushbu video dars "Argumentlar farqining sinusi va kosinusu" mavzusiga bag'ishlangan. Talabalar trigonometriya asoslarini allaqachon o'rgangan, asosiy funktsiyalar va ularning xususiyatlari, sharpa formulalari va trigonometrik qiymatlar jadvallari bilan tanishgan deb taxmin qilinadi.
Shuningdek, ushbu mavzuni o'rganishga o'tishdan oldin, siz argumentlar yig'indisining sinusi va kosinusu haqida tushunchaga ega bo'lishingiz, ikkita asosiy formulani bilishingiz va ulardan foydalana olishingiz kerak.
Videodarsning boshida diktor o'quvchilarga ushbu ikki formulani eslatadi. Keyinchalik, birinchi formula ko'rsatiladi - argumentlar farqining sinusi. Formulaning o'zi qanday olinganligidan tashqari, boshqasidan qanday olinganligi ko'rsatilgan. Shunday qilib, talaba yangi formulani tushunmasdan yodlashi shart emas, bu keng tarqalgan xatodir. Bu sinf o'quvchilari uchun juda muhimdir. Minus belgisi oldiga + belgisini qo'shishingiz mumkinligini doimo yodda tutishingiz kerak va ortiqcha ishoradagi minus oxir-oqibat minusga aylanadi. Ushbu oddiy qadam bilan siz yig'indining sinusi uchun formuladan foydalanishingiz va argumentlar farqining sinusi uchun formulani olishingiz mumkin.
Farqning kosinus formulasi argumentlar yig'indisining kosinus formulasidan xuddi shunday tarzda olinadi.
Ma'ruzachi hamma narsani bosqichma-bosqich tushuntiradi va natijada argumentlar va sinuslar yig'indisi va ayirmasining kosinusining umumiy formulasi chiqariladi.
Ushbu video darsning amaliy qismidagi birinchi misol Pi/12 kosinusini topishni taklif qiladi. Ushbu qiymatni ma'lum bir farq ko'rinishida taqdim etish taklif etiladi, bunda minuend va subtrahend jadval qiymatlari bo'ladi. Keyinchalik, argumentlar farqi uchun kosinus formulasi qo'llaniladi. Ifodani almashtirish orqali siz olingan qiymatlarni almashtirishingiz va javob olishingiz mumkin. Diktor javobni o'qiydi, u misol oxirida ko'rsatiladi.
Ikkinchi misol - tenglama. O'ng va chap tomonda biz argumentlar farqlarining kosinuslarini ko'ramiz. Spiker bu ifodalarni almashtirish va soddalashtirish uchun ishlatiladigan quyma formulalarga o'xshaydi. Bu formulalar oʻng tomonda yozilgan boʻlib, oʻquvchilar maʼlum oʻzgarishlar qayerdan kelib chiqqanligini tushunishlari mumkin.
Yana bir misol, uchinchisi, ma'lum bir kasr bo'lib, bu erda ham hisoblagich, ham maxraj mavjud trigonometrik ifodalar, ya'ni mahsulotlarning farqlari.
Bu yerda ham yechishda qisqartirish formulalaridan foydalaniladi. Shunday qilib, maktab o'quvchilari trigonometriyada bitta mavzuni o'tkazib yuborsalar, qolganlarini tushunish tobora qiyinlashishini ko'rishlari mumkin.
Va nihoyat, to'rtinchi misol. Bu shuningdek, ularni yechishda yangi o'rganilgan va eski formulalardan foydalanish kerak bo'lgan tenglamadir.
Video darsida keltirilgan misollarni batafsilroq ko'rib chiqishingiz va uni o'zingiz hal qilishga harakat qilishingiz mumkin. Ular sifatida o'rnatilishi mumkin uy vazifasi maktab o'quvchilari.
MATNNI dekodlash:
Darsning mavzusi "Argumentlar farqining sinusi va kosinasi".
Oldingi kursda biz ikkita trigonometrik formulalar bilan tanishgan edik: argumentlar yig'indisining sinus va kosinus.
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,
cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y.
ikki burchakning yig'indisining sinusi summasiga teng birinchi burchak sinusi bilan ikkinchi burchak kosinusining ko‘paytmasi va birinchi burchak kosinusining ko‘paytmasi o‘rtasida;
Ikki burchak yig'indisining kosinusu bu burchaklar kosinuslari ko'paytmasi bilan bu burchaklar yig'indisining ko'paytmasi o'rtasidagi farqga teng.
Bu formulalardan foydalanib, argumentlar farqining sinus va kosinus formulalarini olamiz.
Argumentlar farqining sinusi sin(x-y)
Ikkita formula (yig'indining sinusi va farqning sinusi) quyidagicha yozilishi mumkin:
gunoh (xy) = sin x cos ycos x sin y.
