Sayyora yuzasidagi har bir nuqta o'ziga xos kenglik va uzunlik koordinatalariga mos keladigan ma'lum bir pozitsiyaga ega. U meridianning uzunlikka mos keladigan sferik yoylarining kenglikka mos keladigan parallel bilan kesishgan joyida joylashgan. U koordinatalar sistemasi ta'rifiga ega bo'lgan daraja, minut, sekundlarda ifodalangan juft burchak miqdorlari bilan belgilanadi.

Kenglik va uzunlik - topografik tasvirlarga tarjima qilingan tekislik yoki sharning geografik tomoni. Nuqtani aniqroq aniqlash uchun uning dengiz sathidan balandligi ham hisobga olinadi, bu esa uni uch o‘lchamli fazoda topish imkonini beradi.

Kenglik va uzunlik

Kenglik va uzunlik koordinatalaridan foydalangan holda nuqtani topish zarurati qutqaruvchilar, geologlar, harbiy xizmatchilar, dengizchilar, arxeologlar, uchuvchilar va haydovchilarning burchi va kasbi tufayli yuzaga keladi, ammo bu sayyohlar, sayohatchilar, qidiruvchilar va tadqiqotchilar uchun ham zarur bo'lishi mumkin.

Kenglik nima va uni qanday topish mumkin

Kenglik - ob'ektdan ekvator chizig'igacha bo'lgan masofa. Burchak birliklarida o'lchanadi (darajalar, darajalar, daqiqalar, soniyalar va boshqalar). Xarita yoki globusdagi kenglik gorizontal parallellar bilan ko'rsatilgan - ekvatorga parallel bo'lgan doirani tasvirlaydigan va qutblarga qarab bir qator toraygan halqalar shaklida birlashadigan chiziqlar.

Kenglik chiziqlari

Shuning uchun ular shimoliy kenglikni ajratib turadilar - bu butun qism yer yuzasi ekvatorning shimolida, shuningdek janubda - bu ekvatordan janubda joylashgan sayyora yuzasining butun qismi. Ekvator nol, eng uzun paralleldir.

• Ekvator chizig'idan shimoliy qutbgacha bo'lgan parallellar 0 ° dan 90 ° gacha bo'lgan musbat qiymat deb hisoblanadi, bu erda 0 ° - ekvatorning o'zi, 90 ° - eng yuqori. Shimoliy qutb. Ular shimoliy kenglik (N) deb hisoblanadi.
• Ekvatordan yon tomonga cho'zilgan parallellar janubiy qutb, 0 ° dan -90 ° gacha bo'lgan salbiy qiymat bilan ko'rsatilgan, bu erda -90 ° janubiy qutbning joylashuvi. Ular janubiy kenglik (S) deb hisoblanadi.
• Globusda parallellar to'pni o'rab turgan doiralar sifatida tasvirlangan, ular qutblarga yaqinlashganda kichrayadi.
• Xuddi shu paralleldagi barcha nuqtalar bir xil kenglik bilan belgilanadi, ammo turli uzunliklar.
  Xaritalarda ularning masshtabiga ko‘ra parallellar gorizontal, egri chiziqli ko‘rinishga ega bo‘ladi – masshtab qanchalik kichik bo‘lsa, parallel chiziq shunchalik to‘g‘ri tasvirlanadi va qanchalik katta bo‘lsa, shunchalik egri bo‘ladi.

Eslab qoling! Ma'lum bir hudud ekvatorga qanchalik yaqin joylashgan bo'lsa, uning kengligi shunchalik kichik bo'ladi.

Uzunlik nima va uni qanday topish mumkin

Uzunlik - bu ma'lum bir hududning Grinvichga, ya'ni asosiy meridianga nisbatan pozitsiyasini olib tashlash miqdori.

Uzunlik chiziqlari

Uzunlik xuddi shunday burchak birliklarida o'lchov bilan tavsiflanadi, faqat 0 ° dan 180 ° gacha va prefiks bilan - sharqiy yoki g'arbiy.

• Grinvich bosh meridiani Yer sharini vertikal ravishda o'rab, ikkala qutbdan o'tib, uni g'arbiy va sharqiy yarim sharlarga ajratadi.
• Grinvichning g'arbiy qismida (G'arbiy yarim sharda) joylashgan har bir qism g'arbiy uzunlik (w.l.) bo'ladi.
• Grinvichdan sharqgacha bo'lgan va sharqiy yarim sharda joylashgan har bir qism sharqiy uzunlik (E.L.) belgisiga ega bo'ladi.
• Bitta meridian bo'ylab har bir nuqtani topish bir xil uzunlikka ega, ammo turli xil kengliklarga ega.
• Meridianlar xaritalarda yoy shaklida egilgan vertikal chiziqlar shaklida chiziladi. Xarita miqyosi qanchalik kichik bo'lsa, meridian chizig'i shunchalik to'g'ri bo'ladi.

Xaritada berilgan nuqtaning koordinatalarini qanday topish mumkin

Ko'pincha siz xaritada ikkita eng yaqin parallel va meridianlar orasidagi kvadratda joylashgan nuqtaning koordinatalarini topishingiz kerak. Taxminiy ma'lumotni qiziqish sohasidagi xaritalangan chiziqlar orasidagi bosqichni bosqichma-bosqich baholash va keyin ulardan kerakli maydongacha bo'lgan masofani solishtirish orqali ko'z bilan olinishi mumkin. To'g'ri hisob-kitoblar uchun sizga o'lchagich yoki kompas bilan qalam kerak bo'ladi.

• Dastlabki ma'lumotlar uchun biz meridian bilan nuqtamizga eng yaqin parallellarning belgilarini olamiz.
• Keyinchalik, ularning chiziqlari orasidagi qadamni darajalarda ko'rib chiqamiz.
• Keyin xaritada ularning qadamining o'lchamini sm bilan ko'rib chiqamiz.
• Biz o'lchagich bilan berilgan nuqtadan eng yaqin parallelgacha bo'lgan masofani, shuningdek, bu chiziq va qo'shni chiziq orasidagi masofani o'lchaymiz, uni darajaga aylantiramiz va farqni hisobga olamiz - kattaroqdan ayirish yoki qo'shish kichikroqqa.
• Bu bizga kenglik beradi.

Misol! Bizning hududimiz joylashgan 40 ° va 50 ° parallellar orasidagi masofa 2 sm yoki 20 mm, ular orasidagi qadam esa 10 °. Shunga ko'ra, 1 ° 2 mm ga teng. Bizning nuqta qirqinchi paralleldan 0,5 sm yoki 5 mm masofada joylashgan. Biz 5/2 = 2,5 ° maydonimizga darajalarni topamiz, bu eng yaqin parallelning qiymatiga qo'shilishi kerak: 40 ° + 2,5 ° = 42,5 ° - bu bizning berilgan nuqtaning shimoliy kengligi. Janubiy yarimsharda hisob-kitoblar o'xshash, ammo natija salbiy belgiga ega.

Xuddi shunday, biz uzunlikni topamiz - agar eng yaqin meridian Grinvichdan uzoqroq bo'lsa va berilgan nuqta yaqinroq bo'lsa, u holda farqni ayirib, meridian Grinvichga yaqinroq bo'lsa va nuqta uzoqroq bo'lsa, uni qo'shamiz.

Agar sizning qo'lingizda faqat kompas bo'lsa, unda har bir segment uchlari bilan o'rnatiladi va tarqalish o'lchovga o'tkaziladi.

Xuddi shunday, globus yuzasida koordinatalarni hisoblash ham amalga oshiriladi.

Koordinatalar bo'yicha joy topish uchun eng yaxshi xizmatlar

Joylashuvingizni aniqlashning eng oson yo'li bu to'g'ridan-to'g'ri Google Xaritalar bilan ishlaydigan xizmatning shaxsiy kompyuter versiyasiga kirishdir. Ko'pgina yordamchi dasturlar brauzerda kenglik va uzunlikni kiritishni osonlashtiradi. Keling, ulardan eng yaxshisini ko'rib chiqaylik.

Xarita va yoʻnalishlar

Bundan tashqari, Xaritalar va yoʻnalishlar faqat bitta tugmani bosish orqali xaritadagi joylashuvingiz koordinatalarini bepul aniqlash imkonini beradi. "Mening koordinatalarimni toping" tugmasini bosing va xizmat darhol markerni qo'yadi va kenglik, mingdan birlik uzunlik va balandlikni aniqlaydi.

Xuddi shu saytda siz orasidagi masofani o'lchashingiz mumkin aholi punktlari yoki istalgan hududning maydoni, marshrutni chizing yoki sayohat vaqtini hisoblang. Xizmat sayohatchilar uchun ham, shunchaki qiziquvchan foydalanuvchilar uchun ham foydali bo'ladi.

Mapcoordinates.net

Foydali yordam dasturi Mapcoordinates.net dunyoning istalgan mintaqasidagi nuqta koordinatalarini bilish imkonini beradi. Xizmat Google Xaritalar bilan ham integratsiyalashgan, ammo soddalashtirilgan interfeysga ega, buning yordamida hatto o'qimagan foydalanuvchi ham foydalanishi mumkin.

Yordamchi dasturning manzil satrida "Qidiruv" deb yozilgan joyda, siz olmoqchi bo'lgan joyning manzilini, kenglik va uzunlikni kiriting. Koordinatalari bo'lgan xarita kerakli joyda marker bilan birga paydo bo'ladi. Belgilangan nuqtaning kengligi, uzunligi va balandligi marker ustida ko'rsatiladi.

Afsuski, Mapcoordinates.net ularning koordinatalarini biladigan nuqtalarni qidirish uchun mos emas. Biroq, teskari protsedura uchun bu juda qulay yordamchi dastur. Xizmat ko'plab tillarni, shu jumladan rus tilini ham qo'llab-quvvatlaydi.

Google Xaritalar xizmatidan foydalangan holda brauzer orqali xaritada koordinatalar bo'yicha qidiring

Agar biron sababga ko'ra siz soddalashtirilgan xizmatlar bilan emas, balki to'g'ridan-to'g'ri Google Xaritalar bilan ishlashni afzal ko'rsangiz, bu ko'rsatmalar siz uchun foydali bo'ladi. Google Xaritalar orqali koordinatalar bo'yicha qidirish jarayoni yuqorida tavsiflangan usullarga qaraganda biroz murakkabroq, ammo uni tez va qiyinchiliksiz o'zlashtirish mumkin.

Joyning aniq koordinatalarini bilish uchun quyidagi oddiy ko'rsatmalarga amal qiling:

Shaxsiy kompyuteringizda xizmatni oching. Muhimi, yorug'lik rejimi emas, balki to'liq rejim yoqilgan bo'lishi kerak (maxsus chaqmoq belgisi bilan belgilangan), aks holda ma'lumot olish mumkin bo'lmaydi;

Sichqonchaning o'ng tugmasi bilan xaritaning kerakli element yoki nuqta joylashgan qismini bosing;

Ko'rsatilgan menyuda "Bu erda nima?" -ni tanlang;

Ekranning pastki qismida paydo bo'lgan yorliqni ko'ring. U kenglik, uzunlik va balandlikni ko'rsatadi.

Ma'lum geografik koordinatalardan foydalangan holda joylashuvni aniqlash uchun boshqa protsedura talab qilinadi:

1. Google Xaritalarni kompyuteringizda to'liq rejimda oching;

   Ekranning yuqori qismidagi qidiruv satriga koordinatalarni kiritishingiz mumkin. Bu quyidagi formatlarda amalga oshirilishi mumkin: darajalar, daqiqalar va soniyalar; daraja va o'nlik daqiqalar; o'nlik darajalar;

"Enter" tugmasini bosing va xaritada kerakli joyda maxsus marker paydo bo'ladi.

Foydalanishda eng muhimi Google xizmati Xaritalar to'g'ri ko'rsatilishi kerak geografik koordinatalar. Kartalar faqat bir nechta ma'lumotlar formatlarini taniydi, shuning uchun quyidagi kiritish qoidalarini yodda tuting:

Darajalarni kiritishda uni "d" emas, balki "°" sifatida ko'rsatish uchun maxsus belgidan foydalaning;

Butun va kasr qismlar o'rtasida ajratuvchi sifatida vergul o'rniga nuqtadan foydalanishingiz kerak, aks holda qidiruv satri manzilni qaytara olmaydi;

Avval kenglik, keyin uzunlik ko'rsatiladi. Birinchi parametr -90 dan 90 gacha, ikkinchisi - 180 dan 180 gacha bo'lgan oraliqda yozilishi kerak.

Kompyuter klaviaturasida maxsus belgini topish qiyin va kerakli qoidalar ro'yxatiga rioya qilish uchun siz ko'p kuch sarflashingiz kerak. Maxsus yordamchi dasturlardan foydalanish ancha oson - biz yuqoridagi bo'limda ularning eng yaxshilarini sanab o'tdik.

Android operatsion tizimida kenglik va uzunlik bo'yicha joy topish

Ko'pincha siz noutbuk yoki shaxsiy kompyuteringizdan uzoqda joylashgan koordinatalar bo'yicha joy topishingiz kerak. Yordam beradi mobil ilova Google Xaritalar Android platformasida ishlaydi. Odatda yo'nalishlarni olish yoki jadvalni bilish uchun ishlatiladi. Transport vositasi, ammo dastur element yoki nuqtaning joylashuvini topish uchun ham mos keladi.

Android uchun ilovani Google Play-dagi rasmiy sahifada yuklab olishingiz mumkin. U rus tilida ham mavjud Ingliz tillari. Dasturni o'rnatgandan so'ng, quyidagi ko'rsatmalarga amal qiling:

Qurilmangizda Google Xaritalarni oching va xarita paydo bo'lishini kuting;

Sizni qiziqtirgan joyni toping. Unga bosing va maxsus marker paydo bo'lguncha ushlab turing;

Ekranning yuqori qismida qidiruv oynasi va joylashuvning to'liq koordinatalari bo'lgan yorliq paydo bo'ladi;

Agar siz joyni koordinatalar bo'yicha topishingiz kerak bo'lsa va aksincha emas, bu usul mobil qurilma kompyuterdagi hamkasbidan farq qilmaydi.

Xizmatning mobil versiyasi, xuddi shaxsiy kompyuterda ishlaydigan kabi, kerakli joyni batafsil o'rganish, uning aniq koordinatalarini aniqlash yoki aksincha, ma'lum ma'lumotlardan foydalangan holda manzilni tanib olish imkonini beradi. Bu uyda ham, yo'lda ham qulay usul.

Ushbu maqolada biz ko'plab geometriya muammolarini oddiy arifmetikaga qisqartirish imkonini beradigan bitta "sehrli tayoqcha" ni muhokama qilishni boshlaymiz. Bu "tayoq" hayotingizni ancha osonlashtirishi mumkin, ayniqsa fazoviy figuralar, bo'limlar va hokazolarni qurishda ishonchingiz komil bo'lmaganda. Bularning barchasi ma'lum tasavvur va amaliy ko'nikmalarni talab qiladi. Biz bu erda ko'rib chiqa boshlaydigan usul sizga barcha turdagi geometrik konstruktsiyalardan va mulohazalardan deyarli butunlay mavhum bo'lishga imkon beradi. Usul deyiladi "koordinata usuli". Ushbu maqolada biz quyidagi savollarni ko'rib chiqamiz:

1. Koordinata tekisligi
2. Samolyotdagi nuqtalar va vektorlar
3. Ikki nuqtadan vektorni qurish
4. Vektor uzunligi (ikki nuqta orasidagi masofa).
5. Segment o'rtasining koordinatalari
6. Vektorlarning nuqta mahsuloti
7. Ikki vektor orasidagi burchak

O'ylaymanki, siz koordinata usuli nima uchun bunday deb nomlanganini allaqachon taxmin qilgansiz? To'g'ri, u geometrik jismlar bilan emas, balki ularning raqamli xarakteristikalari (koordinatalari) bilan ishlagani uchun bunday nom oldi. Va geometriyadan algebraga o'tishga imkon beradigan transformatsiyaning o'zi koordinatalar tizimini joriy etishdan iborat. Agar dastlabki rasm tekis bo'lsa, u holda koordinatalar ikki o'lchovli, agar rasm uch o'lchamli bo'lsa, u holda koordinatalar uch o'lchovli bo'ladi. Ushbu maqolada biz faqat ikki o'lchovli ishni ko'rib chiqamiz. Va maqolaning asosiy maqsadi sizga koordinata usulining ba'zi asosiy usullaridan qanday foydalanishni o'rgatishdir (ular ba'zan Yagona davlat imtihonining B qismidagi planimetriya bo'yicha muammolarni hal qilishda foydali bo'ladi). Ushbu mavzu bo'yicha keyingi ikkita bo'lim C2 (stereometriya muammosi) muammolarini hal qilish usullarini muhokama qilishga bag'ishlangan.

Koordinata usulini muhokama qilishni qaerdan boshlash mantiqan to'g'ri keladi? Ehtimol, koordinatalar tizimi tushunchasidan. U bilan birinchi marta uchrashganingizni eslang. Menimcha, siz 7-sinfda, masalan, chiziqli funktsiyaning mavjudligi haqida bilganingizda. Eslatib o'taman, siz uni nuqta-nuqta qurgansiz. Esingizdami? Siz ixtiyoriy raqamni tanladingiz, uni formulaga almashtirdingiz va shu tarzda hisoblab chiqdingiz. Masalan, agar, keyin, agar, keyin va hokazo. Oxirida nima oldingiz? Va siz koordinatali ballarni oldingiz: va. Keyinchalik, siz "xoch" (koordinatalar tizimi) chizdingiz, undagi masshtabni tanladingiz (birlik segmenti sifatida qancha katakchaga ega bo'lasiz) va unda olingan nuqtalarni belgiladingiz, keyin ularni to'g'ri chiziq bilan bog'ladingiz; natijada chiziq funksiyaning grafigi.

