Tebranishlar va to'lqinlar. Tebranishlar tenglamasi Mexanik tebranishlar va to'lqinlar

Ushbu bo'limni o'rganayotganda, iltimos, buni yodda tuting tebranishlar turli jismoniy tabiatga ega bo'lganlar umumiy matematik pozitsiyalardan tasvirlangan. Bu erda garmonik tebranish, faza, fazalar farqi, amplituda, chastota, tebranish davri kabi tushunchalarni aniq tushunish kerak.

Shuni yodda tutish kerakki, har qanday haqiqiy tebranish tizimida muhitning qarshiligi mavjud, ya'ni. tebranishlar susayadi. Tebranishlarning yumshatilishini tavsiflash uchun damping koeffitsienti va logarifmik dekrement kiritiladi.

Agar tebranishlar tashqi, davriy o'zgaruvchan kuch ta'sirida sodir bo'lsa, unda bunday tebranishlar majburiy deyiladi. Ular sönümsiz bo'ladi. Majburiy tebranishlarning amplitudasi harakatlantiruvchi kuchning chastotasiga bog'liq. Majburiy tebranishlar chastotasi tabiiy tebranishlar chastotasiga yaqinlashganda, majburiy tebranishlarning amplitudasi keskin ortadi. Bu hodisa rezonans deb ataladi.

Elektromagnit to'lqinlarni o'rganishga o'tayotganda, buni aniq tushunishingiz kerakelektromagnit to'lqinkosmosda tarqaladigan elektromagnit maydondir. Elektromagnit to'lqinlarni chiqaradigan eng oddiy tizim bu elektr dipoldir. Agar dipol garmonik tebranishlarga duchor bo'lsa, u monoxromatik to'lqin chiqaradi.

Formulalar jadvali: tebranishlar va to'lqinlar

Fizik qonunlar, formulalar, o'zgaruvchilar

Tebranish va to'lqin formulalari

Garmonik tebranish tenglamasi:

bu erda x - o'zgaruvchan miqdorning muvozanat holatidan siljishi (og'ishi);

A - amplituda;

ō - doiraviy (tsiklik) chastota;

a - dastlabki bosqich;

(ōt+a) - faza.

Davr va aylanma chastota o'rtasidagi bog'liqlik:

Chastotasi:

Dumaloq chastota va chastota o'rtasidagi bog'liqlik:

Tabiiy tebranish davrlari

1) prujinali mayatnik:

bu erda k - prujinaning qattiqligi;

2) matematik mayatnik:

bu erda l - mayatnik uzunligi,

g - erkin tushish tezlashishi;

3) tebranish sxemasi:

bu erda L - kontaktlarning zanglashiga olib keladigan induktivligi,

C - kondansatkichning sig'imi.

Tabiiy chastota:

Bir xil chastota va yo'nalishdagi tebranishlarni qo'shish:

1) hosil bo'lgan tebranishning amplitudasi

Bu erda A 1 va A 2 tebranish komponentlarining amplitudalari,

a 1 va a 2 - tebranish komponentlarining boshlang'ich fazalari;

2) hosil bo'lgan tebranishning boshlang'ich bosqichi

Söndürülmüş tebranishlar tenglamasi:

e = 2,71... - natural logarifmlar asosi.

Söndürülmüş tebranishlar amplitudasi:

bu erda A 0 - vaqtning boshlang'ich momentidagi amplituda;

b - zaiflashuv koeffitsienti;

Zaiflash koeffitsienti:

tebranuvchi jism

bu erda r - muhitning qarshilik koeffitsienti,

m - tana vazni;

tebranish davri

bu erda R - faol qarshilik,

L - kontaktlarning zanglashiga olib keladigan induktivligi.

Söndürülmüş tebranishlar chastotasi ō:

Söndürülmüş tebranishlar davri T:

Logarifmik dampingning pasayishi:

Garmonik tenglama

Qayerda X - tebranish nuqtasining muvozanat holatidan siljishi;
t- vaqt; A,ō, ph - mos ravishda amplituda, burchak chastotasi,
tebranishlarning dastlabki bosqichi; - hozirgi vaqtda tebranishlar bosqichi t.

Burchak chastotasi

Bu erda n va T - tebranishlarning chastotasi va davri.

Garmonik tebranishlarni bajaradigan nuqtaning tezligi

Garmonik tebranish vaqtida tezlanish

Amplituda A bir to'g'ri chiziq bo'ylab sodir bo'ladigan, chastotalari bir xil bo'lgan ikkita tebranish qo'shilishi natijasida hosil bo'lgan tebranish formula bilan aniqlanadi.

Qayerda a 1 va A 2 - tebranish komponentlarining amplitudalari; ph 1 va ph 2 ularning dastlabki fazalaridir.

Hosil bo'lgan tebranishning boshlang'ich fazasi ph ni formuladan topish mumkin

Har xil, lekin o'xshash chastotalar n 1 va n 2 bo'lgan bir to'g'ri chiziq bo'ylab sodir bo'ladigan ikkita tebranish qo'shilganda paydo bo'ladigan urish chastotasi,

A 1 va A 2 amplitudalari va ph 1 va ph 2 boshlang'ich fazalari bilan ikkita o'zaro perpendikulyar tebranishlarda ishtirok etuvchi nuqta traektoriyasining tenglamasi,

Agar tebranish komponentlarining ph 1 va ph 2 boshlang'ich fazalari bir xil bo'lsa, u holda traektoriya tenglamasi shaklni oladi.

ya'ni nuqta to'g'ri chiziq bo'ylab harakat qiladi.

Fazalar farqi bo'lgan taqdirda, tenglama
shaklni oladi

ya'ni nuqta ellips bo'ylab harakatlanadi.

Moddiy nuqta garmonik tebranishlarining differensial tenglamasi

Yoki,
bu erda m - nuqtaning massasi; k- yarim elastik kuch koeffitsienti ( k=Tō 2).

Garmonik tebranishlarni amalga oshiradigan moddiy nuqtaning umumiy energiyasi

Prujinaga osilgan jismning tebranish davri (prujinali mayatnik)

Qayerda m- tana massasi; k- bahorning qattiqligi. Formula Guk qonuni bajariladigan chegaralardagi elastik tebranishlar uchun amal qiladi (tananing massasiga nisbatan kamonning kichik massasi bilan).

Matematik mayatnikning tebranish davri

Qayerda l- mayatnik uzunligi; g- tortishishning tezlashishi. Fizik mayatnikning tebranish davri

Qayerda J- tebranish jismining o'qqa nisbatan inersiya momenti

ikkilanish; A- mayatnikning massa markazining tebranish o'qidan masofasi;

Fizik mayatnikning qisqargan uzunligi.

Berilgan formulalar cheksiz kichik amplitudalar uchun aniqdir. Cheklangan amplitudalar uchun bu formulalar faqat taxminiy natijalarni beradi. dan katta bo'lmagan amplitudalarda, davr qiymatidagi xatolik 1% dan oshmaydi.

Elastik ipga osilgan jismning burilish tebranishlari davri

Qayerda J- elastik ip bilan mos keladigan o'qqa nisbatan tananing inersiya momenti; k- elastik ipning qattiqligi, ipni burish paytida paydo bo'ladigan elastik momentning ipning burish burchagiga nisbati.

Söndürülmüş tebranishlarning differensial tenglamasi
, yoki,

Qayerda r- qarshilik koeffitsienti; d - susaytirish koeffitsienti: ; ō 0 - tebranishlarning tabiiy burchak chastotasi *

Dampingli tebranish tenglamasi

Qayerda Da)- hozirgi vaqtda so'yilgan tebranishlarning amplitudasi t;ō - ularning burchak chastotasi.

Söndürülmüş tebranishlarning burchak chastotasi

O Söndürülmüş tebranishlar amplitudasining vaqtga bog'liqligi

Qayerda A 0 - momentdagi tebranishlar amplitudasi t=0.

Logarifmik tebranishning kamayishi

Qayerda Da) Va A (t+T) - vaqt bo'yicha davr bilan ajratilgan ikkita ketma-ket tebranishlarning amplitudalari.

Majburiy tebranishlarning differensial tenglamasi

ta'sir qiluvchi tashqi davriy kuch qayerda
tebranish moddiy nuqta va majbur
tebranishlar; F 0 - uning amplituda qiymati;

Majburiy tebranishlar amplitudasi

Rezonans chastotasi va rezonans amplitudasi Va

Muammoni hal qilishga misollar

1-misol. Nuqta qonunga muvofiq tebranadi x(t)=, Qayerda A=2 Agar boshlang'ich fazani aniqlash ph ga qarang

x(0)= sm va X , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-
politsiya t=0.

Yechim. Harakat tenglamasidan foydalanamiz va momentdagi siljishni ifodalaymiz t=0 boshlang'ich bosqichda:

Bu erda biz boshlang'ich bosqichni topamiz:

* Garmonik tebranishlar uchun ilgari berilgan formulalarda xuddi shu miqdor oddiygina ō (indekssiz 0) bilan belgilangan.

