Yuqoridagi rasmdagi tomonlar va burchaklarning harf belgilari formulalarda ko'rsatilgan belgilarga mos keladi. Shunday qilib, ularni elementlar bilan moslashtirishga yordam beradi teng yonli uchburchak. Masalaning shartlaridan qaysi elementlar ma'lum ekanligini aniqlang, chizmadagi ularning belgilarini toping va tegishli formulani tanlang.

Teng yonli uchburchak maydoni uchun formula

Quyidagilar teng yonli uchburchakning maydonini topish uchun formulalar: yon tomonlar orqali, yon va ular orasidagi burchak orqali, yon tomondan, asos va cho'qqidagi burchak orqali, taglikning yon tomoni va poydevordagi burchak orqali va hokazo. Chapdagi rasmda eng mosini toping. Eng qiziq bo'lganlar uchun o'ngdagi matn formulaning nima uchun to'g'ri ekanligini va maydonni topish uchun qanday aniq foydalanish mumkinligini tushuntiradi.

1. topish mumkin uning tomoni va asosini bilish. Bu ifoda umumiyroq, universal formulani soddalashtirish orqali olingan. Agar Geron formulasini asos qilib olsak va keyin uchburchakning ikki tomoni bir-biriga teng ekanligini hisobga olsak, u holda ifoda rasmda keltirilgan formulaga soddalashadi.
   Bunday formuladan foydalanish misoli quyidagi masalani yechish misolida keltirilgan.
2. Ikkinchi formula uning maydonini topishga imkon beradi tomonlar va ular orasidagi burchak orqali yon kvadratning yarmi bo'lib, tomonlar orasidagi burchakning sinusiga ko'paytiriladi
   Agar biz balandlikni aqliy ravishda teng yonli uchburchakning yon tomoniga tushirsak, uning uzunligi * sin b ga teng bo'lishini ta'kidlaymiz. Yon tomonning uzunligi bizga ma'lum bo'lganligi sababli, uning ustiga tushgan balandlik endi ma'lum, ularning mahsulotining yarmi berilgan teng yonli uchburchakning maydoniga teng bo'ladi (Izoh: to'liq mahsulot maydoni beradi ravshan to'rtburchak. Balandligi bu to'rtburchakni ikkita kichik to'rtburchakka ajratadi, uchburchakning tomonlari ularning diagonallari bo'lib, ularni ikkiga bo'ladi. Shunday qilib, teng yonli uchburchakning maydoni teng bo'ladi. lateral tomoni va balandligi mahsulotining yarmi). Shuningdek qarang: Formula 5
3. Uchinchi formula maydonni topishni ko'rsatadi yon, tayanch va tepa burchagi orqali.
   To'g'risini aytganda, teng yonli uchburchakning burchaklaridan birini bilgan holda, siz boshqalarni topishingiz mumkin, shuning uchun bu yoki oldingi formuladan foydalanish ta'mga bog'liq (Aytgancha, shuning uchun siz ulardan faqat bittasini eslab qolishingiz mumkin).
   Uchinchi formulada yana bitta formula mavjud qiziqarli xususiyat- ish gunoh a bizga poydevorga tushirilgan balandlikning uzunligini beradi. Natijada biz oddiy va aniq 5-formulani olamiz.
4. Teng yonli uchburchakning maydoni ham topish mumkin taglikning yon tomoni va taglikdagi burchak orqali(poydevordagi burchaklar teng) asosning kvadrati uning tomonlari hosil qilgan burchak yarmining to'rtta tangensiga bo'lingan. Agar diqqat bilan qarasangiz, asosning yarmi (b/2) tan(b/2) ga ko'paytirilsa, bizga uchburchak balandligini berishi ayon bo'ladi. Teng yonli uchburchakdagi balandlik bir vaqtning o'zida bissektrisa va mediana bo'lgani uchun tg(b/2) asosning yarmining (b/2) balandlikka nisbati - tg(b/2) = (b/2)/h. Bu erdan h = b / (2 tan(b/2)). Natijada, formula yana oddiyroq Formula 5 ga qisqartiriladi, bu juda aniq.
5. Albatta teng yonli uchburchakning maydoni balandlikni tepadan poydevorga tushirish orqali topish mumkin, natijada ikkita to'g'ri burchakli uchburchak hosil bo'ladi. Keyinchalik - hamma narsa aniq. Balandlik va poydevorning yarmi mahsuloti va kerakli maydon mavjud. Ushbu formuladan foydalanish misoli uchun quyidagi muammoni ko'ring (2-chi yechim usuli)
6. Agar siz teng yonli uchburchakning maydonini topishga harakat qilsangiz, ushbu formula olinadi Pifagor teoremasidan foydalanish. Buning uchun biz oldingi formuladan balandlikni ifodalaymiz, bu ham yon tomondir to'g'ri uchburchak, Pifagor teoremasi orqali uning poydevori va balandligining yarmi, yon tomoni bilan hosil qilingan. Yon tomon gipotenuzdir, shuning uchun lateral tomonning kvadratidan (a) biz ikkinchi oyoqning kvadratini ayiramiz. U asosning yarmiga (b/2) teng bo'lgani uchun uning kvadrati b 2 /4 ga teng bo'ladi. dan ildizni ajratib olish berilgan ifoda va bizga balandlik beradi. Formuladan ko'rinib turibdiki 6. Agar pay va maxraj ikkiga ko'paytirilsa, so'ngra hisoblagichning ikkitasi ildiz belgisi ostida kiritilsa, biz tenglik belgisi orqali yozilgan bir xil formulaning ikkinchi versiyasini olamiz.
   Aytgancha, eng aqllilar ko'rishadi, agar siz Formula 1da qavslarni ochsangiz, u Formula 6 ga aylanadi. Yoki aksincha, ikki raqamning kvadratlari farqi, faktorlarga ko'ra, bizga asl, birinchisini beradi.