Bu erda sizga batafsilroq tushuntirilishi kerak bo'lgan bir nechta fikrlar mavjud:

1. Chizmada hamma narsa chiroyli va ixcham tarzda joylashishi uchun siz qulaylik uchun bitta segmentni tanlaysiz.

2. O'q chapdan o'ngga, o'q esa pastdan yuqoriga o'tishi qabul qilinadi

3. Ular to’g’ri burchak ostida kesishadi va ularning kesishish nuqtasi koordinata deyiladi. Bu harf bilan ko'rsatilgan.

4. Nuqta koordinatalarini yozishda, masalan, qavslar ichida chap tomonda nuqtaning o'q bo'ylab koordinatasi, o'ng tomonida esa o'q bo'ylab. Xususan, bu shunchaki nuqtada degan ma'noni anglatadi

5. Koordinata o'qidagi istalgan nuqtani ko'rsatish uchun uning koordinatalarini (2 ta raqam) ko'rsatish kerak.

6. O'qda yotgan har qanday nuqta uchun,

7. O'qda yotgan har qanday nuqta uchun,

8. O'q x o'qi deyiladi

9. O'q y o'qi deb ataladi

Endi keyingi bosqichga o'tamiz: ikkita nuqtani belgilang. Keling, bu ikki nuqtani segment bilan bog'laymiz. Va biz o'qni nuqtadan nuqtaga segmentni chizayotgandek qo'yamiz: ya'ni biz segmentimizni yo'naltiramiz!

Boshqa yo'nalishli segment nima deb nomlanganini eslaysizmi? To'g'ri, bu vektor deyiladi!

Shunday qilib, agar biz nuqtani nuqtaga bog'lasak, va boshi A nuqtasi bo'ladi va oxiri B nuqtasi bo'ladi, keyin vektorni olamiz. Siz ham bu qurilishni 8-sinfda qilgan edingizmi?

Ma'lum bo'lishicha, vektorlar ham nuqtalar kabi ikkita raqam bilan belgilanishi mumkin: bu raqamlar vektor koordinatalari deb ataladi. Savol: Sizningcha, vektorning koordinatalarini topish uchun uning boshi va oxiri koordinatalarini bilish kifoya qiladimi? Ma'lum bo'lishicha, ha! Va bu juda oddiy tarzda amalga oshiriladi:

Shunday qilib, vektorda nuqta boshi va nuqta oxiri bo'lganligi sababli vektor quyidagi koordinatalarga ega:

Masalan, agar, u holda vektorning koordinatalari

Endi teskarisini qilamiz, vektorning koordinatalarini topamiz. Buning uchun nimani o'zgartirishimiz kerak? Ha, siz boshi va oxirini almashtirishingiz kerak: endi vektorning boshlanishi nuqtada, oxiri esa nuqtada bo'ladi. Keyin:

Ehtiyotkorlik bilan qarang, vektorlar va o'rtasidagi farq nima? Ularning yagona farqi koordinatalardagi belgilardir. Ular qarama-qarshidir. Bu fakt odatda shunday yoziladi:

Ba'zan vektorning qaysi nuqtasi boshi va qaysisi oxiri ekanligi aniq ko'rsatilmagan bo'lsa, vektorlar ikkitadan ko'p bilan belgilanadi. bosh harflar bilan, va bitta kichik harf, masalan: , va hokazo.

Endi biroz amaliyot O'zingiz va quyidagi vektorlarning koordinatalarini toping:

Imtihon:

Endi biroz qiyinroq muammoni hal qiling:

Bir nuqtada boshlanishi bo'lgan vektor ko-or-di-na-sizga ega. Abs-cis-su nuqtalarini toping.

Hammasi juda prozaik: nuqta koordinatalari bo'lsin. Keyin

Men tizimni vektor koordinatalari nima ekanligini aniqlashga asoslanib tuzdim. Keyin nuqta koordinatalariga ega bo'ladi. Bizni abscissa qiziqtiradi. Keyin

Javob:

Vektorlar bilan yana nima qila olasiz? Ha, deyarli hamma narsa oddiy raqamlar bilan bir xil (bundan tashqari siz bo'lolmaysiz, lekin siz ikki yo'l bilan ko'paytirishingiz mumkin, ulardan birini birozdan keyin muhokama qilamiz)

1. Vektorlarni bir-biriga qo'shish mumkin
2. Vektorlarni bir-biridan ayirish mumkin
3. Vektorlarni ixtiyoriy nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirish (yoki bo'lish) mumkin
4. Vektorlarni bir-biriga ko'paytirish mumkin

Bu operatsiyalarning barchasi juda aniq geometrik tasvirga ega. Masalan, qo'shish va ayirish uchun uchburchak (yoki parallelogramm) qoidasi:

Songa koʻpaytirilganda yoki boʻlinganda vektor choʻziladi yoki qisqaradi yoki yoʻnalishini oʻzgartiradi:

Biroq, bu erda biz koordinatalar bilan nima sodir bo'lishi haqidagi savolga qiziqamiz.

1. Ikki vektorni qo'shishda (ayirishda) ularning koordinatalarini element bo'yicha qo'shamiz (ayitamiz). Ya'ni:

2. Vektorni songa ko'paytirishda (bo'lishda) uning barcha koordinatalari shu raqamga ko'paytiriladi (bo'linadi):

Masalan:

· Ko-or-di-nat asr-to-ra miqdorini toping.

Avval vektorlarning har birining koordinatalarini topamiz. Ularning ikkalasining kelib chiqishi bir xil - kelib chiqish nuqtasi. Ularning oxiri boshqacha. Keyin, . Endi vektorning koordinatalarini hisoblaymiz.Unda hosil bo'lgan vektor koordinatalarining yig'indisi teng bo'ladi.

Javob:

Endi quyidagi muammoni o'zingiz hal qiling:

· Vektor koordinatalarining yig‘indisini toping

Biz tekshiramiz:

Keling, quyidagi muammoni ko'rib chiqaylik: bizda ikkita nuqta bor koordinata tekisligi. Ularning orasidagi masofani qanday topish mumkin? Birinchi nuqta bo'lsin, ikkinchisi. Ularning orasidagi masofani bilan belgilaymiz. Aniqlik uchun quyidagi rasmni tuzamiz:

Men nima qildim? Birinchidan, men ulandim nuqta va, a ham bir nuqtadan o'qqa parallel chiziq chizdim va bir nuqtadan o'qga parallel chiziq chizdim. Ular bir nuqtada kesishib, ajoyib figurani hosil qildilarmi? Uning nimasi o‘ziga xos? Ha, siz va men to'g'ri burchakli uchburchak haqida deyarli hamma narsani bilamiz. Albatta, Pifagor teoremasi. Kerakli segment bu uchburchakning gipotenuzasi, segmentlari esa oyoqlardir. Nuqtaning koordinatalari qanday? Ha, ularni rasmdan topish oson: segmentlar o'qlarga parallel bo'lgani uchun va mos ravishda ularning uzunliklarini topish oson: agar segmentlarning uzunliklarini mos ravishda bilan belgilasak, u holda

Endi Pifagor teoremasidan foydalanamiz. Biz oyoqlarning uzunligini bilamiz, biz gipotenuzani topamiz:

Shunday qilib, ikki nuqta orasidagi masofa koordinatalardan kvadrat farqlar yig'indisining ildizidir. Yoki - ikki nuqta orasidagi masofa ularni bog'laydigan segmentning uzunligi. Nuqtalar orasidagi masofa yo'nalishga bog'liq emasligini ko'rish oson. Keyin:

Bu erdan biz uchta xulosa chiqaramiz:

Keling, ikkita nuqta orasidagi masofani hisoblash bo'yicha bir oz mashq qilaylik:

Masalan, agar, u holda va orasidagi masofa teng

Yoki boshqa yo'l bilan boraylik: vektorning koordinatalarini toping

Va vektor uzunligini toping:

Ko'rib turganingizdek, xuddi shunday!

Endi biroz mashq qiling:

Vazifa: ko'rsatilgan nuqtalar orasidagi masofani toping:

Biz tekshiramiz:

Xuddi shu formuladan foydalangan holda yana bir nechta muammo bor, garchi ular bir oz boshqacha eshitiladi:

1. Qovoq uzunligining kvadratini toping.

2. Qovoq uzunligining kvadratini toping

Menimcha, siz ular bilan qiyinchiliksiz muomala qildingizmi? Biz tekshiramiz:

1. Va bu diqqat uchun) Biz vektorlarning koordinatalarini avvalroq topdik: . Keyin vektor koordinatalariga ega bo'ladi. Uning uzunligi kvadrati quyidagilarga teng bo'ladi:

2. Vektorning koordinatalarini toping

Keyin uning uzunligi kvadrati bo'ladi

Hech qanday murakkab narsa yo'q, to'g'rimi? Oddiy arifmetika, boshqa hech narsa emas.

Quyidagi muammolarni aniq tasniflash mumkin emas, ular ko'proq umumiy bilim va oddiy rasmlarni chizish qobiliyatiga tegishli.

1. Nuqtani abscissa o'qi bilan bog'lovchi kesmadan burchak sinusini toping.

Va

Bu erda qanday davom etamiz? Biz o'q va orasidagi burchakning sinusini topishimiz kerak. Sinusni qayerdan izlashimiz mumkin? To'g'ri, to'g'ri uchburchakda. Xo'sh, nima qilishimiz kerak? Bu uchburchakni yarating!

Nuqtaning koordinatalari va bo'lgani uchun, u holda segment ga teng, va segment. Biz burchakning sinusini topishimiz kerak. Eslatib o'taman, sinus - qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati

Bizga nima qilish kerak? Gipotenuzani toping. Buni ikki yo'l bilan amalga oshirishingiz mumkin: Pifagor teoremasidan (oyoqlari ma'lum!) yoki ikkita nuqta orasidagi masofa uchun formuladan foydalanish (aslida, birinchi usul bilan bir xil narsa!). Men ikkinchi yo'lga boraman:

Javob:

Keyingi vazifa sizga yanada osonroq ko'rinadi. U nuqtaning koordinatalarida.

Vazifa 2. Per-pen-di-ku-lyar ab-ciss o'qiga tushirilgan nuqtadan. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Keling, rasm chizamiz:

Perpendikulyarning asosi uning x o'qi (o'qi) bilan kesishgan nuqtasidir, men uchun bu nuqta. Rasmda uning koordinatalari borligi ko'rsatilgan: . Bizni abscissa - ya'ni "x" komponenti qiziqtiradi. U teng.

Javob: .

Vazifa 3. Oldingi masala sharoitida nuqtadan koordinata o'qlarigacha bo'lgan masofalar yig'indisini toping.

Agar nuqtadan o'qlargacha bo'lgan masofa qancha ekanligini bilsangiz, vazifa odatda elementardir. Sen bilasan? Umid qilamanki, lekin baribir sizga eslataman:

Shunday qilib, yuqoridagi chizilgan rasmimda men allaqachon bitta perpendikulyar chizganmanmi? U qaysi o'qda? O'qga. Va uning uzunligi qancha? U teng. Endi o'z o'qiga perpendikulyar chizib, uning uzunligini toping. Bu teng bo'ladi, to'g'rimi? Keyin ularning yig'indisi teng bo'ladi.

Javob: .

Vazifa 4. 2-topshiriq shartlarida nuqtaning abtsissa o'qiga nisbatan simmetrik nuqta ordinatasini toping.

O'ylaymanki, simmetriya nima ekanligi sizga intuitiv ravishda tushunarli? Ko'pgina ob'ektlarga ega: ko'plab binolar, jadvallar, samolyotlar, ko'plab geometrik figuralar: to'p, silindr, kvadrat, romb va boshqalar.. Qo'pol qilib aytganda, simmetriyani quyidagicha tushunish mumkin: raqam ikki (yoki undan ko'p) bir xil yarmidan iborat. Bu simmetriya eksenel simmetriya deb ataladi. Xo'sh, eksa nima? Aynan shu chiziq bo'ylab raqamni, nisbatan aytganda, teng yarmiga "kesish" mumkin (bu rasmda simmetriya o'qi to'g'ri):

Endi vazifamizga qaytaylik. Biz o'qga nisbatan simmetrik bo'lgan nuqtani qidirayotganimizni bilamiz. Keyin bu o'q simmetriya o'qi hisoblanadi. Bu shuni anglatadiki, biz o'q segmentni ikkita teng qismga kesib tashlaydigan nuqtani belgilashimiz kerak. Bunday nuqtani o'zingiz belgilashga harakat qiling. Endi mening yechimim bilan solishtiring:

Siz uchun ham xuddi shunday chiqdimi? Yaxshi! Bizni topilgan nuqtaning ordinatasi qiziqtiradi. Bu teng

Javob:

Endi ayting-chi, bir necha soniya o'ylab ko'ring, A nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqtaning ordinataga nisbatan abscissasi qanday bo'ladi? Sizning javobingiz nima? To'g'ri javob: .

Umuman olganda, qoida quyidagicha yozilishi mumkin:

Abtsissa o'qiga nisbatan nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqta koordinatalarga ega:

Ordinata o'qiga nisbatan nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqta koordinatalarga ega:

Xo'sh, endi bu butunlay qo'rqinchli vazifa: nuqtaning koordinatalarini koordinatalarini koordinatalarini koordinatalarini toping. Siz avval o'zingiz o'ylab ko'ring, keyin mening rasmimni ko'ring!

Javob:

Hozir parallelogramm muammosi:

5-topshiriq: nuqtalar ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma ko'rinadi. Or-di-on-o'sha nuqtani toping.

Siz bu muammoni ikki yo'l bilan hal qilishingiz mumkin: mantiq va koordinata usuli. Avval koordinata usulidan foydalanaman, keyin esa uni qanday qilib boshqacha yechish mumkinligini aytaman.

Nuqtaning abssissasi teng ekanligi aniq. (u nuqtadan abscissa o'qiga chizilgan perpendikulyarda yotadi). Biz ordinatani topishimiz kerak. Keling, bizning raqamimiz parallelogramm ekanligidan foydalanaylik, bu shuni anglatadiki. Ikki nuqta orasidagi masofa formulasi yordamida segment uzunligini topamiz:

Nuqtani eksa bilan bog'laydigan perpendikulyarni tushiramiz. Men kesishish nuqtasini harf bilan belgilayman.

Segmentning uzunligi teng. (bu nuqtani muhokama qilgan muammoni o'zingiz toping), keyin Pifagor teoremasi yordamida segment uzunligini topamiz:

Segmentning uzunligi uning ordinatasiga to'liq mos keladi.

Javob: .

Boshqa yechim (men uni tasvirlaydigan rasmni beraman)

Yechim jarayoni:

1. Xulq-atvor

2. Nuqta va uzunlik koordinatalarini toping

3. Buni isbotlang.

Boshqasi segment uzunligi muammosi:

Nuqtalar uchburchakning tepasida paydo bo'ladi. Uning o'rta chizig'ining uzunligini toping, parallel.

Uchburchakning o'rta chizig'i nima ekanligini eslaysizmi? Keyin bu vazifa siz uchun oddiy. Esingizda bo'lmasa, men sizga eslataman: uchburchakning o'rta chizig'i qarama-qarshi tomonlarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan chiziqdir. U asosga parallel va uning yarmiga teng.

Baza segmentdir. Biz uning uzunligini avvalroq izlashimiz kerak edi, u teng. Keyin o'rta chiziqning uzunligi yarmi katta va teng bo'ladi.

Javob: .

Izoh: bu muammoni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin, biz biroz keyinroq murojaat qilamiz.

Ayni paytda, bu erda siz uchun bir nechta muammolar bor, ular ustida mashq qiling, ular juda oddiy, ammo ular koordinata usulidan foydalanishni yaxshilashga yordam beradi!

1. Nuqtalar tra-pe-tionlarning yuqori qismidir. Uning o'rta chizig'ining uzunligini toping.

2. Nuqtalar va ko'rinishlar ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Or-di-on-o'sha nuqtani toping.

3. Nuqtani va bog`lovchi kesimdan uzunlikni toping

4. Koordinatsiya tekisligidagi rangli figuraning orqasidagi maydonni toping.

5. Nuqtadan markazi na-cha-le ko-or-di-natda boʻlgan aylana oʻtadi. Uning ra-di-usni toping.

6. Aylananing-di-te ra-di-usni toping, to'g'ri burchakli-no-ka haqida ta'rif-san-noy, biror narsaning tepalari ko- yoki -di-na-siz juda mas'ulsiz.

Yechimlar:

1. Ma'lumki, trapetsiyaning o'rta chizig'i uning asoslari yig'indisining yarmiga teng. Baza teng, asos esa. Keyin

Javob:

2. Bu masalani yechishning eng oson yo‘li shuni qayd etishdir (paralelogramma qoidasi). Vektorlarning koordinatalarini hisoblash qiyin emas: . Vektorlarni qo'shishda koordinatalar qo'shiladi. Keyin koordinatalar mavjud. Nuqta ham shu koordinatalarga ega, chunki vektorning kelib chiqishi koordinatali nuqtadir. Biz ordinataga qiziqamiz. U teng.

Javob:

3. Biz darhol ikki nuqta orasidagi masofa formulasiga muvofiq harakat qilamiz:

Javob:

4. Rasmga qarang va ayting-chi, soyali maydon qaysi ikki raqam orasiga «sendvichlangan»? U ikkita kvadrat orasiga o'ralgan. Keyin kerakli raqamning maydoni katta kvadratning maydonidan kichik kvadratning maydoniga teng bo'ladi. Kichik kvadratning yon tomoni nuqtalarni bog'laydigan segment bo'lib, uning uzunligi

Keyin kichik kvadratning maydoni

Katta kvadrat bilan ham xuddi shunday qilamiz: uning tomoni nuqtalarni bog'laydigan segment va uning uzunligi

Keyin katta kvadratning maydoni

Formuladan foydalanib, kerakli raqamning maydonini topamiz:

Javob:

5. Agar aylana koordinata markaziga ega bo'lsa va nuqtadan o'tsa, uning radiusi aynan bo'ladi uzunligiga teng segment (chizma qiling va nima uchun bu aniq ekanligini tushunasiz). Keling, ushbu segmentning uzunligini topamiz:

Javob:

6. Ma'lumki, to'rtburchak atrofida aylana radiusi uning diagonalining yarmiga teng. Keling, ikkita diagonaldan birining uzunligini topaylik (oxir-oqibat, to'rtburchakda ular teng!)

Javob:

Xo'sh, siz hamma narsaga dosh berdingizmi? Buni aniqlash juda qiyin emas edi, shunday emasmi? Bu erda faqat bitta qoida bor - vizual rasm yaratish va undan barcha ma'lumotlarni "o'qish".

Bizda juda oz qoldi. Men muhokama qilmoqchi bo'lgan yana ikkita fikr bor.

Keling, ushbu oddiy muammoni hal qilishga harakat qilaylik. Ikki ball bo'lsin va berilsin. Segmentning o'rta nuqtasining koordinatalarini toping. Ushbu muammoning echimi quyidagicha: nuqta kerakli o'rta bo'lsin, keyin uning koordinatalari mavjud:

Ya'ni: segment o'rtasining koordinatalari = segment uchlarining tegishli koordinatalarining o'rtacha arifmetik qiymati.

