Matematik ifodalar(formulalar) qisqartirilgan ko'paytirish(yig‘indi va ayirma kvadrati, yig‘indi va ayirma kubi, kvadratlar ayirmasi, kublarning yig‘indisi va ayirmasi) ko‘p sohalarda nihoyatda almashtirib bo‘lmaydi. aniq fanlar. Bu 7 ta ramziy belgi ifodalarni soddalashtirish, tenglamalarni yechish, ko‘p nomlarni ko‘paytirish, kasrlarni kamaytirish, integrallarni yechish va boshqa ko‘p ishlarda bebahodir. Bu shuni anglatadiki, ular qanday qilib olinganligini, nima uchun kerakligini va eng muhimi, ularni eslab qolish va keyin ularni qo'llashni tushunish juda foydali bo'ladi. Keyin ariza berish qisqartirilgan ko'paytirish formulalari amalda eng qiyin narsa nima ekanligini ko'rish bo'ladi X va sizda nima bor. Shubhasiz, hech qanday cheklovlar yo'q a Va b yo'q, bu har qanday raqamli yoki alifbo ifodasi bo'lishi mumkinligini anglatadi.
Va shuning uchun ular:
Birinchidan x 2 - 2 da = (x - y) (x+y).Hisoblash uchun kvadratchalar farqi ikkita ifoda bo'lsa, bu iboralarning farqlarini ularning yig'indisiga ko'paytirish kerak.
Ikkinchi (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Topmoq summaning kvadrati ikkita ibora bo'lsa, birinchi ifodaning kvadratiga birinchi ifodaning qo'sh ko'paytmasini va ikkinchi ortiqcha ikkinchi ifodaning kvadratini qo'shishingiz kerak.
Uchinchi (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Hisoblash uchun kvadrat farq ikkita ibora bo'lsa, birinchi ifodaning kvadratidan birinchi ifodaning ikki barobar ko'paytmasini ikkinchi va ikkinchi ifodaning kvadratiga ayirish kerak.
To'rtinchi (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + 3 da. Hisoblash uchun kub summasi ikkita ifoda bo‘lsa, birinchi ifodaning kubiga birinchi ifoda kvadratining uch karra ko‘paytmasini ikkinchisiga va birinchi ifodaning uch karra ko‘paytmasini ikkinchisining kvadratiga va ikkinchi ifoda kubiga qo‘shish kerak.
Beshinchisi (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - 3 da. Hisoblash uchun farq kubi ikkita ifoda bo‘lsa, birinchi ifodaning kubidan birinchi ifoda kvadratining uch karra ko‘paytmasini ikkinchi va birinchi ifodaning uch karra ko‘paytmasini ikkinchisining kvadratiga minus ikkinchi ifoda kubini ayirish kerak.
Oltinchi x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Hisoblash uchun kublar yig'indisi ikkita ibora, siz birinchi va ikkinchi ifodalarning yig'indisini ushbu iboralar farqining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytirishingiz kerak.
Ettinchi x 3 - 3 da = (x - y) (x 2 + xy + y 2) Hisoblashni amalga oshirish uchun kublarning farqlari ikkita ibora, siz birinchi va ikkinchi ifodalarning farqini ushbu iboralar yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytirishingiz kerak.
Barcha formulalar hisob-kitoblarni teskari yo'nalishda (o'ngdan chapga) bajarish uchun ishlatilishini eslash qiyin emas.
Ushbu naqshlarning mavjudligi taxminan 4 ming yil oldin ma'lum bo'lgan. Ular qadimgi Bobil va Misr aholisi tomonidan keng qo'llanilgan. Ammo o'sha davrlarda ular og'zaki yoki geometrik tarzda ifodalangan va hisob-kitoblarda harflardan foydalanmagan.
Keling, buni tartibga solaylik kvadrat summani isbotlash(a + b) 2 = a 2 +2ab +b 2.
Avval bu matematik naqsh Miloddan avvalgi 3-asrda Iskandariyada ishlagan qadimgi yunon olimi Evklid tomonidan isbotlangan, u formulani isbotlash uchun geometrik usuldan foydalangan, chunki qadimgi Ellada olimlari raqamlarni harflar bilan belgilashmagan. Ular hamma joyda "a 2" emas, balki "a segmentidagi kvadrat", "ab" emas, balki "a va b segmentlari orasiga o'ralgan to'rtburchak" dan foydalanganlar.
Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari. Trening.
Quyidagi iboralarni shu tarzda baholashga harakat qiling:
Javoblar:
Yoki asosiy ikki xonali raqamlarning kvadratlarini bilsangiz, uning qancha ekanligini eslaysizmi? Esingizdami? . Ajoyib! Biz kvadrat bo'lganimiz uchun, biz ko'paytirishimiz kerak. Ma'lum bo'ladiki.
Esda tutingki, kvadrat yig'indi va kvadrat ayirma formulalari nafaqat sonli ifodalar uchun amal qiladi:
Quyidagi ifodalarni o'zingiz hisoblang:
Javoblar:
Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari. Pastki chiziq.
Keling, bir oz umumlashtiramiz va yig'indi va ayirma kvadratining formulalarini bitta qatorga yozamiz:
Keling, formulani parchalangan ko'rinishdan ko'rinishgacha "yig'ishni" mashq qilaylik. Keyinchalik katta iboralarni konvertatsiya qilishda bizga bu mahorat kerak bo'ladi.
Aytaylik, bizda quyidagi ifoda bor:
Biz bilamizki, yig'indining (yoki farqning) kvadrati bitta raqamning kvadrati boshqa raqamning kvadrati Va bu raqamlarning ikki barobar ko'paytmasi.
Bu masalada bitta raqamning kvadratini ko'rish oson - bu. Shunga ko'ra, qavsga kiritilgan raqamlardan biri Kvadrat ildiz dan, ya'ni
Ikkinchi atama o'z ichiga olganligi sababli, bu mos ravishda bir va boshqa sonning ikki barobar ko'paytmasi ekanligini anglatadi:
Qavsimizga kiritilgan ikkinchi raqam qayerda.
Qavsdagi ikkinchi raqam ga teng.
Keling, tekshiramiz. teng bo'lishi kerak. Darhaqiqat, bu shunday, ya'ni biz qavs ichida mavjud ikkala raqamni topdik: va. Ularning orasidagi belgini aniqlash uchun qoladi. Sizningcha, u erda qanday belgi bo'ladi?
To'g'ri! Bizdan beri qo'shish Agar mahsulot ikki baravar ko'paytirilsa, raqamlar orasida qo'shish belgisi bo'ladi. Endi o'zgartirilgan ifodani yozing. Siz boshqardingizmi? Siz quyidagilarni olishingiz kerak:
Eslatma: atamalar joylarini o'zgartirish natijaga ta'sir qilmaydi (qo'shish yoki ayirish va orasiga qo'yilganligi muhim emas).
O'zgartirilayotgan iboradagi atamalar formulada yozilganidek bo'lishi mutlaqo shart emas. Ushbu ifodaga qarang: . Uni o'zingiz aylantirishga harakat qiling. Bo'ldimi?
Amaliyot - quyidagi iboralarni o'zgartiring:
Javoblar: Siz boshqardingizmi? Keling, mavzuni to'g'rilaymiz. Quyidagi iboralardan yig'indi yoki farqning kvadrati sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan iboralarni tanlang.
- - ekvivalent ekanligini isbotlang.
- - kvadrat shaklida tasvirlash mumkin emas; uning o'rniga borligini tasavvur qilish mumkin edi.
Kvadratchalar farqi
Yana bir qisqartirilgan ko'paytirish formulasi kvadratlar farqidir.
Kvadratlarning farqi farqning kvadrati emas!
Ikki raqamning kvadratlari orasidagi farq bu raqamlar yig'indisi va ularning farqining ko'paytmasiga teng:
Keling, ushbu formula to'g'ri yoki yo'qligini tekshiramiz. Buning uchun yig'indi va ayirma kvadratining formulalarini chiqarishda qilganimizdek, ko'paytiramiz:
Shunday qilib, biz formulaning haqiqatan ham to'g'ri ekanligini tasdiqladik. Bu formula murakkab hisoblash operatsiyalarini ham soddalashtiradi. Mana bir misol:
Hisoblash kerak: . Albatta, biz kvadrat, keyin kvadrat va birini boshqasidan ayirishimiz mumkin, ammo formula biz uchun buni osonlashtiradi:
Bo'ldimi? Keling, natijalarni taqqoslaylik:
Xuddi yig'indining kvadrati (farq) kabi kvadratlar farqi formulasini nafaqat raqamlar bilan ishlatish mumkin:
Kvadratlar farqini qanday hisoblashni bilish murakkab matematik ifodalarni o'zgartirishga yordam beradi.
Diqqat qilish:
Chunki, to'g'ri ifodaning farqini kvadratga ajratganda, biz olamiz
Ehtiyot bo'ling va qaysi atama kvadratga aylanayotganini ko'ring! Mavzuni mustahkamlash uchun quyidagi iboralarni o'zgartiring:
Siz yozdingizmi? Olingan ifodalarni solishtiramiz:
Yig‘indining kvadrati va ayirma kvadratini hamda kvadratlar ayirmasini o‘zlashtirganingizdan so‘ng, keling, ushbu uchta formulaning birikmasiga misollar yechishga harakat qilaylik.
Elementar ifodalarni o'zgartirish (yig'indi kvadrati, ayirma kvadrati, kvadratlar ayirmasi)
Aytaylik, bizga misol keltirildi
Oddiylashtirish kerak bu ifoda. Diqqat bilan qarang, hisoblagichda nimani ko'rasiz? To'g'ri, numerator mukammal kvadratdir:
Ifodani soddalashtirganda esda tutingki, soddalashtirishda qaysi yo'nalishga borish kerakligi maxrajda (yoki numeratorda) bo'ladi. Bizning holatimizda, maxraj kengaytirilganda va boshqa hech narsa qilish mumkin bo'lmaganda, hisoblagich yig'indining kvadrati yoki farqning kvadrati bo'lishini tushunishimiz mumkin. Biz qo'shayotganimiz sababli, hisoblagich yig'indining kvadrati ekanligi ayon bo'ladi.
Quyidagi iboralarni oʻzingizga aylantirib koʻring:
Bo'ldimi? Javoblarni solishtiring va davom eting!
Yig'indi kubi va ayirma kubi
Yig'indi kubi va ayirma kub formulalari xuddi shunday tarzda olinadi summaning kvadrati Va kvadrat farq: hadlarni bir-biriga ko'paytirishda qavs ochish.
Agar yig'indining kvadrati va farqning kvadratini eslab qolish juda oson bo'lsa, unda savol tug'iladi: "kublarni qanday eslab qolish kerak?"
O'xshash atamalarni kvadratlash bilan solishtirganda tasvirlangan ikkita formulani diqqat bilan ko'rib chiqing:
Qanday naqshni ko'rasiz?
1. Qachon o'rnatilgan kvadrat bizda bor kvadrat birinchi kun va kvadrat ikkinchi; kubga ko'tarilganda - ha kub bir xil raqam va kub boshqa raqam.
2. Qachon o'rnatilgan kvadrat, bizda bor ikki barobar raqamlar mahsuloti (1-darajali darajaga ko'tarilgan raqamlar, bu biz ifodani ko'targanimizdan bir daraja kamroq); qurilish vaqtida kub - uch barobar raqamlardan biri kvadrat bo'lgan mahsulot (bu ham biz ifodani ko'taradigan quvvatdan 1 kuch kamroq).
3. Kvadratlashganda ochiq ifodadagi qavs ichidagi belgi qo‘sh ko‘paytmani qo‘shishda (yoki ayirishda) aks ettiriladi - qavs ichida qo‘shimcha bo‘lsa, qo‘shamiz, ayirish bo‘lsa, ayirib olamiz; kubni ko'tarishda qoida quyidagicha: agar bizda yig'indi kubi bo'lsa, unda barcha belgilar "+" bo'ladi va agar bizda farq kub bo'lsa, u holda belgilar almashinadi: " ” - " ” - “ ” - “ “ .
Yuqorida aytilganlarning barchasi, atamalarni ko'paytirishda kuchlarning bog'liqligidan tashqari, rasmda ko'rsatilgan.
Mashq qilaylikmi? Quyidagi iboralardagi qavslarni oching:
Olingan ifodalarni solishtiring:
Kublarning farqi va yig'indisi
Keling, formulalarning oxirgi juftligini ko'rib chiqaylik: kublarning farqi va yig'indisi.
Esda tutganimizdek, kvadratlar farqida biz bu raqamlarning farqini va yig'indisini bir-biriga ko'paytiramiz. Kublar farqi va kublar yig'indisida ham ikkita qavs mavjud:
1 qavs - raqamlarning birinchi darajagacha bo'lgan farqi (yoki yig'indisi) (farqni yoki kublar yig'indisini ochishimizga qarab);
2-qavs - to'liq bo'lmagan kvadrat (yaqindan qarang: agar raqamlarning qo'sh ko'paytmasini ayirsak (yoki qo'shsak), kvadrat bo'lar edi), raqamlarni ko'paytirishda belgi asl ifoda belgisiga qarama-qarshidir.
Mavzuni mustahkamlash uchun bir nechta misollarni hal qilaylik:
Olingan ifodalarni solishtiring:
Trening
Javoblar:
Keling, xulosa qilaylik:
7 ta qisqartirilgan ko'paytirish formulalari mavjud:
ILG'IY DARAJA
Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari - bu formulalar bo'lib, qaysi birini bilsangiz, ifodalarni soddalashtirish yoki polinomlarni faktoring qilishda ba'zi standart amallarni bajarishdan qochishingiz mumkin. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini yoddan bilish kerak!
- Yig'inning kvadrati ikkita ifoda birinchi ifodaning kvadratiga plyus birinchi ifodaning ikki barobar ko‘paytmasiga va ikkinchisi plyus ikkinchi ifodaning kvadratiga teng:
- Kvadrat farq ikkita ifoda birinchi ifodaning kvadratiga minus birinchi ifodaning ikki barobar ko‘paytmasi va ikkinchisi plyus ikkinchi ifodaning kvadratiga teng:
- Kvadratchalar farqi ikkita ifoda bu ifodalar ayirmasi va ularning yig‘indisi ko‘paytmasiga teng:
- Jami kub ikkita ifoda birinchi ifodaning kubiga plyus birinchi ifoda kvadratining uch baravar ko‘paytmasiga, ikkinchisi esa birinchi ifodaning ko‘paytmasini va ikkinchisining kvadratiga plyus ikkinchi ifoda kubining uch barobariga teng:
- Farq kubi ikkita ifoda birinchi ifodaning kubiga teng: birinchi ifoda kvadratining uch baravar ko‘paytmasini va ikkinchisi ortiqcha birinchi ifodaning ko‘paytmasini va ikkinchisining kvadratini minus ikkinchi ifodaning kubini ayirib uch marta ko‘paytiring:
- Kublar yig'indisi ikkita ifoda birinchi va ikkinchi ifodalar yig‘indisi va bu ifodalar ayirmasining to‘liq bo‘lmagan kvadratining ko‘paytmasiga teng:
- Kublarning farqi ikkita ifoda birinchi va ikkinchi ifodalar ayirmasining ushbu ifodalar yig‘indisining to‘liq bo‘lmagan kvadratiga ko‘paytmasiga teng:
Endi bu formulalarning barchasini isbotlaylik.
Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari. Isbot.
1. .
Ifodani kvadratga solish uni o'ziga ko'paytirishni anglatadi:
.
Qavslarni ochamiz va shunga o'xshashlarni beramiz:
2. .
Biz ham xuddi shunday qilamiz: farqni o'z-o'zidan ko'paytiramiz, qavslarni ochamiz va shunga o'xshashlarni beramiz:
.
3. .
Keling, o'ng tomondagi ifodani olamiz va qavslarni ochamiz:
.
4. .
Kubli sonni bu raqam uning kvadratiga ko'paytirilishi bilan ifodalanishi mumkin:
Xuddi shunday:
Kublar farqida belgilar almashinadi.
6. .
.
7. .
Keling, o'ng tarafdagi qavslarni ochamiz:
.
Misollarni yechish uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanish
1-misol:
Ifodalar ma'nosini toping:
Yechim:
- Yig'indining kvadrat formulasidan foydalanamiz: .
- Keling, bu sonni farq sifatida tasavvur qilaylik va farqning kvadrati formulasidan foydalanamiz: .
2-misol:
Ifodaning ma'nosini toping: .
Yechim:
Ikki ifoda kvadratlarining farqi formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
3-misol:
Ifodani soddalashtiring:
Yechim ikki usulda:
Keling, formulalardan foydalanamiz: yig'indining kvadrati va farqning kvadrati:
II usul.
Keling, ikkita ifoda kvadratlarining farqi uchun formuladan foydalanamiz:
ENDI SIZNING SO'ZINGIZ...
Men sizga qisqartirilgan ko'paytirish formulalari haqida bilgan hamma narsani aytdim.
Ayting-chi, ulardan foydalanasizmi? Agar yo'q bo'lsa, nima uchun?
Ushbu maqola haqida qanday fikrdasiz?
Balki savollaringiz bordir. Yoki takliflar.
Izohlarda yozing. Biz barcha sharhlarni o'qiymiz va barchaga javob beramiz.
Va imtihonlaringizga omad!
Oldingi darsda biz faktorizatsiya bilan shug'ullangan edik. Biz ikkita usulni o'zlashtirdik: umumiy omilni qavs ichidan chiqarish va guruhlash. Ushbu darsda - quyidagi kuchli usul: qisqartirilgan ko'paytirish formulalari. Qisqasi - FSU.
Qisqartirilgan ko‘paytirish formulalari (yig‘indi va ayirma kvadrati, yig‘indi va ayirma kubi, kvadratlar ayirmasi, kublarning yig‘indisi va ayirmasi) matematikaning barcha bo‘limlarida nihoyatda zarurdir. Ular ifodalarni soddalashtirishda, tenglamalarni yechishda, ko‘phadlarni ko‘paytirishda, kasrlarni kamaytirishda, integrallarni yechishda va hokazolarda qo‘llaniladi. va h.k. Muxtasar qilib aytganda, ular bilan kurashish uchun barcha asoslar mavjud. Ular qaerdan kelib chiqqanligini, nima uchun kerakligini, ularni qanday eslab qolish va ulardan qanday foydalanishni tushuning.
Tushundikmi?)
Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari qayerdan keladi?
6 va 7 tengliklari juda tanish tarzda yozilmagan. Bu qandaydir teskari. Bu ataylab qilingan.) Har qanday tenglik ham chapdan o'ngga, ham o'ngdan chapga ishlaydi. Ushbu yozuv FSUlar qaerdan kelganligini aniqroq qiladi.
Ular ko'paytirishdan olingan.) Masalan:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
Mana, ilmiy hiylalar yo'q. Biz shunchaki qavslarni ko'paytiramiz va shunga o'xshashlarni beramiz. Bu shunday chiqadi barcha qisqartirilgan ko'paytirish formulalari. Qisqartirilgan ko'paytirish, chunki formulalarning o'zida qavslarni ko'paytirish va shunga o'xshashlarni kamaytirish yo'q. Qisqartirilgan.) Natija darhol beriladi.
FSUni yoddan bilish kerak. Birinchi uchtasi bo'lmasa, siz C ni orzu qila olmaysiz, qolganlarisiz B yoki A ni orzu qila olmaysiz.)
Nima uchun bizga qisqartirilgan ko'paytirish formulalari kerak?
Ushbu formulalarni o'rganish, hatto yodlash uchun ikkita sabab bor. Birinchisi, tayyor javob avtomatik ravishda xatolar sonini kamaytiradi. Lekin bu eng ko'p emas asosiy sabab. Ammo ikkinchisi ...
Agar sizga bu sayt yoqsa...
Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)
Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
