Ha, ha: arifmetik progressiya siz uchun o'yinchoq emas :)

Xo'sh, do'stlar, agar siz ushbu matnni o'qiyotgan bo'lsangiz, unda ichki dalillar menga arifmetik progressiya nima ekanligini hali bilmasligingizni aytadi, lekin siz haqiqatan ham (yo'q, shunga o'xshash: SOOOOO!) bilishni xohlaysiz. Shuning uchun men sizni uzoq tanishtirishlar bilan qiynamayman va to'g'ridan-to'g'ri mavzuga o'taman.

Birinchidan, bir nechta misol. Keling, bir nechta raqamlar to'plamini ko'rib chiqaylik:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ushbu to'plamlarning barchasida qanday umumiylik bor? Bir qarashda, hech narsa. Lekin aslida nimadir bor. Aynan: har bir keyingi element avvalgisidan bir xil raqam bilan farq qiladi.

O'zingiz uchun hukm qiling. Birinchi to'plam oddiy ketma-ket raqamlar bo'lib, ularning har biri oldingisidan bittadan ko'p. Ikkinchi holda, qo'shni raqamlar orasidagi farq allaqachon beshta, ammo bu farq hali ham doimiy. Uchinchi holatda, umuman ildizlar mavjud. Biroq, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ va $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ya'ni. va bu holda, har bir keyingi element oddiygina $\sqrt(2)$ ga ortadi (va bu raqam mantiqiy emasligidan qo'rqmang).

Demak: bunday ketma-ketliklarning barchasi arifmetik progressiyalar deyiladi. Keling, qat'iy ta'rif beraylik:

Ta'rif. Har bir keyingisi oldingisidan aynan bir xil miqdorda farq qiladigan raqamlar ketma-ketligiga arifmetik progressiya deyiladi. Raqamlar bir-biridan farq qiladigan miqdor progressiya farqi deb ataladi va ko'pincha $d$ harfi bilan belgilanadi.

Belgilash: $\left(((a)_(n)) \right)$ - progressiyaning o'zi, $d$ - uning farqi.

Va faqat bir nechta muhim eslatmalar. Birinchidan, faqat rivojlanish hisobga olinadi buyurdi raqamlar ketma-ketligi: ularni yozilish tartibida qat'iy o'qishga ruxsat beriladi - va boshqa hech narsa. Raqamlarni qayta tartibga solish yoki almashtirish mumkin emas.

Ikkinchidan, ketma-ketlikning o'zi chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin. Masalan, (1; 2; 3) to'plam aniq arifmetik progressiyadir. Ammo agar siz ruhda biror narsa yozsangiz (1; 2; 3; 4; ...) - bu allaqachon cheksiz progress. To'rttadan keyingi ellips, oldinda yana bir nechta raqamlar borligini ko'rsatadi. Masalan, cheksiz ko'p. :)

Shuni ham ta'kidlashni istardimki, progressiyaning ortishi yoki kamayishi mumkin. Biz allaqachon ortib borayotganlarni ko'rdik - bir xil to'plam (1; 2; 3; 4; ...). Quyida progressiyaning pasayishiga misollar keltirilgan:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Yaxshi, yaxshi: oxirgi misol juda murakkab ko'rinishi mumkin. Ammo qolganlari, menimcha, tushunasiz. Shuning uchun biz yangi ta'riflarni kiritamiz:

Ta'rif. Arifmetik progressiya chaqirdi:

1. har bir keyingi element avvalgisidan kattaroq bo'lsa, ortib boradi;
2. kamayishi, agar, aksincha, har bir keyingi element avvalgisidan kamroq bo'lsa.

Bundan tashqari, "statsionar" ketma-ketliklar mavjud - ular bir xil takrorlanuvchi raqamdan iborat. Masalan, (3; 3; 3; ...).

Faqat bitta savol qoladi: ortib borayotgan progressiyani kamayib borayotganidan qanday ajratish mumkin? Yaxshiyamki, bu erda hamma narsa faqat $ d$ raqamining belgisiga bog'liq, ya'ni. Progressiv farqlar:

1. Agar $d \gt 0$ bo'lsa, progressiya oshadi;
2. Agar $d \lt 0$ bo'lsa, progressiya aniq pasaymoqda;
3. Va nihoyat, $d=0$ holati bor - bu holda butun progressiya bir xil sonlarning statsionar ketma-ketligiga tushiriladi: (1; 1; 1; 1; ...) va hokazo.

Yuqorida keltirilgan uchta kamayuvchi progressiya uchun $d$ farqini hisoblashga harakat qilaylik. Buning uchun har qanday ikkita qo'shni elementni (masalan, birinchi va ikkinchi) olish va o'ngdagi raqamdan chapdagi raqamni ayirish kifoya. Bu shunday ko'rinadi:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Ko'rib turganimizdek, har uch holatda ham farq aslida salbiy bo'lib chiqdi. Va endi biz ko'proq yoki kamroq ta'riflarni aniqladik, progressiyalar qanday tasvirlanganligini va ular qanday xususiyatlarga ega ekanligini aniqlash vaqti keldi.

Progressiya shartlari va takrorlanish formulasi

Bizning ketma-ketliklarimizning elementlarini almashtirib bo'lmagani uchun ularni raqamlash mumkin:

\[\left(((a)_(n)) \o'ng)=\left\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \o'ng\)\]

Bu to'plamning alohida elementlari progressiya a'zolari deb ataladi. Ular raqam bilan ko'rsatiladi: birinchi a'zo, ikkinchi a'zo va boshqalar.

Bundan tashqari, biz allaqachon bilganimizdek, progressiyaning qo'shni shartlari quyidagi formula bilan bog'langan:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\O'ng strelka ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Xulosa qilib aytganda, progressiyaning $n$-chi hadini topish uchun siz $n-1$-chi had va $d$ farqini bilishingiz kerak. Ushbu formula takroriy deb ataladi, chunki uning yordami bilan har qanday raqamni faqat oldingisini (va aslida barcha oldingilarini) bilish orqali topishingiz mumkin. Bu juda noqulay, shuning uchun har qanday hisob-kitoblarni birinchi muddatga va farqga qisqartiradigan yanada ayyorroq formula mavjud:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\chap(n-1 \o'ng)d\]

Ehtimol, siz allaqachon ushbu formulaga duch kelgansiz. Ular buni har xil ma'lumotnomalar va yechim kitoblarida berishni yaxshi ko'radilar. Va har qanday aqlli matematika darsligida u birinchilardan biridir.

