Fazoda ma'lum p tekislik va ixtiyoriy M 0 nuqtani ko'rib chiqaylik. Keling, samolyotni tanlaylik normal vektor birligi n bilan boshi bir nuqtada M 1 ∈ p va M 0 nuqtadan p tekislikgacha bo'lgan masofa p(M 0 ,p) bo'lsin. Keyin (5.5-rasm)
r(M 0 ,p) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)
beri |n| = 1.
Agar p tekisligi berilgan bo'lsa uning umumiy tenglamasi bilan to'rtburchaklar koordinatalar tizimi Ax + By + Cz + D = 0, u holda uning normal vektori koordinatali vektor (A; B; C) va biz tanlashimiz mumkin.
(x 0 ; y 0 ; z 0) va (x 1 ; y 1 ; z 1) M 0 va M 1 nuqtalarning koordinatalari bo‘lsin. U holda Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 tengligi o'rinli bo'ladi, chunki M 1 nuqta tekislikka tegishli bo'lib, M 1 M 0 vektorining koordinatalarini topish mumkin: M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y 0 -y 1 ; z 0 -z 1 ). Yozib olish skalyar mahsulot nM 1 M 0 koordinata shaklida va o'zgartirganda (5.8), biz olamiz
chunki Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Demak, nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash uchun nuqta koordinatalarini tekislikning umumiy tenglamasiga almashtirish kerak, so'ngra mutlaq qiymat natijani normallashtiruvchi omilga bo'ling, uzunligiga teng mos keladigan normal vektor.
, "Dars uchun taqdimot" tanlovi
Sinf: 11
Dars uchun taqdimot
Orqaga oldinga
Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot uchun mo'ljallangan va taqdimotning barcha xususiyatlarini aks ettirmasligi mumkin. Agar qiziqsangiz bu ish, iltimos, toʻliq versiyasini yuklab oling.
Maqsadlar:
- talabalarning bilim va ko'nikmalarini umumlashtirish va tizimlashtirish;
- tahlil qilish, taqqoslash, xulosa chiqarish ko'nikmalarini rivojlantirish.
Uskunalar:
- multimedia proyektori;
- kompyuter;
- muammoli matnli varaqlar
SINFNING OLISHI
I. Tashkiliy moment
II. Bilimlarni yangilash bosqichi(2-slayd)
Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa qanday aniqlanganligini takrorlaymiz
III. Leksiya(3-15 slaydlar)
Sinfda biz ko'rib chiqamiz turli yo'llar bilan nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topish.
Birinchi usul: bosqichma-bosqich hisoblash
M nuqtadan a tekislikgacha bo'lgan masofa:
– M nuqtadan o‘tuvchi va a tekislikka parallel bo‘lgan a to‘g‘ri chiziqda yotgan ixtiyoriy P nuqtadan a tekislikka masofaga teng;
– b tekislikda yotgan, M nuqtadan o‘tuvchi va a tekislikka parallel bo‘lgan ixtiyoriy P nuqtadan a tekislikgacha bo‘lgan masofaga teng.
Biz quyidagi muammolarni hal qilamiz:
№1. A...D 1 kubida C 1 nuqtadan AB 1 C tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.
O 1 N segmentining uzunligi qiymatini hisoblash qoladi.
№2. Barcha qirralari 1 ga teng bo‘lgan A...F 1 muntazam olti burchakli prizmada A nuqtadan DEA 1 tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.
Keyingi usul: hajm usuli.
Agar ABCM piramidasining hajmi V ga teng bo'lsa, M nuqtadan ∆ABC ni o'z ichiga olgan a tekislikgacha bo'lgan masofa r(M; a) = r(M; ABC) = formula bilan hisoblanadi.
Muammolarni yechishda biz ikki xil usulda ifodalangan bir raqamning hajmlari tengligidan foydalanamiz.
Keling, quyidagi muammoni hal qilaylik:
№3. DABC piramidasining AD cheti ABC asos tekisligiga perpendikulyar. A dan AB, AC va AD qirralarning o'rta nuqtalaridan o'tuvchi tekislikgacha bo'lgan masofani toping, agar.
Muammolarni hal qilishda koordinata usuli M nuqtadan a tekislikgacha bo'lgan masofani r(M; a) = formulasi yordamida hisoblash mumkin 
, bu yerda M(x 0; y 0; z 0) va tekislik ax + by + cz + d = 0 tenglama bilan berilgan.