Keling, berilgan qiymatlarni ushbu ifodaga almashtiramiz x(0) va A:φ=
= . Argumentning qiymati qondiradi
Ikki burchak qiymati:

Ushbu burchak qiymatlaridan qaysi biri ph mos kelishini hal qilish uchun
shartni ham qondiradi, avval topamiz:

Qiymatni ushbu ifodaga almashtirish t=0 va muqobil qiymatlar
boshlang'ich bosqichlari va , topamiz

Doimgidek A>0 va ō>0, faqat keyin
dastlabki bosqichning birinchi qiymatiga.
Shunday qilib, talab qilinadigan boshlang'ich
bosqichi

ph ning topilgan qiymatiga asoslanib, biz tuzamiz
ularga vektor diagrammasi (6.1-rasm).
2-misol. Moddiy nuqta
massa T=5 g garmonik bajaradi
chastotali tebranishlar ν =0,5 Gts.
Tebranish amplitudasi A=3 sm.
bo'linadi: 1) tezlikni mo-
ofset vaqt ichida moment x=
= 1,5 sm; 2) maksimal quvvat
F max nuqtaga ta'sir qiladi; 3)
Guruch. 6.1 umumiy energiya E tebranish nuqtasi
ki.

va biz siljishning birinchi marta hosilasini olish orqali tezlik formulasini olamiz:

Tezlikni siljish orqali ifodalash uchun (1) va (2) formulalardan vaqtni chiqarib tashlash kerak. Buning uchun ikkala tenglamani kvadratga olamiz va birinchisini ga bo'lamiz A 2, ikkinchisi A 2 ō 2 va qo'shing:

Yoki

y uchun oxirgi tenglamani yechish , topamiz

Ushbu formuladan foydalanib hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz olamiz

Plyus belgisi tezlikning yo'nalishi o'qning ijobiy yo'nalishiga to'g'ri keladigan holatga mos keladi. X, minus belgisi - tezlik yo'nalishi o'qning salbiy yo'nalishiga to'g'ri kelganda X.

Garmonik tebranish paytidagi siljish (1) tenglamadan tashqari, tenglama bilan ham aniqlanishi mumkin.

Ushbu tenglama bilan bir xil yechimni takrorlab, biz bir xil javobni olamiz.

2. Nyutonning ikkinchi qonunidan foydalanib, nuqtaga ta’sir etuvchi kuchni topamiz:

Qayerda A - Tezlikning vaqt hosilasini olish orqali erishiladigan nuqta tezlanishi:

Tezlanish ifodasini (3) formulaga qo'yib, olamiz

Demak, kuchning maksimal qiymati

p, n qiymatlarini ushbu tenglamaga almashtirsak, T Va A, topamiz

3. Tebranish nuqtasining umumiy energiyasi vaqtning istalgan momenti uchun hisoblangan kinetik va potentsial energiyalarning yig'indisidir.

Umumiy energiyani hisoblashning eng oson yo'li kinetik energiya maksimal qiymatga etgan paytdadir. Bu vaqtda potentsial energiya nolga teng. Shunday qilib, umumiy energiya E tebranish nuqtasi maksimal kinetik energiyaga teng

Biz maksimal tezlikni formuladan (2) aniqlaymiz, qo'yamiz
: . Shaklda tezlik ifodasini almashtirish
mulu (4), keling, topamiz

Ushbu formulaga miqdorlarning qiymatlarini almashtirib, hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz olamiz

yoki µJ.

3-misol. l= 1 m va massa m 3 =400 g massali mustahkamlangan kichik sharlar m 1 =200 gi m 2 = 300g. Rod gorizontal o'q atrofida, perpendikulyar tebranadi

tayoqchaga dikular va uning o'rtasidan o'tadi (6.2-rasmdagi O nuqta). Davrni belgilang T novda tomonidan amalga oshirilgan tebranishlar.

Yechim. Jismoniy mayatnikning tebranish davri, masalan, sharlari bo'lgan novda, o'zaro bog'liqlik bilan belgilanadi.

Qayerda J- T - uning massasi; l C - mayatnikning massa markazidan o'qgacha bo'lgan masofa.

Ushbu mayatnikning inersiya momenti sharlarning inersiya momentlari yig'indisiga teng. J 1 va J2 va novda J 3:

To'plarni moddiy nuqta sifatida olib, biz ularning inersiya momentlarini ifodalaymiz:

Eksa tayoqning o'rtasidan o'tganligi sababli, keyin
uning bu o'qqa nisbatan inersiya momenti J 3 =
= . Olingan iboralarni almashtirish J 1 , J2 Va
J 3-formuladan (2) biz fi-ning umumiy inersiya momentini topamiz.
statik mayatnik:

Ushbu formuladan foydalanib hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz topamiz

Guruch. 6.2 Mayatnikning massasi sharlarning massalari va massasidan iborat
tayoq:

Masofa l C Quyidagi mulohazalarga asoslanib, tebranish o‘qidan mayatnikning massa markazini topamiz. Agar eksa X novda bo'ylab to'g'ridan-to'g'ri va koordinatalarning kelib chiqishini nuqta bilan tekislang HAQIDA, keyin kerakli masofa l mayatnikning massa markazining koordinatasiga teng, ya'ni.

Miqdorlarning qiymatlarini almashtirish m 1 , m 2 , m, l va hisob-kitoblarni amalga oshirgandan so'ng, biz topamiz

Formula (1) yordamida hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz fizik mayatnikning tebranish davrini olamiz:

4-misol. Jismoniy mayatnik - bu tayoq
uzunligi l= 1 m va massasi 3 T 1 Bilan uning uchlaridan biriga biriktirilgan
halqa diametri va og'irligi T 1 . Gorizontal o'q Oz

mayatnik unga perpendikulyar tayoqning o'rtasidan o'tadi (6.3-rasm). Davrni belgilang T bunday mayatnikning tebranishlari.

Yechim. Fizik mayatnikning tebranish davri formula bilan aniqlanadi

(1)

Qayerda J- mayatnikning tebranish o'qiga nisbatan inersiya momenti; T - uning massasi; l C - mayatnikning massa markazidan tebranish o'qiga qadar bo'lgan masofa.

Mayatnikning inersiya momenti sterjenning inersiya momentlari yig‘indisiga teng. J 1 va halqa J 2:

Tayoqning o'qga nisbatan inersiya momenti,
tayoqqa perpendikulyar va o'tuvchi
uning massa markazi orqali, shakli bilan aniqlanadi -
le . Ushbu holatda t= 3T 1 va

yordamida halqaning inersiya momentini topamiz
Shtayner teoremasi deb ataladi,
Qayerda J- pro-ga nisbatan inersiya momenti
ixtiyoriy o'q; J 0 - ga nisbatan inersiya momenti
massa markazidan o'tadigan o'qga nisbatan
berilgan o'qga parallel; A - masofa
ko'rsatilgan o'qlar orasida. Ushbu shakldan foydalanish
halqaga xachir, biz olamiz

Guruch. 6.3

Ifodalarni almashtirish J 1 va J 2-formuladan (2) aylanma o'qiga nisbatan mayatnikning inersiya momentini topamiz:

Masofa l C mayatnik o'qidan uning massa markaziga teng

(1) formulaga ifodalarni almashtirish J, l s va mayatnikning massasi, biz uning tebranish davrini topamiz:

Ushbu formuladan foydalanib hisoblagandan so'ng biz olamiz T=2,17 s.

5-misol. Xuddi shu yo'nalishdagi ikkita tebranish qo'shiladi
tenglamalar bilan ifodalangan tsionlar; x 2 =
=, qayerda A 1 = 1 sm, A 2 =2 sm, s, s, ō =
= . 1. Tebranish komponentlarining ph 1 va ph 2 boshlang‘ich fazalarini aniqlang.

Baniya. 2. Amplitudani toping A va hosil bo'lgan tebranishning boshlang'ich fazasi ph. Olingan tebranish uchun tenglamani yozing.

Yechim. 1. Garmonik tebranish tenglamasi shaklga ega

Masalaning bayonida ko‘rsatilgan tenglamalarni bir xil ko‘rinishga aylantiramiz:

(2) iboralarni (1) tenglik bilan taqqoslashdan biz birinchi va ikkinchi tebranishlarning boshlang'ich fazalarini topamiz:

Xursand va xursand.

2. Amplitudani aniqlash uchun A hosil bo'lgan tebranishning vektor diagrammasidan foydalanish qulay guruch. 6.4. Kosinus teoremasiga ko'ra, biz olamiz

tebranishlar komponentlari orasidagi fazalar farqi qayerda.
dan beri, keyin, topilgan o'rniga
ph 2 va ph 1 qiymatlari rad hisoblanadi.

Guruch. 6.4

Keling, qiymatlarni almashtiramiz A 1 , A 2 va formulaga (3) va
Keling, hisob-kitoblarni qilaylik:

A= 2,65 sm.

Hosil bo'lgan tebranishning ph boshlang'ich fazasining tangensi aniqlanadi
lim to'g'ridan-to'g'ri anjirdan. 6.4: , dan
ha, dastlabki bosqich

Keling, qiymatlarni almashtiramiz A 1 , A 2 , ph 1, ph 2 va hisob-kitoblarni bajaring:

Qo'shilgan tebranishlarning burchak chastotalari bir xil bo'lgani uchun,
u holda hosil bo'lgan tebranish bir xil chastotaga ega bo'ladi ō. Bu
hosil bo’lgan tebranish tenglamasini ko’rinishda yozish imkonini beradi
, Qayerda A=2,65 sm, , rad.

