Standart kursda maktab matematika funksiyalarning xossalari asosan ularning grafiklarini qurish uchun ishlatiladi. Tenglamalarni yechishning funksional usuli faqat va faqat o‘zgaruvchilarni o‘zgartirish yoki almashtirish natijasida F(x) = G(x) tenglamani ma’lum bir yechim algoritmiga ega bo‘lgan u yoki bu standart tenglamaga keltirish mumkin bo‘lmaganda qo‘llaniladi.
Grafik usuldan farqli o'laroq, funksiyalarning xossalarini bilish funksiyalar grafiklarini qurishga hojat qoldirmasdan, tenglamaning aniq ildizlarini topish imkonini beradi. Funksiyalarning xossalaridan foydalanish tenglamalar yechimini ratsionallashtirishga yordam beradi.
Ishda funksiyaning quyidagi xossalari ko'rib chiqiladi: funksiyani aniqlash sohasi; funktsiya diapazoni; funksiyaning monotonlik xossalari; funksiyaning qavariqlik xossalari; juft va toq funksiyalarning xossalari.
Ishning maqsadi: nostandart tenglamalarni ulardan foydalanishga ko'ra ba'zi tasniflashni amalga oshirish umumiy xususiyatlar funktsiyalari, har bir mulkning mohiyatini tavsiflash, undan foydalanish bo'yicha tavsiyalar, foydalanish bo'yicha ko'rsatmalar berish.
Barcha ishlar turli yillarda Yagona davlat imtihonida taklif qilingan aniq muammolarni hal qilish bilan birga keladi.
1-bob. Funktsiyani aniqlash sohasi tushunchasidan foydalanish.
Keling, bir nechta asosiy ta'riflarni keltiramiz.
y = f(x) funktsiyasini aniqlash sohasi x o'zgaruvchisining qiymatlari to'plami bo'lib, u uchun funktsiya mantiqiy bo'ladi.
f(x) = g(x) tenglama berilsin, bunda f(x) va g(x) elementar funktsiyalar, D1, D2 to'plamlarida aniqlangan. Keyin tenglamaning ruxsat etilgan qiymatlarining D hududi ikkala to'plamga tegishli bo'lgan x ning qiymatlaridan tashkil topgan to'plam bo'ladi, ya'ni D = D1∩ D2. Ko'rinib turibdiki, D to'plami bo'sh bo'lsa (D= ∅), u holda tenglamaning yechimlari yo'q. (1-ilova).
1. arksin (x+2) +2x- x2 = x-2.
ODZ: -1 =0⇔-3
Javob: hech qanday yechim yo'q.
2. (x2-4x+3 +1)log5x5 + 1x(8x-2x2-6 + 1) = 0.
ODZ: x2-4x+3>=0,x>0,8x-2x2-6>=0⇔x∈(-infinity;1∪ 3;infinity),x>01
Tekshiring: x = 1.
(1-4+3 +1)log515 + (8-2-6 + 1) = 0,
0 = 0 - to'g'ri.
x = 3. (9-12+3+1)log535 +13(24-18-6+1) = 0, log535 +13 = 0 - noto'g'ri.
Ko'pincha funktsiyani aniqlashning butun sohasini emas, balki faqat uning kichik to'plamini hisobga olish kifoya qiladi, bunda funktsiya ma'lum shartlarni qondiradigan qiymatlarni oladi (masalan, faqat manfiy bo'lmagan qiymatlar).
1. x+27-x(x-9 +1) = 1.
ODZ: x-9>=0, x>=9.
x>=9 x+2>0 uchun, 7-x 0, demak, tenglamaning chap tomonidagi uchta omilning ko'paytmasi manfiy, o'ng tomoni esa musbat bo'ladi, ya'ni tenglamaning hech qanday ko'paytmasi yo'q. yechimlar.
Javob: ∅.
2. 3-x2+ x+2 = x-2.
ODZ: 3-x2>=0,x+2>=0,⇔ 3-x(3+x)>=0,x>=-2,⇔ -3=-2,⇔
Ruxsat etilgan qiymatlar to'plamida tenglamaning chap tomoni ijobiy, o'ng tomoni esa manfiy, ya'ni tenglamaning yechimlari yo'q.
Javob: hech qanday yechim yo'q.