Keling, quyidagi muammoni hal qilaylik:
№4. IN birlik kub A…D 1 A 1 nuqtadan BDC 1 tekisligiga masofani toping.
Koordinatalar sistemasini koordinatalar sistemasini koordinatalar sistemasini koordinatalar sistemasini koordinatalar koordinatasini koordinatalarni koordinatalarini A nuqtada keltiramiz, y o’qi AB chekkasi bo’ylab, x o’qi AD cheti bo’ylab, z o’qi AA 1 cheti bo’ylab o’tadi. U holda B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) nuqtalarning koordinatalari.
B, D, C 1 nuqtalardan o'tuvchi tekislik uchun tenglama tuzamiz.
U holda – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Demak, r = 
Ushbu turdagi muammolarni hal qilish uchun quyidagi usuldan foydalanish mumkin usuli yordamchi vazifalar.
Ushbu usulni qo'llash teorema sifatida tuzilgan ma'lum mos yozuvlar muammolaridan foydalanishdan iborat.
Keling, quyidagi muammoni hal qilaylik:
№5. A...D 1 birlik kubida D 1 nuqtadan AB 1 C tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.
Keling, arizani ko'rib chiqaylik vektor usuli.
№6. A...D 1 birlik kubida A 1 nuqtadan BDC 1 tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.
Shunday qilib, biz ushbu turdagi muammolarni hal qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan turli usullarni ko'rib chiqdik. Bir yoki boshqa usulni tanlash muayyan vazifaga va sizning afzalliklaringizga bog'liq.
IV. Guruh ishi
Muammoni turli yo'llar bilan hal qilishga harakat qiling.
№1. A...D 1 kubining cheti ga teng. C cho'qqisidan BDC 1 tekisligigacha bo'lgan masofani toping.
№2. Qirrali ABCD muntazam tetraedrida A nuqtadan BDC tekislikgacha bo'lgan masofani toping.
№3. Barcha qirralari 1 ga teng bo'lgan ABCA 1 B 1 C 1 muntazam uchburchak prizmasida A dan BCA 1 tekislikgacha bo'lgan masofani toping.
№4. Oddiy to'rtburchakli SABCD piramidasida barcha qirralari 1 ga teng, A dan SCD tekisligiga masofani toping.
V. Dars xulosasi, Uy vazifasi, aks ettirish
Samolyot bo'lsin 
. Keling, normal chizamiz 
koordinatalarning kelib chiqishi orqali O. Berilsin 
- normal tomonidan hosil qilingan burchaklar 
koordinata o'qlari bilan. 
. Mayli 
- normal segment uzunligi 
tekislik bilan kesishguncha. Agar normalning yo'nalishi kosinuslari ma'lum bo'lsa 
, tekislikning tenglamasini chiqaramiz 
.
Mayli 
) tekislikdagi ixtiyoriy nuqtadir. Birlik normal vektor koordinatalariga ega. Vektorning proyeksiyasini topamiz 
normal holatga.
Nuqtaidan beri M demak, samolyotga tegishli
.
Bu berilgan tekislikning tenglamasi deyiladi normal .
Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa
Samolyot berilsin 
,M*
- kosmosdagi nuqta; d
- uning samolyotdan masofasi.
Ta'rif.
Burilish
ball M* samolyotdan raqam deyiladi ( +
d),
Agar M*
tekislikning boshqa tomonida yotadi, bu erda normal nuqtalarning ijobiy yo'nalishi 
, va raqam (- d), agar nuqta tekislikning boshqa tomonida joylashgan bo'lsa:
.
Teorema.
Samolyotga ruxsat bering 
normal birlik bilan 
normal tenglama bilan berilgan:
Mayli M*
– fazodagi nuqta chetlanish t. M* tekislikdan ifoda bilan beriladi
Isbot. Proyeksiya t. 
* normal bilan belgilaymiz Q.
Nuqtadan chetlanish M* tekislikdan teng
.
Qoida. Topmoq og'ish
T. M* tekislikdan t koordinatalarini tekislikning normal tenglamasiga almashtirishingiz kerak. M*
. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa 
.
Umumiy tekislik tenglamasini normal shaklga keltirish
Xuddi shu tekislik ikkita tenglama bilan aniqlansin:
Umumiy tenglama
Oddiy tenglama.
