\(\blacktrianglerright\) Eng kattasini topish uchun/ eng kichik qiymat\(\) segmentidagi funktsiyalar , ushbu segmentdagi funktsiyaning grafigini sxematik tarzda tasvirlash kerak.
Ushbu kichik mavzudagi masalalarda buni hosila yordamida bajarish mumkin: ortish (\(f">0\) ) va kamayish (\(f") oraliqlarini toping.<0\) ) функции, критические точки (где \(f"=0\) или \(f"\) не существует).

\(\blacktrianglerright\) Funktsiya eng katta/eng kichik qiymatni faqat \(\) segmentining ichki nuqtalarida emas, balki uning uchlarida ham olishi mumkinligini unutmang.

\(\blacktrianglerright\) Funksiyaning eng katta/eng kichik qiymati koordinata qiymatidir \(y=f(x)\) .

\(\blacktrianglerright\) \(f(t(x))\) murakkab funksiyaning hosilasi qoidaga muvofiq topiladi: \[(\Large(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(massiv)(|r|c|c|) \hline & \text(Funktsiya ) f(x) & \text(Terivativ ) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(massiv) \to'rt \to'rt \to'rt \to'rt \begin(massiv)(|r|c|c|) \hline & \text(Funktsiya ) f(x) & \text(Terivativ ) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(massiv)\]

1-topshiriq №2357

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

\([-10; -2]\) segmentidagi \(y = e^(x^2 - 4)\) funksiyaning eng kichik qiymatini toping.

ODZ: \(x\) - ixtiyoriy.

1) \

\ Shunday qilib, \(x = 0\) uchun \(y" = 0\) .

3) Ko'rib chiqilayotgan segmentdagi \([-10; -2]\) doimiy belgisi \(y"\) intervallarni topamiz:

4) \([-10; -2]\) segmentidagi grafikning eskizi:

Shunday qilib, funksiya eng kichik qiymatiga \([-10; -2]\) da \(x = -2\) da erishadi.

\ Jami: \(1\) – \([-10; -2]\) da \(y\) funksiyaning eng kichik qiymati.

Javob: 1

2-topshiriq №2355

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

\(y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)\) segmentida \([-1; 1]\) .

ODZ: \(x\) - ixtiyoriy.

1) \

Kritik nuqtalarni topamiz (ya'ni, funktsiyaning hosilasi \(0\) ga teng yoki mavjud bo'lmagan aniqlanish sohasining ichki nuqtalari): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] hosila har qanday \(x\) uchun mavjud.

2) \(y"\) doimiy ishorali intervallarni topamiz:

3) Ko'rib chiqilayotgan segmentdagi \([-1; 1]\) doimiy belgisi \(y"\) intervallarni topamiz:

4) \([-1; 1]\) segmentidagi grafikning eskizi:

Shunday qilib, funksiya eng katta qiymatiga \([-1; 1]\) da \(x = -1\) yoki \(x = 1\) da erishadi. Keling, ushbu nuqtalardagi funktsiya qiymatlarini taqqoslaylik.

\ Jami: \(2\) – \(y\) funksiyaning \([-1; 1]\) da eng katta qiymati.

Javob: 2

3-topshiriq №2356

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

\(\) segmentida \(y = \cos 2x\) funksiyaning eng kichik qiymatini toping.

ODZ: \(x\) - ixtiyoriy.

1) \

Kritik nuqtalarni topamiz (ya'ni, funktsiyaning hosilasi \(0\) ga teng yoki mavjud bo'lmagan aniqlanish sohasining ichki nuqtalari): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\] hosila har qanday \(x\) uchun mavjud.

2) \(y"\) doimiy ishorali intervallarni topamiz:

(bu yerda hosila belgilari almashinadigan cheksiz sonli intervallar mavjud).

3) Ko'rib chiqilayotgan \(\) segmentdagi doimiy belgisi \(y"\) intervallarni topamiz:

4) \(\) segmentidagi grafikning eskizi:

Shunday qilib, funktsiya \(\) da \(x = \dfrac(\pi)(2)\) da eng kichik qiymatiga etadi.

\ Jami: \(-1\) - \(\) da \(y\) funksiyasining eng kichik qiymati.

Javob: -1

4-topshiriq №915

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

Funktsiyaning eng katta qiymatini toping

\(y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)\).

ODZ: \(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0\) . Keling, ODZ haqida qaror qabul qilaylik:

1) \(2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)\) ni, keyin \(y(t)=-\log_(17)t\) ni belgilaymiz.

Kritik nuqtalarni topamiz (ya'ni, funktsiyaning hosilasi \(0\) ga teng yoki mavjud bo'lmagan aniqlanish sohasining ichki nuqtalari): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– ODZda, biz ildizni topadigan joydan \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) . \(y\) funksiyaning hosilasi \(2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0\) uchun mavjud emas, lekin berilgan tenglama salbiy diskriminant, shuning uchun uning yechimlari yo'q. Funktsiyaning eng katta/eng kichik qiymatini topish uchun uning grafigi sxematik ko'rinishini tushunishingiz kerak.

2) \(y"\) doimiy ishorali intervallarni topamiz:

3) Grafik eskizi:

Shunday qilib, funksiya eng katta qiymatiga \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) da erishadi:

\(y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\o'ng) = -\log_(17)1 = 0\),

Jami: \(0\) – funksiyaning eng katta qiymati \(y\) .

Javob: 0

5-topshiriq №2344

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

Funktsiyaning eng kichik qiymatini toping

\(y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)\).

ODZ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . Keling, ODZ haqida qaror qabul qilaylik:

1) \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) ni belgilaymiz, keyin \(y(t)=\log_(3)t\) ni belgilaymiz.

Kritik nuqtalarni topamiz (ya'ni, funktsiyaning hosilasi \(0\) ga teng yoki mavjud bo'lmagan aniqlanish sohasining ichki nuqtalari): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\]– ODZda, biz ildizni qaerdan topamiz \(x = -4\) . \(y\) funksiyaning hosilasi \(x^2 + 8x + 19 = 0\) bo'lganda mavjud emas, lekin bu tenglama manfiy diskriminantga ega, shuning uchun uning yechimlari yo'q. Funktsiyaning eng katta/eng kichik qiymatini topish uchun uning grafigi sxematik ko'rinishini tushunishingiz kerak.

2) \(y"\) doimiy ishorali intervallarni topamiz:

3) Grafik eskizi:

Shunday qilib, \(x = -4\) \(y\) funksiyaning minimal nuqtasidir va unda eng kichik qiymatga erishiladi:

\(y(-4) = \log_(3)3 = 1\) .

Jami: \(1\) – funksiyaning eng kichik qiymati \(y\) .

Javob: 1

6-topshiriq №917

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihonidan ko'ra qiyinroq

Funktsiyaning eng katta qiymatini toping

\(y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))\).

Amaliy nuqtai nazardan eng katta qiziqish funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatini topish uchun hosiladan foydalanishni ifodalaydi. Bu nima bilan bog'liq? Foydani maksimal darajada oshirish, xarajatlarni minimallashtirish, uskunaning optimal yukini aniqlash... Boshqacha qilib aytganda, hayotning ko'p sohalarida biz ba'zi parametrlarni optimallashtirish muammolarini hal qilishimiz kerak. Va bu funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish vazifalari.

Shuni ta'kidlash kerakki, funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari odatda funktsiyaning butun sohasi yoki ta'rif sohasining bir qismi bo'lgan ma'lum X oralig'ida izlanadi. X intervalining o'zi segment, ochiq interval bo'lishi mumkin , cheksiz interval.

Ushbu maqolada biz eng katta va eng kichik qiymatlarni aniq topish haqida gaplashamiz berilgan funksiya bitta o'zgaruvchi y=f(x) .

Sahifani navigatsiya qilish.

Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymati - ta'riflar, rasmlar.

Keling, asosiy ta'riflarni qisqacha ko'rib chiqaylik.

Funktsiyaning eng katta qiymati bu har kim uchun tengsizlik haqiqatdir.

Funktsiyaning eng kichik qiymati X oraliqdagi y=f(x) bunday qiymat deyiladi bu har kim uchun tengsizlik haqiqatdir.

Bu ta'riflar intuitivdir: funktsiyaning eng katta (eng kichik) qiymati abscissada ko'rib chiqilayotgan intervalda qabul qilingan eng katta (eng kichik) qiymatdir.

Statsionar nuqtalar- bu funktsiyaning hosilasi nolga aylanadigan argumentning qiymatlari.

