§ 4.5. ODDIY SHAKL KESIMALARINING INERTSIYA MOMENTLARINI HISOBI.

§ 1.5 da ko'rsatilganidek, murakkab bo'limlarning geometrik xarakteristikalari ularni bir qator oddiy raqamlarga bo'lish yo'li bilan aniqlanadi, ularning geometrik xarakteristikalari tegishli formulalar yordamida hisoblanishi yoki maxsus jadvallar yordamida aniqlanishi mumkin. Bu formulalar (8.5)-(10.5) ifodalarni bevosita integrallashi natijasida olingan. Ularni olish usullari quyida to'rtburchak, uchburchak va aylana misollari yordamida ko'rib chiqiladi.

To'rtburchaklar kesim

Balandligi h va eni b bo'lgan to'rtburchakning asosidan o'tuvchi o'qqa nisbatan o'q inersiya momentini aniqlaymiz (11.5-rasm, a). O'qga parallel bo'lgan to'rtburchaklardan balandlik va kenglikdagi elementar chiziqni tanlaymiz.

Ushbu chiziqning maydoni, chiziqdan o'qgacha bo'lgan masofa ularga teng. Bu miqdorlarni inersiya momenti (8.5) ifodasiga almashtiramiz:

Xuddi shunday, o'qga nisbatan inersiya momenti uchun ifodani olish mumkin

Santrifüj inertsiya momentini aniqlash uchun biz o'qlarga parallel bo'lgan to'rtburchaklar qatorini tanlaymiz (1-rasm).

11.5, b), o'lchamning elementar maydoni. Keling, birinchi navbatda butun to'rtburchakning emas, balki faqat o'qdan uzoqda joylashgan h balandligi va kengligi vertikal chiziqning markazdan qochma inersiya momentini aniqlaymiz.

Mahsulot integral belgisidan tashqarida joylashtirilgan, chunki ko'rib chiqilayotgan vertikal chiziqqa tegishli barcha joylar uchun u doimiydir.

Keyin ifodani dan to oralig'ida integrallaylik

Endi to'rtburchakning y ga nisbatan eksenel inersiya momentlarini va to'rtburchakning yon tomonlariga parallel og'irlik markazidan o'tuvchi o'qlarni aniqlaymiz (12.5-rasm). Bu holda integratsiya chegaralari dan gacha bo'ladi

To'rtburchakning o'qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti (12.5-rasm) nolga teng, chunki bu o'qlar uning simmetriya o'qlariga to'g'ri keladi.

Uchburchak kesim

Uchburchakning asosi (13.5-rasm, a), ogʻirlik markazi (13.5-rasm, b) va choʻqqisi (13.5-rasm, e) orqali oʻtuvchi uchta parallel oʻqlarga nisbatan uning eksenel inersiya momentlarini aniqlaymiz.

O'q uchburchak poydevoridan o'tganda (13.5-rasm, a),

O'q uchburchakning og'irlik markazidan uning asosiga parallel ravishda o'tganda (13.5-rasm, b),

O'q uchburchakning tepasidan uning asosiga parallel ravishda o'tganda (13.5-rasm, s),

Inersiya momenti inertsiya momentidan sezilarli darajada (uch marta) katta, chunki uchburchak maydonining asosiy qismi o'qdan ko'ra o'qdan uzoqroqdir.

uchun (17,5) - (19,5) ifodalar olingan teng yonli uchburchak. Biroq, ular teng yonli bo'lmagan uchburchaklar uchun ham to'g'ri keladi. Misol uchun, rasmda ko'rsatilgan uchburchaklarni taqqoslash. 13.5, a va 13.5, d, ulardan birinchisi teng yon tomonli, ikkinchisi esa teng yon tomonli emas, biz maydon o'lchamlari va y o'zgarib turadigan chegaralar (0 dan) ikkala uchburchak uchun bir xil ekanligini aniqlaymiz. Binobarin, ular uchun inersiya momentlari ham bir xil. Xuddi shunday, rasmda ko'rsatilgan barcha kesimlarning eksenel inersiya momentlari ko'rsatilishi mumkin. 14,5 bir xil. Umuman olganda, ma'lum bir o'qqa parallel bo'lgan kesma qismlarining siljishi bu o'qga nisbatan eksenel inersiya momentining qiymatiga ta'sir qilmaydi.