2-bob. Funktsiyalar diapazoni tushunchasidan foydalanish.
y = f(x) funktsiyasi qiymatlari diapazoni y o'zgaruvchisining qiymatlari to'plamidir qabul qilinadigan qiymatlar o'zgaruvchan x.
y = f(x) funksiya X to‘plamda quyida (yuqorida) chegaralangan deyiladi, agar M soni mavjud bo‘lsa, shundayki fx>=M tengsizlik X da (fx javobi) bajariladi.
y = f(x) funktsiya ma'lum oraliqda (uning ta'rif sohasida mavjud) cheklangan deb ataladi, agar M > 0 soni bo'lsa, bu oraliqga tegishli argumentning barcha qiymatlari uchun f(x) tengsizlik bo'ladi. ) ushlab turadi
f(x) = g(x) tenglama berilsin, bunda g(x) D1, D2 to’plamlarda aniqlangan elementar funksiyalardir. Bu funksiyalarning o‘zgaruvchanlik diapazonini mos ravishda E1 va E2 deb belgilaymiz. Agar x1 tenglamaning yechimi bo‘lsa, u holda f(x1) = g(x1) sonli tenglik o‘rinli bo‘ladi, bunda f(x1) f(x) funksiyaning x = x1 va g(x1) qiymatidir. g(x) funksiyaning x = x1 da qiymati. Demak, agar tenglama yechimga ega bo‘lsa, f(x) va g(x) funksiyalar diapazonlari umumiy elementlarga ega (E1∩E2 !=∅). Agar E1 va E2 to'plamlarida bunday umumiy elementlar bo'lmasa, tenglamaning yechimlari yo'q.
Asosiy tengsizliklar ifodalarni baholash uchun ishlatiladi. (2-ilova).
f(x) = g(x) tenglama berilsin. Agar f(x)>=0 va g(x)
1. x2+2xsinxy+1=0.
Yechim. Chap tomonda birlik mavjud, ya'ni siz asosiydan foydalanishingiz mumkin trigonometrik identifikatsiya: x2+ 2xsinxy+ sin2xy+cos2xy=0.
Birinchi uchta hadning yig'indisi mukammal kvadratdir:
(x+sinxy)2+cos2xy =0.
Shunday qilib, chap tomonda kvadratchalar yig'indisi joylashgan; kvadratlardagi ifodalar bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lsa, u nolga teng. Sistemani yozamiz: cosxy=0,x+sinxy=0.
Agar cosxy=0 boʻlsa, sinxy= +-1, demak, bu sistema ikki sistemaning kombinatsiyasiga ekvivalent boʻladi: x+1=0,cosxy=0 yoki x-1=0,cosxy=0.
Ularning yechimlari x=1, y = PI 2 + PIm, m∈Z va x=-1, y = PI 2 + PIm, m∈Z sonlar juftligidir.
Javob: x=1, y = PI 2 + PIm, m∈Z va x=-1, y = PI 2 + PIm, m∈Z.
Agar X oralig'ida bo'lsa eng yuqori qiymat y = f(x), y = g(x) funksiyalardan biri A va ga teng eng kichik qiymat boshqa funksiya ham A ga teng bo’lsa, f(x) = g(x) tenglama X oraliqda fx=A, gx=A tenglamalar sistemasiga ekvivalent bo’ladi.
1. Tenglama yechimga ega bo'lgan a ning barcha qiymatlarini toping
2cos222x-x2=a+3sin(22x-x2+1).
t= 22x-x2 almashtirilgandan keyin cos(2t+PI3)=a-12 tenglamaga kelamiz.
t=2m funksiya ortadi, ya’ni u m ning eng yuqori qiymatida eng katta qiymatiga etadi. Lekin m=2x - x 1 ga teng eng katta qiymatga ega.U holda tmax = 22·1-1=2. Shunday qilib, t = 22x-x2 funksiya qiymatlari to'plami (0;2) oraliq, cos(2t+PI3) funksiyasi esa -1;0,5 oraliqdir. Demak, asl tenglama a ning tengsizliklarni qanoatlantiradigan va faqat shu qiymatlari uchun yechimga ega -1Javob: -12. (log23)x+a+2 = (log94)x2+a2-6a-5 tenglamasini yeching.
Aniq tengsizliklardan foydalanish
Javob: a=1+32 bo'lsa x= - 5+32 va a= 1-32 bo'lsa x=-5+32.
Boshqa tenglamalarni batafsil ko'rib chiqishingiz mumkin. (3-ilova).
3-bob. Funksiyaning monotonlik xususiyatidan foydalanish.
y = f(x) funktsiyasi X to'plamida ortib borayotgan (mos ravishda kamayuvchi) deyiladi, agar bu to'plamda argument oshgani sayin funktsiya qiymatlari ortadi (mos ravishda kamayadi).
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, y = f(x) funksiya agar x1∈X, x2∈X va x1 dan bo'lsa, X to'plamda ortadi, agar x1∈X, x2∈X va x1 f(x2) dan bo'lsa, bu to'plamda kamayadi.
Agar x1∈X, x2∈X va x1=f(x2) bo'lsa, y = f(x) funksiya X da qat'iy o'smaydigan (mos ravishda, qat'iy kamaymaydigan) deyiladi.
X da ortib, kamayib boruvchi funksiyalar X da monoton, X da qat’iy ortib bormaydigan yoki kamayuvchi funksiyalar X da qat’iy monoton deb ataladi.
Funktsiyalarning monotonligini isbotlash uchun quyidagi iboralar qo'llaniladi:
1. Agar f funktsiya X to'plamda ortib borsa, u holda ixtiyoriy C soni uchun f + C funksiyasi ham X to'plamda ortadi.
2. Agar f funktsiya X to'plamda ortib borsa va C > 0 bo'lsa, Cf funksiyasi ham X to'plamda ortadi.
3. Agar X to‘plamda f funksiya ortib ketsa, bu to‘plamda - f funksiya kamayadi.
4. Agar f funktsiya X to'plamda ortib, X to'plamda belgini saqlab tursa, u holda 1f funksiya bu to'plamda kamayadi.
5. Agar X to‘plamda f va g funksiyalar ortib borsa, bu to‘plamda ularning f+g yig‘indisi ham ortadi.
6. Agar f va g funksiyalar X to‘plamda ortib borayotgan va manfiy bo‘lmagan bo‘lsa, ularning fg ko‘paytmasi X da ham ortib boradi.
7. Agar f funktsiya X va n to'plamda ortib borayotgan va manfiy bo'lmagan bo'lsa - natural son, u holda fn funksiyasi ham X ga ortadi.
8. Agar f(x) va g(x) funksiyalarning ikkalasi ham ortib borayotgan yoki ikkalasi ham kamayib borayotgan bo‘lsa, h(x) = f(g(x)) funksiya ortib boruvchi funktsiyadir. Funktsiyalardan biri ortib borayotgan bo'lsa. Boshqasi esa kamayib boruvchi, u holda h(x) = f(g(x)) kamayuvchi funktsiyadir.
Keling, tenglamalar haqidagi teoremalarni tuzamiz.
Teorema 1.
Agar f(x) funksiya X oraliqda monoton bo‘lsa, f(x) = C tenglama X oralig‘ida ko‘pi bilan bitta ildizga ega bo‘ladi.
Teorema 2.
Agar f(x) funksiya X oraliqda monoton bo‘lsa, f(g(x)) = f(h(x)) tenglama X oraliqda g(x) = h(x) tenglamaga ekvivalent bo‘ladi. .
Teorema 3.
Agar f(x) funksiya X oraliqda ortib, g(x) X oraliqda kamaysa, g(x) = f(x) tenglama X oralig’ida ko’pi bilan bitta ildizga ega bo’ladi.
Teorema 4.
Agar f(x) funksiya X oraliqda ortib ketsa, f(f(x)) = x tenglama X intervalda f(x) = x tenglamaga ekvivalentdir.
1. Tenglama aniq uchta ildizga ega bo'lgan a ning barcha qiymatlarini toping
4-x-alog3(x2-2x+3)+2-x2+2xlog13(2x-a+2)=0.
Yechim. Keling, bu tenglamani shaklga aylantiramiz
2x2-2xlog3(x2-2x+3)= 22x-a-1log3(2x-a+2).
Agar u = x2-2x, v=2x-a-1 qo'ysak, tenglamaga erishamiz.
2ulog3(u+3)= 2vlog3(v+3).
f (t) = 2tlog3(t+3) funktsiyasi t >-2 uchun monoton ravishda ortadi, shuning uchun oxirgi tenglamadan u = v, x2-2x = 2x-a-1⇔(x-1) ekvivalentiga o'tishimiz mumkin. )2=2x -a.
Ushbu tenglama, rasmdan ko'rinib turibdiki, quyidagi hollarda aniq uchta ildizga ega:
1. y = 2x-a funksiya grafigining cho qqisi a = 1 ga mos keladigan y = (x-1)2 parabolaning tepasida joylashgan;
2. y = 2x-a grafigining chap nuri parabolaga tegadi, o‘ng nuri esa uni ikki nuqtada kesib o‘tadi; bu a=12 bilan mumkin;
3. a=32 bo‘lganda sodir bo‘ladigan parabolani o‘ng nur tegib, chap nur esa kesib o‘tadi.
Keling, ikkinchi holatni tushuntirib beraylik. Chap nurning tenglamasi y = 2a-2x, uning qiyalik-2 ga teng. Shuning uchun parabolaga tegishning burchak koeffitsienti teng
2(x -1) = -2 ⇒ x = 0 va tangens nuqtasi koordinatalariga (0; 1) ega. Bu nuqta nurga tegishli bo'lgan shartdan a=12 ni topamiz.