Belgilar, ular rasmdagi formulalarda qo'llanilgan:

a- uchburchakning ikkita teng tomonining birining uzunligi

b- asosiy uzunligi

α - asosdagi ikkita teng burchakdan birining o'lchami

β - uchburchakning teng tomonlari va uning asosiga qarama-qarshi tomoni orasidagi burchakning o'lchami

h- teng yonli uchburchakning tepasidan poydevorga tushirilgan balandlik uzunligi

Muhim. O'zgaruvchan belgilarga e'tibor bering! Adashib qolmang α Va β, shuningdek a Va b!

Eslatma. Bu geometriya masalalari bo'yicha darsning bir qismi (teng yon burchakli uchburchakning kesma maydoni). Bu erda hal qilish qiyin bo'lgan muammolar mavjud. Agar siz bu erda bo'lmagan geometriya muammosini hal qilishingiz kerak bo'lsa, bu haqda forumda yozing. Qabul qilish harakatini ko'rsatish uchun kvadrat ildiz masalalarni yechishda √ yoki sqrt() belgisidan foydalaniladi, bunda radikal ifoda qavs ichida ko‘rsatilgan..

Vazifa

Teng yonli uchburchakning tomoni 13 sm, asosi esa 10 sm. Hududni toping teng yonli uchburchak.

Yechim.

1-usul. Keling, Heron formulasini qo'llaymiz. Uchburchak teng yonli bo'lgani uchun u oddiyroq shaklga ega bo'ladi (yuqoridagi formulalar ro'yxatidagi 1-formulaga qarang):

Bu erda a - tomonlarning uzunligi, b - asosning uzunligi.
Muammo bayonotidan uchburchak tomonlari uzunliklarining qiymatlarini almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
S = 1/2 * 10 * √ ((13 + 5)(13 - 5)) = 5 √ (18 * 8) = 60 sm 2

2-usul. Pifagor teoremasini qo‘llaylik
Faraz qilaylik, biz birinchi yechimda ishlatilgan formulani eslay olmaymiz. Shuning uchun B cho'qqisidan BK balandligini AC asosiga tushiramiz.
Teng yonli uchburchakning balandligi uning asosini yarmiga bo'lganligi sababli, poydevorning yarmining uzunligi teng bo'ladi.
AK = AC / 2 = 10/2 = 5 sm.

Teng yonli uchburchakning asosi va yon tomonining yarmiga teng balandlik ABK to‘g‘ri burchakli uchburchakni hosil qiladi. Bu uchburchakda AB gipotenuzasi va AK oyog'ini bilamiz. Ikkinchi oyoq uzunligini Pifagor teoremasi orqali ifodalaymiz.

