B9 muammosi funksiya yoki hosila grafigini beradi, undan quyidagi miqdorlardan birini aniqlash kerak:
- X 0 nuqtadagi hosilaning qiymati,
- Maksimal yoki minimal ball (ekstremum ball),
- Ortib boruvchi va kamayuvchi funksiyalar intervallari (monotonlik oraliqlari).
Bu masalada keltirilgan funksiyalar va hosilalar doimo uzluksiz bo‘lib, yechimni ancha osonlashtiradi. Vazifa matematik tahlil bo'limiga tegishli bo'lishiga qaramay, hatto eng ko'p zaif talabalar, chunki bu erda chuqur nazariy bilim talab etilmaydi.
Hosil, ekstremum nuqtalar va monotonlik oraliqlarining qiymatini topish uchun oddiy va mavjud universal algoritmlar- ularning barchasi quyida muhokama qilinadi.
Ahmoqona xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun B9 muammosining shartlarini diqqat bilan o'qing: ba'zida siz juda uzun matnlarga duch kelasiz, ammo yechim yo'nalishiga ta'sir qiladigan bir nechta muhim shartlar mavjud.
Hosila qiymatini hisoblash. Ikki nuqta usuli
Agar muammoga f(x) funksiyaning grafigi qaysidir x 0 nuqtasida shu grafaga tangens berilgan bo‘lsa va bu nuqtada hosilaning qiymatini topish talab etilsa, quyidagi algoritm qo‘llaniladi:
- Tangens grafigida ikkita "adekvat" nuqtani toping: ularning koordinatalari butun son bo'lishi kerak. Bu nuqtalarni A (x 1 ; y 1) va B (x 2 ; y 2) deb belgilaymiz. Koordinatalarni to'g'ri yozing - bu yechimdagi asosiy nuqta va bu erda har qanday xato noto'g'ri javobga olib keladi.
- Koordinatalarni bilgan holda, Dx = x 2 − x 1 argumentining ortishi va Dy = y 2 − y 1 funksiyasining o‘sishini hisoblash oson.
- Nihoyat, hosila D = Dy/Dx qiymatini topamiz. Boshqacha qilib aytganda, funktsiyaning o'sishini argumentning o'sishiga bo'lish kerak - va bu javob bo'ladi.
Yana bir bor eslatib o'tamiz: A va B nuqtalarni ko'pincha sodir bo'lganidek f(x) funksiya grafigidan emas, balki aniq tangensdan izlash kerak. Tangens chizig'i majburiy ravishda kamida ikkita bunday nuqtani o'z ichiga oladi - aks holda muammo to'g'ri shakllantirilmaydi.
A (−3; 2) va B (−1; 6) nuqtalarini ko‘rib chiqing va o‘sishlarni toping:
Dx = x 2 - x 1 = -1 - (-3) = 2; Dy = y 2 - y 1 = 6 - 2 = 4.
Hosilaning qiymati topilsin: D = Dy/Dx = 4/2 = 2.
Vazifa. Rasmda y = f(x) funksiyaning grafigi va abtsissa x 0 nuqtada unga teginish ko'rsatilgan. f(x) funksiyaning x 0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.
A (0; 3) va B (3; 0) nuqtalarini ko'rib chiqing, o'sishlarni toping:
Dx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Dy = y 2 - y 1 = 0 - 3 = -3.
Endi hosilaning qiymatini topamiz: D = Dy/Dx = -3/3 = -1.
Vazifa. Rasmda y = f(x) funksiyaning grafigi va abtsissa x 0 nuqtada unga teginish ko'rsatilgan. f(x) funksiyaning x 0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.
A (0; 2) va B (5; 2) nuqtalarini ko'rib chiqing va o'sishlarni toping:
Dx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Dy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.
Hosilaning qiymatini topish qoladi: D = Dy/Dx = 0/5 = 0.
Oxirgi misoldan biz qoidani shakllantirishimiz mumkin: agar tangens OX o'qiga parallel bo'lsa, teginish nuqtasida funktsiyaning hosilasi nolga teng. Bunday holda, siz hatto hech narsani hisoblashingiz shart emas - shunchaki grafikaga qarang.
Maksimal va minimal ballarni hisoblash
Ba'zan B9 masalada funktsiya grafigi o'rniga hosila grafigi beriladi va funksiyaning maksimal yoki minimal nuqtasini topish talab etiladi. Bunday vaziyatda ikki nuqtali usul foydasiz, ammo boshqa, undan ham oddiyroq algoritm mavjud. Birinchidan, terminologiyani aniqlaymiz:
- x 0 nuqtasi f(x) funksiyaning maksimal nuqtasi deyiladi, agar bu nuqtaning qaysidir qo'shnisida quyidagi tengsizlik bajarilsa: f(x 0) ≥ f(x).