Biroq, men sizga ozgina mashq qilishni maslahat beraman.

Vazifa № 1. $((a)_(1))=8,d=-5$ bo'lsa, $\left(((a)_(n)) \right)$ arifmetik progressiyaning dastlabki uchta hadini yozing.

Yechim. Demak, biz $((a)_(1))=8$ birinchi hadini va $d=-5$ progressiyaning farqini bilamiz. Keling, berilgan formuladan foydalanib, $n=1$, $n=2$ va $n=3$ oʻrniga qoʻyaylik:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\chap(2-1 \o'ng)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\chap(3-1 \o'ng)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end (tekislash)\]

Javob: (8; 3; −2)

Ana xolos! Iltimos, diqqat qiling: bizning taraqqiyotimiz pasaymoqda.

Albatta, $n=1$ o‘rnini bosa olmadi – birinchi atama bizga allaqachon ma’lum. Biroq, birlikni almashtirish orqali biz formulamiz birinchi muddatda ham ishlayotganiga amin bo'ldik. Boshqa hollarda, hamma narsa banal arifmetikaga tushdi.

Vazifa № 2. Arifmetik progressiyaning yettinchi hadi −40 ga, o‘n yettinchi hadi −50 ga teng bo‘lsa, uning dastlabki uchta hadini yozing.

Yechim. Keling, muammo shartini tanish so'zlar bilan yozamiz:

\[((a)_(7))=-40;\to'rtlik ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(tekislash) \o'ngga.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & (a)_(1))+16d=-50 \\ \end(hizalang) \o'ng.\]

Men tizim belgisini qo'ydim, chunki bu talablar bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak. Endi shuni ta'kidlaymizki, agar biz ikkinchi tenglamadan birinchisini ayirsak (biz buni qilishga haqlimiz, chunki bizda tizim mavjud), biz buni olamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end (tekislash)\]

Progressiya farqini topish shunchalik oson! Faqat topilgan raqamni tizimning istalgan tenglamasiga almashtirish qoladi. Masalan, birinchisida:

\[\begin(matritsa) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end (matritsa)\]

Endi birinchi atama va farqni bilib, ikkinchi va uchinchi shartlarni topish qoladi:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end (tekislash)\]

Tayyor! Muammo hal qilindi.

Javob: (−34; −35; −36)

Progressiyaning biz kashf etgan qiziqarli xususiyatiga e'tibor bering: agar biz $n$th va $m$th shartlarini olib, ularni bir-biridan ayirish bilan, progressiyaning farqini $n-m$ soniga ko'paytiramiz:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \o'ng)\]

Oddiy, lekin juda foydali mulk, siz albatta bilishingiz kerak - uning yordami bilan siz ko'plab progressiv muammolarni hal qilishni sezilarli darajada tezlashtirishingiz mumkin. Mana bunga yaqqol misol:

Vazifa № 3. Arifmetik progressiyaning beshinchi hadi 8,4 ga, o‘ninchi hadi esa 14,4 ga teng. Bu progressiyaning o‘n beshinchi hadini toping.

Yechim. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ boʻlgani uchun va biz $((a)_(15))$ topishimiz kerak boʻlgani uchun biz quyidagilarni qayd etamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end (tekislash)\]

Lekin $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, shuning uchun $5d=6$ sharti bo‘yicha bizda quyidagilar mavjud:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end (tekislash)\]

Javob: 20.4

Ana xolos! Bizga hech qanday tenglamalar tizimini yaratish va birinchi had va farqni hisoblashning hojati yo'q edi - hamma narsa bir-ikki qatorda hal qilindi.

Keling, muammoning yana bir turini ko'rib chiqaylik - progressiyaning salbiy va ijobiy shartlarini qidirish. Hech kimga sir emaski, agar progressiya kuchaysa va uning birinchi muddati salbiy bo'lsa, unda ertami-kechmi ijobiy atamalar paydo bo'ladi. Va aksincha: kamayib borayotgan progressiyaning shartlari ertami-kechmi salbiy bo'ladi.

Shu bilan birga, elementlarni ketma-ket o'tish orqali ushbu momentni "boshqa" topish har doim ham mumkin emas. Ko'pincha masalalar shunday yoziladiki, formulalarni bilmasdan, hisob-kitoblar bir necha varaq qog'ozni oladi - javobni topib, biz shunchaki uxlab qolamiz. Shuning uchun keling, ushbu muammolarni tezroq hal qilishga harakat qilaylik.

Vazifa № 4. Arifmetik progressiyada nechta manfiy had bor -38,5; -35,8; ...?

Yechim. Shunday qilib, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, bu erdan darhol farqni topamiz:

E'tibor bering, farq ijobiy, shuning uchun progressiya oshadi. Birinchi atama manfiy, shuning uchun biz bir nuqtada ijobiy raqamlarga qoqilib qolamiz. Bitta savol - bu qachon sodir bo'ladi.

Keling, bilishga harakat qilaylik: qachongacha (ya'ni, nimagacha natural son$n$) shartlarning salbiyligi saqlanib qoladi:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\O'ng strelka ((a)_(1))+\left(n-1 \o'ng)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \o'ng)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \o'ng. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \o'ng) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\O'ng strelka ((n)_(\max ))=15. \\ \end (tekislash)\]

Oxirgi satr ba'zi tushuntirishlarni talab qiladi. Shunday qilib, biz $n \lt 15\frac(7)(27)$ ekanligini bilamiz. Boshqa tomondan, biz raqamning faqat butun qiymatlari bilan qanoatlanamiz (bundan tashqari: $n\in \mathbb(N)$), shuning uchun ruxsat etilgan eng katta raqam aniq $n=15$ va hech qanday holatda 16 emas. .

Vazifa № 5. Arifmetik progressiyada $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Bu progressiyaning birinchi musbat hadining sonini toping.