Ushbu maqolada qanday topish mumkinligi haqida gap boradi teng yonli uchburchakning maydoni va formulalari yechimlar uchun.
Teng yonli uchburchak - bu asosga parallel bo'lgan ikki tomoni teng bo'lgan uchburchak . Bu rasmda ko'rsatilgan.

Ta'kidlash joizki, tomonlar va burchaklarni ko'rsatadigan harflar sizning qulayligingiz uchun formulalarda qo'llaniladi.
Eslatma: Agar sizga yuqori sifatli kurs ishi kerak bo'lsa yoki nazorat ishi, vositachilarsiz. Keyin tvoi5.ru saytiga tashrif buyurishingiz kerak. Shuningdek, kurs ishlariga buyurtma berish uchun havolaga (http://tvoi5.ru/zakazat-kursovuyu-rabotu.html) va barcha tafsilotlarga kirishingiz mumkin.

Teng yonli uchburchakning maydoni formulasi.

Birinchi formulada aytilishicha, maydon, agar uchburchakning faqat bir tomoni va asosini bilsak. Ushbu formuladan foydalanib olingan umumiy formula. Agar Heron formulasi asosiy bo'lsa va shaklning tomonlari teng bo'lsa, uning o'zi oddiyroq ko'rinadi.

Ikkinchi formula maydon orqali topilganligini bildiradi tomonlar va ular orasidagi burchak. Yoki tomonlar orasidagi burchakning gunohi, tomonlardan birining kvadratining yarmiga ko'paytiriladi. Balandlikni yon tomonga chizsak, uning uzunligi a*sin? ga teng. Biz tomonning uzunligini bilganimiz uchun, biz uning balandligini ham bilamiz. Shunga ko'ra, teng yonli uchburchakning maydoni ularning ifodasining yarmi bo'ladi. Aniqroq aytganda. keyin butun qiymat uchburchakning maydonini hosil qiladi. To'rtburchakning balandligini bo'linib, biz ikkita kichik to'g'ri burchakli uchburchakni olamiz. Diagonal uchburchakning tomoni bo'ladi, o'z navbatida u raqamni ikkita teng qismga ajratadi. Bundan kelib chiqadiki, biz izlayotgan qiymat bir tomonning yarmi qiymatining balandlikka ko'paytirilishi sifatida topiladi.

Uchinchi formulada maydon yordamida topiladi bir parallel tomoni, asosi va burchagi tepada joylashgan. Boshqacha qilib aytganda, biz buni aytishimiz mumkin: teng burchakli uchburchakda kamida bitta burchak ma'lum bo'lsa, qolgan ikkitasini aniqlash uchun undan foydalanishingiz mumkin. Bu formula ikkinchi formulaga o'xshab, ulardan har qandayini ishlatishingiz va eslab qolishingiz mumkin. Ammo bu formula beshdan birini beradi, men buni quyida tasvirlab beraman.

To'rtinchi formula siz maydonni topishingiz mumkinligini ko'rsatadi asosning o'lchamini va undagi burchakni bilish. Poydevordagi barcha burchaklar bir xil va taglikning yon tomonining kvadrati uning yon tomonlaridan paydo bo'ladigan 4 tg yarim burchaklarga bo'linadi. Diqqat bilan qarasangiz, taglikning yon tomonining qavati b/2 ekanligini tushunishingiz mumkin, tg (?/2) ga ko'paytirilganda balandlikni beradi. Qaysi o'z navbatida mediana va bissektrisa rolini o'ynaydi, bu tg (? /2)= (b/2)/h, undan h=b/(2tg (? /2)) ni bildiradi va 5-sonli soddalashtirilgan formulaga qisqartiradi. .

Shunday qilib, beshinchi formula siz maydonni topishingiz mumkinligini aytadi balandlikdan foydalanish uchburchakning tepasidan boshlanib, to'g'ri burchakli uchburchaklarga bo'linib, uning tagida tugaydi. Va keyin uchinchi va to'rtinchi formulalarda bo'lgani kabi. Qavat - bazaga ko'paytiriladigan balandlik.

