Yosh Laplas tenglamasining tushishi. Qisqacha kolloid. Smoluxovskiyning tez koagulyatsiya nazariyasi

Tenglama ikki o'lchovli va bir o'lchovli fazoda ham ko'rib chiqiladi. Ikki o'lchovli fazoda Laplas tenglamasi yoziladi:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\qisman ^(2)u)(\qisman x^(2))))+(\frac (\qisman ^(2)) )u)(\qisman y^(2)))=0)

Shuningdek, ichida n- o'lchovli fazo. Bunday holda, yig'indi nolga teng n ikkinchi hosilalar.

D = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 +. . . (\displaystyle \Delta =(\frac (\qisman ^(2))(\qisman x^(2)))+(\frac (\qisman ^(2))(\qisman y^(2))))+ (\frac (\qisman ^(2))(\qisman z^(2)))+...)

Eslatma: yuqorida aytilganlarning barchasi tekis fazoda (uning o'lchamidan qat'iy nazar) Dekart koordinatalariga taalluqlidir. Boshqa koordinatalardan foydalanganda Laplas operatorining ko'rinishi o'zgaradi va shunga mos ravishda Laplas tenglamasining yozuvi o'zgaradi (masalan, pastga qarang). Ushbu tenglamalar Laplas tenglamasi deb ham ataladi, ammo terminologiyani izohlash uchun koordinatalar tizimining ko'rsatkichi (va agar to'liq ravshanlik zarur bo'lsa, o'lcham) odatda aniq qo'shiladi, masalan: "qutb koordinatalarida ikki o'lchovli Laplas tenglamasi".

Laplas tenglamasining boshqa shakllari

1 r 2 ∂ ∂ r (r 2 ∂ f ∂ r) + 1 r 2 sin ⁡ th ∂ ∂ th (sin ⁡ th ∂ f ∂ th) + 1 r 2 sin 2 ⁈ f 2 (⁈ p = 2) \displaystyle (1 \over r^(2))(\qisman \over \qisman r)\left(r^(2)(\qisman f \over \qisman r)\o'ng)+(1 \or r^( 2)\sin \theta )(\qisman \over \qisman \theta )\left(\sin \theta (\qisman f \over \qisman \teta )\o'ng)+(1 \or r^(2)\sin ^(2)\teta )(\qisman ^(2)f \over \qisman \varphi ^(2))=0)

Maxsus nuqtalar r = 0 , th = 0 , th = p (\displaystyle r=0,\teta =0,\teta =\pi ).

1 r ∂ ∂ r (r ∂ u ∂ r) + 1 r 2 ∂ 2 u ∂ ph 2 = 0 (\displaystyle (\frac (1)(r))(\frac (\qisman )(\qisman r)) \left(r(\frac (\qisman u)(\qisman r))\right)+(\frac (1)(r^(2))))(\frac (\qisman ^(2)u)(\ qisman \varphi ^(2)))=0)

Maxsus nuqta.

1 r ∂ ∂ r (r ∂ f ∂ r) + ∂ 2 f ∂ z 2 + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ ph 2 = 0 (\displaystyle (1 \rdan ortiq)(\qisman \qisman r)\ left(r(\qisman f \over \qisman r)\right)+(\qisman ^(2)f \over \qisman z^(2))+(1 \r^(2))(\qisman ^ (2)f \over \qisman \varphi ^(2))=0)

Yagona nuqta r = 0 (\displaystyle r=0).

Laplas tenglamasining qo'llanilishi

Laplas tenglamasi mexanika, issiqlik o'tkazuvchanligi, elektrostatika va gidravlikaning ko'plab fizik muammolarida paydo bo'ladi. Laplas operatori kvant fizikasida, xususan, Shredinger tenglamasida katta ahamiyatga ega.

Laplas tenglamasining yechimlari

Laplas tenglamasi matematik fizikada eng oddiylaridan biri bo'lishiga qaramay, uni hal qilishda qiyinchiliklar mavjud. Raqamli yechim, ayniqsa, funktsiyalarning tartibsizligi va birliklarning mavjudligi tufayli qiyin.

Umumiy qaror

Bir o'lchovli bo'shliq

f (x) = C 1 x + C 2 (\displaystyle f(x)=C_(1)x+C_(2))

Qayerda C 1 , C 2 (\displaystyle C_(1),C_(2))- ixtiyoriy konstantalar.

Ikki o'lchovli fazo

Ikki o'lchovli fazodagi Laplas tenglamasi analitik funktsiyalar bilan qanoatlantiriladi. Analitik funksiyalar kompleks o‘zgaruvchining funksiyalari nazariyasida ko‘rib chiqiladi va Laplas tenglamasining yechimlar sinfini kompleks o‘zgaruvchining funksiyasiga keltirish mumkin.

Ikki mustaqil o'zgaruvchi uchun Laplas tenglamasi quyidagicha tuzilgan

ph x x + ph y y = 0. (\displaystyle \varphi _(xx)+\varphi _(yy)=0.)

Analitik funktsiyalar

Agar z = x + iy, Va

f (z) = u (x , y) + i v (x , y) , (\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y),)

u holda Koshi-Riman shartlari funksiya uchun zarur va yetarli f(z) analitik edi:

∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y, ∂ u ∂ y = - ∂ v ∂ x. (\displaystyle (\frac (\qisman u)(\qisman x))=(\frac (\qisman v)(\qisman y)),~(\frac (\qisman u)(\qisman y))=- (\ frac (\ qisman v) (\ qisman x)).)

Analitik funksiyalarning ham real, ham xayoliy qismlari Laplas tenglamasini qanoatlantiradi. Shartlarni farqlash

Leonardo da Vinchi kapillyar hodisalarning kashfiyotchisi hisoblanadi. Biroq, naychalar va shisha plitalardagi kapillyar hodisalarning birinchi aniq kuzatuvlari 1709 yilda Frensis Xoksbi tomonidan amalga oshirilgan).

Bu modda cheksiz bo'linmaydi va atom yoki molekulyar tuzilishga ega bo'lgan 18-asrdan beri ko'pchilik olimlar uchun ish gipotezasi bo'lib kelgan. 19-asrning oxirlariga kelib, bir guruh pozitivist fiziklar atomlarning mavjudligini isbotlash qanchalik bilvosita ekanligini taʼkidlaganlarida, ularning bu daʼvosiga juda kam munosabat bildirildi va shu sababli ularning eʼtirozlari shu asrning boshlariga qadar inkor etilmadi. . Agar orqaga qarab, shubhalar bizga asossiz bo'lib tuyulsa, shuni yodda tutishimiz kerakki, o'sha paytda atomlarning mavjudligiga ishongan deyarli har bir kishi, shuningdek, 19-asrning birinchi yarmida elektromagnit efirning moddiy mavjudligiga qat'iy ishongan. - ko'pincha kaloriya. Biroq, gazlar va suyuqliklar nazariyasiga eng katta hissa qo'shgan olimlar materiyaning diskret tuzilishi haqidagi farazdan (odatda aniq shaklda) foydalanganlar. Moddaning elementar zarralari atomlar yoki molekulalar (masalan, Laplas) yoki oddiygina zarralar (Jung) deb nomlangan, ammo biz zamonaviy tushunchalarga amal qilamiz va gaz, suyuqlik yoki elementar zarralar uchun "molekula" so'zidan foydalanamiz. qattiq.

19-asr boshlarida. molekulalar o'rtasida mavjud bo'lishi mumkin bo'lgan kuchlar zarrachalarning o'zlari kabi noaniq edi. Hech qanday shubha yo'q yagona kuch Nyutonning tortishish kuchi edi. U samoviy jismlar o'rtasida va aniqki, bunday jismlar (Yer) va laboratoriya massasining boshqa (masalan, olma) o'rtasida harakat qiladi; Kavendish yaqinda u ikkita laboratoriya massasi o'rtasida ham harakat qilishini ko'rsatdi va shuning uchun u molekulalar orasida ham harakat qiladi deb taxmin qilingan. Suyuqliklar bo'yicha dastlabki ishda molekulyar massalar va massa zichliklari tenglamalarga kiradi, bunda biz molekulalar soni va molekulalar sonining zichligini yozishimiz kerak. Sof suyuqlikda barcha molekulalar bir xil massaga ega, shuning uchun bu farq muhim emas. Ammo 1800 yilgacha ham tortishish kuchlari tushunchasi kapillyar hodisalarni va suyuqliklarning boshqa xususiyatlarini tushuntirish uchun etarli emasligi aniq edi. Shisha naychadagi suyuqlikning ko'tarilishi shisha qalinligidan bog'liq emas (Xoksbiga ko'ra, 1709 yil) va shuning uchun suyuqlikdagi molekulalarga faqat shisha sirt qatlamidagi molekulalar ta'sir qiladigan kuchlar ta'sir qiladi. Gravitatsion kuchlar faqat masofa kvadratiga teskari proportsionaldir va ma'lumki, oraliq modda orqali erkin harakat qiladi.

Gravitatsion kuchlardan tashqari molekulalararo kuchlarning tabiati juda noaniq edi, ammo spekulyatsiyalar kam emas edi. Iezuit ruhoniysi Ruggero Juzeppe Boskovich molekulalar juda qisqa masofalarda itarishadi, bir oz kattaroq masofalarda tortishadi, so'ngra masofa oshgani sayin o'zgaruvchan itarish va kamayadigan kattalikdagi tortishish namoyon bo'ladi, deb hisoblardi. Uning g'oyalari keyingi asrda Faraday va Kelvinga ta'sir ko'rsatdi, ammo kapillyarlik nazariyachilari uchun darhol foydalanish uchun juda murakkab edi. Ikkinchisi donolik bilan oddiy farazlarga qaror qildi.

Quincke (G.H. Quincke) molekulalararo kuchlarning ta'siri sezilarli bo'lgan eng katta masofani aniqlash uchun tajribalar o'tkazdi. U turli moddalar uchun bu masofalar millimetrning ~ 1/20000 qismini tashkil etishini aniqladi, ya'ni. ~ 5 · 10 -6 sm (ma'lumotlarga muvofiq berilgan) .

