dastlabki shartlar bilan

va chegara shartlari

Bu masalaning yechimini Furye qatori shaklida xos funksiyalar tizimi (94) yordamida izlaymiz.

bular. parchalanish shaklida

bir vaqtning o'zida hisobga olgan holda t parametr.

Funktsiyalarga ruxsat bering f(x, t) uzluksiz va ga nisbatan 1-tartibli bo‘lak-bo‘lak uzluksiz hosilaga ega X va hammaning oldida t>0 shart bajarilgan

Endi funksiyalar deb faraz qilaylik f(x, t) Va
sinuslar bo'yicha Furye qatoriga kengaytirilishi mumkin

, (117)

(118)

, (119)

. (120)

(116) tenglamani (113) ga almashtiramiz va (117) ni hisobga olsak, biz hosil bo'lamiz.

.

Bu tenglik qachon bajariladi

, (121)

yoki agar
, u holda bu tenglamani (121) ko'rinishda yozish mumkin

. (122)

(116), (117) va (119) ni hisobga olgan holda (114) dastlabki shartdan foydalanib, biz shuni olamiz

. (123)

Shunday qilib, kerakli funktsiyani topish uchun
oddiy birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglama uchun Koshi muammosiga (122), (123) kelamiz. Eyler formulasidan foydalanib, (122) tenglamaning umumiy yechimini yozishimiz mumkin.

,

va (123) ni hisobga olgan holda, Koshi muammosining yechimi

.

Shuning uchun, bu funksiyaning qiymatini ifodaga (116) almashtirsak, biz oxir-oqibatda asl muammoning echimini olamiz.

(124)

funktsiyalari qayerda f(x, t) Va
(118) va (120) formulalar bilan aniqlanadi.

14-misol. Parabolik tipdagi bir jinsli bo‘lmagan tenglamaning yechimini toping

dastlabki holatda

(14.2)

va chegara shartlari

. (14.3)

▲ Avval quyidagi funksiyani tanlaylik  , shuning uchun u chegara shartlarini (14.3) qanoatlantiradi. Keling, masalan,  = xt 2. Keyin

Shuning uchun funktsiya quyidagicha aniqlanadi

tenglamani qanoatlantiradi

(14.5)

bir hil chegara sharoitlari

va nol boshlang'ich shartlar

. (14.7)

Bir jinsli tenglamani yechish uchun Furye usulidan foydalanish

(14.6), (14.7) sharoitlarida biz o'rnatamiz

.

Biz Shturm-Liouvil muammosiga kelamiz:

,
.

Bu masalani yechish orqali biz xos qiymatlarni topamiz

va ularning tegishli xos funktsiyalari

. (14.8)

(14.5)-(14.7) masala yechimini qator shaklida qidiramiz

, (14.9)

(14.10)

O'rnini bosish
(14.9) dan (14.5) gacha olamiz

. (14.11)

Funktsiyani topish uchun T n (t) funksiyani kengaytiramiz (1- X) (0,1) oraliqda funksiyalar tizimi (14.8) yordamida Furye qatoriga:

. (14.12)

,

va (14.11) va (14.12) dan tenglamani olamiz

, (14.13)

birinchi tartibli oddiy bir jinsli chiziqli differensial tenglama. Uning umumiy yechimini Eyler formulasidan foydalanib topamiz

va (14.10) shartni hisobga olib, Koshi muammosining yechimini topamiz

. (14.14)

(14.4), (14.9) va (14.14) dan biz (14.1)-(14.3) asl muammoning yechimini topamiz.

Mustaqil ish uchun topshiriqlar

Dastlabki chegaraviy masalalarni yechish

3.4. Issiqlik tenglamasi uchun Koshi muammosi

Avvalo, ko'rib chiqaylik Cauchy uchun muammo bir jinsli issiqlik tenglamasi.

qoniqarli

Keling, o'zgaruvchilarni almashtirishdan boshlaylik x Va t yoqilgan
va funksiyani hisobga olish
. Keyin funktsiyalar
tenglamalarni qanoatlantiradi

Qayerda
- formula bilan aniqlangan Green funktsiyasi

, (127)

va xususiyatlarga ega

; (130)

. (131)

Birinchi tenglamani ga ko'paytirish G* , ikkinchisi esa Va va keyin olingan natijalarni qo'shib, biz tenglikni olamiz

. (132)

Tenglik qismlari orqali integrallashdan keyin (132) tomonidan -∞ dan +∞ gacha va mos ravishda 0 dan oralig'ida t, olamiz

Agar funktsiya deb faraz qilsak
va uning hosilasi qachon cheklangan
, u holda (131) xossalari tufayli (133) ning o'ng tomonidagi integral nolga teng. Shuning uchun biz yozishimiz mumkin

Bu tenglikni bilan almashtiring
, A
yoqilgan
, munosabatni olamiz

.