Oltinchi va oxirgi formula. Bu uchburchakning maydonini echishda paydo bo'ladi Pifagor teoremasi orqali. Bizga oldingi formulada topilgan balandlik kerak. Bu, shuningdek, to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i bo'lib, yon tomondan, poydevorning yarmi va balandligidan kelib chiqadi. Gipotenuza lateral tomon bo'ladi; gipotenuzaning kvadratidan (a) kvadratdagi ikkinchi oyog'ini ayirib tashlaymiz. Zaminga teng bo'lgani uchun - tayanch (b/2) kvadrat = b2/4 degan ma'noni anglatadi. Natijaning ildizini olib, biz balandlikni topamiz.

Parallelogrammning maydonini qanday topishni bilib oling. Kvadratchalar va to'rtburchaklar qarama-qarshi tomonlari parallel bo'lgan boshqa to'rt qirrali figuralar singari parallelogrammalardir. Paralelogrammning maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: S = bh, bu yerda “b” asos (paralelogrammaning pastki tomoni), “h” balandlik (yuqoridan pastgacha boʻlgan masofa; balandlik har doim asosni 90° burchak ostida kesib oʻtadi).

• Kvadrat va to'rtburchaklarda balandlik yon tomonga teng, chunki tomonlar yuqori va pastki tomonlarini to'g'ri burchak ostida kesib o'tadi.

1. Uchburchak va parallelogrammlarni solishtiring. Bu raqamlar orasida bor oddiy ulanish. Agar biron bir parallelogramm diagonal ravishda kesilsa, siz ikkita olasiz teng uchburchak. Xuddi shunday, agar siz ikkita teng uchburchakni qo'shsangiz, siz parallelogramm olasiz. Shunday qilib, har qanday uchburchakning maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: S = ½ bh, bu parallelogramm maydonining yarmi.

   Teng yonli uchburchakning asosini toping. Endi siz uchburchakning maydonini hisoblash formulasini bilasiz; "Asosiy" va "balandlik" nima ekanligini aniqlash uchun qoladi. Baza ("b" bilan belgilanadi) boshqa ikki (teng) tomonga teng bo'lmagan tomondir.

2. Poydevorga perpendikulyarni tushiring. Buni asosga qarama-qarshi bo'lgan uchburchakning tepasidan qiling. Esda tutingki, perpendikulyar asosni to'g'ri burchak ostida kesib o'tadi. Bu perpendikulyar uchburchakning balandligi ("h" bilan belgilanadi). "H" qiymatini topganingizdan so'ng, siz uchburchakning maydonini hisoblashingiz mumkin.

   • Teng yon tomonli uchburchakda balandlik asosni aynan oʻrtasidan kesib oʻtadi.

3. Teng yonli uchburchakning yarmiga qarang. E'tibor bering, balandlik teng yonli uchburchakni ikkita teng to'g'ri burchakli uchburchakka ajratdi. Ulardan biriga qarang va tomonlarini toping:

   • Qisqa tomon asosning yarmiga teng: b 2 (\displaystyle (\frac (b)(2))).
   • Ikkinchi tomon - "h" balandligi.
   • To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi - teng yonli uchburchakning yon tomoni; Keling, uni "s" deb belgilaymiz.

4. Pifagor teoremasidan foydalaning. To'g'ri burchakli uchburchakning ikki tomoni ma'lum bo'lsa, uning uchinchi tomonini Pifagor teoremasi yordamida hisoblash mumkin: (1-tomon) 2 + (2 tomon) 2 = (gipotenuza) 2. Bizning misolimizda Pifagor teoremasi quyidagicha yoziladi: .

   • Katta ehtimol bilan siz Pifagor teoremasini quyidagi yozuvda bilasiz: a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Biz misol o'zgaruvchilari bilan chalkashmaslik uchun 1 tomon, 2 tomon va gipotenuza so'zlaridan foydalanamiz.

5. "H" qiymatini hisoblang. Esda tutingki, uchburchakning maydonini hisoblash formulasida "b" va "h" o'zgaruvchilari mavjud, ammo "h" qiymati noma'lum. "H" ni hisoblash uchun formulani qayta yozing:

   • (b 2) 2 + h 2 = s 2 (\displaystyle ((\frac (b)(2)))^(2)+h^(2)=s^(2))
     h 2 = s 2 - (b 2) 2 (\displaystyle h^(2)=s^(2)-((\frac (b)(2)))^(2))
     .