Jeyms Jurin suyuqlikning ko'tarilish balandligi trubaning yuqori qismi bilan belgilanadi, bu suyuqlik ustidagi va naychaning pastki qismining shakliga bog'liq emasligini ko'rsatdi. U suyuqlikning ko'tarilishi suyuqlikning yuqori yuzasi tutashadigan trubaning ichki silindrsimon yuzasidan tortishish tufayli sodir bo'ladi, deb hisoblagan. Shunga asoslanib, u bir xil moddaning naychalarida suyuqlikning ko'tarilishi ularning ichki radiusiga teskari proportsional ekanligini ko'rsatdi.

Kler birinchilardan bo'lib kapillyar hodisalarni tushuntirish uchun suyuqlikning zarrachalari orasidagi tortishishni hisobga olish zarurligini ko'rsatdi. Biroq, u bu kuchlar harakat qiladigan masofalar sezilmas darajada kichik ekanligini tan olmadi.

1751 yilda fon Segner elastiklik nazariyasiga membrananing mexanik kuchlanishiga o'xshab, sirt tarangligining muhim g'oyasini kiritdi. Bugungi kunda sirt tarangligi tushunchasi keng tarqalgan bo'lib, u odatda ta'lim muassasalarida kapillyar kuchlar va sirt hodisalarini o'rganish uchun boshlang'ich nuqtadir.

Bu g'oya nazariyaning keyingi rivojlanishida asosiy bo'ldi. Aslida, bu hodisani o'rganishdagi birinchi qadam edi - tizimning makroskopik harakatini tavsiflovchi fenomenologik kontseptsiya kiritildi. Ikkinchi bosqich - fenomenologik tushunchalarni chiqarish va molekulyar nazariyaga asoslangan miqdorlarning qiymatlarini hisoblash. Ushbu qadam katta ahamiyatga ega, chunki u ma'lum bir molekulyar nazariyaning to'g'riligini tekshirishdir.

1802 yilda Jon Lesli qattiq jism va uning yuzasida yupqa suyuqlik qatlami o'rtasidagi tortishuvni hisobga olgan holda trubadagi suyuqlikning ko'tarilishi haqida birinchi to'g'ri tushuntirish berdi. U, ko'pgina oldingi tadqiqotchilardan farqli o'laroq, bu tortishish kuchi yuqoriga (to'g'ridan-to'g'ri suyuqlikni ushlab turish uchun) yo'naltirilgan deb hisoblamadi. Aksincha, u qattiq jism yuzasi uchun hamma joyda tortishish normal ekanligini ko'rsatdi.

To'g'ridan-to'g'ri tortishish ta'siri qattiq jism bilan aloqa qiladigan suyuqlik qatlamidagi bosimni oshirishdan iborat bo'lib, bosim suyuqlik ichidagi bosimdan yuqori bo'ladi. Buning natijasi shundaki, qatlam qattiq jismning yuzasiga "tarqalishga" moyil bo'lib, faqat tortishish kuchlari bilan to'xtatiladi. Shunday qilib, suvga botirilgan shisha trubka "emaklash mumkin bo'lgan" joyda suv bilan namlanadi. Suyuqlik ko'tarilganda, u ustunni hosil qiladi, uning og'irligi oxir-oqibat suyuqlikning tarqalishiga olib keladigan kuchni muvozanatlashtiradi.

Bu nazariya matematik belgilarda yozilmagan va shuning uchun alohida zarrachalarni jalb qilish va yakuniy natija o'rtasidagi miqdoriy munosabatni ko'rsata olmadi. Keyinchalik Lesli nazariyasi 1819 yilda nashr etilgan Britannica entsiklopediyasining 4-nashriga ilova qilingan "Suyuqliklar, balandliklar" ostidagi kapillyar ta'sirga oid maqolasida Jeyms Ivori tomonidan Laplas matematik usullaridan foydalangan holda qayta ko'rib chiqilgan.

2. Yung va Laplas nazariyalari

1804 yilda Tomas Yang kapillyar hodisalar nazariyasini sirt taranglik printsipi asosida asosladi. Shuningdek, u qattiq sirtning suyuqlik bilan aloqa qilish burchagining doimiyligini (kontakt burchagi) kuzatdi va aloqa burchagini mos keladigan interfaza chegaralarining sirt taranglik koeffitsientlari bilan bog'laydigan miqdoriy bog'liqlikni topdi. Muvozanat holatida kontakt chizig'i qattiq jism yuzasi bo'ylab harakatlanmasligi kerak, bu shuni anglatadiki, Xoksbi, u Qirollik jamiyatida namoyishchi bo'lgan va uning tajribalari materiyaning birlamchi zarralari haqidagi juda uzun inshoning mazmuniga ta'sir qilgan. ular orasidagi kuchlar, bu bilan Nyuton o'zining "Optika" ni 1717 yilda nashr etishni tugatdi. sm.

Qayerda sSV,sSL,s LV Fazalararo chegaralarning sirt taranglik koeffitsientlari: mos ravishda qattiq - gaz (bug '), qattiq - suyuq, suyuq - gaz; q chet burchagi. Bu munosabat endi Young formulasi sifatida tanilgan. Bu ish haligacha fanning ushbu yo'nalishdagi rivojlanishiga Laplasning bir necha oydan keyin chop etilgan maqolasi kabi ta'sir ko'rsatmadi. Bu Jungning matematik belgilarni ishlatishdan qochganligi va hamma narsani og'zaki tasvirlashga harakat qilgani, uning ishini chalkash va tushunarsiz qilib ko'rsatishi bilan bog'liq. Shunga qaramay, u bugungi kunda kapillyarlikning miqdoriy nazariyasi asoschilaridan biri hisoblanadi.

Kogeziya va adezyon hodisalari, bug'ning suyuqlikka kondensatsiyasi, qattiq jismlarning suyuqliklar bilan namlanishi va materiyaning boshqa ko'plab oddiy xususiyatlari - bularning barchasi tortishish kuchidan ko'p marta kuchliroq, lekin ular orasidagi juda kichik masofalarda ta'sir qiluvchi jozibador kuchlarning mavjudligini ko'rsatdi. molekulalar. Laplas aytganidek, kuzatilishi mumkin bo'lgan hodisalardan kelib chiqadigan bu kuchlarga qo'yilgan yagona shart - ular "seziladigan masofalarda sezilmaydi".

Qaytaruvchi kuchlar ko'proq muammolarni keltirib chiqardi. Ularning mavjudligini inkor etib bo'lmaydi - ular tortishish kuchlarini muvozanatlashi va materiyaning to'liq yo'q qilinishiga yo'l qo'ymasliklari kerak, ammo ularning tabiati mutlaqo noaniq edi. Savol quyidagi ikkita noto'g'ri fikr bilan murakkablashdi. Birinchidan, ko'pincha faol itaruvchi kuch issiqlik ekanligiga ishonishgan (odatda kaloriya nazariyasi tarafdorlarining fikri), chunki (bu dalil) suyuqlik qizdirilganda avval kengayadi va keyin qaynab ketadi, shuning uchun molekulalar ajralib chiqadi. qattiq jismga qaraganda ancha katta masofada Ikkinchi noto'g'ri tushuncha, Nyutongacha bo'lgan fikrdan kelib chiqqan holda, gazning kuzatilgan bosimi Daniel Bernulli behuda ta'kidlaganidek, ularning idish devorlari bilan to'qnashuvi tufayli emas, balki molekulalar orasidagi statik itarilish tufayli yuzaga kelgan.

Shu fonda kapillyarlikni yoki umuman suyuqliklarning birikishini tushuntirishga birinchi urinishlar materiyaning statik jihatlariga asoslanganligi tabiiy edi. Mexanika fanning yaxshi tushunilgan nazariy sohasi edi; termodinamika va kinetik nazariya hali ham kelajakda edi. Mexanik mulohazada asosiy taxmin katta, ammo qisqa masofali jozibador kuchlar taxmini edi. Tinch holatda bo'lgan suyuqliklar (kapillyar naychada yoki uning tashqarisida bo'ladimi) aniq muvozanatda bo'ladi va shuning uchun bu tortishish kuchlari itaruvchi kuchlar bilan muvozanatlangan bo'lishi kerak. Ular haqida tortishish kuchlari haqida emas, balki kamroq gapirish mumkin bo'lganligi sababli, ular ko'pincha jim bo'lib o'tib ketardi va Reylining so'zlariga ko'ra, "jozibali kuchlar o'zlarini muvozanatlashning aql bovar qilmaydigan hiylasini bajarish uchun qoldirildi". Laplas bu muammoni birinchi bo'lib qoniqarli hal qildi, chunki itaruvchi kuchlar (uning tan olganidek, issiqlik) siqilmaydigan suyuqlikning hamma joyida ta'sir qiluvchi ichki bosim bilan almashtirilishi mumkinligiga ishondi. (Bu taxmin 19-asr asarlarida "suyuqlikdagi bosim" deganda aniq nimani anglatishini noaniqlikka olib keladi.) Keling, Laplasning ichki bosim hisobini keltiraylik. (Ushbu xulosa Maksvell va Reyli xulosalariga yaqinroqdir. Xulosa shunga muvofiq berilgan).

1819 yilga kelib u molekulalararo itarish kuchlarini batafsil muhokama qilish bilan shug'ullandi, garchi ular hali ham issiqlik yoki kaloriya bilan bog'liq bo'lsa-da, jozibador kuchlardan tezroq masofa bilan qisqarishning asosiy xususiyatiga ega edi.

U suyuqlikdagi biriktiruvchi kuchlarni muvozanatlashi kerak va Laplas buni cheksiz suyuqlik tanasining tekis yuzalar bilan chegaralangan ikkita keng tarqalgan yarim cheksiz jismlarga bo'linishiga qarshilik ko'rsatadigan maydon birligiga to'g'ri keladigan kuch bilan aniqladi. Quyidagi hosila Laplasning asl shakliga qaraganda Maksvell va Reyliga yaqinroq, ammo argumentatsiyada sezilarli farq yo'q.