Ikkala tenglama bir xil tekislikni aniqlaganligi sababli, ularning koeffitsientlari proportsionaldir:
Birinchi uchta tenglikni kvadratga aylantiramiz va ularni qo'shamiz:
Bu yerdan biz topamiz 
- normallashtiruvchi omil:
. (10)
Tekislikning umumiy tenglamasini normallashtiruvchi omilga ko'paytirib, tekislikning normal tenglamasini olamiz:
"Samolyot" mavzusidagi muammolarga misollar.
1-misol. Tekislik tenglamasini tuzing 
berilgan nuqtadan o'tish 
(2,1,-1) va tekislikka parallel.
Yechim. Oddiy samolyot 
:
. Samolyotlar parallel bo'lgani uchun, u holda normal 
kerakli tekislik uchun ham normaldir 
. Berilgan nuqtadan (3) o'tuvchi tekislik tenglamasidan foydalanib, biz tekislik uchun olamiz 
tenglama:
Javob:
2-misol. Perpendikulyarning asosi boshidan tekislikka tushdi 
, nuqta 
. Tekislik tenglamasini toping 
.
Yechim. Vektor 
samolyot uchun normaldir 
. Nuqta M 0
samolyotga tegishli. Berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasidan foydalanishingiz mumkin (3):
Javob:
3-misol. Samolyot qurish 
, nuqtalardan o'tish 
va tekislikka perpendikulyar 
:.
Shuning uchun, qaysidir ma'noda M
(x,
y,
z) samolyotga tegishli edi 
, uchta vektor bo'lishi kerak 
o'xshash edi:
=0.
Determinantni ochish va olingan ifodani umumiy tenglama (1) ko'rinishiga keltirish qoladi.
4-misol. Samolyot 
umumiy tenglama bilan berilgan:
Nuqtadan chetlanishni toping 
berilgan tekislikdan.
Yechim. Tekislik tenglamasini normal shaklga keltiramiz.
,
.
Olingan normal tenglamaga nuqta koordinatalarini almashtiramiz M*.
.
Javob: 
.
5-misol. Samolyot segmentni kesib o'tadimi?
Yechim. Kesmoq AB samolyotni kesib o'tdi, og'ishlar 
Va 
samolyotdan 
turli belgilar bo'lishi kerak:
.
6-misol. Uchta tekislikning bir nuqtada kesishishi.
.
Tizim noyob yechimga ega, shuning uchun uchta tekislik bitta umumiy nuqtaga ega.
7-misol. Bissektrisalarni topish ikki burchakli burchak, ikkita berilgan tekislik bilan hosil qilingan.
Mayli 
Va 
- ma'lum bir nuqtaga og'ish 
birinchi va ikkinchi tekisliklardan.
Bissektrisa tekisliklarining birida (koordinatalarning kelib chiqishi yotadigan burchakka mos keladi) bu og'ishlar kattaligi va belgisi bo'yicha teng, ikkinchisida esa kattaligi bo'yicha teng va ishoraga qarama-qarshidir.
Bu birinchi bissektrisa tekisligining tenglamasi.
Bu ikkinchi bissektrisa tekisligining tenglamasi.
8-misol. Berilgan ikkita nuqtaning joylashishini aniqlash 
Va 
bu tekisliklar hosil qilgan dihedral burchaklarga nisbatan.
Mayli 
. Aniqlang: bitta, qo'shni yoki vertikal burchaklarda nuqtalar mavjud 
Va 
.
A). Agar 
Va 
bir tomonida yotish 
va dan 
, keyin ular bir xil dihedral burchakda yotadi.
b). Agar 
Va 
bir tomonida yotish 
va dan farq qiladi 
, keyin ular qo'shni burchaklarda yotadi.
V). Agar 
Va 
yotish turli tomonlar dan 
Va 
, keyin ular vertikal burchaklarda yotadi.
Koordinata tizimlari 3
Samolyotdagi chiziqlar 8
Birinchi tartib qatorlari. To'g'ridan-to'g'ri samolyotda. 10
To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak 12
13-qatorning umumiy tenglamasi
Tugallanmagan birinchi darajali tenglama 14
“Segmentlarda” to‘g‘ri chiziq tenglamasi 14
Ikki chiziqli tenglamalarni birgalikda o'rganish 15
15-qator uchun normal
Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak 16
16-qatorning kanonik tenglamasi
17-chiziqning parametrik tenglamalari
18-chiziqning normal (normallashtirilgan) tenglamasi
Nuqtadan 19-chiziqgacha bo'lgan masofa
20-chiziq qalam tenglamasi
“Samolyotdagi chiziq” mavzusidagi masalalarga misollar 22
Vektorlarning vektor mahsuloti 24
Xususiyatlari vektor mahsuloti 24
Geometrik xossalar 24
Algebraik xossalar 25
26-sonli omillarning koordinatalari orqali vektor mahsulotini ifodalash
Uch vektorning aralash mahsuloti 28
Geometrik ma'no aralash mahsulot 28
Aralash hosilani vektor koordinatalari orqali ifodalash 29
Muammoni hal qilishga misollar
Ushbu maqola nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani aniqlash haqida gapiradi. Keling, masofani topishga imkon beradigan koordinata usulini tahlil qilaylik berilgan nuqta uch o'lchovli bo'shliq. Buni mustahkamlash uchun keling, bir nechta vazifalarning misollarini ko'rib chiqaylik.
Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa nuqtadan nuqtagacha bo'lgan ma'lum masofadan foydalanib topiladi, bu erda ulardan biri berilgan, ikkinchisi esa berilgan tekislikka proyeksiyadir.
Fazoda ch tekislikli M 1 nuqta ko'rsatilganda, nuqta orqali tekislikka perpendikulyar to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin. H 1 - ularning umumiy kesishish nuqtasi. Bundan M 1 H 1 segmenti M 1 nuqtadan ch tekislikka chizilgan perpendikulyar ekanligini bilib olamiz, bunda H 1 nuqta perpendikulyar asosdir.
Ta'rif 1
Berilgan nuqtadan berilgan tekislikka chizilgan perpendikulyarning asosigacha bo'lgan masofa deyiladi.
Ta'rif turli formulalarda yozilishi mumkin.
Ta'rif 2
Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa- berilgan nuqtadan berilgan tekislikka chizilgan perpendikulyar uzunligi.
M 1 nuqtadan ch tekislikgacha bo'lgan masofa quyidagicha aniqlanadi: M 1 nuqtadan ch tekislikgacha bo'lgan masofa berilgan nuqtadan tekislikning istalgan nuqtasigacha bo'lgan eng kichik bo'ladi. Agar H 2 nuqta ch tekisligida joylashgan bo'lsa va H 2 nuqtaga teng bo'lmasa, biz olamiz to'g'ri uchburchak M 2 H 1 H 2 yozing , bu to'rtburchaklar, bu erda M 2 H 1, M 2 H 2 oyog'i mavjud - gipotenuza. Bu shuni anglatadiki, M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 qiya deb hisoblanadi, u M 1 nuqtadan ch tekislikka tortiladi. Bizda ma'lum nuqtadan tekislikka o'tkazilgan perpendikulyar nuqtadan berilgan tekislikka o'tkazilgan qiyalikdan kichik bo'ladi. Keling, ushbu holatni quyidagi rasmda ko'rib chiqaylik.
Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa - nazariya, misollar, echimlar
Raqam bor geometrik masalalar, ularning yechimlari nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani o'z ichiga olishi kerak. Buni aniqlashning turli usullari bo'lishi mumkin. Yechish uchun Pifagor teoremasi yoki uchburchaklarning o'xshashligidan foydalaning. Shartga ko'ra, uch o'lchovli fazoning to'rtburchaklar koordinata tizimida berilgan nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash kerak bo'lganda, u koordinata usuli bilan hal qilinadi. Ushbu paragraf ushbu usulni muhokama qiladi.
Muammoning shartlariga ko'ra, biz uch o'lchovli fazoda koordinatalari M 1 (x 1, y 1, z 1) ch tekislikli nuqta berilgan, M 1 dan masofani aniqlash kerak. samolyot ch. Ushbu muammoni hal qilish uchun bir necha yechim usullari qo'llaniladi.
Birinchi yo'l
Bu usul M 1 nuqtadan ch tekislikka perpendikulyar asos bo'lgan H 1 nuqtaning koordinatalari yordamida nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishga asoslangan. Keyinchalik, M 1 va H 1 orasidagi masofani hisoblashingiz kerak.
Masalani ikkinchi usulda yechish uchun berilgan tekislikning normal tenglamasidan foydalaning.
Ikkinchi yo'l
Shartga ko'ra, H 1 perpendikulyar asos bo'lib, u M 1 nuqtadan ch tekisligiga tushirildi. Keyin H 1 nuqtaning koordinatalarini (x 2, y 2, z 2) aniqlaymiz. M 1 dan ch tekisligiga kerakli masofa M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 formulasi bilan topiladi, bu erda M 1. (x 1, y 1, z 1) va H 1 (x 2, y 2, z 2). Yechish uchun siz H 1 nuqtasining koordinatalarini bilishingiz kerak.
Bizda H 1 ch tekislikning ch tekislikka perpendikulyar joylashgan M 1 nuqtasidan o‘tuvchi a to‘g‘ri chiziq bilan kesishish nuqtasidir. Bundan kelib chiqadiki, berilgan tekislikka perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq uchun tenglama tuzish kerak. Shunda biz H 1 nuqtasining koordinatalarini aniqlay olamiz. Chiziq va tekislikning kesishish nuqtasining koordinatalarini hisoblash kerak.
Koordinatalari M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqtadan ch tekislikgacha bo‘lgan masofani topish algoritmi:
Ta'rif 3
- M 1 nuqtadan o'tuvchi va bir vaqtning o'zida a to'g'ri chiziq tenglamasini tuzing
- ch tekisligiga perpendikulyar;
- nuqta bo‘lgan H 1 nuqtaning koordinatalarini (x 2, y 2, z 2) toping va hisoblang.
- a chiziqning ch tekislik bilan kesishishi;
- M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 formulasi yordamida M 1 dan ch gacha bo'lgan masofani hisoblang.
Uchinchi yo'l
Berilgan O x y z to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida ch tekislik mavjud bo'lsa, u holda cos a · x + cos b · y + cos g · z - p = 0 ko'rinishdagi tekislikning normal tenglamasini olamiz. Bu yerdan M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqta bilan M 1 H 1 masofa ch tekislikka tushirilganligini, M 1 H 1 = cos a x + cos b y + cos formulasi bilan hisoblanganligini olamiz. g z - p. Bu formula to'g'ri, chunki u teorema tufayli yaratilgan.
Teorema
Agar M 1 (x 1 , y 1 , z 1) nuqta berilgan boʻlsa uch o'lchamli bo'shliq, cos a · x + cos b · y + cos g · z - p = 0 ko'rinishdagi ch tekisligining normal tenglamasiga ega bo'lsa, u holda nuqtadan M 1 H 1 tekislikgacha bo'lgan masofa M formuladan hisoblanadi. 1 H 1 = cos a · x + cos b · y + cos g · z - p, chunki x = x 1, y = y 1, z = z 1.
Isbot
Teoremaning isboti nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani topishga to'g'ri keladi. Bundan kelib chiqadiki, M 1 dan ch tekislikgacha bo'lgan masofa M 1 radius vektorining sonli proyeksiyasi koordinata boshidan ch tekislikgacha bo'lgan masofa orasidagi farqning moduli hisoblanadi. Keyin M 1 H 1 = n p n → O M → - p ifodasini olamiz. ch tekislikning normal vektori n → = cos a, cos b, cos g ko‘rinishga ega bo‘lib, uzunligi birga teng, n p n → O M → O M → = (x 1, y 1) vektorining sonli proyeksiyasi. , z 1) n → vektor bilan aniqlangan yo'nalishda.
Skayar vektorlarni hisoblash formulasini qo'llaymiz. Keyin n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → ko‘rinishdagi vektorni topish ifodasini olamiz, chunki n → = cos a, cos b, cos g · z va O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Yozuvning koordinatali shakli n → , O M → = cos a · x 1 + cos b · y 1 + cos g · z 1, keyin M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos a · x ko‘rinishida bo‘ladi. 1 + cos b · y 1 + cos g · z 1 - p. Teorema isbotlangan.
Bu erdan M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqtadan ch tekislikgacha bo'lgan masofa cos a · x + cos b · y + cos g · z - p = 0 ni o'rniga qo'yish orqali aniqlanadi. tekislikning normal tenglamasining chap tomoni x, y, z koordinatalari o'rniga x 1, y 1 va z 1, Olingan qiymatning mutlaq qiymatini olib, M 1 nuqtasiga tegishli.
Koordinatalari bo'lgan nuqtadan berilgan tekislikgacha bo'lgan masofani topish misollarini ko'rib chiqamiz.
1-misol
Koordinatalari M 1 (5, - 3, 10) bo'lgan nuqtadan 2 x - y + 5 z - 3 = 0 tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblang.
Yechim
Keling, muammoni ikki yo'l bilan hal qilaylik.
Birinchi usul a chiziqning yo'nalish vektorini hisoblashdan boshlanadi. Shartga ko‘ra, berilgan 2 x - y + 5 z - 3 = 0 tenglama umumiy tekislik tenglamasi, n → = (2, - 1, 5) esa berilgan tekislikning normal vektori ekanligiga erishamiz. U berilgan tekislikka perpendikulyar bo'lgan a to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori sifatida ishlatiladi. Yozilishi kerak kanonik tenglama koordinatalari 2, - 1, 5 bo'lgan yo'nalish vektori M 1 (5, - 3, 10) dan o'tuvchi fazodagi to'g'ri chiziq.
Tenglama x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ga aylanadi.
Kesishish nuqtalarini aniqlash kerak. Buni amalga oshirish uchun kanonikdan ikkita kesishuvchi chiziq tenglamalariga o'tish uchun tenglamalarni tizimga yumshoq tarzda birlashtiring. Bu nuqta H 1 ni olaylik. Biz buni tushunamiz
x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
Shundan so'ng siz tizimni yoqishingiz kerak
x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3
Keling, Gauss tizimining yechim qoidasiga murojaat qilaylik:
1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1
Biz H 1 (1, - 1, 0) ni olamiz.
Berilgan nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblaymiz. M 1 (5, - 3, 10) va H 1 (1, - 1, 0) nuqtalarini olamiz va olamiz.
M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30
Ikkinchi yechim avval berilgan 2 x - y + 5 z - 3 = 0 tenglamani normal ko'rinishga keltirishdir. Biz normallashtiruvchi omilni aniqlaymiz va 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 ni olamiz. Bu yerdan 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 tekislikning tenglamasini olamiz. Tenglamaning chap tomoni x = 5, y = - 3, z = 10 ni almashtirish orqali hisoblanadi va siz M 1 (5, - 3, 10) dan 2 x - y + 5 z - gacha bo'lgan masofani olishingiz kerak. 3 = 0 modul. Biz ifodani olamiz:
M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30
Javob: 230.
ch tekisligi tekislikni ko'rsatish usullari bo'limidagi usullardan biri bilan ko'rsatilganda, avvalo ch tekislik tenglamasini olishingiz va istalgan usul yordamida kerakli masofani hisoblashingiz kerak.
2-misol
Uch o'lchovli fazoda koordinatalari M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) bo'lgan nuqtalar ko'rsatilgan. M 1 dan A B C tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblang.
Yechim
Avval M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C () koordinatalari bilan berilgan uchta nuqtadan o'tadigan tekislik tenglamasini yozishingiz kerak. 4, 0, - 1) .
x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
Bundan kelib chiqadiki, muammo avvalgisiga o'xshash echimga ega. Demak, M 1 nuqtadan A B C tekislikgacha bo'lgan masofa 2 30 qiymatga ega.
Javob: 230.
Tekislikning berilgan nuqtasidan yoki ular parallel boʻlgan tekislikgacha boʻlgan masofani topish M 1 H 1 = cos a · x 1 + cos b · y 1 + cos g · z 1 - p formulasini qoʻllash orqali qulayroqdir. . Bundan biz tekisliklarning normal tenglamalari bir necha bosqichda olinishini olamiz.
3-misol
Koordinatalari M 1 (- 3 , 2 , - 7) boʻlgan berilgan nuqtadan masofani toping. koordinata tekisligi O x y z va tekislik, tenglama bilan berilgan 2 y - 5 = 0.
Yechim
O y z koordinata tekisligi x = 0 ko‘rinishdagi tenglamaga mos keladi. O y z tekisligi uchun bu normal holat. Shuning uchun ifodaning chap tomoniga x = - 3 qiymatlarini qo'yish va M 1 (- 3, 2, - 7) koordinatali nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofaning mutlaq qiymatini olish kerak. Biz - 3 = 3 ga teng qiymatni olamiz.