Eng katta va eng kichik qiymatlarni topishda bizga statsionar nuqtalar nima uchun kerak? Bu savolga Ferma teoremasi javob beradi. Bu teoremadan kelib chiqadiki, agar differensiallanuvchi funksiya qaysidir nuqtada ekstremumga (mahalliy minimal yoki mahalliy maksimal) ega bo‘lsa, bu nuqta statsionar hisoblanadi. Shunday qilib, funktsiya ko'pincha X oralig'ida o'zining eng katta (eng kichik) qiymatini ushbu intervaldan statsionar nuqtalardan birida oladi.

Bundan tashqari, funktsiya ko'pincha ushbu funktsiyaning birinchi hosilasi mavjud bo'lmagan va funktsiyaning o'zi aniqlangan nuqtalarda o'zining eng katta va eng kichik qiymatlarini olishi mumkin.

Keling, ushbu mavzu bo'yicha eng keng tarqalgan savollardan biriga darhol javob beraylik: "Funksiyaning eng katta (eng kichik) qiymatini aniqlash har doim mumkinmi"? Yo'q har doim emas. Ba'zan X oraliq chegaralari funksiyaning aniqlanish sohasi chegaralariga to'g'ri keladi yoki X oralig'i cheksizdir. Cheksizlikda va aniqlanish sohasi chegaralarida ba'zi funktsiyalar cheksiz katta va cheksiz kichik qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Bunday hollarda funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati haqida hech narsa deyish mumkin emas.

Aniqlik uchun biz grafik tasvirni beramiz. Rasmlarga qarang va ko'p narsa aniq bo'ladi.

Segmentda

Birinchi rasmda funksiya segment ichida joylashgan statsionar nuqtalarda eng katta (max y) va eng kichik (min y) qiymatlarni oladi [-6;6].

Ikkinchi rasmda tasvirlangan ishni ko'rib chiqing. Keling, segmentni ga o'zgartiramiz. Ushbu misolda funktsiyaning eng kichik qiymati statsionar nuqtada, eng katta qiymati esa oraliqning o'ng chegarasiga to'g'ri keladigan abtsissa joylashgan nuqtada erishiladi.

3-rasmda [-3;2] segmentning chegara nuqtalari funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatiga mos keladigan nuqtalarning abssissalaridir.

Ochiq intervalda

To'rtinchi rasmda funksiya ochiq oraliq (-6;6) ichida joylashgan statsionar nuqtalarda eng katta (max y) va eng kichik (min y) qiymatlarni oladi.

Intervalda eng katta qiymat haqida xulosa chiqarish mumkin emas.

Cheksizlikda

Ettinchi rasmda keltirilgan misolda funksiya eng katta qiymatni (max y) abscissa x=1 bo'lgan statsionar nuqtada oladi va eng kichik qiymatga (min y) intervalning o'ng chegarasida erishiladi. Minus cheksizlikda funktsiya qiymatlari asimptotik tarzda y=3 ga yaqinlashadi.

Intervalda funktsiya eng kichik va eng katta qiymatga erishmaydi. X = 2 o'ngdan yaqinlashganda, funktsiya qiymatlari minus cheksizlikka moyil bo'ladi (x=2 chiziq vertikal asimptotadir) va abscissa plyus cheksizlikka moyil bo'lganligi sababli, funktsiya qiymatlari asimptotik tarzda y = 3 ga yaqinlashadi. Ushbu misolning grafik tasviri 8-rasmda ko'rsatilgan.

Segmentdagi uzluksiz funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish algoritmi.

Keling, segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topishga imkon beruvchi algoritmni yozaylik.

1. Biz funktsiyaning ta'rif sohasini topamiz va uning butun segmentni o'z ichiga olganligini tekshiramiz.
2. Biz birinchi hosila mavjud bo'lmagan va segmentda joylashgan barcha nuqtalarni topamiz (odatda bunday nuqtalar modul belgisi ostida va argumentli funktsiyalarda topiladi. quvvat funktsiyalari kasr-ratsional ko'rsatkich bilan). Agar bunday nuqtalar bo'lmasa, keyingi nuqtaga o'ting.
3. Biz segmentga tushadigan barcha statsionar nuqtalarni aniqlaymiz. Buning uchun biz uni nolga tenglashtiramiz, hosil bo'lgan tenglamani echamiz va mos ildizlarni tanlaymiz. Agar statsionar nuqtalar bo'lmasa yoki ularning hech biri segmentga tushmasa, keyingi nuqtaga o'ting.
4. Funktsiyaning qiymatlarini tanlangan statsionar nuqtalarda (agar mavjud bo'lsa), birinchi hosila mavjud bo'lmagan nuqtalarda (agar mavjud bo'lsa), shuningdek x=a va x=b nuqtalarida hisoblaymiz.
5. Funktsiyaning olingan qiymatlaridan biz eng katta va eng kichikni tanlaymiz - ular mos ravishda funktsiyaning kerakli eng katta va eng kichik qiymatlari bo'ladi.

Segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun misolni yechish algoritmini tahlil qilaylik.

Misol.

Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatini toping

• segment bo'yicha;
• segmentida [-4;-1] .

Yechim.

Funktsiyani aniqlash sohasi noldan tashqari haqiqiy sonlarning butun to'plamidir, ya'ni. Ikkala segment ham ta'rif sohasiga kiradi.

Funktsiyaning hosilasini toping:

Shubhasiz, funktsiyaning hosilasi segmentlarning barcha nuqtalarida va [-4;-1] mavjud.

Tenglamadan statsionar nuqtalarni aniqlaymiz. Yagona haqiqiy ildiz x=2 bo'ladi. Bu statsionar nuqta birinchi segmentga tushadi.

Birinchi holda, biz segmentning uchlari va statsionar nuqtadagi funktsiya qiymatlarini hisoblaymiz, ya'ni x=1, x=2 va x=4 uchun:

Shuning uchun funksiyaning eng katta qiymati x=1 va eng kichik qiymatda erishiladi – x=2 da.

Ikkinchi holda, biz funktsiya qiymatlarini faqat segmentning uchlarida hisoblaymiz [-4;-1] (chunki u bitta statsionar nuqtani o'z ichiga olmaydi):

Yechim.

Funktsiyaning domenidan boshlaylik. Kvadrat trinomial kasrning maxraji yo'qolmasligi kerak:

Muammo bayonotidagi barcha intervallar funksiyani aniqlash sohasiga tegishli ekanligini tekshirish oson.

Funktsiyani farqlaylik:

Shubhasiz, hosila butun funktsiyani aniqlash sohasida mavjud.

Keling, statsionar nuqtalarni topamiz. hosila nolga tushadi. Bu statsionar nuqta (-3;1] va (-3;2) oraliqlari ichiga tushadi.

Endi siz har bir nuqtada olingan natijalarni funksiya grafigi bilan solishtirishingiz mumkin. Moviy nuqtali chiziqlar asimptotalarni ko'rsatadi.

Ushbu nuqtada biz funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish bilan yakunlashimiz mumkin. Ushbu maqolada muhokama qilingan algoritmlar sizga minimal harakatlar bilan natijalarni olish imkonini beradi. Biroq, birinchi navbatda funktsiyaning o'sishi va kamayishi oraliqlarini aniqlash foydali bo'lishi mumkin va shundan keyingina har qanday intervalda funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari haqida xulosa chiqarish mumkin. Bu aniqroq rasm va natijalar uchun qat'iy asos beradi.

Variant 1. da

1. Funksiya grafigi y=f(x) rasmda ko'rsatilgan.

Ushbu funktsiya uchun eng katta qiymatni belgilang 1

segmentida [ a; b]. A 0 1 b x

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. Funktsiyalar y=f(x) segmentida berilgan [ a; b]. da

Rasmda uning hosilasining grafigi ko'rsatilgan

y=f ´(x). Ekstremallarni o'rganing 1 b

funktsiyasi y=f(x). Iltimos, javobingizda miqdorni ko'rsating. a 0 1 x

minimal ball.

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. Funksiyaning eng katta qiymatini toping y= -2x2+8x -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. Funksiyaning eng kichik qiymatini toping segmentida .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.

7. Funksiyaning eng kichik qiymatini toping y=|2x+3| - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> nuqtada minimumga ega xo=1,5?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.da

9. Funksiyaning eng katta qiymatini belgilang y=f(x) ,

1 x

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

y=lg(100 – x2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. Funksiyaning eng kichik qiymatini toping y=2gunoh-1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

Test 14. Ekstremallar. Funktsiyaning eng katta (eng kichik) qiymati.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. Funktsiya grafigi y=f(x) rasmda ko'rsatilgan.

Ushbu funktsiya uchun eng kichik qiymatni belgilang 1

segmentida [ a; b]. A b

0 1 x

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. da Rasmda funktsiyaning grafigi ko'rsatilgan y=f(x).

Funksiya nechta maksimal nuqtaga ega?

1

0 1 x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. Funksiya qaysi nuqtada joylashgan y=2x2+24x -25 eng kichik qiymatni oladi?

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> segmentida [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> nuqtada minimumga ega xo= -2?

; 2) -6;; 4) 6.da

9. Funksiyaning eng kichik qiymatini belgilang y=f(x) ,

uning grafigi rasmda ko'rsatilgan. 1 x

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. Funksiyaning eng katta qiymatini toping y=jurnal11 (121 – x2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. Funksiyaning eng katta qiymatini toping y=2cos+3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

Javoblar :

Ushbu maqolada men bu haqda gaplashaman eng katta va eng kichik qiymatni topish algoritmi funktsiyalari, minimal va maksimal nuqtalari.

Nazariy jihatdan bu biz uchun foydali bo'ladi hosilaviy jadval Va farqlash qoidalari. Hammasi bu plastinkada:

Eng katta va eng kichik qiymatlarni topish algoritmi.

Menga tushuntirish uchun qulayroq aniq misol. Ko'rib chiqing:

Misol:[–4;0] segmentida y=x^5+20x^3–65x funksiyaning eng katta qiymatini toping.

1-qadam. Biz hosilani olamiz.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

2-qadam. Ekstremal nuqtalarni topish.

Ekstremal nuqta funktsiya eng katta yoki minimal qiymatiga erishgan nuqtalarni chaqiramiz.

Ekstremum nuqtalarni topish uchun funktsiyaning hosilasini nolga tenglashtirish kerak (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Endi biz bu bikvadrat tenglamani yechamiz va topilgan ildizlar bizning ekstremum nuqtalarimizdir.

Men bunday tenglamalarni t = x ^ 2, keyin 5t ^ 2 + 60 t - 65 = 0 ni almashtirish orqali hal qilaman.

Tenglamani 5 ga kamaytiramiz, biz olamiz: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Biz teskari o'zgarishlarni amalga oshiramiz x ^ 2 = t:

X_(1 va 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 va 4) = ±sqrt(-13) (biz istisno qilamiz, bo'lishi mumkin emas. manfiy raqamlar, agar biz murakkab raqamlar haqida gapirmasak)

Jami: x_(1) = 1 va x_(2) = -1 - bu bizning ekstremum nuqtalarimiz.

3-qadam. Eng katta va eng kichik qiymatni aniqlang.

O'zgartirish usuli.

Shartda bizga [b][–4;0] segmenti berildi. x=1 nuqta bu segmentga kiritilmagan. Shuning uchun biz buni hisobga olmaymiz. Lekin x=-1 nuqtadan tashqari, segmentimizning chap va o'ng chegaralarini, ya'ni -4 va 0 nuqtalarini ham hisobga olishimiz kerak. Buning uchun biz ushbu uch nuqtaning barchasini asl funktsiyaga almashtiramiz. E'tibor bering, asl shartda berilgan (y=x^5+20x^3–65x), ba'zi odamlar uni lotinga almashtira boshlaydilar...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Demak, funksiyaning eng katta qiymati [b]44 va u [b]-1 nuqtada erishiladi, bu funksiyaning segmentdagi maksimal nuqtasi deb ataladi [-4; 0].

Biz qaror qildik va javob oldik, biz ajoyibmiz, siz dam olishingiz mumkin. Lekin to'xtang! Sizningcha, y(-4) ni hisoblash juda qiyin emasmi? Cheklangan vaqt sharoitida boshqa usuldan foydalanish yaxshidir, men buni shunday deb atayman:

Belgilar doimiyligi oraliqlari orqali.

Bu intervallar funksiya hosilasi uchun, ya’ni bikvadrat tenglamamiz uchun topiladi.

Men buni shunday qilaman. Men yo'naltirilgan segmentni chizaman. Nuqtalarni qo'yaman: -4, -1, 0, 1. Berilgan segmentga 1 kiritilmaganiga qaramay, belgining doimiylik intervallarini to'g'ri aniqlash uchun uni hali ham qayd etish kerak. Keling, 1 dan ko'p marta kattaroq sonni olaylik, deylik 100 va uni aqliy ravishda 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 bikvadrat tenglamamizga almashtiramiz. Hech narsani hisoblamagan holda ham, 100 nuqtada aniq bo'ladi. funktsiya ortiqcha belgisiga ega. Bu 1 dan 100 gacha bo'lgan oraliqlar uchun u ortiqcha belgisiga ega ekanligini anglatadi. 1 dan o'tayotganda (biz o'ngdan chapga boramiz), funktsiya belgisini minusga o'zgartiradi. 0 nuqtadan o'tayotganda funktsiya o'z belgisini saqlab qoladi, chunki bu faqat segmentning chegarasi va tenglamaning ildizi emas. -1 dan o'tganda, funktsiya yana belgisini ortiqcha ga o'zgartiradi.

Nazariyadan biz funktsiyaning hosilasi qaerda ekanligini bilamiz (va biz buni aniq chizganmiz) belgisini ortiqcha dan minusga o'zgartiradi (bizning holatda -1 nuqta) funksiyaga etadi uning mahalliy maksimal (y(-1)=44, avvalroq hisoblangan) yoqilgan bu segment(bu mantiqan juda tushunarli, funktsiya o'sishni to'xtatdi, chunki u maksimal darajaga yetdi va pasayishni boshladi).

Shunga ko'ra, bu erda funktsiyaning hosilasi belgisini minusdan ortiqchaga o'zgartiradi, erishiladi funktsiyaning mahalliy minimumi. Ha, ha, biz mahalliy minimal nuqtani ham topdik 1 va y(1) segmentdagi funksiyaning minimal qiymati, deylik -1 dan +∞ gacha. E'tibor bering, bu faqat LOCAL MINIMUM, ya'ni ma'lum bir segmentdagi minimal. Funktsiyaning haqiqiy (global) minimumi u erda bir joyga, -∞ da yetib boradi.

Menimcha, birinchi usul nazariy jihatdan soddaroq, ikkinchisi esa arifmetik amallar nuqtai nazaridan oddiyroq, ammo nazariya nuqtai nazaridan ancha murakkabroq. Axir, ba'zida funksiya tenglamaning ildizidan o'tayotganda ishorani o'zgartirmaydigan holatlar mavjud va umuman olganda siz ushbu mahalliy, global maksimal va minimallar bilan adashishingiz mumkin, garchi siz buni baribir yaxshi o'zlashtirishingiz kerak bo'ladi. ro'yxatdan o'tishni rejalashtirish texnika universiteti(Yana nima uchun siz yagona davlat imtihonini topshirasiz va bu vazifani hal qilasiz). Ammo amaliyot va faqat amaliyot sizni bunday muammolarni bir marta va butunlay hal qilishga o'rgatadi. Va bizning veb-saytimizda mashq qilishingiz mumkin. Bu yerga .

Agar sizda biron bir savol bo'lsa yoki biror narsa tushunarsiz bo'lsa, so'rashni unutmang. Men sizga javob berishdan va maqolaga o'zgartirish va qo'shimchalar kiritishdan xursand bo'laman. Esda tutingki, biz bu saytni birgalikda yaratamiz!

Keling, funktsiyani grafik yordamida qanday tekshirishni ko'rib chiqaylik. Ma'lum bo'lishicha, grafikaga qarab, bizni qiziqtirgan hamma narsani bilib olishimiz mumkin, xususan:

• funktsiya sohasi
• funktsiya diapazoni
• funktsiya nollari
• ortish va pasayish intervallari
• maksimal va minimal ball
• segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati.

Keling, terminologiyaga aniqlik kiritaylik:

Abscissa nuqtaning gorizontal koordinatasi hisoblanadi.
Ordinatsiya qilish- vertikal koordinata.
Abscissa o'qi- ko'pincha eksa deb ataladigan gorizontal o'q.
Y o'qi- vertikal o'q yoki eksa.

Dalil- funktsiya qiymatlari bog'liq bo'lgan mustaqil o'zgaruvchi. Ko'pincha ko'rsatilgan.
Boshqacha qilib aytganda, biz ni tanlaymiz, formulaga funktsiyalarni almashtiramiz va ni olamiz.

Domen funktsiyalar - bu funktsiya mavjud bo'lgan (va faqat o'sha) argument qiymatlari to'plami.
Belgilangan: yoki.

Bizning rasmimizda funksiyani aniqlash sohasi segmentdir. Aynan shu segmentda funksiya grafigi chiziladi. Bu funksiya mavjud bo'lgan yagona joy.

Funktsiya diapazoni o'zgaruvchi qabul qiladigan qiymatlar to'plamidir. Bizning rasmimizda bu segment - eng pastdan eng yuqori qiymatgacha.

Funktsiya nollari- funksiyaning qiymati nolga teng bo'lgan nuqtalar, ya'ni. Bizning rasmimizda bu nuqtalar va .

Funktsiya qiymatlari ijobiy qayerda. Bizning rasmimizda bu intervallar va .
Funktsiya qiymatlari salbiy qayerda. Biz uchun bu dan gacha bo'lgan interval (yoki interval).

Eng muhim tushunchalar - oshirish va kamaytirish funktsiyasi ba'zi to'plamda. To'plam sifatida siz segmentni, intervalni, intervallar birligini yoki butun son chizig'ini olishingiz mumkin.

Funktsiya ortadi

Boshqacha aytganda, qancha ko'p , shuncha ko'p, ya'ni grafik o'ngga va yuqoriga boradi.

Funktsiya kamayadi to'plamda agar har qanday bo'lsa va to'plamga tegishli bo'lsa, tengsizlik tengsizlikni bildiradi.

Kamayuvchi funktsiya uchun kattaroq qiymat kichikroq qiymatga mos keladi. Grafik o'ngga va pastga tushadi.

Bizning rasmimizda funktsiya oraliqda ortib boradi va intervallarda kamayadi.

Keling, nima ekanligini aniqlaylik funktsiyaning maksimal va minimal nuqtalari.

Maksimal nuqta- bu ta'rif sohasining ichki nuqtasi bo'lib, undagi funktsiyaning qiymati unga etarlicha yaqin bo'lgan barcha nuqtalardan kattaroqdir.
Boshqacha qilib aytganda, maksimal nuqta - bu funktsiyaning qiymati bo'lgan nuqta Ko'proq qo'shnilarga qaraganda. Bu grafikdagi mahalliy "tepalik".

Bizning rasmimizda maksimal nuqta mavjud.

Minimal nuqta- ta'rif sohasining ichki nuqtasi, undagi funktsiyaning qiymati unga etarlicha yaqin bo'lgan barcha nuqtalardan kichik bo'ladi.
Ya'ni, minimal nuqta shundayki, undagi funktsiyaning qiymati qo'shnilariga qaraganda kamroq. Bu grafikdagi mahalliy "teshik".

Bizning rasmimizda minimal nuqta bor.

Nuqta - bu chegara. Bu ta'rif sohasining ichki nuqtasi emas va shuning uchun maksimal nuqta ta'rifiga mos kelmaydi. Axir, uning chap tomonida qo'shnilari yo'q. Xuddi shu tarzda, bizning jadvalimizda minimal nuqta bo'lishi mumkin emas.

Maksimal va minimal nuqtalar birgalikda deyiladi funktsiyaning ekstremal nuqtalari. Bizning holatlarimizda bu va.

Agar topish kerak bo'lsa, nima qilish kerak, masalan, minimal funktsiya segmentida? Bu holda javob: . Chunki minimal funktsiya uning minimal nuqtadagi qiymati.

Xuddi shunday, bizning funktsiyamizning maksimal qiymati . Bu nuqtaga erishiladi.

Funksiyaning ekstremallari va ga teng, deyishimiz mumkin.

Ba'zan muammolar topishni talab qiladi funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari ma'lum bir segmentda. Ular ekstremal holatlarga to'g'ri kelishi shart emas.

Bizning holatda eng kichik funktsiya qiymati segmentdagi funktsiyaning minimaliga teng va mos keladi. Ammo uning ushbu segmentdagi eng katta qiymati ga teng. U segmentning chap uchida joylashgan.

Qanday bo'lmasin, segmentdagi uzluksiz funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlariga ekstremum nuqtalarda yoki segmentning uchlarida erishiladi.