Ko'rinib turibdiki, shaklda ko'rsatilgan o'qlarga nisbatan uchburchakning eksenel inersiya momentlarining yig'indisi. 13.5, a va 13.5, b, shaklda ko'rsatilgan o'qga nisbatan to'rtburchakning eksenel inersiya momentiga teng bo'lishi kerak. 11.5, a. Bundan kelib chiqadiki, to'rtburchakni ikkita uchburchak sifatida ko'rib chiqish mumkin, ulardan biri uchun o'q asosdan, ikkinchisi uchun esa uning asosiga parallel cho'qqi orqali o'tadi (15.5-rasm).

Darhaqiqat, (17.5) va (19.5) formulalarga muvofiq

(12.5) formula bo'yicha to'rtburchakning ifodasi bilan mos keladi.

Doira shaklidagi qism

Doiraning og'irlik markazidan o'tadigan har qanday o'qqa nisbatan eksenel inersiya momentini aniqlaymiz. Rasmdan. 16.5, lekin kerak

Ko'rinib turibdiki, aylananing markazidan o'tadigan har qanday o'qqa nisbatan eksenel inersiya momenti teng bo'ladi va shuning uchun

(11.5) formuladan foydalanib, aylananing markaziga nisbatan qutb inersiya momentini topamiz:

Doiraning eksenel inersiya momenti formulasini ko'proq olish mumkin oddiy tarzda, agar siz avval uning markazga nisbatan qutb inersiya momenti formulasini chiqarsangiz (O nuqta). Buning uchun radius va maydon qalinligi bo'lgan doiradan elementar halqani tanlaymiz (16.5-rasm, b).

Elementar halqaning aylana markaziga nisbatan qutbli inersiya momenti, chunki bu halqadan tashkil topgan barcha elementar maydonlar aylananing markazidan bir xil masofada joylashgan. Demak,

Ushbu natija yuqorida ko'rsatilgan natijaga to'g'ri keladi.

Tashqi va ichki diametrli dumaloq halqaga o'xshash kesmaning inertsiya momentlarini (qutbli va eksenel) tashqi va ichki doiralarning mos keladigan inersiya momentlari orasidagi farq sifatida aniqlash mumkin d (17.5-rasm).

(21.5) formula asosida halqaning qutb inersiya momenti

yoki, agar biz belgilasak

Xuddi shunday, halqaning eksenel inertsiya momentlari uchun

Inersiya momenti va qarshilik momenti

Qurilish konstruksiyalarining kesimini aniqlashda ko'pincha ko'rib chiqilayotgan strukturaning ko'ndalang kesimi uchun inersiya momentini va qarshilik momentini bilish kerak. Qarshilik momenti nima va u inersiya momenti bilan qanday bog'liqligi alohida tavsiflanadi. Bundan tashqari, siqilgan tuzilmalar uchun siz aylanish radiusining qiymatini ham bilishingiz kerak. Aksariyat kesmalar uchun qarshilik momentini va inersiya momentini, ba'zan esa aylanish radiusini aniqlash oddiy. geometrik shakl Buni taniqli formulalar yordamida amalga oshirish mumkin:

Jadval 1. Juda oddiy geometrik shakllardagi konstruksiyalar uchun kesim shakllari, kesma maydonlari, inersiya momentlari va qarshilik momentlari.

Odatda, bu formulalar ko'pgina hisob-kitoblar uchun etarli, ammo har xil holatlar mavjud va strukturaning kesishishi bunday oddiy geometrik shaklga yoki inersiya momenti yoki qarshilik momenti kerak bo'lgan o'qlarning holatiga ega bo'lmasligi mumkin. aniqlanishi bir xil bo'lmasligi mumkin, unda siz quyidagi formulalardan foydalanishingiz mumkin:

Jadval 2. Murakkab geometrik shakllardagi konstruksiyalar uchun kesim shakllari, kesma maydonlari, inersiya momentlari va qarshilik momentlari.

2-jadvaldan ko'rinib turibdiki, teng bo'lmagan burchaklar uchun inersiya momentini va qarshilik momentini hisoblash juda qiyin, ammo bunga ehtiyoj yo'q. Teng bo'lmagan va teng gardishli haddelenmiş burchaklar, shuningdek, kanallar, I-nurlari va profil quvurlari uchun assortimentlar mavjud. IN assortimentlar Har bir profil uchun inersiya momenti va qarshilik momentining qiymatlari berilgan.

Jadval 3. O'qlarning holatiga qarab inersiya va qarshilik momentlarining o'zgarishi.

Nishabli tom elementlarini hisoblash uchun 3-jadvaldagi formulalar kerak bo'lishi mumkin.