- x 0 nuqtasi f(x) funksiyaning minimal nuqtasi deyiladi, agar shu nuqtaning qaysidir qo'shnisida quyidagi tengsizlik bajarilsa: f(x 0) ≤ f(x).
Hosil grafigidan maksimal va minimal nuqtalarni topish uchun quyidagi amallarni bajaring:
- Barcha keraksiz ma'lumotlarni olib tashlagan holda lotin grafigini qayta chizing. Amaliyot shuni ko'rsatadiki, keraksiz ma'lumotlar faqat qaror qabul qilishga xalaqit beradi. Shuning uchun biz koordinata o'qida lotinning nollarini belgilaymiz - va bu.
- Nollar orasidagi intervallardagi hosila belgilarini toping. Agar biron bir x 0 nuqtasi uchun f'(x 0) ≠ 0 ekanligi ma'lum bo'lsa, u holda faqat ikkita variant mumkin: f'(x 0) ≥ 0 yoki f'(x 0) ≤ 0. Hosilning belgisi: dastlabki chizmadan aniqlash oson: hosilaviy grafik OX oʻqidan yuqorida joylashgan boʻlsa, u holda f'(x) ≥ 0. Va aksincha, hosila grafik OX oʻqi ostida joylashgan boʻlsa, f'(x) ≤ 0 boʻladi.
- Biz lotinning nollarini va belgilarini yana tekshiramiz. Belgining minusdan plyusga o'zgarishi minimal nuqtadir. Aksincha, lotin belgisi ortiqcha dan minusga o'zgartirilsa, bu maksimal nuqtadir. Hisoblash har doim chapdan o'ngga amalga oshiriladi.
Ushbu sxema faqat uzluksiz funktsiyalar uchun ishlaydi - B9 muammosida boshqalar yo'q.
Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−5 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko'rsatilgan; 5]. f(x) funksiyaning shu segmentdagi minimal nuqtasini toping.
Keling, keraksiz ma'lumotlardan xalos bo'laylik va faqat chegaralarni qoldiramiz [−5; 5] va hosila nollari x = -3 va x = 2,5. Shuningdek, biz belgilarga e'tibor qaratamiz:
Shubhasiz, x = −3 nuqtada hosilaning belgisi minusdan plyusga o'zgaradi. Bu minimal nuqta.
Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−3 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko'rsatilgan; 7]. f(x) funksiyaning shu segmentdagi maksimal nuqtasini toping.
Keling, faqat chegaralarni qoldirib, grafikni qayta chizamiz [−3; 7] va hosila nollari x = −1.7 va x = 5. Hosil boʻlgan grafikdagi hosilaning belgilarini qayd qilaylik. Bizda ... bor:
Shubhasiz, x = 5 nuqtada lotin belgisi ortiqcha dan minusga o'zgaradi - bu maksimal nuqta.
Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−6 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko'rsatilgan; 4]. f(x) funksiyaning [−4” segmentiga tegishli maksimal nuqtalari sonini toping; 3].
Masalaning shartlaridan kelib chiqadiki, grafikning faqat segment bilan chegaralangan qismini ko'rib chiqish kifoya [−4; 3]. Shuning uchun biz yangi grafik quramiz, unda biz faqat chegaralarni belgilaymiz [-4; 3] va uning ichidagi hosilaning nollari. Ya'ni, x = -3,5 va x = 2 nuqtalari. Biz quyidagilarni olamiz:
Bu grafikda faqat bitta maksimal nuqta x = 2. Aynan shu nuqtada hosilaning belgisi ortiqcha dan minusga o'zgaradi.
Butun son bo'lmagan koordinatali nuqtalar haqida kichik eslatma. Masalan, oxirgi masalada x = -3,5 nuqtasi ko'rib chiqildi, ammo xuddi shu muvaffaqiyat bilan biz x = -3,4 ni olishimiz mumkin. Agar muammo to'g'ri tuzilgan bo'lsa, bunday o'zgarishlar javobga ta'sir qilmasligi kerak, chunki "belgilangan yashash joyisiz" nuqtalar muammoni hal qilishda bevosita ishtirok etmaydi. Albatta, bu hiyla butun sonlar bilan ishlamaydi.