6. Formulaga almashtiring ma'lum qiymatlar va "h" ni hisoblang. Ushbu formula tomonlari ma'lum bo'lgan har qanday teng yonli uchburchak uchun qo'llanilishi mumkin. “h” qiymatini topish uchun “b” ning asos qiymatini, “s” ning tomonining qiymatini almashtiring.

   • Bizning misolimizda: b = 6 sm; s = 5 sm.
   • Qiymatlarni formulaga almashtiring:
     h = (s 2 - (b 2) 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())s^(2)-((\frac (b)(2)^(2))
     h = (5 2 - (6 2) 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())5^(2)-((\frac (6)(2)^(2))
     h = (25 − 3 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())25-3^(2)))
     h = (25 − 9) (\displaystyle h=(\sqrt (())25-9))
     h = (16) (\ displaystyle h = (\ sqrt (()) 16))
     h = 4 (\displaystyle h=4) sm.

7. Uchburchakning maydonini hisoblash uchun asos va balandlik qiymatlarini formulaga kiriting. Formula: S = ½bh; Unga "b" va "h" qiymatlarini qo'ying va maydonni hisoblang. Javobingizda kvadrat birliklarni yozganingizga ishonch hosil qiling.

   • Bizning misolimizda taglik 6 sm, balandligi esa 4 sm.
   • S = ½ bh
     S = ½ (6 sm) (4 sm)
     S = 12 sm 2.

8. Keling, murakkabroq misolni ko'rib chiqaylik. Aksariyat hollarda sizga bizning misolimizda muhokama qilinganidan ko'ra qiyinroq vazifa beriladi. Balandlikni hisoblash uchun siz, qoida tariqasida, to'liq olinmagan kvadrat ildizni olishingiz kerak. Bunday holda, balandlik qiymatini soddalashtirilgan kvadrat ildiz sifatida yozing. Mana yangi misol:

   • Tomonlari 8 sm, 8 sm, 4 sm bo'lgan teng yonli uchburchakning maydonini hisoblang.
   • "B" asosi uchun 4 sm bo'lgan tomonni tanlang.
   • Balandligi: h = 8 2 - (4 2) 2 (\displaystyle h=(\sqrt (8^(2)-((\frac (4)(2))))^(2))))
     = 64 − 4 (\displaystyle =(\sqrt (64-4)))
     = 60 (\displaystyle =(\sqrt (60)))
   • Faktorlar yordamida kvadrat ildizni soddalashtiring: h = 60 = 4 ∗ 15 = 4 15 = 2 15. (\ displaystyle h = (\ sqrt (60)) = (\ sqrt (4 * 15)) = (\ sqrt (4)) (\ sqrt (15)) = 2 (\ sqrt (15)).)
   • S = 1 2 b h (\displaystyle =(\frac (1)(2))bh)
     = 1 2 (4) (2 15) (\displaystyle =(\frac (1)(2))(4)(2(\sqrt (15))))
     = 4 15 (\displaystyle =4(\sqrt (15)))
   • Javobni ildiz bilan yozish yoki kalkulyatorda ildizni ajratib olish va javobni shaklga yozish mumkin kasr(S ≈ 15,49 sm2).

Matematika ajoyib fan. Biroq, bunday fikr faqat uni tushunganingizda keladi. Bunga erishish uchun masala va misollarni yechish, diagramma va rasmlar chizish, teoremalarni isbotlash kerak.

Geometriyani tushunishga yo'l muammolarni hal qilishdan iborat. Ajoyib misol, siz teng yonli uchburchakning maydonini topishingiz kerak bo'lgan vazifalar bo'lishi mumkin.

Teng yonli uchburchak nima va u boshqalardan nimasi bilan farq qiladi?

"Balandlik", "maydon", "tayanch", "izosellar uchburchagi" va boshqalar atamalaridan qo'rqmaslik uchun siz nazariy asoslardan boshlashingiz kerak bo'ladi.

Avval uchburchak haqida. Bu tekis shakl, uch nuqtadan hosil bo'lgan - uchlari, o'z navbatida, segmentlar bilan bog'langan. Agar ularning ikkitasi bir-biriga teng bo'lsa, uchburchak teng yon tomonli bo'ladi. Bu tomonlar lateral deb ataldi, qolganlari esa asosga aylandi.

Mavjud maxsus holat Agar uchinchi tomon ikki yon tomonga teng bo'lsa, teng yonli uchburchak teng yonli bo'ladi.

