Qavslarni ochib, o'xshash atamalarni keltirgandan so'ng shaklni oladigan bitta noma'lum tenglama
ax + b = 0, bu erda a va b ixtiyoriy sonlar deyiladi chiziqli tenglama noma'lum biri bilan. Bugun biz ushbu chiziqli tenglamalarni qanday hal qilishni aniqlaymiz.
Masalan, barcha tenglamalar:
2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - chiziqli.
Tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiruvchi noma'lumning qiymati deyiladi qaror yoki tenglamaning ildizi .
Masalan, 3x + 7 = 13 tenglamada noma'lum x o'rniga 2 raqamini qo'ysak, biz to'g'ri tenglikni qo'lga kiritamiz 3 2 +7 = 13. Bu x = 2 qiymati yechim yoki ildiz ekanligini anglatadi. tenglamaning.
X = 3 qiymati esa 3x + 7 = 13 tenglamasini haqiqiy tenglikka aylantirmaydi, chunki 3 2 +7 ≠ 13. Bu x = 3 qiymati tenglamaning yechimi yoki ildizi emasligini bildiradi.
Har qanday yechim chiziqli tenglamalar shakldagi tenglamalarni yechishgacha qisqartiradi
ax + b = 0.
Erkin hadni tenglamaning chap tomonidan o'ngga o'tkazamiz, b oldidagi belgini teskari tomonga o'zgartiramiz.
Agar a ≠ 0 bo'lsa, u holda x = ‒ b/a .
1-misol. 3x + 2 =11 tenglamani yeching.
Keling, tenglamaning chap tomonidan 2 ni o'ngga o'tkazamiz, 2 ning oldidagi belgini teskari tomonga o'zgartiramiz.
3x = 11 - 2.
Keling, ayirish amalini bajaramiz
3x = 9.
X topish uchun mahsulotni ma'lum koeffitsientga bo'lish kerak, ya'ni
x = 9:3.
Bu x = 3 qiymati tenglamaning yechimi yoki ildizi ekanligini bildiradi.
Javob: x = 3.
Agar a = 0 va b = 0 bo'lsa, u holda biz 0x = 0 tenglamani olamiz. Bu tenglamaning cheksiz ko'p yechimlari bor, chunki har qanday sonni 0 ga ko'paytirganda biz 0 ni olamiz, lekin b ham 0 ga teng. Bu tenglamaning yechimi har qanday sondir.
2-misol. 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1 tenglamasini yeching.
Qavslarni kengaytiramiz:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.
5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.
Mana bir nechta o'xshash atamalar:
0x = 0.
Javob: x - har qanday raqam.
Agar a = 0 va b ≠ 0 bo'lsa, keyin 0x = - b tenglamani olamiz. Bu tenglamaning yechimi yo'q, chunki har qanday sonni 0 ga ko'paytirganda biz 0 ni olamiz, lekin b ≠ 0.
3-misol. x + 8 = x + 5 tenglamasini yeching.
Chap tomonida noma’lumlar, o‘ng tomonida esa bo‘sh shartlarni guruhlaymiz:
x – x = 5 – 8.
Mana bir nechta o'xshash atamalar:
0x = ‒ 3.
Javob: yechim yo'q.
Yoniq 1-rasm chiziqli tenglamani yechish sxemasini ko'rsatadi
Bitta o'zgaruvchili tenglamalarni yechishning umumiy sxemasini tuzamiz. Keling, 4-misolning yechimini ko'rib chiqaylik.
4-misol. Aytaylik, biz tenglamani yechishimiz kerak
1) Tenglamaning barcha a'zolarini maxrajlarning eng kichik umumiy karrali 12 ga ko'paytiring.
2) Qisqartirilgandan keyin biz olamiz
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)
3) Noma'lum va bepul shartlarni o'z ichiga olgan atamalarni ajratish uchun qavslarni oching:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.
4) Keling, bir qismda noma'lumlarni o'z ichiga olgan atamalarni, ikkinchisida esa erkin atamalarni guruhlaymiz:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.
5) Keling, shunga o'xshash atamalarni keltiraylik:
- 22x = - 154.
6) - 22 ga bo'linadi, biz olamiz
x = 7.
Ko'rib turganingizdek, tenglamaning ildizi etti.
Umuman shunday tenglamalarni quyidagi sxema yordamida yechish mumkin:
a) tenglamani butun son shakliga keltiring;
b) qavslarni ochish;
v) tenglamaning bir qismida noma’lum, ikkinchi qismida erkin hadlarni o‘z ichiga olgan hadlarni guruhlash;
d) o'xshash a'zolarni olib kelish;
e) o'xshash hadlarni keltirgandan keyin olingan ah = b ko'rinishdagi tenglamani yeching.
Biroq, bu sxema har bir tenglama uchun kerak emas. Yana ko'p narsalarni hal qilganda oddiy tenglamalar birinchisidan emas, ikkinchisidan boshlash kerak ( Misol. 2), uchinchi ( Misol. 13) va hatto beshinchi bosqichdan boshlab, 5-misolda bo'lgani kabi.
5-misol. 2x = 1/4 tenglamani yeching.
Noma'lum x = 1/4: 2 ni toping,
x = 1/8 .
Keling, asosiy davlat imtihonida topilgan ba'zi chiziqli tenglamalarni echishni ko'rib chiqaylik.
6-misol. 2 (x + 3) = 5 – 6x tenglamani yeching.
2x + 6 = 5 - 6x
2x + 6x = 5 – 6
Javob: - 0,125
7-misol.– 6 (5 – 3x) = 8x – 7 tenglamani yeching.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x – 8x = – 7 +30
Javob: 2.3
8-misol. Tenglamani yeching
3(3x – 4) = 4 7x + 24
9x – 12 = 28x + 24
9x – 28x = 24 + 12
9-misol. f (x + 2) = 3 7 bo'lsa, f(6) ni toping
Yechim
Biz f (6) ni topishimiz kerak va biz f (x + 2) ni bilamiz,
keyin x + 2 = 6.
Biz x + 2 = 6 chiziqli tenglamani yechamiz,
x = 6 – 2, x = 4 ni olamiz.
Agar x = 4 bo'lsa
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Javob: 27.
Agar sizda hali ham savollaringiz bo'lsa yoki tenglamalarni echishni chuqurroq tushunmoqchi bo'lsangiz, JADVALdagi darslarimga yoziling. Men sizga yordam berishdan xursand bo'laman!
TutorOnline shuningdek, o'qituvchimiz Olga Aleksandrovnaning chiziqli tenglamalarni va boshqalarni tushunishga yordam beradigan yangi video darsini tomosha qilishni tavsiya qiladi.
veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.
Keling, tenglamalar tizimining ikki xil echimini tahlil qilaylik:
1. Tizimni almashtirish usuli yordamida yechish.
2. Tizim tenglamalarini davr bo‘yicha qo‘shish (ayirish) yo‘li bilan tizimni yechish.
Tenglamalar sistemasini yechish uchun almashtirish usuli bilan Siz oddiy algoritmga amal qilishingiz kerak:
1. Ekspress. Har qanday tenglamadan biz bitta o'zgaruvchini ifodalaymiz.
2. O‘rinbosar. Olingan qiymatni ifodalangan o'zgaruvchi o'rniga boshqa tenglamaga almashtiramiz.
3. Bitta o‘zgaruvchili hosil bo‘lgan tenglamani yeching. Biz tizimga yechim topamiz.
Yechish uchun muddatga qo‘shish (ayirish) usuli bo‘yicha tizim kerak:
1. Biz bir xil koeffitsientlar yaratadigan o'zgaruvchini tanlang.
2. Biz tenglamalarni qo'shamiz yoki ayitamiz, natijada bitta o'zgaruvchili tenglama hosil bo'ladi.
3. Olingan chiziqli tenglamani yeching. Biz tizimga yechim topamiz.
Tizimning yechimi funksiya grafiklarining kesishish nuqtalari hisoblanadi.
Keling, misollar yordamida tizimlarning yechimini batafsil ko'rib chiqaylik.
1-misol:
Keling, almashtirish usuli bilan hal qilaylik
Tenglamalar sistemasini almashtirish usuli yordamida yechish2x+5y=1 (1 tenglama)
x-10y=3 (2-tenglama)
1. Ekspress
Ko'rinib turibdiki, ikkinchi tenglamada koeffitsienti 1 bo'lgan x o'zgaruvchisi mavjud, ya'ni ikkinchi tenglamadan x o'zgaruvchisini ifodalash eng osondir.
x=3+10y
2.Uni ifodalab bo‘lgach, birinchi tenglamaga x o‘zgaruvchisi o‘rniga 3+10y ni qo‘yamiz.
2(3+10y)+5y=1
3. Bir o‘zgaruvchili hosil bo‘lgan tenglamani yeching.
2(3+10y)+5y=1 (qavslarni oching)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Tenglamalar sistemasining yechimi - bu grafiklarning kesishish nuqtalari, shuning uchun biz x va y ni topishimiz kerak, chunki kesishish nuqtasi x va y dan iborat bo'lib, biz uni ifodalagan birinchi nuqtada y ni topamiz.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Nuqtalarni yozish odat tusiga kiradi, birinchi navbatda x o'zgaruvchisini, ikkinchi o'rinda esa y o'zgaruvchisini yozamiz.
Javob: (1; -0,2)
2-misol:
Atama bo‘yicha qo‘shish (ayirish) usuli yordamida yechamiz.
Tenglamalar sistemasini qo`shish usuli yordamida yechish3x-2y=1 (1 tenglama)
2x-3y=-10 (2-tenglama)
1. Biz o'zgaruvchini tanlaymiz, deylik, x ni tanlaymiz. Birinchi tenglamada x o'zgaruvchisi 3 koeffitsientiga ega, ikkinchisida - 2. Biz koeffitsientlarni bir xil qilishimiz kerak, buning uchun biz tenglamalarni ko'paytirish yoki istalgan songa bo'lish huquqiga egamiz. Birinchi tenglamani 2 ga, ikkinchisini esa 3 ga ko'paytiramiz va umumiy koeffitsient 6 ga teng bo'ladi.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. X o'zgaruvchidan qutulish uchun birinchi tenglamadan ikkinchisini ayirib, chiziqli tenglamani yeching.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3. X ni toping. Topilgan y ni istalgan tenglamaga almashtiramiz, deylik, birinchi tenglamaga.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Kesishish nuqtasi x=4,6 bo'ladi; y=6,4
Javob: (4,6; 6,4)
Imtihonlarga tekin tayyorlanmoqchimisiz? Onlayn o'qituvchi tekinga. Bexazil.
Irratsional tenglamalar nima va ularni yechish usullari
O'zgaruvchi radikal belgi ostida yoki kasr darajasiga ko'tarilish belgisi ostida joylashgan tenglamalar deyiladi. mantiqsiz. Kasr kuchlari bilan shug'ullanganimizda, biz tenglamani yechish uchun ko'plab matematik operatsiyalardan mahrum bo'lamiz, shuning uchun irratsional tenglamalar maxsus tarzda echiladi.
Irratsional tenglamalar odatda tenglamaning ikkala tomonini bir xil kuchga ko'tarish yo'li bilan yechiladi. Bundan tashqari, tenglamaning ikkala tomonini bir xilga ko'tarish emas hatto daraja tenglamaning ekvivalent o'zgarishi, juftlikka esa teng bo'lmagan o'zgartirishdir. Bu farq kuchga ko'tarilishning bunday xususiyatlari tufayli olinadi, masalan, agar teng kuchga ko'tarilgan bo'lsa, keyin salbiy qiymatlar"ko'zimga ko'rinma."
Irratsional tenglamaning ikkala tomonini kuchga ko'tarishning maqsadi "irratsionallik" dan xalos bo'lish istagi. Shunday qilib, biz irratsional tenglamaning ikkala tomonini ham shunday darajaga ko'tarishimiz kerak kasr kuchlari tenglamaning ikkala tomoni ham butunga aylandi. Keyin yechim izlashingiz mumkin berilgan tenglama, bu irratsional tenglamaning yechimlari bilan mos keladi, farqi bilan teng kuchga ko'tarilgan taqdirda belgi yo'qoladi va yakuniy echimlar tekshirishni talab qiladi va barchasi ham mos kelmaydi.
Shunday qilib, asosiy qiyinchilik tenglamaning ikkala tomonini bir xil teng kuchga ko'tarish bilan bog'liq - transformatsiyaning tengsizligi tufayli begona ildizlar paydo bo'lishi mumkin. Shuning uchun, barcha topilgan ildizlarni tekshirish kerak. Irratsional tenglamani yechadiganlar ko'pincha topilgan ildizlarni tekshirishni unutishadi. Irratsionallikdan qutulish va uni yechish uchun irratsional tenglamani qay darajada oshirish kerakligi ham har doim ham aniq emas. Bizning aqlli kalkulyatorimiz irratsional tenglamalarni yechish va barcha ildizlarni avtomatik ravishda tekshirish uchun maxsus yaratilgan, bu esa unutishni bartaraf etadi.
Bepul onlayn irratsional tenglamalar kalkulyatori
Bizning bepul hal qiluvchimiz sizga bir necha soniya ichida har qanday murakkablikdagi irratsional tenglamani onlayn tarzda hal qilish imkonini beradi. Bajarishingiz kerak bo'lgan yagona narsa ma'lumotlaringizni kalkulyatorga kiritishdir. Bizning veb-saytimizda tenglamani qanday yechish haqida ham bilib olishingiz mumkin. Va agar sizda hali ham savollaringiz bo'lsa, ularni VKontakte guruhimizda so'rashingiz mumkin.
Ko'rsatmalar
Eslatma: p pi shaklida yoziladi; kvadrat ildiz sqrt() sifatida.
1-qadam. Kasrlardan iborat berilgan misolni kiriting.
2-qadam."Yechish" tugmasini bosing.
3-qadam. Batafsil natijalarni oling.
Kalkulyator kasrlarni to'g'ri hisoblashini ta'minlash uchun "/" belgisi bilan ajratilgan kasrni kiriting. Masalan: . Kalkulyator tenglamani hisoblab chiqadi va hatto bu natija nima uchun olinganligini grafikda ko'rsatadi.
Kasrlar bilan tenglama nima
Kasrli tenglama - bu koeffitsientlar bo'lgan tenglama kasr sonlar. Kasrli chiziqli tenglamalar standart sxema bo'yicha yechiladi: noma'lumlar bir tomonga, ma'lum bo'lganlar esa ikkinchi tomonga o'tkaziladi.
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:
Noma'lum kasrlar chapga, boshqa kasrlar esa o'ngga o'tkaziladi. Raqamlar tenglik belgisidan tashqariga o'tkazilganda, raqamlarning belgisi teskarisiga o'zgaradi:
Endi siz faqat tenglikning ikkala tomonining harakatlarini bajarishingiz kerak:
Natijada oddiy chiziqli tenglama olinadi. Endi siz chap va o'ng tomonlarni o'zgaruvchining koeffitsientiga bo'lishingiz kerak.
Onlaynda kasrlar bilan tenglamalarni yeching yangilangan: 2018 yil 7 oktyabr: Ilmiy maqolalar.Ru
Yakuniy testga tayyorgarlik bosqichida o'rta maktab o'quvchilari "Eksponensial tenglamalar" mavzusi bo'yicha bilimlarini oshirishlari kerak. O'tgan yillar tajribasi shuni ko'rsatadiki, bunday vazifalar maktab o'quvchilari uchun ma'lum qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi. Shuning uchun ham yuqori sinf o‘quvchilari tayyorgarlik darajasidan qat’i nazar, nazariyani puxta egallashlari, formulalarni eslab qolishlari va bunday tenglamalarni yechish tamoyilini tushunishlari kerak. Ushbu turdagi muammolarni hal qilishni o'rgangan bitiruvchilar matematikadan Yagona davlat imtihonini topshirishda yuqori ballga ishonishlari mumkin.
Shkolkovo bilan imtihon sinovlariga tayyorlaning!
O'rganilgan materiallarni ko'rib chiqishda ko'plab talabalar tenglamalarni yechish uchun zarur bo'lgan formulalarni topish muammosiga duch kelishadi. Maktab darsligi har doim ham qo'lda emas va tanlov zarur ma'lumotlar Internetda mavzu bo'yicha uzoq vaqt talab etiladi.
Shkolkovo ta'lim portali talabalarni bilim bazamizdan foydalanishga taklif qiladi. Biz yakuniy testga tayyorlanishning mutlaqo yangi usulini joriy qilmoqdamiz. Bizning veb-saytimizda o'qish orqali siz bilimlardagi kamchiliklarni aniqlay olasiz va eng qiyinchilik tug'diradigan vazifalarga e'tibor bera olasiz.
Shkolkovo o'qituvchilari zarur bo'lgan hamma narsani to'plashdi, tizimlashtirishdi va taqdim etishdi muvaffaqiyatli yakunlash Yagona davlat imtihon materiallari eng oddiy va eng qulay shaklda.
Asosiy ta'riflar va formulalar "Nazariy ma'lumot" bo'limida keltirilgan.
Materialni yaxshiroq tushunish uchun sizga topshiriqlarni bajarishni mashq qilishni tavsiya etamiz. Ushbu sahifada keltirilgan misollarni diqqat bilan ko'rib chiqing. eksponensial tenglamalar hisoblash algoritmini tushunish uchun yechim bilan. Shundan so'ng, "Kataloglar" bo'limidagi vazifalarni bajarishga o'ting. Siz eng oson vazifalardan boshlashingiz yoki to'g'ridan-to'g'ri bir nechta noma'lum yoki noma'lum bo'lgan murakkab eksponensial tenglamalarni echishga o'tishingiz mumkin. Bizning veb-saytimizda mashqlar ma'lumotlar bazasi doimiy ravishda to'ldiriladi va yangilanadi.
Sizga qiyinchilik tug'dirgan ko'rsatkichli misollarni "Sevimlilar"ga qo'shish mumkin. Shunday qilib, siz ularni tezda topishingiz va o'qituvchingiz bilan yechimni muhokama qilishingiz mumkin.
Yagona davlat imtihonini muvaffaqiyatli topshirish uchun har kuni Shkolkovo portalida o'qing!