Tushuntirish yaxshi bo'lardi aniq misol ayniqsa men kabi iqtidorlilar uchun inersiya momenti nima va u nima bilan ishlatiladi. Ixtisoslashgan saytlarda hamma narsa juda chalkash, ammo Doc ma'lumotni etkazish uchun aniq qobiliyatga ega, ehtimol eng murakkab emas, lekin juda malakali va tushunarli.

Asosan, inersiya momenti nima va u qayerdan kelib chiqqanligi "Kuchlilik asoslari, hisoblash formulalari" maqolasida etarlicha batafsil tushuntirilgan, bu erda men faqat takrorlayman: "W - kesmaning qarshilik momenti. nur, boshqacha qilib aytganda, nur qismining siqilgan yoki cho'zilgan qismining maydoni, natijada paydo bo'lgan kuchning ta'siriga ko'paytiriladi. Qarshilik momenti strukturaning kuchini hisoblash uchun ma'lum bo'lishi kerak, ya'ni. yakuniy stresslarga ko'ra. Kesmaning burilish burchaklarini va kesmaning og'irlik markazining og'ishini (siljishini) aniqlash uchun inersiya momenti ma'lum bo'lishi kerak, chunki maksimal deformatsiyalar egilish strukturasining eng yuqori va eng pastki qatlamlarida sodir bo'ladi, moment. inertsiyani qarshilik momentini tortishish qismlari markazidan yuqori yoki pastki qatlamgacha bo'lgan masofaga ko'paytirish orqali aniqlash mumkin, shuning uchun to'rtburchaklar kesimlar uchun I=Wh/2. Murakkab geometrik shakllar kesimlarining inersiya momentini aniqlashda dastlab murakkab figura oddiylarga bo‘linadi, so‘ngra bu figuralarning ko‘ndalang kesimlari va eng oddiy figuralarning inersiya momentlari aniqlanadi, so‘ngra eng oddiy figuralarning maydonlari aniqlanadi. raqamlar kesmaning umumiy og'irlik markazidan eng oddiy figuraning og'irlik markazigacha bo'lgan masofaning kvadratiga ko'paytiriladi. Murakkab kesimning bir qismi sifatida eng oddiy figuraning inersiya momenti shaklning inersiya momentiga + masofa kvadratining maydonga ko'paytirilishiga teng. Keyin olingan inersiya momentlari umumlashtiriladi va kompleks kesimning inersiya momenti olinadi. Ammo bu eng soddalashtirilgan formulalar (garchi men rozi bo'lsam ham, bu hali ham juda qiyin ko'rinadi).

Inersiya momenti va qarshilik momenti - Doktor Lom

Qurilish konstruksiyalarining ko‘ndalang kesimini aniqlashda ko‘pincha konstruksiyaning ko‘ndalang kesimi uchun inersiya momentini va qarshilik momentini bilish kerak bo‘ladi. Oddiy geometrik shaklning ko'p kesimlari uchun qarshilik momenti va energiya momentini uzoq vaqtdan beri ma'lum bo'lgan formulalar yordamida aniqlash mumkin.

5-bob. YASSI KESMALARNING INERTSIYA MOMENTLARI

Har qanday tekis kesim bir qator geometrik xususiyatlar bilan tavsiflanadi: maydon, og'irlik markazining koordinatalari, statik moment, inersiya momenti va boshqalar.

O'qlar haqida statik momentlar X Va y teng:

Statik momentlar odatda quyidagicha ifodalanadi kub santimetr yoki metr va ijobiy va ham bo'lishi mumkin salbiy qiymatlar. Statik moment nolga teng bo'lgan o'q deyiladi markaziy. Markaziy o'qlarning kesishish nuqtasi deyiladi bo'limning og'irlik markazi. Og'irlik markazining koordinatalarini aniqlash formulalari x c Va y c sohalari ma'lum bo'lgan oddiy komponentlarga bo'lingan murakkab qism A i va tortishish markazining holati xci Va y ci, shaklga ega bo'ling

Inersiya momentining kattaligi novda kesimning kattaligi va shakliga qarab deformatsiyaga (burilish, egilish) qarshiligini tavsiflaydi. Inertsiya momentlari mavjud:

– eksenel, shaklning integrallari bilan aniqlanadi

Eksenel va qutbli inertsiya momentlari har doim ijobiy bo'ladi va yo'q

nolga o'ting. Polar inersiya momenti Ip summasiga teng eksenel inersiya momentlari I x Va I o'zaro perpendikulyar o'qlarning har qanday juftligiga nisbatan X Va da:

Santrifüj inertsiya momenti ijobiy, manfiy yoki nolga teng bo'lishi mumkin. Inersiya momentlarining o'lchami sm 4 yoki m 4 ga teng. Inersiya momentlarini aniqlash formulalari oddiy bo'limlar markaziy o'qlarga nisbatan ma'lumotnomalarda keltirilgan. Murakkab kesimlarning inertsiya momentlarini hisoblashda oddiy kesmalarning markaziy o'qlaridan markaziy o'qlarga parallel bo'lgan boshqa o'qlarga o'tish formulalari ko'pincha qo'llaniladi.

oddiy kesmalarning markaziy o'qlarga nisbatan inersiya momentlari qayerda;

m, n– o'qlar orasidagi masofalar (18-rasm).

Guruch. 18. O’qlarga nisbatan inersiya momentlarini aniqlash;

Bo'limning asosiy markaziy o'qlari muhim ahamiyatga ega. Asosiy markaziy o'qlar kesmaning og'irlik markazidan o'tadigan ikkita o'zaro perpendikulyar o'q bo'lib, ularga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti nolga teng, eksenel inersiya momentlari esa ekstremal qiymatlarga ega. Asosiy inersiya momentlari ko'rsatilgan men u(maksimal) va I v(min) va formula bilan aniqlanadi

Asosiy o'qlarning holati formuladan topilgan a burchak bilan aniqlanadi

Burchak a katta bo'lmagan inersiya momenti bilan o'qdan yotqizilgan; ijobiy qiymat soat miliga teskari.

Agar bo'limda simmetriya o'qi bo'lsa, bu o'q asosiy hisoblanadi. Boshqa asosiy o'q simmetriya o'qiga perpendikulyar. Amalda, ko'pincha bir nechta rulonli profillardan tashkil topgan bo'limlar (I-nur, kanal, burchak) ishlatiladi. Ushbu profillarning geometrik xarakteristikalari assortiment jadvallarida keltirilgan. Teng bo'lmagan va teng qirrali burchaklar uchun gardishlarga parallel bo'lgan markaziy o'qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti formula bilan aniqlanadi.

Burchaklar uchun assortiment jadvalidagi asosiy markaziy o'qlarning belgilanishiga e'tibor bering. Imzo Men xy burchak uchun uning bo'limdagi holatiga bog'liq. 19-rasmda bo'limdagi burchakning mumkin bo'lgan joylari ko'rsatilgan va belgilar ko'rsatilgan Men xy.

Guruch. 19. Bo'limdagi burchakning mumkin bo'lgan pozitsiyalari

Aniqlash Iu, Iv va uchastkaning asosiy markaziy o'qlarining holati

Murakkab qism ikkita rulonli profildan iborat. Assortiment jadvallaridan ko'chirma (5-ilova) rasmda ko'rsatilgan. 21.

Yordamchi sifatida biz tashqi tomondan o'tadigan o'qlarni olamiz

kanalning yon tomonlari (o'q x B, y B, rasmga qarang. 20).Kesmaning og'irlik markazining koordinatalari:

(o'zingiz hisoblang).

Guruch. 20. Bosh markaziy inersiya o’qlarining joylashuvi

U Va V murakkab bo'lim

Masalan, yordamchi sifatida kanalning markaziy o'qlarini tanlash mumkin. Keyin hisob-kitoblar miqdori biroz kamayadi.

Eksenel inersiya momentlari:

Bo'limdagi teng bo'lmagan burchak joylashganligini unutmang

assortiment jadvalida ko'rsatilganidan boshqacha. Qiymatni o'zingiz hisoblang.

№ 24 180 x 110 x 12

Guruch. 21. Rolikli profillarning geometrik xarakteristikalari qiymatlari:

A– № 24 kanal; b- teng bo'lmagan burchak 180 x 110 x 12

Santrifüj inertsiya momentlari:

– kanal uchun (simmetriya o'qlari mavjud);

- burchak uchun,

minus belgisi - bo'limdagi burchakning holatiga bog'liq;

- butun bo'lim uchun:

Belgilarning maqsadiga rioya qiling n Va m. Kanalning markaziy o'qlaridan biz uchastkaning umumiy markaziy o'qlariga o'tamiz, shuning uchun + m 2

Bo'limning asosiy inersiya momentlari:

Bo'limning asosiy markaziy o'qlarining joylashuvi:

; a = 55 o 48 ′;

Miqdorlarni hisoblashning to'g'riligini tekshirish men u, I v va a formula bo'yicha hosil bo'ladi

Ushbu formula uchun a burchak o'qdan o'lchanadi u.

Ko'rib chiqilayotgan qism o'qga nisbatan egilish uchun eng katta qarshilikka ega u va eng kichigi - o'qga nisbatan v.

5-bob. YASSI KESMALARNING INERTSIYA MOMENTLARI Har qanday tekislik kesimi bir qator geometrik belgilar bilan tavsiflanadi: maydon, tortishish markazining koordinatalari, statik moment, inersiya momenti va d (8.1-rasmga qarang): ...

(Amaliy Mexanika)

Kesmalar inersiya momentlari

Inersiya momentlarining xossalari.

Tekis kesimlarning inersiya momentlari

Kesimlarning eksenel, qutbli va markazdan qochma inersiya momentlari mavjud. Kesmaning har qanday o'qqa nisbatan eksenel inersiya momenti maydonlarning elementar mahsuloti ko'paytmalarining yig'indisidir. d Va pa - ularning ma'lum o'qga bo'lgan masofalarining kvadrati(8.1-rasmga qarang): Kesimning qutb inersiya momenti...
(ME'MARLAR UCHUN TUZILISh MEXANIKASI)

Tekis kesimlarning statik momentlari

Guruch. 2.24 Mustahkamlik, qattiqlik va barqarorlik masalalarini o'rganayotganda kesmalarning ba'zi geometrik xususiyatlarini aniqlay olish kerak, ular statik momentlar, inersiya momentlari va qarshilik momentlarini o'z ichiga oladi. Shakl maydonining x o'qiga nisbatan statik momenti (2.24-rasm), olingan...
(Amaliy Mexanika)

Kesmalar inersiya momentlari

Kesimlarning inersiya momentlari quyidagi ko'rinishdagi integrallar deyiladi Inersiya momentlarining xossalari. Inersiya momentlarining o'lchami [uzunlik41, odatda [m4] yoki [sm4|. Inertsiyaning eksenel va qutb momentlari doimo ijobiydir. Santrifüj inertsiya momenti musbat, manfiy yoki nolga teng bo'lishi mumkin....
(Hisoblash komplekslaridan FOYDALANGAN MATERIALLARNING QARShILIGI)

http//:www.svkspb.nm.ru

Yassi kesmalarning geometrik xarakteristikalari

Kvadrat: , dF - elementar platforma.

Hudud elementining statik momentidF 0x o'qiga nisbatan
- maydon elementining 0x o'qidan "y" masofasiga ko'paytmasi: dS x = ydF

Shaklning butun maydoni bo'ylab bunday mahsulotlarni yig'ib (integratsiyalashgan) biz olamiz statik momentlar y va x o'qlariga nisbatan:
;
[sm 3, m 3 va boshqalar].

Og'irlik markazi koordinatalari:
. Statik momentlar nisbatan markaziy o'qlar(kesimning og'irlik markazidan o'tadigan o'qlar) nolga teng. Murakkab figuraning statik momentlarini hisoblashda u F i maydonlari ma'lum bo'lgan oddiy qismlarga bo'linadi va tortishish markazlarining koordinatalari x i, y i. Butun figura maydonining statik momenti = yig'indisi. uning har bir qismining statik momentlari:
.

Murakkab figuraning og'irlik markazining koordinatalari:

M
Kesim inertsiya momentlari

Eksenel(ekvatorial) kesma inersiya momenti- elementar maydonlarning dF ko'paytmalarining o'qqa bo'lgan masofalari kvadratlari bo'yicha yig'indisi.

;
[sm 4, m 4 va boshqalar].

Kesmaning ma'lum bir nuqtaga (qutbga) nisbatan qutbli inersiya momenti elementar maydonlar ko'paytmalarining shu nuqtadan masofalarining kvadratlari yig'indisidir.
; [sm 4, m 4 va boshqalar]. J y + J x = J p.

Kesimning markazdan qochma inersiya momenti- elementar maydonlar ko'paytmalari yig'indisi va ularning ikkita o'zaro perpendikulyar o'qlardan masofalari.
.

Bir yoki ikkalasi simmetriya o'qlariga to'g'ri keladigan o'qlarga nisbatan kesmaning markazdan qochma inersiya momenti nolga teng.

Eksenel va qutbli inersiya momentlari har doim ijobiy, markazdan qochma inertsiya momentlari musbat, manfiy yoki nolga teng bo'lishi mumkin.

Kompleks figuraning inersiya momenti uning tarkibiy qismlarining inersiya momentlari yig'indisiga teng.

Oddiy shakldagi kesmalarning inersiya momentlari

P
to'rtburchaklar kesim doira

TO


uzuk

T
uchburchak

R
izofemoral

To'rtburchak

T
uchburchak

H chorak doira

J y =J x =0,055R 4

J xy =0,0165R 4

rasmda. (-)

Yarim doira

M

Standart profillarning inertsiya momentlari assortiment jadvallaridan topilgan:

D
vutavr Kanal Burchak

M

Parallel o'qlarga nisbatan inersiya momentlari:

J x1 =J x + a 2 F;

J y1 =J y + b 2 F;

har qanday o'qga nisbatan inersiya momenti berilganga parallel bo'lgan markaziy o'qga nisbatan inersiya momentiga, shuningdek, rasmning maydoni va o'qlar orasidagi masofa kvadratining ko'paytmasiga teng. J y1x1 =J yx + abF; ("a" va "b" formulaga ularning belgisini hisobga olgan holda almashtiriladi).

O'rtasidagi bog'liqlik o'qlarni aylantirganda inersiya momentlari:

J x1 =J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2; J y1 =J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

Burchak >0, agar eski koordinatalar tizimidan yangisiga o'tish soat miliga teskari yo'nalishda sodir bo'lsa. J y1 + J x1 = J y + J x

Inersiya momentlarining ekstremal (maksimal va minimal) qiymatlari deyiladi inertsiyaning asosiy momentlari. Eksenel inersiya momentlari haddan tashqari qiymatlarga ega bo'lgan o'qlar deyiladi inertsiyaning asosiy o'qlari. Asosiy inersiya o'qlari o'zaro perpendikulyar. Asosiy o'qlarga nisbatan markazdan qochma inertsiya momentlari = 0, ya'ni. asosiy inersiya o'qlari - markazdan qochma inersiya momenti = 0 bo'lgan o'qlar. Agar o'qlardan biri simmetriya o'qiga to'g'ri kelsa yoki ikkalasi ham mos kelsa, ular asosiy hisoblanadi. Asosiy o'qlarning o'rnini belgilovchi burchak:
, agar  0 >0  bo'lsa, o'qlar soat sohasi farqli ravishda aylanadi. Maksimal o'q har doim inersiya momenti kattaroq qiymatga ega bo'lgan o'qlarga nisbatan kichikroq burchak hosil qiladi. Og'irlik markazidan o'tadigan asosiy o'qlar deyiladi inertsiyaning asosiy markaziy o'qlari. Ushbu o'qlarga nisbatan inersiya momentlari:

J max + J min = J x + J y. Bosh markaziy inersiya oʻqlariga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti 0 ga teng.Agar asosiy inersiya momentlari maʼlum boʻlsa, u holda aylanuvchi oʻqlarga oʻtish formulalari:

J x1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J y1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J x1y1 =(J max - J min)sin2;

Bo'limning geometrik xususiyatlarini hisoblashning yakuniy maqsadi asosiyni aniqlashdir markaziy nuqtalar inersiya va inertsiyaning asosiy markaziy o'qlarining holati. R inertsiya radiusi -
; J x =Fi x 2 , J y =Fi y 2 .

Agar J x va J y inertsiyaning asosiy momentlari bo'lsa, u holda i x va i y - bosh inersiya radiuslari. Yarim o'qlarda bo'lgani kabi asosiy inersiya radiuslari ustiga qurilgan ellips deyiladi inersiya ellipsi. Inersiya ellipsi yordamida har qanday o'q x1 uchun inersiya radiusi i x1 ni grafik tarzda topish mumkin. Buning uchun ellipsga x1 o'qiga parallel bo'lgan tangens chizish va bu o'qdan tangensgacha bo'lgan masofani o'lchash kerak. Inersiya radiusini bilib, x 1 o'qiga nisbatan kesimning inersiya momentini topishingiz mumkin:
. Simmetriya o‘qi ikkidan ortiq bo‘lgan kesmalar uchun (masalan: aylana, kvadrat, halqa va boshqalar) barcha markaziy o‘qlarga nisbatan eksenel inersiya momentlari teng, J xy =0, inersiya ellipsi inersiya doirasiga aylanadi. .

Qarshilik momentlari.