Transformatsiyadan keyin 2 y - 5 = 0 tekislikning normal tenglamasi y - 5 2 = 0 ko'rinishini oladi. Keyin M 1 (- 3, 2, - 7) koordinatali nuqtadan 2 y - 5 = 0 tekislikgacha bo'lgan kerakli masofani topishingiz mumkin. O'rniga qo'yish va hisoblash, biz 2 - 5 2 = 5 2 - 2 ni olamiz.
Javob: M 1 (- 3, 2, - 7) dan O y z gacha bo'lgan talab qilinadigan masofa 3 qiymatiga ega, 2 y - 5 = 0 esa 5 2 - 2 qiymatiga ega.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topish turli masalalarni yechishda yuzaga keladigan umumiy vazifadir analitik geometriya, masalan, bu masalani kesishuvchi ikkita to'g'ri chiziq orasidagi yoki to'g'ri chiziq bilan unga parallel bo'lgan tekislik orasidagi masofani topishga qisqartirish mumkin.
$b$ tekisligini va $b$ tekisligiga tegishli bo'lmagan $(x_0;y_0; z_0)$ koordinatali $M_0$ nuqtasini ko'rib chiqaylik.
Ta'rif 1
Eng qisqa masofa nuqta va tekislik o'rtasida $M_0$ nuqtadan $b$ tekislikka tushirilgan perpendikulyar bo'ladi.
Shakl 1. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa. Author24 - talabalar ishlarini onlayn almashish
Quyida biz koordinata usuli yordamida nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani qanday topishni ko'rib chiqamiz.
Fazodagi nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishning koordinata usuli formulasini chiqarish
$M_1$ nuqtada $b$ tekislikni $(x_1;y_1; z_1)$ koordinatalari bilan kesishgan $M_0$ nuqtadan perpendikulyar yoʻnalish vektori $b$ tekislikning normal vektori boʻlgan toʻgʻri chiziqda yotadi. Bunda $n$ birlik vektorining uzunligi bittaga teng. Shunga ko'ra, $b$ dan $M_0$ nuqtasigacha bo'lgan masofa quyidagicha bo'ladi:
$r= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, bu yerda $\vec(M_1M_0)$ $b$ tekisligining normal vektori va $\vec( n)$ - ko'rib chiqilayotgan tekislikning normal vektor birligi.
Tekislik tenglamasi berilgan holatda umumiy ko'rinish$Ax+ By + Cz + D=0$, tekislikning normal vektorining koordinatalari $\(A;B;C\)$ tenglamaning koeffitsientlari bo'lib, bu holda birlik normal vektor koordinatalariga ega. quyidagi tenglama:
$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\o'ng)$.
Endi biz $\vec(M_1M_0)$ normal vektorining koordinatalarini topishimiz mumkin:
$\vec(M_0M_1)= \(x_0 - x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\chap (3\o'ng)$.
$D$ koeffitsientini $b$ tekisligida yotgan nuqta koordinatalari yordamida ham ifodalaymiz:
$D= Ax_1+By_1+Cz_1$
$(2)$ tenglikdan birlik normal vektorining koordinatalari $b$ tekisligi tenglamasiga almashtirilishi mumkin, keyin bizda:
$r= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2) +B^2+C^2))\chap(4\o‘ng)$
$(4)$ tengligi fazodagi nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topish formulasidir.
$M_0$ nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishning umumiy algoritmi
- Agar tekislikning tenglamasi umumiy shaklda berilmagan bo'lsa, avval uni umumiy shaklga keltirish kerak.
- Shundan so'ng dan ifodalash kerak umumiy tenglama tekislik, $M_0$ nuqta orqali berilgan tekislikning normal vektori va berilgan tekislikka tegishli nuqta; buning uchun $(3)$ tengligidan foydalanishimiz kerak.
- Keyingi bosqich $(2)$ formulasi yordamida tekislikning normal vektor birligining koordinatalarini izlashdir.
- Nihoyat, nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishni boshlashingiz mumkin, bu $\vec(n)$ va $\vec(M_1M_0)$ vektorlarining skalyar mahsulotini hisoblash yo'li bilan amalga oshiriladi.