Xuddi shunday, biz farqning kosinus formulasini olamiz:
Argumentlar orasidagi farqning kosinusini yig‘indi sifatida qayta yozamiz va yig‘indining kosinusu uchun allaqachon ma’lum bo‘lgan formulani qo‘llaymiz: cos (x + y) = cosxcosy – sinxsiny.
faqat x va -y argumentlari uchun. Ushbu argumentlarni formulaga almashtirib, biz cosxcos(- y) - sinxsin(- y) ni olamiz.
sin(- y)= - siny). va biz yakuniy ifodani olamiz cosxcosy + sinxsiny.
cos (x - y) = cos (x +(- y)) = cos xcos(- y) - sin x sin(- y)= cosx cos y + sin xsin y.
Bu cos (x - y) = cosxcos y + sin xsin y degan ma'noni anglatadi.
Ikki burchak farqining kosinusi bu burchaklar kosinuslari koʻpaytmasi bilan bu burchaklar sinuslari koʻpaytmasi yigʻindisiga teng.
Ikki formulani (yig'indining kosinusi va farqning kosinasi) birlashtirib, biz yozamiz
cos(xy) = cosxcos y sin xsin y.
Esda tutingki, amalda formulalar chapdan o'ngga ham, aksincha ham qo'llanilishi mumkin.
Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.
O'RNAK 1. cos (pi ning o'n ikkiga bo'lingan kosinus) ni hisoblang.
Yechim. O'n ikkiga bo'lingan pini uchga va to'rtga bo'lingan pi ayirmasi deb yozamiz: = - .
Farqi kosinus formulasiga qiymatlarni almashtiramiz: cos (x - y) = cosxcosy + sinxsiny, shuning uchun cos = cos (-) = cos cos + sin sin
Biz bilamizki, cos =, cos = sin=, sin =. Qiymatlar jadvalini ko'rsatish.
Keling, sinus va kosinus qiymatini almashtiramiz raqamli qiymatlar va kasrni kasrga ko'paytirganda ∙ + ∙ ni olamiz, biz son va maxrajlarni ko'paytiramiz, biz olamiz
cos = cos (-) = cos cos + sin sin = ∙ + ∙ = = =.
Javob: cos =.
O'RNAK 2. Yechish cos tenglamasi(2p - 5x) = cos(- 5x) (ikki pi minus besh x kosinus pi kosinusiga ikki minus besh x ga teng).
Yechim. Tenglamaning chap va o'ng tomonlariga biz kamaytirish formulalarini qo'llaymiz cos(2p - cos (ikki pi minus alfa kosinasi alfa kosinusiga teng) va cos(- = sin (pi kosinasi ikki minus alfa teng) alfa sinus), cos 5x = sin 5x ni olamiz, uni birinchi darajali bir jinsli tenglama ko'rinishiga keltiramiz va cos 5x - sin 5x = 0 ni olamiz. Bu birinchi darajali bir jinsli tenglama. tenglamaning ikkala tomonini cos 5x ga bo'ling.Bizda:
cos 5x: cos 5x - sin 5x: cos 5x = 0, chunki cos 5x: cos 5x = 1 va sin 5x: cos 5x = tan 5x, keyin biz olamiz:
Biz tgt = a tenglamasi t = arctga + pn yechimga ega ekanligini allaqachon bilganimiz uchun va bizda t = 5x, a = 1 bo'lgani uchun, biz olamiz
5x = arktan 1 + pn,
A arctg qiymati 1, keyin tg 1= Jadvalni ko'rsatish
Qiymatni tenglamaga almashtiring va uni yeching:
Javob: x = +.
O'RNAK 3. Kasrning qiymatini toping. (hisoblagichda etmish besh daraja va oltmish besh daraja kosinuslar ko'paytmasining farqi va etmish besh daraja va oltmish besh daraja sinuslar ko'paytmasi, maxrajda esa sinus ko'paytmasining farqi. sakson besh daraja va o'ttiz besh daraja kosinus va sakson besh daraja kosinus va o'ttiz besh daraja sinus ko'paytmasi).
Yechim. Bu kasrning numeratorida ayirma 75° va 65° argumentlar yig‘indisining kosinusiga, maxrajda esa argumentlar orasidagi farqning sinusiga «yiqilib» tushishi mumkin. 85 ° va 35 °. olamiz
Javob: - 1.
O'RNAK 4. Tenglamani yeching: cos(-x) + sin(-x) = 1(pi ning to'rt ga ayirmasi kosinus va x plyus pi ning to'rt va x ayirmasining sinusi birga teng).