O'sish va kamayuvchi funktsiyalarning intervallarini topish
Bunday masalada maksimal va minimal nuqtalar kabi, funktsiyaning o'zi ortib yoki kamayadigan sohalarni topish uchun hosilaviy grafikdan foydalanish taklif etiladi. Birinchidan, o'sish va kamayish nima ekanligini aniqlaymiz:
- Agar ushbu segmentning istalgan ikkita x 1 va x 2 nuqtalari uchun quyidagi fikr to'g'ri bo'lsa, f(x) funksiya segmentda ortib borayotgan deyiladi: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Boshqacha qilib aytganda, argument qiymati qanchalik katta bo'lsa, funktsiya qiymati shunchalik katta bo'ladi.
- Agar ushbu segmentdagi x 1 va x 2 nuqtalar uchun quyidagi fikr to'g'ri bo'lsa, f(x) funksiya segmentda kamayuvchi deyiladi: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Bular. Kattaroq argument qiymati kichikroq funktsiya qiymatiga mos keladi.
Keling, shakllantiramiz etarli sharoitlar ko'tarilish va pasayish:
- Uzluksiz f(x) funksiya segmentda ortishi uchun uning segment ichidagi hosilasi musbat bo'lishi kifoya, ya'ni. f’(x) ≥ 0.
- Uzluksiz f(x) funksiya segmentida kamayishi uchun uning segment ichidagi hosilasi manfiy bo'lishi kifoya, ya'ni. f’(x) ≤ 0.
Keling, bu gaplarni dalilsiz qabul qilaylik. Shunday qilib, biz o'sish va pasayish intervallarini topish sxemasini olamiz, bu ko'p jihatdan ekstremum nuqtalarni hisoblash algoritmiga o'xshaydi:
- Barcha keraksiz ma'lumotlarni olib tashlang. Hosilning asl grafigida bizni birinchi navbatda funksiyaning nollari qiziqtiradi, shuning uchun biz faqat ularni qoldiramiz.
- Nol orasidagi oraliqda hosilaning belgilarini belgilang. f’(x) ≥ 0 bo’lgan joyda funksiya ortadi, f’(x) ≤ 0 bo’lsa, u kamayadi. Agar muammo x o'zgaruvchisiga cheklovlar qo'ygan bo'lsa, biz ularni qo'shimcha ravishda yangi grafikda belgilaymiz.
- Endi biz funktsiyaning xatti-harakati va cheklovlarni bilganimizdan so'ng, muammoda talab qilinadigan miqdorni hisoblash qoladi.
Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−3 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko'rsatilgan; 7.5]. f(x) funksiyaning kamayish oraliqlarini toping. Javobingizda ushbu intervallarga kiritilgan butun sonlar yig'indisini ko'rsating.
Odatdagidek, grafikni qayta chizamiz va chegaralarni belgilaymiz [−3; 7.5], shuningdek x = -1.5 va x = 5.3 hosilasining nollari. Keyin hosila belgilarini qayd etamiz. Bizda ... bor:
(− 1,5) oraliqda hosila manfiy bo‘lgani uchun bu funksiya kamayuvchi intervaldir. Bu oraliq ichidagi barcha butun sonlarni yig'ish uchun qoladi:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Vazifa. Rasmda [−10 oraliqda aniqlangan f(x) funksiya hosilasining grafigi ko'rsatilgan; 4]. f(x) funksiyaning ortish oraliqlarini toping. Javobingizda ulardan eng kattasining uzunligini ko'rsating.
Keling, keraksiz ma'lumotlardan xalos bo'laylik. Keling, faqat chegaralarni qoldiramiz [−10; 4] va hosilaning nollari, bu safar ulardan to‘rttasi bor edi: x = −8, x = −6, x = −3 va x = 2. Hosilning belgilarini belgilaymiz va quyidagi rasmni olamiz:
Biz funktsiyani oshirish intervallari bilan qiziqamiz, ya'ni. f’(x) ≥ 0. Grafikda ikkita shunday interval mavjud: (−8; −6) va (−3; 2). Keling, ularning uzunligini hisoblaylik:
l 1 = - 6 - (-8) = 2;
l 2 = 2 - (−3) = 5.
Intervallarning eng kattasining uzunligini topishimiz kerakligi sababli, javob sifatida l 2 = 5 qiymatini yozamiz.
Sergey Nikiforov
Agar funktsiyaning hosilasi oraliqda doimiy ishorali bo‘lsa va funksiyaning o‘zi uning chegaralarida uzluksiz bo‘lsa, u holda chegara nuqtalari o‘sish va kamayuvchi oraliqlarga ham qo‘shiladi, bu esa o‘suvchi va kamayuvchi funksiyalarning ta’rifiga to‘liq mos keladi.