Shakl xususiyatlari

Ular o'zlarini topadilar ishonchli yordamchilar teng yonli uchburchakning maydonini topishni talab qiladigan muammolarni hal qilishda. Shuning uchun ularni bilish va eslab qolish kerak.

• Ulardan birinchisi: bir tomoni asos bo'lgan teng yonli uchburchakning burchaklari har doim bir-biriga teng.
• Qo'shimcha inshootlar haqida mulk ham muhimdir. Bog'lanmagan tomonga chizilgan balandlik, mediana va bissektrisa mos keladi.
• Uchburchakning tagidagi burchaklardan chizilgan bir xil segmentlar juftlikda tengdir. Bu ham tez-tez yechim topishni osonlashtiradi.
• Undagi ikkita teng burchak har doim 90º dan kichik qiymatga ega.
• Va nihoyat: chizilgan va chegaralangan doiralar shunday qurilganki, ularning markazlari uchburchak poydevoriga, shuning uchun mediana va bissektrisaga balandlikda yotadi.

Muammoda teng yonli uchburchakni qanday aniqlash mumkin?

Agar vazifani hal qilishda, teng yonli uchburchakning maydonini qanday topish kerakligi haqida savol tug'ilsa, avvalo bu guruhga tegishli ekanligini tushunishingiz kerak. Va ba'zi belgilar bunga yordam beradi.

• Uchburchakning ikki burchagi yoki ikki tomoni teng.
• Bissektrisa ham mediana hisoblanadi.
• Uchburchakning balandligi mediana yoki bissektrisa bo'lib chiqadi.
• Shaklning ikkita balandligi, medianalari yoki bissektrisalari tengdir.

Ko'rib chiqilayotgan formulalarda qabul qilingan miqdorlarning belgilari

Formulalar yordamida teng yonli uchburchakning maydonini qanday topishni soddalashtirish uchun uning elementlarini harflar bilan almashtirish joriy etildi.

Diqqat! "A" ni "A" va "b" ni "B" bilan aralashtirmaslik kerak. Bu turli miqdorlar.

Turli vazifalarda ishlatilishi mumkin bo'lgan formulalar

Tomonlarning uzunligi ma'lum va siz teng yonli uchburchakning maydonini topishingiz kerak.

Bunday holda siz ikkala qiymatni kvadratga olishingiz kerak. Yon tomonni o'zgartirishdan olingan raqamni 4 ga ko'paytiring va undan ikkinchisini olib tashlang. Olingan farqning kvadrat ildizini oling. Baza uzunligini 4 ga bo'ling. Ikki raqamni ko'paytiring. Agar siz ushbu amallarni harflar bilan yozsangiz, quyidagi formulani olasiz:

1-son ostida yozilsin.

Yon qiymatlardan foydalanib, teng yonli uchburchakning maydonini toping. Ba'zilar birinchisidan ko'ra oddiyroq bo'lishi mumkin bo'lgan formula.

Birinchi qadam bazaning yarmini topishdir. Keyin tomoni bilan bu sonning yig'indisini va farqini toping. Oxirgi ikkita qiymatni ko'paytiring va kvadrat ildizni oling. Oxirgi qadam, hamma narsani bazaning yarmiga ko'paytirishdir. Literal tenglik quyidagicha ko'rinadi:

Bu №2 formula.

Teng yonli uchburchakning maydonini topish usuli, agar uning asosi va balandligi ma'lum bo'lsa.

Eng qisqa formulalardan biri. Unda berilgan ikkala miqdorni ko'paytirish va ularni 2 ga bo'lish kerak. Bu shunday yoziladi:

Ushbu formulaning soni 3 ga teng.

Vazifada uchburchakning tomonlari va asosi va yon tomoni o'rtasida joylashgan burchakning qiymati ma'lum.

Bu erda teng yonli uchburchakning maydoni nimaga teng bo'lishini bilish uchun formula bir necha omillardan iborat bo'ladi. Birinchisi, burchak sinusining qiymati. Ikkinchisi yon va taglikning mahsulotiga teng. Uchinchisi - ½ ning bir qismi. Umumiy matematik belgilar:

Formulaning seriya raqami 4 ga teng.