Yechim. Keling, kosinuslar farqi va sinuslar farqi formulalarini qo'llaymiz.
Ko'rsatish umumiy formula kosinus farqi
Keyin cos (-x) = cos cos x + sinsinx
Sinuslar farqining umumiy formulasini ko'rsating
va gunoh (-x)= sin cosx - chunki gunoh X
Bu ifodalarni cos(-x) + sin(-x) = 1 tenglamasiga almashtiring va quyidagini oling:
cos cos x + sinsin x + sin cos x - cos sin x = 1,
cos= va sin= boʻlgani uchun jadvalda sinus va kosinus maʼnosini koʻrsating
Biz ∙ cos x + ∙ sinx + ∙ cos x - ∙ sinx = 1 ni olamiz,
ikkinchi va to'rtinchi shartlar bir-biriga qarama-qarshidir, shuning uchun ular bir-birini bekor qilib, qoldirib ketishadi:
∙ cos + ∙ cos = 1,
Keling, qaror qilaylik berilgan tenglama va biz buni tushunamiz
2∙ ∙ cos x= 1,
Biz cos = a tenglama yechimga ega ekanligini allaqachon bilganimiz uchun t = arcosa+ 2pk, va bizda t=x, a = bo'lgani uchun, biz olamiz
x = arccos + 2pn,
va qiymat arccos bo'lgani uchun, u holda cos =
Ikki a va b burchaklar uchun sinuslar va kosinuslar yig‘indisi va ayirmasining formulalari bu burchaklar yig‘indisidan a + b 2 va a - b 2 burchaklar ko‘paytmasiga o‘tishga imkon beradi. Darhol shuni ta'kidlaymizki, siz sinuslar va kosinuslarning yig'indisi va farqi formulalarini yig'indi va ayirmaning sinuslari va kosinuslari formulalari bilan aralashtirib yubormasligingiz kerak. Quyida biz ushbu formulalarni sanab o'tamiz, ularning hosilalarini keltiramiz va muayyan muammolarni qo'llash misollarini ko'rsatamiz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Sinus va kosinuslarning yig'indisi va ayirmasining formulalari
Keling, sinuslar va kosinuslar uchun yig'indi va ayirma formulalari qanday ko'rinishini yozamiz
Sinuslar uchun yig'indi va ayirma formulalari
sin a + sin b = 2 sin a + b 2 cos a - b 2 sin a - sin b = 2 sin a - b 2 cos a + b 2
Kosinuslar uchun yig'indi va ayirma formulalari
cos a + cos b = 2 cos a + b 2 cos a - b 2 cos a - cos b = - 2 sin a + b 2 cos a - b 2 , cos a - cos b = 2 sin a + b 2 · b - a 2
Bu formulalar har qanday a va b burchaklar uchun amal qiladi. a + b 2 va a - b 2 burchaklar mos ravishda alfa va beta burchaklarining yarim yig'indisi va yarim farqi deb ataladi. Keling, har bir formula uchun formulani keltiramiz.
Sinuslar va kosinuslarning yig'indilari va farqlari uchun formulalar ta'riflari
Ikki burchak sinuslari yig'indisi bu burchaklarning yarim yig'indisi sinusi va yarim farq kosinusining ikki barobar ko'paytmasiga teng.
Ikki burchak sinuslarining farqi bu burchaklarning yarim farqi sinusi va yarim yig'indi kosinusining ikki barobar ko'paytmasiga teng.
Ikki burchakning kosinuslari yig'indisi bu burchaklarning yarim yig'indisi kosinusining ikki barobar ko'paytmasiga va bu burchaklarning yarim farqining kosinusiga teng.
Ikki burchakli kosinuslar farqi manfiy belgi bilan olingan bu burchaklarning yarim yig'indisi sinusi va yarim farqining kosinusining ikki barobar ko'paytmasiga teng.
Sinus va kosinuslarning yig‘indisi va ayirmasining formulalarini chiqarish
Ikki burchakning sinusi va kosinuslarining yig'indisi va ayirmasining formulalarini olish uchun qo'shish formulalari qo'llaniladi. Keling, ularni quyida sanab o'tamiz
sin (a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b sin (a - b) = sin a · cos b - cos a · sin b cos (a + b) = cos a · cos b - sin a sin b cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b
Keling, burchaklarning o'zini ham yarim yig'indi va yarim farqlar yig'indisi sifatida tasavvur qilaylik.
a = a + b 2 + a - b 2 = a 2 + b 2 + a 2 - b 2 b = a + b 2 - a - b 2 = a 2 + b 2 - a 2 + b 2
Biz to'g'ridan-to'g'ri sin va cos uchun yig'indi va farq formulalarini chiqarishga o'tamiz.