Bu avvalgisi bilan bir xil muammo bo'ladi, lekin biz $((a)_(1))$ ni bilmaymiz. Ammo qo'shni shartlar ma'lum: $((a)_(5))$ va $((a)_(6))$, shuning uchun biz progressiyaning farqini osongina topishimiz mumkin:

Bundan tashqari, standart formuladan foydalanib, beshinchi atamani birinchi va farq orqali ifodalashga harakat qilaylik:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end (tekislash)\]

Endi biz oldingi vazifaga o'xshash tarzda davom etamiz. Keling, ketma-ketlikning qaysi nuqtasida ijobiy raqamlar paydo bo'lishini bilib olaylik:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\O'ng strelka ((n)_(\min ))=56. \\ \end (tekislash)\]

Bu tengsizlikning minimal butun yechimi 56 raqamidir.

E'tibor bering: oxirgi vazifada hamma narsa qat'iy tengsizlikka tushib qoldi, shuning uchun $n=55$ varianti bizga mos kelmaydi.

Oddiy masalalarni yechishni o‘rganganimizdan so‘ng, endi murakkabroq masalalarga o‘tamiz. Ammo birinchi navbatda, arifmetik progressiyaning yana bir foydali xususiyatini o'rganamiz, bu bizga kelajakda ko'p vaqt va teng bo'lmagan hujayralarni tejaydi. :)

O'rtacha arifmetik va teng chekinishlar

$\left(((a)_(n)) \right)$ ortib boruvchi arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket hadlarini ko'rib chiqamiz. Keling, ularni raqamlar qatorida belgilashga harakat qilaylik:

Sonlar qatoridagi arifmetik progressiyaning shartlari

Men alohida $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ ixtiyoriy shartlarni belgiladim, lekin $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ va boshqalar. Chunki men hozir aytib beradigan qoida har qanday "segmentlar" uchun bir xil ishlaydi.

Va qoida juda oddiy. Keling, takrorlanuvchi formulani eslaylik va uni barcha belgilangan shartlar uchun yozamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end (tekislash)\]

Biroq, bu tengliklarni boshqacha tarzda qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & (a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end (tekislash)\]

Xo'sh, nima? Va $((a)_(n-1))$ va $((a)_(n+1))$ atamalari $((a)_(n)) $ dan bir xil masofada joylashganligi. . Va bu masofa $d$ ga teng. $((a)_(n-2))$ va $((a)_(n+2))$ atamalari haqida ham shunday deyish mumkin - ular $((a)_(n) dan ham olib tashlangan. )$ bir xil masofada $2d$ ga teng. Biz infinitumni davom ettirishimiz mumkin, ammo ma'no rasmda yaxshi ko'rsatilgan

Progressiya shartlari markazdan bir xil masofada joylashgan

Bu biz uchun nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, agar qo'shni raqamlar ma'lum bo'lsa, $((a)_(n))$ topish mumkin:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)(2)\]

Biz ajoyib bayonot oldik: arifmetik progressiyaning har bir hadi qo'shni hadlarning o'rtacha arifmetik qiymatiga teng! Bundan tashqari: biz $((a)_(n))$ dan chapga va o'ngga bir qadam emas, balki $k$ qadamlar bilan orqaga qadam qo'yishimiz mumkin - va formula hali ham to'g'ri bo'ladi:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Bular. $((a)_(150))$ va $((a)_(100))$ va $((a)_(200))$ bilsak, biz osonlik bilan $((a)_(150))$ topishimiz mumkin, chunki $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)(2)$. Bir qarashda, bu fakt bizga hech qanday foydali narsa bermayotgandek tuyulishi mumkin. Biroq, amalda ko'plab masalalar o'rtacha arifmetikdan foydalanish uchun maxsus moslashtirilgan. Qarab qo'ymoq:

Vazifa № 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ va $14+4((x)^(2))$ raqamlari ketma-ket shartlar boʻlgan $x$ ning barcha qiymatlarini toping. arifmetik progressiya (ko'rsatilgan tartibda).

Yechim. Bu raqamlar progressiyaning a'zolari bo'lgani uchun ular uchun o'rtacha arifmetik shart bajariladi: markaziy element $x+1$ qo'shni elementlar bilan ifodalanishi mumkin:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end (tekislash)\]

Bu klassik bo'lib chiqdi kvadrat tenglama. Uning ildizlari: $x=2$ va $x=-3$ javoblardir.

Javob: −3; 2.

Vazifa № 7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ raqamlari arifmetik progressiya hosil qiladigan $$ qiymatlarini toping (shu tartibda).

Yechim. Oʻrta atamani qoʻshni atamalarning oʻrtacha arifmetik qiymati orqali yana ifodalaymiz:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \o'ng.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end (tekislash)\]

Yana kvadrat tenglama. Va yana ikkita ildiz bor: $x=6$ va $x=1$.

Javob: 1; 6.

Agar muammoni hal qilish jarayonida siz qandaydir shafqatsiz raqamlarga duch kelsangiz yoki topilgan javoblarning to'g'riligiga to'liq ishonchingiz komil bo'lmasa, unda tekshirishga imkon beradigan ajoyib texnika mavjud: biz muammoni to'g'ri hal qildikmi?

Aytaylik, 6-masalada biz −3 va 2 javoblarni oldik. Bu javoblarning to‘g‘riligini qanday tekshirish mumkin? Keling, ularni asl holatga ulab, nima bo'lishini ko'raylik. Eslatib o‘tamiz, bizda uchta raqam ($-6(()^(2))$, $+1$ va $14+4(()^(2))$ bor, ular arifmetik progressiya hosil qilishi kerak. $x=-3$ ni almashtiramiz:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(tuzalash)\]

Biz −54 raqamlarini oldik; −2; 52 ga farq qiladigan 50, shubhasiz, arifmetik progressiyadir. Xuddi shu narsa $x=2$ uchun sodir bo'ladi:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(tuzalash)\]

Yana progressiya, lekin farq 27. Shunday qilib, muammo to'g'ri hal qilindi. Xohlaganlar ikkinchi muammoni mustaqil ravishda tekshirishlari mumkin, lekin men darhol aytaman: u erda ham hamma narsa to'g'ri.

Umuman olganda, oxirgi muammolarni hal qilishda biz boshqasiga duch keldik qiziq fakt, buni ham eslash kerak:

Agar uchta raqam shunday bo'lsa, ikkinchisi birinchi va oxirgining o'rtacha arifmetik qiymati bo'lsa, u holda bu raqamlar arifmetik progressiyani hosil qiladi.

Kelajakda ushbu bayonotni tushunish bizga muammoning shartlariga asoslanib, kerakli progressiyani tom ma'noda "qurish" imkonini beradi. Ammo bunday "qurilish" bilan shug'ullanishdan oldin, biz allaqachon muhokama qilingan narsadan kelib chiqadigan yana bir haqiqatga e'tibor qaratishimiz kerak.

Elementlarni guruhlash va jamlash

Keling, yana raqamlar o'qiga qaytaylik. Keling, progressiyaning bir nechta a'zolarini ta'kidlaymiz, ular orasida, ehtimol. boshqa ko'plab a'zolarga arziydi:

Raqamlar qatorida 6 ta element belgilangan

Keling, “chap dum”ni $((a)_(n))$ va $d$, “o‘ng dum”ni esa $(a)_(k))$ va $d$ orqali ifodalashga harakat qilaylik. Bu juda oddiy:

\[\begin(align) & (a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end (tekislash)\]

Endi e'tibor bering, quyidagi miqdorlar tengdir:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(tuzalash)\]

Oddiy qilib aytganda, agar biz jami $S$ soniga teng bo'lgan progressiyaning ikkita elementini boshlang'ich sifatida ko'rib chiqsak va keyin bu elementlardan qarama-qarshi yo'nalishda (bir-biriga qarab yoki aksincha) qadam tashlashni boshlasak, keyin biz qoqiladigan elementlarning yig'indisi ham teng bo'ladi$S$. Buni grafik jihatdan eng aniq ifodalash mumkin:

Teng chekinishlar teng miqdorni beradi

Tushunish bu fakt muammolarni tubdan hal qilish imkonini beradi yuqori daraja yuqorida ko'rib chiqqanimizdan ko'ra qiyinchiliklar. Masalan, bular:

Vazifa № 8. Birinchi hadi 66, ikkinchi va o‘n ikkinchi hadlarning ko‘paytmasi esa mumkin bo‘lgan eng kichik bo‘lgan arifmetik progressiyaning ayirmasini aniqlang.

Yechim. Keling, biz bilgan hamma narsani yozamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min. \end(tuzalash)\]

Demak, biz $d$ progressiya farqini bilmaymiz. Aslida, butun yechim farq atrofida quriladi, chunki $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ mahsulotini quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \o'ng)\cdot \left(66+11d \o'ng)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \o'ng)\cdot \left(d+6 \o'ng). \end(tuzalash)\]

Tankdagilar uchun: men ikkinchi qavsdan 11 ning umumiy ko'paytiruvchisini oldim. Shunday qilib, kerakli mahsulot $d$ o'zgaruvchisiga nisbatan kvadratik funktsiyadir. Shuning uchun $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ funksiyasini ko‘rib chiqamiz - uning grafigi shoxlari yuqoriga ko‘tarilgan parabola bo‘ladi, chunki qavslarni kengaytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \o'ng)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Ko'rib turganingizdek, eng yuqori atama koeffitsienti 11 ga teng - bu ijobiy raqam, shuning uchun biz haqiqatan ham yuqoriga qarab shoxlari bo'lgan parabola bilan ishlaymiz:

jadval kvadratik funktsiya- parabola

Iltimos, diqqat qiling: bu parabola o'zining minimal qiymatini $((d)_(0))$ abscissa bilan cho'qqisida oladi. Albatta, biz bu abscissani standart sxema bo'yicha hisoblashimiz mumkin ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ formulasi mavjud), ammo shuni ta'kidlash ancha oqilona bo'lar edi. kerakli cho'qqi parabolaning o'qi simmetriyasida yotadi, shuning uchun $((d)_(0))$ nuqta $f\left(d \right)=0$ tenglamaning ildizlaridan teng masofada joylashgan:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \o'ng)\cdot \left(d+6 \o'ng)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\to'rtlik ((d)_(2))=-6. \\ \end (tekislash)\]

Shuning uchun men qavslarni ochishga shoshilmadim: asl shaklida ildizlarni topish juda oson edi. Shuning uchun abscissa o'rtachaga teng arifmetik raqamlar−66 va −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Topilgan raqam bizga nima beradi? U bilan kerakli mahsulot oladi eng kichik qiymat(Aytgancha, biz hech qachon $((y)_(\min ))$ hisoblamaganmiz - bu bizdan talab qilinmaydi). Shu bilan birga, bu raqam asl progressiyaning farqidir, ya'ni. biz javob topdik. :)

Javob: −36

Vazifa № 9. $-\frac(1)(2)$ va $-\frac(1)(6)$ raqamlari orasiga uchta raqam qo'yingki, ular bu raqamlar bilan birgalikda arifmetik progressiya hosil qiladi.

Yechim. Aslida, biz birinchi va bilan beshta raqamdan iborat ketma-ketlikni yaratishimiz kerak oxirgi raqam allaqachon ma'lum. Keling, etishmayotgan raqamlarni $x$, $y$ va $z$ oʻzgaruvchilari bilan belgilaymiz:

\[\left(((a)_(n)) \o'ng)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \o'ng\ )\]

E'tibor bering, $y$ raqami bizning ketma-ketligimizning "o'rtasi" - u $x$ va $z$ raqamlaridan va $-\frac(1)(2)$ va $-\frac raqamlaridan bir xil masofada joylashgan. (1)(6)$. Va agar $x$ va $z$ raqamlaridan biz bo'lsak bu daqiqa biz $y $ ni ololmaymiz, keyin progressiyaning uchlari bilan vaziyat boshqacha. Keling, o'rtacha arifmetikni eslaylik:

Endi $y$-ni bilib, qolgan raqamlarni topamiz. E'tibor bering, $x$ $-\frac(1)(2)$ raqamlari va biz topgan $y=-\frac(1)(3)$ raqamlari orasida joylashgan. Shunung uchun

Shunga o'xshash asoslardan foydalanib, biz qolgan raqamni topamiz:

Tayyor! Biz uchta raqamni topdik. Keling, ularni javobda asl raqamlar orasiga kiritish kerak bo'lgan tartibda yozamiz.

Javob: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Vazifa № 10. 2 va 42 raqamlari orasiga bu raqamlar bilan birgalikda arifmetik progressiyani tashkil etuvchi bir nechta raqamlarni qo'ying, agar kiritilgan raqamlarning birinchi, ikkinchi va oxirgisi yig'indisi 56 ekanligini bilsangiz.

Yechim. Bundan ham murakkab masala, ammo u avvalgilari bilan bir xil sxema bo'yicha - o'rtacha arifmetik orqali hal qilinadi. Muammo shundaki, biz qancha raqamni kiritish kerakligini aniq bilmaymiz. Demak, aniqlik uchun faraz qilaylik, hamma narsani kiritgandan so'ng aynan $n$ raqamlari bo'ladi va ularning birinchisi 2, oxirgisi esa 42. Bu holda zarur arifmetik progressiyani quyidagi ko'rinishda ifodalash mumkin:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \o'ng\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Shunga qaramay, $((a)_(2))$ va $((a)_(n-1))$ raqamlari chekkadagi 2 va 42 raqamlaridan bir-biriga qarab bir qadam bilan olinganligini unutmang, ya'ni. ketma-ketlikning markaziga. Va bu shuni anglatadiki

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ammo keyin yuqorida yozilgan iborani quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end (tekislash)\]

$((a)_(3))$ va $((a)_(1))$ ni bilib, biz progressiyaning farqini osongina topishimiz mumkin:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\chap(3-1 \o'ng)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Oʻng strelka d=5. \\ \end (tekislash)\]

Qolgan shartlarni topishgina qoladi:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end (tekislash)\]

Shunday qilib, 9-bosqichda biz ketma-ketlikning chap tomoniga - 42 raqamiga etib kelamiz. Hammasi bo'lib, faqat 7 ta raqamni kiritish kerak edi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Javob: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Progressiya bilan bog'liq so'z muammolari

Xulosa qilib aytganda, men nisbatan bir nechtasini ko'rib chiqmoqchiman oddiy vazifalar. Bu juda oddiy: maktabda matematikani o'qigan va yuqorida yozilganlarni o'qimagan ko'pchilik talabalar uchun bu muammolar qiyin bo'lib tuyulishi mumkin. Shunga qaramay, bu OGE va matematikadan Yagona davlat imtihonida paydo bo'ladigan muammolar turlari, shuning uchun men ular bilan tanishib chiqishingizni maslahat beraman.

Vazifa № 11. Jamoa yanvar oyida 62 dona detal ishlab chiqargan bo‘lsa, har bir keyingi oyda oldingi oyga nisbatan 14 dona ko‘p detal ishlab chiqardi. Noyabr oyida jamoa necha qism ishlab chiqardi?

Yechim. Shubhasiz, oylar bo'yicha sanab o'tilgan qismlar soni ortib borayotgan arifmetik progressiyani ifodalaydi. Bundan tashqari:

\[\begin(align) & (a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\chap(n-1 \o'ng)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Noyabr - yilning 11 oyi, shuning uchun biz $((a)_(11))$ topishimiz kerak:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Shuning uchun noyabr oyida 202 ta detal ishlab chiqariladi.

Vazifa № 12. Kitob jilovlash ustaxonasi yanvar oyida 216 ta kitobni jamlagan bo‘lsa, keyingi har oyda oldingi oyga nisbatan 4 taga ko‘p kitob muqovalandi. Dekabr oyida ustaxonada nechta kitob bog'landi?

Yechim. Hammasi bir xil:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\chap(n-1 \o'ng)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dekabr - yilning oxirgi, 12- oyi, shuning uchun biz $((a)_(12))$ qidiramiz:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Bu javob - dekabr oyida 260 ta kitob bog'lanadi.

Xo'sh, agar siz shu paytgacha o'qigan bo'lsangiz, sizni tabriklashga shoshildim: siz arifmetik progressiyadagi "yosh jangchilar kursini" muvaffaqiyatli yakunladingiz. Siz keyingi darsga ishonch bilan o'tishingiz mumkin, bu erda biz progressiya yig'indisi formulasini, shuningdek, undan muhim va juda foydali natijalarni o'rganamiz.

Agar $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ sharti bajarilsa, $A^(-1)$ matritsasi $A$ kvadrat matritsasiga teskari deyiladi, Bu yerda $E $ - identifikatsiya matritsasi, uning tartibi $A$ matritsasining tartibiga teng.

Yagona bo'lmagan matritsa - bu determinanti nolga teng bo'lmagan matritsa. Shunga ko'ra, determinanti nolga teng bo'lgan yagona matritsadir.

$A^(-1)$ teskari matritsasi $A$ matritsasi yagona bo'lmagan taqdirdagina mavjud bo'ladi. Agar $A^(-1)$ teskari matritsasi mavjud boʻlsa, u yagona hisoblanadi.

Matritsaning teskarisini topishning bir necha usullari mavjud va biz ulardan ikkitasini ko'rib chiqamiz. Ushbu sahifada ko'pgina oliy matematika kurslarida standart hisoblangan qo'shma matritsa usuli muhokama qilinadi. Gauss usuli yoki Gauss-Jordan usulidan foydalanishni o'z ichiga olgan teskari matritsani topishning ikkinchi usuli (elementar o'zgartirishlar usuli) ikkinchi qismda muhokama qilinadi.

Qo'shma matritsa usuli

$A_(n\times n)$ matritsasi berilsin. $A^(-1)$ teskari matritsasini topish uchun uchta qadam kerak:

1. $A$ matritsasining determinantini toping va $\Delta A\neq 0$, ya'ni. bu A matritsa yagona emas.
2. $A$ matritsasining har bir elementining $A_(ij)$ algebraik toʻldiruvchilarini tuzing va topilgan algebraikdan $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ matritsasini yozing. to‘ldiradi.
3. $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ formulasini hisobga olgan holda teskari matritsani yozing.

$(A^(*))^T$ matritsasi koʻpincha $A$ matritsasiga qoʻshimcha (oʻzaro, ittifoqdosh) deb ataladi.

Agar yechim qo'lda bajarilgan bo'lsa, unda birinchi usul faqat nisbatan kichik tartibli matritsalar uchun yaxshi bo'ladi: ikkinchi (), uchinchi (), to'rtinchi (). Matritsaning teskarisini topish uchun yuqori tartib, boshqa usullardan foydalaniladi. Masalan, ikkinchi qismda muhokama qilinadigan Gauss usuli.

Misol № 1

$A=\left(\begin(massiv) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 matritsasining teskarisini toping. & -9 & 0 \end(massiv) \o'ng)$.

To'rtinchi ustunning barcha elementlari nolga teng bo'lgani uchun $\Delta A=0$ (ya'ni $A$ matritsasi birlikdir). $\Delta A=0$ ekan, $A$ matritsasiga teskari matritsa yo'q.

Javob: $A^(-1)$ matritsasi mavjud emas.

Misol № 2

$A=\left(\begin(massiv) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(massiv)\right)$ matritsasining teskarisini toping. Tekshirishni amalga oshiring.

Biz qo'shma matritsa usulidan foydalanamiz. Avval berilgan $A$ matritsasining determinantini topamiz:

$$ \Delta A=\chap| \begin(massiv) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(massiv)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

$\Delta A \neq 0$ bo'lgani uchun teskari matritsa mavjud, shuning uchun biz yechimni davom ettiramiz. Algebraik to‘ldiruvchilarni topish

\begin(hizalangan) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(hizalangan)

Biz algebraik qo'shimchalar matritsasini tuzamiz: $A^(*)=\left(\begin(massiv) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(massiv)\right)$.

Olingan matritsani joyiga joylashtiramiz: $(A^(*))^T=\left(\begin(massiv) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(massiv)\right)$ (the Natijada paydo bo'lgan matritsa ko'pincha $A$ matritsasiga qo'shma yoki bog'langan matritsa deb ataladi. $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ formulasidan foydalanib, bizda:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(massiv) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(massiv)\o'ng) =\left(\begin(massiv) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(massiv)\o'ng) $$

Shunday qilib, teskari matritsa topiladi: $A^(-1)=\left(\begin(massiv) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(massiv) )\o'ng) $. Natijaning haqiqatini tekshirish uchun tengliklardan birining haqiqatini tekshirish kifoya: $A^(-1)\cdot A=E$ yoki $A\cdot A^(-1)=E$. $A^(-1)\cdot A=E$ tengligini tekshiramiz. Kasrlar bilan kamroq ishlash uchun biz $A^(-1)$ matritsasini $\left(\begin(massiv) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 shaklida emas, balki almashtiramiz. & 5/103 \ end(massiv)\right)$ va shaklida $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(massiv) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(massiv)\o'ng)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(massiv) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( massiv)\o'ng)\cdot\left(\begin(massiv) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(massiv)\o'ng) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(massiv) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(massiv)\o'ng) =\left(\begin(massiv) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(massiv) )\o‘ng) =E $$

Javob: $A^(-1)=\left(\begin(massiv) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(massiv)\oʻng)$.

Misol № 3

$A=\left(\begin(massiv) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(massiv) \right)$ matritsasi uchun teskari matritsani toping. . Tekshirishni amalga oshiring.

Keling, $A$ matritsasining determinantini hisoblashdan boshlaylik. Demak, $A$ matritsasining determinanti:

$$ \Delta A=\chap| \begin(massiv) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(massiv) \o'ng| = 18-36+56-12=26. $$

$\Delta A\neq 0$ bo'lgani uchun teskari matritsa mavjud, shuning uchun biz yechimni davom ettiramiz. Berilgan matritsaning har bir elementining algebraik to‘ldiruvchilarini topamiz:

$$ \begin(aligned) & A_(11)=(-1)^(2)\cdot\left|\begin(massiv)(cc) 9 & 4\\ 3 & 2\end(massiv)\o'ng| =6;\; A_(12)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(massiv)(cc) -4 &4 \\ 0 & 2\end(massiv)\right|=8;\; A_(13)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(massiv)(cc) -4 & 9\\ 0 & 3\end(massiv)\right|=-12;\\ & A_(21)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(massiv)(cc) 7 & 3\\ 3 & 2\end(massiv)\right|=-5;\; A_(22)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(massiv)(cc) 1 & 3\\ 0 & 2\end(massiv)\right|=2;\; A_(23)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(massiv)(cc) 1 & 7\\ 0 & 3\end(massiv)\right|=-3;\\ & A_ (31)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(massiv)(cc) 7 & 3\\ 9 & 4\end(massiv)\right|=1;\; A_(32)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(massiv)(cc) 1 & 3\\ -4 & 4\end(massiv)\right|=-16;\; A_(33)=(-1)^(6)\cdot\left|\begin(massiv)(cc) 1 & 7\\ -4 & 9\end(massiv)\right|=37. \end(hizalangan) $$

Biz algebraik qo'shimchalar matritsasini tuzamiz va uni almashtiramiz:

$$ A^*=\left(\begin(massiv) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(massiv) \o'ng); \; (A^*)^T=\left(\begin(massiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(massiv) \oʻng) . $$

$A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 va 37\end(massiv) \o'ng)= \left(\begin(massiv) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(massiv) \o'ng) $$

Shunday qilib, $A^(-1)=\left(\begin(massiv) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(massiv) \o'ng)$. Natijaning haqiqatini tekshirish uchun tengliklardan birining haqiqatini tekshirish kifoya: $A^(-1)\cdot A=E$ yoki $A\cdot A^(-1)=E$. $A\cdot A^(-1)=E$ tengligini tekshiramiz. Kasrlar bilan kamroq ishlash uchun $A^(-1)$ matritsasini $\left(\begin(massiv) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ shaklida emas, balki almashtiramiz. \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(massiv) \o'ng)$ va $\frac(1)(26) shaklida )\cdot \left( \begin(massiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(massiv) \o'ng)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(massiv)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end(massiv) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(massiv) \o'ng) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(massiv) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end (massiv) \o'ng) =\left(\begin(massiv) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(massiv) \o'ng) =E $$

Tekshirish muvaffaqiyatli o'tdi, $A^(-1)$ teskari matritsasi to'g'ri topildi.

Javob: $A^(-1)=\left(\begin(massiv) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(massiv) \o'ng)$.

Misol № 4

$A=\left(\begin(massiv) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 matritsasining teskari matritsasini toping. & 8 & -8 & -3 \end(massiv) \o'ng)$.

To'rtinchi tartibli matritsa uchun algebraik qo'shimchalar yordamida teskari matritsani topish biroz qiyin. Biroq, bunday misollar testlar uchrashish.

Matritsaning teskarisini topish uchun birinchi navbatda $A$ matritsasining determinantini hisoblash kerak. Bunday vaziyatda buni qilishning eng yaxshi usuli determinantni qator (ustun) bo'ylab parchalashdir. Biz har qanday satr yoki ustunni tanlaymiz va tanlangan satr yoki ustunning har bir elementining algebraik to'ldiruvchilarini topamiz.

Masalan, birinchi qator uchun biz quyidagilarni olamiz:

$$ A_(11)=\left|\begin(massiv)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end(massiv)\right|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(massiv)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(massiv)\o'ng|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\left|\begin(massiv)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(massiv)\o'ng|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(massiv)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(massiv)\right|=-112. $$

$A$ matritsasining determinanti quyidagi formula yordamida hisoblanadi:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14) )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin(hizalangan) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(hizalangan) $$

Algebraik toʻldiruvchilar matritsasi: $A^*=\left(\begin(massiv)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\end(massiv)\o'ng)$.

Qo'shimcha matritsa: $(A^*)^T=\left(\begin(massiv) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(massiv)\o'ng)$.

Teskari matritsa:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(massiv) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(massiv) \oʻng)= \left(\begin(massiv) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(massiv) \o'ng) $$

Agar so'ralsa, tekshirish avvalgi misollardagi kabi amalga oshirilishi mumkin.

Javob: $A^(-1)=\left(\begin(massiv) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(massiv) \o'ng) $.

Ikkinchi bo'limda biz Gauss usuli yoki Gauss-Jordan usulini o'zgartirishlardan foydalanishni o'z ichiga olgan teskari matritsani topishning boshqa usulini ko'rib chiqamiz.

Matritsa determinanti

Matritsaning determinantini topish oliy matematika va algebrada juda keng tarqalgan muammodir. Qoida tariqasida, echishda matritsa determinantining qiymatisiz qilolmaydi murakkab tizimlar tenglamalar. Tenglamalar tizimini yechish uchun Kramer usuli matritsaning determinantini hisoblashga asoslangan. Determinantning ta’rifidan foydalanib, tenglamalar sistemasi yechimining mavjudligi va yagonaligi aniqlanadi. Shuning uchun matematikada matritsaning determinantini to'g'ri va aniq topish qobiliyatining ahamiyatini ortiqcha baholash qiyin. Determinantlarni yechish usullari nazariy jihatdan juda oddiy, ammo matritsaning o'lchami ortib borishi bilan hisob-kitoblar juda og'ir bo'lib qoladi va katta e'tibor va ko'p vaqtni talab qiladi. Bunday murakkab matematik hisob-kitoblarda kichik xato yoki matbaa xatosiga yo'l qo'yish juda oson, bu esa yakuniy javobda xatolikka olib keladi. Shunday qilib, topsangiz ham matritsa determinanti o'zingiz, natijani tekshirish muhim. Buni onlayn matritsaning determinantini topish xizmatimiz yordamida amalga oshirish mumkin. Bizning xizmatimiz har doim hech qanday xato yoki ish yuritish xatosini o'z ichiga olmasdan, mutlaqo aniq natijalarni beradi. Siz mustaqil hisob-kitoblarni rad qilishingiz mumkin, chunki amaliy nuqtai nazardan, topish matritsaning determinanti Bu tarbiyaviy xususiyatga ega emas, shunchaki ko'p vaqt va raqamli hisob-kitoblarni talab qiladi. Shuning uchun, agar sizning vazifangizda bo'lsa matritsa determinantining ta'rifi yordamchi, yon hisob-kitoblar, bizning xizmatimizdan foydalaning va Internetda matritsaning determinantini toping!

Barcha hisob-kitoblar avtomatik ravishda eng yuqori aniqlik bilan amalga oshiriladi va mutlaqo bepul. Bizda matritsa elementlarini kiritish uchun juda qulay interfeys mavjud. Ammo bizning xizmatimiz va shunga o'xshash xizmatlar o'rtasidagi asosiy farq - bu qabul qilish imkoniyati batafsil yechim. Bizning xizmatimiz matritsaning determinantini onlayn hisoblash har doim eng oddiy va eng qisqa usuldan foydalanadi va o'zgartirish va soddalashtirishning har bir bosqichini batafsil tavsiflaydi. Shunday qilib, siz nafaqat matritsa determinantining qiymatini, yakuniy natijani, balki butun batafsil yechimni ham olasiz.

Har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab, berilgan ketma-ketlik uchun bir xil songa qo'shilgan oldingisiga teng bo'lgan sonli ketma-ketlik arifmetik progressiya deb ataladi. Har safar oldingi raqamga qo'shiladigan raqam chaqiriladi arifmetik progressiyaning farqi va harf bilan belgilanadi d.

Demak, raqamlar ketma-ketligi 1 ga teng; a 2; a 3; a 4; a 5; ... va a 2 = a 1 + d bo'lsa, n arifmetik progressiya bo'ladi;

a 3 = a 2 + d;

Ularning aytishicha, umumiy atamali arifmetik progressiya berilgan va n. Yozing: arifmetik progressiya berilgan (a n).

Arifmetik progressiya, agar uning birinchi hadi ma'lum bo'lsa, aniqlangan hisoblanadi a 1 va farq d.

Arifmetik progressiyaga misollar

1-misol. 1; 3; 5; 7; 9;...Bu yerda a 1 = 1; d = 2.

2-misol. 8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;... Mana a 1 = 8; d =-3.

3-misol.-16; -12; -8; -4;... Mana a 1 = -16; d = 4.

E'tibor bering, progressiyaning har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab, qo'shni hadlarning o'rtacha arifmetik qiymatiga teng.

1 misolda ikkinchi muddat 3 =(1+5): 2 ; bular. a 2 = (a 1 + a 3) : 2; uchinchi a'zo 5 =(3+7): 2;

ya'ni a 3 = (a 2 + a 4) : 2.

Shunday qilib, formula to'g'ri:

Lekin, aslida, arifmetik progressiyaning har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab, nafaqat qo'shni a'zolarining, balki o'rtacha arifmetik qiymatiga tengdir. teng masofada a'zolaridan, ya'ni.

Keling, aylanaylik misol 2. Raqam -1 arifmetik progressiyaning toʻrtinchi hadi boʻlib, birinchi va yettinchi hadlardan bir xil masofada joylashgan (a 1 = 8 va 7 = -10).

Formula (**) bo'yicha bizda:

Keling, formulani chiqaramiz n- arifmetik progressiyaning uchinchi hadi.

Demak, birinchisiga ayirma qo‘shsak, arifmetik progressiyaning ikkinchi hadini olamiz d; agar ikkinchisiga farqni qo'shsak, uchinchi hadni olamiz d yoki birinchi atamaga ikkita farq qo'shing d; uchinchisiga farqni qo‘shsak, to‘rtinchi hadni olamiz d yoki birinchisiga uchta farq qo'shing d va hokazo.

Siz buni taxmin qildingiz: a 2 = a 1 + d;

a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d;

a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d;

…………………….

a n = a n-1 + d = a 1 + (n-1) d.

Olingan formula a n = a 1 + (n-1) d (***)

chaqirdi formulanarifmetik progressiyaning uchinchi hadi.

Endi arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig’indisini qanday topish haqida gapiramiz. Bu miqdorni bilan belgilaymiz S n.

Atamalarning joylarini qayta joylashtirish yig'indining qiymatini o'zgartirmaydi, shuning uchun uni ikki xil yozish mumkin.

S n= a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n va

S n = a n + a n-1 + a n-2 + a n-3 + …...+ a 4 + a 3 + a 2 + a 1

Keling, ushbu ikki tenglikni hadlar bo'yicha qo'shamiz:

2S n= (a 1 + a n) + (a 2 + a n-1) + (a 3 + a n-2) + (a 4 + a n-3) + …

Har qanday yagona bo'lmagan A matritsa uchun yagona A -1 matritsa mavjud bo'lib, shunday

A*A -1 =A -1 *A = E,

Bu erda E - A bilan bir xil tartibli matritsasi. A -1 matritsa A matritsaga teskari deyiladi.

Agar kimdir unutgan bo'lsa, identifikatsiya matritsasida, diagonali birlar bilan to'ldirilganidan tashqari, boshqa barcha pozitsiyalar nollar bilan to'ldiriladi, identifikatsiya matritsasi misoli:

Teskari matritsani qo‘shma matritsa usuli yordamida topish

Teskari matritsa quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Bu yerda A ij - a ij elementlari.

Bular. Teskari matritsani hisoblash uchun siz ushbu matritsaning determinantini hisoblashingiz kerak. Keyin uning barcha elementlari uchun algebraik to‘ldiruvchilarni toping va ulardan yangi matritsa tuzing. Keyinchalik siz ushbu matritsani tashishingiz kerak. Va yangi matritsaning har bir elementini asl matritsaning determinantiga bo'ling.

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Matritsa uchun A -1 toping

Yechish.Qo‘shma matritsa usuli yordamida A -1 ni topamiz. Bizda det A = 2. A matritsa elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarini topamiz. Bu holda matritsa elementlarining algebraik to‘ldiruvchilari formulaga muvofiq belgi bilan olingan matritsaning o‘ziga mos keladigan elementlari bo‘ladi.

Bizda A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Biz qo'shma matritsa hosil qilamiz.

Biz A* matritsasini tashlaymiz:

Teskari matritsani formuladan foydalanib topamiz:

Biz olamiz:

Qo'shma matritsa usulidan foydalanib, agar A -1 ni toping

Yechish.Avval teskari matritsaning mavjudligini tekshirish uchun bu matritsaning ta’rifini hisoblab chiqamiz. Bizda ... bor

Bu erda biz ikkinchi qatorning elementlariga uchinchi qatorning elementlarini qo'shdik, ilgari (-1) ga ko'paytirildi va keyin ikkinchi qator uchun determinantni kengaytirdik. Ushbu matritsaning ta'rifi nolga teng bo'lmaganligi sababli, uning teskari matritsasi mavjud. Qo'shma matritsani qurish uchun biz ushbu matritsa elementlarining algebraik to'ldiruvchilarini topamiz. Bizda ... bor

Formulaga ko'ra

transport matritsasi A*:

Keyin formula bo'yicha

Elementar o'zgartirishlar usuli yordamida teskari matritsani topish

Formuladan kelib chiqadigan teskari matritsani topish usuliga qo'shimcha ravishda (qo'shma matritsa usuli) elementar o'zgartirishlar usuli deb ataladigan teskari matritsani topish usuli mavjud.

Elementar matritsa transformatsiyalari

Quyidagi o'zgarishlar elementar matritsa o'zgarishlari deyiladi:

1) qatorlarni (ustunlarni) qayta tartiblash;

2) qatorni (ustunni) noldan boshqa raqamga ko'paytirish;

3) qator (ustun) elementlariga boshqa qatorning (ustunning) mos keladigan elementlarini qo'shish, ilgari ma'lum songa ko'paytiriladi.

A -1 matritsasini topish uchun B = (A|E) tartibli to‘rtburchaklar matritsani (n; 2n) quramiz, o‘ng tomondagi A matritsaga E matritsani ajratuvchi chiziq orqali belgilaymiz:

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Elementar o'zgartirishlar usulidan foydalanib, agar A -1 ni toping

Yechim B matritsasini hosil qilamiz:

B matritsaning qatorlarini a 1, a 2, a 3 bilan belgilaymiz. B matritsa satrlarida quyidagi o'zgarishlarni bajaramiz.