Masala berilgan: teng yonli uchburchakning yon tomoni va uning yon tomonlari orasidagi burchak.

Oldingi holatda bo'lgani kabi, maydon uchta omil yordamida topiladi. Birinchidan qiymatiga teng shartda ko'rsatilgan burchakning sinusi. Ikkinchisi - yon tomonning kvadrati. Va oxirgisi ham yarmiga teng. Natijada formula quyidagicha yoziladi:

Uning soni 5 ta.

Teng yonli uchburchakning asosi va unga qarama-qarshi burchagi ma'lum bo'lsa, uning maydonini topishga imkon beruvchi formula.

Avval siz ma'lum burchakning yarmining tangensini hisoblashingiz kerak. Olingan sonni 4 ga ko'paytiring. Yonning uzunligini kvadratga aylantiring, keyin oldingi qiymatga bo'linadi. Shunday qilib, biz quyidagi formulani olamiz:

Oxirgi formula raqami 6.

Namuna muammolar

Birinchi vazifa: ma'lumki, teng yonli uchburchakning asosi 10 sm, balandligi esa 5 sm.Biz uning maydonini aniqlashimiz kerak.

Uni hal qilish uchun formula raqamini tanlash mantiqan to'g'ri keladi 3. Undagi hamma narsa ma'lum. Raqamlarni kiriting va hisoblang. Ma'lum bo'lishicha, maydon 10 * 5 / 2. Ya'ni 25 sm 2.

Ikkinchi vazifa: Teng yon tomonli uchburchakka mos ravishda 5 va 8 sm ga teng tomoni va asosi berilgan.Uning maydonini toping.

Birinchi yo'l. No1 formula bo'yicha. Asosni kvadratga aylantirganda, natija 64, tomonning to'rtlik kvadrati esa 100 bo'ladi. Ikkinchidan birinchisini ayirish natijasida 36. Bundan ildiz mukammal chiqariladi, bu 6 ga teng. Asosni bo'lish. 4 2 ga teng. Yakuniy qiymat 2 va 6 ning mahsuloti sifatida aniqlanadi, ya'ni 12. Bu javob: kerakli maydon 12 sm 2.

Ikkinchi yo'l. No2 formula bo'yicha. Yarim asos 4. Tomon va topilgan sonning yig‘indisi 9 ni beradi, ularning farqi 1. Ko‘paytirishdan keyin natija 9. Kvadrat ildizni olish 3. Va oxirgi harakat, 3 ni 4 ga ko'paytirsak, bu bir xil 12 sm 2 ni beradi.

Geometriya masalalarini yechish va teng yonli uchburchakning maydonini qanday topishni aniqlash orqali siz bebaho tajribaga ega bo'lishingiz mumkin. Ko'proq turli xil variantlar vazifalar bajarilsa, yangi vaziyatda javob topish osonroq bo'ladi. Shuning uchun barcha topshiriqlarni muntazam va mustaqil bajarish materialni muvaffaqiyatli o'rganish yo'lidir.

Uchburchakning turiga qarab, uning maydonini topish uchun bir nechta variant mavjud. Masalan, to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini hisoblash uchun S= a * b / 2 formulasidan foydalaning, bu erda a va b - uning oyoqlari. Agar siz teng yonli uchburchakning maydonini bilmoqchi bo'lsangiz, uning asosi va balandligi mahsulotini ikkiga bo'lishingiz kerak. Ya'ni, S= b*h / 2, bu erda b - uchburchakning asosi, h esa uning balandligi.

Keyinchalik, to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini hisoblashingiz kerak bo'lishi mumkin. Bu erda u yordamga keladi quyidagi formula: S= a* a / 2, bu erda "a" va "a" oyoqlari bir xil qiymatlarga ega bo'lishi kerak.

Bundan tashqari, biz ko'pincha maydonni hisoblashimiz kerak teng tomonli uchburchak. U quyidagi formula bo'yicha topiladi: S= a * h/ 2, bu erda a - uchburchakning tomoni, h - balandligi. Yoki ushbu formula bo'yicha: S= √3/ 4 *a^2, bu erda a - tomon.

To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin

To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini topish kerakmi, lekin muammo bayonoti bir vaqtning o'zida ikkita oyog'ining o'lchamlarini ko'rsatmaydi? Keyin biz ushbu formuladan (S= a * b / 2) to'g'ridan-to'g'ri foydalana olmaymiz.

Keling, bir nechta mumkin bo'lgan echimlarni ko'rib chiqaylik:

• Agar siz bir oyoqning uzunligini bilmasangiz, lekin gipotenuzaning va ikkinchi oyoqning o'lchamlari berilgan bo'lsa, biz buyuk Pifagorga murojaat qilamiz va uning teoremasidan (a^2+b^2=c^2) foydalanamiz. Biz noma'lum oyoqning uzunligini hisoblaymiz, so'ngra uchburchakning maydonini hisoblash uchun foydalanamiz.
• Bir oyoqning uzunligi va unga qarama-qarshi burchakning gradus qiyaligi berilgan bo'lsa: a=b*ctg(C) formulasi yordamida ikkinchi oyoq uzunligini topamiz.
• Berilgan: bir oyoqning uzunligi va unga tutash burchakning graduslik qiyaligi: ikkinchi oyoq uzunligini topish uchun formuladan foydalanamiz - a=b*tg(C).
• Va nihoyat, berilgan: gipotenuzaning burchagi va uzunligi: biz uning ikkala oyog'ining uzunligini quyidagi formulalar yordamida hisoblaymiz - b=c*sin(C) va a=c*cos(C).

Teng yonli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin

Teng yonli uchburchakning maydonini S = b*h / 2 formulasi yordamida juda oson va tez topish mumkin, ammo agar ko'rsatkichlardan biri etishmayotgan bo'lsa, vazifa ancha murakkablashadi. Axir, qo'shimcha harakatlarni amalga oshirish kerak.

Mumkin vazifa variantlari:

• Berilgan: tomonlardan birining uzunligi va taglikning uzunligi. Pifagor teoremasidan foydalanib, biz ikkinchi oyoqning balandligini, ya'ni uzunligini topamiz. Ikkiga bo'lingan taglikning uzunligi oyoq va dastlab ma'lum bo'lgan tomoni gipotenuza bo'lishi sharti bilan.
• Berilgan: taglik va yon va taglik orasidagi burchak. Biz balandlikni h=c*ctg(B)/2 formulasi yordamida hisoblaymiz ("c" tomonini ikkiga bo'lishni unutmang).
• Berilgan: asos va yon tomonidan hosil qilingan balandlik va burchak: balandlikni topish uchun c=h*tg(B)*2 formulasidan foydalanamiz va natijani ikkiga ko'paytiramiz. Keyin biz maydonni hisoblaymiz.
• Ma'lum: tomonning uzunligi va u bilan balandlik o'rtasida hosil bo'lgan burchak. Yechish: asos va balandlikni topish uchun - c=a*sin(C)*2 va h=a*cos(C) formulalaridan foydalanamiz, shundan so‘ng maydonni hisoblaymiz.

To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin

Agar barcha ma'lumotlar ma'lum bo'lsa, S= a* a / 2 standart formulasidan foydalanib, biz teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini hisoblaymiz, ammo agar muammoda ba'zi ko'rsatkichlar ko'rsatilmagan bo'lsa, qo'shimcha harakatlar bajariladi.

Masalan: biz ikkala tomonning uzunligini bilmaymiz (biz eslaymizki, teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakda ular tengdir), lekin gipotenuzaning uzunligi berilgan. Bir xil “a” va “a” tomonlarini topish uchun Pifagor teoremasini qo‘llaylik. Pifagor formulasi: a^2+b^2=c^2. To'g'ri burchakli uchburchak bo'lsa, u quyidagicha aylanadi: 2a ^ 2 = c ^ 2. Ma’lum bo‘lishicha, “a” oyog‘ini topish uchun gipotenuzaning uzunligini 2 ning ildiziga bo‘lish kerak. Yechim natijasi teng yonli to‘g‘ri burchakli uchburchakning ikkala oyog‘ining uzunligi bo‘ladi. Keyin biz maydonni topamiz.

Teng tomonli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin

S= √3/ 4*a^2 formulasidan foydalanib, teng tomonli uchburchakning maydonini osongina hisoblashingiz mumkin. Agar uchburchakning aylana radiusi ma'lum bo'lsa, u holda maydonni quyidagi formula yordamida topish mumkin: S= 3√3/ 4*R^2, bu erda R - aylananing radiusi.