Farit Yamaev 26.10.2016 18:50
Salom. Qanday qilib (qaysi asosda) hosila nolga teng bo'lgan nuqtada funktsiya kuchayadi deb aytish mumkin. Sabablarini keltiring. Aks holda, bu kimningdir injiqligi. Qaysi teorema bo'yicha? Va shuningdek, dalil. Rahmat.
Qo'llab-quvvatlash xizmati
Nuqtadagi hosilaning qiymati oraliqda funktsiyaning ortishi bilan bevosita bog'liq emas. Masalan, funktsiyalarni ko'rib chiqing - ularning barchasi intervalgacha ortib bormoqda
Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21
Agar funktsiya (a;b) oralig'ida ortib borayotgan bo'lsa va a va b nuqtalarda aniqlangan va uzluksiz bo'lsa, u oraliqda ortib bormoqda. Bular. x=2 nuqta bu intervalga kiritilgan.
Garchi, qoida tariqasida, o'sish va pasayish segmentda emas, balki intervalda ko'rib chiqiladi.
Lekin x=2 nuqtaning o'zida funktsiya mahalliy minimumga ega. Va bolalarga o'sish (kamayish) nuqtalarini qidirganda, biz mahalliy ekstremum nuqtalarini hisoblamaymiz, balki o'sish (kamayish) oraliqlariga kirishimizni qanday tushuntirish kerak.
Shuni hisobga olib, birinchi Yagona davlat imtihonining bir qismi Uchun " o'rta guruh bolalar bog'chasi", keyin, ehtimol, bunday nuances juda ko'p.
Alohida, katta rahmat barcha xodimlarga "Yagona davlat imtihonini hal qilish" uchun - ajoyib foyda.
Sergey Nikiforov
Agar biz o'sish/kamayuvchi funksiya ta'rifidan boshlasak, oddiy tushuntirishni olish mumkin. Sizga shuni eslatib o'tamanki, bu shunday eshitiladi: agar funktsiyaning kattaroq argumenti funktsiyaning kattaroq/kichik qiymatiga to'g'ri kelsa, funktsiya intervalda ortish/kamayish deyiladi. Ushbu ta'rifda hosila tushunchasidan hech qanday tarzda foydalanilmaydi, shuning uchun hosila yo'qolgan nuqtalar haqida savollar tug'ilishi mumkin emas.
Irina Ishmakova 20.11.2017 11:46
Hayrli kun. Bu erda sharhlarda men chegaralarni kiritish kerak degan e'tiqodlarni ko'raman. Aytaylik, men bunga qo'shilaman. Iltimos, 7089-muammoning yechimiga qarang. U yerda ortib borayotgan intervallarni belgilashda chegaralar kiritilmaydi. Va bu javobga ta'sir qiladi. Bular. 6429 va 7089-sonli vazifalarning yechimlari bir-biriga zid. Iltimos, ushbu holatga oydinlik kiriting.
Aleksandr Ivanov
6429 va 7089-topshiriqlar butunlay boshqacha savollarga ega.
Ulardan biri ortib borayotgan intervallar haqida, ikkinchisi esa ijobiy hosilali intervallar haqida.
Hech qanday qarama-qarshilik yo'q.
Ekstrema ortish va kamayish oraliqlariga kiradi, lekin hosila nolga teng bo'lgan nuqtalar hosila ijobiy bo'lgan intervallarga kiritilmaydi.
A Z 28.01.2019 19:09
Hamkasblar, bir nuqtada oshirish tushunchasi bor
(masalan, Fichtenholtzga qarang)
va x = 2 da o'sish haqidagi tushunchangiz klassik ta'rifga ziddir.
O'sish va kamayish - bu jarayon va men ushbu tamoyilga amal qilishni xohlayman.
X=2 nuqtasini o'z ichiga olgan har qanday oraliqda funktsiya o'smaydi. Shuning uchun berilgan x=2 nuqtani kiritish maxsus jarayondir.
Odatda, chalkashmaslik uchun intervallarning uchlarini kiritish alohida muhokama qilinadi.
Aleksandr Ivanov
Agar bu oraliqdagi argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kattaroq qiymatiga mos kelsa, y=f(x) funksiya ma’lum oraliqda ortib borayotgan deyiladi.
x=2 nuqtada funktsiya differentsiallanadi va (2; 6) oraliqda hosila musbat, ya'ni intervalda )
