Dars maqsadlari

Maktab o'quvchilarini bu bilan tanishtiring matematik tushuncha, sonning moduli sifatida;
Maktab o'quvchilariga raqamlar modullarini topish ko'nikmalarini o'rgatish;
Turli topshiriqlarni bajarish orqali o'rganilgan materialni mustahkamlash;

Vazifalar

Bolalarning raqamlar moduli haqidagi bilimlarini mustahkamlash;
Yechimni ishlatish test topshiriqlari talabalar o'rganilgan materialni qanday o'zlashtirganliklarini tekshirish;
Matematika darslariga qiziqishni oshirishda davom eting;
Maktab o'quvchilarida mantiqiy fikrlash, qiziquvchanlik va qat'iyatlilikni rivojlantirish.

Dars rejasi

1. Umumiy tushunchalar va sonning modulini aniqlash.
2. Geometrik ma'no modul.
3. Sonning moduli va uning xossalari.
4. Sonning moduli bo‘lgan tenglama va tengsizliklarni yechish.
5. Tarixiy ma'lumotnoma"sonning moduli" atamasi haqida.
6. O`tilgan mavzu bo`yicha bilimlarni mustahkamlash uchun topshiriq.
7. Uyga vazifa.

Sonning moduli haqida umumiy tushunchalar

Raqamning moduli, agar u mavjud bo'lmasa, odatda raqamning o'zi deb ataladi salbiy qiymat, yoki bir xil raqam manfiy, lekin teskari belgi bilan.

Ya'ni, manfiy bo'lmagan haqiqiy a sonning moduli sonning o'zi:

Va manfiy haqiqiy sonning moduli x ga qarama-qarshi sondir:

Yozishda u quyidagicha ko'rinadi:

Aniqroq tushunish uchun keling, misol keltiraylik. Masalan, 3 sonining moduli 3 ga, shuningdek -3 sonining moduli 3 ga teng.

Bundan kelib chiqadiki, sonning moduli mutlaq qiymatni, ya’ni mutlaq qiymatini bildiradi, lekin uning belgisini hisobga olmagan holda. Oddiyroq qilib aytganda, raqamdan belgini olib tashlash kerak.

Raqamning moduli quyidagicha belgilanishi mumkin: |3|, |x|, |a| va hokazo.

Demak, masalan, 3 sonining moduli |3| bilan belgilanadi.

Shuni ham yodda tutish kerakki, sonning moduli hech qachon manfiy bo'lmaydi: |a|≥ 0.

|5| = 5, |-6| = 6, |-12,45| = 12,45 va boshqalar.

Modulning geometrik ma'nosi

Raqamning moduli - bu boshdan nuqtagacha bo'lgan birlik segmentlarida o'lchanadigan masofa. Ushbu ta'rif modulni ochib beradi geometrik nuqta ko'rish.

Keling, koordinatali chiziqni olamiz va uning ustida ikkita nuqtani belgilaymiz. Bu nuqtalar -4 va 2 kabi raqamlarga mos kelsin.

Endi bu raqamga e'tibor qaratamiz. Koordinata chizig'ida ko'rsatilgan A nuqta -4 raqamiga mos kelishini ko'ramiz va agar diqqat bilan qarasangiz, bu nuqta 0 mos yozuvlar nuqtasidan 4 birlik segmentlari masofasida joylashganligini ko'rasiz. Bundan kelib chiqadiki, OA segmentining uzunligi to'rt birlikka teng. Bunda OA segmentining uzunligi, ya'ni 4 soni -4 sonining moduli bo'ladi.

Bunda sonning moduli shunday belgilanadi va yoziladi: |−4| = 4.

Endi koordinata chizig'idagi B nuqtasini olamiz va belgilaymiz.

Bu B nuqtasi +2 raqamiga to'g'ri keladi va biz ko'rib turganimizdek, u boshlang'ichdan ikkita birlik segmentlari masofasida joylashgan. Bundan kelib chiqadiki, OB segmentining uzunligi ikki birlikka teng. Bunday holda, 2 raqami +2 sonining moduli bo'ladi.

Yozuvda u quyidagicha ko'rinadi: |+2| = 2 yoki |2| = 2.

Endi xulosa qilaylik. Agar biz biron bir noma'lum a sonini olib, uni koordinata chizig'ida A nuqta deb belgilasak, bu holda A nuqtadan boshlang'ichgacha bo'lgan masofa, ya'ni OA segmentining uzunligi aniq "a" sonining moduli bo'ladi. ”.

Yozishda u quyidagicha ko'rinadi: |a| = OA.

Sonning moduli va uning xossalari

Keling, modulning xususiyatlarini ajratib ko'rsatishga harakat qilaylik, barcha mumkin bo'lgan holatlarni ko'rib chiqamiz va ularni harfiy iboralar yordamida yozamiz:

Birinchidan, sonning moduli manfiy bo'lmagan son bo'lib, musbat sonning moduli sonning o'ziga teng ekanligini bildiradi: |a| = a, agar a > 0 bo'lsa;

Ikkinchidan, qarama-qarshi sonlardan tashkil topgan modullar teng: |a| = |–a|. Ya'ni, bu xususiyat bizga qarama-qarshi sonlar har doim teng modullarga ega ekanligini aytadi, xuddi koordinata chizig'idagi kabi, ular qarama-qarshi raqamlarga ega bo'lsa-da, ular mos yozuvlar nuqtasidan bir xil masofada joylashgan. Bundan kelib chiqadiki, bu qarama-qarshi sonlarning modullari tengdir.

Uchinchidan, agar bu raqam nolga teng bo'lsa, nolning moduli nolga teng: |0| = 0, agar a = 0 bo'lsa. Bu erda biz ishonch bilan aytishimiz mumkinki, nol moduli ta'rifi bo'yicha nolga teng, chunki u koordinata chizig'ining boshiga mos keladi.

Modulning to‘rtinchi xossasi shundaki, ikkita son ko‘paytmasining moduli shu sonlar modullarining ko‘paytmasiga teng. Endi bu nimani anglatishini batafsil ko'rib chiqaylik. Agar biz ta'rifga amal qilsak, siz va men bilamizki, a va b raqamlari ko'paytmasining moduli a b ga teng bo'ladi yoki a b ≥ 0 bo'lsa - (a b), yoki a b dan katta bo'lsa - (a b) bo'ladi. 0. B yozuvi quyidagicha ko'rinadi: |a b| = |a| |b|.

Beshinchi xossa - sonlar bo'limining moduli shu sonlar modullarining nisbatiga teng: |a: b| = |a| : |b|.

Va raqam modulining quyidagi xususiyatlari:

Sonning moduli ishtirok etgan tenglamalar va tengsizliklarni yechish

Raqamli modulga ega bo'lgan masalalarni echishni boshlaganda, shuni yodda tutish kerakki, bunday vazifani hal qilish uchun ushbu masala mos keladigan xususiyatlarni bilishdan foydalangan holda modulning belgisini ochish kerak.

1-mashq

Masalan, agar modul belgisi ostida o'zgaruvchiga bog'liq ifoda mavjud bo'lsa, modul ta'rifga muvofiq kengaytirilishi kerak:

Albatta, muammolarni hal qilishda modul noyob tarzda ochilgan holatlar mavjud. Agar, masalan, olamiz

, bu erda modul belgisi ostidagi bunday ifoda x va y ning har qanday qiymatlari uchun manfiy emasligini ko'ramiz.

Yoki, masalan, olaylik

, biz ushbu modul ifodasi z ning hech qanday qiymatlari uchun ijobiy emasligini ko'ramiz.

Vazifa 2

Sizning oldingizda koordinatali chiziq ko'rsatilgan. Ushbu qatorda moduli 2 ga teng bo'lgan raqamlarni belgilash kerak.

Yechim

Avvalo, biz koordinata chizig'ini chizishimiz kerak. Buni amalga oshirish uchun avval to'g'ri chiziqda siz boshlang'ich, yo'nalish va birlik segmentini tanlashingiz kerakligini allaqachon bilasiz. Keyinchalik, biz ikkita birlik segmentining masofasiga teng bo'lgan nuqtalarni kelib chiqishidan joylashtirishimiz kerak.

Ko'rib turganingizdek, koordinata chizig'ida ikkita shunday nuqta mavjud bo'lib, ulardan biri -2 raqamiga, ikkinchisi esa 2 raqamiga to'g'ri keladi.

Sonlar moduli haqida tarixiy ma'lumotlar

"Modul" atamasi lotincha modulus nomidan kelib chiqqan bo'lib, "o'lchov" degan ma'noni anglatadi. Bu atama ingliz matematigi Rojer Kotes tomonidan kiritilgan. Ammo modul belgisi nemis matematigi Karl Veyershtrass tufayli kiritilgan. Yozilganda modul quyidagi belgi yordamida belgilanadi: | |.

Materiallar bo'yicha bilimlarni mustahkamlash uchun savollar

Bugungi darsimizda biz sonning moduli kabi tushuncha bilan tanishdik, endi esa berilgan savollarga javob berib, ushbu mavzuni qanday o‘zlashtirganingizni tekshirib ko‘ramiz:

1. Musbat songa qarama-qarshi bo‘lgan son qanday nomlanadi?
2. Manfiy songa qarama-qarshi bo‘lgan son qanday nomlanadi?
3. Nolga teskari sonni ayting. Bunday raqam bormi?
4. Sonning moduli bo‘la olmaydigan sonni ayting.
5. Sonning modulini aniqlang.

Uy vazifasi

1. Sizning oldingizda modullarning kamayish tartibida joylashtirishingiz kerak bo'lgan raqamlar mavjud. Agar siz topshiriqni to'g'ri bajarsangiz, "modul" atamasini matematikaga birinchi marta kiritgan shaxsning ismini bilib olasiz.

2. Koordinata chizig‘ini chizing va M (-5) va K (8) dan koordinatali nuqtagacha bo‘lgan masofani toping.

Mavzular > Matematika > Matematika 6-sinf

Ushbu darsda haqiqiy sonning moduli tushunchasi ko'rib chiqiladi va uning ba'zi asosiy ta'riflari bilan tanishtiriladi, so'ngra ushbu ta'riflarning har xil ishlatilishini ko'rsatadigan misollar keltiriladi.

Mavzu:Haqiqiy raqamlar

Dars:Haqiqiy sonning moduli

1. Modul ta'riflari

Haqiqiy sonning moduli kabi tushunchani ko'rib chiqaylik, uning bir nechta ta'riflari mavjud.

Ta'rif 1. Koordinata chizig'idagi nuqtadan nolga qadar bo'lgan masofa deyiladi modul raqami, bu nuqtaning koordinatasi (1-rasm).

1-misol. . E'tibor bering, qarama-qarshi sonlarning modullari teng va manfiy emas, chunki bu masofa, lekin u manfiy bo'lishi mumkin emas va nolga yaqin simmetrik raqamlardan boshlang'ichgacha bo'lgan masofa tengdir.

Ta'rif 2. .

2-misol. Kiritilgan ta'riflarning ekvivalentligini ko'rsatish uchun oldingi misolda qo'yilgan masalalardan birini ko'rib chiqamiz. , biz ko'rib turganimizdek, modul belgisi ostida manfiy raqam bilan, uning oldiga yana bir minus qo'shilishi, modulning ta'rifidan kelib chiqqan holda, salbiy bo'lmagan natijani beradi.

Natija. Koordinata chizig'idagi koordinatali ikki nuqta orasidagi masofani quyidagicha topish mumkin qat'iy nazar nisbiy pozitsiya nuqtalar (2-rasm).

2. Modulning asosiy xossalari

1. Har qanday sonning moduli manfiy emas

2. Mahsulotning moduli modullarning mahsulotidir

3. Bo'lim moduli modullarning ko'rsatkichidir

3. Muammoni hal qilish

3-misol. Tenglamani yeching.

Yechim. Keling, ikkinchi modul ta'rifidan foydalanamiz: va tenglamamizni tenglamalar sistemasi shaklida yozing turli xil variantlar modulni ochish.

Misol 4. Tenglamani yeching.

Yechim. Oldingi misoldagi yechimga o'xshab, biz buni olamiz.

5-misol. Tenglamani yeching.

Yechim. Keling, modulning birinchi ta'rifidan kelib chiqadigan xulosa orqali hal qilaylik: . Kerakli ildiz 3-banddan 2 masofada bo'lishini hisobga olib, buni raqam o'qida tasvirlaymiz (3-rasm).

Rasmga asoslanib, biz tenglamaning ildizlarini olamiz: , chunki bunday koordinatali nuqtalar tenglamada talab qilinganidek, 3 nuqtadan 2 masofada joylashgan.

Javob. .

Misol 6. Tenglamani yeching.

Yechim. Oldingi muammo bilan solishtirganda, faqat bitta murakkablik bor - bu koordinata o'qidagi raqamlar orasidagi masofa haqidagi xulosani shakllantirish bilan to'liq o'xshashlik yo'q, chunki modul belgisi ostida minus emas, balki ortiqcha belgisi mavjud. belgisi. Ammo uni kerakli shaklga keltirish qiyin emas, biz buni qilamiz:

Buni oldingi yechimga o'xshash son o'qida tasvirlaymiz (4-rasm).

Tenglamaning ildizlari .

Javob. .

7-misol. Tenglamani yeching.

Yechim. Bu tenglama avvalgisiga qaraganda biroz murakkabroq, chunki noma'lum ikkinchi o'rinda turadi va minus belgisiga ega, qo'shimcha ravishda u raqamli ko'paytirgichga ham ega. Birinchi muammoni hal qilish uchun biz modul xususiyatlaridan birini ishlatamiz va quyidagilarni olamiz:

Ikkinchi masalani hal qilish uchun o'zgaruvchilarni o'zgartirishni amalga oshiramiz: , bu bizni eng oddiy tenglamaga olib boradi. Modulning ikkinchi ta'rifi bo'yicha . Ushbu ildizlarni almashtirish tenglamasiga qo'ying va ikkita chiziqli tenglamani oling:

Javob. .

4. Kvadrat ildiz va modul

Ko'pincha, ildizlar bilan bog'liq muammolarni hal qilishda modullar paydo bo'ladi va siz ular paydo bo'lgan vaziyatlarga e'tibor berishingiz kerak.

Ushbu o'ziga xoslikka birinchi qarashda savollar tug'ilishi mumkin: "nega u erda modul bor?" va "nima uchun shaxs noto'g'ri?" Ma'lum bo'lishicha, biz ikkinchi savolga oddiy qarama-qarshi misol keltira olamiz: agar bu to'g'ri bo'lsa, bu ekvivalent, ammo bu noto'g'ri identifikatsiya.

Shundan so'ng, savol tug'ilishi mumkin: "bunday identifikatsiya muammoni hal qilmaydimi?", lekin bu taklifga qarshi misol ham mavjud. Agar bu to'g'ri bo'lsa, bu ekvivalent, lekin bu noto'g'ri identifikatsiya.

Shunga ko'ra, agar biz buni eslasak Kvadrat ildiz manfiy bo'lmagan son manfiy bo'lmagan son va modul qiymati manfiy bo'lmasa, yuqoridagi gap nima uchun to'g'ri ekanligi ayon bo'ladi:

.

Misol 8. Ifodaning qiymatini hisoblang.

Yechim. Bunday vazifalarda, o'ylamasdan darhol ildizdan qutulish emas, balki yuqorida aytib o'tilgan o'ziga xoslikni qo'llash muhimdir, chunki .

Maxsus raqam sifatida uning belgisi yo'q.

Raqamlarni yozishga misollar: + 36, 6; − 273; 142. (\displaystyle +36(,)6;\ (-)273;\ 142.) Oxirgi raqam belgisi yo'q va shuning uchun ijobiydir.

Shuni ta'kidlash kerakki, ortiqcha va minus raqamlar uchun belgini bildiradi, lekin harfiy o'zgaruvchilar yoki algebraik ifodalar uchun emas. Masalan, formulalarda − t ; a+b; − (a 2 + b 2) (\displaystyle -t;\ a+b;\ -(a^(2)+b^(2)))) ortiqcha va minus belgilari o'zidan oldingi ifodaning belgisini emas, balki belgini bildiradi arifmetik amal, shuning uchun natijaning belgisi har qanday bo'lishi mumkin, u ifoda baholangandan keyingina aniqlanadi.

Arifmetikadan tashqari, belgi tushunchasi matematikaning boshqa sohalarida, shu jumladan raqamli bo'lmagan matematik ob'ektlar uchun ham qo'llaniladi (pastga qarang). Belgi tushunchasi fizik kattaliklar shartli ravishda ijobiy va manfiy deb ataladigan ikki sinfga bo'lingan fizika sohalarida ham muhimdir - masalan, elektr zaryadlari, musbat va manfiy mulohazalar, turli tortishish va itarilish kuchlari.

Raqam belgisi

Ijobiy va manfiy raqamlar

Nolga hech qanday belgi belgilanmagan, ya'ni + 0 (\displaystyle +0) Va − 0 (\displaystyle -0)- bu arifmetikada bir xil raqam. Matematik tahlilda belgilarning ma'nosi + 0 (\displaystyle +0) Va − 0 (\displaystyle -0) farq qilishi mumkin, bu haqida Salbiy va ijobiy nolga qarang; kompyuter fanida ikkita nolning kompyuter kodlashi (butun son turi) farq qilishi mumkin, To'g'ridan-to'g'ri kodga qarang.

Yuqoridagilar bilan bog'liq holda yana bir nechta foydali atamalar kiritilgan:

• Raqam salbiy bo'lmagan, agar u noldan katta yoki teng bo'lsa.
• Raqam salbiy, agar u noldan kichik yoki teng bo'lsa.
• Nolsiz musbat sonlar va nolsiz manfiy raqamlar ba'zan (ularning nolga teng emasligini ta'kidlash uchun) mos ravishda "qat'iy musbat" va "qat'iy manfiy" deb ataladi.

Xuddi shu atama ba'zan haqiqiy funktsiyalar uchun ishlatiladi. Masalan, funksiya chaqiriladi ijobiy, agar uning barcha qiymatlari ijobiy bo'lsa, salbiy bo'lmagan, agar uning barcha qiymatlari manfiy bo'lmasa va hokazo. Ular, shuningdek, funktsiyani ta'rifining berilgan oralig'ida ijobiy/salbiy ekanligini aytishadi..

Funksiyadan foydalanish misoli uchun Kvadrat ildiz#Kompleks raqamlar maqolasiga qarang.

Raqamning moduli (mutlaq qiymat).

Agar raqam x (\displaystyle x) belgini tashlang, natijada olingan qiymat chaqiriladi modul yoki mutlaq qiymat raqamlar x (\displaystyle x), belgilangan | x | . (\displaystyle |x |.) Misollar: | 3 | = 3; | − 3 | = 3. (\displaystyle |3|=3;\ |(-3)|=3.)

Har qanday haqiqiy raqamlar uchun a , b (\displaystyle a,b) quyidagi xossalarga ega.

Raqamli bo'lmagan ob'ektlar uchun belgilang

Burchak belgisi

Tekislikdagi burchakning qiymati, agar u soat miliga teskari yo'nalishda o'lchansa, ijobiy, aks holda salbiy hisoblanadi. Ikkita aylanish holati bir xil tarzda tasniflanadi:

• tekislikda aylanish - masalan, (–90°) ga aylanish soat yo'nalishi bo'yicha sodir bo'ladi;
• yo'naltirilgan o'q atrofida kosmosda aylanish, odatda, agar "gimlet qoidasi" qondirilsa, ijobiy hisoblanadi, aks holda u salbiy hisoblanadi.

Yo'nalish belgisi

Analitik geometriya va fizikada ma'lum bir to'g'ri chiziq yoki egri chiziq bo'ylab o'sish ko'pincha shartli ravishda ijobiy va salbiyga bo'linadi. Bunday bo'linish muammoning tuzilishiga yoki tanlangan koordinatalar tizimiga bog'liq bo'lishi mumkin. Misol uchun, egri chiziqning yoy uzunligini hisoblashda, ko'pincha bu uzunlikka minus belgisini ikkita mumkin bo'lgan yo'nalishdan birida belgilash qulay.

Hisoblash tizimiga kiring

eng muhim qism
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
Butun sonning belgisini ko'rsatish uchun ko'pchilik kompyuterlar foydalanadi

Bugun, do'stlar, snot yoki sentimentallik bo'lmaydi. Buning o'rniga, men sizni hech qanday savolsiz, 8-9-sinf algebra kursidagi eng dahshatli raqiblardan biri bilan jangga yuboraman.

Ha, siz hamma narsani to'g'ri tushundingiz: biz modulli tengsizliklar haqida gapiramiz. Biz to'rtta asosiy texnikani ko'rib chiqamiz, ular yordamida siz bunday muammolarning 90% ni hal qilishni o'rganasiz. Qolgan 10% haqida nima deyish mumkin? Xo'sh, biz ular haqida alohida darsda gaplashamiz. :)

Biroq, har qanday texnikani tahlil qilishdan oldin, siz allaqachon bilishingiz kerak bo'lgan ikkita faktni eslatib o'tmoqchiman. Aks holda, bugungi dars materialini umuman tushunmaslik xavfi bor.

Siz allaqachon bilishingiz kerak bo'lgan narsa

Kapitan Obviousness modulli tengsizliklarni hal qilish uchun siz ikkita narsani bilishingiz kerakligini ko'rsatmoqda:

1. Tengsizliklar qanday hal qilinadi;
2. Modul nima?

Ikkinchi nuqtadan boshlaylik.

Modul ta'rifi

Bu erda hamma narsa oddiy. Ikkita ta'rif mavjud: algebraik va grafik. Boshlash uchun - algebraik:

Ta'rif. $x$ sonining moduli yoki agar u noanfiy bo'lsa, uning o'zi yoki agar asl $x$ hali ham manfiy bo'lsa, unga qarama-qarshi sondir.

Bu shunday yozilgan:

\[\chap| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \o'ng.\]

Gapirmoqda oddiy tilda, modul "minussiz raqam" dir. Va aynan shu ikkilik (ba'zi joylarda siz asl raqam bilan hech narsa qilishingiz shart emas, boshqalarida esa qandaydir minusni olib tashlashingiz kerak), bu erda boshlang'ich talabalar uchun barcha qiyinchilik yotadi.

Yana bor geometrik ta'rif. Buni bilish ham foydalidir, lekin biz unga faqat murakkab va ba'zi maxsus holatlarda murojaat qilamiz, bu erda geometrik yondashuv algebraikdan ko'ra qulayroqdir (spoiler: bugungi kunda emas).

Ta'rif. Raqamlar qatorida $a$ nuqtasi belgilansin. Keyin modul $\left| x-a \right|$ - bu chiziqdagi $x$ nuqtadan $a$ nuqtagacha bo'lgan masofa.

Agar siz rasm chizsangiz, siz shunga o'xshash narsani olasiz:

Grafik ta'rifi modul

Qanday bo'lmasin, modulning ta'rifidan uning asosiy xususiyati darhol quyidagicha bo'ladi: sonning moduli har doim manfiy bo'lmagan miqdordir. Bu haqiqat bizning bugungi hikoyamiz orqali qizil ip bo'ladi.

Tengsizliklarni yechish. Intervalli usul

Endi tengsizliklarni ko'rib chiqaylik. Ularning ko'pi bor, ammo bizning vazifamiz hech bo'lmaganda ulardan eng oddiyini hal qilishdir. Pastga tushadiganlar chiziqli tengsizliklar, shuningdek, interval usuliga.

Menda ushbu mavzu bo'yicha ikkita katta saboq bor (Aytgancha, juda, juda foydali - men ularni o'rganishni tavsiya qilaman):

1. Tengsizliklar uchun interval usuli(ayniqsa videoni tomosha qiling);
2. Kasrli ratsional tengsizliklar- juda katta hajmli dars, lekin undan keyin sizda hech qanday savol bo'lmaydi.

Agar siz bularning barchasini bilsangiz, "tengsizlikdan tenglamaga o'tamiz" iborasi sizda o'zingizni devorga urish istagini uyg'otmasa, unda siz tayyorsiz: darsning asosiy mavzusiga do'zaxga xush kelibsiz. :)

1. “Modul funksiyadan kichik” shaklidagi tengsizliklar

Bu modullar bilan bog'liq eng keng tarqalgan muammolardan biridir. Shaklning tengsizligini yechish uchun talab qilinadi:

\[\chap| f\o'ng| \ltg\]

$f$ va $g$ funktsiyalari har qanday bo'lishi mumkin, lekin odatda ular polinomlardir. Bunday tengsizliklarga misollar:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \o'ng| \lt x+7; \\ & \chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng|+3\chap(x+1 \o'ng) \lt 0; \\ & \chap| ((x)^(2))-2\chap| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(tuzalash)\]

Ularning barchasini quyidagi sxema bo'yicha bir qatorda tom ma'noda hal qilish mumkin:

\[\chap| f\o'ng| \lt g\O'ng strelka -g \lt f \lt g\to'rt \chap (\O'ng strelka \chap\( \boshlang(hizalang) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(tekislang) \o'ng.\o'ng)\]

Biz moduldan xalos bo'lganimizni ko'rish oson, lekin buning evaziga biz qo'sh tengsizlikni olamiz (yoki bu bir xil narsa, ikkita tengsizlik tizimi). Ammo bu o'tish mutlaqo barcha mumkin bo'lgan muammolarni hisobga oladi: agar modul ostidagi raqam ijobiy bo'lsa, usul ishlaydi; salbiy bo'lsa, u hali ham ishlaydi; va $f$ yoki $g$ oʻrniga eng noadekvat funksiya bilan ham usul ishlaydi.

Tabiiyki, savol tug'iladi: oddiyroq bo'lishi mumkin emasmi? Afsuski, bu mumkin emas. Bu modulning butun nuqtasi.

Biroq, falsafalash bilan kifoya. Keling, bir nechta muammolarni hal qilaylik:

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| 2x+3 \o'ng| \lt x+7\]

Yechim. Shunday qilib, bizning oldimizda "modul kamroq" shaklidagi klassik tengsizlik bor - hatto o'zgartirish uchun hech narsa yo'q. Biz algoritmga muvofiq ishlaymiz:

\[\begin(align) & \left| f\o'ng| \lt g\O'ng strelka -g \lt f \lt g; \\ & \chap| 2x+3 \o'ng| \lt x+7\O'ng strelka -\chap(x+7 \o'ng) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(hizalang)\]

Oldindan "minus" qo'yilgan qavslarni ochishga shoshilmang: shoshqaloqlik tufayli siz haqoratli xatoga yo'l qo'yishingiz mumkin.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(hizalang) \o'ng.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \o'ngga.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \o'ng.\]

Muammo ikkita elementar tengsizlikka qisqartirildi. Parallel sonlar toʻgʻrida ularning yechimlarini koʻrsatamiz:

Ko'pchilikning kesishishi

Bu to'plamlarning kesishishi javob bo'ladi.

Javob: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng|+3\chap(x+1 \o'ng) \lt 0\]

Yechim. Bu vazifa biroz qiyinroq. Birinchidan, ikkinchi atamani o'ngga siljitish orqali modulni ajratib olaylik:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng| \lt -3\chap(x+1 \o'ng)\]

Shubhasiz, bizda yana "modul kichikroq" ko'rinishidagi tengsizlik mavjud, shuning uchun biz allaqachon ma'lum bo'lgan algoritm yordamida moduldan xalos bo'lamiz:

\[-\left(-3\left(x+1 \o'ng) \o'ng) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\chap(x+1 \o'ng)\]

Endi e'tibor bering: kimdir mana shu qavslar bilan men biroz buzuqman, deb aytadi. Lekin yana bir bor eslatib o'tamanki, bizning asosiy maqsadimiz tengsizlikni to‘g‘ri yeching va javobini oling. Keyinchalik, ushbu darsda tasvirlangan hamma narsani mukammal o'zlashtirganingizdan so'ng, uni o'zingiz xohlaganingizcha buzishingiz mumkin: qavslarni oching, minuslar qo'shing va hokazo.

Boshlash uchun biz chap tarafdagi ikkita minusdan xalos bo'lamiz:

\[-\left(-3\left(x+1 \o'ng) \o'ng)=\left(-1 \o'ng)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \left(x+1 \o'ng) =3\chap(x+1 \o'ng)\]

Endi juft tengsizlikdagi barcha qavslarni ochamiz:

Keling, qo'sh tengsizlikka o'tamiz. Bu safar hisob-kitoblar jiddiyroq bo'ladi:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(tekislash) \o'ngga.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( tekislang)\o'ng.\]

Ikkala tengsizlik kvadratik bo'lib, intervalli usul bilan echilishi mumkin (shuning uchun men aytaman: agar bu nima ekanligini bilmasangiz, modullarni hali qabul qilmaganingiz ma'qul). Birinchi tengsizlikdagi tenglamaga o'tamiz:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \o'ng)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end (tekislash)\]

Ko'rib turganingizdek, chiqish to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama, bu elementar usulda echilishi mumkin. Endi sistemaning ikkinchi tengsizligini ko'rib chiqamiz. U erda siz Viet teoremasini qo'llashingiz kerak bo'ladi:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \o'ng)\left(x+2 \o'ng)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end (tekislash)\]

Olingan raqamlarni ikkita parallel chiziqda belgilaymiz (birinchi tengsizlik uchun alohida, ikkinchisi uchun alohida):

Shunga qaramay, biz tengsizliklar tizimini yechayotganimiz sababli, bizni soyali to'plamlarning kesishishi qiziqtiradi: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Bu javob.

Javob: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Menimcha, ushbu misollardan keyin yechim sxemasi juda aniq:

1. Boshqa barcha shartlarni tengsizlikning qarama-qarshi tomoniga o'tkazish orqali modulni ajratib oling. Shunday qilib, biz $\left| ko'rinishdagi tengsizlikka erishamiz f\o'ng| \ltg$.
2. Ushbu tengsizlikni yuqorida tavsiflangan sxema bo'yicha moduldan qutulish orqali hal qiling. Bir nuqtada, qo'shaloq tengsizlikdan ikkita mustaqil ifoda tizimiga o'tish kerak bo'ladi, ularning har biri allaqachon alohida yechilishi mumkin.
3. Va nihoyat, bu ikkita mustaqil iboraning yechimlarini kesishish qoladi - va biz yakuniy javobni olamiz.

Shunga o'xshash algoritm quyidagi turdagi tengsizliklar uchun, modul bo'lganda mavjud ko'proq xususiyatlar. Biroq, bir nechta jiddiy "lekin" bor. Biz hozir bu "lekin" haqida gaplashamiz.

2. “Modul funksiyadan katta” shaklidagi tengsizliklar

Ular shunday ko'rinadi:

\[\chap| f\o'ng| \gtg\]

Avvalgisiga o'xshashmi? Ga o'xshaydi. Va shunga qaramay, bunday muammolar butunlay boshqacha tarzda hal qilinadi. Rasmiy ravishda, sxema quyidagicha:

\[\chap| f\o'ng| \gt g\O'ng strelka \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(hizalang) \o'ng.\]

Boshqacha qilib aytganda, biz ikkita holatni ko'rib chiqamiz:

1. Birinchidan, biz oddiygina modulni e'tiborsiz qoldiramiz va odatdagi tengsizlikni hal qilamiz;
2. Keyin, mohiyatiga ko'ra, biz modulni minus belgisi bilan kengaytiramiz va keyin tengsizlikning ikkala tomonini -1 ga ko'paytiramiz, menda esa ishora bor.

Bunday holda, variantlar kvadrat qavs bilan birlashtiriladi, ya'ni. Bizning oldimizda ikkita talabning kombinatsiyasi mavjud.

Yana bir bor e'tibor bering: bu tizim emas, balki butunlikdir javobda to'plamlar kesishgan emas, balki birlashtirilgan. Bu avvalgi nuqtadan tubdan farq qiladi!

Umuman olganda, ko'plab talabalar kasaba uyushmalari va chorrahalar bilan aralashib ketishadi, shuning uchun keling, bu masalani bir marta va umuman hal qilaylik:

• "∪" - ittifoq belgisi. Aslida, bu bizga kelgan stilize "U" harfi inglizchada va "Union" ning qisqartmasi, ya'ni. "Assotsiatsiyalar".
• "∩" - kesishish belgisi. Bu axlat hech qayerdan kelmadi, balki shunchaki "∪" ga qarshi nuqta sifatida paydo bo'ldi.

Eslab qolish osonroq bo'lishi uchun, ko'zoynak yasash uchun oyoqlarini ushbu belgilarga torting (endi meni giyohvandlik va alkogolizmni targ'ib qilishda ayblamang: agar siz ushbu darsni jiddiy o'rganayotgan bo'lsangiz, demak siz allaqachon giyohvand bo'lgansiz):

To'plamlarning kesishishi va birlashuvi o'rtasidagi farq

Rus tiliga tarjima qilinganda, bu quyidagilarni anglatadi: birlashma (jami) ikkala to'plamning elementlarini o'z ichiga oladi, shuning uchun u ularning har biridan kam emas; lekin kesishma (tizim) faqat birinchi to'plamda ham, ikkinchisida ham bir vaqtning o'zida bo'lgan elementlarni o'z ichiga oladi. Shuning uchun to'plamlarning kesishishi hech qachon manba to'plamlaridan katta bo'lmaydi.

Shunday qilib, aniqroq bo'ldimi? Bu ajoyib. Keling, amaliyotga o'tamiz.

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| 3x+1 \o'ng| \gt 5-4x\]

Yechim. Biz sxema bo'yicha harakat qilamiz:

\[\chap| 3x+1 \o'ng| \gt 5-4x\O'ng strelka \chap[ \begin(hizala) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \o'ng) \\\end(hizalang) \ to'g'ri.\]

Populyatsiyadagi har bir tengsizlikni hal qilamiz:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(hizalang) \o'ngga.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \o'ng.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(hizala) \o'ng.\]

Biz har bir natija to'plamini raqamlar qatorida belgilaymiz va keyin ularni birlashtiramiz:

To'plamlar ittifoqi

Javob $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ bo'lishi aniq.

Javob: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng| \gt x\]

Yechim. Nima bopti? Hech narsa - hammasi bir xil. Biz modulli tengsizlikdan ikkita tengsizliklar to'plamiga o'tamiz:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng| \gt x\O'ng strelka \left[ \begin(hizala) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(tekislash) \o'ngga.\]

Biz har bir tengsizlikni hal qilamiz. Afsuski, u erda ildizlar juda yaxshi bo'lmaydi:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end (tekislash)\]

Ikkinchi tengsizlik ham biroz yovvoyi:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end (tekislash)\]

Endi siz bu raqamlarni ikkita o'qda belgilashingiz kerak - har bir tengsizlik uchun bitta o'q. Biroq, nuqtalar belgilanishi kerak to'g'ri tartibda: Qanaqasiga kattaroq raqam, qanchalik uzoqroq bo'lsa, biz nuqtani o'ngga siljitamiz.

Va bu erda bizni sozlash kutmoqda. Agar $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ raqamlari bilan hamma narsa aniq bo'lsa (birinchi raqamdagi shartlar) kasr sekundning numeratoridagi hadlardan kichik, shuning uchun yig'indi ham kichik bo'ladi), raqamlar bilan $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) (21))(2)$ ham hech qanday qiyinchiliklar bo'lmaydi (ijobiy raqam aniqroq salbiy), keyin oxirgi juftlik bilan hamma narsa unchalik aniq emas. Qaysi biri kattaroq: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ yoki $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Raqamli chiziqlardagi nuqtalarning joylashishi va aslida javob bu savolga javobga bog'liq bo'ladi.

Shunday qilib, taqqoslaylik:

\[\begin(matritsa) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matritsa)\]

Biz ildizni ajratib oldik, tengsizlikning ikkala tomonida manfiy bo'lmagan raqamlarni oldik, shuning uchun biz ikkala tomonni kvadratga solish huquqiga egamiz:

\[\begin(matritsa) ((\left(2+\sqrt(13) \o'ng))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \o'ng))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matritsa)\]

Menimcha, $4\sqrt(13) \gt 3$, shuning uchun $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$ bo'lsa, o'qlardagi yakuniy nuqtalar quyidagicha joylashtiriladi:

Xunuk ildizlar ishi

Sizga shuni eslatib o'tamanki, biz to'plamni hal qilyapmiz, shuning uchun javob soyali to'plamlarning kesishmasi emas, balki birlashma bo'ladi.

Javob: $x\in \left(-\infty;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2) );+\infty \right)$

Ko'rib turganingizdek, bizning sxemamiz ikkalasi uchun ham juda yaxshi ishlaydi oddiy vazifalar, va juda qiyin bo'lganlar uchun. Ushbu yondashuvdagi yagona "zaif nuqta" shundaki, siz irratsional sonlarni to'g'ri taqqoslashingiz kerak (va menga ishoning: bu faqat ildizlar emas). Ammo taqqoslash masalalariga alohida (va juda jiddiy) dars ajratiladi. Va biz davom etamiz.

3. Salbiy bo'lmagan "dumlar" bilan tengsizliklar

Endi biz eng qiziqarli qismga o'tamiz. Bu shakldagi tengsizliklar:

\[\chap| f\o'ng| \gt\left| g\o'ng|\]

Umuman olganda, biz hozir gaplashadigan algoritm faqat modul uchun to'g'ri. U chap va o'ngda kafolatlangan salbiy bo'lmagan ifodalar mavjud bo'lgan barcha tengsizliklarda ishlaydi:

Bu vazifalar bilan nima qilish kerak? Faqat esda tuting:

Salbiy bo'lmagan "quyruq" ga ega bo'lgan tengsizliklarda ikkala tomonni ham istalganiga ko'tarish mumkin tabiiy daraja. Hech qanday qo'shimcha cheklovlar bo'lmaydi.

Avvalo, biz kvadratlashtirishga qiziqamiz - u modullar va ildizlarni yoqib yuboradi:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\ chap (\ sqrt (f) \ o'ng)) ^ (2)) = f. \\\end (tekislash)\]

Buni kvadratning ildizini olish bilan adashtirmang:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\chap| f \right|\ne f\]

Talaba modul o'rnatishni unutganida son-sanoqsiz xatolarga yo'l qo'yildi! Ammo bu butunlay boshqacha hikoya (xuddi shunday irratsional tenglamalar), shuning uchun biz hozir bunga kirmaymiz. Keling, bir nechta muammolarni yaxshiroq hal qilaylik:

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \o'ng|\]

Yechim. Keling, darhol ikkita narsaga e'tibor beraylik:

1. Bu qat'iy tengsizlik emas. Raqam chizig'idagi nuqtalar teshiladi.
2. Tengsizlikning ikkala tomoni ham manfiy emas (bu modulning xususiyati: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Shunday qilib, moduldan xalos bo'lish va muammoni odatiy interval usuli yordamida hal qilish uchun biz tengsizlikning ikkala tomonini kvadratga olamiz:

\[\begin(hizala) & ((\left(\left| x+2 \o'ng| \o'ng))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \o'ng| \o'ng)) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \o'ng))^(2))\ge ((\left(2x-1 \o'ng))^(2)). \\\end (tekislash)\]

Oxirgi bosqichda men biroz aldadim: modulning tengligidan foydalanib, atamalar ketma-ketligini o'zgartirdim (aslida $1-2x$ ifodasini -1 ga ko'paytirdim).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \o'ng)-\left(x+2 \o'ng) \o'ng)\cdot \left(\left(2x-1 \o'ng)+\chap(x+2 \ o'ng)\o'ng)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \o'ng)\cdot \left(2x-1+x+2 \o'ng)\le 0; \\ & \left(x-3 \o'ng)\cdot \left(3x+1 \o'ng)\le 0. \\\end(align)\]

Interval usuli yordamida hal qilamiz. Tengsizlikdan tenglamaga o'tamiz:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end (tekislash)\]

Topilgan ildizlarni raqamlar qatorida belgilaymiz. Yana bir bor: barcha nuqtalar soyali, chunki asl tengsizlik qat'iy emas!

Modul belgisidan qutulish

Ayniqsa, o'jar bo'lganlar uchun eslatib o'taman: biz tenglamaga o'tishdan oldin yozilgan oxirgi tengsizlikdan belgilarni olamiz. Va biz bir xil tengsizlikda talab qilinadigan maydonlarni bo'yab qo'yamiz. Bizning holatda bu $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, endi hammasi tugadi. Muammo hal qilindi.

Javob: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \o'ng|\]

Yechim. Biz hamma narsani xuddi shunday qilamiz. Men izoh bermayman - faqat harakatlar ketma-ketligiga qarang.

Kvadrati:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \o'ng| \o'ng))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \o'ng| \o'ng))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \o'ng))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right)))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \o'ng))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ o'ng))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x)) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \o‘ng)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \o'ng)\le 0. \\\end(align)\]

Interval usuli:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \o'ng)=0 \\ & -2x-3=0\ O'ng strelka x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end (tekislash)\]

Raqamlar qatorida faqat bitta ildiz bor:

Javob butun intervaldir

Javob: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Oxirgi vazifa haqida kichik eslatma. Mening talabalarimdan biri aniq ta'kidlaganidek, ushbu tengsizlikdagi ikkala submodulli iboralar ham ijobiydir, shuning uchun modul belgisi sog'likka zarar bermasdan qoldirilishi mumkin.

Ammo bu butunlay boshqacha fikrlash darajasi va boshqa yondashuv - uni shartli ravishda oqibatlar usuli deb atash mumkin. Bu haqda - alohida darsda. Keling, bugungi darsning yakuniy qismiga o'tamiz va ko'rib chiqamiz universal algoritm, bu har doim ishlaydi. Oldingi barcha yondashuvlar kuchsiz bo'lsa ham. :)

4. Variantlarni sanab o'tish usuli

Agar bu usullarning barchasi yordam bermasa-chi? Agar tengsizlikni salbiy bo'lmagan quyruqlarga qisqartirish mumkin bo'lmasa, modulni izolyatsiya qilishning iloji bo'lmasa, umuman olganda og'riq, qayg'u, melankolik bo'lsa?

Keyin hamma matematikaning "og'ir artilleriyasi" sahnaga chiqadi - shafqatsiz kuch usuli. Modulli tengsizliklarga nisbatan quyidagicha ko'rinadi:

1. Barcha submodulli ifodalarni yozing va ularni nolga tenglang;
2. Olingan tenglamalarni yeching va bitta son qatorida topilgan ildizlarni belgilang;
3. To'g'ri chiziq bir nechta bo'limlarga bo'linadi, ularning ichida har bir modul o'zgarmas belgiga ega va shuning uchun noyob tarzda namoyon bo'ladi;
4. Har bir bunday bo'lim bo'yicha tengsizlikni yeching (ishonchlilik uchun 2-bosqichda olingan ildiz-chegaralarni alohida ko'rib chiqishingiz mumkin). Natijalarni birlashtiring - bu javob bo'ladi. :)

Qanday? Zaifmi? Osonlik bilan! Faqat uzoq vaqt. Keling, amalda ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| x+2 \o'ng| \lt \chap| x-1 \o'ng|+x-\frac(3)(2)\]

Yechim. Bu ahmoqlik $\left| kabi tengsizliklarga tushmaydi f\o'ng| \lt g$, $\chap| f\o'ng| \gt g$ yoki $\left| f\o'ng| \lt \chap| g \right|$, shuning uchun biz oldinga harakat qilamiz.

Biz submodulyar iboralarni yozamiz, ularni nolga tenglashtiramiz va ildizlarni topamiz:

\[\boshlang(align) & x+2=0\O'ng strelka x=-2; \\ & x-1=0\Oʻng strelka x=1. \\\end (tekislash)\]

Hammasi bo'lib, bizda raqamlar chizig'ini uchta bo'limga ajratadigan ikkita ildiz bor, ular ichida har bir modul o'ziga xos tarzda ochiladi:

Submodulyar funksiyalarning raqamlar qatorini nolga bo'lish

Keling, har bir bo'limni alohida ko'rib chiqaylik.

1. $x \lt -2$ bo'lsin. Keyin ikkala submodulli ibora ham manfiy bo'lib, asl tengsizlik quyidagicha qayta yoziladi:

\[\begin(hizala) & -\left(x+2 \o'ng) \lt -\left(x-1 \o'ng)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end (tekislash)\]

Bizda juda oddiy cheklov bor. Keling, uni $x \lt -2$ degan dastlabki taxmin bilan kesishamiz:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\O'ng strelka x\in \varnothing \]

Shubhasiz, $x$ o'zgaruvchisi bir vaqtning o'zida -2 dan kichik va 1,5 dan katta bo'lishi mumkin emas. Bu sohada hech qanday yechim yo'q.

1.1. Chegaraviy holatni alohida ko'rib chiqaylik: $x=-2$. Keling, bu raqamni asl tengsizlikka almashtiramiz va tekshiramiz: bu to'g'rimi?

\[\begin(hizala) & ((\chap. \chap| x+2 \o'ng| \lt \chap| x-1 \o'ng|+x-1,5 \o'ng|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \chap| -3\o'ng|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\O'ng ko'rsatkich \varnothing . \\\end (tekislash)\]

Ko'rinib turibdiki, hisob-kitoblar zanjiri bizni noto'g'ri tengsizlikka olib keldi. Demak, asl tengsizlik ham noto'g'ri va $x=-2$ javobga kiritilmagan.

2. Endi $-2 \lt x \lt 1$ bo'lsin. Chap modul allaqachon "ortiqcha" bilan ochiladi, lekin o'ng modul hali ham "minus" bilan ochiladi. Bizda ... bor:

\[\boshlang(tuzala) & x+2 \lt -\chap(x-1 \o'ng)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end (tekislash)\]

Biz yana asl talab bilan kesishamiz:

\[\chap\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(hizalang) \o'ng.\O'ng strelka x\in \varnothing \]

Va yana bo'sh to'plam echimlar, chunki −2,5 dan kichik va −2 dan katta bo'lgan raqamlar yo'q.

2.1. Va yana maxsus holat: $x=1$. Biz asl tengsizlikni almashtiramiz:

\[\begin(hizala) & ((\chap. \chap| x+2 \o'ng| \lt \chap| x-1 \o'ng|+x-1,5 \o'ng|)_(x=1)) \\ & \left| 3\o'ng| \lt \chap| 0\o'ng|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\O'ng strelka \varnothing . \\\end (tekislash)\]

Oldingi "maxsus holat"ga o'xshab, javobda $x=1$ raqami aniq kiritilmagan.

3. Qatorning oxirgi qismi: $x \gt 1$. Bu erda barcha modullar ortiqcha belgisi bilan ochiladi:

\[\boshlang(align) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(hizalang)\ ]

Va yana topilgan to'plamni asl cheklov bilan kesib o'tamiz:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\ end(hizalang) \o'ng.\O'ng strelka x\ichida \chap(4,5;+\infty \o'ng)\ ]

Va nihoyat! Biz javob bo'ladigan intervalni topdik.

Javob: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Va nihoyat, haqiqiy muammolarni hal qilishda sizni ahmoqona xatolardan qutqarishi mumkin bo'lgan bir eslatma:

Modulli tengsizliklarni hal qilish odatda raqamlar chizig'idagi uzluksiz to'plamlarni - intervallarni va segmentlarni ifodalaydi. Izolyatsiya qilingan nuqtalar kamroq tarqalgan. Va hatto kamroq hollarda, yechimning chegarasi (segmentning oxiri) ko'rib chiqilayotgan diapazonning chegarasiga to'g'ri keladi.

Demak, agar javobda chegaralar (xuddi shunday "maxsus holatlar") qo'shilmagan bo'lsa, bu chegaralarning chap va o'ng tomonidagi joylar javobga deyarli kiritilmaydi. Va aksincha: chegara javobga kirdi, ya'ni uning atrofidagi ba'zi joylar ham javoblar bo'ladi.

Yechimlaringizni ko'rib chiqishda buni yodda saqlang.