Qat'iy tekis yuzalarga ega bo'lgan, qatlam (qalinligi) bilan ajratilgan ikkita yarim cheksiz suyuqlik jismlarini ko'rib chiqaylik. l) ahamiyatsiz darajada past zichlik bilan juftlash (1-rasm) va ularning har birida biz hajm elementini tanlaymiz. Birinchisi balandlikda tananing yuqori qismida joylashgan r pastki tananing tekis yuzasidan yuqorida; uning hajmi teng dxdydz. Ikkinchisi tananing pastki qismida joylashgan va qutb koordinatalarining kelib chiqishi birinchi elementar hajmning pozitsiyasiga to'g'ri keladigan hajmga ega. Mayli f(s) masofa bilan ajratilgan ikki molekula o'rtasida ta'sir qiluvchi kuchdir s, A d- uning harakat radiusi. Bu har doim jozibador kuch bo'lgani uchun, biz bor

Agar r har ikkala jismdagi molekulalar sonining zichligi, u holda ikkita hajm elementi orasidagi o'zaro ta'sir kuchining vertikal komponenti teng bo'ladi.

Birlik maydonga to'g'ri keladigan umumiy tortishish kuchi (ijobiy qiymat).

Mayli u(s) molekulalararo kuch potensiali:

Yana qismlar bo'yicha integratsiya, biz olamiz

Laplasning ichki bosimi K ikki tekis yuzalar bilan aloqa qilganda ular orasidagi birlik maydoniga tortish kuchi, ya'ni. F(0):

deb yozilishi mumkin bo'lgan hajm elementi qayerda. Chunki u(r) faraz bo'yicha manfiy yoki hamma joyda nolga teng, keyin K ijobiy. Laplas bunga ishondi K atmosfera bosimi bilan solishtirganda katta, lekin birinchi haqiqiy sonli taxmin Young tomonidan amalga oshirilishi kerak edi.

Yuqoridagi xulosa molekulalar zichlik bilan bir xilda taqsimlangan degan yashirin taxminga asoslanadi. r, ya'ni. suyuqlik kuchlarning ta'sir radiusiga mos keladigan o'lchamli shkalada ko'rinadigan tuzilishga ega emas d. Bu taxminsiz (2) va (3) iboralarni bunday oddiy shaklda yozish mumkin emas edi, lekin birinchi hajm elementida molekulaning mavjudligi uning mavjudligi ehtimoliga qanday ta'sir qilishini aniqlash kerak edi. ikkinchisida molekula.

Suyuqlik yuzasida ixtiyoriy chiziq bo'ylab uzunlik birligiga taranglik (tegishli birliklar tizimida) erkin sirt maydoni birligini yaratish uchun sarflangan ishga teng bo'lishi kerak. Bu suyuqlik plyonkani cho'zish bo'yicha tajribadan kelib chiqadi (2-rasm).

Ushbu ishning qiymatini darhol (6) ifodadan olish mumkin F(l). Agar biz ikkita yarim cheksiz jismni kontaktda olsak va ularni molekulalararo kuchlarning ta'sir radiusidan kattaroq masofaga ajratsak, birlik maydoniga ish quyidagicha aniqlanadi.

(8)

Ajratish paytida ikkita bo'sh sirt hosil bo'ladi va shuning uchun sarflangan ish sirt tarangligiga teng bo'lgan birlik maydon uchun sirt energiyasining ikki barobariga tenglashtirilishi mumkin:

(9)

Shunday qilib, K molekulalararo potentsialning integrali yoki uning nol momenti va H- uning birinchi daqiqasi. Vaholanki K to'g'ridan-to'g'ri eksperiment o'tkazish mumkin emas, H sirt tarangligini o'lchay olsak, topish mumkin.

Suyuqlik yoki gazning qaysidir nuqtasida birikuvchi energiyaning zichligi bo'lsin, ya'ni. munosabat dU/dV Qayerda d U— kichik hajmli ichki energiya V bu nuqtani o'z ichiga olgan suyuqlik yoki gaz. Molekulyar model uchun biz qabul qilamiz

(10)

Qayerda r— ko‘rilayotgan nuqtadan masofa. Rayleigh Laplasni aniqladi K suyuqlikning tekis yuzasidagi nuqta orasidagi bu potentsialning 2 farqi bilan (qiymat 2 S) va ichida nuqta (qiymat 2 I). Sirtda (10) dagi integratsiya radiusli yarim shar bilan chegaralangan d, va ichki mintaqada u butun sohada amalga oshiriladi. Demak, S yarmi bor I, yoki

(11)

Keling, bir tomchi radiusni ko'rib chiqaylik R. Hisoblash f I o'zgarmaydi, lekin olingandan keyin f S integratsiya endi sirtning egriligi sababli yanada cheklangan hajmda amalga oshiriladi. Agar vektor va sobit radius orasidagi burchak bo'lsa, u holda

Keyin tushishdagi ichki bosim

Qayerda H(9) tenglama bilan aniqlanadi. Agar biz sharsimon tomchini emas, balki ikki asosiy egrilik radiusi bilan aniqlangan sirtga ega suyuqlik qismini olsak. R 1 Va R 2, keyin biz shaklda ichki bosimni olardik

(14)

Eyler teoremasiga ko'ra, yig'indi har qanday ikkita ortogonal tangens bo'ylab sirtning teskari egrilik radiuslari yig'indisiga teng.

Chunki K Va H ijobiy va R qavariq sirt uchun musbat bo'lsa, u holda (13) dan tomchidagi ichki bosim tekis sirtli suyuqlikka nisbatan yuqori ekanligi kelib chiqadi. Aksincha, konkav sferik sirt bilan chegaralangan suyuqlikdagi ichki bosim tekis sirtli suyuqlikka qaraganda pastroqdir, chunki R bu holda u salbiy.

Bu natijalar Laplasning kapillyarlik nazariyasining asosini tashkil qiladi. Bosim farqi tenglamasi (radiusning sharsimon tomchi ichidagi suyuqlik bosimi R) va (tashqi gaz bosimi) endi Laplas tenglamasi deb ataladi:

Klassik statik usullardan foydalangan holda oddiy muvozanat kapillyarligining barcha muammolarini hal qilish uchun uchta fikr etarli - sirt tarangligi, ichki bosim va aloqa burchagi, shuningdek (1) va (15) iboralar. Shunday qilib, Laplas va Yang ishlaridan so'ng kapillyarlikning miqdoriy nazariyasiga asos solindi.

Yangning natijalari keyinchalik Gauss tomonidan variatsion usul yordamida olingan. Ammo bu asarlarning barchasi (Yang, Laplas va Gauss tomonidan) bitta umumiy kamchilikka, ta'bir joiz bo'lsa, kamchilikka ega edi. Ushbu kamchilik keyinroq muhokama qilinadi.

Egri suyuqlik yuzasi ichidagi bosimni hisoblashda Rayleigh potensiali 2 (10) kiritildi; O'tishda bu ham ta'kidlangan I kogeziv energiya zichligi hisoblanadi. Bu foydali tushuncha birinchi marta 1869 yilda Dyupre tomonidan kiritilgan bo‘lib, uni moddaning bir qismini uning tarkibiy molekulalariga maydalash (la travail de désagré gation totale - to‘liq parchalanish ishi) deb ta'riflagan.

Chuqurlikdagi molekulaga ta'sir qiluvchi ichki kuch r< d , agar u bir xil zichlik bilan to'ldirilgan bo'lsa, soyali hajmdagi molekulalardan paydo bo'ladigan tashqi kuchga qarama-qarshidir.

U hamkasbi F. J. D. Massierning xulosasini quyidagicha keltiradi. Suyuqlik hajmiga qarab sirtdagi molekulaga ta'sir qiluvchi kuch, rasmdagi soyali hajmdan kelib chiqadigan kuchga ishorasi bo'yicha qarama-qarshidir. 3, chunki suyuqlik ichida simmetriya tufayli radiusning sharsimon hajmidan tortish kuchi nolga teng. Shunday qilib, ichkariga yo'naltirilgan kuch

Bu kuch ijobiy, chunki f(0 < s < d) < 0 и F(d) = 0 toq funksiya tufayli f(s). Agar molekula masofada bo'lmasa, unga hech qanday kuch ta'sir qilmaydi d sirtning bir tomonida yoki boshqa tomonida. Shuning uchun suyuqlikdan bitta molekulani olib tashlash uchun bajarilgan ish

chunki u(r) juft funksiyadir. Bu ish suyuqlikni parchalash uchun zarur bo'lgan har bir molekula energiyaning minus ikki barobariga teng ( ikki barobar, molekulalarni ikki marta hisoblamaslik uchun: bir marta ularni olib tashlashda, ikkinchisi atrof-muhitning bir qismi sifatida):

(18)

Bu ichki energiya uchun oddiy va tushunarli ifodadir U o'z ichiga olgan suyuqlik N molekulalar. Bundan kelib chiqadiki, birikuvchi energiya zichligi (10), yoki ifoda bilan beriladi

Agar indeksni olib tashlasak (11) ga to'g'ri keladi I. Dyuprening o'zi ham aylanma yo'lda xuddi shunday natijaga erishdi. U hisoblayotgan edi dU/dV suyuqlik kubining bir tekis kengayishi paytida molekulalararo kuchlarga qarshi ish orqali. Bu unga berdi

Chunki K((7) va (11)) ko'rinishga ega, bu erda doimiy a ifoda orqali beriladi

(21)

keyin integratsiya (20) yana (19) ga olib keladi.

Rayleigh Dyuprening xulosasini tanqid qildi. U faqat birikuvchi kuchlarni hisobga olgan holda molekulalararo birlashtiruvchi va itaruvchi kuchlarning muvozanat holatidan bir xil kengayish ishini ko'rib chiqishni asossiz deb hisoblagan; Bunday qadamni qo'yishdan oldin, itaruvchi kuchlar turini yaxshiroq bilish kerak.

Ko'ramizki, bu xulosada, Yang, Laplas va Gaussning xulosalarida bo'lgani kabi, fazalar chegarasida moddaning molekulalari sonining zichligi keskin o'zgarishi haqidagi faraz sezilarli darajada qo'llaniladi. Shu bilan birga, yuqoridagi dalillar materiyadagi real hodisalarni tavsiflash uchun moddadagi molekulalararo kuchlarning ta'sir qilish radiusi zarralar orasidagi xarakterli masofadan ancha katta ekanligini taxmin qilish kerak. Ammo bu taxminga ko'ra, ikki faza o'rtasidagi interfeys keskin bo'lishi mumkin emas - uzluksiz o'tish zichligi profili, boshqacha aytganda, o'tish zonasi paydo bo'lishi kerak.

Ushbu topilmalarni uzluksiz vaqtinchalik profilga umumlashtirishga urinishlar qilindi. Xususan, Puasson ushbu yo'ldan borishga harakat qilib, o'tish profili mavjud bo'lganda, sirt tarangligi butunlay yo'qolishi kerak degan noto'g'ri xulosaga keldi. Keyinchalik Maksvell bu xulosaning noto'g'riligini ko'rsatdi.

Biroq, moddadagi molekulalararo kuchlarning ta'sir radiusi zarralar orasidagi xarakterli masofadan ancha katta degan taxminning o'zi eksperimental ma'lumotlarga mos kelmaydi. Aslida, bu masofalar bir xil tartibda. Shuning uchun, Laplas ruhidagi mexanistik mulohaza, zamonaviy tilda, o'rtacha maydon nazariyasidir. Haqiqiy gazlar holatining mashhur tenglamasini bergan Vander Vaals nazariyasi bu erda tasvirlanmagan. Bularning barchasida aniq hisoblash turli nuqtalarda zarrachalar sonining zichligi o'rtasidagi korrelyatsiyani hisobga olishni talab qiladi. Bu vazifani juda qiyinlashtiradi.

3. Gibbsning kapillyarlik nazariyasi

Tez-tez sodir bo'lganidek, termodinamik tavsif aniq modellarning kamchiliklari bilan cheklanmasdan, oddiyroq va umumiyroq bo'lib chiqadi.

Gibbs 1878 yilda kapillyarlikni shunday tasvirlab, sof termodinamik nazariyani yaratdi. Bu nazariya Gibbs termodinamikasining ajralmas qismiga aylandi. Gibbsning kapillyarlik nazariyasi, hech qanday mexanik modellarga bevosita tayanmasdan, Laplas nazariyasining kamchiliklaridan xoli; uni haqli ravishda sirt hodisalarining birinchi batafsil termodinamik nazariyasi deb hisoblash mumkin.

Gibbsning kapillyarlik nazariyasi haqida shuni aytishimiz mumkinki, u juda oddiy va juda murakkab. Oddiy, chunki Gibbs eng ixcham va oqlangan termodinamik munosabatlarni olish imkonini beruvchi usulni topishga muvaffaq bo'ldi, bu tekis va egri sirtlarga teng darajada qo'llaniladi. "Har qanday bilim sohasidagi nazariy tadqiqotlarning asosiy vazifalaridan biri, - deb yozgan Gibbs, - tadqiqot ob'ekti eng sodda tarzda namoyon bo'ladigan nuqtai nazarni aniqlashdir". Gibbsning kapillyarlik nazariyasidagi bu nuqtai nazar sirtlarni ajratish g'oyasidir. Ajratuvchi sirtning vizual geometrik tasviridan foydalanish va ortiqcha miqdorlarni kiritish sirtlarning xususiyatlarini iloji boricha sodda tasvirlashga va sirt qatlamining tuzilishi va qalinligi haqidagi savolni chetlab o'tishga imkon berdi, bu hali ham butunlay o'rganilmagan. Gibbs davri va hali ham to'liq hal qilinmagan. Ortiqcha Gibbs qiymatlari (adsorbsiya va boshqalar) ajratuvchi sirtning holatiga bog'liq va ikkinchisini maksimal soddalik va qulaylik sabablari bilan ham topish mumkin.

Har bir holatda bo'linuvchi sirtni har joyda zichlik gradientiga perpendikulyar bo'lishi uchun tanlash oqilona. Agar ajratuvchi yuzalar tanlansa, har bir faza ( l} (l = a, b, g) endi u egallagan hajmga mos keladi V{ l). To'liq tizim hajmi

Turning molekulalari sonining zichligi bo'lsin j[ommaviy] bosqichda ( l). Keyin turdagi molekulalarning umumiy soni j ko'rib chiqilayotgan tizimda ga teng

turdagi molekulalarning sirt ortiqcha soni qayerda j(indeks ( s) sirt - sirt degan ma'noni anglatadi). Boshqa keng fizik miqdorlarning ortiqcha miqdori ham xuddi shunday tarzda aniqlanadi. Shubhasiz, masalan, tekis plyonka bo'lsa, u uning maydoniga mutanosibdir A. Qiymat bir turdagi molekulalar sonining sirtdan ortiqligi sifatida aniqlanadi j tarqaladigan sirtning birlik maydoniga turdagi molekulalarning adsorbsiyasi deyiladi j bu yuzada.

Gibbs ajratuvchi sirtning ikkita asosiy pozitsiyasidan foydalangan: birida komponentlardan birining adsorbsiyasi nolga teng (hozir bu sirt ekvimolekulyar deb ataladi) va sirt energiyasining sirt egriligiga aniq bog'liqligi yo'qolgan holat. (bu pozitsiyani Gibbs kuchlanish yuzasi deb atagan). Gibbs yassi suyuqlik yuzalarini (va qattiq jismlarning sirtlarini) ko'rib chiqish uchun ekvimolekulyar sirtdan, egri sirtlarni ko'rib chiqish uchun kuchlanish sirtidan foydalangan. Ikkala pozitsiya uchun ham o'zgaruvchilar soni kamayadi va maksimal matematik soddalikka erishiladi.

Endi Gibbs nazariyasining murakkabligi haqida. Matematik jihatdan juda oddiy bo'lsa-da, tushunish hali ham qiyin; Bu bir necha sabablarga ko'ra sodir bo'ladi. Birinchidan, Gibbsning kapillyarlik nazariyasini butun Gibbs termodinamikasidan ajralgan holda tushunish mumkin emas, bu juda umumiy, deduktiv metodga asoslangan. Nazariyaning katta umumiyligi har doim unga qandaydir mavhumlikni beradi, bu, albatta, idrok etish qulayligiga ta'sir qiladi. Ikkinchidan, Gibbsning kapillyarlik nazariyasining o'zi keng, ammo shartli tizim bo'lib, uning individual qoidalaridan abstraktsiyasiz idrok birligini talab qiladi. Gibbsni o'rganishga havaskorona yondashuv shunchaki mumkin emas. Va nihoyat, muhim holat shundaki, Gibbsning barcha eslab o'tilgan asarlari juda ixcham va juda qiyin tilda yozilgan. Bu ish, Reylining so'zlariga ko'ra, "nafaqat ko'pchilik uchun, balki, aytish mumkinki, barcha kitobxonlar uchun juda zich va qiyin". Guggenxaymning fikriga ko'ra, "Gibbs formulalarini tushunish ularni tushunishdan ko'ra osonroqdir".

Tabiiyki, Gibbs formulalaridan ularning haqiqiy tushunchasisiz foydalanish Gibbsning kapillyarlik nazariyasining alohida qoidalarini talqin qilish va qo'llashda ko'plab xatolarga olib keldi. Ko'pgina xatolar to'g'ri jismoniy natijaga erishish uchun bo'linadigan sirtning holatini aniq aniqlash zarurligini tushunmaslik bilan bog'liq edi. Sirt tarangligining sirt egriligiga bog'liqligini tahlil qilishda bunday turdagi xatolar tez-tez uchrab turdi; Hatto kapillyarlik nazariyasining "ustunlaridan" biri Bakker ham ulardan qochib qutulmadi. Boshqa turdagi xatolarga misol sifatida sirt hodisalari va tashqi maydonlarni ko'rib chiqishda kimyoviy potentsiallarni noto'g'ri talqin qilish mumkin.

Gibbsning kapillyarlik nazariyasi nashr etilgandan so'ng, ilmiy adabiyotlarda uni to'liqroq va batafsil tushuntirish istagi paydo bo'ldi. Yuqorida keltirilgan Gibbsga yo'llagan maktubida Reyli Gibbsning o'zi bu ishni bajarishni taklif qilgan. Biroq, bu ancha keyinroq amalga oshirildi: Rays Gibbsning butun nazariyasiga sharh tayyorladi va uning ba'zi qoidalari Frumkin, Defay, Rebinder, Guggenxaym, Tolman, Buff, Semenchenko va boshqa tadqiqotchilarning asarlarida sharhlangan. Gibbs nazariyasining koʻpgina qoidalari aniq boʻldi va ularni asoslash uchun sodda va samaraliroq mantiqiy texnikalar topildi.

Oddiy misol, Kondoning ta'sirchan ishi bo'lib, u bo'linuvchi sirtni aqliy ravishda siljitish orqali kuchlanish yuzasini kiritish uchun vizual va tushunarli usulni taklif qildi. Muvozanatli ikki fazali sistema energiyasining ifodasini yozsak a - b (a- ichki va b- tashqi faza) sharsimon sinish yuzasi bilan

U = T.S. - P a V a- P b V b+ sA +(22)

va biz bo'linadigan sirtning o'rnini aqliy ravishda o'zgartiramiz, ya'ni. uning radiusini o'zgartiring r, keyin, shubhasiz, energiya kabi jismoniy xususiyatlar U, harorat T, entropiya S, bosim R, kimyoviy potentsial i th komponent m i va uning massasi m i, shuningdek, tizimning to'liq hajmi V a + V b o'zgarishsiz qoladi. Ovoz darajasiga kelsak V a = 4 /3pr 3 va hududlar A = 4pr 2 va sirt tarangligi s, keyin bu miqdorlar bo'linadigan sirtning holatiga va shuning uchun belgilangan ruhiy o'zgarish jarayoniga bog'liq bo'ladi. r biz (22) dan olamiz

- P a dVa+ Pb dVb + sdA + E'lons = 0 (23)

(24)

Tenglama (24) sirt tarangligining bo'linuvchi sirt holatiga fizik bo'lmagan (bu holat yulduzcha bilan belgilangan) bog'liqligini aniqlaydi. Bu qaramlik bitta minimal bilan tavsiflanadi s, bu kuchlanish yuzasiga mos keladi. Shunday qilib, Kondoga ko'ra, kuchlanish yuzasi - bu sirt tarangligi minimal qiymatga ega bo'lgan bo'linuvchi sirt.

