Ko'pgina amaliy muammolarni hal qilishda har doim ham tasodifiy miqdorni to'liq tavsiflash, ya'ni taqsimot qonunlarini aniqlash kerak emas. Bundan tashqari, diskret uchun funksiya yoki taqsimotlar qatorini, uzluksiz tasodifiy o‘zgaruvchi uchun esa zichlikni qurish mashaqqatli va keraksizdir.

Ba'zan taqsimlash xususiyatlarini qisman tavsiflovchi individual raqamli parametrlarni ko'rsatish kifoya. Har bir tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatini bilish kerak, uning atrofida uning mumkin bo'lgan qiymati guruhlanadi yoki bu qiymatlarning o'rtachaga nisbatan tarqalish darajasi va hokazo.

Tarqatishning eng muhim belgilarining xarakteristikalari soni xarakteristikalar deyiladi tasodifiy o'zgaruvchi. Ularning yordami bilan ko'plab ehtimolli masalalarni echish ular uchun taqsimot qonunlarini aniqlamasdan osonlashtiriladi.

Tasodifiy o'zgaruvchining haqiqiy o'qdagi pozitsiyasining eng muhim xarakteristikasi kutilgan qiymat M[X]= a, ba'zan tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati deb ataladi. Uchun bilan diskret tasodifiy X mumkin bo'lgan qiymatlar x 1 , x 2 , … , x n va ehtimolliklar p 1 , p 2 ,… , p n formula bilan aniqlanadi

=1 ekanligini hisobga olsak, biz yozishimiz mumkin

Shunday qilib, matematik kutish Diskret tasodifiy o'zgaruvchi - bu uning mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklari mahsulotining yig'indisidir. Tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati katta raqamlar eksperimentlar uning matematik taxminiga yaqinlashadi.

Uchun uzluksiz tasodifiy miqdor X matematik kutish yig'indisi bilan belgilanmaydi, lekin integral

qayerda f(x) - miqdorning taqsimlanish zichligi x.

Matematik kutish hamma tasodifiy o'zgaruvchilar uchun mavjud emas. Ulardan ba'zilari uchun yig'indi yoki integral farqlanadi va shuning uchun hech qanday kutish yo'q. Bunday hollarda, aniqlik uchun maydonni cheklash kerak mumkin bo'lgan o'zgarishlar tasodifiy o'zgaruvchi x, buning uchun yig'indi yoki integral yaqinlashadi.

Amalda tasodifiy o'zgaruvchining holatining rejim va median kabi xarakteristikalari ham qo'llaniladi.

Tasodifiy modauning eng ehtimoliy qiymati deyiladi. DA umumiy holat rejim va kutish bir xil emas.

Tasodifiy o'zgaruvchining medianasiX - bu tasodifiy o'zgaruvchining katta yoki kichik qiymatini olish ehtimoli teng bo'lgan qiymati, ya'ni bu taqsimot egri chizig'i bilan chegaralangan maydon yarmiga bo'lingan nuqtaning abscissasidir. Nosimmetrik taqsimot uchun barcha uchta xususiyat bir xil.

Ehtimollar nazariyasida matematik kutish, rejim va medianadan tashqari boshqa xarakteristikalar ham qo'llaniladi, ularning har biri taqsimotning ma'lum bir xususiyatini tavsiflaydi. Masalan, tasodifiy o'zgaruvchining tarqalishini tavsiflovchi, ya'ni uning mumkin bo'lgan qiymatlari matematik kutish atrofida qanchalik yaqin guruhlanganligini ko'rsatadigan raqamli xarakteristikalar dispersiya va standart og'ishdir. Ular tasodifiy o'zgaruvchini sezilarli darajada to'ldiradi, chunki amalda ko'pincha teng matematik taxminlarga ega, ammo taqsimotlari har xil bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilar mavjud. Tarqalish xarakteristikalarini aniqlashda tasodifiy miqdor orasidagi farq X va uning matematik kutilishi, ya'ni.

qayerda a = M[X] - kutilgan qiymat.

Bu farq deyiladi markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchi, mos keladigan qiymat x, va belgilandi :

Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi qiymatning matematik kutilmasidan chetlanish kvadratining matematik kutilishi, ya’ni:

D[ X]=M[( X-a) 2 ], yoki

D[ X]=M[ 2 ].

Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi uning matematik kutilishi atrofida tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining tarqalishi va tarqalishining qulay tavsifidir. Biroq, u ko'rinishdan mahrum, chunki u tasodifiy o'zgaruvchining kvadrati o'lchamiga ega.

Tarqalishning vizual tavsifi uchun o'lchami tasodifiy o'zgaruvchiga to'g'ri keladigan kattalikdan foydalanish qulayroqdir. Bu qiymat standart og'ish tasodifiy o'zgaruvchi, bu uning dispersiyasining musbat kvadrat ildizi.

Matematik kutish, rejim, median, dispersiya, standart og'ish - tasodifiy o'zgaruvchilarning eng ko'p ishlatiladigan raqamli xarakteristikalari. Amaliy masalalarni hal qilishda, taqsimot qonunini aniqlashning iloji bo'lmaganda, tasodifiy o'zgaruvchining taxminiy tavsifi taqsimotning ba'zi xususiyatlarini ifodalovchi sonli xarakteristikasi hisoblanadi.

Markazning (kutishning) va dispersiyaning (tarqalishining) asosiy xususiyatlaridan tashqari, ko'pincha taqsimotning boshqa muhim xususiyatlarini tavsiflash kerak - simmetriya va aniqlik, taqsimlash momentlari yordamida ifodalanishi mumkin.

Tasodifiy miqdorning taqsimlanishi, agar uning barcha momentlari ma'lum bo'lsa, to'liq berilgan. Biroq, ko'plab taqsimotlarni birinchi to'rt moment yordamida to'liq tasvirlash mumkin, ular nafaqat taqsimotlarni tavsiflovchi parametrlar, balki ahamiyati empirik taqsimotlarni tanlashda, ya'ni berilgan vaqt uchun momentlarning raqamli qiymatlarini hisoblash orqali. statistik qator va maxsus grafiklardan foydalanib, siz taqsimot qonunini aniqlashingiz mumkin.

Ehtimollar nazariyasida momentlarning ikki turi ajratiladi: boshlang'ich va markaziy.

K-tartibning dastlabki momenti tasodifiy o'zgaruvchi T miqdorning matematik kutilishi deyiladi X k, ya'ni

Shuning uchun diskret tasodifiy miqdor uchun u yig'indisi bilan ifodalanadi

va uzluksiz uchun - integral

Tasodifiy o'zgaruvchining boshlang'ich momentlari orasida matematik kutish bo'lgan birinchi tartib momenti alohida ahamiyatga ega. Yuqori tartibli boshlang'ich momentlar, asosan, markaziy momentlarni hisoblash uchun ishlatiladi.

K-tartibning markaziy momenti tasodifiy o'zgaruvchiga o'zgaruvchining matematik kutilishi deyiladi ( X - M [X])k

qayerda a = M[X].

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun u yig'indi bilan ifodalanadi

a uzluksiz - integral uchun

Tasodifiy o'zgaruvchining markaziy momentlari orasida ikkinchi darajali markaziy moment, tasodifiy miqdorning dispersiyasini ifodalaydi.

Birinchi tartibli markaziy moment har doim nolga teng.

Uchinchi boshlang'ich moment taqsimotning assimetriyasini (qiyshiqligini) tavsiflaydi va diskret va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun kuzatishlar natijalariga ko'ra tegishli ifodalar bilan aniqlanadi:

U tasodifiy o'zgaruvchining kubining o'lchamiga ega bo'lgani uchun, o'lchovsiz xarakteristikani olish uchun, m 3 uchinchi darajaga standart og'ish bilan bo'linadi

Olingan qiymat assimetriya koeffitsienti deb ataladi va belgiga qarab, ijobiy ( Sifatida> 0) yoki salbiy ( Sifatida< 0) taqsimotning qiyshiqligi (2.3-rasm).

Kutilgan qiymat. matematik kutish diskret tasodifiy miqdor X mezbon chekli son qiymatlar Xi ehtimollar bilan Ri, yig'indisi deyiladi:

matematik kutish uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X qiymatlari mahsulotining integrali deyiladi X ehtimollik taqsimoti zichligi bo'yicha f(x):

(6b)

Noto'g'ri integral (6 b) mutlaq yaqinlashuvchi deb faraz qilinadi (aks holda kutiluvchi deb aytamiz M(X) mavjud emas). Matematik kutish xarakterlanadi o'rtacha qiymati tasodifiy o'zgaruvchi X. Uning o'lchami tasodifiy o'zgaruvchining o'lchamiga to'g'ri keladi.

Matematik kutishning xususiyatlari:

Dispersiya. dispersiya tasodifiy o'zgaruvchi X raqam deyiladi:

Dispersiya tarqalish xususiyati tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari X uning o'rtacha qiymatiga nisbatan M(X). Dispersiyaning o'lchami tasodifiy o'zgaruvchining kvadratiga teng. Diskret tasodifiy miqdor uchun dispersiya (8) va matematik kutish (5) va uzluksiz tasodifiy miqdor uchun (6) ta'riflariga asoslanib, biz dispersiya uchun o'xshash iboralarni olamiz:

(9)

Bu yerda m = M(X).

Dispersiya xususiyatlari:

Standart og'ish:

(11)

Standart og'ishning o'lchami tasodifiy o'zgaruvchining o'lchami bilan bir xil bo'lganligi sababli, u dispersiya o'lchovi sifatida ishlatiladigan dispersiyadan ko'ra ko'proq bo'ladi.

tarqatish momentlari. Matematik kutish va dispersiya tushunchalari ko'proq maxsus holatlardir umumiy tushuncha tasodifiy o'zgaruvchilarning raqamli xarakteristikalari uchun - tarqatish momentlari. Tasodifiy miqdorning taqsimlanish momentlari tasodifiy miqdorning ba'zi oddiy funktsiyalarining matematik taxminlari sifatida kiritiladi. Shunday qilib, buyurtma vaqti k nuqtaga nisbatan X 0 kutish deb ataladi M(X–X 0 )k. Kelib chiqishiga nisbatan momentlar X= 0 chaqiriladi dastlabki daqiqalar va belgilangan:

(12)

Birinchi tartibning boshlang'ich momenti ko'rib chiqilayotgan tasodifiy o'zgaruvchining tarqatish markazidir:

(13)

Tarqatish markaziga nisbatan lahzalar X= m chaqirdi markaziy daqiqalar va belgilangan:

(14)

(7) dan birinchi tartibning markaziy momenti har doim nolga teng ekanligi kelib chiqadi:

Markaziy momentlar tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining kelib chiqishiga bog'liq emas, chunki siljish bilan doimiy qiymat Bilan uning tarqalish markazi bir xil qiymatga siljiydi Bilan, va markazdan og'ish o'zgarmaydi: X – m = (X – Bilan) – (m – Bilan).
Endi bu ayon bo'ldi dispersiya- Bu ikkinchi tartibli markaziy moment:

Asimmetriya. Uchinchi tartibning markaziy momenti:

(17)

baholashga xizmat qiladi taqsimotning egriligi. Agar taqsimlanish nuqtaga nisbatan simmetrik bo'lsa X= m, keyin uchinchi tartibning markaziy momenti nolga teng bo'ladi (shuningdek, g'alati tartiblarning barcha markaziy momentlari). Shuning uchun, agar uchinchi tartibning markaziy momenti noldan farq qilsa, u holda taqsimot simmetrik bo'lishi mumkin emas. Asimmetriyaning kattaligi o'lchamsiz yordamida baholanadi assimetriya koeffitsienti:

(18)

Asimmetriya koeffitsientining belgisi (18) o'ng yoki chap tomonli assimetriyani bildiradi (2-rasm).

Guruch. 2. Tarqatishlarning assimetriya turlari.

Ortiqcha. To'rtinchi tartibning markaziy momenti:

(19)

deb atalmishlarni baholashga xizmat qiladi kurtoz, bu normal taqsimot egri chizig'iga nisbatan taqsimlash markazi yaqinidagi taqsimot egri chizig'ining tik (noktivlik) darajasini belgilaydi. Oddiy taqsimot uchun kurtoz sifatida qabul qilingan miqdor:

(20)

Shaklda. 3-rasmda kurtozning turli qiymatlari bo'lgan taqsimot egri chiziqlariga misollar ko'rsatilgan. Oddiy taqsimlash uchun E= 0. Cho'qqisi odatdagidan ko'proq bo'lgan egri chiziqlar ijobiy kurtozga ega va tekis cho'qqilari ko'proq bo'lgan egri chiziqlar salbiy kurtozga ega.

Guruch. 3. Turli darajadagi tik (kurtoz) bilan taqsimlanish egri chiziqlari.

Muhandislik ilovalarida yuqori tartibli momentlar matematik statistika odatda qo'llanilmaydi.

Moda diskret tasodifiy o'zgaruvchisi uning eng ehtimoliy qiymati. Moda davomiy tasodifiy o'zgaruvchi - uning ehtimollik zichligi maksimal bo'lgan qiymati (2-rasm). Agar taqsimot egri chizig'ida bitta maksimal bo'lsa, u holda taqsimot deyiladi unimodal. Agar taqsimot egri chizig'ida bir nechta maksimal bo'lsa, u holda taqsimot deyiladi polimodal. Ba'zida egri chiziqlari maksimal emas, balki minimal bo'lgan taqsimotlar mavjud. Bunday taqsimotlar deyiladi antimodal. Umumiy holatda tasodifiy o'zgaruvchining rejimi va matematik kutilishi mos kelmaydi. Muayyan holatda, uchun modal, ya'ni. rejimga, simmetrik taqsimotga ega bo'lgan va matematik kutish mavjud bo'lgan taqdirda, ikkinchisi taqsimotning rejimi va simmetriya markaziga to'g'ri keladi.

Median tasodifiy o'zgaruvchi X uning ma'nosi Men, ular uchun tenglik mavjud: ya'ni. tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli teng X kamroq yoki ko'proq bo'ladi Men. Geometrik jihatdan median taqsimot egri chizig'i ostidagi maydon yarmiga bo'lingan nuqtaning abssissasi (2-rasm). Simmetrik modal taqsimotda mediana, rejim va o'rtacha bir xil bo'ladi.

"Jismoniy miqdorlarning o'lchov birliklari" - Mutlaq xato bo'linish qiymatining yarmiga teng o'lchash asbobi. Mikrometr. Natija to'g'ridan-to'g'ri o'lchov vositasi bilan olinadi. Qutining uzunligi: 4 sm qisqa, 5 sm kattaroq. Har biriga jismoniy miqdor tegishli o'lchov birliklari mavjud. Soat. Nisbiy xato.

“Uzunlik qiymatlari” - 2. Qanday miqdorlarni bir-biri bilan solishtirish mumkin: 2. Quyidagi masala nima uchun qo‘shish yordamida yechilishini tushuntiring: 2. Masalani yechishda harakat tanlashni asoslang. Qancha paket oldingiz? Ushbu qutilarning uchtasida nechta qalam bor? Har biriga 4 m sarflab, 12 m matodan liboslar tikilgan.Qancha ko'ylak tikilgan?

"Jismoniy miqdorlar" - fizikani va boshqalarni ajratib turadigan chegaralar Tabiiy fanlar, tarixiy jihatdan shartli. Har qanday o'lchov natijasi har doim ba'zi xatolarni o'z ichiga oladi. Yangi mavzu. Tezlik. Telefon o'zaro ta'siri. Fizik qonunlar matematika tilida ifodalangan miqdoriy nisbatlar ko'rinishida taqdim etiladi. O'lchov xatosi.

"Qiymatni o'lchash natijasidagi raqam" - "Qiymatni o'lchash natijasida raqam" 1-sinfda matematika darsi. Segment uzunligini mezon bilan o'lchash.

“Son va miqdorlar” - Massa tushunchasi bilan tanishish. O'lchovsiz massalarni solishtirish. Rim yozma raqamlash. Imkoniyat. Talaba quyidagilarni bilib oladi: Sonlar va miqdorlar (30 soat) Koordinatali nur Koordinata nuri haqida tushuncha. Rejalashtirilgan fan natijalari 2-sinfning "Saqlar va miqdorlar" bo'limida. Umumiy tamoyil o'rganilayotgan sonlar ichida kardinal sonlarni shakllantirish.

"Talabning kattaligi" - Talabning o'zgarishi sabablari. Grafikda olingan DD egri chizig'i (inglizcha talab - "talab" dan) talab egri chizig'i deb ataladi. Elastik talab (Epd>1). Talab miqdori. Talabga ta'sir qiluvchi omillar. Talab miqdorining narx darajasiga bog'liqligi talab ko'lami deyiladi. Mutlaq noelastik talab (Epd=0).

71, Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari ishonchlilik ko'rsatkichlarini hisoblash uchun amaliyotda keng qo'llaniladi. Amaliyotning ko'plab savollarida tasodifiy o'zgaruvchini to'liq, har tomonlama tavsiflashning hojati yo'q. Ko'pincha tasodifiy miqdorni taqsimlashning muhim xususiyatlarini ma'lum darajada tavsiflovchi faqat raqamli parametrlarni ko'rsatish kifoya, masalan: o'rtacha qiymati , uning yonida tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari guruhlangan; tasodifiy miqdorning dispersiyasini tavsiflovchi raqam o'rtacha qiymatga nisbatan va hokazo. Tasodifiy miqdorning eng muhim xususiyatlarini siqilgan shaklda ifodalashga imkon beruvchi raqamli parametrlar tasodifiy o'zgaruvchining sonli xarakteristikalari deyiladi.

a) b)

Guruch. 11 Kutishning ta'rifi

Ishonchlilik nazariyasida qo'llaniladigan tasodifiy o'zgaruvchilarning raqamli xarakteristikalari Jadvalda keltirilgan. bitta.

72, kutish mumkin bo'lgan qiymatlari intervalga tegishli bo'lgan uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining (o'rtacha qiymati). , aniq integraldir (11-rasm, b)

. (26)

Matematik kutilma integral funktsiyaning to'ldiruvchisi bilan ifodalanishi mumkin. Buning uchun (11) ni (26) ga almashtiramiz va hosil bo'lgan ifodani qismlarga ajratamiz.

, (27)

kabi va , keyin

. (28)

Mumkin qiymatlari intervalga tegishli bo'lgan salbiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun , formula (28) shaklni oladi

. (29)

ya'ni, mumkin bo'lgan qiymatlari intervalga tegishli bo'lgan manfiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi , son jihatdan integral funksiya to‘ldiruvchisi grafigi ostidagi maydonga teng (11-rasm, a).

73, birinchi muvaffaqiyatsizlikka qadar o'rtacha vaqt statistik ma'lumotlar formula bilan aniqlanadi

, (30)

birinchi muvaffaqiyatsizlik vaqti qayerda i- ob'ekt; N- sinovdan o'tgan ob'ektlar soni.

Xuddi shunday, o'rtacha resurs, o'rtacha xizmat muddati, o'rtacha tiklanish vaqti, o'rtacha saqlash muddati aniqlanadi.

74, Tasodifiy o'zgaruvchining kutilgan qiymati atrofida tarqalishi yordamida baholanadi standart og'ish dispersiyasi(RMS) va o'zgaruvchanlik koeffitsienti.

Uzluksiz tasodifiy X ning dispersiyasi tasodifiy miqdorning matematik kutilganidan kvadrat og'ishining matematik kutilishi bo'lib, formula bo'yicha hisoblanadi.

. (31)

Dispersiya tasodifiy o'zgaruvchining kvadratining o'lchamiga ega, bu har doim ham qulay emas.

75, standart og'ish tasodifiy o'zgaruvchidir kvadrat ildiz dispersiyadan kelib chiqadi va tasodifiy o'zgaruvchining o'lchamiga ega

. (32)

76, o'zgaruvchanlik koeffitsienti tasodifiy miqdor dispersiyasining nisbiy ko'rsatkichi bo'lib, standart og'ishning matematik kutishga nisbati sifatida aniqlanadi.

. (33)

77, Gamma - tasodifiy miqdorning foizli qiymati- berilgan ehtimolga mos keladigan tasodifiy miqdorning qiymati tasodifiy o'zgaruvchi dan kattaroq qiymatni qabul qiladi

. (34)

78, Gamma - tasodifiy miqdorning foiz qiymatini integral funktsiya, uning to'ldiruvchisi va differentsial funktsiyasi bilan aniqlash mumkin (12-rasm). Tasodifiy o'zgaruvchining gamma foizli qiymati ehtimollik kvantidir (12-rasm, a)

. (35)

Ishonchlilik nazariyasidan foydalanadi resursning gamma foizli qiymati, xizmat muddati va saqlash muddati(1-jadval). Gamma foizi resurs, xizmat muddati, saqlash muddati, ma'lum turdagi ob'ektlarning foiziga ega (va undan ortiq).

a) b)

12-rasm Tasodifiy kattalikning gamma foizli qiymatini aniqlash

Gamma foizli manba xarakterlaydi chidamlilik tanlangan darajada vayron bo'lmaslik ehtimoli. Gamma-foizli resurs ob'ektlarning mas'uliyatini hisobga olgan holda belgilanadi. Masalan, rulmanlar uchun 90% resurs ko'pincha ishlatiladi, eng muhim ob'ektlarning podshipniklari uchun 95% va undan yuqori manba tanlanadi, agar buzilish hayot uchun xavfli bo'lsa, uni 100% ga yaqinlashtiradi.

79, tasodifiy o'zgaruvchining medianasi da uning gamma foizli qiymati hisoblanadi . Median uchun tasodifiy o'zgaruvchining bo'lish ehtimoli teng T undan ko'p yoki kamroq, ya'ni.

Geometrik jihatdan mediana integral taqsimot funksiyasi va uning to‘ldiruvchisining kesishish nuqtasining abssissasidir (12-rasm, b). Medianani differentsial funktsiya ordinatasi taqsimot egri chizig'i bilan chegaralangan maydonni ikkiga bo'ladigan nuqtaning abssissasi sifatida talqin qilish mumkin (12-rasm, 12-rasm). ichida).

Tasodifiy o'zgaruvchining medianasi ishonchlilik nazariyasida resurs, xizmat muddati, saqlash muddatining raqamli xarakteristikasi sifatida qo'llaniladi (1-jadval).

Ob'ektlarning ishonchlilik ko'rsatkichlari o'rtasida funktsional bog'liqlik mavjud. Funktsiyalardan birini bilish
ishonchlilikning boshqa ko'rsatkichlarini aniqlash imkonini beradi. Ishonchlilik ko'rsatkichlari o'rtasidagi munosabatlarning qisqacha mazmuni Jadvalda keltirilgan. 2.

Jadval 2. Ishonchlilik ko'rsatkichlari o'rtasidagi funktsional bog'liqlik

TASOSODIY QIYMATLAR VA ULARNING TARQALISH QONUNLARI.

Tasodifiy tasodifiy holatlarning kombinatsiyasiga qarab qiymatlarni qabul qiluvchi miqdor deb ataladi. Farqlash diskret va tasodifiy davomiy miqdorlar.

Diskret Miqdor sanab bo'ladigan qiymatlar to'plamini olsa, deyiladi. ( Misol: shifokor kabinetidagi bemorlar soni, sahifadagi harflar soni, ma'lum hajmdagi molekulalar soni).

Davomiy ma'lum bir oraliqda qiymatlarni qabul qila oladigan miqdor deb ataladi. ( Misol: havo harorati, tana vazni, odamning balandligi va boshqalar)

tarqatish qonuni Tasodifiy o'zgaruvchi - bu miqdorning mumkin bo'lgan qiymatlari to'plami va ushbu qiymatlarga mos keladigan ehtimolliklar (yoki paydo bo'lish chastotalari).

Misol:

Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari.

Ko'p hollarda tasodifiy o'zgaruvchini taqsimlash bilan bir qatorda yoki uning o'rniga ushbu miqdorlar haqida ma'lumot deb nomlangan raqamli parametrlar bilan ta'minlanishi mumkin. tasodifiy miqdorning raqamli xarakteristikalari . Ulardan eng ko'p ishlatiladiganlari:

1 .Kutilgan qiymat - Tasodifiy o'zgaruvchining (o'rtacha qiymati) uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ushbu qiymatlarning ehtimolliklari ko'paytmalarining yig'indisi:

2 .Dispersiya tasodifiy o'zgaruvchi:

3 .Standart og'ish :

UCH SIGMA - agar tasodifiy o'zgaruvchi normal qonun bo'yicha taqsimlangan bo'lsa, u holda bu qiymatning mutlaq qiymatdagi o'rtacha qiymatdan og'ishi standart og'ishning uch barobaridan oshmaydi.

Gauss qonuni - normal taqsimot qonuni

Ko'pincha qiymatlar taqsimlanadi oddiy qonun (Gauss qonuni). asosiy xususiyat : bu taqsimotning boshqa qonunlari yaqinlashadigan cheklovchi qonundir.

Tasodifiy o'zgaruvchi, agar u bo'lsa, odatda taqsimlanadi ehtimollik zichligi kabi ko'rinadi:

M(X) - tasodifiy miqdorni matematik kutish;

 - standart og'ish.

Ehtimollik zichligi (tarqatish funktsiyasi) interval bilan bog'liq ehtimollik qanday o'zgarishini ko'rsatadi dx tasodifiy o'zgaruvchi, o'zgaruvchining o'zi qiymatiga qarab:

Matematik statistikaning asosiy tushunchalari

Matematik statistika - amaliy matematikaning ehtimollar nazariyasiga bevosita tutash bo'limi. Matematik statistikaning ehtimollar nazariyasidan asosiy farqi shundaki, matematik statistika tasodifiy miqdorlarning taqsimot qonunlari va son xarakteristikalari bo‘yicha harakatlarni emas, balki bu qonuniyatlarni topishning taxminiy usullarini va eksperimental natijalarga asoslangan sonli xarakteristikalarni hisobga oladi.

Asosiy tushunchalar Matematik statistika quyidagilardan iborat:

Umumiy aholi;

namuna;

o'zgaruvchan seriyalar;

moda;

median;

foizli,

chastotali ko'pburchak,

chiziqli grafik.

Aholi - tadqiqot uchun ba'zi ob'ektlar tanlangan katta statistik populyatsiya

(Misol: viloyatning butun aholisi, shaharning universitet talabalari va boshqalar)

Namuna (namuna populyatsiyasi) - umumiy aholi orasidan tanlangan ob'ektlar to'plami.

Variatsiya seriyasi - variantlardan (tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari) va ularga mos keladigan chastotalardan iborat statistik taqsimot.

Misol:

X , kg

m

x - tasodifiy o'zgaruvchining qiymati (10 yoshli qizlarning massasi);

m - paydo bo'lish chastotasi.

Moda – yuzaga kelishining eng yuqori chastotasiga mos keladigan tasodifiy o‘zgaruvchining qiymati. (Yuqoridagi misolda 24 kg moda uchun eng keng tarqalgan qiymatdir: m = 20).

Median - taqsimotni yarmiga bo'luvchi tasodifiy o'zgaruvchining qiymati: qiymatlarning yarmi mediananing o'ng tomonida, yarmi (ortiq emas) - chapda.

Misol:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

Misolda biz tasodifiy o'zgaruvchining 40 qiymatini kuzatamiz. Barcha qiymatlar ularning paydo bo'lish chastotasini hisobga olgan holda o'sish tartibida joylashtirilgan. Ko'rinib turibdiki, 40 ta qiymatdan 20 (yarim) tanlangan qiymat 7 ning o'ng tomonida joylashgan. Shunday qilib, 7 mediana hisoblanadi.

Tarqalishni tavsiflash uchun biz o'lchov natijalarining 25 va 75% dan yuqori bo'lmagan qiymatlarni topamiz. Ushbu qiymatlar 25 va 75 deb nomlanadi protsentillar . Agar mediana taqsimotni ikkiga bo'lsa, unda 25 va 75-persentillar undan chorak bilan kesiladi. (Aytgancha, mediananing o'zini 50-persentil deb hisoblash mumkin.) Misoldan ko'rinib turganidek, 25 va 75-persentillar mos ravishda 3 va 8 ni tashkil qiladi.

foydalanish diskret (nuqta) statistik taqsimot va davomiy (interval) statistik taqsimot.

Aniqlik uchun statistik taqsimotlar shaklda grafik tarzda tasvirlangan chastotali poligon yoki - gistogrammalar .

Chastotali poligon - siniq chiziq, uning segmentlari nuqtalarni koordinatalar bilan bog'laydi ( x 1 , m 1 ), (x 2 , m 2 ), ..., yoki uchun nisbiy chastotalar poligoni - koordinatalari bilan ( x 1 , R * 1 ), (x 2 , R * 2 ), ...(1-rasm).

mm i / nf(x)

x x

1-rasm 2-rasm

Chastotalar gistogrammasi - bir to'g'ri chiziqda qurilgan qo'shni to'rtburchaklar to'plami (2-rasm), to'rtburchaklar asoslari bir xil va teng dx , va balandliklar chastotaning nisbatiga teng dx , yoki R * uchun dx (ehtimollik zichligi).

Misol:

x, kg