Sinuslar yig'indisi formulasini chiqarish
sin a + sin b yig'indisida a va b ni yuqorida keltirilgan bu burchaklar uchun ifodalar bilan almashtiramiz. olamiz
sin a + sin b = sin a + b 2 + a - b 2 + sin a + b 2 - a - b 2
Endi biz birinchi ifodaga qo'shish formulasini qo'llaymiz, ikkinchisiga esa - burchak farqlari sinusi formulasini qo'llaymiz (yuqoridagi formulalarga qarang).
sin a + b 2 + a - b 2 = sin a + b 2 cos a - b 2 + cos a + b 2 sin a - b 2 sin a + b 2 - a - b 2 = sin a + b 2 cos a. - b 2 - cos a + b 2 sin a - b 2 sin a + b 2 + a - b 2 + sin a + b 2 - a - b 2 = sin a + b 2 cos a - b 2 + cos a + b 2 sin a - b 2 + sin a + b 2 cos a - b 2 - cos a + b 2 sin a - b 2 Qavslarni oching, o‘xshash shartlarni qo‘shing va kerakli formulani oling.
sin a + b 2 cos a - b 2 + cos a + b 2 sin a - b 2 + sin a + b 2 cos a - b 2 - cos a + b 2 sin a - b 2 = = 2 sin a + b 2 cos a - b 2
Qolgan formulalarni olish bosqichlari o'xshash.
Sinuslar ayirmasi formulasini chiqarish
sin a - sin b = sin a + b 2 + a - b 2 - sin a + b 2 - a - b 2 sin a + b 2 + a - b 2 - sin a + b 2 - a - b 2 = gunoh a + b 2 cos a - b 2 + cos a + b 2 sin a - b 2 - sin a + b 2 cos a - b 2 - cos a + b 2 sin a - b 2 = = 2 sin a - b 2 cos a + b 2
Kosinuslar yig'indisi formulasini chiqarish
cos a + cos b = cos a + b 2 + a - b 2 + cos a + b 2 - a - b 2 cos a + b 2 + a - b 2 + cos a + b 2 - a - b 2 = cos a + b 2 cos a - b 2 - sin a + b 2 sin a - b 2 + cos a + b 2 cos a - b 2 + sin a + b 2 sin a - b 2 = = 2 cos a + b 2 cos a - b 2
Kosinuslar ayirmasi formulasini chiqarish
cos a - cos b = cos a + b 2 + a - b 2 - cos a + b 2 - a - b 2 cos a + b 2 + a - b 2 - cos a + b 2 - a - b 2 = cos a + b 2 cos a - b 2 - sin a + b 2 sin a - b 2 - cos a + b 2 cos a - b 2 + sin a + b 2 sin a - b 2 = = - 2 sin a + b 2 sin a - b 2
Amaliy masalalarni yechishga misollar
Birinchidan, formulalardan birini unga ma'lum burchak qiymatlarini qo'yish orqali tekshiramiz. a = p 2, b = p 6 bo'lsin. Keling, bu burchaklarning sinuslari yig'indisining qiymatini hisoblaylik. Birinchidan, asosiy qiymatlar jadvalidan foydalanamiz trigonometrik funktsiyalar, va keyin sinuslar yig'indisi uchun formulani qo'llang.
Misol 1. Ikki burchak sinuslari yig'indisi formulasini tekshirish
a = p 2, b = p 6 sin p 2 + sin p 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin p 2 + sin p 6 = 2 sin p 2 + p 6 2 cos p 2 - p 6 2 = 2 sin p 3 cos p 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Keling, burchak qiymatlari jadvalda keltirilgan asosiy qiymatlardan farq qiladigan holatni ko'rib chiqaylik. a = 165 °, b = 75 ° bo'lsin. Keling, bu burchaklarning sinuslari orasidagi farqni hisoblaylik.
Misol 2. Sinuslar farqi formulasini qo'llash
a = 165 °, b = 75 ° sin a - sin b = gunoh 165 ° - gunoh 75 ° sin 165 - gunoh 75 = 2 gunoh 165 ° - gunoh 75 ° 2 cos 165 ° + gunoh 75 ° 2 = = 2 gunoh 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Sinuslar va kosinuslarning yig'indisi va ayirmasining formulalaridan foydalanib, trigonometrik funktsiyalarning yig'indisi yoki ayirmasidan ko'paytmasiga o'tishingiz mumkin. Ko'pincha bu formulalar yig'indidan mahsulotga o'tish uchun formulalar deb ataladi. Yechishda sinuslar va kosinuslarning yig‘indisi va ayirmasining formulalari keng qo‘llaniladi trigonometrik tenglamalar va trigonometrik ifodalarni konvertatsiya qilishda.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing
