C 7 ratsional ifodalarni o'zgartirish. Ratsional ifodalarni o'zgartirish - Bilim gipermarketi. Shaxs o'zgarishlarining nazariy asoslari

Ushbu maqola bag'ishlangan transformatsiya ratsional ifodalar , asosan kasr ratsional, 8-sinf algebra kursining asosiy masalalaridan biridir. Birinchidan, qanday iboralar ratsional deb ataladiganligini eslaymiz. Keyinchalik ratsional iboralar bilan standart o'zgarishlarni amalga oshirishga e'tibor qaratamiz, masalan, atamalarni guruhlash, umumiy omillarni qavsdan chiqarish, o'xshash atamalarni olib kelish va hokazo. Va nihoyat, kasrli ratsional ifodalarni ratsional kasrlar sifatida ifodalashni o'rganamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Ratsional ifodalarning ta'rifi va misollari

Ratsional ifodalar maktabda algebra darslarida o‘rganiladigan ifoda turlaridan biridir. Keling, ta'rif beraylik.

Ta'rif.

+, −, · va: arifmetik belgilari yordamida bog‘langan sonlar, o‘zgaruvchilar, qavslar, darajali darajalardan tashkil topgan, bo‘linish kasr chizig‘i bilan ko‘rsatilishi mumkin bo‘lgan ifodalar deyiladi. ratsional ifodalar.

Ratsional ifodalarga misollar keltiramiz: .

Ratsional iboralar 7-sinfdan maqsadli o`rganila boshlaydi. Bundan tashqari, 7-sinfda bir kishi atalmish bilan ishlash asoslarini o'rganadi butun ratsional ifodalar, ya'ni o'zgaruvchili ifodalarga bo'linishni o'z ichiga olmaydigan ratsional ifodalar bilan. Buning uchun monomlar va ko'phadlar ketma-ket o'rganiladi, ular bilan amallarni bajarish tamoyillari ham o'rganiladi. Bu bilimlarning barchasi oxir-oqibatda butun ifodalarni o'zgartirishni amalga oshirishga imkon beradi.

8-sinfda ular o'zgaruvchilari deb ataladigan ifodaga bo'linishni o'z ichiga olgan ratsional ifodalarni o'rganishga o'tadilar. kasrli ratsional ifodalar. Bunday holda, deb ataladigan narsaga alohida e'tibor beriladi ratsional kasrlar(ular ham deyiladi algebraik kasrlar), ya'ni soni va maxrajida ko'phadlar bo'lgan kasrlar. Bu oxir-oqibat ratsional kasrlarni aylantirish imkonini beradi.

Olingan ko'nikmalar har qanday shakldagi ratsional ifodalarni o'zgartirishga o'tishga imkon beradi. Bu har qanday ratsional ifodani arifmetik amallar belgilari bilan bog'langan ratsional kasrlar va butun sonli ifodalardan tashkil topgan ifoda sifatida ko'rib chiqish mumkinligi bilan izohlanadi. Va biz allaqachon butun ifodalar va algebraik kasrlar bilan qanday ishlashni bilamiz.

Ratsional ifodalarni o'zgartirishning asosiy turlari

Ratsional iboralar yordamida siz har qanday asosiy identifikatsiyani o'zgartirishingiz mumkin, xoh u atamalarni yoki omillarni guruhlash, o'xshash atamalarni olib kelish, raqamlar bilan operatsiyalarni bajarish va hokazo. Odatda bu o'zgarishlarni amalga oshirishdan maqsad ratsional ifodani soddalashtirish.

Misol.

Yechim.

Ko'rinib turibdiki, bu ratsional ifoda ikki va ning o'rtasidagi farqdir va bu iboralar bir xil harf qismiga ega bo'lgani uchun o'xshashdir. Shunday qilib, biz shunga o'xshash atamalarni qisqartirishimiz mumkin:

Javob:

Ratsional ifodalar bilan, shuningdek, boshqa iboralar bilan o'zgartirishlarni amalga oshirayotganda, harakatlarni bajarishning qabul qilingan tartibida qolish kerakligi aniq.

Misol.

Ratsional ifoda konvertatsiyasini bajaring.

Yechim.

Biz bilamizki, qavs ichidagi amallar birinchi navbatda bajariladi. Shuning uchun birinchi navbatda qavs ichidagi ifodani o'zgartiramiz: 3·x−x=2·x.

Endi siz olingan natijani asl ratsional ifodaga almashtirishingiz mumkin: . Shunday qilib, biz bir bosqich - qo'shish va ko'paytirish amallarini o'z ichiga olgan iboraga keldik.

Ko`paytmaga bo`lish xossasini qo`llash orqali ifoda oxiridagi qavslarni olib tashlaylik: .

Nihoyat, sonli omillar va omillarni x o'zgaruvchisi bilan guruhlashimiz mumkin, so'ngra raqamlar ustida tegishli amallarni bajaramiz va :ni qo'llashimiz mumkin.

Bu ratsional ifodani o'zgartirishni yakunlaydi va natijada biz monomialni olamiz.

Javob:

Misol.

Ratsional ifodani aylantirish .

Yechim.

Avval hisoblagich va maxrajni o'zgartiramiz. Kasrlarni o'zgartirishning bunday tartibi kasr chizig'i mohiyatan bo'linishning boshqa belgilanishi va asl ratsional ifoda asosan shaklning qismi ekanligi bilan izohlanadi. , va qavs ichidagi amallar avval bajariladi.

Demak, paylagichda ko‘phadlar bilan avval ko‘paytirish, keyin ayirish amallarini bajaramiz, maxrajda esa sonli ko‘rsatkichlarni guruhlab, ularning mahsulotini hisoblaymiz: .

Hosil bo‘lgan kasrning pay va maxrajini ko‘paytma ko‘rinishida ham tasavvur qilaylik: birdaniga algebraik kasrni kamaytirish mumkin bo‘ladi. Buning uchun biz numeratordan foydalanamiz kvadratlar farqi formulasi, va maxrajda qavs ichidan ikkitasini chiqaramiz, bizda bor .

Javob:

Shunday qilib, ratsional ifodalarni o'zgartirish bilan dastlabki tanishishni tugallangan deb hisoblash mumkin. Keling, ta'bir joiz bo'lsa, eng shirin qismiga o'taylik.

Ratsional kasrning ifodalanishi

Ko'pincha ifodalarni o'zgartirishning yakuniy maqsadi ularning tashqi ko'rinishini soddalashtirishdir. Shu nuqtai nazardan, kasrli ratsional ifodani aylantirish mumkin bo'lgan eng oddiy shakl ratsional (algebraik) kasr va alohida holatda ko'p nomli, monom yoki sondir.

Har qanday ratsional ifodani shaklda ifodalash mumkinmi ratsional kasr? Javob ha. Keling, nima uchun bunday ekanligini tushuntirib beraylik.

Yuqorida aytib o'tganimizdek, har bir ratsional ifodani ortiqcha, minus, ko'paytirish va bo'lish belgilari bilan bog'langan ko'phadlar va ratsional kasrlar deb hisoblash mumkin. Polinomlar bilan barcha mos keladigan amallar polinom yoki ratsional kasrni beradi. O'z navbatida, har qanday ko'phadni 1 maxraji bilan yozish orqali algebraik kasrga aylantirish mumkin. Ratsional kasrlarni qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish natijasida yangi ratsional kasr hosil bo‘ladi. Shuning uchun, ko'phadlar va ratsional kasrlar bilan barcha amallarni ratsional ifodada bajargandan so'ng, biz ratsional kasrni olamiz.

Misol.

Ifodani ratsional kasr shaklida ifodalang .

Yechim.

Asl ratsional ifoda kasr va shaklning kasrlar mahsuloti o'rtasidagi farqdir . Amallar tartibiga ko'ra, biz birinchi navbatda ko'paytirishni, keyin esa qo'shishni bajarishimiz kerak.

Biz algebraik kasrlarni ko'paytirishdan boshlaymiz:

Olingan natijani dastlabki ratsional ifodaga almashtiramiz: .

Biz algebraik kasrlarni ayirish bilan keldik turli xil maxrajlar:

Shunday qilib, dastlabki ratsional ifodani tashkil etuvchi ratsional kasrlar bilan amallarni bajarib, biz uni ratsional kasr shaklida taqdim etdik.

Javob:

Materialni birlashtirish uchun biz boshqa misolga yechimni tahlil qilamiz.

Misol.

Ratsional ifodani ratsional kasr shaklida ifodalang.

Har qanday kasr ifodasi(48-band) ko'rinishida yozilishi mumkin, bu erda P va Q ratsional ifodalar, Q esa o'zgaruvchilarni o'z ichiga oladi. Bunday kasr ratsional kasr deyiladi.

Ratsional kasrlarga misollar:

Kasrning asosiy xossasi bu erdagi sharoitda adolatli bo'lgan o'ziga xoslik - butun ratsional ifoda bilan ifodalanadi. Bu shuni anglatadiki, ratsional kasrning soni va maxraji bir xil nolga teng bo'lmagan songa, monom yoki ko'phadga ko'paytirilishi yoki bo'linishi mumkin.

Masalan, kasrning xossasidan kasr a'zolarining belgilarini o'zgartirish mumkin. Agar kasrning ayiruvchisi va maxraji -1 ga ko'paytirilsa, biz olamiz Shunday qilib, agar pay va maxrajning belgilari bir vaqtning o'zida o'zgartirilsa, kasrning qiymati o'zgarmaydi. Agar siz faqat hisoblagich yoki faqat maxraj belgisini o'zgartirsangiz, kasr o'z belgisini o'zgartiradi:

Masalan,

60. Ratsional kasrlarni qisqartirish.

Kasrni kamaytirish deganda kasrning pay va maxrajini umumiy ko'paytmaga bo'lish tushuniladi. Bunday qisqartirish imkoniyati kasrning asosiy xususiyati bilan bog'liq.

Ratsional kasrni kamaytirish uchun pay va maxrajni koeffitsientga kiritish kerak. Agar hisoblagich va maxraj umumiy omillarga ega ekanligi aniqlansa, kasrni kamaytirish mumkin. Agar umumiy omillar bo'lmasa, kasrni qisqartirish orqali aylantirish mumkin emas.

Misol. Fraksiyani kamaytiring

Yechim. Bizda ... bor

Kasrni qisqartirish sharti ostida amalga oshiriladi.

61. Ratsional kasrlarni umumiy maxrajga keltirish.

Bir nechta ratsional kasrlarning umumiy maxraji har bir kasrning maxrajiga bo'lingan butun ratsional ifodadir (54-bandga qarang).

Masalan, kasrlarning umumiy maxraji ko'phaddir, chunki u ikkala va ga bo'linadi, ko'phad va ko'phad va ko'phad va hokazo. Odatda ular shunday umumiy maxrajni oladilarki, boshqa har qanday umumiy maxraj Echosenga bo'linadi. Bu eng oddiy maxraj ba'zan eng kichik umumiy maxraj deb ataladi.

Yuqorida muhokama qilingan misolda umumiy maxraj bizda

Berilgan kasrlarni ga kamaytirish umumiy maxraj birinchi kasrning ayiruvchisi va maxrajini 2. ga, ikkinchi kasrning soni va maxrajini Ko‘pnomlarga ko‘paytirish orqali erishiladi, mos ravishda birinchi va ikkinchi kasrlar uchun qo‘shimcha ko‘rsatkichlar deyiladi. Berilgan kasr uchun qo'shimcha koeffitsient umumiy maxrajni berilgan kasrning maxrajiga bo'lish qismiga teng.

Bir nechta ratsional kasrlarni umumiy maxrajga kamaytirish uchun sizga kerak bo'ladi:

1) har bir kasrning maxrajini ko‘paytiring;

2) kengaytmalarning 1) bosqichida olingan barcha omillarni omillar sifatida kiritish orqali umumiy maxraj yaratish; agar ma'lum bir omil bir nechta kengayishlarda mavjud bo'lsa, u mavjud bo'lganlarning eng kattasiga teng ko'rsatkich bilan olinadi;

3) kasrlarning har biri uchun qo'shimcha ko'paytmalarni toping (buning uchun umumiy maxraj kasrning maxrajiga bo'linadi);

4) har bir kasrning sonini va maxrajini qo‘shimcha ko‘paytmaga ko‘paytirish orqali kasrni umumiy maxrajga keltiring.

Misol. Kasrni umumiy maxrajga keltiring

Yechim. Keling, maxrajlarni faktorlarga ajratamiz:

Quyidagi omillar umumiy maxrajga kiritilishi kerak: va 12, 18, 24 raqamlarining eng kichik umumiy ko'paytmasi, ya'ni. Demak, umumiy maxraj shaklga ega

Qo'shimcha omillar: birinchi kasr uchun ikkinchi kasr uchun uchinchi. Shunday qilib, biz olamiz:

62. Ratsional kasrlarni qo`shish va ayirish.

Ikkining yig'indisi (va umuman har qanday chekli son) bilan ratsional kasrlar bir xil maxrajlar maxraji va soni bir xil bo'lgan kasrga teng, miqdoriga teng qo'shilgan kasrlar soni:

O'xshash maxrajli kasrlarni ayirishda ham vaziyat o'xshash:

1-misol: Ifodani soddalashtiring

Yechim.

Turli xil maxrajli ratsional kasrlarni qo‘shish yoki ayirish uchun avval kasrlarni umumiy maxrajga keltirish, so‘ngra bir xil maxrajli kasrlar ustida amallarni bajarish kerak.

2-misol: Ifodani soddalashtiring

Yechim. Bizda ... bor

63. Ratsional kasrlarni ko'paytirish va bo'lish.

Ikkita (va umuman, har qanday chekli son) ratsional kasrning ko'paytmasi bir xil bo'lib, uning soni sanoqlarning ko'paytmasiga teng bo'lgan kasrga teng bo'ladi va maxraj ko'paytirilayotgan kasrlarning maxrajlari ko'paytmasiga teng:

Ikki ratsional kasrni bo'lish qismi bir xil bo'lib, uning soni birinchi kasrning soni va ikkinchi kasrning maxraji ko'paytmasiga teng bo'lgan kasrga teng bo'ladi. ikkinchi kasrning soni:

Ko'paytirish va bo'lishning shakllantirilgan qoidalari ko'phadni ko'paytirish yoki bo'lish holatlariga ham tegishli: bu ko'phadni maxraji 1 bo'lgan kasr shaklida yozish kifoya.

Ratsional kasrlarni ko'paytirish yoki bo'lish natijasida olingan ratsional kasrni kamaytirish imkoniyatini hisobga olgan holda, ular odatda bu amallarni bajarishdan oldin dastlabki kasrlarning sonlari va maxrajlarini koeffitsientlarga ajratishga intiladi.

1-misol: ko'paytirishni bajaring

Yechim. Bizda ... bor

Kasrlarni ko'paytirish qoidasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

2-misol: bo'linishni bajaring

Yechim. Bizda ... bor

Bo'linish qoidasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

64. Ratsional kasrni butun darajaga ko'tarish.

Ratsional kasrni ko'tarish uchun - to tabiiy daraja, kasrning payini va maxrajini bu darajaga alohida ko'tarish kerak; birinchi ifoda sanoqchi, ikkinchi ifoda esa natijaning maxrajidir:

1-misol: 3-quvvatning bir qismiga aylantiring.

Yechim Yechim.

Kasrni manfiy butun son darajasiga ko'tarishda, o'zgaruvchilarning barcha qiymatlari uchun amal qiladigan identifikatsiyadan foydalaniladi.

2-misol: Ifodani kasrga aylantiring

65. Ratsional ifodalarni o`zgartirish.

Har qanday ratsional ifodani o'zgartirish ratsional kasrlarni qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish, shuningdek, kasrni tabiiy kuchga ko'tarish bilan bog'liq. Har qanday ratsional ifoda kasrga aylantirilishi mumkin, uning soni va maxraji butun ratsional ifodalardir; bu odatda maqsad identifikatsiya o'zgarishlari ratsional ifodalar.

Misol. Ifodani soddalashtiring

66. Arifmetik ildizlarning (radikallarning) eng oddiy o'zgartirishlari.

Arifmetik koriyalarni konvertatsiya qilishda ularning xususiyatlaridan foydalaniladi (35-bandga qarang).

Arifmetik ildizlarning xossalarini radikallarni eng oddiy o'zgartirishlari uchun ishlatishning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik. Bunday holda, biz barcha o'zgaruvchilarni faqat salbiy bo'lmagan qiymatlarni olish uchun ko'rib chiqamiz.

Misol 1. Mahsulotning ildizini ajratib oling

Yechim. 1 ° xossasini qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

Misol 2. Ildiz belgisi ostidan ko'paytirgichni olib tashlang

Yechim.

Bunday transformatsiya omilni ildiz belgisi ostidan olib tashlash deb ataladi. Transformatsiyaning maqsadi radikal ifodani soddalashtirishdir.

3-misol: soddalashtiring.

Yechim. 3° xossasi bilan bizda bor.Odatda ular radikal ifodani soddalashtirishga harakat qiladilar, buning uchun korium belgisidan omillarni olib tashlaydilar. Bizda ... bor

4-misol: soddalashtiring

Yechim. Ildiz belgisi ostidagi omilni kiritib, ifodani o'zgartiramiz: 4° xossasi bo'yicha bizda

5-misol: soddalashtiring

Yechim. 5° xossasi boʻyicha biz ildizning koʻrsatkichini va radikal ifodaning koʻrsatkichini bir xil narsaga boʻlish huquqiga egamiz. natural son. Agar ko'rib chiqilayotgan misolda ko'rsatilgan ko'rsatkichlarni 3 ga bo'lsak, biz .

6-misol. Ifodalarni soddalashtiring:

Yechish, a) 1° xossasi bo‘yicha biz bir xil darajadagi ildizlarni ko‘paytirish uchun radikal ifodalarni ko‘paytirish va olingan natijadan bir xil darajadagi ildizni ajratib olish kifoya ekanligini topamiz. Ma'nosi,

b) Avvalo, radikallarni bitta ko'rsatkichga kamaytirishimiz kerak. 5° xossasiga ko‘ra, ildizning ko‘rsatkichini va radikal ifodaning ko‘rsatkichini bir xil natural songa ko‘paytirishimiz mumkin. Shuning uchun, Keyingi, biz ildizning ko'rsatkichlarini va radikal ifoda darajasini 3 ga bo'lish natijasida hosil bo'lamiz.

Maqolada ratsional ifodalarni o'zgartirish haqida so'z boradi. Ratsional ifodalarning turlari, ularning o‘zgarishi, guruhlanishi va umumiy omilni qavsga qo‘yishni ko‘rib chiqamiz. Kasrli ratsional ifodalarni ratsional kasrlar ko`rinishida ifodalashni o`rganamiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ratsional ifodalarning ta'rifi va misollari

Ta'rif 1

Raqamlar, oʻzgaruvchilar, qavslar, darajalardan, kasr chizigʻi ishtirokida qoʻshish, ayirish, koʻpaytirish, boʻlish amallari bilan tuzilgan ifodalar deyiladi. ratsional ifodalar.

Masalan, bizda 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3.

Ya'ni, bu o'zgaruvchilar bilan ifodalarga bo'linmagan ifodalardir. Ratsional ifodalarni o’rganish 8-sinfdan boshlanadi, ular kasrli ratsional ifodalar deb ataladi.Alohida e’tibor hisoblagichdagi kasrlarga qaratiladi, ular o’zgartirish qoidalari yordamida o’zgartiriladi.

Bu bizga ixtiyoriy shakldagi ratsional kasrlarni o'zgartirishga o'tishga imkon beradi. Bunday ifodani ratsional kasrlar va harakat belgilari bilan butun sonli ifodalar ishtirokidagi ifoda deb hisoblash mumkin.

Ratsional ifodalarni o'zgartirishning asosiy turlari

Ratsional ifodalar bir xil o'zgartirishlar, guruhlarga bo'linish, o'xshashlarni keltirish va raqamlar bilan boshqa amallarni bajarish uchun ishlatiladi. Bunday iboralarning maqsadi soddalashtirishdir.

1-misol

Ratsional ifodani 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 ga aylantiring.

Yechim

Ko'rinib turibdiki, bunday ratsional ifoda 3 x x y - 1 va 2 x x y - 1 o'rtasidagi farqdir. Biz ularning maxraji bir xil ekanligini ko'ramiz. Bu shunga o'xshash atamalarning qisqarishi shaklga ega bo'lishini anglatadi

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

Javob: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .

2-misol

2 x y 4 (- 4) x 2 ni aylantiring: (3 x - x) .

Yechim

Dastlab biz 3 · x - x = 2 · x qavs ichidagi amallarni bajaramiz. Bu ifoda uni 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x shaklida ifodalang. Biz bir bosqichli amallarni o'z ichiga olgan, ya'ni qo'shish va ayirishga ega bo'lgan ifodaga kelamiz.

Bo'lish xususiyatidan foydalanib, qavslardan qutulamiz. Shunda biz 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x ni olamiz.

Biz sonli omillarni x o'zgaruvchisi bilan guruhlaymiz, shundan so'ng biz kuchlar bilan operatsiyalarni bajarishimiz mumkin. Biz buni tushunamiz

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

Javob: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4.

3-misol

x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 ko'rinishdagi ifodani o'zgartiring.

Yechim

Birinchidan, biz hisoblagich va maxrajni o'zgartiramiz. Keyin (x · (x + 3) - (3 · x + 1)) ko'rinishdagi ifodani olamiz: 1 2 · x · 4 + 2 va birinchi navbatda qavs ichidagi amallar bajariladi. Numeratorda amallar bajariladi va omillar guruhlanadi. Keyin x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x ko'rinishdagi ifodani olamiz. + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2.

Biz hisoblagichdagi kvadratlar formulasining farqini o'zgartiramiz, keyin biz buni olamiz

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Javob: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .

Ratsional kasrning ifodalanishi

Algebraik kasrlar ko'pincha echilganda soddalashtiriladi. Har bir ratsional bunga turli yo'llar bilan keltiriladi. Ratsional ifoda oxir-oqibat ratsional kasrni berishi uchun ko'phadlar bilan barcha kerakli amallarni bajarish kerak.

4-misol

Ratsional kasr sifatida a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.

Yechim

Bu ifodani 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a shaklida ifodalash mumkin. Ko'paytirish birinchi navbatda qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi.

Biz ko'paytirishdan boshlashimiz kerak, keyin biz buni olamiz

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a) + 5) = a - 5 (a + 3) a

Olingan natijani asl nusxa bilan taqdim etamiz. Biz buni tushunamiz

a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a

Endi ayirish amalini bajaramiz:

a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9

Shundan so'ng, asl ibora 16 a 2 - 9 ko'rinishini olishi aniq.

Javob: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9.

5-misol

x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x ni ratsional kasr sifatida ifodalang.

Yechim

Berilgan ifoda kasr shaklida yoziladi, uning soni x x + 1 + 1, maxraji 2 x - 1 1 + x bo'ladi. X x + 1 + 1 o'zgarishlarini amalga oshirish kerak. Buning uchun kasr va raqamni qo'shishingiz kerak. Biz x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + ni olamiz. 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

Bundan kelib chiqadiki, x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

Olingan kasrni 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x shaklida yozish mumkin.

Bo'lingandan so'ng biz shaklning ratsional qismiga kelamiz

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1) ) = 2 x + 1 2 x - 1

Buni boshqacha hal qilishingiz mumkin.

2 x - 1 1 + x ga bo'lish o'rniga, biz uning teskari 1 + x 2 x - 1 ga ko'paytiramiz. Keling, taqsimlash xususiyatini qo'llaymiz va buni topamiz

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

Javob: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Ushbu darsda ratsional ifodalar va ularni o'zgartirish haqida asosiy ma'lumotlar, shuningdek, ratsional ifodalarni o'zgartirish misollari ko'rib chiqiladi. Bu mavzu shu paytgacha o'rgangan mavzularimizni umumlashtiradi. Ratsional ifodalarni o'zgartirishlar qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish, algebraik kasrlarni darajaga ko'tarish, kamaytirish, ko'paytma va hokazolarni o'z ichiga oladi. Dars doirasida biz ratsional ifoda nima ekanligini ko'rib chiqamiz, shuningdek, ularni o'zgartirish misollarini tahlil qilamiz.

Mavzu:Algebraik kasrlar. Algebraik kasrlar ustidagi arifmetik amallar

Dars:Ratsional ifodalar va ularning o'zgarishi haqida asosiy ma'lumotlar

Ta'rif

Ratsional ifoda raqamlardan, o'zgaruvchilardan tashkil topgan ifoda, arifmetik amallar va eksponentatsiya operatsiyalari.

Keling, ratsional ifoda misolini ko'rib chiqaylik:

Ratsional ifodalarning maxsus holatlari:

1-darajali: ;

2. monomial: ;

3. kasr: .

Ratsional ifodani aylantirish ratsional ifodani soddalashtirishdir. Ratsional ifodalarni o'zgartirishda harakatlar tartibi: avval qavs ichidagi amallar, keyin ko'paytirish (bo'lish) amallari, keyin esa qo'shish (ayirish) amallari.

Ratsional ifodalarni o'zgartirishning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik.

1-misol

Yechim:

Keling, ushbu misolni bosqichma-bosqich hal qilaylik. Qavs ichidagi amal avval bajariladi.

Javob:

2-misol

Yechim:

Javob:

3-misol

Yechim:

Javob: .

Eslatma: Ehtimol, siz ushbu misolni ko'rganingizda, bir fikr paydo bo'ldi: uni umumiy maxrajga kamaytirishdan oldin kasrni kamaytiring. Darhaqiqat, bu mutlaqo to'g'ri: avval ifodani iloji boricha soddalashtirish, keyin uni o'zgartirish tavsiya etiladi. Keling, xuddi shu misolni ikkinchi usulda hal qilishga harakat qilaylik.

Ko'rib turganingizdek, javob mutlaqo o'xshash bo'lib chiqdi, ammo yechim biroz soddaroq bo'lib chiqdi.

Ushbu darsda biz ko'rib chiqdik ratsional ifodalar va ularni o'zgartirish, shuningdek, bir nechta aniq misollar transformatsiya ma'lumotlari.

Adabiyotlar ro'yxati

1. Bashmakov M.I. Algebra 8-sinf. - M.: Ta'lim, 2004 yil.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. va boshqalar Algebra 8. - 5-nashr. - M.: Ta'lim, 2010 yil.

Ushbu darsda ratsional ifodalar va ularni o'zgartirish haqida asosiy ma'lumotlar, shuningdek, ratsional ifodalarni o'zgartirish misollari ko'rib chiqiladi. Ushbu mavzu biz hozirgacha o'rgangan mavzularni umumlashtiradi. Ratsional ifodalarni o'zgartirishlar qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish, algebraik kasrlarni darajaga ko'tarish, kamaytirish, ko'paytma va hokazolarni o'z ichiga oladi. Dars doirasida biz ratsional ifoda nima ekanligini ko'rib chiqamiz, shuningdek, ularni o'zgartirish misollarini tahlil qilamiz.

Mavzu:Algebraik kasrlar. Algebraik kasrlar ustidagi arifmetik amallar

Dars:Ratsional ifodalar va ularning o'zgarishi haqida asosiy ma'lumotlar

Ta'rif

Ratsional ifoda sonlar, oʻzgaruvchilar, arifmetik amallar va daraja koʻrsatish amalidan iborat ifodadir.

Keling, ratsional ifoda misolini ko'rib chiqaylik:

Ratsional ifodalarning maxsus holatlari:

1-darajali: ;

2. monomial: ;

3. kasr: .

Ratsional ifodalarni o'zgartirishning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik.

1-misol

Yechim: