Vektorlarning skalar mahsuloti (bundan buyon matnda SP deb yuritiladi). Aziz do'stlar! Matematik imtihon vektorlarni echish bo'yicha bir guruh muammolarni o'z ichiga oladi. Biz allaqachon ba'zi muammolarni ko'rib chiqdik. Siz ularni "Vektorlar" toifasida ko'rishingiz mumkin. Umuman olganda, vektorlar nazariyasi murakkab emas, asosiysi uni izchil o'rganishdir. Maktab matematika kursida vektorlar bilan hisob-kitoblar va amallar oddiy, formulalar murakkab emas. Ko'rib chiqing. Ushbu maqolada biz vektorlarning SP bo'yicha muammolarni tahlil qilamiz (Yagona davlat imtihoniga kiritilgan). Endi nazariyaga "cho'milish":

H Vektorning koordinatalarini topish uchun uning oxiri koordinatalaridan ayirish kerakuning kelib chiqishining tegishli koordinatalari

Va yana:

*Vektor uzunligi (modul) quyidagicha aniqlanadi:

Bu formulalarni eslab qolish kerak!!!

Vektorlar orasidagi burchakni ko'rsatamiz:

0 dan 180 0 gacha o'zgarishi mumkinligi aniq(yoki 0 dan Pi gacha radianlarda).

Skayar ko'paytmaning belgisi haqida ba'zi xulosalar chiqarishimiz mumkin. Vektorlarning uzunligi ijobiy qiymatga ega, bu aniq. Bu shuni anglatadiki, skalar mahsulotning belgisi vektorlar orasidagi burchakning kosinus qiymatiga bog'liq.

Mumkin holatlar:

1. Agar vektorlar orasidagi burchak o'tkir bo'lsa (0 0 dan 90 0 gacha), u holda burchakning kosinasi musbat qiymatga ega bo'ladi.

2. Agar vektorlar orasidagi burchak o'tmas bo'lsa (90 0 dan 180 0 gacha), u holda burchakning kosinasi manfiy qiymatga ega bo'ladi.

*Nol gradusda, ya'ni vektorlar bir xil yo'nalishga ega bo'lganda, kosinus birga teng bo'ladi va shunga mos ravishda natija ijobiy bo'ladi.

180 o da, ya'ni vektorlar qarama-qarshi yo'nalishga ega bo'lsa, kosinus minus birga teng,va shunga ko'ra natija salbiy bo'ladi.

Endi MUHIM NOKTA!

90 o da, ya'ni vektorlar bir-biriga perpendikulyar bo'lganda, kosinus nolga teng, shuning uchun SP nolga teng. Bu fakt (natija, xulosa) vektorlarning nisbiy o'rni haqida gapiradigan ko'plab muammolarni hal qilishda, shu jumladan matematika topshiriqlarining ochiq bankiga kiritilgan masalalarda qo'llaniladi.

Keling, bayonotni tuzamiz: skalar mahsulot nolga teng bo'ladi, agar bu vektorlar perpendikulyar to'g'rilarda yotsa.

Shunday qilib, SP vektorlari uchun formulalar:

Agar vektorlarning koordinatalari yoki ularning boshlanishi va oxiri nuqtalarining koordinatalari ma'lum bo'lsa, biz har doim vektorlar orasidagi burchakni topishimiz mumkin:

Keling, vazifalarni ko'rib chiqaylik:

27724 a va b vektorlarning skalyar ko‘paytmasini toping.

Ikki formuladan biri yordamida vektorlarning skalyar mahsulotini topishimiz mumkin:

Vektorlar orasidagi burchak noma'lum, lekin biz vektorlarning koordinatalarini osongina topamiz va keyin birinchi formuladan foydalanamiz. Ikkala vektorning kelib chiqishi koordinatalarning kelib chiqishiga to'g'ri kelganligi sababli, bu vektorlarning koordinatalari ularning uchlari koordinatalariga teng, ya'ni

Vektorning koordinatalarini qanday topish mumkinligi maqolada tasvirlangan.

Biz hisoblaymiz:

Javob: 40

Vektorlarning koordinatalarini topamiz va formuladan foydalanamiz:

Vektorning koordinatalarini topish uchun vektor oxiri koordinatalaridan uning boshlanishining mos keladigan koordinatalarini ayirish kerak, ya'ni

Skayar mahsulotni hisoblaymiz:

Javob: 40

a va b vektorlar orasidagi burchakni toping. Javobingizni darajalarda bering.

Vektorlarning koordinatalari quyidagi shaklga ega bo'lsin:

Vektorlar orasidagi burchakni topish uchun vektorlarning skalyar mahsuloti formulasidan foydalanamiz:

Vektorlar orasidagi burchakning kosinusu:

Demak:

Ushbu vektorlarning koordinatalari teng:

Keling, ularni formulaga almashtiramiz:

Vektorlar orasidagi burchak 45 daraja.

Javob: 45

Shunday qilib, vektor uzunligi uning koordinatalari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildizi sifatida hisoblanadi
. n o'lchovli vektorning uzunligi ham xuddi shunday hisoblanadi
. Agar vektorning har bir koordinatasi oxiri va boshi koordinatalari orasidagi farq ekanligini eslasak, u holda biz segment uzunligi uchun formulani olamiz, ya'ni. Nuqtalar orasidagi Evklid masofasi.

Skalyar mahsulot tekislikdagi ikkita vektor bu vektorlarning uzunliklari va ular orasidagi burchak kosinuslarining mahsuloti:
. Ikki vektorning skalyar ko'paytmasi ekanligini isbotlash mumkin = (x 1, x 2) va = (y 1 , y 2) bu vektorlarning tegishli koordinatalari ko‘paytmalari yig‘indisiga teng:
= x 1 * y 1 + x 2 * y 2.

n o‘lchovli fazoda X= (x 1, x 2,...,x n) va Y= (y 1, y 2,...,y n) vektorlarning skalyar ko‘paytmasi ko‘paytmalar yig‘indisi sifatida aniqlanadi. ularning mos keladigan koordinatalari: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

Vektorlarni bir-biriga ko'paytirish amali satr matritsasini ustun matritsasiga ko'paytirishga o'xshaydi. Biz natija vektor emas, balki raqam bo'lishini ta'kidlaymiz.

Vektorlarning skalyar mahsuloti quyidagi xossalarga (aksiomalarga) ega:

1) Kommutativ xususiyat: X*Y=Y*X.

2) Qo‘shishga nisbatan taqsimlovchi xususiyat: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Har qanday haqiqiy son  uchun
.

4)
, ifX nol vektor emas;
ifX - nol vektor.

To'rtta mos aksiomani qanoatlantiradigan vektorlarning skalyar ko'paytmasi berilgan chiziqli vektor fazo deyiladi. Evklid chiziqli vektoribo'sh joy.

Har qanday vektorni o'z-o'zidan ko'paytirsak, uning uzunligi kvadratini olishimiz oson. Demak, u boshqacha uzunligi vektorni uning skalyar kvadratining kvadrat ildizi sifatida aniqlash mumkin:.

Vektor uzunligi quyidagi xususiyatlarga ega:

1) |X| = 0X = 0;

2) |X| = ||*|X|, bu yerda haqiqiy son;

3) |X*Y||X|*|Y| ( Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi);

4) |X+Y||X|+|Y| ( uchburchak tengsizligi).

n o'lchovli fazodagi vektorlar orasidagi burchak  skalar ko'paytma tushunchasi asosida aniqlanadi. Aslida, agar
, Bu
. Bu kasr birdan katta emas (Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi bo'yicha), shuning uchun bu yerdan  ni topish mumkin.

Ikki vektor deyiladi ortogonal yoki perpendikulyar, agar ularning skalyar mahsuloti nolga teng bo'lsa. Skayar ko'paytmaning ta'rifidan kelib chiqadiki, nol vektor har qanday vektorga ortogonaldir. Agar ikkala ortogonal vektor nolga teng bo'lmasa, u holda cos= 0, ya'ni=/2 = 90 o bo'ladi.

7.4-rasmga yana qaraylik. Rasmdan ko'rinib turibdiki, vektorning gorizontal o'qga qiyaligi burchak kosinusini quyidagicha hisoblash mumkin.
, va vektorning vertikal o'qqa qiyaligiburchakning kosinusu quyidagicha bo'ladi.
. Bu raqamlar odatda chaqiriladi yo'nalish kosinuslari. Yo'nalish kosinuslari kvadratlari yig'indisi har doim birga teng ekanligini tekshirish oson: cos 2 +cos 2 = 1. Xuddi shunday, yo'nalish kosinuslari tushunchalarini kattaroq o'lchamdagi fazolar uchun kiritish mumkin.

Vektor fazo asosi

Vektorlar uchun biz tushunchalarni belgilashimiz mumkin chiziqli birikma,chiziqli bog'liqlik Va mustaqillik matritsa qatorlari uchun ushbu tushunchalar qanday kiritilganiga o'xshash. Bundan tashqari, agar vektorlar chiziqli bog'liq bo'lsa, ulardan hech bo'lmaganda bittasini boshqalar bilan chiziqli ravishda ifodalash mumkin (ya'ni, bu ularning chiziqli birikmasidir). Buning aksi ham to'g'ri: agar vektorlardan biri boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lsa, unda bu vektorlarning barchasi birgalikda chiziqli bog'liqdir.

E'tibor bering, agar a l , a 2 ,...a m vektorlari orasida nol vektor bo'lsa, u holda bu vektorlar to'plami majburiy ravishda chiziqli bog'liqdir. Aslida, biz, masalan, nol vektoridagi j koeffitsientini birga, qolgan barcha koeffitsientlarni esa nolga tenglashtirsak, biz l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0 ni olamiz. Bunday holda, barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lmaydi ( j ≠ 0).

Bundan tashqari, vektorlar to'plamidagi vektorlarning bir qismi chiziqli bog'liq bo'lsa, bu vektorlarning barchasi chiziqli bog'liqdir. Haqiqatdan ham, agar ba'zi vektorlar ikkala nolga teng bo'lmagan koeffitsientlar bilan chiziqli kombinatsiyasida nol vektorini bersa, qolgan vektorlarni nol koeffitsientlarga ko'paytiriladigan mahsulotlarning bu yig'indisiga qo'shish mumkin va u hali ham nol vektor bo'ladi.

Vektorlarning chiziqli bog'liqligini qanday aniqlash mumkin?

Masalan, uchta vektorni olaylik: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) va 3 = (3, 1, 4, 3). Keling, ulardan ustunlar bo'ladigan matritsa yarataylik:

Keyin chiziqli bog'liqlik masalasi ushbu matritsaning darajasini aniqlashga qisqartiriladi. Agar u uchtaga teng bo'lsa, unda uchta ustun ham chiziqli mustaqildir va agar u kamroq bo'lsa, bu vektorlarning chiziqli bog'liqligini ko'rsatadi.

Darajali 2 bo'lgani uchun vektorlar chiziqli bog'liqdir.

E'tibor bering, muammoni hal qilish chiziqli mustaqillik ta'rifiga asoslangan fikrlashdan boshlanishi mumkin. Ya'ni,  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0 vektor tenglamasini tuzing, u l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, -) ko'rinishini oladi. 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Keyin biz tenglamalar tizimini olamiz:

Ushbu tizimni Gauss usuli yordamida yechish bir xil bosqichli matritsani olishga qisqartiriladi, faqat u yana bitta ustun - bepul shartlarga ega bo'ladi. Ularning barchasi nolga teng bo'ladi, chunki nollarning chiziqli o'zgarishi boshqa natijaga olib kelmaydi. O'zgartirilgan tenglamalar tizimi quyidagi shaklga ega bo'ladi:

Bu sistemaning yechimi (-s;-s; s) bo'ladi, bu erda s - ixtiyoriy son; masalan, (-1;-1;1). Bu shuni anglatadiki, agar  l = -1; 2 =-1 va 3 = 1 ni olsak, u holda l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, ya’ni. vektorlar aslida lineer bog'liqdir.

Yechilgan misoldan ma'lum bo'ladiki, agar fazoning o'lchamidan kattaroq vektorlar sonini olsak, ular albatta chiziqli bog'liq bo'ladi. Aslida, agar biz ushbu misolda beshta vektor olsak, biz 4 x 5 matritsaga ega bo'lamiz, uning darajasi to'rtdan katta bo'lishi mumkin emas. Bular. chiziqli mustaqil ustunlarning maksimal soni hali ham to'rttadan ko'p bo'lmaydi. Ikki, uch yoki to'rt o'lchovli vektorlar chiziqli mustaqil bo'lishi mumkin, lekin besh yoki undan ko'p bo'lishi mumkin emas. Binobarin, ikkitadan ortiq vektor tekislikda chiziqli mustaqil bo'la olmaydi. Ikki o'lchovli fazodagi har qanday uchta vektor chiziqli bog'liqdir. Uch o'lchovli fazoda har qanday to'rt (yoki undan ko'p) vektor har doim chiziqli bog'liqdir. Va h.k.

Shunung uchun o'lcham fazoni unda bo'lishi mumkin bo'lgan chiziqli mustaqil vektorlarning maksimal soni sifatida aniqlash mumkin.

n o'lchovli R fazoning n ta chiziqli mustaqil vektorlari to'plami deyiladi asos bu bo'shliq.

Teorema. Chiziqli fazoning har bir vektori bazis vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida va o'ziga xos tarzda ifodalanishi mumkin.

Isbot. e l, e 2 ,...e n vektorlari bazis-o‘lchovli R fazoni tashkil qilsin. Har qanday X vektor bu vektorlarning chiziqli birikmasi ekanligini isbotlaylik. X vektor bilan birga vektorlar soni (n +1) bo'lishi sababli, bu (n +1) vektorlar chiziqli bog'liq bo'ladi, ya'ni. bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan l , 2 ,..., n , raqamlar mavjud, shundayki

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +X = 0

Bu holda, 0, chunki aks holda biz l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 ni olamiz, bunda hamma koeffitsientlar l , 2 ,..., n nolga teng emas. Bu shuni anglatadiki, asosiy vektorlar chiziqli bog'liq bo'ladi. Shunday qilib, biz birinchi tenglamaning ikkala tomonini quyidagicha ajratishimiz mumkin:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + X = 0

X = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

X = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n,

bu yerda x j = -( j /),
.

Endi biz chiziqli birikma ko'rinishidagi bunday tasvirning yagona ekanligini isbotlaymiz. Keling, buning aksini faraz qilaylik, ya'ni. yana bir vakillik borligini:

X = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n

Undan oldingi olingan ifodani davr bo'yicha ayiraylik:

0 = (y l – x 1)e l + (y 2 – x 2)e 2 +...+ (y n – x n)e n

Bazis vektorlari chiziqli mustaqil bo'lganligi sababli, biz (y j - x j) = 0 ni olamiz,
, ya'ni y j = x j . Shunday qilib, ifoda bir xil bo'lib chiqdi. Teorema isbotlangan.

X = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n ifoda deyiladi. parchalanish e l, e 2,...e n va x l, x 2,...x n sonlarga asoslangan X vektori - koordinatalar vektor x bu asosga nisbatan yoki shu asosda.

Isbotlash mumkinki, agar n o'lchovli Evklid fazosining noldan nolga teng vektorlari juft ortogonal bo'lsa, ular asosni tashkil qiladi. Aslida, tenglikning ikkala tomonini l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 ni istalgan e i vektoriga ko‘paytiramiz. Biz  l (e l *e i) +  2 (e 2 *e i) +...+  n (e n *e i) = 0   i (e i *e i) = 0   i = ni olamiz.  i uchun 0.

n o‘lchamli Evklid fazo shaklining e l , e 2 ,...e n vektorlari ortonormal asos, agar bu vektorlar juft ortogonal bo'lsa va ularning har birining normasi bittaga teng bo'lsa, ya'ni. i≠j i |e i | uchun e i *e j = 0 bo‘lsa = 1 uchuni.

Teorema (isbot yo'q). Har bir n o'lchovli Evklid fazosida ortonormal asos mavjud.

Ortonormal bazisga misol sifatida n ta birlik vektorlar sistemasi e i, uning uchun i-komponent birga, qolgan komponentlar esa nolga teng. Har bir bunday vektor deyiladi or. Masalan, vektor vektorlari (1, 0, 0), (0, 1, 0) va (0, 0, 1) uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladi.

Vektorlar orasidagi burchak

$\overrightarrow(a)$ va $\overrightarrow(b)$ berilgan ikkita vektorni ko'rib chiqing. Ixtiyoriy tanlangan $O$ nuqtadan $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ va $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ vektorlarini ayirib olaylik, keyin $AOB$ burchagi deyiladi. $\overrightarrow(a)$ va $\overrightarrow(b)$ vektorlari orasidagi burchak (1-rasm).

1-rasm.

Bu erda e'tibor bering, agar $\overrightarrow(a)$ va $\overrightarrow(b)$ vektorlari koordinatsiyali yoki ulardan biri nol vektor bo'lsa, vektorlar orasidagi burchak $0^0$ bo'ladi.

Belgilash: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Vektorlarning nuqta mahsuloti tushunchasi

Matematik jihatdan bu ta'rifni quyidagicha yozish mumkin:

Ikki holatda nuqta mahsuloti nolga teng bo'lishi mumkin:

Agar vektorlardan biri nol vektor bo'lsa (Bundan buyon uning uzunligi nolga teng).

Agar vektorlar o'zaro perpendikulyar bo'lsa (ya'ni $cos(90)^0=0$).

Shuni ham yodda tutingki, agar bu vektorlar orasidagi burchak o'tkir bo'lsa, skalyar ko'paytma noldan katta bo'ladi (chunki $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) , va agar bu vektorlar orasidagi burchak toʻq boʻlsa, noldan kichik (chunki $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Skalyar ko'paytma tushunchasi bilan bog'liq bo'lgan skaler kvadrat tushunchasi.

Ta'rif 2

$\overrightarrow(a)$ vektorining skalyar kvadrati bu vektorning o'zi bilan skalyar ko'paytmasidir.

Skalar kvadrat teng ekanligini topamiz

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a) )\right|\left|\overrightarrow(a)\right|=(\left|\overrightarrow(a)\right|)^2\]

Vektor koordinatalaridan nuqta mahsulotini hisoblash

Ta'rifdan kelib chiqadigan skalyar ko'paytmaning qiymatini topishning standart usuliga qo'shimcha ravishda, boshqa usul ham mavjud.

Keling, ko'rib chiqaylik.

$\overrightarrow(a)$ va $\overrightarrow(b)$ vektorlari mos ravishda $\left(a_1,b_1\right)$ va $\left(a_2,b_2\right)$ koordinatalariga ega boʻlsin.

Teorema 1

$\overrightarrow(a)$ va $\overrightarrow(b)$ vektorlarining skalyar koʻpaytmasi mos keladigan koordinatalar koʻpaytmalari yigʻindisiga teng.

Matematik jihatdan buni quyidagicha yozish mumkin

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Isbot.

Teorema isbotlangan.

Ushbu teorema bir nechta oqibatlarga olib keladi:

Xulosa 1: $\overrightarrow(a)$ va $\overrightarrow(b)$ vektorlari perpendikulyar bo'ladi, agar $a_1a_2+b_1b_2=0$ bo'lsa.

Xulosa 2: Vektorlar orasidagi burchakning kosinusu $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$ ga teng.

Vektorlarning skalyar ko'paytmasining xossalari

Har qanday uchta vektor va haqiqiy $k$ soni uchun quyidagilar to'g'ri bo'ladi:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Bu xususiyat skalyar kvadrat ta'rifidan kelib chiqadi (2-ta'rif).

Sayohat qonuni:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Bu xususiyat skalyar mahsulotning ta'rifidan kelib chiqadi (1-ta'rif).

Tarqatish qonuni:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\o'ng)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end (sanoqlash)

1-teorema bo'yicha bizda:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\o'ng)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\o'ng)a_3+\left(b_1+b_2\o'ng)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Birlashma qonuni:$\left(k\overrightarrow(a)\o'ng)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end (sanoqlash)

1-teorema bo'yicha bizda:

\[\left(k\overrightarrow(a)\o'ng)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\o'ng)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Vektorlarning skalyar mahsulotini hisoblash masalasiga misol

1-misol

$\overrightarrow(a)$ va $\overrightarrow(b)$ vektorlarining skalyar koʻpaytmasini toping, agar $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ va $\left|\overrightarrow(b)\right boʻlsa. |= 2$ va ular orasidagi burchak $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$ ga teng.

Yechim.

1 ta'rifidan foydalanib, biz olamiz

$(30)^0:$ uchun

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

$(45)^0:$ uchun

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

$(90)^0:$ uchun

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

$(135)^0:$ uchun

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ o'ng)=-3\sqrt(2)\]

Leksiya: Vektor koordinatalari; vektorlarning skalyar mahsuloti; vektorlar orasidagi burchak

Vektor koordinatalari

Shunday qilib, yuqorida aytib o'tilganidek, vektor o'zining boshlanishi va oxiriga ega bo'lgan yo'naltirilgan segmentdir. Agar boshi va oxiri ma'lum nuqtalar bilan ifodalangan bo'lsa, ular tekislikda yoki fazoda o'z koordinatalariga ega.

Har bir nuqta o'z koordinatalariga ega bo'lsa, biz butun vektorning koordinatalarini olamiz.

Aytaylik, boshi va oxiri quyidagi belgi va koordinatalarga ega bo'lgan vektorimiz bor: A(A x ; Ay) va B (B x ; By)

Berilgan vektorning koordinatalarini olish uchun vektor oxirining koordinatalaridan boshining tegishli koordinatalarini ayirish kerak:

Kosmosdagi vektorning koordinatalarini aniqlash uchun quyidagi formuladan foydalaning:

Vektorlarning nuqta mahsuloti

Skayar mahsulot tushunchasini aniqlashning ikkita usuli mavjud:

• Geometrik usul. Unga ko'ra, skalyar mahsulot ushbu modullarning qiymatlari va ular orasidagi burchakning kosinuslari mahsulotiga teng.

• Algebraik ma'nosi. Algebra nuqtai nazaridan ikkita vektorning skalyar ko'paytmasi mos vektorlarning ko'paytmalari yig'indisi natijasida olingan ma'lum miqdordir.

Agar vektorlar kosmosda berilgan bo'lsa, siz shunga o'xshash formuladan foydalanishingiz kerak:

Xususiyatlari:

• Agar ikkita bir xil vektorni skalar tarzda ko'paytirsangiz, ularning skalyar mahsuloti manfiy bo'lmaydi:

• Agar ikkita bir xil vektorning skalyar ko'paytmasi nolga teng bo'lsa, bu vektorlar nolga teng deb hisoblanadi:

• Agar ma'lum vektor o'z-o'zidan ko'paytirilsa, u holda skalar mahsulot uning modulining kvadratiga teng bo'ladi:

• Skayar ko'paytma kommunikativ xususiyatga ega, ya'ni vektorlarni qayta joylashtirganda skalyar mahsulot o'zgarmaydi:

• Nolga teng bo'lmagan vektorlarning skalyar ko'paytmasi faqat vektorlar bir-biriga perpendikulyar bo'lganda nolga teng bo'lishi mumkin:

• Vektorlarning skalyar ko'paytmasi uchun vektorlardan birini raqamga ko'paytirishda kommutativ qonun amal qiladi:

• Skayar mahsulot bilan siz ko'paytirishning distributiv xususiyatidan ham foydalanishingiz mumkin:

Vektorlar orasidagi burchak

Tekis masalada a = (a x; a y) va b = (b x; b y) vektorlarining skalar ko‘paytmasini quyidagi formula yordamida topish mumkin:

a b = a x b x + a y b y

Fazoviy masalalar uchun vektorlarning skalyar mahsuloti formulasi

Fazoviy masalada a = (a x; a y; a z) va b = (b x; b y; b z) vektorlarining skalyar ko‘paytmasini quyidagi formula yordamida topish mumkin:

a b = a x b x + a y b y + a z b z

n o'lchovli vektorlarning skalyar ko'paytmasi formulasi

n o‘lchovli fazoda a = (a 1; a 2; ...; a n) va b = (b 1; b 2; ...; b n) vektorlarining skalyar ko‘paytmasini quyidagi yordamida topish mumkin. quyidagi formula:

a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Vektorlarning skalyar ko'paytmasining xossalari

1. Vektorning o'zi bilan skalyar ko'paytmasi har doim noldan katta yoki teng:

2. Vektorning o‘zi bilan skalyar ko‘paytmasi nolga teng bo‘ladi, agar vektor nol vektorga teng bo‘lsagina:

a · a = 0<=>a = 0

3. Vektorning o'zi bilan skalyar ko'paytmasi uning modulining kvadratiga teng:

4. Skalyar ko‘paytirish amali kommunikativ hisoblanadi:

5. Agar nolga teng bo‘lmagan ikkita vektorning skalyar ko‘paytmasi nolga teng bo‘lsa, bu vektorlar ortogonal bo‘ladi:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴ b

6. (aa) b = a(a b)

7. Skayar ko‘paytirish amali distributivdir:

(a + b) c = a c + b c

Vektorlarning skalyar mahsulotini hisoblash masalalariga misollar

Tekis masalalar uchun vektorlarning skalyar mahsulotini hisoblash misollari

a = (1; 2) va b = (4; 8) vektorlarining skalyar ko'paytmasini toping.

Yechim: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

a va b vektorlarning uzunliklari |a| bo'lsa, ularning skalyar ko'paytmasini toping = 3, |b| = 6, vektorlar orasidagi burchak esa 60˚.

Yechim: a · b = |a| · |b| cos a = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

p = a + 3b va q = 5a - 3 b vektorlarning uzunliklari |a| bo'lsa, ularning skalyar ko'paytmasini toping. = 3, |b| = 2, a va b vektorlari orasidagi burchak esa 60˚.

Yechim:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 |a| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 = 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Fazoviy masalalar uchun vektorlarning skalyar mahsulotini hisoblash misoli

a = (1; 2; -5) va b = (4; 8; 1) vektorlarining skalyar ko'paytmasini toping.

Yechim: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

n o'lchovli vektorlar uchun nuqta mahsulotini hisoblash misoli

a = (1; 2; -5; 2) va b = (4; 8; 1; -2) vektorlarining skalyar ko'paytmasini toping.

Yechim: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Vektor va vektorning o'zaro ko'paytmasi deyiladi uchinchi vektor , quyidagicha aniqlanadi:

2) perpendikulyar, perpendikulyar. (1"")

3) vektorlar butun fazoning asosi (ijobiy yoki salbiy) bilan bir xil tarzda yo'naltirilgan.

Belgilang: .

Vektor mahsulotining fizik ma'nosi

— O nuqtaga nisbatan kuch momenti; - radius - kuch qo'llash nuqtasining vektori, keyin

Bundan tashqari, agar biz uni O nuqtaga o'tkazsak, unda uchlik asosiy vektor sifatida yo'naltirilishi kerak.