Bu erdan (127) formuladan foydalanib, biz nihoyat olamiz

. (135)

Formula (135) deyiladi Puasson formulasi va bir hil bo'lmagan boshlang'ich shartli bir jinsli issiqlik tenglamasi uchun (125), (126) Koshi masalasining yechimini aniqlaydi.

Yechim Bir jinsli issiqlik tenglamasi uchun Koshi masalasi

qoniqarli bir hil bo'lmagan dastlabki holat

yechimlar yig‘indisini ifodalaydi:

bir jinsli issiqlik tenglamasi uchun Koshi masalasining yechimi qayerda . , bir hil bo'lmagan boshlang'ich shartni qanoatlantiruvchi, bir jinsli boshlang'ich shartni qanoatlantiruvchi yechimdir. Shunday qilib, Koshi muammosining yechimi (136), (137) formula bilan aniqlanadi

15-misol. Tenglamaning yechimini toping

(15.1)

quyidagi novda harorati taqsimoti uchun:

▲ Tayoq cheksizdir, shuning uchun eritmani (135) formuladan foydalanib yozish mumkin.

.

Chunki
oraliqda
doimiy haroratga teng , va bu intervaldan tashqarida harorat nolga teng, keyin eritma shaklni oladi

. (15.3)

Faraz qilish (15.3)
, olamiz

.

Chunki

ehtimollarning integrali bo'lsa, u holda (13.1), (13.2) dastlabki masalaning yakuniy yechimini formula bilan ifodalash mumkin.

.▲

Chiziqda issiqlik tarqalishining matematik modelini qurishda biz quyidagi taxminlarni qilamiz:

1) novda zichlikka ega bo'lgan bir hil o'tkazuvchan materialdan yasalgan ρ ;

2) novda yon yuzasi issiqlik izolyatsiyalangan, ya'ni issiqlik faqat o'q bo'ylab tarqalishi mumkin OH;

3) novda yupqa - bu tayoqning istalgan kesimining barcha nuqtalarida harorat bir xil bo'lishini anglatadi.

Segmentdagi tayoqning bir qismini ko'rib chiqing [ x, x + ∆x] (6-rasmga qarang) va foydalaning Issiqlikning saqlanish qonuni:

Segmentdagi umumiy issiqlik miqdori [ x, x + ∆x] = chegaralardan o'tgan issiqlikning umumiy miqdori + ichki manbalar tomonidan ishlab chiqarilgan issiqlikning umumiy miqdori.

Tayoqning haroratini oshirish uchun uning bir qismiga berilishi kerak bo'lgan umumiy issiqlik miqdori ∆U, quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: ∆Q=CrS∆x∆U, Qayerda BILAN-materialning o'ziga xos issiqlik sig'imi (=haroratni 1° ga oshirish uchun 1 kg moddaga berilishi kerak bo'lgan issiqlik miqdori), S- tasavvurlar maydoni.

Vaqt davomida novda qismining chap uchidan o'tgan issiqlik miqdori ∆t(issiqlik oqimi) quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: Q 1 = -kSU x (x, t)∆t, Qayerda k- materialning issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsienti (= qarama-qarshi uchlarida harorat farqi 1 ° ga teng bo'lgan birlik uzunlikdagi va birlik tasavvurlar maydoni bo'lgan novda orqali sekundiga oqadigan issiqlik miqdori). Ushbu formulada minus belgisi maxsus tushuntirishni talab qiladi. Haqiqat shundaki, oqim ko'payish tomon yo'naltirilgan bo'lsa, ijobiy hisoblanadi X, va bu, o'z navbatida, nuqtaning chap tomonini anglatadi X harorat o'ngdan yuqori, ya'ni Ux< 0 . Shuning uchun, uchun Q 1 ijobiy bo'lgan, formulada minus belgisi mavjud.

Xuddi shunday, novda qismining o'ng uchi orqali issiqlik oqimi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: Q 2 = -kSU x (x +∆x,t)∆t.

Agar biz novda ichki issiqlik manbalari yo'q deb hisoblasak va issiqlikning saqlanish qonunidan foydalansak, biz quyidagilarga erishamiz:

∆Q = Q 1 - Q 2 => CpS∆x∆U = kSU x (x + ∆x, t) ∆t - kSU x (x, t)∆t.

Agar bu tenglik ga bo'linsa S∆x∆t va to'g'ridan-to'g'ri ∆x Va ∆t nolga teng bo'lsa, bizda:

Demak, issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi shaklga ega

U t =a 2 U xx,

issiqlik tarqalish koeffitsienti qayerda.

Agar novda ichida doimiy ravishda zichlik bilan taqsimlangan issiqlik manbalari mavjud bo'lsa q(x,t), biz bir hil bo'lmagan issiqlik tenglamasini olamiz

U t = a 2 U xx + f(x,t),
Qayerda .

Dastlabki shartlar va chegara shartlari.

Faqat issiqlik o'tkazuvchanligi tenglamasi uchun bir boshlang'ich shart U| t=0 = ph(x)(yoki boshqa postda U(x,0) = ph(x)) va jismoniy jihatdan bu tayoqning dastlabki harorat taqsimoti shaklga ega ekanligini anglatadi ph(x). Tekislikda yoki fazoda issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamalari uchun dastlabki holat bir xil shaklga ega, faqat funktsiya φ mos ravishda ikki yoki uchta o'zgaruvchiga bog'liq bo'ladi.

Issiqlik tenglamasi holatidagi chegara shartlari to'lqin tenglamasi bilan bir xil shaklga ega, ammo ularning jismoniy ma'nosi boshqacha. Shartlar birinchi turdagi (5) harorat rodning uchlarida o'rnatilganligini anglatadi. Vaqt o'tishi bilan u o'zgarmasa, unda g 1 (t) ≡ T 1 Va g 2 (t) ≡ T 2, Qayerda T 1 Va T 2- doimiy. Agar uchlari har doim nol haroratda saqlansa, u holda T 1 = T 2 = 0 va sharoitlar bir xil bo'ladi. Chegara shartlari ikkinchi tur (6) novda uchlarida issiqlik oqimini aniqlang. Xususan, agar g 1 (t) = g 2 (t) = 0, keyin sharoitlar bir hil bo'ladi. Jismoniy jihatdan ular tashqi muhit bilan uchlari orqali issiqlik almashinuvi yo'qligini anglatadi (bu shartlar uchlarning issiqlik izolatsiyasi uchun shartlar deb ham ataladi). Nihoyat, chegara shartlari uchinchi tur (7) Nyuton qonuniga ko'ra atrof-muhit bilan issiqlik almashinuvi novda uchlari orqali sodir bo'lgan holatga to'g'ri keladi (esda tutingki, issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasini olishda biz yon sirtni issiqlik izolyatsiyalangan deb hisobladik). To'g'ri, issiqlik tenglamasi holatida shartlar (7) biroz boshqacha yoziladi:

Atrof-muhit bilan issiqlik almashinuvining fizik qonuni (Nyuton qonuni) shundan iboratki, birlik sirt orqali vaqt birligida issiqlik oqimi tana va atrof-muhit o'rtasidagi harorat farqiga proportsionaldir. Shunday qilib, tayoqning chap uchi uchun u teng bo'ladi Bu yerga h 1 > 0- atrof-muhit bilan issiqlik almashinuvi koeffitsienti; g 1 (t)- chap uchida atrof-muhit harorati. Minus belgisi formulada issiqlik o'tkazuvchanligi tenglamasini olishda bo'lgani kabi bir xil sababga ko'ra qo'yiladi. Boshqa tomondan, materialning issiqlik o'tkazuvchanligi tufayli bir xil uchi orqali issiqlik oqimi tengdir Issiqlikning saqlanish qonunini qo'llash orqali biz quyidagilarga erishamiz:

Shart (14) xuddi shunday novda o'ng uchida olinadi, faqat doimiy l 2 boshqacha bo'lishi mumkin, chunki, odatda, chap va o'ng uchlarini o'rab turgan muhitlar boshqacha.

Chegaraviy shartlar (14) birinchi va ikkinchi turdagi shartlarga nisbatan umumiyroqdir. Agar biron-bir uchi orqali muhit bilan issiqlik almashinuvi yo'q deb hisoblasak (ya'ni issiqlik uzatish koeffitsienti nolga teng), u holda biz ikkinchi turdagi shartni olamiz. Boshqa holatda, masalan, issiqlik uzatish koeffitsienti deylik h 1, juda katta.

(14) shartni qayta yozamiz x = 0 sifatida va shoshilaylik. Natijada, biz birinchi turdagi shartga ega bo'lamiz:

Ko'p sonli o'zgaruvchilar uchun chegara shartlari xuddi shunday tuzilgan. Yassi plastinkada issiqlik tarqalishi muammosi uchun shart uning chekkalaridagi haroratning nol darajasida saqlanishini bildiradi. Xuddi shu tarzda, sharoitlar tashqi tomondan juda o'xshash, lekin birinchi holatda bu tekis plastinka ko'rib chiqilayotganligini va uning qirralari issiqlik izolatsiyasini bildiradi, ikkinchi holatda esa bu tanadagi issiqlik tarqalishi muammosini anglatadi. ko'rib chiqilmoqda va uning yuzasi issiqlik izolyatsiyalangan.

Issiqlik tenglamasi uchun birinchi boshlang'ich-chegaraviy masala yechimi.

Issiqlik tenglamasi uchun bir jinsli birinchi boshlang‘ich chegaraviy masalani ko‘rib chiqamiz:

Tenglamaning yechimini toping

U t = U xx , 0 0,

chegara shartlarini qondirish

U(0,t) = U(l,t)=0, t>0,

va dastlabki holat

Keling, bu masalani Furye usuli yordamida hal qilaylik.

1-qadam. (15) tenglamaning yechimlarini shaklda izlaymiz U(x,t) = X(x)T(t).

Keling, qisman hosilalarni topamiz:

Keling, bu hosilalarni tenglamaga almashtiramiz va o'zgaruvchilarni ajratamiz:

Asosiy lemma bo'yicha biz olamiz

bu nazarda tutadi

Ushbu oddiy differensial tenglamalarning har birini endi yechish mumkin. Shuni e'tiborga olamizki, (16) chegara shartlaridan foydalanib, b tenglamaning umumiy yechimini emas, balki tegishli chegara shartlarini qanoatlantiradigan alohida echimlarni izlash mumkin:

2-qadam. Keling, Shturm-Liouvil muammosini hal qilaylik

Bu muammo Shturm-Liouvil muammosiga to'g'ri keladi ma'ruzalar 3. Eslatib o'tamiz, ushbu muammoning xos qiymatlari va xos funktsiyalari faqat mavjud bo'lganda mavjud λ>0.

Xususiy qiymatlar

Xususiy funksiyalar teng (Muammo yechimiga qarang)

3-qadam. Keling, o'z qiymatlarini a) tenglamaga almashtiramiz va uni hal qilamiz:

4-qadam.(15) tenglamaning qisman yechimlarini yozamiz:

(15) tenglamaning chiziqliligi va bir jinsliligi tufayli ularning chiziqli birikmasi

bu tenglamaning yechimi ham bo'ladi va funksiya U(x,t) chegara shartlarini ham qanoatlantiradi (16).

5-qadam. Keling, koeffitsientlarni aniqlaymiz A n(19) da dastlabki shart (17) yordamida:

Biz boshlang'ich funktsiya degan xulosaga kelamiz ph(x) Shturm-Liuvil muammosining xos funksiyalari nuqtai nazaridan Furye qatoriga kengaytirilgan. Steklov teoremasiga ko'ra, bunday kengayish chegara shartlarini qanoatlantiradigan va uzluksiz ikkinchi tartibli hosilalarga ega bo'lgan funktsiyalar uchun mumkin. Furye koeffitsientlari formulalar yordamida topiladi

Tegishli ma'lumotlar.

Nyuton usuli yordamida algebraik tenglamalarni yechish

Tenglamalarni echishning juda mashhur usuli tangens usuli, yoki Nyuton usuli. Bu holda, shaklning tenglamasi f(x) = 0 quyidagicha yechiladi. Birinchidan, nolga yaqinlik (nuqta x 0). Ushbu nuqtada grafaga tangens quriladi y = f(x). Ushbu tangensning x o'qi bilan kesishish nuqtasi ildiz (nuqta) uchun keyingi yaqinlikdir. x 1). Bu nuqtada yana tangens quriladi va hokazo. Nuqtalar ketma-ketligi x 0 , x 1 , x 2 ... ildizning haqiqiy qiymatiga olib kelishi kerak. Konvergentsiyaning sharti.

Chunki nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi x 0 , f(x 0) (va bu tangens), shaklda yoziladi

va keyingi taxmin sifatida x 1 asl tenglamaning ildizi uchun ushbu chiziqning abscissa o'qi bilan kesishish nuqtasi olinadi, keyin biz ushbu nuqtaga qo'yishimiz kerak. y = 0:

undan oldingi yaqinlik orqali keyingi yaqinlikni topish uchun tenglama darhol keladi:

Shaklda. 3-rasmda Nyuton usulini Excel yordamida amalga oshirish ko'rsatilgan. Dastlabki taxminiy ( x 0 = -3), so'ngra barcha oraliq qiymatlar ustunning qolgan kataklarida hisoblashgacha hisoblanadi. x 1 . Ikkinchi bosqichni bajarish uchun B10 yacheykadagi qiymat C3 katakchaga kiritiladi va C ustunida hisoblash jarayoni takrorlanadi. Keyin C2:C10 yacheykalari tanlangan holda kengaytirish uchun tanlovning pastki o‘ng burchagidagi tutqichni sudrab borishingiz mumkin. D:F ustunlariga. Natijada, F6 katakchasida 0 qiymati olinadi, ya'ni. F3 katakchadagi qiymat tenglamaning ildizidir.

Xuddi shu natijani tsiklik hisoblar yordamida olish mumkin. Keyin birinchi ustunni to'ldirib, birinchi qiymatni olgandan keyin x 1, H3 katakchaga =H10 formulasini kiriting. Bunday holda, hisoblash jarayoni tsiklga aylanadi va uni bajarish uchun menyuda Xizmat | Variantlar tabda Hisoblashlar katakchani belgilash kerak Takrorlashlar va iteratsiya jarayonining cheklovli qadamlar sonini va nisbiy xatolikni ko'rsating (standart 0,001 soni ko'p hollarda aniq etarli emas), unga erishilganda hisoblash jarayoni to'xtaydi.

Ma'lumki, issiqlik uzatish va diffuziya paytida massa almashinuvi kabi jismoniy jarayonlar Fik qonuniga bo'ysunadi

Qayerda l- issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsienti (diffuziya), va T– harorat (kontsentratsiya) va – mos keladigan qiymat oqimi. Matematikadan ma'lumki, oqimning divergensiyasi manbaning hajmli zichligiga teng. Q bu qiymat, ya'ni.

yoki ikki o'lchovli holat uchun, bir tekislikdagi harorat taqsimoti o'rganilganda, bu tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

Ushbu tenglamani analitik usulda yechish faqat oddiy shakldagi maydonlar uchun mumkin: to'rtburchak, doira, halqa. Boshqa hollarda, bu tenglamaning aniq yechimi mumkin emas, ya'ni. Murakkab holatlarda haroratning taqsimlanishini (yoki moddaning konsentratsiyasini) aniqlash ham mumkin emas. Keyin bunday tenglamalarni echish uchun taxminiy usullardan foydalanish kerak.

Murakkab shaklli sohada (4) tenglamaning taxminiy yechimi bir necha bosqichlardan iborat: 1) to'rni qurish; 2) farq sxemasini qurish; 3) algebraik tenglamalar sistemasini yechish. Keling, har bir bosqichni ketma-ket ko'rib chiqaylik va ularni Excel paketi yordamida amalga oshirish.

Grid qurilishi. Maydon rasmda ko'rsatilgan shaklga ega bo'lsin. 4. Ushbu shakl bilan (4) tenglamaning aniq analitik yechimi, masalan, o'zgaruvchilarni ajratish usuli bilan mumkin emas. Shuning uchun biz bu tenglamaning taxminiy yechimini alohida nuqtalarda izlaymiz. Maydonga yon tomonlari bo'lgan kvadratlardan iborat bir xil to'rni qo'llaymiz h. Endi mintaqaning har bir nuqtasida aniqlangan (4) tenglamaning uzluksiz yechimini izlash o'rniga, biz faqat mintaqaga qo'llaniladigan to'rning tugun nuqtalarida aniqlangan taxminiy yechimni qidiramiz, ya'ni. kvadratlarning burchaklarida.

Farq sxemasini qurish. Farq sxemasini qurish uchun o'zboshimchalik bilan ichki tarmoqli C (markaziy) tugunini ko'rib chiqing (5-rasm). Unga to'rtta tugun ulashgan: B (yuqori), N (pastki), L (chap) va P (o'ng). Eslatib o'tamiz, griddagi tugunlar orasidagi masofa h. Keyin (4) tenglamadagi ikkinchi hosilalarni taxminan yozish uchun (2) ifodadan foydalanib, taxminan yozishimiz mumkin:

Undan markaziy nuqtadagi harorat qiymatini qo'shni nuqtalardagi qiymatlari bilan bog'lovchi ifodani olish oson:

Ifoda (5) qo'shni nuqtalardagi harorat qiymatlarini bilib, uning qiymatini markaziy nuqtada hisoblash imkonini beradi. Bunday sxema, unda hosilalar cheklangan farqlar bilan almashtiriladi va qiymatlarni to'r nuqtasida qidirish uchun faqat eng yaqin qo'shni nuqtalardagi qiymatlar qo'llaniladi, markaziy farq sxemasi deyiladi. metodning o'zi esa chekli farq usuli deb ataladi.

Shuni tushunish kerakki, biz (5) ga o'xshash HAR bir tarmoq nuqtasi UCHUN tenglamani olamiz, bu esa bir-biriga bog'langan bo'ladi. Ya'ni, bizda algebraik tenglamalar tizimi mavjud bo'lib, unda tenglamalar soni panjara tugunlari soniga teng. Bunday tenglamalar tizimini turli usullar yordamida yechish mumkin.

Algebraik tenglamalar sistemasini yechish. Takrorlash usuli. Chegara tugunlarida harorat o'rnatilsin va 20 ga teng bo'lsin va issiqlik manbai quvvati 100 ga teng bo'lsin. Bizning mintaqamizning o'lchamlari o'rnatiladi va vertikal ravishda 6 ga va gorizontal ravishda 8 ga teng, shuning uchun panjara kvadratining yon tomoni ( qadam) h= 1. Keyin ichki nuqtalardagi haroratni hisoblash uchun (5) ifoda shaklni oladi

Keling, har bir TUGUNga Excel varag'idagi katakchani belgilaymiz. Chegara nuqtalariga mos keladigan kataklarda biz 20 raqamini kiritamiz (ular 6-rasmda kulrang rang bilan ta'kidlangan). Qolgan katakchalarga formulani (6) yozamiz. Masalan, F2 katakchada u quyidagicha ko'rinadi: =(F1 + F3 + E2 + G2)/4 + 100*(1^2)/4. Ushbu formulani F2 katakchasiga yozib, siz uni nusxalashingiz va ichki tugunlarga mos keladigan maydonning qolgan hujayralariga joylashtirishingiz mumkin. Bunday holda, Excel natijalarning aylanishi tufayli hisob-kitoblarni amalga oshirishning iloji yo'qligi haqida xabar beradi:

"Bekor qilish" tugmasini bosing va oynaga o'ting Asboblar|Tanlovlar|Hisob-kitoblar, bu erda "Takrorlanishlar" bo'limidagi katakchani belgilang, nisbiy xato sifatida 0,00001ni va takrorlashlarning maksimal soni sifatida 10000 ni belgilang:

Bunday qiymatlar bizga kichik COUNTABLE xatolikni beradi va iteratsiya jarayoni belgilangan xatoga yetib borishini kafolatlaydi.

Biroq, bu qiymatlar usulning kichik xatosini ta'minlamaydi, chunki ikkinchi hosilalarni cheklangan farqlar bilan almashtirishda xatoga bog'liq. Shubhasiz, bu xato kichikroq, panjara qadami qanchalik kichik bo'lsa, ya'ni. bizning farq sxemamiz asoslangan kvadratning o'lchami. Bu shuni anglatadiki, 1-rasmda ko'rsatilgan to'r tugunlarida to'g'ri hisoblangan harorat qiymati. 6, aslida, butunlay yolg'on bo'lib chiqishi mumkin. Topilgan yechimni tekshirishning faqat bitta usuli bor: uni nozikroq panjarada toping va oldingi bilan solishtiring. Agar bu yechimlar bir oz farq qilsa, u holda topilgan harorat taqsimoti haqiqatga mos keladi deb taxmin qilishimiz mumkin.

Keling, qadamni yarmiga qisqartiraylik. 1 o'rniga ½ ga teng bo'ladi. Bizning tugunlarimiz soni mos ravishda o'zgaradi. Vertikal bo'yicha 7 tugun o'rniga (6 qadam bor edi, ya'ni 7 tugun) 13 (12 kvadrat, ya'ni 13 tugun), gorizontal ravishda 9 o'rniga 17 bo'ladi. Shuni esdan chiqarmaslik kerakki, qadam o'lchami o'rnatilgan. yarmiga bo'lingan va endi (6) formulada 1 2 o'rniga o'ng tomonda (1/2) 2 ni almashtirishingiz kerak. Topilgan echimlarni solishtiradigan nazorat nuqtasi sifatida biz rasmda belgilangan maksimal harorat bilan nuqtani olamiz. 6 sariq rangda. Hisob-kitoblarning natijasi rasmda ko'rsatilgan. 9:

Ko'rinib turibdiki, qadamning kamayishi nazorat nuqtasidagi harorat qiymatining sezilarli o'zgarishiga olib keldi: 4% ga. Topilgan eritmaning aniqligini oshirish uchun panjara qadamini yanada qisqartirish kerak. Uchun h= ¼ nazorat nuqtasida biz 199,9 ni olamiz va h = 1/8 uchun mos keladigan qiymat 200,6 ga teng. Topilgan qiymatning qadam o'lchamiga bog'liqligini chizishingiz mumkin:

Rasmdan xulosa qilishimiz mumkinki, qadamni yanada pasaytirish nazorat nuqtasida haroratning sezilarli o'zgarishiga olib kelmaydi va topilgan eritmaning aniqligini qoniqarli deb hisoblash mumkin.

Excel paketining imkoniyatlaridan foydalanib, siz o'rganilayotgan hududda uning tarqalishini vizual tarzda ifodalovchi harorat yuzasini qurishingiz mumkin.

Turg'un bo'lmagan holat uchun issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi

statsionar bo'lmagan, agar tana harorati ham nuqtaning holatiga, ham vaqtga bog'liq bo'lsa.

bilan belgilaymiz Va = Va(M, t) bir nuqtadagi harorat M sirt bilan chegaralangan bir hil jism S, vaqt momentida t. Ma'lumki, issiqlik miqdori dQ, vaqt o'tishi bilan so'riladi dt, tenglik bilan ifodalanadi

Qayerda dS- sirt elementi, k− ichki issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsienti, − funktsiyaning hosilasi Va sirtga tashqi normal yo'nalishda S. U haroratni pasaytirish yo'nalishi bo'yicha tarqalib ketganligi sababli, keyin dQ> 0, agar > 0 va dQ < 0, если < 0.

Tenglikdan (1) kelib chiqadi

Endi topamiz Q boshqa yo'l. Elementni tanlang dV hajmi V, sirt bilan cheklangan S. Issiqlik miqdori dQ, element tomonidan qabul qilingan dV davomida dt, bu elementdagi haroratning oshishi va elementning o'zi massasi bilan proportsionaldir, ya'ni.

bu erda moddaning zichligi, moddaning issiqlik sig'imi deb ataladigan proportsionallik koeffitsienti.

Tenglikdan (2) kelib chiqadi

Shunday qilib,

Qayerda. Buni hisobga olsak = , , olamiz

Ostrogradskiy-Yashil formula yordamida tenglikning o'ng tomonini almashtirib, biz hosil bo'lamiz.

har qanday hajm uchun V. Bu yerdan biz differentsial tenglamani olamiz

qaysi deyiladi beqaror holat uchun issiqlik tenglamasi.

Agar tanasi eksa bo'ylab yo'naltirilgan tayoq bo'lsa Oh, keyin issiqlik tenglamasi shaklga ega

Quyidagi holatlar uchun Koshi muammosini ko'rib chiqing.

1. Cheklanmagan tayoq holati.(3) tenglamaning yechimini toping ( t> 0, ), dastlabki shartni qanoatlantiruvchi . Furye usulidan foydalanib, biz shakldagi yechimni olamiz

− Puasson integrali.

2. Rod qutisi, bir tomondan cheklangan. Dastlabki shart va chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi (3) tenglamaning yechimi formula bilan ifodalanadi.

3. Rod qutisi, har ikki tomondan cheklangan. Koshi muammosi shundaki, qachon X= 0 va X = l(3) tenglamaning boshlang‘ich sharti va ikkita chegara shartini qanoatlantiradigan yechimini toping, masalan, yoki.

Bunday holda, ketma-ketlik shaklida ma'lum bir yechim izlanadi

chegara shartlari uchun,

va ketma-ketlik shaklida

chegara shartlari uchun.

Misol. Tenglamaning yechimini toping

dastlabki shartlarni qondirish

va chegara shartlari.

□ Biz Koshi muammosining yechimini shaklda qidiramiz

Shunday qilib,

Statsionar holat uchun issiqlik tenglamasi

Tanadagi issiqlikning taqsimlanishi deyiladi statsionar, agar tana harorati Va nuqtaning joylashishiga bog'liq M(X, da, z), lekin vaqtga bog'liq emas t, ya'ni.

Va = Va(M) = Va(X, da, z).

Bunday holda, 0 va statsionar holat uchun issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi bo'ladi Laplas tenglamasi

ko'pincha shunday yoziladi.

Haroratga Va tanadagi bu tenglamadan noyob tarzda aniqlangan, siz sirtdagi haroratni bilishingiz kerak S jismlar. Shunday qilib, (1) tenglama uchun chegaraviy masala quyidagicha tuzilgan.

Funktsiyani toping Va, hajm ichidagi (1) tenglamani qanoatlantiruvchi V va har bir nuqtada qabul qilish M yuzalar S qiymatlarni belgilang

Bu vazifa deyiladi Dirixlet muammosi yoki birinchi chegaraviy masala(1) tenglama uchun.

Agar tananing sirtidagi harorat noma'lum bo'lsa va sirtdagi har bir nuqtadagi issiqlik oqimi ma'lum bo'lsa, bu ga proporsional bo'lsa, u holda sirtda. S chegaraviy shart o'rniga (2) shartga ega bo'lamiz

(3) chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi (1) tenglamaning yechimini topish masalasi deyiladi. Neyman muammosi yoki ikkinchi chegaraviy masala.

Tekis figuralar uchun Laplas tenglamasi quyidagicha yoziladi

Laplas tenglamasi agar fazo uchun bir xil shaklga ega Va koordinataga bog'liq emas z, ya'ni. Va(M) nuqta harakatlanayotganda doimiy qiymatni saqlaydi M o'qiga parallel to'g'ri chiziqda Oz.

ni qo'yish orqali (4) tenglamani qutbli koordinatalarga aylantirish mumkin

Garmonik funksiya tushunchasi Laplas tenglamasi bilan bog‘langan. Funktsiya chaqiriladi garmonik hududda D, agar bu mintaqada ikkinchi tartibni qo'shganda hosilalari bilan birga uzluksiz bo'lsa va Laplas tenglamasini qanoatlantirsa.

Misol. Statsionar harorat taqsimotini, agar novda uchlarida bo'lsa, termal izolyatsiyalangan yon yuzasi bo'lgan yupqa novda toping.

□ Bizda bir o'lchovli ish bor. Funktsiyani topish kerak Va, tenglama va chegara shartlarini qondirish,. Ushbu tenglamaning umumiy tenglamasi. Chegara shartlarini hisobga olgan holda, biz olamiz

Shunday qilib, termal izolyatsiyalangan yon yuzasiga ega bo'lgan nozik novda haroratning taqsimlanishi chiziqli. ■

Doira uchun Dirixlet muammosi

Radiusli aylana berilgan bo'lsin R qutbda markazlashgan HAQIDA qutbli koordinatalar tizimi. Aylanada garmonik bo'lgan va uning aylanasidagi shartni qanoatlantiradigan funksiyani topish kerak, bu erda aylanada uzluksiz bo'lgan berilgan funktsiya. Kerakli funksiya aylanadagi Laplas tenglamasini qanoatlantirishi kerak

Furye usulidan foydalanib, olish mumkin

− Puasson integrali.

Misol. Radiusli bir xil yupqa dumaloq plastinkada statsionar harorat taqsimotini toping R, yuqori yarmi haroratda, pastki yarmi esa haroratda saqlanadi.

□ Agar, keyin va agar, keyin. Harorat taqsimoti integral bilan ifodalanadi

Nuqta yuqori yarim doira ichida joylashgan bo'lsin, ya'ni. ; keyin dan gacha o'zgaradi va bu uzunlik oralig'ida nuqtalar mavjud emas. Shuning uchun , qaerdan , almashtirishni kiritamiz. Keyin olamiz

Shunday qilib, o'ng tomon salbiy Va at tengsizliklarni qanoatlantiradi. Bu holatda biz yechimni olamiz

Agar nuqta pastki yarim doira ichida joylashgan bo'lsa, ya'ni. , u holda o'zgarish oralig'i nuqtani o'z ichiga oladi, lekin 0 ni o'z ichiga olmaydi va biz almashtirishni amalga oshirishimiz mumkin, qaerdan , , Keyin bu qiymatlar uchun bizda mavjud

Shunga o'xshash o'zgarishlarni amalga oshirib, biz topamiz

O'ng tomon hozir ijobiy bo'lgani uchun, keyin. ■

Issiqlik tenglamasini echish uchun chekli farqlar usuli

Aytaylik, tenglamaning yechimini topishimiz kerak

qoniqarli:

boshlang'ich holati

va chegara shartlari

Demak, (2), (3), (4) shartlarni qanoatlantiradigan (1) tenglama yechimini topish talab etiladi, ya'ni. , , , chiziqlar bilan chegaralangan to'rtburchakda yechim topish talab qilinadi, agar uning uch tomonida kerakli funksiyaning qiymatlari berilgan bo'lsa, , .

To'g'ri chiziqlardan hosil bo'lgan to'rtburchaklar panjara quramiz

- o'q bo'ylab qadam tashlash Oh;

- o'q bo'ylab qadam tashlash Kimdan.

Keling, quyidagi belgini kiritamiz:

Cheklangan farqlar tushunchasidan biz yozishimiz mumkin

xuddi shunday

Formulalar (6), (7) va kiritilgan belgini hisobga olgan holda, biz (1) tenglamani shaklda yozamiz.

Bu yerdan biz hisoblash formulasini olamiz

(8) dan kelib chiqadiki, agar k ning uchta qiymati bo'lsa k to'rning th qatlami: , , , keyin qiymatini aniqlashingiz mumkin ( k+ 1) qavat.

Boshlang'ich shart (2) to'g'ri chiziqdagi barcha qiymatlarni topishga imkon beradi; chegara shartlari (3), (4) va chiziqlardagi qiymatlarni topishga imkon beradi. Formuladan (8) foydalanib, biz keyingi qatlamning barcha ichki nuqtalarida qiymatlarni topamiz, ya'ni. Uchun k= 1. Kerakli funksiyaning ekstremal nuqtalardagi qiymatlari chegara shartlaridan (3), (4) ma'lum. Bir panjara qatlamidan ikkinchisiga o'tish, biz barcha panjara tugunlarida kerakli echimning qiymatlarini aniqlaymiz. ;

Bir hil muhitdagi issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi, biz ko'rganimizdek, shaklga ega

Ichki issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsienti, c - moddaning issiqlik sig'imi va zichligi. (1) tenglamaga qo'shimcha ravishda, boshlang'ich harorat taqsimotini beradigan va atdagi dastlabki holatni yodda tutish kerak

Agar tana sirt (S) bilan chegaralangan bo'lsa, unda bu sirtda biz ham jismoniy holatlarga qarab har xil bo'lishi mumkin bo'lgan cheklovchi holatga ega bo'lamiz. Masalan, sirt (S) ma'lum bir haroratda saqlanishi mumkin, bu vaqt o'tishi bilan o'zgarishi mumkin. Bunda cheklash sharti sirtda (S) U funksiyani ko'rsatishga tushiriladi va bu berilgan funksiya t vaqtga ham bog'liq bo'lishi mumkin. Agar sirt harorati o'zgarmas bo'lsa, lekin ma'lum bir haroratning atrof-muhitga nurlanishi mavjud bo'lsa, u holda Nyuton qonuniga ko'ra, aniqlikdan uzoq bo'lsa-da, sirtdan o'tadigan issiqlik oqimi (S) atrofdagi bo'shliq orasidagi harorat farqiga proportsionaldir. va tana yuzasi (S). Bu shaklning chegaraviy shartini beradi

bu erda proportsionallik koeffitsienti h tashqi issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsienti deb ataladi.

Chiziqli o'lchamdagi jismda, ya'ni biz (1) tenglama o'rniga o'q bo'ylab joylashgan deb hisoblaydigan bir hil novdada issiqlik tarqalishida biz tenglamaga ega bo'lamiz.

Tenglamaning ushbu shakli bilan, albatta, novda yuzasi va uning atrofidagi bo'shliq o'rtasidagi issiqlik almashinuvi hisobga olinmaydi.

(S) tenglamani (1) tenglamadan ham olish mumkin, bunda U ni dan mustaqil deb faraz qilish mumkin. Tayoq holatida dastlabki holat