6-misol. Moddiy nuqta bir vaqtning o'zida ikkita o'zaro perpendikulyar garmonik tebranishlarda ishtirok etadi, ularning tenglamalari.

Qayerda a 1 = 1 sm, A 2 =2 sm, . Nuqta traektoriyasi tenglamasini toping
ki. Masshtabga mos ravishda traektoriyani tuzing va ko'rsating
nuqtaning harakat yo'nalishi.

Yechim. Nuqtaning traektoriyasi uchun tenglamani topish uchun biz vaqtni yo'q qilamiz t berilgan (1) va (2) tenglamalardan. Buning uchun foydalaning

Keling, formuladan foydalanamiz. Ushbu holatda
, Shunung uchun

Chunki (1) formulaga muvofiq , keyin traektoriya tenglamasi
ries

Olingan ifoda o'qi o'q bilan mos keladigan parabolaning tenglamasidir Oh.(1) va (2) tenglamalardan kelib chiqadiki, nuqtaning koordinata o'qlari bo'ylab siljishi cheklangan va o'q bo'ylab -1 dan +1 sm gacha. Oh va eksa bo'ylab -2 dan +2 sm gacha OU.

Traektoriyani qurish uchun qiymatlarni topish uchun (3) tenglamadan foydalanamiz y, qiymatlar diapazoniga mos keladi X, sm shartni qondirib, jadval tuzing:

Nuqtaning harakat yo'nalishini ko'rsatish uchun uning pozitsiyasi vaqt o'tishi bilan qanday o'zgarishini kuzatib boramiz. Dastlabki daqiqada t=0 nuqta koordinatalari teng x(0)=1 sm va y(0)=2 sm.Vaqtning keyingi nuqtasida, masalan, qachon t 1 =l s, nuqtalarning koordinatalari o'zgaradi va teng bo'ladi X(1)= -1 sm, y( t )=0. Vaqtning boshlang'ich va keyingi (yaqin) momentlarida nuqtalarning pozitsiyalarini bilib, siz nuqtaning traektoriya bo'ylab harakat yo'nalishini ko'rsatishingiz mumkin. Shaklda. 6.5 Ushbu harakat yo'nalishi o'q bilan ko'rsatilgan (nuqtadan A kelib chiqishiga). Vaqtdan keyin t 2 = 2 s tebranish nuqtasi nuqtaga etadi D, u teskari yo'nalishda harakat qiladi.

Garmonik tebranishlar kinematikasi

6.1. Nuqta tebranishlari tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:
bu yerda ō=p s -1, t=0,2 s. Davrni belgilang T va dastlabki bosqich ph
ikkilanish.

6.2. Davrni belgilang T, v chastotasi va tebranishlarning boshlang'ich fazasi ph, tenglama bilan berilgan, bu erda ō=2,5p s -1,
t=0,4 s.

6.3.
Qayerda A x(0)=2 ommaviy axborot vositalari
; 2) x(0) = sm va ; 3) x(0)=2sm va ; 4)
x(0)= va . uchun vektor diagrammasini tuzing
moment t=0.

6.4. Nuqta qonunga muvofiq tebranadi,
Qayerda A=4 sm.Boshlang'ich faza ph ni aniqlang, agar: 1) x(0)=2 ommaviy axborot vositalari
; 2) x(0)= sm va ; 3) X(0)= sm va ;
4) x(0)= sm va . uchun vektor diagrammasini tuzing
moment t=0.

6.5. Nuqta qonunga muvofiq tebranadi,
Qayerda A=2 sm; ; ph= p/4 rad. Bog'liqlik grafiklarini yarating
vaqtdan boshlab: 1) siljish x(t); 2) tezlik; 3) tezlashtirish

6.6. Nuqta amplituda bilan tebranadi A=4 sm va davr T=2 s. Bu tebranishlar uchun tenglamani yozing, deb faraz qiling
moment t=0 ofset x(0)=0 Va . Fazani aniqlang
vaqtning ikki momenti uchun: 1) siljish sodir bo'lganda x= 1 sm va;
2) tezlik = -6 sm/s bo'lganda va x<0.

6.7. Nuqta aylana bo‘ylab soat miliga teskari yo‘nalishda T=6 s davr bilan bir tekis harakatlanadi. Diametri d aylana 20 sm.Nuqtaning oʻqga proyeksiyasining harakat tenglamasini yozing. X, aylananing markazidan o'tib, agar vaqt momentida boshlang'ich sifatida qabul qilingan bo'lsa, o'qga proyeksiya. X nolga teng. Ofsetni toping X, nuqtaning bir lahzadagi proyeksiyasining tezligi va tezlashishi t= 1s.

6.8. Amplitudali garmonik tebranishlarni amalga oshiradigan nuqta tezligi va tezlanishining maksimal qiymatlarini aniqlang. A= 3 sm va burchak chastotasi

6.9. Nuqta qonunga muvofiq tebranadi, bu erda A =
=5 sm; . Vaqt momentidagi nuqtaning tezlanishini aniqlang,
uning tezligi = 8 sm/s bo'lganda.

6.10. Nuqta garmonik tebranishlarni amalga oshiradi. Eng buyuk
tarafkashlik x m ah nuqtasi 10 sm, maksimal tezlik =
=20 sm/s. Tebranishlarning burchak chastotasi ō va nuqtaning maksimal tezlanishini toping.

6.11. Garmonik tebranishlarni amalga oshiruvchi nuqtaning maksimal tezligi 10 sm/s, maksimal tezlanish =
= 100 sm/s 2 . Tebranishlarning burchak chastotasi ō, ularning davrini toping T
va amplituda A. Dastlabki fazani nolga teng qilib, tebranishlar tenglamasini yozing.

6.12. Nuqta qonunga muvofiq tebranadi. Bir vaqtning o'zida siljish X 1 nuqta 5 sm ga teng bo'lib chiqdi.Tebranish fazasi ikki marta oshganda x siljishi 8 sm ga teng bo'ldi.Amplitudani toping. A ikkilanish.

6.13. Nuqta qonunga muvofiq tebranadi.
Bir vaqtning o'zida siljish X nuqta 5 sm, uning tezligi
= 20 sm/s va tezlanish = -80 sm/s 2. Amplitudani toping A, burchak chastotasi ō, davr T tebranishlar va vaqt ichida ko'rib chiqilgan faza.

Vibratsiyani qo'shish

6.14. Amplitudalar bilan bir xil davrning ikkita bir xil yo'naltirilgan garmonik tebranishlari A 1 =10 sm va A 2 =6 sm amplitudali bir tebranishgacha qo'shiladi A= 14 sm.Qo‘shilgan tebranishlarning fazalar farqini toping.

6.15. Bir xil to'g'ri chiziq bo'ylab yo'naltirilgan va bir xil amplituda va davrlarga ega bo'lgan ikkita garmonik tebranishlar bir xil amplitudali tebranishlarni birlashtiradi. Qo'shilgan tebranishlarning fazalar farqini toping.

6.16. Amplitudani aniqlang A va dastlabki faza f natijalari
ikkita tebranish qo'shilganda paydo bo'ladigan tebranuvchi tebranish
bir xil yo'nalish va davr: va
, Qayerda A 1 =A 2 =1 sm; ō=p s -1 ; t=0,5 s. Hosil bo‘lgan tebranish tenglamasini toping.

6.17. Nuqta ikkita teng yo'naltirilgan tebranishlarda ishtirok etadi: va , bu erda A 1 = 1 sm; A 2 =2 sm; ō=
= 1 s -1. Amplitudani aniqlang A natijada tebranish,
uning chastotasi v va boshlang'ich fazasi ph. Bu harakat tenglamasini toping.

6.18. Birining ikkita garmonik tebranishlari qo'shiladi
teng davrlarda hukmronlik qiladi T 1 =T 2 =1,5 s va amplitudalar
A 1 =A 2 = 2 sm. Tebranishlarning dastlabki fazalari va. Amplitudani aniqlang A va hosil bo'lgan tebranishning boshlang'ich fazasi ph. Uning tenglamasini toping va uni masshtabda tuzing
amplituda qo'shishning vektor diagrammasi.

6.19. Teng davrli bir yo'nalishdagi uchta garmonik tebranish qo'shiladi T 1 =T 2 =T 3 =2 va amplitudalar bilan A 1 =A 2 =A 3 =3 sm.Tebranishlarning dastlabki fazalari ph 1 =0, ph 2 =p/3, ph 3 =2p/3. Amplituda qo‘shishning vektor diagrammasini tuzing. Chizmadan amplitudani aniqlang A va hosil bo'lgan tebranishning boshlang'ich fazasi ph. Uning tenglamasini toping.

6.20. Ikki xil garmonik tebranishlar
chastota va bir xil yo'nalish: va x 2 =
= . Vaqt uchun vektor diagrammasini chizing
vaqt t=0. Amplitudani analitik tarzda aniqlang A va boshlang'ich
hosil bo'lgan tebranishning ph fazasi. Kechiktirish A va vektorda ph
diagramma. Olingan tebranish tenglamasini toping (kosinus orqali trigonometrik shaklda). Ikki uchun muammoni hal qiling
holatlar: 1) A 1 = 1 sm, ph 1 =p/3; A 2 =2 sm, ph 2 =5p/6; 2) A 1 = 1 sm,
ph 1 =2p/3; A 2 =1 sm, ph 2 =7p/6.

6.21. Ikki tyuning vilka bir vaqtning o'zida ovoz chiqaradi. Ularning tebranishlarining n 1 va n 2 chastotalari mos ravishda 440 va 440,5 Gts ni tashkil qiladi. Davrni belgilang T uradi.

6.22. Ikki o'zaro perpendikulyar tebranish qo'shiladi,
tenglamalar bilan ifodalanadi va , bu yerda
A 1 =2 sm, A 2 =1 sm, , t=0,5 s. Traektoriya tenglamasini toping
va nuqtaning harakat yo'nalishini ko'rsatib, uni qurish.

6.23. Nuqta bir vaqtning o'zida o'zaro perpendikulyar yo'nalishda sodir bo'ladigan ikkita garmonik tebranishlarni amalga oshiradi.
va tenglamalar bilan ifodalanadi va,
Qayerda A 1 = 4 sm, A 1 =8 sm, , t=1 s. Nuqta traektoriyasi tenglamasini toping va uning harakati grafigini tuzing.

6.24. Nuqta bir vaqtning o'zida tenglamalar bilan ifodalangan o'zaro perpendikulyar yo'nalishlarda sodir bo'ladigan bir xil chastotali ikkita garmonik tebranishlarni amalga oshiradi: 1) va

Nuqta traektoriyasi tenglamasini toping (sakkiz holat uchun), uni masshtabga muvofiq tuzing va harakat yo‘nalishini ko‘rsating. Qabul qiling: A=2 sm, A 1 = 3 sm, A 2 = 1 sm; ph 1 =p/2, ph 2 =p.

6.25 . Nuqta bir vaqtning o'zida ikkita o'zaro perpendikulyar tebranishda ishtirok etadi, ular tenglamalar bilan ifodalanadi.
, Qayerda A 1 = 2 sm, A 2 =1 sm.Traektoriya tenglamasini toping
nuqtalar va harakat yo'nalishini ko'rsatib, uni qurish.

6.26. Nuqta bir vaqtning o'zida o'zaro perpendikulyar yo'nalishda sodir bo'ladigan ikkita garmonik tebranishlarni amalga oshiradi.
va tenglamalar bilan ifodalanadi va , bu yerda A 1 =
=0,5 sm; A 2 =2 sm.Nuqta traektoriyasi tenglamasini toping va tuzing
uning harakat yo'nalishini ko'rsatadi.

6.27. Nuqtaning harakati va tenglamalari bilan beriladi y=
=, qayerda A 1 =10 sm, A 2 =5 sm, ō=2 s -1, t=p/4 s. Toping
nuqtaning vaqt lahzasidagi traektoriyasi va tezligi tenglamasi t=0,5 s.

6.28. Moddiy nuqta bir vaqtning o'zida tenglamalar bilan ifodalangan ikkita o'zaro perpendikulyar tebranishda ishtirok etadi.
va qayerda A 1 =2 sm, A 2 =1 sm. Toping
traektoriya tenglamasini tuzing va uni tuzing.

6.29. Nuqta bir vaqtning o'zida tenglamalar bilan tavsiflangan o'zaro perpendikulyar yo'nalishlarda sodir bo'ladigan ikkita garmonik tebranishda ishtirok etadi: 1) va

Nuqta traektoriyasi tenglamasini toping, masshtabga mos ravishda tuzing va harakat yo‘nalishini ko‘rsating. Qabul qiling: A=2 sm; A 1 =z sm.

6.30. Nuqta bir vaqtning o'zida ikkita o'zaro perpendikulyarda ishtirok etadi
tenglamalar bilan ifodalangan kulyar tebranishlar va

y=A 2 gunoh 0,5ō t, Qayerda A 1 = 2 sm, A 2 =3 sm.Nuqta traektoriyasi tenglamasini toping va harakat yo‘nalishini ko‘rsatib, tuzing.

6.31. Osiloskop ekranidagi yorug'lik nuqtasining siljishi tenglamalar bilan tavsiflangan ikkita o'zaro perpendikulyar tebranishlarning qo'shilishi natijasidir: 1) x=A gunoh 3 ω t Va da=A gunoh 2ō t; 2) x=A gunoh 3ō t Va y=A cos 2ō t; 3) x=A gunoh 3ō t va y= A cos ō t.

Qo'shish va masshtabni kuzatishning grafik usulidan foydalanib, ekrandagi yorug'lik nuqtasining traektoriyasini tuzing. Qabul qiling A=4 sm.

Garmonik tebranishlar dinamikasi. Mayatniklar

6.32. Massa bilan moddiy nuqta T=50 g tebranishlarga uchraydi, ularning tenglamasi shaklga ega x=A cos ō t, Qayerda A= 10 sm, ō=5 s -1. Kuch toping F, nuqtaga ta'sir etuvchi, ikki holatda: 1) faza ō bo'lgan momentda t=p/3; 2) nuqtaning eng katta siljishi holatida.

6.33. Moddiy nuqtaning massa bilan tebranishlari T=0,1 g tenglamaga muvofiq yuzaga keladi X=A cos ō t, Qayerda A=5 sm; ō=20 s -1 . Qayta tiklash kuchi F max va kinetik energiyaning maksimal qiymatlarini aniqlang T m ah.

6.34. Qayta tiklovchi kuchni toping F hozirda t=1 s va to'liq energiya E qonunga muvofiq tebranuvchi moddiy nuqta x=A cos ō t, Qayerda A = 20 sm; ō=2p/3 s -1. Og'irligi T moddiy nuqta 10 g ga teng.

6.35. Moddiy nuqtaning tebranishlari tenglamaga muvofiq sodir bo'ladi x=A cos ō t, Qayerda A=8 sm, ō=p/6 s -1. Qayta tiklash kuchi paydo bo'lgan paytda F birinchi marta -5 mN qiymatiga erishdi, nuqtaning potentsial energiyasi P 100 mJ ga teng bo'ldi. Bu vaqtni o'z vaqtida toping t va unga mos keladigan faza ō t.

6.36. Og'irligi m=250 g, prujinaga osilgan holda, davriy vertikal ravishda tebranadi T= 1Bilan. Qattiqlikni aniqlang k buloqlar.

6.37. Spiral prujinaga og'irlik osilgan edi, bu esa buloqning cho'zilishiga sabab bo'ldi x=9 davr qanday bo'lishini ko'ring T Agar siz uni bir oz pastga tortib, keyin qo'yib yuborsangiz, vazn tebranadimi?

6.38. Prujinaga osilgan og'irlik amplituda bilan vertikal ravishda tebranadi A=4 sm.Umumiy energiyani aniqlang E og'irlikning tebranishlari, agar qattiqlik bo'lsa k prujina - 1 kN/m.

6.39. Ikkita matematik mayatnikning tebranish davrlarining nisbati 1,5 ga teng bo‘lsa, ularning uzunliklari nisbatini toping.

6.40. l= 1 m liftga o'rnatilgan. Lift tezlashuv bilan ko'tariladi A=2,5 m/s 2. Davrni belgilang T mayatnik tebranishlari.

6.41. Yupqa novda uzunligining uchlarida l= 30 sm bir xil og'irliklar o'rnatiladi, har bir uchida bittadan. Og'irliklari bo'lgan sterjen sterjenning uchlaridan biridan d=10 sm joylashgan nuqtadan o'tuvchi gorizontal o'q atrofida tebranadi. Qisqartirilgan uzunlikni aniqlang L va davr T bunday fizik mayatnikning tebranishlari. Tayoqning massasini e'tiborsiz qoldiring.

6.42. Bir novda uzunligida l=30 sm, ikkita bir xil og'irlik o'rnatiladi: biri novda o'rtasida, ikkinchisi uning uchidan birida. Og'irligi bo'lgan sterjen sterjenning erkin uchidan o'tadigan gorizontal o'q atrofida tebranadi. Qisqartirilgan uzunlikni aniqlang L va davr T bunday tizimning tebranishlari. Tayoqning massasini e'tiborsiz qoldiring.

6.43. Uzunlikdagi novdalar bilan bog'langan uchta og'irlik tizimi l=30 sm (6.6-rasm), chizma tekisligiga perpendikulyar O nuqtadan o'tuvchi gorizontal o'q atrofida tebranadi. Davr toping T tizim tebranishlari. Rodlarning massalariga e'tibor bermang; yuklarni moddiy nuqtalar sifatida ko'rib chiqing.

6.44. Devorga gorizontal surtilgan mixga osilgan yupqa halqa devorga parallel tekislikda tebranadi. Radius R halqa 30 sm.davrni hisoblang T halqa tebranishlari.

Guruch. 6.6

Guruch. 6.7

6.45. Radiusli bir hil disk R=30 sm diskning silindrsimon sirtining generatrislaridan biridan o'tuvchi gorizontal o'q atrofida tebranadi. Davr nima T uning ikkilanishi?

6.46. Disk radiusi R= Disk tekisligiga perpendikulyar radiuslardan birining o'rtasidan o'tuvchi gorizontal o'q atrofida 24 sm tebranadi. Qisqartirilgan uzunlikni aniqlang L va davr T bunday mayatnikning tebranishlari.

6.47. Radiusli nozik bir hil diskdan R= 20 sm, radiusli doiraga o'xshash qism kesiladi r= 10 sm, rasmda ko'rsatilganidek. 6.7. Diskning qolgan qismi gorizontal o'q O ga nisbatan tebranadi, bu diskning silindrsimon yuzasining generatrislaridan biriga to'g'ri keladi. Davr toping T bunday mayatnikning tebranishlari.

6.48. Matematik mayatnik uzunligi l 1 =40 sm va uzunlikdagi yupqa to'g'ri tayoq shaklidagi fizik mayatnik l 2 =60 sm bir xil gorizontal o'q atrofida sinxron tebranadi. Masofani aniqlang A tebranish o'qidan tayoqning massa markazi.

6.49. Uzunlikdagi yupqa tekis novda shaklidagi fizik mayatnik l=120 sm masofada joylashgan nuqta orqali sterjenga perpendikulyar oʻtuvchi gorizontal oʻq atrofida tebranadi. A tayoqning massa markazidan. Qanday qiymatda A davr T tebranishlar eng kam ahamiyatga egami?

6.50. T unga biriktirilgan massaning kichik to'pi bilan T. Mayatnik sterjendagi O nuqtadan o'tuvchi gorizontal o'q atrofida tebranadi. Davrni belgilang T a hollari uchun mayatnikning garmonik tebranishlari, b, c, d rasmda ko'rsatilgan. 6.8. Uzunlik l novda uzunligi 1 m.. To'pni moddiy nuqta sifatida ko'rib chiqing.

Guruch. 6.9

Guruch. 6.8

6.51. Jismoniy mayatnik - bu massaga ega bo'lgan nozik bir hil tayoq T unga biriktirilgan ikkita kichik massa to'pi bilan T va 2 T. Mayatnik nuqtadan o'tuvchi gorizontal o'q atrofida tebranadi HAQIDA tayoq ustida. Hollar uchun mayatnikning garmonik tebranishlarining chastotasi n ni aniqlang a B C D, shaklda ko'rsatilgan. 6.9. Uzunlik l novda uzunligi 1 m.. Koptoklarni moddiy nuqtalar sifatida ko'rib chiqing.

6.52. Tana massasi T=4 kg, gorizontal o'qga mahkamlangan, davr bilan tebranuvchi T 1 =0,8 s. Ushbu o'qga disk o'rnatilganda, uning o'qi tananing tebranish o'qiga to'g'ri keladi, davr T 2 tebranish 1,2 s ga teng bo'ldi. Radius R disk 20 sm, uning massasi tananing massasiga teng. Inersiya momentini toping J tebranish o'qiga nisbatan tana.

6.53. Massa gidrometri T=50 g, quvur diametriga ega d= 1 sm, suvda suzadi. Gidrometr bir oz suvga botirildi va keyin o'z-o'zidan qoldirildi, buning natijasida u garmonik tebranishlarni amalga oshira boshladi. Davr toping T bu tebranishlar.

6.54. U shaklidagi trubka ichiga, ikkala uchi ochiq, kesma maydoni bilan S=0,4 sm 2 simob massasini tezda quying T=200 g.Davrni aniqlang T naychadagi simob tebranishlari.

6.55. Ko'ndalang kesimi butun uzunligi bo'ylab doimiy bo'lgan shishgan log vertikal ravishda suvga botiriladi, shunda faqat kichik bir qismi (uzunligiga nisbatan) suv ustida bo'ladi. Davr T logning tebranishi 5 s. Uzunlikni aniqlang l jurnallar

Damlangan tebranishlar

6.56. Mayatnikning vaqt bo'yicha sönümli tebranishlarining amplitudasi t 1=5 daqiqa yarmiga kamaydi. Qaysi vaqtda t2, boshlang'ich daqiqadan boshlab, amplituda sakkiz marta kamayadi?

6.57. davomida t=8 min, mayatnikning susaygan tebranishlari amplitudasi uch marta kamaydi. Damping koeffitsienti d ni aniqlang .

6.58. Uzunlikdagi mayatnikning tebranishlarining amplitudasi l= Vaqtiga 1 m t=10 daqiqa yarmiga kamaydi. Tebranishlarning logarifmik dekrementini aniqlang t.

6.59. Mayatnikning t tebranishlarining logarifmik dekrementi 0,003 ga teng. Raqamni aniqlang N amplitudani yarmiga kamaytirish uchun mayatnik qilishi kerak bo'lgan umumiy tebranishlar.

6.60. Og'irlik massasi T=500 g qattiqlik bilan shpal prujinaga osilgan k=20 N/m va ma'lum muhitda elastik tebranishlarni amalga oshiradi. Tebranishlarning logarifmik kamayishi D=0,004. Raqamni aniqlang N tebranishlar amplitudasi kamayishi uchun og'irlik qilish kerak bo'lgan to'liq tebranishlar n=2 marta. Qanday muddatga t bu pasayish sodir bo'ladimi?

6.61. Tana massasi T=5 g sönümli tebranishlarni bajaradi. Bir muddat t= 50-yillarda tana energiyaning 60 foizini yo'qotdi. Qarshilik koeffitsientini aniqlang b.

6.62. Davrni belgilang T sönümli tebranishlar, agar davr T 0 sistemaning tabiiy tebranishlari 1 s ga teng va tebranishlarning logarifmik kamayishi T = 0,628 ga teng.

6.64. Tana massasi T=1 kg qarshilik koeffitsientli yopishqoq muhitda b=0,05 kg/s. Qattiqlikning ikkita bir xil bulog'idan foydalanish k=50 N/m har bir tana muvozanat holatida ushlab turiladi, prujinalar deformatsiyalanmagan (6.10-rasm). Tananing muvozanat holatidan siljishi va

ozod qilingan. Aniqlang: 1) susaytirish koeffitsienti d ; 2) tebranishlar chastotasi n; 3) tebranishlarning logarifmik kamayishi D; 4) raqam N tebranishlar, undan keyin amplituda e marta kamayadi.

Majburiy tebranishlar. Rezonans

6.65. Elektr dvigatelining tortishish kuchi ta'sirida u o'rnatilgan konsol nuri egilib, h=1 mm. Qanday tezlikda P Dvigatel armaturasida rezonans xavfi bormi?

6.66. Avtomobil og'irligi T=80 t to'rtta prujinaga ega. Qattiqlik k har bir buloqning buloqlari 500 kN/m. Qaysi tezlikda avtomobil uzunligi bo'lsa, temir yo'l bo'g'inlarida zarbalar tufayli kuchli chayqalishni boshlaydi l temir yo'l 12,8 m?

6.67. Tebranish tizimi n=1000 Gts chastotali sönümli tebranishlarni amalga oshiradi. Rezonans chastotasi n pe z =998 Gts bo'lsa, tabiiy tebranishlarning chastotasi n 0 ni aniqlang.

6.68. Rezonans chastotasi d=400 s -1 susaytiruvchi koeffitsient bilan tavsiflangan sistemaning tabiiy tebranishlarining n 0 =l kHz chastotasidan qanchalik farq qilishini aniqlang.

6.69. Tebranish tizimining D tebranishlarining logarifmik kamayishini aniqlang, buning uchun rezonans tabiiy chastotadan n 0 =10 kHz Dn=2 Gts dan past chastotada kuzatiladi.

6.70. Davr T Prujinali mayatnikning 0 ta tabiiy tebranishlari 0,55 s ga teng. Yopishqoq muhitda, davr T bir xil mayatnik 0,56 s ga teng bo'ldi. Tebranishlarning rezonans chastotasini n pe aniqlang.

6.71. Bahor mayatnik (qattiqlik k bahor 10 N/m, massa T 100 g ga teng yuk) tortish koeffitsienti bilan yopishqoq muhitda majburiy tebranishlarni amalga oshiradi r=2·10 -2 kg/s. Damping koeffitsienti d va rezonans amplitudasini aniqlang A kesish, agar harakatlantiruvchi kuchning amplituda qiymati F 0 =10 mN.

6.72. Jism qarshilik koeffitsienti bo'lgan muhitda majburiy tebranishlarni amalga oshiradi r= 1 g/s. Susayishni kichik deb hisoblab, agar rezonans amplitudasi bo'lsa, harakatlantiruvchi kuchning amplituda qiymatini aniqlang. A res =0,5 sm va tabiiy tebranishlarning chastotasi n 0 10 Gts ga teng.

6.73. n 1 =400 Gts va n 2 =600 Gts chastotalardagi majburiy garmonik tebranishlarning amplitudalari teng. n pe h rezonans chastotasini aniqlang. Dampingga e'tibor bermang.

6.74. Buloqning qattiqligi uchun k= 10N/m massa og'irligini to'xtatdi T=10 g va butun sistemani yopishqoq muhitga botirdi. Qarshilik koeffitsientini olish b 0,1 kg/s ga teng, aniqlang: 1) tabiiy tebranishlarning chastotasi n 0; 2) rezonans chastotasi n pe z; 3) rezonans amplitudasi A kesim, agar harakatlantiruvchi kuch garmonik qonunga va uning amplituda qiymatiga muvofiq o'zgarsa F 0 ==0,02 N; 4) rezonans amplitudasining kuch ta'sirida statik siljishga nisbati. F 0.

6.75. Majburiy tebranishlar amplitudasi rezonans amplitudasidan necha marta kichik bo'ladi, agar harakatlantiruvchi kuchning o'zgarish chastotasi rezonans chastotasidan katta bo'lsa: 1) 10% ga? 2) ikki marta? Damping koeffitsienti d ikkala holatda ham 0,1 ō 0 ga teng qabul qilinadi (ō 0 - tabiiy tebranishlarning burchak chastotasi).

Garmonik tebranishlar sinus va kosinus qonunlariga muvofiq bajariladigan tebranishlardir. Quyidagi rasmda kosinus qonuniga binoan nuqta koordinatalarining vaqt o'tishi bilan o'zgarishi grafigi ko'rsatilgan.

rasm

Tebranish amplitudasi

Garmonik tebranishning amplitudasi tananing muvozanat holatidan siljishining eng katta qiymatidir. Amplituda turli qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Bu bizning tanamizni muvozanat holatidan qancha siqib chiqarishimizga bog'liq bo'ladi.

Amplituda dastlabki shartlar, ya'ni vaqtning boshlang'ich momentida tanaga berilgan energiya bilan belgilanadi. Sinus va kosinus -1 dan 1 gacha bo'lgan qiymatlarni olishi mumkinligi sababli, tenglama tebranishlar amplitudasini ifodalovchi Xm omilni o'z ichiga olishi kerak. Garmonik tebranishlar uchun harakat tenglamasi:

x = Xm*cos(ō0*t).

Tebranish davri

Tebranish davri - bu bitta to'liq tebranish uchun ketadigan vaqt. Tebranish davri T harfi bilan belgilanadi. Davrning o'lchov birliklari vaqt birliklariga to'g'ri keladi. Ya'ni, SIda bu soniyalar.

Tebranish chastotasi - vaqt birligida bajariladigan tebranishlar soni. Tebranish chastotasi n harfi bilan belgilanadi. Tebranish chastotasini tebranish davri bilan ifodalash mumkin.

n = 1/T.

Chastota birliklari SI 1/sek da. Ushbu o'lchov birligi Gerts deb ataladi. 2*pi soniya vaqt ichida tebranishlar soni quyidagilarga teng bo'ladi:

ō0 = 2*pi* n = 2*pi/T.

Tebranish chastotasi

Bu miqdor tebranishlarning siklik chastotasi deyiladi. Ba'zi adabiyotlarda dumaloq chastota nomi paydo bo'ladi. Tebranish tizimining tabiiy chastotasi erkin tebranishlar chastotasidir.

Tabiiy tebranishlar chastotasi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Tabiiy tebranishlarning chastotasi materialning xususiyatlariga va yukning massasiga bog'liq. Bahorning qattiqligi qanchalik katta bo'lsa, o'z tebranishlarining chastotasi shunchalik katta bo'ladi. Yukning massasi qanchalik katta bo'lsa, tabiiy tebranishlarning chastotasi shunchalik past bo'ladi.

Bu ikki xulosa aniq. Bahor qanchalik qattiq bo'lsa, tizim muvozanatdan chiqqanda u tanaga shunchalik tezlashadi. Jismning massasi qanchalik katta bo'lsa, bu tananing tezligi shunchalik sekin o'zgaradi.

Erkin tebranish davri:

T = 2*pi/ ō0 = 2*pi*√(m/k)

Shunisi e'tiborga loyiqki, kichik burilish burchaklarida jismning prujinada tebranish davri va mayatnikning tebranish davri tebranishlar amplitudasiga bog'liq bo'lmaydi.

Matematik mayatnik uchun erkin tebranishlar davri va chastotasi formulalarini yozamiz.

keyin davr teng bo'ladi

T = 2*pi*√(l/g).

Ushbu formula faqat kichik burilish burchaklari uchun amal qiladi. Formuladan ko'ramizki, tebranish davri mayatnik ipining uzunligi ortishi bilan ortadi. Uzunlik qanchalik uzun bo'lsa, tana shunchalik sekin tebranadi.

Tebranish davri yukning massasiga umuman bog'liq emas. Ammo bu erkin tushishning tezlashishiga bog'liq. g kamayishi bilan tebranish davri ortadi. Bu xususiyat amaliyotda keng qo'llaniladi. Masalan, erkin tezlanishning aniq qiymatini o'lchash uchun.

Garmonik tebranishlar qonunga muvofiq sodir bo'ladi:

x = A cos(ō t + φ 0),

Qayerda x- zarrachaning muvozanat holatidan siljishi; A– tebranishlar amplitudasi, ō – aylana chastotasi, ph 0 – boshlang‘ich faza, t- vaqt.

Tebranish davri T = .

Tebranuvchi zarracha tezligi:

υ = = – Aō gunoh (ō t + φ 0),

tezlashuv a = = –Aō 2 cos (ō t + φ 0).

Tebranish harakatini boshdan kechirayotgan zarraning kinetik energiyasi: E k = =
gunoh 2 (ō t+ φ 0).

Potensial energiya:

E n=
cos 2 (ō t + φ 0).

Mayatnikning tebranish davrlari

- bahor T =
,

Qayerda m- yuk massasi, k- bahorning qattiqlik koeffitsienti,

- matematik T = ,

Qayerda l- suspenziya uzunligi, g- tortishish tezlashishi,

- jismoniy T =
,

Qayerda I- mayatnikning to'xtatib turish nuqtasidan o'tadigan o'qga nisbatan inersiya momenti; m- mayatnikning massasi, l- to'xtatib turish nuqtasidan massa markazigacha bo'lgan masofa.

Jismoniy mayatnikning qisqargan uzunligi quyidagi shartdan topiladi: l np = ,

Belgilar jismoniy mayatnik bilan bir xil.

Bir xil chastotali va bir yo'nalishdagi ikkita garmonik tebranish qo'shilsa, amplituda bilan bir xil chastotali garmonik tebranish olinadi:

A = A 1 2 + A 2 2 + 2A 1 A 2 cos(ph 2 – ph 1)

va boshlang'ich faza: ph = arktan
.

Qayerda A 1 , A 2 – amplitudalar, ph 1, ph 2 – buklangan tebranishlarning dastlabki fazalari.

Bir xil chastotadagi o'zaro perpendikulyar tebranishlarni qo'shganda hosil bo'lgan harakatning traektori:

+ – cos (ph 2 – ph 1) = sin 2 (ph 2 – ph 1).

Söndürülmüş tebranishlar qonunga muvofiq sodir bo'ladi:

x = A 0 e - β t cos(ō t + φ 0),

bu erda b - damping koeffitsienti, qolgan parametrlarning ma'nosi garmonik tebranishlar bilan bir xil; A 0 - boshlang'ich amplituda. Bir lahzada t tebranish amplitudasi:

A = A 0 e - β t .

Logarifmik dampingning kamayishi deyiladi:

l = log
= β T,

Qayerda T- tebranish davri: T = .

Tebranish tizimining sifat omili deyiladi:

Tekis harakatlanuvchi to'lqin tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

y = y 0 cos ō( t ± ),

Qayerda da- tebranuvchi miqdorning muvozanat holatidan siljishi; da 0 – amplituda, ō – burchak chastotasi, t- vaqt, X- to'lqin tarqaladigan koordinata; υ - to'lqinning tarqalish tezligi.

"+" belgisi o'qga qarshi tarqaladigan to'lqinga mos keladi X, "-" belgisi eksa bo'ylab tarqaladigan to'lqinga mos keladi X.

To'lqin uzunligi uning fazoviy davri deb ataladi:

λ = υ T,

Qayerda υ - to'lqinning tarqalish tezligi; T– tebranishlarning tarqalish davri.

To'lqin tenglamasini yozish mumkin:

y = y 0 cos 2p (+).

Doimiy to'lqin quyidagi tenglama bilan tavsiflanadi:

y = (2y 0cos ) cos ō t.

Turuvchi to'lqinning amplitudasi qavslar ichiga olingan. Maksimal amplitudali nuqtalar antinodlar deb ataladi,

x n = n ,

nol amplitudali nuqtalar - tugunlar,

x y = ( n + ) .

Muammoni hal qilishga misollar

Muammo 20

Garmonik tebranishlarning amplitudasi 50 mm, davri 4 s va boshlang'ich fazasi. . a) Bu tebranish tenglamasini yozing; b) tebranish nuqtasining muvozanat holatidan siljishini toping t=0 va da t= 1,5 s; v) bu harakatning grafigini chizing.

Yechim

Tebranish tenglamasi quyidagicha yoziladi x = a cos( t+  0).

Shartga ko'ra, tebranish davri ma'lum. U orqali aylana chastotasini  = ifodalashimiz mumkin . Qolgan parametrlar ma'lum:

A) x= 0,05cos( t + ).

b) ofset x da t= 0.

x 1 = 0,05 cos = 0,05 = 0,0355 m.

Da t= 1,5 s

x 2 = 0,05 cos( 1,5 + )= 0,05 cos  = – 0,05 m.

V ) funksiya grafigi x=0,05kos ( t + ) quyida bayon qilinganidek:

Keling, bir nechta nuqtalarning o'rnini aniqlaymiz. Ma'lum X 1 (0) va X 2 (1,5), shuningdek, tebranish davri. Shunday qilib,  orqali t= 4 s qiymati X takrorlanadi va  dan keyin t = 2 s belgini o'zgartiradi. O'rtadagi maksimal va minimal o'rtasida 0 ga teng.

Muammo 21

Nuqta garmonik tebranishni amalga oshiradi. Tebranish davri 2 s, amplitudasi 50 mm, dastlabki fazasi nolga teng. Nuqtaning muvozanat holatidan siljishi 25 mm bo'lgan vaqt momentidagi tezligini toping.

Yechim

1 yo'l. Nuqta tebranish tenglamasini yozamiz:

x= 0,05 cos t, chunki  = =.

Vaqt momentidagi tezlikni topish t:

υ = = – 0,05 cos t.

Biz siljish 0,025 m bo'lgan vaqt momentini topamiz:

0,025 = 0,05 cos t 1 ,

demak cos  t 1 = ,  t 1 = . Ushbu qiymatni tezlik ifodasiga almashtiramiz:

υ = – 0,05  gunoh = – 0,05  = 0,136 m/s.

2-usul. Tebranish harakatining umumiy energiyasi:

E =
,

Qayerda A– amplituda,  – aylana chastotasi, m – zarracha massasi.

Vaqtning har bir momentida u nuqtaning potentsial va kinetik energiyasidan iborat

E k = , E n = , Lekin k = m 2, bu degani E n =
.

Energiyaning saqlanish qonunini yozamiz:

= +
,

bu yerdan biz olamiz: a 2  2 = υ 2 +  2 x 2 ,

υ = 
= 
= 0,136 m/s.

Muammo 22

Moddiy nuqtaning garmonik tebranishlarining amplitudasi A= 2 sm, umumiy energiya E= 3∙10 -7 J. Muvozanat holatidan qanday siljishda kuch tebranish nuqtasiga ta'sir qiladi. F = 2,25∙10 -5 N?

Yechim

Garmonik tebranishlarni amalga oshiradigan nuqtaning umumiy energiyasi quyidagilarga teng: E =
. (13)

Elastik kuch moduli nuqtalarning muvozanat holatidan siljishi orqali ifodalanadi x quyida bayon qilinganidek:

F = k x (14)

Formula (13) massani o'z ichiga oladi m va aylana chastotasi , va (14) da - qattiqlik koeffitsienti k. Lekin dairesel chastota bilan bog'liq m Va k:

 2 = ,

bu yerdan k = m 2 va F = m 2 x. ifoda etib m(13) munosabatdan  2 ni olamiz: m 2 = , F = x.

Ko'chirish ifodasini qaerdan olamiz x: x = .

Raqamli qiymatlarni almashtirish quyidagilarni beradi:

x =
= 1,5∙10 -2 m = 1,5 sm.

Muammo 23

Nuqta bir xil davrlar va boshlang'ich fazalarga ega bo'lgan ikkita tebranishda ishtirok etadi. Tebranish amplitudalari A 1 = 3 sm va A 2 = 4 sm.. Hosil bolgan tebranish amplitudasini toping, agar: 1) tebranishlar bir yonalishda sodir bolsa; 2) tebranishlar o'zaro perpendikulyar.

Yechim

Agar tebranishlar bir yo'nalishda sodir bo'lsa, hosil bo'lgan tebranishning amplitudasi quyidagicha aniqlanadi:

Qayerda A 1 va A 2 – qo‘shilgan tebranishlarning amplitudalari,  1 va  2 – boshlang‘ich fazalar. Shartga ko'ra, boshlang'ich fazalar bir xil bo'lib, bu  2 –  1 = 0 va cos 0 = 1 ni bildiradi.

Demak:

A =
=
= A 1 +A 2 = 7 sm.

Agar tebranishlar o'zaro perpendikulyar bo'lsa, natijada harakat tenglamasi quyidagicha bo'ladi:

cos( 2 –  1) = sin 2 ( 2 –  1).

 2 –  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0 sharti bo‘yicha tenglama quyidagicha yoziladi:
=0,

yoki
=0,

yoki
.

O'rtasidagi natijaviy munosabatlar x Va da grafikda tasvirlanishi mumkin. Grafik shuni ko'rsatadiki, natijada to'g'ri chiziqdagi nuqtaning tebranishi bo'ladi MN. Ushbu tebranishning amplitudasi quyidagicha aniqlanadi: A =
= 5 sm.

Muammo 24

Söndürülmüş tebranishlar davri T=4 s, logarifmik damping dekrementi  = 1,6, boshlang'ich faza nolga teng. Nuqta siljishi da t = 4,5 sm ga teng 1) Bu tebranish tenglamasini yozing; 2) Ikki davr uchun bu harakatning grafigini tuzing.

Yechim

Nol boshlang'ich fazaga ega bo'lgan sönümli tebranishlar tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

x = A 0 e -  t cos2 .

Raqamli qiymatlarni almashtirish uchun boshlang'ich amplituda qiymatlari etarli emas A 0 va susaytirish koeffitsienti .

Zaiflash koeffitsientini logarifmik pasayishning pasayishiga bog'liq holda aniqlash mumkin:

 = T.

Shunday qilib  = = = 0,4 s -1.

Dastlabki amplitudani ikkinchi shartni almashtirish orqali aniqlash mumkin:

4,5 sm = A 0
cos 2 =A 0
cos = A 0
.

Bu yerdan biz topamiz:

A 0 = 4,5∙

(sm) = 7,75 sm.

Yakuniy harakat tenglamasi:

x = 0,0775
xarajat.

Muammo 25

Matematik mayatnikning logarifmik dekrementi nimaga teng bo'lsa t = 1 min tebranishlar amplitudasi yarmiga kamaydi? Sarkac uzunligi l = 1 m.

Yechim

Logarifmik sönümleme dekrementini quyidagi munosabatdan topish mumkin: =  T,

bu erda  - zaiflashuv koeffitsienti, T- tebranish davri. Matematik mayatnikning tabiiy aylana chastotasi:

 0 =
= 3,13 s -1.

Tebranishning damping koeffitsientini quyidagi shartlardan aniqlash mumkin: A 0 = A 0 e -  t ,

t= ln2 = 0,693,

 =
= 0,0116c -1.

 dan beri<<  0 , то в формуле  =
 0 ga nisbatan e'tibordan chetda qolishi mumkin va tebranish davri quyidagi formula bilan aniqlanishi mumkin: T = = 2c.

 va ni almashtiramiz T logarifmik sönümleme dekrementining ifodasiga kiritamiz va biz quyidagilarni olamiz:

 = T= 0,0116 s -1 ∙ 2 s = 0,0232.

Muammo 26

Söndürmemiş tebranishlar tenglamasi shaklda berilgan x= 4 sin600  t sm.

Masofada joylashgan nuqtaning muvozanat holatidan siljishini toping l= tebranish manbasidan 75 sm, orqali t= tebranish boshlanganidan keyin 0,01 s. Tebranishning tarqalish tezligi υ = 300 m/s.

Yechim

Berilgan manbadan tarqaladigan to‘lqin tenglamasini yozamiz: x= 0,04 sin 600 ( t– ).

Biz ma'lum bir joyda ma'lum bir vaqtda to'lqinning fazasini topamiz:

t– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0,0075 = 4,5,

gunoh 4,5 = gunoh = 1.

Shuning uchun nuqta siljishi x= 0,04 m, ya'ni. masofada l Vaqtida manbadan =75 sm t= 0,01 s maksimal nuqta siljishi.

Adabiyotlar ro'yxati

Volkenshtein V.S.. Umumiy fizika kursi uchun masalalar to'plami. - Sankt-Peterburg: SpetsLit, 2001 yil.

Savelyev I.V.. Umumiy fizika fanidan savollar va masalalar to'plami. – M.: Nauka, 1998 yil.

Garmonik tebranishlar qonunga muvofiq sodir bo'ladi:

x = A cos(ō t + φ 0),

Qayerda x- zarrachaning muvozanat holatidan siljishi; A– tebranishlar amplitudasi, ō – aylana chastotasi, ph 0 – boshlang‘ich faza, t- vaqt.

Tebranish davri T = .

Tebranuvchi zarracha tezligi:

υ = = – Aō gunoh (ō t + φ 0),

tezlashuv a = = –Aō 2 cos (ō t + φ 0).

Tebranish harakatini boshdan kechirayotgan zarraning kinetik energiyasi: E k = =
gunoh 2 (ō t+ φ 0).

Potensial energiya:

E n=
cos 2 (ō t + φ 0).

Mayatnikning tebranish davrlari

- bahor T =
,

Qayerda m- yuk massasi, k- bahorning qattiqlik koeffitsienti,

- matematik T = ,

Qayerda l- suspenziya uzunligi, g- tortishish tezlashishi,

- jismoniy T =
,

Qayerda I- mayatnikning to'xtatib turish nuqtasidan o'tadigan o'qga nisbatan inersiya momenti; m- mayatnikning massasi, l- to'xtatib turish nuqtasidan massa markazigacha bo'lgan masofa.

Jismoniy mayatnikning qisqargan uzunligi quyidagi shartdan topiladi: l np = ,

Belgilar jismoniy mayatnik bilan bir xil.

Bir xil chastotali va bir yo'nalishdagi ikkita garmonik tebranish qo'shilsa, amplituda bilan bir xil chastotali garmonik tebranish olinadi:

A = A 1 2 + A 2 2 + 2A 1 A 2 cos(ph 2 – ph 1)

va boshlang'ich faza: ph = arktan
.

Qayerda A 1 , A 2 – amplitudalar, ph 1, ph 2 – buklangan tebranishlarning dastlabki fazalari.

Bir xil chastotadagi o'zaro perpendikulyar tebranishlarni qo'shganda hosil bo'lgan harakatning traektori:

+ – cos (ph 2 – ph 1) = sin 2 (ph 2 – ph 1).

Söndürülmüş tebranishlar qonunga muvofiq sodir bo'ladi:

x = A 0 e - β t cos(ō t + φ 0),

bu erda b - damping koeffitsienti, qolgan parametrlarning ma'nosi garmonik tebranishlar bilan bir xil; A 0 - boshlang'ich amplituda. Bir lahzada t tebranish amplitudasi:

A = A 0 e - β t .

Logarifmik dampingning kamayishi deyiladi:

l = log
= β T,

Qayerda T- tebranish davri: T = .

Tebranish tizimining sifat omili deyiladi:

Tekis harakatlanuvchi to'lqin tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

y = y 0 cos ō( t ± ),

Qayerda da- tebranuvchi miqdorning muvozanat holatidan siljishi; da 0 – amplituda, ō – burchak chastotasi, t- vaqt, X- to'lqin tarqaladigan koordinata; υ - to'lqinning tarqalish tezligi.

"+" belgisi o'qga qarshi tarqaladigan to'lqinga mos keladi X, "-" belgisi eksa bo'ylab tarqaladigan to'lqinga mos keladi X.

To'lqin uzunligi uning fazoviy davri deb ataladi:

λ = υ T,

Qayerda υ - to'lqinning tarqalish tezligi; T– tebranishlarning tarqalish davri.

To'lqin tenglamasini yozish mumkin:

y = y 0 cos 2p (+).

Doimiy to'lqin quyidagi tenglama bilan tavsiflanadi:

y = (2y 0cos ) cos ō t.

Turuvchi to'lqinning amplitudasi qavslar ichiga olingan. Maksimal amplitudali nuqtalar antinodlar deb ataladi,

x n = n ,

nol amplitudali nuqtalar - tugunlar,

x y = ( n + ) .

Muammoni hal qilishga misollar

Muammo 20

Yechim

Tebranish tenglamasi quyidagicha yoziladi x = a cos( t+  0).

Shartga ko'ra, tebranish davri ma'lum. U orqali aylana chastotasini  = ifodalashimiz mumkin . Qolgan parametrlar ma'lum:

A) x= 0,05cos( t + ).

b) ofset x da t= 0.

x 1 = 0,05 cos = 0,05 = 0,0355 m.

Da t= 1,5 s

x 2 = 0,05 cos( 1,5 + )= 0,05 cos  = – 0,05 m.

V ) funksiya grafigi x=0,05kos ( t + ) quyida bayon qilinganidek:

Muammo 21

Yechim

1 yo'l. Nuqta tebranish tenglamasini yozamiz:

x= 0,05 cos t, chunki  = =.

Vaqt momentidagi tezlikni topish t:

υ = = – 0,05 cos t.

Biz siljish 0,025 m bo'lgan vaqt momentini topamiz:

0,025 = 0,05 cos t 1 ,

demak cos  t 1 = ,  t 1 = . Ushbu qiymatni tezlik ifodasiga almashtiramiz:

υ = – 0,05  gunoh = – 0,05  = 0,136 m/s.

2-usul. Tebranish harakatining umumiy energiyasi:

E =
,

Qayerda A– amplituda,  – aylana chastotasi, m – zarracha massasi.

Vaqtning har bir momentida u nuqtaning potentsial va kinetik energiyasidan iborat

E k = , E n = , Lekin k = m 2, bu degani E n =
.

Energiyaning saqlanish qonunini yozamiz:

= +
,

bu yerdan biz olamiz: a 2  2 = υ 2 +  2 x 2 ,

υ = 
= 
= 0,136 m/s.

Muammo 22

Moddiy nuqtaning garmonik tebranishlarining amplitudasi A= 2 sm, umumiy energiya E= 3∙10 -7 J. Muvozanat holatidan qanday siljishda kuch tebranish nuqtasiga ta'sir qiladi. F = 2,25∙10 -5 N?

Yechim

Garmonik tebranishlarni amalga oshiradigan nuqtaning umumiy energiyasi quyidagilarga teng: E =
. (13)

Elastik kuch moduli nuqtalarning muvozanat holatidan siljishi orqali ifodalanadi x quyida bayon qilinganidek:

F = k x (14)

Formula (13) massani o'z ichiga oladi m va aylana chastotasi , va (14) da - qattiqlik koeffitsienti k. Lekin dairesel chastota bilan bog'liq m Va k:

 2 = ,

bu yerdan k = m 2 va F = m 2 x. ifoda etib m(13) munosabatdan  2 ni olamiz: m 2 = , F = x.

Ko'chirish ifodasini qaerdan olamiz x: x = .

Raqamli qiymatlarni almashtirish quyidagilarni beradi:

x =
= 1,5∙10 -2 m = 1,5 sm.

Muammo 23

Yechim

Agar tebranishlar bir yo'nalishda sodir bo'lsa, hosil bo'lgan tebranishning amplitudasi quyidagicha aniqlanadi:

Demak:

A =
=
= A 1 +A 2 = 7 sm.

Agar tebranishlar o'zaro perpendikulyar bo'lsa, natijada harakat tenglamasi quyidagicha bo'ladi:

cos( 2 –  1) = sin 2 ( 2 –  1).

 2 –  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0 sharti bo‘yicha tenglama quyidagicha yoziladi:
=0,

yoki
=0,

yoki
.

Muammo 24

Yechim

Nol boshlang'ich fazaga ega bo'lgan sönümli tebranishlar tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

x = A 0 e -  t cos2 .

Raqamli qiymatlarni almashtirish uchun boshlang'ich amplituda qiymatlari etarli emas A 0 va susaytirish koeffitsienti .

Zaiflash koeffitsientini logarifmik pasayishning pasayishiga bog'liq holda aniqlash mumkin:

 = T.

Shunday qilib  = = = 0,4 s -1.

Dastlabki amplitudani ikkinchi shartni almashtirish orqali aniqlash mumkin:

4,5 sm = A 0
cos 2 =A 0
cos = A 0
.

Bu yerdan biz topamiz:

A 0 = 4,5∙

(sm) = 7,75 sm.

Yakuniy harakat tenglamasi:

x = 0,0775
xarajat.

Muammo 25

Matematik mayatnikning logarifmik dekrementi nimaga teng bo'lsa t = 1 min tebranishlar amplitudasi yarmiga kamaydi? Sarkac uzunligi l = 1 m.

Yechim

Logarifmik sönümleme dekrementini quyidagi munosabatdan topish mumkin: =  T,

bu erda  - zaiflashuv koeffitsienti, T- tebranish davri. Matematik mayatnikning tabiiy aylana chastotasi:

 0 =
= 3,13 s -1.

Tebranishning damping koeffitsientini quyidagi shartlardan aniqlash mumkin: A 0 = A 0 e -  t ,

t= ln2 = 0,693,

 =
= 0,0116c -1.

 dan beri<<  0 , то в формуле  =
 0 ga nisbatan e'tibordan chetda qolishi mumkin va tebranish davri quyidagi formula bilan aniqlanishi mumkin: T = = 2c.

 va ni almashtiramiz T logarifmik sönümleme dekrementining ifodasiga kiritamiz va biz quyidagilarni olamiz:

 = T= 0,0116 s -1 ∙ 2 s = 0,0232.

Muammo 26

Söndürmemiş tebranishlar tenglamasi shaklda berilgan x= 4 sin600  t sm.

Masofada joylashgan nuqtaning muvozanat holatidan siljishini toping l= tebranish manbasidan 75 sm, orqali t= tebranish boshlanganidan keyin 0,01 s. Tebranishning tarqalish tezligi υ = 300 m/s.

Yechim

Berilgan manbadan tarqaladigan to‘lqin tenglamasini yozamiz: x= 0,04 sin 600 ( t– ).

Biz ma'lum bir joyda ma'lum bir vaqtda to'lqinning fazasini topamiz:

t– = 0,01 –= 0,0075 ,