Bu qoida juda oddiy va odatda talabalar uchun qiyinchilik tug'dirmaydi. Keling, qanday muammolar va qanday ishlatilishini ko'rib chiqaylik:

1. Kesimdan-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny toping, nuqtani ulang va.

2. Nuqtalar dunyoning eng yuqori nuqtasi bo'lib ko'rinadi. Uning dia-go-na-ley-ning per-re-se-che-niya-di-te or-di-na-tu nuqtalarini toping.

3. Top-di-te abs-cis-su aylana markazi, tasvir-san-noy haqida to'rtburchaklar-no-ka, biror narsaning tepalari ko-or-di-na-siz juda mas'uliyatli-lekin bor.

Yechimlar:

1. Birinchi muammo oddiygina klassik. Biz segmentning o'rtasini aniqlash uchun darhol davom etamiz. Uning koordinatalari bor. Ordinata teng.

Javob:

2. Bu to‘rtburchakning parallelogramm (hatto romb ham!) ekanligini ko‘rish oson. Tomonlarning uzunligini hisoblab, ularni bir-biri bilan solishtirib, buni o'zingiz isbotlashingiz mumkin. Paralelogrammalar haqida nima bilaman? Uning diagonallari kesishish nuqtasi bilan yarmiga bo'lingan! Ha! Xo'sh, diagonallarning kesishish nuqtasi nima? Bu har qanday diagonalning o'rtasi! Men, xususan, diagonalni tanlayman. Keyin nuqta koordinatalariga ega bo'ladi Nuqtaning ordinatasi ga teng.

Javob:

3. To‘g‘ri to‘rtburchak atrofida chizilgan aylananing markazi nimaga to‘g‘ri keladi? U diagonallarining kesishish nuqtasiga to'g'ri keladi. To'rtburchakning diagonallari haqida nimalarni bilasiz? Ular teng va kesishish nuqtasi ularni yarmiga bo'ladi. Vazifa avvalgisiga qisqartirildi. Masalan, diagonalni olaylik. Agar aylananing markazi bo'lsa, u holda o'rta nuqta. Men koordinatalarni qidiryapman: abscissa teng.

Javob:

Endi o'zingiz bir oz mashq qiling, men har bir muammoga javob beraman, shunda siz o'zingizni sinab ko'rishingiz mumkin.

1. Aylananing-di-te ra-di-usni toping, uchburchak-no-ka haqida tasvir-san-noy, biror narsaning tepalarida ko-or-di -no mister bor.

2. Aylananing o‘sha markazini toping, tepalari koordinatalari bo‘lgan uchburchak-no-ka haqida-san-noy tasvirlang.

3. Ab-ciss o'qiga tegib turadigan nuqtada markazi bo'lgan doira qanday ra-di-u-sa bo'lishi kerak?

4. O‘qning qayta-se-se-se-sektsiyasining o‘sha yoki o‘sha nuqtasini toping va kesmadan, nuqtani bog‘lang va

Javoblar:

Hammasi muvaffaqiyatli bo'ldimi? Men, albatta, umid qilaman! Endi - oxirgi bosish. Endi ayniqsa ehtiyot bo'ling. Men hozir tushuntirib beradigan material nafaqat B qismidagi koordinatalar usuli bo'yicha oddiy masalalar bilan bevosita bog'liq, balki C2 muammosining hamma joyida mavjud.

Qaysi va'dalarimni hali bajarmaganman? Esingizdami, vektorlar ustida qanday operatsiyalarni kiritishga va'da berganman va oxirida qaysilarini kiritganman? Hech narsani unutmaganimga ishonchingiz komilmi? Unutdim! Vektorni ko'paytirish nimani anglatishini tushuntirishni unutibman.

Vektorni vektorga ko'paytirishning ikki yo'li mavjud. Tanlangan usulga qarab, biz turli tabiatdagi ob'ektlarni olamiz:

O'zaro faoliyat juda aqlli tarzda amalga oshiriladi. Buni qanday qilish kerak va nima uchun kerak, biz keyingi maqolada muhokama qilamiz. Va bu erda biz skalyar mahsulotga e'tibor qaratamiz.

Hisoblashning ikkita usuli mavjud:

Siz taxmin qilganingizdek, natija bir xil bo'lishi kerak! Shunday qilib, birinchi usulni ko'rib chiqaylik:

Koordinatalar orqali nuqta mahsuloti

Toping: - skalyar mahsulot uchun umumiy qabul qilingan belgi

Hisoblash formulasi quyidagicha:

Ya'ni, skalyar mahsulot = vektor koordinatalari ko'paytmalarining yig'indisi!

Misol:

Top-di-te

Yechim:

Har bir vektorning koordinatalarini topamiz:

Skalar mahsulotni formuladan foydalanib hisoblaymiz:

Javob:

Qarang, hech qanday murakkab narsa yo'q!

Xo'sh, endi o'zingiz sinab ko'ring:

· Asrlar pro-iz-ve-de-nie skalyarni toping va

Siz boshqardingizmi? Ehtimol, siz kichik ovni payqadingizmi? Keling, tekshiramiz:

Oldingi masaladagi kabi vektor koordinatalari! Javob: .

Koordinataga qo'shimcha ravishda, skalyar mahsulotni hisoblashning yana bir usuli mavjud, ya'ni vektorlarning uzunligi va ular orasidagi burchakning kosinuslari orqali:

vektorlar orasidagi burchakni bildiradi.

Ya'ni, skalyar ko'paytma vektorlar uzunliklari va ular orasidagi burchak kosinuslari ko'paytmasiga teng.

Nima uchun bizga bu ikkinchi formula kerak, agar bizda birinchisi bo'lsa, u ancha sodda, hech bo'lmaganda unda kosinuslar yo'q. Va bu birinchi va ikkinchi formulalardan siz va men vektorlar orasidagi burchakni qanday topishni xulosa qilishimiz uchun kerak!

Let Keyin vektor uzunligi formulasini eslaylik!

Agar men ushbu ma'lumotlarni skalyar mahsulot formulasiga almashtirsam, men quyidagilarni olaman:

Ammo boshqa yo'l bilan:

Xo'sh, siz va men nima oldik? Endi bizda ikkita vektor orasidagi burchakni hisoblash imkonini beruvchi formula mavjud! Ba'zan qisqalik uchun shunday yoziladi:

Ya'ni vektorlar orasidagi burchakni hisoblash algoritmi quyidagicha:

1. Koordinatalar orqali skalyar hosilani hisoblang
2. Vektorlarning uzunliklarini toping va ularni ko'paytiring
3. 1-bandning natijasini 2-bandning natijasiga bo'ling

Keling, misollar bilan mashq qilaylik:

1. Ko'z qovoqlari orasidagi burchakni toping va. Javobni grad-du-sahda bering.

2. Oldingi masala shartlarida vektorlar orasidagi kosinusni toping

Keling, shunday qilaylik: birinchi muammoni hal qilishga yordam beraman, ikkinchisini esa o'zingiz qilishga harakat qiling! Rozimisiz? Keyin boshlaylik!

1. Bu vektorlar bizning eski do'stlarimizdir. Biz allaqachon ularning skalyar mahsulotini hisoblab chiqdik va u teng edi. Ularning koordinatalari: , . Keyin ularning uzunligini topamiz:

Keyin vektorlar orasidagi kosinusni qidiramiz:

Burchakning kosinusu nimaga teng? Bu burchak.

Javob:

Xo'sh, endi ikkinchi masalani o'zingiz hal qiling va keyin solishtiring! Men juda qisqacha yechim beraman:

2. koordinatalari bor, koordinatalari bor.

vektorlar orasidagi burchak bo'lsin, keyin

Javob:

Shuni ta'kidlash kerakki, B qismidagi to'g'ridan-to'g'ri vektorlar va koordinatalar usuli bo'yicha masalalar imtihon qog'ozi juda kam. Biroq, C2 muammolarining katta qismi koordinata tizimini joriy qilish orqali osonlikcha hal qilinishi mumkin. Shunday qilib, siz ushbu maqolani poydevor deb hisoblashingiz mumkin, uning asosida biz murakkab muammolarni hal qilishimiz kerak bo'lgan juda aqlli konstruktsiyalarni qilamiz.

KOORDINATLAR VA VEKTORLAR. O'RTA DARAJA

Siz va men koordinata usulini o'rganishda davom etamiz. Oxirgi qismda biz sizga imkon beradigan bir qator muhim formulalarni oldik:

1. Vektor koordinatalarini toping
2. Vektor uzunligini toping (muqobil ravishda: ikki nuqta orasidagi masofa)
3. Vektorlarni qo'shish va ayirish. Ularni haqiqiy songa ko'paytiring
4. Segmentning o'rta nuqtasini toping
5. Vektorlarning nuqta mahsulotini hisoblang
6. Vektorlar orasidagi burchakni toping

Albatta, butun koordinata usuli bu 6 nuqtaga to'g'ri kelmaydi. U analitik geometriya kabi fanning asosini yotadi, siz uni universitetda yaxshi bilasiz. Men faqat bitta davlatda muammolarni hal qilish imkonini beradigan poydevor qurmoqchiman. imtihon. Biz B qismidagi vazifalarni hal qildik. Endi butunlay yangi bosqichga o'tish vaqti keldi! Ushbu maqola C2 muammolarini hal qilish usuliga bag'ishlangan bo'lib, unda koordinatalar usuliga o'tish maqsadga muvofiqdir. Ushbu asoslilik muammoda nimani topish kerakligi va qanday raqam berilganligi bilan belgilanadi. Shunday qilib, agar savollar bo'lsa, men koordinata usulidan foydalanaman:

1. Ikki tekislik orasidagi burchakni toping
2. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping
3. Ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchakni toping
4. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani toping
5. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani toping
6. To'g'ri chiziqdan tekislikgacha bo'lgan masofani toping
7. Ikki chiziq orasidagi masofani toping

Agar masala bayonida berilgan rasm aylanish jismi bo‘lsa (to‘p, silindr, konus...)

Koordinata usuli uchun mos raqamlar:

1. To'rtburchak parallelepiped
2. Piramida (uchburchak, to'rtburchak, olti burchakli)

Shuningdek, mening tajribamdan uchun koordinata usulini qo'llash noo'rin:

1. Kesma maydonlarni topish
2. Jismlarning hajmlarini hisoblash

Biroq, darhol shuni ta'kidlash kerakki, koordinata usuli uchun uchta "noqulay" holat amalda juda kam uchraydi. Ko'pgina vazifalarda, ayniqsa, siz uch o'lchovli konstruktsiyalarda unchalik yaxshi bo'lmasangiz (ba'zida juda murakkab bo'lishi mumkin) sizning qutqaruvchingizga aylanishi mumkin.

Men yuqorida sanab o'tgan barcha raqamlar qanday? Ular endi tekis emas, masalan, kvadrat, uchburchak, doira kabi, lekin katta hajmli! Shunga ko'ra, biz ikki o'lchovli emas, balki uch o'lchovli koordinatalar tizimini hisobga olishimiz kerak. Buni qurish juda oson: abscissa va ordinata o'qiga qo'shimcha ravishda biz boshqa o'qni - qo'llaniladigan o'qni kiritamiz. Rasmda ularning nisbiy holati sxematik ko'rsatilgan:

Ularning barchasi o'zaro perpendikulyar va bir nuqtada kesishadi, biz uni koordinatalarning kelib chiqishi deb ataymiz. Avvalgidek, abscissa o'qini, ordinata o'qini - va kiritilgan qo'llaniladigan o'qni - belgilaymiz.

Agar ilgari tekislikdagi har bir nuqta ikkita raqam - abscissa va ordinata bilan tavsiflangan bo'lsa, u holda fazodagi har bir nuqta allaqachon uchta raqam bilan tasvirlangan - abscissa, ordinata va ilova. Masalan:

Shunga ko'ra, nuqtaning abssissasi teng, ordinatasi , ilovasi esa .

Ba'zan nuqtaning abscissasi nuqtaning abscissa o'qiga proyeksiyasi, ordinata - nuqtaning ordinata o'qiga proyeksiyasi, applikatsiya - nuqtaning qo'llaniladigan o'qga proyeksiyasi deb ham ataladi. Shunga ko'ra, agar nuqta berilgan bo'lsa, u holda koordinatali nuqta:

nuqtaning tekislikka proyeksiyasi deyiladi

nuqtaning tekislikka proyeksiyasi deyiladi

Tabiiy savol tug'iladi: ikki o'lchovli holat uchun olingan barcha formulalar kosmosda haqiqiymi? Javob ha, ular adolatli va bir xil ko'rinishga ega. Kichik tafsilot uchun. O'ylaymanki, siz allaqachon qaysi biri ekanligini taxmin qilgansiz. Barcha formulalarda biz ilova o'qi uchun javob beradigan yana bitta atama qo'shishimiz kerak. Aynan.

1. Ikki nuqta berilgan bo'lsa: , keyin:

• Vektor koordinatalari:
• Ikki nuqta orasidagi masofa (yoki vektor uzunligi)
• Segmentning o'rta nuqtasi koordinatalarga ega

2. Agar ikkita vektor berilgan bo'lsa: va, keyin:

• Ularning skalyar mahsuloti quyidagilarga teng:
• Vektorlar orasidagi burchakning kosinusu quyidagilarga teng:

Biroq, makon unchalik oddiy emas. Siz tushunganingizdek, yana bitta koordinatani qo'shish ushbu makonda "yashovchi" raqamlar spektriga sezilarli xilma-xillikni keltirib chiqaradi. Va keyingi rivoyat uchun men to'g'ri chiziqning ba'zi, taxminan aytganda, "umumlashtirish" bilan tanishtirishim kerak. Ushbu "umumlashtirish" samolyot bo'ladi. Samolyot haqida nimalarni bilasiz? Savolga javob berishga harakat qiling, samolyot nima? Buni aytish juda qiyin. Biroq, biz hammamiz intuitiv ravishda uning qanday ko'rinishini tasavvur qilamiz:

Taxminan aytganda, bu kosmosga yopishgan cheksiz "varaq". "Cheksizlik" samolyotning barcha yo'nalishlarda cho'zilishi, ya'ni uning maydoni cheksizlikka teng ekanligini tushunish kerak. Biroq, bu "qo'lda" tushuntirish samolyotning tuzilishi haqida eng kichik tasavvurga ega emas. Va u biz bilan qiziqadi.

Keling, geometriyaning asosiy aksiomalaridan birini eslaylik:

• to'g'ri chiziq tekislikning ikki xil nuqtasidan o'tadi va faqat bittasi:

Yoki uning kosmosdagi analogi:

Albatta, siz ikkita berilgan nuqtadan chiziq tenglamasini qanday chiqarishni eslaysiz, bu unchalik qiyin emas: agar birinchi nuqtada koordinatalar bo'lsa: ikkinchisi esa, chiziq tenglamasi quyidagicha bo'ladi:

Siz buni 7-sinfda olgansiz. Fazoda chiziq tenglamasi quyidagicha ko'rinadi: bizga koordinatali ikkita nuqta berilsin: , u holda ular orqali o'tadigan chiziq tenglamasi ko'rinishga ega bo'ladi:

Masalan, chiziq nuqtalardan o'tadi:

Buni qanday tushunish kerak? Buni quyidagicha tushunish kerak: nuqta chiziq ustida joylashgan bo'lsa, uning koordinatalari quyidagi tizimni qondirsa:

Bizni chiziq tenglamasi unchalik qiziqtirmaydi, lekin biz chiziqning yo'nalish vektorining juda muhim tushunchasiga e'tibor qaratishimiz kerak. - berilgan chiziqda yoki unga parallel bo'lgan nolga teng bo'lmagan har qanday vektor.

Masalan, ikkala vektor ham to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorlari. Chiziqda yotuvchi nuqta va uning yo‘nalishi vektori bo‘lsin. Keyin chiziq tenglamasini quyidagi shaklda yozish mumkin:

Yana bir bor, men to'g'ri chiziq tenglamasiga unchalik qiziqmayman, lekin men sizga yo'nalish vektori nima ekanligini eslab qolishingiz kerak! Yana bir marta: Bu chiziq ustida yoki unga parallel yotgan HAR QANDAY nolga teng vektor.

Olib tashlash berilgan uchta nuqtaga asoslangan tekislik tenglamasi endi unchalik ahamiyatsiz emas va odatda bu masala kursda ko'rib chiqilmaydi o'rta maktab. Lekin behuda! Murakkab muammolarni hal qilish uchun koordinata usuliga murojaat qilganimizda, bu usul juda muhimdir. Biroq, menimcha, siz yangi narsalarni o'rganishni xohlaysizmi? Bundan tashqari, siz odatda analitik geometriya kursida o'rganiladigan texnikadan qanday foydalanishni bilganingiz ma'lum bo'lganda, siz universitetdagi o'qituvchingizni hayratda qoldirishingiz mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Tekislik tenglamasi tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasidan unchalik farq qilmaydi, ya'ni u quyidagi ko'rinishga ega:

ba'zi raqamlar (barchasi nolga teng emas), lekin o'zgaruvchilar, masalan: va hokazo. Ko'rib turganingizdek, tekislik tenglamasi to'g'ri chiziq tenglamasidan (chiziqli funktsiya) unchalik farq qilmaydi. Biroq, siz va men nima bahslashganimizni eslaysizmi? Agar bizda bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta bo'lsa, unda tekislik tenglamasini ulardan noyob tarzda qayta qurish mumkinligini aytdik. Lekin qanday? Men buni sizga tushuntirishga harakat qilaman.

Chunki tekislikning tenglamasi:

Va nuqtalar ushbu tekislikka tegishli, keyin har bir nuqtaning koordinatalarini tekislik tenglamasiga almashtirganda, biz to'g'ri identifikatsiyani olishimiz kerak:

Shunday qilib, noma'lumlar bilan uchta tenglamani yechish kerak! Dilemma! Biroq, siz har doim shunday deb taxmin qilishingiz mumkin (buni amalga oshirish uchun siz bo'linishingiz kerak). Shunday qilib, biz uchta noma'lumli uchta tenglamani olamiz:

Biroq, biz bunday tizimni hal qilmaymiz, lekin undan kelib chiqadigan sirli iborani yozamiz:

Berilgan uchta nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi

\[\chap| (\begin(massiv)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(massiv)) \o'ng| = 0\]

STOP! Bu nima? Juda noodatiy modul! Biroq, sizning oldingizda ko'rayotgan ob'ektning modulga hech qanday aloqasi yo'q. Bu obyekt uchinchi tartibli determinant deb ataladi. Bundan buyon, siz tekislikdagi koordinatalar usuli bilan shug'ullanganingizda, xuddi shu determinantlarga tez-tez duch kelasiz. Uchinchi tartibli determinant nima? Ajabo, bu shunchaki raqam. Determinant bilan qaysi aniq raqamni solishtirishni tushunish qoladi.

Avval uchinchi tartibli determinantni umumiyroq shaklda yozamiz:

Ba'zi raqamlar qayerda. Bundan tashqari, birinchi indeks deganda biz satr raqamini, indeks deganda esa ustun raqamini tushunamiz. Masalan, bu raqam ikkinchi qator va uchinchi ustunning kesishgan joyida ekanligini anglatadi. Keling, quyidagi savolni qo'yaylik: bunday determinantni qanday aniq hisoblaymiz? Ya'ni, qaysi aniq raqam bilan solishtiramiz? Uchinchi tartibli determinant uchun evristik (vizual) uchburchak qoidasi mavjud, u quyidagicha ko'rinadi:

1. Asosiy diagonal elementlarining mahsuloti (yuqori chap burchakdan pastki o'ngga) birinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning ko'paytmasi asosiy diagonalga "perpendikulyar" ikkinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning mahsulotiga "perpendikulyar". asosiy diagonali
2. Ikkilamchi diagonal elementlarining mahsuloti (yuqori o'ng burchakdan pastki chapga) birinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning ko'paytmasi ikkinchi darajali diagonalga "perpendikulyar" ikkinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning mahsulotiga "perpendikulyar". ikkilamchi diagonali
3. Keyin determinant va qadamda olingan qiymatlar orasidagi farqga teng bo'ladi

Agar bularning barchasini raqamlar bilan yozsak, quyidagi ifodani olamiz:

Biroq, bu shaklda hisoblash usulini eslab qolishning hojati yo'q, shunchaki uchburchaklarni va nimaga nima qo'shilishi va keyin nimadan nima ayirilishi haqidagi g'oyani boshingizda saqlash kifoya).

Keling, uchburchak usulini misol bilan ko'rsatamiz:

1. Aniqlovchini hisoblang:

Keling, nimani qo'shishimiz va nimani ayirishimizni aniqlaymiz:

Plyus bilan birga keladigan shartlar:

Bu asosiy diagonal: elementlarning mahsuloti teng

Birinchi uchburchak, "asosiy diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti teng

Ikkinchi uchburchak, "asosiy diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti teng

Uchta raqamni qo'shing:

Minus bilan kelgan shartlar

Bu yon diagonali: elementlarning mahsuloti teng

Birinchi uchburchak, "ikkilamchi diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti teng

Ikkinchi uchburchak, "ikkilamchi diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti teng

Uchta raqamni qo'shing:

Bajarilishi kerak bo'lgan narsa "minus" shartlari yig'indisidan "ortiqcha" shartlar yig'indisini ayirishdir:

Shunday qilib,

Ko'rib turganingizdek, uchinchi darajali determinantlarni hisoblashda murakkab yoki g'ayritabiiy narsa yo'q. Faqat uchburchaklar haqida eslash va arifmetik xatolarga yo'l qo'ymaslik muhimdir. Endi uni o'zingiz hisoblashga harakat qiling:

Biz tekshiramiz:

1. Asosiy diagonalga perpendikulyar bo'lgan birinchi uchburchak:
2. Asosiy diagonalga perpendikulyar ikkinchi uchburchak:
3. Plyus bilan shartlar yig'indisi:
4. Ikkilamchi diagonalga perpendikulyar bo'lgan birinchi uchburchak:
5. Yon diagonalga perpendikulyar ikkinchi uchburchak:
6. Minus bilan shartlar yig'indisi:
7. Plyusli shartlar yig'indisi minusli shartlar yig'indisi:

Mana yana bir nechta aniqlovchilar, ularning qiymatlarini o'zingiz hisoblang va ularni javoblar bilan solishtiring:

Javoblar:

Xo'sh, hammasi mos keldimi? Ajoyib, keyin davom eta olasiz! Agar qiyinchiliklar bo'lsa, mening maslahatim shunday: Internetda determinantni onlayn hisoblash uchun juda ko'p dasturlar mavjud. Sizga kerak bo'lgan narsa - o'zingizning determinantingizni o'ylab toping, uni o'zingiz hisoblang va keyin uni dastur hisoblagan narsa bilan solishtiring. Va shunga o'xshash natijalar mos kelguncha davom eting. Ishonchim komilki, bu lahzaning kelishi uzoq davom etmaydi!

Endi uchdan o'tuvchi tekislik tenglamasi haqida gapirganimda yozgan determinantga qaytaylik. berilgan ballar:

Sizga kerak bo'lgan narsa uning qiymatini to'g'ridan-to'g'ri hisoblash (uchburchak usuli yordamida) va natijani nolga qo'yishdir. Tabiiyki, bu o'zgaruvchilar bo'lgani uchun siz ularga bog'liq bo'lgan ba'zi ifodalarni olasiz. Aynan shu ifoda bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislikning tenglamasi bo'ladi!

Buni oddiy misol bilan tushuntiramiz:

1. Nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini tuzing

Biz ushbu uchta nuqta uchun determinantni tuzamiz:

Keling, soddalashtiramiz:

Endi biz uni to'g'ridan-to'g'ri uchburchak qoidasi yordamida hisoblaymiz:

\[(\left| (\begin(massiv)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(massiv)) \ o'ng| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \o'ng) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Shunday qilib, nuqtalardan o'tadigan tekislikning tenglamasi:

Endi bitta muammoni o'zingiz hal qilishga harakat qiling, keyin biz buni muhokama qilamiz:

2. Nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini toping

Xo'sh, endi yechimni muhokama qilaylik:

Determinant yarataylik:

Va uning qiymatini hisoblang:

Keyin tekislik tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Yoki kamaytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

Endi o'z-o'zini nazorat qilish uchun ikkita vazifa:

1. Uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini tuzing:

Javoblar:

Hammasi mos keldimi? Shunga qaramay, agar ma'lum qiyinchiliklar mavjud bo'lsa, unda mening maslahatim shunday: boshingizdan uchta nuqtani oling (ular bir xil to'g'ri chiziqda yotmaslik ehtimoli yuqori), ular asosida samolyot yasang. Va keyin siz o'zingizni onlayn tekshirasiz. Masalan, saytda:

Biroq, determinantlar yordamida biz nafaqat tekislikning tenglamasini tuzamiz. Esingizda bo'lsin, men sizga faqat vektorlar uchun nuqta mahsuloti aniqlanmaganligini aytdim. Shuningdek, vektor mahsuloti, shuningdek aralash mahsulot mavjud. Va agar ikkita vektorning skalyar ko'paytmasi son bo'lsa, u holda ikkita vektorning vektor mahsuloti vektor bo'ladi va bu vektor berilganlarga perpendikulyar bo'ladi:

Bundan tashqari, uning moduli bo'ladi maydoniga teng vektorlar ustida qurilgan parallelogramma va. Bu vektor Bu nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash uchun kerak bo'ladi. Vektorlarning vektor mahsulotini qanday hisoblash mumkin va agar ularning koordinatalari berilgan bo'lsa? Uchinchi tartibli determinant yana yordamimizga keladi. Biroq, vektor mahsulotini hisoblash algoritmiga o'tishdan oldin, men kichik bir chekinishim kerak.

Ushbu chekinish bazis vektorlariga tegishli.

Ular sxematik tarzda rasmda ko'rsatilgan:

Nima uchun ular asosiy deb ataladi deb o'ylaysiz? Gap shundaki :

Yoki rasmda:

Ushbu formulaning to'g'riligi aniq, chunki:

Vektor san'at asari

Endi men o'zaro faoliyat mahsulotini kiritishni boshlashim mumkin:

Ikki vektorning vektor mahsuloti vektor bo'lib, u quyidagi qoida bo'yicha hisoblanadi:

Keling, ko'ndalang mahsulotni hisoblashning ba'zi misollarini keltiramiz:

1-misol: Vektorlarning o‘zaro ko‘paytmasini toping:

Yechish: Determinant yasayman:

Va men buni hisoblayman:

Endi bazaviy vektorlar orqali yozishdan keyin men odatdagi vektor yozuviga qaytaman:

Shunday qilib:

Endi sinab ko'ring.

Tayyormisiz? Biz tekshiramiz:

Va an'anaviy ravishda ikkita nazorat qilish uchun vazifalar:

1. Quyidagi vektorlarning vektor mahsulotini toping:
2. Quyidagi vektorlarning vektor mahsulotini toping:

Javoblar:

Uch vektorning aralash mahsuloti

Menga kerak bo'lgan oxirgi qurilish uchta vektorning aralash mahsulotidir. Bu, xuddi skaler kabi, raqam. Uni hisoblashning ikki yo'li mavjud. - aniqlovchi orqali, - aralash hosila orqali.

Ya'ni, bizga uchta vektor berilsin:

Shu bilan belgilangan uchta vektorning aralash mahsulotini quyidagicha hisoblash mumkin:

1. - ya'ni aralash mahsulot vektorning skalyar ko'paytmasi va boshqa ikkita vektorning vektor ko'paytmasidir.

Masalan, uchta vektorning aralash mahsuloti:

Vektor mahsuloti yordamida uni o'zingiz hisoblashga harakat qiling va natijalar mos kelishiga ishonch hosil qiling!

Va yana mustaqil echimlar uchun ikkita misol:

Javoblar:

Koordinatalar tizimini tanlash

Xo'sh, endi biz murakkab stereometrik geometriya muammolarini hal qilish uchun barcha kerakli bilimlarga egamiz. Biroq, to'g'ridan-to'g'ri misollar va ularni hal qilish algoritmlariga o'tishdan oldin, men quyidagi savolga to'xtalib o'tish foydali bo'ladi deb o'ylayman: qanday qilib aniq ma'lum bir raqam uchun koordinatalar tizimini tanlang. Axir, bu tanlov nisbiy pozitsiya koordinata tizimlari va kosmosdagi shakllar oxir-oqibat hisob-kitoblar qanchalik og'ir bo'lishini aniqlaydi.

Eslatib o'tamiz, ushbu bo'limda biz quyidagi raqamlarni ko'rib chiqamiz:

1. To'rtburchak parallelepiped
2. To'g'ri prizma (uchburchak, olti burchakli ...)
3. Piramida (uchburchak, to'rtburchak)
4. Tetraedr (uchburchak piramida bilan bir xil)

To'rtburchaklar parallelepiped yoki kub uchun men sizga quyidagi qurilishni tavsiya qilaman:

Ya'ni, men raqamni "burchakda" joylashtiraman. Kub va parallelepiped juda yaxshi figuralar. Ular uchun siz har doim uning cho'qqilarining koordinatalarini osongina topishingiz mumkin. Masalan, agar (rasmda ko'rsatilganidek)

u holda cho'qqilarning koordinatalari quyidagicha bo'ladi:

Albatta, buni eslab qolishning hojati yo'q, lekin kub yoki to'rtburchak parallelepipedni qanday joylashtirishni eslab qolish tavsiya etiladi.

To'g'ri prizma

Prizma ko'proq zararli raqamdir. U kosmosda turli yo'llar bilan joylashtirilishi mumkin. Biroq, men uchun quyidagi variant eng maqbul ko'rinadi:

Uchburchak prizma:

Ya'ni, biz uchburchakning bir tomonini to'liq o'qga joylashtiramiz va cho'qqilardan biri koordinatalarning kelib chiqishiga to'g'ri keladi.

Olti burchakli prizma:

Ya'ni, cho'qqilardan biri koordinataga to'g'ri keladi va tomonlardan biri o'qda yotadi.

To'rtburchak va olti burchakli piramida:

Vaziyat kubga o'xshaydi: biz asosning ikki tomonini koordinata o'qlari bilan tekislaymiz va cho'qqilardan birini koordinatalarning kelib chiqishi bilan tekislaymiz. Faqatgina engil qiyinchilik nuqta koordinatalarini hisoblash bo'ladi.

Olti burchakli piramida uchun - olti burchakli prizma bilan bir xil. Asosiy vazifa yana tepaning koordinatalarini topish bo'ladi.

Tetraedr (uchburchak piramida)

Vaziyat men uchburchak prizma uchun bergan holatga juda o'xshaydi: bir uchi koordinata o'qiga to'g'ri keladi, bir tomoni koordinata o'qida yotadi.

Xo'sh, endi siz va men muammolarni hal qilishni boshlashga yaqinmiz. Maqolaning boshida aytganlarimdan siz quyidagi xulosaga kelishingiz mumkin: ko'pchilik C2 muammolari 2 toifaga bo'linadi: burchak muammolari va masofa masalalari. Birinchidan, burchakni topish muammolarini ko'rib chiqamiz. Ular o'z navbatida quyidagi toifalarga bo'linadi (murakkablik ortishi bilan):

Burchaklarni topish muammolari

1. Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topish
2. Ikki tekislik orasidagi burchakni topish

Keling, ushbu masalalarni ketma-ket ko'rib chiqaylik: ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topishdan boshlaylik. Xo'sh, esda tuting, siz va men qaror qildikmi? shunga o'xshash misollar avvalroq? Esingizdami, bizda allaqachon shunga o'xshash narsa bor edi ... Biz ikkita vektor orasidagi burchakni qidirdik. Sizga eslatib o'taman, agar ikkita vektor berilgan bo'lsa: va ular orasidagi burchak munosabatlardan topiladi:

Endi bizning maqsadimiz ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topishdir. Keling, "tekis rasm" ni ko'rib chiqaylik:

Ikki to‘g‘ri chiziq kesishganda nechta burchak oldik? Faqat bir nechta narsa. To'g'ri, ulardan faqat ikkitasi teng emas, boshqalari esa ularga vertikal (va shuning uchun ular bilan mos keladi). Xo'sh, qaysi burchakni ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni hisobga olishimiz kerak: yoki? Bu erda qoida: ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak har doim gradusdan oshmaydi. Ya'ni, ikkita burchakdan biz har doim eng kichik daraja o'lchovi bilan burchakni tanlaymiz. Ya'ni, bu rasmda ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak teng. Har safar ikkita burchakning eng kichigini topish bilan bezovtalanmaslik uchun ayyor matematiklar moduldan foydalanishni taklif qilishdi. Shunday qilib, ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Diqqatli o'quvchi sifatida sizda savol tug'ilishi kerak edi: burchakning kosinusini hisoblashimiz kerak bo'lgan bu raqamlarni qaerdan olamiz? Javob: biz ularni chiziqlarning yo'nalish vektorlaridan olamiz! Shunday qilib, ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topish algoritmi quyidagicha:

1. Biz 1-formulani qo'llaymiz.

Yoki batafsilroq:

1. Biz birinchi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini qidiramiz
2. Biz ikkinchi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini qidiramiz
3. Biz ularning skalyar mahsulotining modulini hisoblaymiz
4. Biz birinchi vektorning uzunligini qidiramiz
5. Biz ikkinchi vektorning uzunligini qidiramiz
6. 4-band natijalarini 5-band natijalariga ko'paytiring
7. 3-nuqta natijasini 6-nuqta natijasiga ajratamiz. Chiziqlar orasidagi burchakning kosinusini olamiz.
8. Agar bu natija burchakni aniq hisoblash, uni izlash imkonini beradi
9. Aks holda biz yoy kosinusu orqali yozamiz

Xo'sh, endi muammolarga o'tish vaqti keldi: birinchi ikkitasining yechimini batafsil ko'rsataman, boshqasiga qisqacha yechimni taqdim etaman, oxirgi ikki masalaga esa faqat javoblarni beraman; ular uchun barcha hisob-kitoblarni o'zingiz bajarishingiz kerak.

Vazifalar:

1. O'ng tet-ra-ed-reda tet-ra-ed-ra balandligi va o'rta tomoni orasidagi burchakni toping.

2. O'ng tarafdagi olti burchakli pi-ra-mi-de yuzta os-no-va-niya teng, yon qirralari teng, chiziqlar orasidagi burchakni toping va.

3. O'ng to'rtta ko'mir pi-ra-mi-dy barcha qirralarning uzunliklari bir-biriga teng. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping va agar kesmadan - siz berilgan pi-ra-mi-dy bilan bo'lsangiz, nuqta uning bo-co- ikkinchi qovurg'alarida se-re-di-dir.

4. Kubning chetida shunday nuqta borki, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping va

5. Nuqta - kubning chetlarida To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping va.

Vazifalarni shu tartibda tartiblaganim bejiz emas. Siz hali koordinata usulida harakat qilishni boshlamagan bo'lsangiz ham, men eng "muammoli" raqamlarni o'zim tahlil qilaman va sizni eng oddiy kub bilan shug'ullanish uchun qoldiraman! Asta-sekin siz barcha raqamlar bilan ishlashni o'rganishingiz kerak bo'ladi; Men mavzudan mavzuga vazifalarning murakkabligini oshiraman.

Keling, muammolarni hal qilishni boshlaylik:

1. Tetraedrni chizing, uni ilgari taklif qilganimdek koordinatalar tizimiga joylashtiring. Tetraedr muntazam bo'lgani uchun uning barcha yuzlari (shu jumladan asos) muntazam uchburchaklardir. Bizga tomonning uzunligi berilmaganligi sababli, men uni teng deb qabul qila olaman. O'ylaymanki, burchak bizning tetraedrimizning qanchalik "cho'zilganiga" bog'liq emasligini tushunasizmi? Tetraedrda balandlik va medianani ham chizaman. Yo'lda men uning asosini chizaman (bu biz uchun ham foydali bo'ladi).

va orasidagi burchakni topishim kerak. Biz nimani bilamiz? Biz faqat nuqtaning koordinatasini bilamiz. Bu nuqtalarning koordinatalarini topishimiz kerakligini anglatadi. Endi biz o'ylaymiz: nuqta - bu uchburchakning balandliklari (yoki bissektrisalari yoki medianlari) kesishish nuqtasi. Va nuqta - bu ko'tarilgan nuqta. Nuqta segmentning o'rtasidir. Keyin nihoyat topishimiz kerak: nuqtalarning koordinatalarini: .

Eng oddiy narsadan boshlaylik: nuqta koordinatalari. Rasmga qarang: nuqtaning ilovasi nolga teng ekanligi aniq (nuqta tekislikda yotadi). Uning ordinatasi teng (chunki u mediana). Uning abscissasini topish qiyinroq. Biroq, bu Pifagor teoremasi asosida osonlik bilan amalga oshiriladi: uchburchakni ko'rib chiqing. Uning gipotenuzasi teng va oyoqlaridan biri teng bo'lsa:

Nihoyat bizda: .

Endi nuqtaning koordinatalarini topamiz. Ko'rinib turibdiki, uning ilovasi yana nolga teng, ordinatasi esa nuqta bilan bir xil, ya'ni. Keling, uning absissasini topamiz. Agar buni eslasangiz, bu juda ahamiyatsiz tarzda amalga oshiriladi balandliklar teng tomonli uchburchak kesishish nuqtasi mutanosib ravishda bo'linadi, yuqoridan hisoblash. Chunki: , u holda kesma uzunligiga teng nuqtaning kerakli absissasi: ga teng. Shunday qilib, nuqtaning koordinatalari:

Nuqtaning koordinatalarini topamiz. Ko'rinib turibdiki, uning abscissa va ordinatasi nuqtaning abscissa va ordinatasiga to'g'ri keladi. Va ariza segmentning uzunligiga teng. - bu uchburchakning oyoqlaridan biri. Uchburchakning gipotenuzasi segment - oyoqdir. Men qalin harf bilan ta'kidlagan sabablarga ko'ra qidirilmoqda:

Nuqta segmentning o'rtasidir. Keyin segmentning o'rta nuqtasining koordinatalari formulasini eslab qolishimiz kerak:

Mana, endi biz yo'nalish vektorlarining koordinatalarini izlashimiz mumkin:

Xo'sh, hamma narsa tayyor: biz barcha ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:

Shunday qilib,

Javob:

Bunday "qo'rqinchli" javoblardan qo'rqmaslik kerak: C2 vazifalari uchun bu odatiy amaliyotdir. Men bu qismdagi "chiroyli" javobdan hayratda qolgan bo'lardim. Bundan tashqari, siz sezganingizdek, men amalda Pifagor teoremasi va teng qirrali uchburchakning balandliklar xususiyatidan boshqa hech narsaga murojaat qilmadim. Ya'ni, stereometrik muammoni hal qilish uchun men eng minimal stereometriyadan foydalandim. Bu boradagi daromad ancha mashaqqatli hisob-kitoblar bilan qisman "o'chiriladi". Ammo ular juda algoritmik!

2. Muntazam olti burchakli piramidani koordinatalar tizimi bilan bir qatorda uning asosini ham tasvirlaylik:

Biz va chiziqlar orasidagi burchakni topishimiz kerak. Shunday qilib, bizning vazifamiz nuqtalarning koordinatalarini topishga to'g'ri keladi: . Oxirgi uchtasining koordinatalarini kichik chizma yordamida topamiz va nuqta koordinatasi orqali tepaning koordinatasini topamiz. Ko'p ish qilish kerak, lekin biz boshlashimiz kerak!

a) Koordinata: uning ilovasi va ordinatasi nolga teng ekanligi aniq. Keling, abtsissani topamiz. Buning uchun to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing. Afsuski, unda biz faqat teng bo'lgan gipotenuzani bilamiz. Biz oyoqni topishga harakat qilamiz (chunki oyoqning ikki barobar uzunligi bizga nuqtaning abscissasini berishi aniq). Uni qanday izlashimiz mumkin? Keling, piramidaning tagida qanday shakl borligini eslaylik? Bu oddiy olti burchakli. Bu nima degani? Bu barcha tomonlar va barcha burchaklar teng ekanligini anglatadi. Biz shunday burchaklardan birini topishimiz kerak. Har qanday fikr bormi? Ko'p fikrlar bor, lekin formula bor:

Muntazam n-burchak burchaklarining yig'indisi .

Shunday qilib, muntazam olti burchakli burchaklar yig'indisi darajaga teng. Keyin burchaklarning har biri teng bo'ladi:

Keling, rasmga yana qaraylik. Segment burchakning bissektrisasi ekanligi aniq. Keyin burchak gradusga teng bo'ladi. Keyin:

Keyin qayerdan.

Shunday qilib, u koordinatalarga ega

b) Endi nuqtaning koordinatasini bemalol topamiz: .

v) nuqtaning koordinatalarini toping. Uning abscissasi segment uzunligiga to'g'ri kelganligi sababli, u tengdir. Ordinatani topish ham unchalik qiyin emas: agar nuqtalarni bir-biriga bog'lab, to'g'ri chiziqning kesishish nuqtasini, aytaylik, deb belgilasak. (oddiy qurilishni o'zingiz bajaring). Shunday qilib, B nuqtaning ordinatasi segmentlar uzunliklarining yig'indisiga teng. Keling, yana uchburchakni ko'rib chiqaylik. Keyin

O'shandan beri nuqta koordinatalariga ega

d) Endi nuqtaning koordinatalarini topamiz. To'rtburchakni ko'rib chiqing va nuqta koordinatalari quyidagicha ekanligini isbotlang:

e) Tepaning koordinatalarini topish qoladi. Ko'rinib turibdiki, uning abscissa va ordinatasi nuqtaning abscissa va ordinatasiga to'g'ri keladi. Keling, ilovani topamiz. O'shandan beri. To'g'ri uchburchakni ko'rib chiqing. Muammoning shartlariga ko'ra, yon chekka. Bu mening uchburchakning gipotenuzasi. Keyin piramidaning balandligi oyoqdir.

Keyin nuqta koordinatalariga ega:

Xo'sh, tamom, menda meni qiziqtirgan barcha nuqtalarning koordinatalari bor. Men to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarining koordinatalarini qidiryapman:

Ushbu vektorlar orasidagi burchakni qidiramiz:

Javob:

Shunga qaramay, bu muammoni hal qilishda men muntazam n-burchak burchaklarining yig'indisi formulasidan, shuningdek, to'g'ri burchakli uchburchakning kosinus va sinusini aniqlashdan boshqa hech qanday murakkab usullardan foydalanmadim.

3. Bizga yana piramidada qirralarning uzunliklari berilmagani uchun, men ularni sanayman. birga teng. Shunday qilib, nafaqat yon tomonlari emas, balki HAMMA qirralari bir-biriga teng bo'lganligi sababli, piramida va men poydevorida kvadrat bor va yon yuzlari muntazam uchburchaklardir. Keling, masalaning matnida keltirilgan barcha ma'lumotlarni hisobga olib, bunday piramidani, shuningdek uning asosini tekislikda chizamiz:

Biz va orasidagi burchakni qidiramiz. Nuqtalarning koordinatalarini qidirganimda juda qisqa hisob-kitoblarni amalga oshiraman. Siz ularni "deshifrlashingiz" kerak bo'ladi:

b) - segmentning o'rtasi. Uning koordinatalari:

c) uchburchakda Pifagor teoremasidan foydalanib segment uzunligini topaman. Men buni uchburchakda Pifagor teoremasi yordamida topa olaman.

Koordinatalar:

d) - segmentning o'rtasi. Uning koordinatalari

e) Vektor koordinatalari

f) Vektor koordinatalari

g) burchakni izlash:

Kub eng oddiy figuradir. Ishonchim komilki, siz buni o'zingiz hal qilasiz. 4 va 5-masalalarning javoblari quyidagicha:

To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni topish

Xo'sh, oddiy jumboqlarning vaqti tugadi! Endi misollar yanada murakkabroq bo'ladi. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni topish uchun biz quyidagicha harakat qilamiz:

1. Uch nuqtadan foydalanib, biz tekislikning tenglamasini tuzamiz
   ,
   uchinchi tartibli determinant yordamida.
2. Ikki nuqtadan foydalanib, biz to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalarini qidiramiz:
3. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni hisoblash uchun formuladan foydalanamiz:

Ko'rib turganingizdek, bu formula biz ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchaklarni topish uchun ishlatgan formulaga juda o'xshaydi. O'ng tomondagi struktura oddiygina bir xil, chap tomonda esa biz avvalgidek kosinusni emas, balki sinusni qidiramiz. Xo'sh, bitta jirkanch harakat qo'shildi - samolyot tenglamasini qidirish.

Kechiktirmaylik Yechim misollari:

1. Asosiy-lekin-va-ni-em to'g'ridan-to'g'ri prizma-biz teng-kambag'al uchburchakmiz. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping

2. G‘arbdan to‘g‘ri burchakli par-ral-le-le-pi-pe-de to‘g‘ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping.

3. To'g'ri olti burchakli prizmada barcha qirralar teng. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping.

4. To'g'ri uchburchakda pi-ra-mi-de os-no-va-ni-em bilan ma'lum qovurg'alar Burchakni toping, ob-ra-zo-van - tekis asosda va tekis, kulrangdan o'tuvchi. qovurg'alar va

5. Cho'qqisi bo'lgan to'g'ri to'rtburchak pi-ra-mi-dyning barcha qirralarining uzunliklari bir-biriga teng. Agar nuqta pi-ra-mi-dy chetida bo'lsa, to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping.

Yana birinchi ikkita masalani batafsil, uchinchisini qisqacha hal qilaman va oxirgi ikkitasini o'zingiz hal qilishingiz uchun qoldiraman. Bundan tashqari, siz allaqachon uchburchak va to'rtburchak piramidalar bilan shug'ullanishingiz kerak edi, lekin hali prizmalar bilan emas.

Yechimlar:

1. Prizmani, shuningdek, uning asosini tasvirlaylik. Keling, uni koordinatalar tizimi bilan birlashtiramiz va muammo bayonida berilgan barcha ma'lumotlarni qayd qilamiz:

Men mutanosibliklarga rioya qilmaslik uchun uzr so'rayman, lekin muammoni hal qilish uchun bu, aslida, unchalik muhim emas. Samolyot mening prizmaning "orqa devori" dir. Bunday tekislikning tenglamasi quyidagi shaklga ega ekanligini taxmin qilish kifoya:

Biroq, bu to'g'ridan-to'g'ri ko'rsatilishi mumkin:

Keling, ushbu tekislikdagi ixtiyoriy uchta nuqtani tanlaymiz: masalan, .

Tekislik tenglamasini tuzamiz:

Siz uchun mashq: bu determinantni o'zingiz hisoblang. Muvaffaqiyatga erishdingizmi? Keyin tekislikning tenglamasi quyidagicha ko'rinadi:

Yoki oddiygina

Shunday qilib,

Misolni hal qilish uchun men to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini topishim kerak. Nuqta koordinatalarning kelib chiqishiga to'g'ri kelganligi uchun vektorning koordinatalari nuqta koordinatalari bilan oddiygina mos tushadi.Buning uchun avvalo nuqtaning koordinatalarini topamiz.

Buning uchun uchburchakni ko'rib chiqing. Tepadan balandlikni (mediana va bissektrisa deb ham ataladi) chizamiz. Chunki nuqtaning ordinatasi ga teng. Ushbu nuqtaning abssissasini topish uchun biz segmentning uzunligini hisoblashimiz kerak. Pifagor teoremasiga ko'ra bizda:

Keyin nuqta koordinatalariga ega:

Nuqta - bu "ko'tarilgan" nuqta:

Keyin vektor koordinatalari:

Javob:

Ko'rib turganingizdek, bunday muammolarni hal qilishda tubdan qiyin narsa yo'q. Aslida, jarayon prizma kabi raqamning "to'g'riligi" bilan biroz soddalashtirilgan. Endi keyingi misolga o'tamiz:

2. Parallelepipedni chizing, unga tekislik va to'g'ri chiziq chizing, shuningdek, uning pastki asosini alohida chizing:

Birinchidan, biz tekislikning tenglamasini topamiz: undagi uchta nuqtaning koordinatalari:

(birinchi ikkita koordinata aniq tarzda olinadi va siz nuqtadan rasmdan oxirgi koordinatani osongina topishingiz mumkin). Keyin tekislikning tenglamasini tuzamiz:

Biz hisoblaymiz:

Biz yo'naltiruvchi vektorning koordinatalarini qidirmoqdamiz: uning koordinatalari nuqta koordinatalari bilan mos kelishi aniq, shunday emasmi? Koordinatalarni qanday topish mumkin? Bular ilova o'qi bo'ylab bittaga ko'tarilgan nuqtaning koordinatalari! . Keyin kerakli burchakni qidiramiz:

Javob:

3. Muntazam olti burchakli piramida chizing, so‘ngra unga tekislik va to‘g‘ri chiziq chizing.

Bu erda samolyotni chizish ham muammoli, bu muammoni hal qilish haqida gapirmasa ham bo'ladi, lekin koordinata usuli ahamiyat bermaydi! Uning ko'p qirraliligi uning asosiy ustunligidir!

Samolyot uchta nuqtadan o'tadi: . Biz ularning koordinatalarini qidiramiz:

1) . Oxirgi ikki nuqtaning koordinatalarini o'zingiz toping. Buning uchun olti burchakli piramida muammosini hal qilishingiz kerak bo'ladi!

2) Tekislik tenglamasini tuzamiz:

Biz vektorning koordinatalarini qidiramiz: . (Yana uchburchak piramida muammosiga qarang!)

3) Burchakni izlash:

Javob:

Ko'rib turganingizdek, bu vazifalarda g'ayritabiiy qiyin narsa yo'q. Siz faqat ildizlar bilan juda ehtiyot bo'lishingiz kerak. Men faqat oxirgi ikkita muammoga javob beraman:

Ko'rib turganingizdek, muammolarni echish texnikasi hamma joyda bir xil: asosiy vazifa - cho'qqilarning koordinatalarini topish va ularni ma'lum formulalarga almashtirish. Biz hali ham burchaklarni hisoblash uchun muammolarning yana bir sinfini ko'rib chiqishimiz kerak, xususan:

Ikki tekislik orasidagi burchaklarni hisoblash

Yechim algoritmi quyidagicha bo'ladi:

1. Uch nuqtadan foydalanib, birinchi tekislikning tenglamasini qidiramiz:
2. Qolgan uchta nuqtadan foydalanib, biz ikkinchi tekislikning tenglamasini qidiramiz:
3. Biz formulani qo'llaymiz:

Ko'rib turganingizdek, formula oldingi ikkitasiga juda o'xshaydi, ular yordamida biz to'g'ri chiziqlar orasidagi va to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchaklarni qidirdik. Shuning uchun buni eslab qolish siz uchun qiyin bo'lmaydi. Keling, vazifalarni tahlil qilishga o'tamiz:

1. To‘g‘ri burchakli uchburchak prizma asosining tomoni teng, yon yuzining dia-gonali teng. Prizma o'qi tekisligi bilan tekislik orasidagi burchakni toping.

2. O'ng to'rt burchakli pi-ra-mi-de, barcha qirralari teng, per-pen-di-ku- nuqtadan o'tuvchi tekislik va tekislik suyagi orasidagi burchakning sinusini toping. lyar - lekin to'g'ri.

3. Muntazam to‘rt burchakli prizmada asosning tomonlari teng, yon qirralari esa teng. dan-me-che-on chekkasida bir nuqta bor, shuning uchun. va tekisliklari orasidagi burchakni toping

4. To'g'ri to'rtburchak prizmada asosning tomonlari teng, yon qirralari esa teng. Nuqtadan chetida shunday nuqta borki, tekisliklar orasidagi burchakni toping va.

5. Kubda va tekisliklar orasidagi burchakning ko-si-nusini toping

Muammoni hal qilish usullari:

1. Men to'g'risini chizaman (poyda teng qirrali uchburchak mavjud) uchburchak prizma va unda muammo bayonida paydo bo'ladigan tekisliklarni belgilang:

Biz ikkita tekislikning tenglamalarini topishimiz kerak: Baza tenglamasi ahamiyatsiz: siz uchta nuqtadan foydalanib, mos keladigan determinantni tuzishingiz mumkin, lekin men darhol tenglama tuzaman:

Endi tenglamani topamiz Nuqta koordinatalariga ega Nuqta - Uchburchakning medianasi va balandligi bo'lgani uchun uni uchburchakdagi Pifagor teoremasi yordamida osongina topish mumkin. U holda nuqta koordinatalariga ega bo'ladi: Nuqtaning ilovasini topamiz.Buning uchun to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqamiz.

Keyin quyidagi koordinatalarni olamiz: Tekislik tenglamasini tuzamiz.

Biz tekisliklar orasidagi burchakni hisoblaymiz:

Javob:

2. Chizma yasash:

Eng qiyin narsa, bu nuqtadan perpendikulyar ravishda o'tadigan qanday sirli tekislik ekanligini tushunishdir. Xo'sh, asosiysi, bu nima? Asosiysi, diqqat! Aslida, chiziq perpendikulyar. To'g'ri chiziq ham perpendikulyar. Keyin bu ikki chiziqdan o'tuvchi tekislik chiziqqa perpendikulyar bo'ladi va, aytmoqchi, nuqtadan o'tadi. Bu tekislik ham piramidaning tepasidan o'tadi. Keyin kerakli samolyot - Va samolyot allaqachon bizga berilgan. Biz nuqtalarning koordinatalarini qidiramiz.

Nuqta orqali nuqtaning koordinatasini topamiz. Kichkina rasmdan nuqtaning koordinatalari quyidagicha bo'lishini osonlik bilan xulosa qilish mumkin: Piramida tepasining koordinatalarini topish uchun endi nima qilish kerak? Bundan tashqari, uning balandligini hisoblashingiz kerak. Bu xuddi shu Pifagor teoremasi yordamida amalga oshiriladi: avval buni isbotlang (poydevorda kvadrat hosil qiluvchi kichik uchburchaklardan). Shartga ko'ra, bizda:

Endi hamma narsa tayyor: vertex koordinatalari:

Biz tekislikning tenglamasini tuzamiz:

Siz allaqachon determinantlarni hisoblash bo'yicha mutaxassissiz. Siz qiyinchiliksiz olasiz:

Yoki boshqacha (agar ikkala tomonni ikkitaning ildiziga ko'paytirsak)

Endi tekislikning tenglamasini topamiz:

(Samolyot tenglamasini qanday olishimizni unutmagansiz, to'g'rimi? Agar bu minus qaerdan kelganini tushunmasangiz, unda tekislik tenglamasining ta'rifiga qayting! Bu har doim undan oldin bo'lgan. mening samolyotim koordinatalarning kelib chiqishiga tegishli edi!)

Determinantni hisoblaymiz:

(Samolyot tenglamasi nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasiga toʻgʻri kelishini sezishingiz mumkin va nima uchun oʻylab koʻring!)

Endi burchakni hisoblaymiz:

Biz sinusni topishimiz kerak:

Javob:

3. Qiziqarli savol: to'rtburchak prizma nima deb o'ylaysiz? Bu shunchaki siz yaxshi biladigan parallelepiped! Keling, darhol rasm chizamiz! Bazani alohida tasvirlashning hojati yo'q, bu erda unchalik foydali emas:

Samolyot, yuqorida aytib o'tganimizdek, tenglama shaklida yozilgan:

Endi samolyot yarataylik

Biz darhol tekislikning tenglamasini yaratamiz:

Burchak qidirmoqda:

Endi oxirgi ikkita muammoga javoblar:

Xo'sh, endi biroz tanaffus qilish vaqti keldi, chunki siz va men ajoyibmiz va ajoyib ish qildik!

Koordinatalar va vektorlar. Yuqori daraja

Ushbu maqolada biz siz bilan koordinata usuli yordamida echilishi mumkin bo'lgan muammolarning yana bir sinfini muhokama qilamiz: masofani hisoblash masalalari. Ya'ni, biz quyidagi holatlarni ko'rib chiqamiz:

1. Kesishuvchi chiziqlar orasidagi masofani hisoblash.

Men bu topshiriqlarni ortib borayotgan qiyinchilik tartibida buyurdim. Buni topish eng oson bo'lib chiqdi nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa, va eng qiyin narsa topishdir kesishgan chiziqlar orasidagi masofa. Garchi, albatta, imkonsiz narsa yo'q! Keling, kechiktirmaylik va darhol muammolarning birinchi sinfini ko'rib chiqishga kirishamiz:

Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash

Bu muammoni hal qilish uchun bizga nima kerak?

1. Nuqta koordinatalari

Shunday qilib, barcha kerakli ma'lumotlarni olishimiz bilan biz formulani qo'llaymiz:

Oxirgi qismda muhokama qilgan oldingi muammolardan tekislik tenglamasini qanday qurishimizni allaqachon bilishingiz kerak. Keling, to'g'ridan-to'g'ri vazifalarga o'tamiz. Sxema quyidagicha: 1, 2 - men sizga qaror qabul qilishda yordam beraman va ba'zi tafsilotlarda 3, 4 - faqat javob, siz o'zingiz yechimni amalga oshirasiz va taqqoslaysiz. Boshlaymiz!

Vazifalar:

1. Kub berilgan. Kubning chetining uzunligi teng. Se-re-di-nadan kesmadan tekislikgacha bo'lgan masofani toping

2. To'g'ri to'rtta ko'mir pi-ra-mi-ha berilgan, yon tomonning tomoni asosga teng. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani toping, bu erda - qirralarning se-re-di-on.

3. Os-no-va-ni-em bilan to'g'ri uchburchak pi-ra-mi-de, yon qirrasi teng, yuz-ro-on os-no-vaniya teng. Yuqoridan tekislikgacha bo'lgan masofani toping.

4. To'g'ri olti burchakli prizmada barcha qirralar teng. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani toping.

Yechimlar:

1. Yagona qirrali kub chizing, segment va tekislikni tuzing, segmentning o'rtasini harf bilan belgilang

.

Birinchidan, eng osonidan boshlaylik: nuqtaning koordinatalarini toping. O'shandan beri (segmentning o'rtasi koordinatalarini eslang!)

Endi biz uch nuqtadan foydalanib, tekislik tenglamasini tuzamiz

\[\chap| (\begin(massiv)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(massiv)) \o'ng| = 0\]

Endi masofani topishni boshlashim mumkin:

2. Biz barcha ma'lumotlarni belgilab qo'ygan chizma bilan yana boshlaymiz!

Piramida uchun uning asosini alohida chizish foydali bo'ladi.

Tovuqdek panjasi bilan chizganim ham bu muammoni osonlikcha hal qilishimizga xalaqit bermaydi!

Endi nuqtaning koordinatalarini topish oson

Nuqtaning koordinatalari beri, keyin

2. a nuqtaning koordinatalari segmentning o'rtasi bo'lgani uchun, u holda

Hech qanday muammosiz tekislikdagi yana ikkita nuqtaning koordinatalarini topishimiz mumkin.Teklik uchun tenglama tuzamiz va uni soddalashtiramiz:

\[\chap| (\left| (\begin(massiv)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(massiv)) \right|) \right| = 0\]

Nuqta koordinatalariga ega bo'lgani uchun: masofani hisoblaymiz:

Javob (juda kamdan-kam!):

Xo'sh, tushundingizmi? Menimcha, bu erda hamma narsa avvalgi qismda ko'rib chiqqan misollardagi kabi texnikdir. Shuning uchun ishonchim komilki, agar siz ushbu materialni o'zlashtirgan bo'lsangiz, qolgan ikkita muammoni hal qilish siz uchun qiyin bo'lmaydi. Men sizga faqat javoblarni beraman:

To'g'ri chiziqdan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash

Aslida, bu erda hech qanday yangilik yo'q. To'g'ri chiziq va tekislikni bir-biriga nisbatan qanday joylashtirish mumkin? Ularning faqat bitta imkoniyati bor: kesishish yoki tekis chiziq tekislikka parallel. Sizningcha, to'g'ri chiziqdan bu to'g'ri chiziq kesishgan tekislikgacha bo'lgan masofa qancha? Menimcha, bu erda bunday masofa nolga teng ekanligi aniq. Qiziqarli holat emas.

Ikkinchi holat qiyinroq: bu erda masofa allaqachon nolga teng. Biroq, chiziq tekislikka parallel bo'lganligi sababli, chiziqning har bir nuqtasi ushbu tekislikdan teng masofada joylashgan:

Shunday qilib:

Bu mening vazifam avvalgisiga qisqartirilganligini anglatadi: biz to'g'ri chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatalarini qidiramiz, tekislik tenglamasini qidiramiz va nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblaymiz. Aslida, Yagona davlat imtihonida bunday vazifalar juda kam uchraydi. Men faqat bitta muammoni topishga muvaffaq bo'ldim va undagi ma'lumotlar shunday ediki, koordinata usuli unga unchalik mos kelmadi!

Endi muammolarning boshqa, ancha muhim sinfiga o'tamiz:

Nuqtadan chiziqqa masofani hisoblash

Bizga nima kerak?

1. Biz masofani izlayotgan nuqtaning koordinatalari:

2. Chiziqda yotgan har qanday nuqtaning koordinatalari

3. To'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalari

Biz qanday formuladan foydalanamiz?

Bu kasrning maxraji nimani anglatishi siz uchun tushunarli bo'lishi kerak: bu to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining uzunligi. Bu juda qiyin hisoblagich! Ifoda vektorlarning vektor mahsulotining moduli (uzunligi) degan ma'noni anglatadi va vektor mahsulotini qanday hisoblash mumkin, biz ishning oldingi qismida o'rganib chiqdik. Bilimingizni yangilang, bizga hozir juda kerak bo'ladi!

Shunday qilib, muammolarni hal qilish algoritmi quyidagicha bo'ladi:

1. Biz masofani izlayotgan nuqtaning koordinatalarini qidiramiz:

2. Biz masofani izlayotgan chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatalarini qidiramiz:

3. Vektorni tuzing

4. To'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorini tuzing

5. Vektor mahsulotini hisoblang

6. Olingan vektorning uzunligini qidiramiz:

7. Masofani hisoblang:

Bizda juda ko'p ish bor va misollar juda murakkab bo'ladi! Shunday qilib, endi barcha e'tiboringizni qarating!

1. Tepasi bo'lgan to'g'ri uchburchak pi-ra-mi-da berilgan. Pi-ra-mi-dy asosidagi yuz-ro- teng, siz tengsiz. Kulrang chetdan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani toping, bu erda nuqtalar kulrang qirralar va veterinariyadan.

2. Qovurg'a uzunliklari va to'g'ri burchakli-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da mos ravishda teng va Tepadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani toping.

3. To‘g‘ri olti burchakli prizmada barcha qirralar teng, nuqtadan to‘g‘ri chiziqgacha bo‘lgan masofani toping.

Yechimlar:

1. Biz barcha ma'lumotlarni belgilagan chiroyli chizmani yaratamiz:

Bizda qiladigan ish ko'p! Birinchidan, men nimani qidirayotganimizni va qanday tartibda so'z bilan tasvirlab bermoqchiman:

1. Nuqtalarning koordinatalari va

2. Nuqta koordinatalari

3. Nuqtalarning koordinatalari va

4. Vektorlarning koordinatalari va

5. Ularning ko‘paytmasi

6. Vektor uzunligi

7. Vektor mahsulotining uzunligi

8. dan gacha bo'lgan masofa

Axir, bizni juda ko'p ishlar kutmoqda! Keling, yeng shimarib, bunga erishaylik!

1. Piramida balandligining koordinatalarini topish uchun nuqtaning koordinatalarini bilishimiz kerak.Uning ilovasi nolga teng, ordinatasi esa abssissasi kesma uzunligiga teng.Chunki balandligi teng qirrali uchburchak, u cho'qqidan sanab, bu erdan nisbatga bo'linadi. Nihoyat, biz koordinatalarni oldik:

Nuqta koordinatalari

2. - segmentning o'rtasi

3. - segmentning o'rtasi

Segmentning o'rta nuqtasi

4. Koordinatalar

Vektor koordinatalari

5. Vektor mahsulotini hisoblang:

6. Vektor uzunligi: almashtirishning eng oson usuli - bu segment uchburchakning o'rta chizig'i bo'lib, u asosning yarmiga teng degan ma'noni anglatadi. Shunday qilib.

7. Vektor mahsulotining uzunligini hisoblang:

8. Nihoyat, biz masofani topamiz:

Uf, shunaqa! Sizga rostini aytaman: bu muammoning echimi an'anaviy usullar(qurilish orqali), bu juda tez bo'lar edi. Lekin bu erda men hamma narsani tayyor algoritmga qisqartirdim! Menimcha, yechim algoritmi siz uchun tushunarlimi? Shuning uchun qolgan ikkita muammoni o'zingiz hal qilishingizni so'rayman. Javoblarni solishtiraylikmi?

Yana takror aytaman: bu muammolarni konstruksiyalar orqali hal qilish osonroq (tezroq). koordinata usuli. Men ushbu yechim usulini faqat sizga "hech narsa qurishni tugatmaslik" imkonini beradigan universal usulni ko'rsatish uchun ko'rsatdim.

Va nihoyat, muammolarning oxirgi sinfini ko'rib chiqing:

Kesishuvchi chiziqlar orasidagi masofani hisoblash

Bu erda muammolarni hal qilish algoritmi avvalgisiga o'xshash bo'ladi. Bizda nima bor:

3. Birinchi va ikkinchi chiziq nuqtalarini tutashtiruvchi har qanday vektor:

Chiziqlar orasidagi masofani qanday topamiz?

Formula quyidagicha:

Numerator moduldir aralash mahsulot(biz uni oldingi qismda kiritgan edik) va maxraj oldingi formuladagi kabi (to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarining vektor mahsulotining moduli, biz izlayotgan masofa).

Men buni sizga eslataman

Keyin masofa uchun formulani quyidagicha qayta yozish mumkin:

Bu determinantga bo'lingan determinant! Rostini aytsam, bu yerda hazilga vaqtim yo'q! Bu formula, aslida, juda og'ir va juda olib keladi murakkab hisob-kitoblar. Agar men sizning o'rningizda bo'lsam, men bunga faqat oxirgi chora sifatida murojaat qilgan bo'lardim!

Keling, yuqoridagi usul yordamida bir nechta muammolarni hal qilishga harakat qilaylik:

1. Barcha qirralari teng bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchak prizmada va to‘g‘ri chiziqlar orasidagi masofani toping.

2. To'g'ri uchburchak prizma berilgan bo'lsa, asosning barcha qirralari tana qovurg'asidan o'tadigan kesimga teng va se-re-di-quduq qovurg'alari kvadratdir. va to'g'ri chiziqlar orasidagi masofani toping

Men birinchisini hal qilaman, shunga asoslanib, ikkinchisini siz hal qilasiz!

1. Prizma chizaman va to'g'ri chiziqlarni belgilayman va

C nuqtaning koordinatalari: keyin

Nuqta koordinatalari

Vektor koordinatalari

Nuqta koordinatalari

Vektor koordinatalari

Vektor koordinatalari

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \o'ng) = \left| (\begin(massiv)(*(20)(l))(\begin(massiv)(*(20)(c))0&1&0\end(massiv))\\(\begin(massiv)(*(20) (c))0&0&1\end(massiv))\\(\begin(massiv)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(massiv))\end(massiv)) \o'ng| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

vektorlar orasidagi vektor mahsulotini hisoblaymiz

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \chap| \begin(massiv)(l)\begin(massiv)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(massiv)\\\begin(massiv) )(*(20)(c))0&0&1\end(massiv)\\\begin(massiv)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(massiv)\end(massiv) \o'ng| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Endi biz uning uzunligini hisoblaymiz:

Javob:

Endi ikkinchi vazifani diqqat bilan bajarishga harakat qiling. Bunga javob quyidagicha bo'ladi: .

Koordinatalar va vektorlar. Qisqacha tavsif va asosiy formulalar

Vektor yo'naltirilgan segmentdir. - vektorning boshi, - vektorning oxiri.
Vektor yoki bilan belgilanadi.

Mutlaq qiymat vektor - vektorni ifodalovchi segment uzunligi. Sifatida belgilanadi.

Vektor koordinatalari:

,
\displaystyle a vektorining uchlari qayerda.

Vektorlar yig'indisi: .

Vektorlar mahsuloti:

Vektorlarning nuqta mahsuloti:

Vektorlarning skalyar mahsuloti ularning mahsulotiga teng mutlaq qiymatlar ular orasidagi burchakning kosinusiga qarab:

YouClever talabasi bo'ling,

Yagona davlat imtihoniga yoki matematikadan yagona davlat imtihoniga tayyorlaning,

Shuningdek, YouClever darsligiga cheklovlarsiz kiring...

To'g'ri to'rtburchak koordinatalar tizimini ko'rsatish usullari

Ma'lumki, tekislikdagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimini uchta usulda ko'rsatish mumkin: 1-usul tizim markazining joylashishini aniqlaydi - ya'ni O, OX o'qini chizadi va uning ijobiy yo'nalishini ko'rsatadi, OY o'qini perpendikulyar chizadi. OX o'qiga, tizim turiga muvofiq (o'ng yoki chap) OY o'qining ijobiy yo'nalishi ko'rsatiladi, o'qlar bo'ylab koordinatalar shkalasi o'rnatiladi.

Agar koordinata o'qlari mavjud bo'lsa, har qanday C nuqtaning koordinatalarini aniqlash uchun siz avval ushbu nuqtadan koordinata o'qlariga perpendikulyarlarni tushirishingiz kerak va keyin bu perpendikulyarlarning uzunligini o'lchashingiz kerak; OX o'qiga perpendikulyar uzunligi Y koordinatasiga, OY o'qiga perpendikulyar uzunligi nuqtaning X koordinatasiga teng (1-rasm).

XOY tizimidan tashqari koordinatalar boshini O" nuqtaga ko'chirish (Xo"=dx, Yo"=dy) va koordinatani aylantirish orqali XOY tizimidan olinadigan X"O"Y tizimidan ham foydalanish mumkin. o'qlar burchak bo'yicha soat yo'nalishi bo'yicha b.

XOY dan X"O"Y" ga o'tish quyidagi formulalar yordamida amalga oshiriladi:

Teskari o'tish uchun quyidagi formulalar qo'llaniladi:

• 2-usul: parallel chiziqlarning ikkita o'zaro perpendikulyar sistemasi chiziladi; chiziqlar orasidagi masofalar bir xil, bu chiziqlar koordinata o'qlariga parallel deb hisoblanadi va har bir chiziq mos keladigan koordinataning qiymati bilan belgilanadi (koordinatalar panjarasi olinadi).
• 3-usul ikkita sobit nuqtaning koordinatalarining raqamli qiymatlarini ko'rsatadi.

Birinchi usul odatda qabul qilinadi; geodeziyada bu usul to'rtburchak Gauss koordinatalarining zonal tizimini belgilaydi.

Yoniq topografik xaritalar va rejalar, Gauss to'rtburchaklar koordinatalar tizimi ikkinchi usulda ko'rsatilgan.

Erda to'rtburchaklar koordinatalar tizimi uchinchi usulda aniqlanadi; Siz har doim ma'lum koordinatali bir nechta geodezik nuqtalarni topishingiz va har qanday o'lchovlarni amalga oshirish orqali ushbu nuqtalarga nisbatan yangi nuqtalarning o'rnini aniqlashingiz mumkin.

Uch elementar o'lchov

Samolyotda burchaklar va masofalarni o'lchashingiz mumkin.

Burchak uch nuqta bilan o'rnatiladi: bir nuqta burchakning tepasi, qolgan ikkita nuqta burchakning 1 va 2 tomonlari yo'nalishlarini o'rnatadi. Eng oddiy holatda, uchta nuqtadan kamida bittasi koordinatalarga ega emas, ya'ni uni aniqlash mumkin; umuman olganda, bitta nuqta, ikkita nuqta yoki uchtasini aniqlash mumkin.

Masofa ikki nuqta bilan belgilanadi va umuman olganda, bitta nuqta yoki ikkalasini aniqlash mumkin.

Ushbu bo'limda burchak yoki masofani o'lchashda bitta nuqtaning koordinatalarini aniqlash uchun bajariladigan eng oddiy holat muhokama qilinadi. Burchakni o'lchashda aniqlanayotgan nuqta burchakning tepasida yoki uning tomonlaridan birida joylashgan bo'lishi mumkinligi sababli, bizning nuqtai nazarimizdan, tekislikda uchta turli o'lchov mavjud bo'lib, biz ularni elementar deb ataymiz.

Burchak b A nuqtada X4, Y4 ma'lum koordinatalari bilan ma'lum yo'nalish burchagi bAB bo'lgan yo'nalish va aniqlangan P nuqtaga yo'nalish o'rtasida o'lchanadi (2-rasm).

AP yo'nalishining yo'nalish burchagi b formula bo'yicha olinadi

P nuqtaning pozitsiya chizig'i deb ataladigan AP to'g'ri chiziq uchun biz XOY tizimida tenglama yozishimiz mumkin:

Bu tenglamada X va Y chiziqning istalgan nuqtasi, shu jumladan P nuqtaning koordinatalari, lekin P nuqtaning ikkita koordinatasini topish uchun bunday tenglamalardan bittasi yetarli emas.

S masofa XA, YA koordinatalari ma'lum bo'lgan A nuqtadan aniqlangan P nuqtagacha o'lchanadi. Geometriya kursidan ma'lumki, P nuqta A nuqta atrofida chizilgan S radiusli aylanada joylashgan va nuqtaning pozitsiya chizig'i deyiladi. P (3-rasm). Doira tenglamasi:

Bu tenglamada X va Y aylanadagi istalgan nuqtaning, shu jumladan P nuqtaning koordinatalaridir, lekin nuqtaning ikkita koordinatasini topish uchun bunday tenglamalardan bittasi yetarli emas.

B burchak koordinatalari ma'lum bo'lgan ikkita nuqta yo'nalishlari orasidagi aniqlangan P nuqtada o'lchanadi; bu o'lchov 8-bo'limda muhokama qilinadi.

P nuqtaning X va Y koordinatalarini ikkita tenglamaning qo'shma yechimidan topish mumkin, shuning uchun uchta o'lchamning har qanday kombinatsiyasini ikkitaga olib, biz geodezik kesishmalar deb ataladigan nuqtaning koordinatalarini aniqlashning eng oddiy usullarini olamiz: ikkita tenglama. turi (2.4) - to'g'ri burchakli kesishma, ikkita (2.5) turdagi tenglama - chiziqli kesishma, bitta (2.4) turdagi tenglama va bitta (2.5) turdagi qutbli kesishish, aniqlangan nuqtada burchaklarning ikkita o'lchovi - teskari. burchak kesishmasi.

Qolgan o'lchov kombinatsiyalari birlashtirilgan çentikler deb ataladi.

Uchta elementar o'lchamning har biri koordinata tizimlariga nisbatan o'zgarmasdir, bu P nuqtasining A va B sobit nuqtalariga nisbatan o'rnini grafik tarzda aniqlash orqali turli chizmalardagi seriflarni echish imkonini beradi.

Kesishmalarni echishning analitik usuli aniqlanayotgan nuqtaning koordinatalarini hisoblashdan iborat. U bajarilgan o'lchovlarga mos keladigan ikkita tenglamalar tizimini yoki uchlari ikkita boshlang'ich nuqta va aniqlangan nuqta bo'lgan uchburchakni echish orqali amalga oshirilishi mumkin (qisqalik uchun bu usulni uchburchak usuli deb ataymiz).

Har qanday geodeziya qurilishida uch turdagi ma'lumotlarni ajratish odatiy holdir: dastlabki ma'lumotlar (boshlang'ich nuqtalarning koordinatalari, dastlabki yo'nalishlarning yo'nalish burchaklari va boshqalar); bu ma'lumotlar ko'pincha shartli xatosiz, o'lchangan elementlar sifatida qabul qilinadi; har bir o'lchangan element odatda o'rtacha kvadrat xatosi, noma'lum (yoki aniqlangan) elementlarning qiymati bilan birga keladi; Ushbu elementlarni maxsus ishlab chiqilgan algoritm yordamida topish kerak va ularning qiymatlari o'lchov xatolariga va berilgan konstruktsiyaning geometriyasiga qarab ba'zi xatolar bilan olinadi.

Polar tirqish

Qutbli kesishishda dastlabki ma'lumotlar A nuqtasining koordinatalari va AB yo'nalishining yo'nalish burchagi (yoki B nuqtasining koordinatalari), o'lchangan elementlar gorizontal b burchak (mv burchakni o'lchashning o'rtacha kvadrat xatosi) hisoblanadi. va masofa S (uning o'lchovining nisbiy xatosi mS / S = 1 / T ), noma'lum elementlar P nuqtasining X, Y koordinatalari (4-rasm).

Kirish ma'lumotlari: XA, YA, bAB

O'lchangan elementlar: V, S

Noma'lum elementlar: X, Y

Grafik yechim. AB yo‘nalishidan transportyor yordamida B burchakni chizamiz va AQ to‘g‘ri chiziq chizamiz, so‘ngra chizma (reja yoki xarita) masshtabida A nuqta atrofida S radiusli aylana yoy chizamiz; to'g'ri chiziq va yoyning kesishish nuqtasi kerakli P nuqtadir.

Analitik yechim. AP chizig'ining b yo'nalish burchagi quyidagilarga teng:

AP to'g'ri chiziq tenglamalarini yozamiz - formula (4) va A nuqta atrofida radiusi S aylana - formula (5):

P nuqtaning X va Y koordinatalarini topish uchun bu ikki tenglamani birgalikda tizim sifatida yechish kerak. Birinchi tenglamadagi qiymatni (Y - YA) ikkinchi tenglamaga almashtiramiz va (X - XA) 2 ni qavs ichidan chiqaramiz:

(X - XA) 2 * (1 + tan2 b)= S2.

Biz (1 + tan2b) ifodasini 1 / Cos2b bilan almashtiramiz va quyidagilarni olamiz:

(X - XA) 2 = S2 * Cos2b, bu erdan X - XA = S* Cosb.

Ushbu qiymatni birinchi tenglamaga (6) almashtiring va quyidagilarni oling:

Y - YA = S * Sinb.

Koordinatalar (X - XA) va (Y - YA) orasidagi farqlar odatda o'sish deb ataladi va DX va DY bilan belgilanadi.

Shunday qilib, qutbli chiziq formulalar yordamida noyob tarzda hal qilinadi:

koordinatali triangulyatsiya trilateratsiyasi

Samolyotda bevosita geodezik muammo

Geodeziyada ikkita standart masala mavjud: tekislikdagi to‘g‘ridan-to‘g‘ri geodeziya muammosi va tekislikdagi teskari geodezik masala.

To'g'ridan-to'g'ri geodeziya muammosi - ikkinchi nuqtaning X2, Y2 koordinatalarini hisoblash, agar birinchi nuqtaning X1, Y1 koordinatalari, yo'nalish burchagi b va bu nuqtalarni tutashtiruvchi chiziqning uzunligi S ma'lum bo'lsa. To'g'ridan-to'g'ri geodeziya muammosi qutbli kesishmaning bir qismidir va uni hal qilish uchun formulalar (7) formulalar to'plamidan olinadi:

Samolyotdagi teskari geodezik masala

Teskari geodeziya muammosi - X1, Y1 va X2, Y2 koordinatalari ma'lum bo'lgan ikkita nuqtani tutashtiruvchi chiziqning yo'nalish burchagi b va uzunligi S ni hisoblash (5-rasm).

Keling, gipotenuzada bo'lgani kabi 1-2 segmentida ham koordinata o'qlariga parallel bo'lgan oyoqlari bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak quramiz. Bu uchburchakda gipotenuza S ga, oyoqlari 1 va 2 nuqtalar koordinatalarining o'sishlariga teng (DX = X2 - X1, DY = Y2 - Y1), o'tkir burchaklardan biri esa ga teng. 1-2 qatorning r nuqtasi.

Agar D X 00 va D Y 00 bo'lsa, biz ma'lum formulalar yordamida uchburchakni echamiz:

Ushbu raqam uchun 1-2-qatorning yo'nalishi ikkinchi chorakda, shuning uchun (22) ga asoslanib, biz quyidagilarni topamiz:

1-2-chiziqning yo'nalish burchagini topishning umumiy tartibi ikkita amalni o'z ichiga oladi: chorak sonini D>X va DY koordinatalari o'sish belgilari bo'yicha aniqlash, chorak raqamiga muvofiq ulanish formulalari (22) yordamida b ni hisoblash.

Hisob-kitoblarning to'g'riligini nazorat qilish tenglikning bajarilishi hisoblanadi:

Agar DX = 0,0 bo'lsa, S = iDYi;

va DY > 0 uchun b = 90o 00 "00",

b = DY da 270o 00" 00"< 0.

Agar DY = 0,0 bo'lsa, S = iDXi

va DX > 0 uchun b = 0o 00 "00",

b = 180o 00 "00" DX da< 0.

Teskari masalani avtomatik ravishda hal qilish uchun (kompyuter dasturlarida) burchak tangensini o'z ichiga olmaydi va nolga bo'linish imkoniyatini istisno qiladigan boshqa algoritm qo'llaniladi:

agar DY => 0o bo'lsa, b = a,

agar DY< 0o, то б = 360o - a.

To'g'ri burchakli serif

Birinchidan, to'g'ri burchakli kesishishning umumiy holatini ko'rib chiqamiz, bunda b1 va b2 burchaklar koordinatalari ma'lum bo'lgan ikkita nuqtada, har biri ma'lum yo'nalish burchagi bilan o'z yo'nalishidan o'lchanadi (6-rasm).

Dastlabki ma'lumotlar: XA, YA, bAC,

O'lchangan elementlar: v 1, v2

Noma'lum elementlar: X, Y

Agar bAC va bBD aniq ko'rsatilmagan bo'lsa, teskari geodezik masalani avval A va C nuqtalari o'rtasida, keyin esa B va D nuqtalari o'rtasida hal qilishingiz kerak.

Grafik yechim. AC yo‘nalishidan transportyor yordamida b1 burchak hosil qiling va AP to‘g‘ri chiziq chizing; BD yo'nalishidan b2 burchakni chetga surib, BP to'g'ri chiziqni o'tkazing; bu chiziqlarning kesishish nuqtasi kerakli P nuqtadir.

Analitik yechim. Biz chokning umumiy holatiga mos keladigan variant algoritmini taqdim etamiz:

AP va BP chiziqlarining yo'nalish burchaklarini hisoblang

to'g'ri chiziqlarning ikkita tenglamasini yozing

AP liniyasi uchun Y - YA= tgb1 * (X - XA), BP liniyasi uchun Y - YB= tgb2 * (X - XB) (2.16)

ikkita tenglama tizimini yeching va noma'lum X va Y koordinatalarini hisoblang:

To'g'ri burchakli tirqishning alohida holati b1 va b2 burchaklar AB va BA yo'nalishlaridan o'lchanganda va b1 burchak to'g'ri va b2 burchak chapda bo'lganda (umumiy kesiklarda ikkala burchak ham bo'ladi) deb hisoblanadi. chap) - rasm. 7.

To'g'ri burchakli kesishuvning uchburchak usuli yordamida yechimi kesishishning maxsus holatiga mos keladi. Buni yechish tartibi quyidagicha bo‘ladi: A va B nuqtalar orasidagi teskari masalani yeching va AB yo‘nalish burchagini va AB chizig‘ining b uzunligini oling, tirqish burchagi deb ataladigan P cho‘qqidagi r burchakni hisoblang,

APB uchburchagi uchun sinus teoremasidan foydalanish:

AP (S1) va BP (S2) tomonlarining uzunliklarini hisoblang, b1 va b2 yo'nalish burchaklarini hisoblang:

A nuqtadan P nuqtaga to'g'ridan-to'g'ri muammoni hal qilish va nazorat qilish uchun - B nuqtadan P nuqtaga.

To'g'ri burchakli kesishishning maxsus holatida X va Y koordinatalarini hisoblash uchun siz Young formulalaridan foydalanishingiz mumkin:

Kimdan umumiy holat tekis burchakli serif bilan maxsus holatga o'tish oson; Buning uchun avval A va B nuqtalar orasidagi teskari geodezik masalani yechish va AB chiziqning bAB yo‘nalish burchagini olish va keyin APB uchburchagidagi A va B cho‘qqilardagi burchaklarni hisoblash kerak.

BAP = bAB - (bAC + b1) va ABP = (bBD + b2) - bBA.

Mashinani hisoblash uchun to'g'ri burchakli kesishmalarni echishning barcha ko'rib chiqilgan usullari turli sabablarga ko'ra noqulaydir. Kompyuterda tishlashning umumiy holatini echishning mumkin bo'lgan algoritmlaridan biri quyidagi harakatlarni o'z ichiga oladi: b1 va b2 yo'nalishli burchaklarni hisoblash, A nuqtada va O'X nuqtada mahalliy X"O"Y" koordinata tizimini joriy qilish. AP chizig'i bo'ylab yo'naltirilgan o'q va XOY tizimidan X"O"Y" tizimiga A va B nuqtalarning koordinatalarini va b1 va b2 yo'nalish burchaklarini qayta hisoblash (8-rasm):

X"A = 0, Y"A = 0,

(24), X"O"Y" sistemasida AP va BP chiziqlar tenglamalarini yozing:

va bu tenglamalarning birgalikdagi yechimi:

X" va Y" koordinatalarini X"O"Y" tizimidan XOY tizimiga o'tkazish:

Ctgb2" = - Ctgg va tirqish burchagi r har doim 0° dan katta bo'lgani uchun (27) yechim doimo mavjud bo'ladi.

Chiziqli serif

XA, YA koordinatalari ma'lum bo'lgan A nuqtadan S1 aniqlangan P nuqtagacha bo'lgan masofa, XB, YB koordinatalari ma'lum bo'lgan B nuqtadan P nuqtagacha bo'lgan masofa o'lchanadi.

Grafik yechim. A nuqta atrofida radiusi S1 (chizma masshtabida), B nuqta atrofida esa S2 radiuli aylana chizamiz; doiralarning kesishish nuqtasi kerakli nuqtadir; muammoning ikkita yechimi bor, chunki ikkita doira ikki nuqtada kesishadi (9-rasm).

Kirish ma'lumotlari: XA, YA, XB, YB,

O'lchangan elementlar: S1, S2,

Noma'lum elementlar: X, Y.

Analitik yechim. Keling, ikkita analitik yechim algoritmini ko'rib chiqaylik, biri qo'lda hisoblash uchun (uchburchak usuli yordamida) va ikkinchisi mashinada hisoblash uchun.

Qo'lda hisoblash algoritmi quyidagi bosqichlardan iborat:

A va B nuqtalar orasidagi teskari geodezik masalani yechish va AB yo‘nalish burchagini bAB va AB chizig‘ining b uzunligini olish, ABP uchburchakda b1 va b2 burchaklarni kosinus teoremasi yordamida hisoblash:

kesishish burchagi r ni hisoblash

AP va BP tomonlarning yo'nalish burchaklarini hisoblash:

AB chizig'ining o'ng tomonidagi P nuqta

AB chizig'ining chap tomonidagi P nuqta

A nuqtadan P nuqtaga va B nuqtadan P nuqtaga to'g'ridan-to'g'ri geodezik masalalarni hal qilish:

1-chi yechim

2-chi yechim

Ikkala yechimning natijalari bir xil bo'lishi kerak.

Chiziqli kesmaning mashina yechimi algoritmi quyidagi amallardan iborat: A va B nuqtalar orasidagi teskari geodezik masalani yechish va AB yo‘nalish burchagi bAB va AB chizig‘ining uzunligi b ni olish, X”O”Y lokal koordinata sistemasini kiritish. " boshi A nuqtada va O"X" o'qi bilan, AB chizig'i bo'ylab yo'naltirilgan va A va B nuqtalarning koordinatalarini XOY tizimidan X"O"Y" tizimiga qayta hisoblash:

X"O"Y" sistemasidagi doiralar tenglamalarini yozish:

va bu tenglamalarning birgalikdagi yechimi, bu ikkinchi tenglamadagi qavslarni ochish va birinchisidan ikkinchi tenglamani ayirish:

Agar kerakli nuqta AB chizig'ining chap tomonida bo'lsa, (39) formulada "-" belgisi olinadi, agar o'ngda bo'lsa, "+".

Formulalar (2) yordamida P nuqtaning X" va Y" koordinatalarini X"O"Y" tizimidan XOY tizimiga o'tkazish:

Teskari chiziq

Elementar oʻlchovlarga XA, YA va XB, YB koordinatalari maʼlum boʻlgan ikkita A va B nuqtaga yoʻnalishlar orasidagi aniqlangan P nuqtadagi burchakni oʻlchash ham kiradi (10-rasm). Biroq, bu o'lchov nazariy jihatdan juda murakkab bo'lib chiqadi, shuning uchun biz uni alohida ko'rib chiqamiz.

Keling, uchta A, B va P nuqtalari orqali aylana chizamiz maktab kursi Geometriya biladiki, aylana ustidagi tepasi bo'lgan burchak u tayangan yoyning yarmi bilan o'lchanadi. Xuddi shu yoyga asoslangan markaziy burchak butun yoy bilan o'lchanadi, shuning uchun u 2c ga teng bo'ladi (10-rasm).

A va B nuqtalari orasidagi b masofa ma'lum deb hisoblanadi va FCB to'g'ri burchakli uchburchakdan aylananing R radiusini topish mumkin:

Doira tenglamasi:

bu yerda XC va YC aylana markazining koordinatalari. Ularni A va B nuqtalardan C nuqtagacha bo‘lgan to‘g‘ri burchakli yoki chiziqli kesishmani yechish yo‘li bilan hisoblash mumkin. (42) tenglamada X va Y aylananing istalgan nuqtasi, jumladan P nuqtasining koordinatalari, lekin ikkita koordinatani topish uchun. P nuqtasi uchun bunday tenglama etarli emas.

Teskari burchakli kesishish - bu A, B, C koordinatalari ma'lum bo'lgan uchta nuqta yo'nalishlari orasidagi aniqlangan P nuqtada o'lchanadigan ikkita b1 va b2 burchaklardan P nuqtaning koordinatalarini aniqlash usuli (11-rasm).

Grafik yechim. Bolotovning teskari burchak kesishuvini grafik yechish usulini taqdim qilaylik. Shaffof qog'oz varag'ida (ko'rgazma qog'ozi) umumiy uchi P bilan b1 va b2 burchaklarini qurish kerak; so‘ng chizmaga kalava qog‘ozini qo‘ying va uni harakatlantirib, chizmadagi burchaklar yo‘nalishlari A, B, C nuqtalardan o‘tishini ta’minlash; chizmaga iz qog'ozidan P nuqtasini qo'ying.

Manba ma'lumotlari: XA, YA, XB,

O'lchangan elementlar: v1, v2.

Noma'lum elementlar: X, Y.

Analitik yechim. Teskari burchakli kesishmaning analitik yechimi uni oddiyroq masalalarga, masalan, 2 ta toʻgʻri burchakli kesishma va bitta chiziqli kesishma yoki 3 ta chiziqli kesishma va hokazolarga ajratishni oʻz ichiga oladi. Analitik yechimning 10 dan ortiq usullari ma'lum, ammo biz faqat bittasini ko'rib chiqamiz - uchta chiziqli choklarning ketma-ket yechimi orqali.

P nuqtaning o‘rni ma’lum deb faraz qilaylik va ikkita aylana chizamiz: biri radiusi R1 bo‘lgan A, B va P nuqtalar orqali, ikkinchisi esa B, C va P nuqtalar orqali R2 radiuli (11-rasm). Bu doiralarning radiuslarini (41) formuladan foydalanib olamiz:

Agar doiralar markazlarining koordinatalari - O1 va O2 nuqtalari ma'lum bo'lsa, u holda P nuqtaning koordinatalarini chiziqli kesishish formulalari yordamida aniqlash mumkin: O1 nuqtadan R1 masofa va O2 nuqtadan - R2 masofa.

O1 markazining koordinatalarini R1 masofalari bo'ylab A va B nuqtalaridan chiziqli kesishish uchun formulalar yordamida topish mumkin va ikkita echimdan siz in1 burchak qiymatiga mos keladiganini olishingiz kerak: agar in1 bo'lsa.<90o, то точка O1 находится справа от линии AB, если в1>90o, keyin O1 nuqta AB chizig'ining chap tomonida bo'ladi.

O2 markazining koordinatalari R2 masofalari bo'ylab B va C nuqtalardan chiziqli kesishish formulalari yordamida topiladi va ikkita mumkin bo'lgan echimdan bittasi xuddi shu qoida bo'yicha tanlanadi: agar in2 bo'lsa.<90o, то точка O2 находится справа от линии BC, если в2>90o, keyin O2 nuqtasi BC chizig'ining chap tomonida.

Agar A, B, C va P nuqtalarining barchasi bitta aylanada bo'lsa, muammoning yechimi yo'q, chunki ikkala doira bittaga birlashadi va kesishish nuqtalari yo'q.

Birlashtirilgan seriflar

Seriflarni echishning ko'rib chiqilgan usullarida natijani olish uchun o'lchovlar soni nazariy jihatdan minimal (ikki o'lchov) qabul qilindi.

Amalda bir nuqtaning X va Y koordinatalarini topish uchun, qoida tariqasida, ikki emas, balki uch yoki undan ortiq masofa va burchaklarni o'lchash amalga oshiriladi va bu o'lchovlar boshlang'ich nuqtalarda ham, aniqlanayotgan nuqtalarda ham amalga oshiriladi; bunday seriflar birlashtirilgan deb ataladi. Ko'rinib turibdiki, bu holda o'lchovlarni nazorat qilish mumkin bo'ladi va qo'shimcha ravishda muammoni hal qilishning aniqligi ortadi.

Nazariy minimal miqdordan ortiq masalaga kiritilgan har bir o'lchov ortiqcha deb ataladi; u bitta qo'shimcha yechim hosil qiladi. Ortiqcha o'lchovlarsiz geodezik kesishmalar odatda bitta deb ataladi va ortiqcha o'lchovlarga ega bo'lgan kesishmalar ko'p deb ataladi.

Ortiqcha o'lchovlar mavjud bo'lsa, noma'lumlar sozlash usuli yordamida hisoblanadi. Avtomatlashtirilgan kompyuter hisob-kitoblarida bir nechta kesishmalarni qat'iy tenglashtirish algoritmlari qo'llaniladi; Qo'lda hisoblash uchun soddalashtirilgan sozlash usullari qo'llaniladi.

Har qanday bir nechta kesishuvni (n o'lchov) sozlashning soddalashtirilgan usuli birinchi navbatda mustaqil yagona kesishmalarning barcha mumkin bo'lgan variantlarini yaratish va echishni (ularning soni n-1), so'ngra olingan barcha natijalar bo'yicha nuqta koordinatalarining o'rtacha qiymatlarini hisoblashni o'z ichiga oladi. , agar ular bir-biridan ruxsat etilgan qiymatgacha farq qilsa.

Nuqta pozitsiyasi xatosi

Bir o'lchovli fazoda (chiziqda) nuqtaning pozitsiyasi bitta X koordinatasining qiymati bilan belgilanadi va Mp nuqtaning pozitsiya xatosi bu koordinataning o'rtacha kvadrat xatosi mx ga teng. Nuqtaning haqiqiy holati (X - t * mx) - (X + t * mx) oralig'ida, ya'ni X qiymatidan har ikki yo'nalishda bo'lishi mumkin; amalda t koeffitsienti odatda 2,0 yoki 2,50 ga o'rnatiladi.

Ikki o'lchovli fazoda (sirtda) nuqtaning pozitsiyasi ikkita koordinataning qiymatlari bilan belgilanadi va nuqtaning joylashuv xatosi ikkita kattalik bilan berilishi kerak: yo'nalish va bu yo'nalishdagi pozitsiya xatosi. . Geometrik shakl, uning ichida nuqtaning haqiqiy pozitsiyasi joylashgan bo'lishi mumkin turli shakllar; barcha yo'nalishlarda nuqtaning joylashuvidagi xatolik bir xil bo'lgan alohida holatda, R = Mp radiusli doira olinadi.

Ikki o'lchamdagi nuqtaning pozitsiyasi ikkita pozitsiya chizig'ining kesishmasida olinadi. O'lchangan masofa S uchun pozitsiya chizig'i S radiusli aylana bo'lib, markaz A boshlang'ich nuqtasida joylashgan (2.12a-rasm); A boshlang'ich nuqtasida cho'qqisi bilan o'lchangan b burchak uchun - AB boshlang'ich chizig'iga b burchak ostida chizilgan to'g'ri chiziq (2.12b-rasm).

O'lchov xatolari tufayli "pozitsiya bandi" tushunchasini kiritish kerak. O'rtacha kvadrat xatolik bilan o'lchanadigan masofa uchun S - 2 * ms radiusli ikki doira (S - ms) va (S + ms) o'rtasida kengligi 2 * ms bo'lgan dumaloq kamar (halqa); mv xatolik bilan o'lchangan b burchak uchun u A nuqtada cho'qqisi va 2 * mv cho'qqisidagi burchakka ega bo'lgan tor uchburchakdir. Nuqtaning pozitsiya chizig'i pozitsiya chizig'ining simmetriya o'qidir (12-rasm).

Guruch. 12. P nuqtasining pozitsiya chizig'i va "pozitsiya chizig'i": a) o'lchangan masofa uchun, b) o'lchangan burchak uchun.

"O'lchov xatosi vektori" tushunchasini kiritamiz va uni V bilan belgilaymiz. O'lchangan masofa uchun Vs vektori AP chizig'i bo'ylab (to'g'ridan-to'g'ri yoki teskari) yo'naltirilgan va moduli vs = ms ga ega; o'lchangan burchak uchun Vv vektori AP chizig'iga perpendikulyar yo'naltirilgan (uning chap yoki o'ng tomoniga) va moduli nv = S * mv / s, bu erda S = A * P.

Ikki pozitsiya chizig'ining kesishmasida joylashgan P nuqta, ikkita pozitsiya chizig'i kesishmasida hosil bo'lgan 4-gon pozitsiyasining markazidir (13-rasm).

Guruch. 13.4 -joylashuv burchagi: a) chiziqli tirqishda, b) to'g'ri burchakli chuqurlikda,

Ushbu elementar 4-burchakni parallelogramm deb hisoblash mumkin, chunki uning chegaralarida aylana yoylarini tangenslar segmentlari va burchakning ajralib chiqadigan tomonlarini pozitsiya chizig'iga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlar segmentlari bilan almashtirish mumkin. P nuqtadan 4-burchakning chegaralarigacha bo'lgan masofalar bir xil emas, bu P nuqtaning pozitsiya xatolarining turli yo'nalishlarda farqlanishini ko'rsatadi.

Pozitsiya chiziqlari 4-gon pozitsiyasini 4 ta teng qismga ajratadi, biz ularni burchaklari r va (180o - z) burchaklaridagi xato parallelogrammalar deb ataymiz, bu erda r (180o - z) V1 va V2 xato vektorlari orasidagi burchakdir. Xatolar parallelogrammalarining balandliklari son jihatidan n1 va n2 vektorlarining modullariga teng bo'lganligi sababli, parallelogrammalarning tomonlari taniqli formulalar bo'yicha olinadi:

Xato parallelogrammaning ma'lum tomonlari va ular orasidagi burchakdan r (180o - r) foydalanib, biz uning ikkala diagonalining uzunligini hisoblashimiz mumkin: qisqa - d1 va uzun - d2:

Shunday qilib, nuqtaning oltita yo'nalishdagi pozitsiyasidagi xato (14-rasm) oddiy formulalar bilan ifodalanadi; boshqa barcha yo'nalishlar uchun formulalar murakkabroq bo'ladi.

P nuqtasini aniqlashning aniqligini umumlashtirilgan xarakteristikasi uchun siz P nuqtasi holatidagi xatoning o'rtacha qiymatiga ega bo'lishingiz kerak, uni hisoblash mumkin: R doira radiusi sifatida, uning maydoni (p) * R2) P nuqtasi pozitsiyasining parallelogramma maydoniga teng (4 * a * b * Sing),

uzoq diagonal yo'nalishiga to'g'ri keladigan "eng zaif yo'nalishdagi" pozitsiya xatosi sifatida:

xato parallelogrammaning uzun va qisqa diagonallarining o'rtacha kvadrati sifatida:

Amalda, uchinchi variant boshqalarga qaraganda tez-tez qo'llaniladi, unda har qanday bitta chiziqning aniqligini baholash uchun formulalar osongina olinadi:

qutbli tirqish (4-rasm):

to'g'ri burchakli tirqish (6, 7-rasm):

chiziqli tirqish (9-rasm):

teskari burchakli tirqish (11-rasm).

Ushbu chiziqda P nuqtaning joylashuv xatosi formulasining o'ng tomonida uchta atama bo'lishi kerak:

O1 nuqtaning A va B boshlang'ich nuqtalaridan chiziqli kesishish xatosi (mO1), O2 nuqtasining B va C boshlang'ich nuqtalaridan chiziqli kesishish xatosi (mO2), O1 va O2 nuqtalaridan P nuqtaning chiziqli kesishish xatosi (mP),

Teshik burchagi r BC va BA chiziqlari va b1 va b2 burchaklarining nisbiy holatiga bog'liq; anjir uchun. 11 bu burchak quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Ko'pgina amaliy holatlar uchun P nuqtaning haqiqiy pozitsiyasi markazi P nuqtada bo'lgan MP radiusli doira ichida ekanligini taxmin qilish kifoya. Bundan tashqari, bu nazariya ko'proq foydalanadi murakkab mezonlar, masalan, "xato ellipsi" (2-tartibli egri chiziq), "xato ellipsi poderi" (4-tartib egri chizig'i) va boshqalar.

O'lchovlar soni n>2 (bir nechta kesishmalar) bo'lsa, P nuqtasi sozlangan o'lchov qiymatlariga mos keladigan n pozitsiya chizig'ining kesishmasida olinadi; joylashuv chiziqlari kesishgan holda 2 * n-burchakni hosil qiladi. P nuqtaning holatidagi eng katta xato P nuqtadan ushbu ko'pburchakning eng uzoq nuqtasigacha bo'lgan masofa bilan aniqlanadi. 14-b-rasmdan P nuqta pozitsiyasida xatolikni kamaytirishda uchinchi o'lchovning roli aniq; Aytgancha, bu rasmda ikkinchi o'lchov nuqta pozitsiyasi xatosining qiymatiga deyarli ta'sir qilmaydi.

To'rtburchaklar koordinatalar tizimi

Nuqtalarning koordinatalari tushunchasini aniqlash uchun biz uning koordinatalarini aniqlaydigan koordinatalar tizimini joriy qilishimiz kerak. Turli koordinata tizimlarida bir xil nuqta turli koordinatalarga ega bo'lishi mumkin. Bu erda biz fazodagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimini ko'rib chiqamiz.

Keling, fazoda $O$ nuqtasini olaylik va uning uchun $(0,0,0)$ koordinatalarini kiritamiz. Keling, uni koordinatalar tizimining kelib chiqishi deb ataymiz. U orqali 1-rasmdagidek uchta o'zaro perpendikulyar o'qlarni $Ox$, $Oy$ va $Oz$ o'tkazamiz. Bu o'qlar mos ravishda abtsissa, ordinata va qo'llash o'qlari deb ataladi. Faqat o'qlar bo'yicha masshtabni kiritish qoladi (birlik segmenti) - kosmosdagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimi tayyor (1-rasm).

1-rasm. Fazodagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimi. Author24 - talabalar ishlarini onlayn almashish

Nuqta koordinatalari

Endi bunday tizimda har qanday nuqtaning koordinatalari qanday aniqlanishini ko'rib chiqamiz. $M$ ixtiyoriy nuqtani olaylik (2-rasm).

$O$ va $M$ nuqtalari uning uchlariga qarama-qarshi bo'lishi uchun koordinata o'qlari bo'yicha to'rtburchak parallelepiped quramiz (3-rasm).

Shakl 3. To'g'ri burchakli parallelepipedni qurish. Author24 - talabalar ishlarini onlayn almashish

Keyin $M$ nuqtasi $(X,Y,Z)$ koordinatalariga ega boʻladi, bu yerda $X$ — $Ox$ raqamlar oʻqidagi qiymat, $Y$ — $Oy$ raqamlar oʻqidagi qiymat va $Z $ - $Oz$ sonlar o'qidagi qiymat.

1-misol

Quyidagi masalaning yechimini topish kerak: 4-rasmda ko'rsatilgan parallelepiped cho'qqilarining koordinatalarini yozing.

Yechim.

$O$ nuqtasi koordinatalarning kelib chiqishi, shuning uchun $O=(0,0,0)$.

$Q$, $N$ va $R$ nuqtalari mos ravishda $Ox$, $Oz$ va $Oy$ oʻqlarida yotadi, bu degani

$Q=(2,0,0)$, $N=(0,0,1,5)$, $R=(0,2,5,0)$

$S$, $L$ va $M$ nuqtalari mos ravishda $Oxz$, $Oxy$ va $Oyz$ tekisliklarida yotadi, bu degani

$S=(2,0,1,5)$, $L=(2,2,5,0)$, $R=(0,2,5,1,5)$

$P$ nuqtasi $P=(2,2.5,1.5)$ koordinatalariga ega

Vektor koordinatalari ikkita nuqta va topish formulasiga asoslangan

Ikki nuqtaning koordinatalaridan vektorni qanday topish mumkinligini bilish uchun biz ilgari kiritgan koordinatalar tizimini hisobga olish kerak. Unda $O$ nuqtadan $Ox$ oʻqi yoʻnalishi boʻyicha $\overline(i)$ birlik vektorini, $Oy$ oʻqi yoʻnalishida $\overline(j) birlik vektorini chizamiz. $, va $\overline(k) $ birlik vektori $Oz$ o'qi bo'ylab yo'naltirilishi kerak.

Vektor koordinatalari tushunchasini kiritish uchun biz quyidagi teoremani kiritamiz (uning isbotini bu erda ko'rib chiqmaymiz).

Teorema 1

Fazodagi ixtiyoriy vektor bitta tekislikda yotmaydigan istalgan uchta vektorga kengaytirilishi mumkin va bunday kengayishdagi koeffitsientlar yagona aniqlanadi.

Matematik jihatdan bu shunday ko'rinadi:

$\overline(d)=m\overline(a)+n\overline(b)+l\overline(g)$

$\overline(i)$, $\overline(j)$ va $\overline(k)$ vektorlari to'rtburchaklar koordinata tizimining koordinata o'qlarida tuzilganligi sababli ular bir tekislikka tegishli bo'lmasligi aniq. Demak, bu koordinatalar sistemasidagi har qanday $\overline(d)$ vektori 1-teoremaga ko‘ra quyidagi ko‘rinishga ega bo‘lishi mumkin.

$\overline(d)=m\overline(i)+n\overline(j)+l\overline(k)$ (1)

bu yerda $n,m,l∈R$.

Ta'rif 1

Uchta vektor $\overline(i)$, $\overline(j)$ va $\overline(k)$ koordinata vektorlari deb ataladi.

Ta'rif 2

Kengayish (1) $\overline(i)$, $\overline(j)$ va $\overline(k)$ vektorlari oldidagi koeffitsientlar biz bergan koordinatalar tizimidagi bu vektorning koordinatalari deb ataladi. , anavi

$\overline(d)=(m,n,l)$

Vektorlar ustida chiziqli amallar

Teorema 2

Yig'indi teoremasi: vektorlarning istalgan soni yig'indisining koordinatalari ularning mos keladigan koordinatalari yig'indisi bilan aniqlanadi.

Isbot.

Bu teoremani 2 vektor uchun isbotlaymiz. 3 yoki undan ortiq vektorlar uchun isbot xuddi shunday tarzda tuziladi. $\overline(a)=(a_1,a_2,a_3)$, $\overline(b)=(b_1,b_2 ,b_3)$ boʻlsin.

Bu vektorlarni quyidagicha yozish mumkin

$\overline(a)=a_1\overline(i)+ a_2\overline(j)+a_3\overline(k)$, $\overline(b)=b_1\overline(i)+ b_2\overline(j)+ b_3\overline(k)$

Agar koordinata tekisligida ma'lum A nuqta berilgan bo'lsa va uning koordinatalarini aniqlash kerak bo'lsa, u holda bu quyidagicha amalga oshiriladi. A nuqta orqali ikkita to'g'ri chiziq o'tkaziladi: biri y o'qiga parallel, ikkinchisi - x. Y o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziq x o'qini (x o'qi) kesib o'tadi. O'q va chiziqning kesishish nuqtasi A nuqtaning x koordinatasidir. X o'qiga parallel chiziq y o'qini kesib o'tadi. O'q va chiziqning kesishish nuqtasi A nuqtaning y koordinatasidir. Masalan, y ga parallel chiziq x o‘qini –5 nuqtada, x ga parallel to‘g‘ri chiziq esa 2.3 nuqtada y o‘qini kesib o‘tsa, A nuqtaning koordinatalari quyidagicha yoziladi: A (–5; 2,3). .

Berilgan koordinatalarda nuqta chizish kerak bo'lganda, teskari masala xuddi shunday tarzda hal qilinadi. Qiymatlari berilgan koordinatalarga teng bo'lgan nuqtalar orqali x va y o'qlari bo'ylab bir-biriga parallel chiziqlar chiziladi: x koordinatasi orqali - y ga parallel to'g'ri chiziq, y koordinatasi orqali - ga parallel to'g'ri chiziq. x. Ushbu chiziqlarning kesishish nuqtasi berilgan koordinatalar bilan kerakli nuqta bo'ladi. Masalan, berilgan B nuqtasi (–1,5; –3), siz uni koordinata tekisligida tasvirlashingiz kerak. Buning uchun x o'qida yotgan (–1,5; 0) nuqta orqali y o'qiga parallel to'g'ri chiziq o'tkazing. (0; –3) nuqta orqali x o'qiga parallel to'g'ri chiziq o'tkaziladi. Bu chiziqlar kesishgan joyda B nuqtasi joylashgan bo'ladi (–1,5; –3).