Qarshilikning eksenel momenti- o'qqa nisbatan inersiya momentining undan kesmaning eng uzoq nuqtasigacha bo'lgan masofaga nisbati.
[sm 3, m 3]

Asosiy markaziy o'qlarga nisbatan qarshilik momentlari ayniqsa muhimdir:

to'rtburchak:
; aylana: W x =W y =
,

quvurli qism (halqa): W x =W y =
, bu yerda = d N /d B .

Qarshilikning qutb momenti - qutb inertsiya momentining qutbdan uchastkaning eng uzoq nuqtasigacha bo'lgan masofaga nisbati:
.

Aylana uchun W r =
.

Kesmalar inersiya momentlarining quyidagi turlari ajratiladi: eksenel; markazdan qochma; qutbli; inersiyaning markaziy va asosiy momentlari.

Markazdan qochma inersiya momentlari nisbiy kesmalar da Va z shakldagi integrali deyiladi Kesmaning ikkita koordinata o'qiga nisbatan eksenel inersiya momentlari yig'indisi koordinata boshiga nisbatan qutbli inersiya momentiga teng:

Kesimning ko'rsatilgan inersiya momentlarining o'lchami (uzunligi 4), ya'ni. m 4 yoki sm 4.

Kesimning eksenel va qutb inersiya momentlari musbat kattaliklardir; markazdan qochma inersiya momenti musbat, manfiy va nolga teng boʻlishi mumkin (simmetriya oʻqi boʻlgan baʼzi oʻqlar uchun).

Koordinata o'qlarini parallel ko'chirish va aylantirish paytida inersiya momentlariga bog'liqliklar mavjud.

5.4-rasm – Nurning ixtiyoriy kesimi uchun koordinata o'qlarining parallel ko'chirilishi va aylanishi

Santrifüj inertsiya momentlari uchun

Kesimning inersiya momentlari ma'lum bo'lsa Iz, Iu, Izu o'qlarga nisbatan z Va da, keyin aylantirilgan o'qlarga nisbatan inersiya momentlari z 1 Va 1 da, dastlabki o'qlarga nisbatan a burchak ostida (5.4-rasm, b) formulalar bilan aniqlanadi:

Kontseptsiya bilan inertsiyaning asosiy momentlari bosh inersiya o‘qlarining holatini bog‘lang. Bosh inersiya o‘qlari markazdan qochma inertsiya momenti nolga teng bo'lgan ikkita o'zaro perpendikulyar o'q deb ataladi va eksenel momentlar ekstremal qiymatlarni (maksimal va minimal) oladi.

Agar asosiy o'qlar figuraning og'irlik markazidan o'tsa, ular deyiladi inertsiyaning asosiy markaziy o'qlari.

Asosiy inertsiya o'qlarining holati quyidagi bog'liqliklardan topiladi:

Strukturaviy elementlarning mustahkamligini hisoblashda ular geometrik xarakteristikaning kontseptsiyasidan foydalanadilar bo'lim moduli.

Misol uchun, nurning ko'ndalang kesimini ko'rib chiqaylik (5.5-rasm).

5.5-rasm - Nurning kesishishiga misol

Eng uzoqdagi masofa t. A bo'limning og'irlik markazidan, ya'ni. S haqida ahamiyatli h 1, va masofa t. IN- orqali h 2.

(5.16)

Keyin ga nisbatan qarshilikning kesim momentlari gorizontal z o'qi ball A, IN eksenel inersiya momentining o'qqa nisbatan nisbati sifatida hisoblanadi z nuqtalargacha bo'lgan masofalarga A, B:

Quvvatni hisoblashda amaliy qiziqish bo'limning qarshiligining eng kichik momentidir Wmin, eng uzoq t ga mos keladi. A bo'limning og'irlik markazidan h 1 = y maks.

Qarshilik elementlarining o'lchami (uzunligi 3), ya'ni. m 3, sm 3.

5.1-jadval - markaziy o'qlarga nisbatan eng oddiy kesmalarning inersiya momentlari va qarshilik momentlarining qiymatlari

Bo'lim nomlarining turlari	Inersiya momentlari	Qarshilik momentlari
To'rtburchak
Doira

5.1-jadvalning davomi

Kesimning eksenel (yoki ekvatorial) inersiya momenti ba'zi bir o'qqa nisbatan uning butun maydoni bo'ylab olingan deb ataladi F dF ularning bu o'qdan masofalarining kvadratlari bo'yicha, ya'ni.

Kesmaning ma'lum bir nuqtaga (qutbga) nisbatan qutbli inersiya momenti uning butun maydoni bo'ylab olinadi F elementar maydonlar mahsuloti yig'indisi dF ularning bu nuqtadan masofalarining kvadratlari bo'yicha, ya'ni.

Ba'zi ikkita o'zaro perpendikulyar o'qlarga nisbatan kesmaning markazdan qochma inertsiya momenti uning butun maydoni bo'ylab olinadi. F elementar maydonlar mahsuloti yig'indisi dF bu o'qlardan ularning masofalarida, ya'ni.

Inersiya momentlari sm 4, m 4 va hokazolarda ifodalanadi. Eksenel va qutbli inertsiya momentlari har doim ijobiy bo'ladi, chunki ularning integral belgilari ostida ifodalari maydonlarning qiymatlarini o'z ichiga oladi. dF(har doim ijobiy) va ushbu maydonlarning berilgan o'q yoki qutbdan masofalari kvadratlari.

2.3-rasmda maydonga ega bo'lim ko'rsatilgan F va o'qlar ko'rsatilgan da Va x.

Guruch. 2.3. F maydoniga ega bo'lim.

Ushbu kesimning o'qlarga nisbatan eksenel inersiya momentlari da Va x:

Ushbu inersiya momentlarining yig'indisi

shuning uchun,

Ikki o'zaro perpendikulyar o'qga nisbatan kesmaning eksenel inersiya momentlarining yig'indisi ushbu o'qlarning kesishish nuqtasiga nisbatan ushbu kesimning qutbli inersiya momentiga teng.

Santrifüj inertsiya momentlari musbat yoki nolga teng bo'lishi mumkin. Bir yoki ikkalasi simmetriya o'qlariga to'g'ri keladigan o'qlarga nisbatan kesmaning markazdan qochma inersiya momenti nolga teng. Murakkab kesimning ma'lum bir o'qqa nisbatan eksenel inersiya momenti uning tarkibiy qismlarining bir xil o'qqa nisbatan eksenel inersiya momentlari yig'indisiga teng. Xuddi shunday, murakkab kesimning har qanday ikkita o'zaro perpendikulyar o'qga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti uning tarkibiy qismlarining bir xil o'qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momentlari yig'indisiga teng. Shuningdek, kompleks kesmaning ma'lum nuqtaga nisbatan qutb inersiya momenti uni tashkil etuvchi qismlarining bir xil nuqtaga nisbatan qutb inersiya momentlari yig'indisiga teng. Shuni yodda tutish kerakki, turli o'qlar va nuqtalar bo'yicha hisoblangan inersiya momentlarini yig'ib bo'lmaydi.

To'rtburchak uchun

Doira uchun

Ring uchun

Ko'pincha amaliy masalalarni yechishda kesmaning uning tekisligida turli yo'llar bilan yo'naltirilgan o'qlarga nisbatan inersiya momentlarini aniqlash kerak. Bunday holda, texnik adabiyotlarda, maxsus ma'lumotnomalarda va jadvallarda keltirilgan boshqa o'qlarga nisbatan butun uchastkaning (yoki uning alohida tarkibiy qismlarining) inersiya momentlarining allaqachon ma'lum bo'lgan qiymatlaridan foydalanish qulay. mavjud formulalar yordamida hisoblab chiqilgan. Shuning uchun bir xil kesimning turli o'qlarga nisbatan inersiya momentlari o'rtasidagi munosabatlarni o'rnatish juda muhimdir.

Eng ichida umumiy holat har qandayidan o'tish eskigacha har qanday yangi Koordinatalar tizimini eski koordinatalar tizimining ikkita ketma-ket o'zgarishi sifatida ko'rib chiqish mumkin:

1) koordinata o'qlarini yangi holatga parallel ravishda o'tkazish orqali;

2) ularni yangi kelib chiqishiga nisbatan aylantirish orqali.

Demak,

Agar eksa X kesimning og'irlik markazidan, so'ngra statik momentdan o'tadi Sx= 0 va

Parallel o'qlarga nisbatan barcha inersiya momentlaridan eksenel inersiya momenti kesimning og'irlik markazidan o'tadigan o'qga nisbatan eng kichik qiymatga ega.

O'qga nisbatan inersiya momenti da

Maxsus holatda / o'qi uchastkaning og'irlik markazidan o'tganda,

Markazdan qochma inersiya momenti

Maxsus holatda eski koordinata tizimining kelib chiqishi y0x uchastkaning og'irlik markazida joylashgan,

Agar kesma simmetrik bo'lsa va eski o'qlardan biri (yoki ikkalasi) simmetriya o'qiga to'g'ri kelsa, u holda