Gibbs kuchlanish yuzasini boshqacha tarzda kiritdi. U kapillyarlik nazariyasining asosiy tenglamasidan chiqdi

(yuqoridagi satr asosiy egriliklari bo'lgan o'zboshimchalik bilan bo'linadigan sirt uchun ortiqcha degan ma'noni anglatadi BILAN 1 va C 2) va ma'lum bir pozitsiyada va qat'iy tashqi sharoitlarda sirt egriligining jismoniy (va sof aqliy emas) jarayonini ko'rib chiqdi.

Gibbsning fikriga ko'ra, kuchlanish yuzasi bo'linuvchi sirt holatiga mos keladi, bunda sirt qatlamining egriligi doimiy tashqi parametrlarga ega bo'lib, sirt energiyasiga ta'sir qilmaydi va shuningdek, shartga mos keladi:

¶ s/¶ r =0 (26)

Guggenxaym Gibbsning isboti haqida shunday izoh beradi: "Men Gibbsning muhokamasini qiyin deb topdim va uni qanchalik sinchkovlik bilan o'rgangan bo'lsam, u menga shunchalik noaniq tuyuldi". Bu tan olinishi shuni ko'rsatadiki, Gibbsning kuchlanish yuzasini tushunish hatto termodinamistlar uchun ham qiyin bo'lgan.

Kondoning yondashuviga kelsak, bu birinchi qarashda aniq. Shu bilan birga, Gibbs va Kondo kuchlanish sirtlarining etarli bo'lishini ta'minlash kerak. Buni, masalan, sirt tarangligini gidrostatik aniqlash yordamida ko'rsatish mumkin

Young cheklangan qalinlikdagi qatlamda zichlik gradienti mavjudligini eslatib o'tdi, lekin uni ahamiyatsiz deb hisoblab, bu ta'sirni bekor qildi.

Pt— bosim tensorining tangensial komponentining mahalliy qiymati;

r"— radial koordinata; radiuslar R a Va Rb sirt qatlamini cheklash.

Bo'linuvchi sirtning aqliy harakati va jismoniy holatning doimiyligi (Kondo yondashuvi) bilan farqlash (27) (24) tenglamaga olib keladi. Sirt qatlamining egriligi va jismoniy holatning doimiyligi bilan farqlash (bu holda Gibbs yondashuvi R a Va Rb o'zgaruvchilar) beradi

(28)

qaerda bu hisobga olinadi P t(P a) = P a Va P t(Pb) = Pb.

(28) va (24) tenglamalardan (26) shartning () shartiga ekvivalent ekanligi ayon bo'ladi. d s/ dr) * = 0 va shuning uchun Kondoning oddiyroq va intuitiv yondashuvi Gibbsning yondashuviga mos keladi.

Bo'linuvchi sirt tushunchasining kiritilishi fazalar chegarasining ilgari sof intuitiv kontseptsiyasini matematik jihatdan qat'iy aniqlashga va shuning uchun tenglamalarda aniq belgilangan miqdorlardan foydalanishga imkon berdi. Asosan, Gibbs sirt termodinamiği juda keng ko'lamli hodisalarni tasvirlaydi va shuning uchun (realizatsiyalar, qayta shakllantirishlar, yanada oqlangan hosilalar va dalillardan tashqari) bu sohada yaratilganidan beri juda kam yangilik qilingan. Ammo shunga qaramay, ba'zi natijalar, asosan Gibbs tomonidan yoritilmagan masalalar bilan bog'liq.

Jung va Laplas nazariyalari.

bu erda sSV, sSL, sLV interfaza chegaralarining sirt taranglik koeffitsientlari: qattiq - gaz (bug '), qattiq - suyuq, suyuq - gaz mos ravishda, q - aloqa burchagi. Bu munosabat endi Young formulasi sifatida tanilgan. Bu ish haligacha fanning ushbu yo'nalishdagi rivojlanishiga Laplasning bir necha oydan keyin chop etilgan maqolasi kabi ta'sir ko'rsatmadi. Bu Jungning matematik belgilarni ishlatishdan qochganligi va hamma narsani og'zaki tasvirlashga harakat qilgani, uning ishini chalkash va tushunarsiz qilib ko'rsatishi bilan bog'liq. Shunga qaramay, u bugungi kunda kapillyarlikning miqdoriy nazariyasi asoschilaridan biri hisoblanadi.

Kogeziya va adezyon hodisalari, bug'ning suyuqlikka kondensatsiyasi, qattiq moddalarning suyuqliklar bilan namlanishi va materiyaning boshqa ko'plab oddiy xususiyatlari - bularning barchasi tortishish kuchidan ko'p marta kuchliroq, lekin faqat juda kichik masofalarda ta'sir qiluvchi jozibador kuchlarning mavjudligini ko'rsatdi. molekulalar orasida. Laplas aytganidek, kuzatilishi mumkin bo'lgan hodisalardan kelib chiqadigan bu kuchlarga qo'yilgan yagona shart - ular "seziladigan masofalarda sezilmaydi".

Qat'iy tekis yuzalarga ega bo'lgan ikki yarim cheksiz suyuq jismni ko'rib chiqamiz, ular arzimas zichlikdagi bug 'qatlami (qalinligi l) bilan ajratilgan (1-rasm) va ularning har birida biz hajm elementini tanlaymiz. Birinchisi, tananing yuqori qismida, pastki tananing tekis yuzasidan r balandlikda joylashgan; uning hajmi dxdydz ga teng. Ikkinchisi tananing pastki qismida joylashgan va hajmga ega , bu erda qutb koordinatalarining kelib chiqishi birinchi elementar hajmning pozitsiyasiga to'g'ri keladi. Bir-biridan s masofada joylashgan ikkita molekula o‘rtasida ta’sir etuvchi kuch f(s) va uning ta’sir radiusi d bo‘lsin. Bu har doim jozibador kuch bo'lgani uchun, biz bor

Agar r ikkala jismdagi molekulalar sonining zichligi bo'lsa, u holda ikkita hajm elementi orasidagi o'zaro ta'sir kuchining vertikal komponenti teng bo'ladi.

Yuqoridagi xulosa molekulalarning r zichligi bilan bir xilda taqsimlanganligi haqidagi yashirin taxminga asoslanadi, ya'ni. suyuqlik kuchlarning ta'sir qilish radiusiga mos keladigan o'lcham shkalasida ko'rinadigan tuzilishga ega emas d. Bu taxminsiz (2) va (3) iboralarni bunday oddiy shaklda yozish mumkin emas edi, lekin birinchi hajm elementida molekulaning mavjudligi uning mavjudligi ehtimoliga qanday ta'sir qilishini aniqlash kerak edi. ikkinchisida molekula.

Suyuqlik tomchi konturini sirt tarangligini aniklash muammosida.

Mizotin M.M. 1, Krilov A.S. 1, Protsenko P.V. 2

1 M.V nomidagi Moskva davlat universiteti. Lomonosov, Hisoblash matematikasi va matematika fakulteti

2 M.V nomidagi Moskva davlat universiteti. Lomonosov, kimyo fakulteti

Kirish

Sirt tarangligi suyuqliklarning eng muhim xususiyatlaridan biri bo'lib, uni aniq o'lchash turli hodisalarni o'rganish va texnologik jarayonlarni ishlab chiqish uchun zarurdir. Sirt tarangligini o'lchashning bir qancha usullari mavjud, ammo ularning barchasi orasida osilgan yoki osilgan tushish usulini ajratib ko'rsatish mumkin. Usulning asosiy afzalliklari uning qo'llanilishining juda keng doirasi - engil suyuqlik suyuqliklaridan suyuq metallargacha va boshqa usullarga nisbatan tajriba o'rnatishning nisbatan soddaligi. Bundan tashqari, raqamli hisoblash va fotografiya texnologiyasining rivojlanishi tufayli deyarli bir zumda tahlil qilish mumkin bo'ldi.

Usulning mohiyati quyidagilardan iborat: tomchi gorizontal asosga (yotadigan tomchi usuli) qo'yiladi yoki kapillyar naychaga osiladi (osilma tomchi usuli) va keyin uning profil fotosurati o'rganiladi. Muvozanat tushishining geometrik parametrlarini o'lchash, uning shakli suyuqlikning zichligi va sirt tarangligi o'rtasidagi bog'liqlik bilan belgilanadi, kerakli sirt tarangligini tiklashga imkon beradi. O'rnatish diagrammasi rasmda ko'rsatilgan. 1.

Guruch. 1. 1 - yorug'lik manbai (chiroq yoki mikroskop oynasi), 2 - substratga tushish,

3 – raqamli kamerali mikroskop.

Juda yaxshi ishlab chiqilgan eksperimental texnikaga qaramay, tomchi otish uchun maxsus qimmat o'rnatish hali ham talab qilinadi. Ushbu maqola keng tarqalgan komponentlardan tayyorlangan eksperimental o'rnatish algoritmini taklif qiladi. O'rnatishning laboratoriya uskunalari bilan solishtirganda kamchiliklari tavsiya etilgan tasvirni qayta ishlash usullari bilan qoplanadi.

Sessil tushirish usuli

Sessil tushish usulining asosiy tenglamasi Young-Laplas tenglamasi gorizontal substratda aylanish simmetriyasiga ega bo'lgan tomchi sirtini tasvirlaydi. Ushbu muammoni hal qilish uchun samarali texnika taklif qilindi, keyinchalik takomillashtirildi va to'ldirildi.

Bu usul Young-Laplas tenglamasini raqamli differentsiallashtirishga asoslangan. Young-Laplas tenglamasini differensiallash uchun egri chiziqni parametrlashtirish kiritiladi
, Qayerda t– tomchining tepasidan egri yoyi uzunligi (2-rasm).

Guruch. 2. Tushish konturini parametrlashtirish.

Ushbu parametrlash shartni qondiradi
, va tenglamalar tizimiga olib keladi

(1)

dastlabki shartlar bilan
,
,
,
va qo'shimcha shart
. Ishlab chiqilgan dasturiy paketda Koshi muammosi (1) aniqlikning to'rtinchi darajali Runge-Kutta usuli bilan echiladi.

Sessil tushish parametrlarini tiklash uchun kapillyar konstantani aniqlashning teskari masalasini hal qilish kerak.
, tushish cho'qqisining koordinatalari
va uning egrilik radiusi substrat ustidagi balandlikdan tomchining gorizontal qismining radiusi funktsiyasi sifatida. Ushbu funktsiya xato bilan o'lchanadi va ba'zi hollarda tushish konturining faqat bir qismini o'lchash mumkin. Bu teskari masalani yechishda xato (2) minimallashtiriladi

eksperimental nuqtalar orasida
va (2) masalaning sonli yechilishi natijasida olingan egri chiziq. Tajriba nuqtalari va egri chiziq orasidagi farq har bir tajriba nuqtasidan egri chiziqgacha bo'lgan masofalar kvadratlari yig'indisining ildizi sifatida aniqlanadi.

Shu munosabat bilan quyidagi tasvirni qayta ishlash vazifasi paydo bo'ladi: avtomatik ravishda tomchi konturini olish, bu tasvirlarda chang va qoldiqlarning mavjudligi bilan murakkablashadi (bu "maishiy" sharoitda an'anaviy kameradan foydalanish bilan bog'liq), shuningdek, o'zgaruvchan yorug'lik sharoitlari.

Xato funktsiyasi

Usulning asosiy qismlaridan biri xatolik funksiyasini hisoblashdir (2). Nuqta va egri chiziq orasidagi masofani hisoblang (3)

bu holda u juda ko'p mehnat talab qiladi, chunki bizga noma'lum va ular ham bir o'lchovli qidiruv usuli yordamida raqamli ravishda topilishi kerak.

Xato funksiyasini samarali hisoblash uchun quyidagi algoritm taklif etiladi. Birinchidan, barcha eksperimental nuqtalarni nuqta soni ortib borishi bilan tartiblash kerak i tegishli parametr ham oshdi. Keyin, har bir keyingi nuqta uchun parametrni qidirishda siz parametr qiymatidan dastlabki taxminiylik sifatida foydalanishingiz mumkin. , va birinchi nuqta uchun dastlabki yaqinlashish bo'ladi
. Tomchi konturini chizish haqida ko'proq ma'lumot olish uchun pastga qarang.

Ikkinchidan, xatolik funksiyasini hisoblash Runge-Kutta usuli yordamida (1) tizimni integratsiyalash jarayonida bevosita amalga oshirilishi mumkin. Aslida, har bir iteratsiyada qiymatlar biz uchun mavjud va nuqtadan eng kichik masofani (4) tenglamani echish orqali topish mumkin.

Nyuton usuli. Ya'ni, tizimni (1) raqamli integratsiyalashganda, har bir keyingi nuqta uchun funktsiyaning (4) qiymatini kuzatishingiz kerak va agar kerak bo'lsa, qadamni kamaytirish orqali eng kichik xatolarning qiymatlarini eslab qolishingiz kerak. natijalarning aniqligini oshirish.

Tomchi konturini tanlash

Yuqorida aytib o'tilganidek, (4) formuladan foydalangan holda xatoni samarali hisoblash uchun tasvirdan tushish konturini nuqta soni ortib borishi bilan ajratib olish kerak. i tegishli parametr ham oshdi. Ushbu operatsiya 2 bosqichda amalga oshiriladi: Canny detektori yordamida qirralarni to'g'ridan-to'g'ri tanlash va hosil bo'lgan qirralarning ikkilik xaritasidan tegishli ketma-ket nuqtalar to'plamini tanlash.

Kenarlarni kuzatish uchun quyidagi algoritm ishlab chiqilgan. Birinchidan, chekkalarni yupqalash operatsiyasini bajarish kerak, chunki Canny detektori barcha hosil bo'lgan qirralarning 1 piksel qalin bo'lishiga kafolat bermaydi (bu holat asosan kesishmalarda yuzaga keladi) va bunday holat keyingi ishlov berish uchun zarurdir. Chetlarni yupqalash operatsiyasi ma'lum bo'lgan qirrani yupqalash usullaridan biri yordamida amalga oshirilishi mumkin. Ushbu ishda algoritm ishlatilgan.

Keyinchalik qayta ishlash ko'rib chiqilayotgan piksel atrofidagi 3x3 pikselli qo'shni tahlilga asoslangan. Shaklda. Atrofdagi 3 piksel qiymatlari o'zgaruvchilar bilan ifodalanadi , 0 yoki 1 qiymatini olish.

Guruch. 3. Ko'rib chiqilayotgan piksel atrofidagi 3x3 mahalla ,
.

Ulangan nuqtalar ketma-ketligini aniqlash algoritmining umumiy sxemasi:

Agar
Va
, keyin markaziy piksel konturlarning kesishishini o'z ichiga oladi.

Agar
va , keyin konturning oxiri markaziy pikselda joylashgan.

Shu bilan birga, ushbu shartlarni tekshirish jadvallar yordamida tez va samarali amalga oshirilishi mumkin, chunki kiritish mumkin bo'lgan umumiy qiymatlar 512 = 2 9 ni tashkil qiladi.

Konturlarning topilgan uchlaridan biridan boshlang.

Joriy pikselni joriy raqam ostidagi kontur piksellari ro'yxatiga qo'shing va joriy pikselni joriy kontur raqami bilan chekka xaritada belgilang.

Joriy pikselning qo'shnilari orasida qiymati 1 bo'lgan pikselni toping.

Agar topilgan qo'shni kontur yoki kesishmaning oxiri bo'lmasa va chekka xaritada hali hech qanday raqam bilan belgilanmagan bo'lsa, joriy pikselni topilgan qo'shnining holatiga o'tkazing va 3-bosqichga o'ting. Aks holda, to'ldirishni tugating. joriy kontur va keyingisiga o'ting (2-bosqich).

Xulosa

Taklif etilgan algoritmdan foydalangan holda turli konsentratsiyalarda kerosin moyi/dekan tizimining eksperimental tadqiqotlari tavsiya etilgan yondashuvning samaradorligini ko'rsatdi.

Ish 2009-2013 yillarga mo'ljallangan "Innovatsion Rossiyaning ilmiy va ilmiy-pedagogik kadrlari" Federal maqsadli dasturi ko'magida amalga oshirildi.

Adabiyot

Labirint C., Burnet G. Sirt tarangligini va o'zgaruvchan tomchi shaklidan aloqa burchagini hisoblash uchun chiziqli bo'lmagan regressiya usuli // Surf. Sci. 1969. V. 13. B. 451.

Krilov A. S., Vvedenskiy A.V., Katsnelson A.M., Tugovikov A.E.. Suyuq metallarning sirt tarangligini aniqlash uchun dasturiy ta'minot to'plami // J. Non-Cryst.Qattiq moddalar. 1993. V. 156-158. 845-bet.

O. I. del Rio va A. V. Neyman. Eksensimetrik tomchi shakli tahlili: osilgan va turg'un tomchilarning shakli va o'lchamlari bo'yicha interfeys xususiyatlarini o'lchash uchun hisoblash usullari // Kolloid va interfeys fanlari jurnali, 196-jild, 2-son, 1997-yil, 15-dekabr, 136-147-betlar.

M. Xorfar va A. V. Neyman. Eksensimetrik tomchi shakli tahlilidagi so'nggi yutuqlar // Kolloid va interfeys fanidagi yutuqlar, 121-jild, 1-3-sonlar, 2006 yil 13 sentyabr, 25-49-betlar.

Kanni, J., Chetlarni aniqlashga hisoblash yondashuvi // IEEE Trans. Naqshlarni tahlil qilish va mashina razvedkasi, 8(6):679–698, 1986

Lam L., Li S.-V., Suen C.Y. Yupqalash metodologiyalari - keng qamrovli tadqiqot // Pattern Analysis va Machine Intelligence arxivi bo'yicha IEEE tranzaksiyalari, 14-jild 9-son, 1992 yil sentyabr.

Z. Guo va R. V. Xoll, "Ikki subbiteratsiya algoritmlari bilan parallel yupqalash", Comm. ACM, jild. 32, yo'q. 3, bet. 359-373, 1989 yil.

Sirt tarangligini aniqlash UCHUN DAMCHA QO'RLARINI ANGILASH

Mizotin M. 1, Krylov A. 1, Protsenko P. 2

1 Lomonosov nomidagi Moskva davlat universiteti, Hisoblash matematikasi va kibernetika fakulteti, Tasvirga ishlov berishning matematik usullari laboratoriyasi,

2 Lomonosov nomidagi Moskva davlat universiteti, kimyo fakulteti

Sirt tarangligi suyuqlikning asosiy xususiyatlaridan biridir, shuning uchun uni o'lchash turli xil hodisalarni, masalan, texnologik jarayonlarni namlash va rivojlanishini o'rganish uchun juda muhimdir. O'lchov jarayonining universalligi va soddaligi tufayli o'tirma va marjon tushirish usullari eng ko'p qo'llaniladigan usullardan biridir.

Usul ekssimetrik tushish profilini o'rganishga asoslangan. Gravitatsiya kuchi va sirt tarangligi muvozanati aniq profil shaklini hosil qiladi, shuning uchun sirt tarangligini Young-Laplas tenglamasi uchun teskari masalani hal qilish orqali hisoblash mumkin.

Ushbu ishda sirt tarangligini aniqlash uchun tomchilar konturini olish usuli keltirilgan. Taklif etilayotgan usulning asosiy farqi uning standart mikroskop, raqamli kamera va substrat ushlagichi kabi keng tarqalgan komponentlardan foydalangan holda arzon eksperimental o'rnatishga yo'naltirilganligidir. Tasvirni qayta ishlashning tavsiya etilgan usullari o'lchov aniqligini saqlagan holda arzon o'rnatish natijasida olingan tasvirlarning past sifati bilan bog'liq muammolarning ko'pini oldini olishga imkon beradi.

Ish "2009-2013 yillarda innovatsion Rossiyaning ilmiy va ilmiy-pedagogik kadrlari" maqsadli federal dasturi tomonidan qo'llab-quvvatlandi.



MORFOLOGIK AMEBALAR USULINI IZOLASYON UCHUN QO'LLANISH.
BILANFUNDUS TASVIRLARIDAGI TOMOLAR

Nasonov A.V. 1, Chernomorets A.A. 1, Krilov A.S. 1, Rodin A.S. 2

M.V nomidagi Moskva davlat universiteti. Lomonosov,

1 Hisoblash matematikasi va kibernetika fakulteti, Tasvirga ishlov berishning matematik usullari laboratoriyasi /
2 Fundamental tibbiyot fakulteti, oftalmologiya kafedrasi

Ishda morfologik amyobalar usulidan foydalanish asosida fundus tasvirlarida tomirlarni aniqlash algoritmi ishlab chiqildi. Algoritmni tomirlar nuqtalari ekanligi ma'lum bo'lgan nuqtalar to'plamidan tomirlarni cho'zish masalasiga qo'llash ko'rib chiqiladi.

1.Kirish

Fundus fotosuratlari retinal kasalliklarni tashxislash uchun ishlatiladi. Segmentatsiya va retinal qon aylanish tizimi tomirlarining xarakterli o'lchamlarini baholash ko'plab ko'z kasalliklarini tashxislash va davolashda katta qiziqish uyg'otadi.

Retinal tasvirlarda tomirlarni aniqlash yuqori shovqin darajasi, notekis yorug'lik va tomirlarga o'xshash narsalarning mavjudligi tufayli tasvirni qayta ishlashda juda qiyin vazifadir. Fundus tasvirlarida tomirlarni aniqlash usullari orasida quyidagi sinflarni ajratish mumkin:

Ikki o'lchovli yo'nalishli filtr bilan tasvir konvolyutsiyasidan foydalanadigan va javob tepaliklarini keyingi aniqlash usullari sinfi. Qon tomir tarmog'ini segmentlarga bo'lish uchun ikki o'lchovli chiziqli filtr taklif etiladi, uning profili Gaussdir. Ushbu yondashuvning afzalligi tomirlarning to'g'ri uchastkalarini barqaror aniqlash va ularning kengligini hisoblashdir. Biroq, usul ingichka va burama tomirlarni yaxshi aniqlamaydi, noto'g'ri signallar tomir bo'lmagan ob'ektlar uchun, masalan, ekssudatlar uchun mumkin.

Tog'larni aniqlashdan foydalanadigan usullar. Primitivlar topiladi - chiziqlar o'rtasida joylashgan qisqa segmentlar, so'ngra mashinani o'rganish usullaridan foydalangan holda, tomir daraxti tiklanadigan tomirlarga mos keladigan ibtidoiylar tanlanadi.

Bir juft nuqtada birlashtiruvchi tomirlarni ham, davomiy tomirlarni ham o'z ichiga olgan kemalarni kuzatishdan foydalanadigan usullar. Ushbu yondashuvning afzalliklari yupqa tomirlardagi ishlarning yuqori aniqligini va yorilib ketgan tomirlarni tiklashni o'z ichiga oladi. Kamchilik - bu dallanadigan va kesishgan tomirlarni qayta ishlashning qiyinligi.

Mashinani o'rganish usullarini qo'llash asosida piksel-piksel tasnifi. Bu erda har bir piksel uchun xususiyat vektori tuziladi, uning asosida piksel idishning bir qismi yoki yo'qligi aniqlanadi. Usulni o'rgatish uchun ekspert tomonidan belgilangan tomirlar bilan fundusning tasvirlari ishlatiladi. Usulning kamchiliklari ekspert xulosalaridagi katta nomuvofiqlikni o'z ichiga oladi.

Ushbu ishda tomirlarni aniqlash uchun morfologik amyobalar usuli qo'llaniladi - bu morfologik usul bo'lib, unda har bir piksel uchun moslashtirilgan tarzda strukturaviy element tanlanadi.

2. Morfologik amyobalar

Biz o'zgartirilgan masofa funktsiyasi bilan tasvirlangan morfologik amyoba usulidan foydalanamiz.

Kulrang rangdagi tasvirni ko'rib chiqing
. Keling, buni grafik ko'rinishida tasavvur qilaylik, unda har bir piksel sakkizta qo'shni pikselga ma'lum og'irliklarga ega qirralar bilan bog'langan ("narx"). Keyin har bir piksel uchun
barcha nuqtalar to'plamini topishingiz mumkin
, buning uchun dan yo'lning narxi
oshmaydi t. Olingan to'plam piksel uchun tizimli element bo'ladi.

Biz quyidagi piksel masofasi funksiyasidan foydalanamiz va
:

Multiplikator
qorong'u joylarda harakatlanish uchun past narxni va yorug'lik uchun yuqori narxni belgilaydi, shu bilan amyobaning idishdan tashqaridagi nuqtalarga tarqalishini oldini oladi va bu atama keng o'zgaruvchan intensivlikdagi piksellar orasidagi harakatni jazolaydi. Parametr ushbu o'tish uchun jazoning ahamiyatini belgilaydi.

Amyobalarni topishga misol
shaklda ko'rsatilgan. 1.

Guruch. 1. Morfologik amyobalarning shakllariga misollar. Chap tomonda amyobalar hisoblangan belgilangan nuqtalari bo'lgan asl rasm, o'ngda - topilgan strukturaviy elementlar oq rang bilan belgilangan.

3. Morfologik amyobalar yordamida tomirlarni aniqlash

Fundus tasvirlarida qon aylanish tizimining tomirlarini kuzatish uchun quyidagi bosqichlardan iborat algoritm ishlab chiqilgan:

4. Natijalar

Algoritmning ishlashiga misol rasmda ko'rsatilgan. 2.

Guruch. 2. Morfologik amyobalar yordamida tomirlarni aniqlash natijasi. Chap tomonda fundus tasviri (yashil kanal), markazda amyobalar quriladigan tomirlarning nuqtalari aniq, o'ngda tavsiya etilgan usul yordamida tomirlarni aniqlash natijasi.

Xulosa

Fundus tasvirlarida tomirlarni aniqlash uchun morfologik amyobalar usulini qo'llash ko'rib chiqiladi.

Ishlab chiqilgan algoritm to‘r pardasi kasalliklarini aniqlashning avtomatlashtirilgan tizimida qo‘llanilishi rejalashtirilgan.

Ish 2009-2013 yillarga mo'ljallangan "Innovatsion Rossiyaning ilmiy va ilmiy-pedagogik kadrlari" Federal maqsadli dasturi va Rossiya fundamental tadqiqotlar jamg'armasi 10-01-00535-a granti tomonidan qo'llab-quvvatlandi.

Adabiyot

S. Chaudhuri, S. Chatterji, N. Katz, M. Nelson, M. Goldbaum. Ikki o'lchovli mos keladigan filtrlar yordamida retinal tasvirlarda qon tomirlarini aniqlash // IEEE tibbiy ko'rish operatsiyalari, jild. 8, Yo'q. 3, 1989, bet. 263–269.

J. Staal, M. D. Abramoff, M. Niemeyjer, M. A. Viergever, B. Ginneken. Retinaning rangli tasvirlarida tizma asosidagi tomir segmentatsiyasi // Tibbiy tasvirlash bo'yicha IEEE operatsiyalari, jild. 23, №. 4, 2004, bet. 504–509.

M.Patasius, V.Marozas, D.Jegelevieius, A.Lukosevieius. Ko'z fundus tasvirlarida qon tomirlarini aniqlashning rekursiv algoritmi: dastlabki natijalar // IFMBE Proceedings, Vol. 25/11, 2009 yil, bet. 212–215.

J. Soares, J. Leandro, R. Sezar Jr., X. Jelinek, M. Cree. 2-D Gabor to'lqini va nazorat ostida tasnifi yordamida retinal tomir segmentatsiyasi // IEEE tibbiy ko'rish operatsiyalari, jild. 25, №. 9, 2006, bet. 1214–1222.

MORFOLOGIK AMEALAR USULINING QO'LLANISHIKO'Z FUNDUS TASVIRLARIDA QON TOMARLARINI ANGILASH UCHUN

Nasonov A. 1, Chernomorets A. 1, Krilov A. 1, Rodin A. 2

Lomonosov nomidagi Moskva davlat universiteti,
1 Hisoblash matematikasi va kibernetika fakulteti, Tasvirga ishlov berishning matematik usullari laboratoriyasi, /
2 Fundamental tibbiyot fakulteti, oftalmologiya kafedrasi

Ko'z tubi tasvirlarida qon tomirlarini aniqlash algoritmi ishlab chiqilgan. Ko'z tubi tasvirlarida qon tomirlarini segmentatsiyalash va tahlil qilish retinal kasalliklarni tashxislash uchun eng muhim ma'lumotlarni beradi.

Ko'z tubi tasvirlarida qon tomirlarini aniqlash qiyin muammodir. Tasvirlar bir xil bo'lmagan yorug'lik va shovqin tufayli buziladi. Shuningdek, ba'zi ob'ektlar qon tomirlari sifatida noto'g'ri aniqlanishi mumkin.

Taklif etilayotgan algoritm morfologik amyobalar usuliga asoslangan. Berilgan piksel uchun morfologik amyoba - berilgan pikselgacha minimal masofa chegaradan kam bo'lgan piksellar to'plami. t. Biz o'rtacha intensivlik qiymatini Evklid masofasiga ko'paytiramiz va masofa uchun piksel intensivligi qiymatlari orasidagi farqning mutlaq qiymatidan foydalanamiz. Bunday holda, masofa odatda qorong'i va yorug'lik joylari va qirralari uchun katta bo'lgan qon tomirlari uchun kichik bo'ladi va amyoba tomir bo'ylab cho'ziladi, lekin tomir devorlari orqali emas.

Qon tomirlarini aniqlashning tavsiya etilgan algoritmi quyidagi bosqichlardan iborat:

Yashil kanalni eng ma'lumotli sifatida ajratib oling va usul yordamida yoritishni to'g'rilang. Bu turli xil tasvirlar uchun amyobalarning birlashtirilgan parametrlaridan foydalanish imkonini beradi.

piksellar to'plamini toping ( p n) olingan rasmda, albatta, qon tomirlarining piksellari

Amyobani hisoblang A(p i) har bir piksel uchun 3x3 oynali amyoba niqobiga darajali filtrlashni qo'llang: niqobda 3 dan kam qo'shni pikselga ega bo'lgan piksellarni niqobdan olib tashlang. Qolgan piksellar qon tomirlari piksellari sifatida belgilanadi.

Agar qon tomirlarini kengaytirish kerak bo'lsa, uchinchi bosqich qon tomirlari hududiga yangi qo'shilgan barcha piksellar uchun takrorlanadi.

Biz ishlab chiqilgan algoritmdan to'r pardasi kasalliklarini avtomatik aniqlash tizimida foydalanishni rejalashtirmoqdamiz.

Ish "2009-2013 yillarda innovatsion Rossiyaning ilmiy va ilmiy-pedagogik kadrlari" maqsadli federal dasturi va RFBR 10-01-00535-a granti tomonidan qo'llab-quvvatlandi.

Adabiyot

R.J.Vinder, P.J.Morrow, I.N.Makritchi, J.R.Beyli, P.M.Xart. Diabetik retinopatiyada raqamli tasvirni qayta ishlash algoritmlari // Kompyuterlashtirilgan tibbiy tasvirlash va grafika, jild. 33, 2009, 608–622.

M. Welk, M. Breub, O. Vogel. Morfologik amyobalar uchun differentsial tenglamalar // Informatika fanidan ma'ruza matnlari, jild. 5720/2009, 2009, bet. 104–114.

G. D. Joshi, J. Sivasvami. Domen bilimlariga asoslangan rangli retinal tasvirni yaxshilash // Kompyuterni ko'rish, grafika va tasvirni qayta ishlash bo'yicha oltinchi Hindiston konferentsiyasi (ICVGIP"08), 2008, 591–598-betlar.

qo'lda tomografiya usuli yordamida tasvirlar ... impuls shovqinining mavjudligi xarakterlidir

O‘tkinchi tushirish usulida sirt tarangligi ma’lum bo‘lgan suyuqlik shprits yordamida qattiq sirtga joylashtiriladi. Tomchi diametri 2 dan 5 mm gacha bo'lishi kerak; bu kontakt burchagi diametridan mustaqil bo'lishini ta'minlaydi. Juda kichik tomchilarda suyuqlikning o'zi sirt tarangligining ta'siri katta bo'ladi (sferik tomchilar hosil bo'ladi), katta tomchilarda esa tortishish kuchlari ustunlik qila boshlaydi.

O'tsiz tomchilar usulida uch fazaning aloqa nuqtasida qattiq sirt va suyuqlik orasidagi burchak o'lchanadi. Uch fazaning aloqa nuqtasida yuza va sirt taranglik kuchlarining nisbati Young tenglamasi bilan tavsiflanishi mumkin, buning asosida kontakt burchagini aniqlash mumkin:

Maxsus holat - "asir qabariq" usuli: aloqa burchagi suyuqlikdagi sirt ostida o'lchanadi.

Dastlab, o'lchovlar goniometr (aloqa burchagini o'lchash uchun qo'lda ushlab turiladigan qurilma) yoki mikroskop yordamida amalga oshirildi. Zamonaviy texnologiyalar tomchi tasvirini yozib olish va dasturlar yordamida barcha kerakli ma'lumotlarni olish imkonini beradi.

Statik aloqa burchagi

Statik usulda tomchilar hajmi butun o'lchov davomida o'zgarmaydi, ammo bu aloqa burchagi doimo doimiy bo'lib qoladi degani emas. Aksincha, tashqi omillarning ta'siri vaqt o'tishi bilan aloqa burchagi o'zgarishiga olib kelishi mumkin. Cho'kish, bug'lanish va shunga o'xshash kimyoviy yoki fizik o'zaro ta'sirlar tufayli aloqa burchagi vaqt o'tishi bilan o'z-o'zidan o'zgaradi.

Bir tomondan, statik aloqa burchagi qattiq sirtning erkin energiyasini to'liq baholay olmaydi, ikkinchi tomondan, siyohni quritish, elim qo'llash, suyuqliklarni singdirish va adsorbsiya qilish kabi jarayonlarning vaqtga bog'liqligini tavsiflash imkonini beradi. qog'oz.

Vaqt o'tishi bilan xususiyatlarning o'zgarishi (tomchining tarqalishi) ko'pincha tadqiqotga xalaqit beradi. Namunadagi dog' yoki tirnalish ham xato manbai bo'lib xizmat qilishi mumkin, har qanday bir xil bo'lmagan sirt o'lchov aniqligiga salbiy ta'sir qiladi, uni dinamik usullarda minimallashtirish mumkin.

Dinamik aloqa burchagi

Dinamik aloqa burchagini o'lchashda shprits ignasi tomchida qoladi va uning hajmi doimiy tezlikda o'zgaradi. Dinamik aloqa burchagi tomchi hajmining ortishi (oqim burchagi) yoki tomchining kamayishi (oqim burchagi), ya'ni qattiq / suyuqlik interfeysidagi jarayonlarni tavsiflaydi. namlash va quritish paytida. Chegara bir zumda shakllanmaydi, dinamik muvozanatga erishish uchun vaqt kerak bo'ladi. Amaliyotdan suyuqlik oqimini 5-15 ml / min ga o'rnatish tavsiya etiladi, yuqori oqim tezligi faqat dinamik usullarni taqlid qiladi. Yuqori yopishqoq suyuqliklar (masalan, glitserin) uchun tomchilarning hosil bo'lish tezligi turli chegaralarga ega bo'ladi.

Oqish burchagi. Oqim burchagini o'lchashda shprits ignasi butun tajriba davomida tomchida qoladi. Birinchidan, sirtda diametri 3-5 mm bo'lgan tomchi hosil bo'ladi (KRUSS tomonidan qo'llaniladigan 0,5 mm igna diametri bilan), so'ngra u sirt ustida tarqaladi.
Dastlabki daqiqada kontakt burchagi tomchi hajmiga bog'liq emas, chunki igna bilan kuchli yopishish kuchlari. Muayyan tomchi o'lchamida kontakt burchagi doimiy bo'lib qoladi va aynan shu vaqtda o'lchovlarni olish kerak.
Ushbu turdagi o'lchov eng katta takrorlanuvchanlikka ega. Nishab burchaklari odatda sirtning erkin energiyasini aniqlash uchun o'lchanadi.

Oqim burchagi. Chiqib ketish burchagini o'lchashda tomchi hajmi kamayadi, chunki sirt quritiladi: katta tomchi (diametri taxminan 6 mm) yuzaga qo'yiladi va keyin igna orqali so'rish orqali asta-sekin kamayadi.
Kirish burchagi va chiqish burchagi o'rtasidagi farqga asoslanib, biz sirt pürüzlülüğü yoki uning kimyoviy heterojenligi haqida xulosa chiqarishimiz mumkin. Chiqib ketish burchagi SEPni hisoblash uchun mos EMAS.

O'tsiz tomchi shaklini baholash usullari

Young-Laplas usuli. Eng ko'p mehnat talab qiladigan, ammo ayni paytda aloqa burchagini hisoblashning eng aniq usuli. Bu usulda tomchining konturini qurishda faqat o'zaro ta'sirlar tomchi shaklini emas, balki suyuqlikning o'ziga xos og'irligini ham buzishi uchun tuzatishlar hisobga olinadi. Ushbu model tomchi shakli nosimmetrik ekanligini nazarda tutadi, shuning uchun uni dinamik aloqa burchaklari uchun ishlatib bo'lmaydi. Kiruvchi pasayish uchun aloqa burchagi ham faqat 30 ° gacha aniqlanishi mumkin.

Uzunlik-kenglik usuli. Bu usulda tomchining tarqalish uzunligi va uning balandligi taxmin qilinadi. Doiraning bir qismi bo'lgan kontur to'rtburchakda yozilgan va aloqa burchagi kenglik va balandlik nisbati bo'yicha hisoblanadi. Shakllari sharga yaqinroq bo'lgan kichik tomchilar uchun bu usul aniqroqdir. Dinamik aloqa burchagi uchun mos emas, chunki igna tomchida qoladi va tomchining balandligini aniq aniqlash mumkin emas.

Doira usuli. Ushbu usulda tomchi uzunlik-kenglik usulida bo'lgani kabi doiraning bir qismi sifatida ifodalanadi, lekin aloqa burchagi to'rtburchaklar yordamida emas, balki aylana segmenti yordamida hisoblanadi. Ammo uzunlik-kenglik usulidan farqli o'laroq, tomchida qolgan igna o'lchov natijalariga kamroq ta'sir qiladi.

Tangensial usul 1. Sessil tushishning to'liq konturi konusning segment tenglamasiga o'rnatiladi. Ushbu tenglamaning kontur va tayanch chizig'ining kesishish nuqtasida hosilasi aloqa nuqtasida moyillik burchagini beradi, ya'ni. chet burchagi. Agar tomchi igna tomonidan qattiq buzilmasa, bu usul dinamik baholash usullari bilan qo'llanilishi mumkin.

Tangensial usul 2. Tayanch chizig'i yonida joylashgan turg'un tomchi konturining qismi y=a + bx + cx 0,5 + d/lnx + e/x 2 tipidagi ko'phadli funktsiyaga moslashtirilgan. Bu funktsiya ko'plab matematik simulyatsiyalar natijasida olingan. Usul aniq deb hisoblanadi, ammo suyuqlikdagi ifloslantiruvchi moddalar va begona moddalarga sezgir. Dinamik aloqa burchaklarini aniqlash uchun javob beradi, lekin u aniq tasvirni talab qiladi, ayniqsa fazali aloqa nuqtasida.

Sessil tushish usuli DSA kontakt burchagi o'lchash asboblarida amalga oshiriladi, ular laboratoriyalarda sirtlarning xususiyatlarini o'rganish uchun keng qo'llaniladi. Ushbu qurilmalar, shuningdek, suyuqliklarning sirt va oraliq kuchlanishini o'lchash imkonini beradi