Uchinchi holat xuddi shunday yoki simmetriya mulohazalari yordamida ko'rib chiqilishi mumkin.
Javob: 0,5; 1;1.5.
Boshqa tenglamalarni batafsilroq ko'rib chiqishimiz mumkin. (4-ilova).
4-bob. Qavariqlik xossalaridan foydalanish.
X oraliqda f(x) funksiya aniqlansin, agar X dan har qanday u va v uchun u!=v va 0 bo‘lsa, u X da qat’iy qavariq pastga (yuqoriga) deyiladi.
Geometrik jihatdan bu shuni anglatadiki, BC akkordning istalgan nuqtasi (ya'ni, B(u;f(u)) va C(v;f(v)) nuqtalarda uchlari bo'lgan segment, B va C nuqtalardan farqli, yuqorida yotadi. (pastda) nuqta Va bir xil argument qiymatiga mos keladigan f(x) funksiyasining grafigi (5-ilova).
Yuqoriga va pastga qat'iy konveks bo'lgan funktsiyalar qat'iy konveks deb ataladi.
Quyidagi bayonotlar haqiqatdir.
Teorema 1.
f(x) funksiya X, u ,v ∈X, u oraliqda qat’iy pastga qarab qavariq bo‘lsin.
Quyidagi bayonot 1-teoremadan kelib chiqadi.
Teorema 2.
Agar f(x) funksiya X oralig’ida qat’iy qavariq bo’lsa, u = u(x), v = v(x), u1=u1(x), v1 = v1(x) funksiyalar shunday bo’ladiki, barcha x uchun. ODZ tenglamalaridan f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (1) ularning u(x), v(x), u1(x), v1(x) qiymatlari X tarkibidagi va u sharti +v = u1 +v1 bajarilgan bo‘lsa, ODZdagi f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (2) tenglama quyidagi to‘plamga ekvivalent bo‘ladi. tenglamalar u (x) = u1(x), u(x) = v1(x) (3).
1. 41-sin4x+41-cos4x=412.
Yechim. Agar fx= 41-x2, u=cos2x, v=sin2x, u1=v1=12 deb belgilansa, bu tenglama (1) ko'rinishda yoziladi. f"x= -x24(1-x2)3, f""x=-2+x244(1-x2)7 bo'lgani uchun fx funksiyasi -1;1 segmentida qat'iy yuqoriga qavariq bo'ladi. Shubhasiz, qolgan shartlar 2-teorema bajariladi va shuning uchun tenglama cos2x = 0,5, x = PI4 +PIk2 tenglamasiga ekvivalent bo'ladi, bu erda k∈Z.
Javob: x = PI4 +PIk2, bu yerda k∈Z.
Teorema 3.
fx funksiyasi X va u,v, lv+(1-l)u∈X oralig’ida qat’iy qavariq bo’lsin. U holda f (lv+(1-l)u) = lf(v)+(1-l)f(u) (4) tenglik u=v yoki l=0 yoki l=1 bo‘lgandagina to‘g‘ri bo‘ladi. .
Misollar: sin2xcos3x+cos2xsin3x∙1+sin2xcos3x+cos2xsin3x= sin2xcos3x1+cos3x+cos2xsin3x1+sin3x.
Tenglama fx=x1+x= x+x2, u=sin3x, v= cos3x, l=sin2x bo'lsa, (4) ko'rinishga ega.
Ko'rinib turibdiki, fx funksiyasi R bo'yicha qat'iy ravishda pastga qavariq bo'ladi. Shuning uchun 3-teorema bo'yicha dastlabki tenglama sinx=0, sin2x=1, cos3x=sin3x tenglamalar to'plamiga ekvivalent bo'ladi.
Bu yerdan uning yechimlari PIk2, PI12+PIn3 bo'lishini bilib olamiz, bu erda k,n∈Z.
Javob: PIk2, PI12+PIn3, bu yerda k,n∈Z.
Qavariqlik xususiyatlaridan foydalanish yechishda va boshqalarda qo'llaniladi murakkab tenglamalar. (6-ilova).
5-bob. Funksiyalarning juft yoki toq xossalaridan foydalanish.
Agar funktsiyaning aniqlanish sohasidan olingan har qanday x qiymati uchun - x qiymati ham aniqlash sohasiga tegishli bo'lsa ham fx funksiya chaqiriladi va f-x = fx tengligi bajariladi. Agar funktsiyaning aniqlanish sohasidan olingan har qanday x qiymati uchun - x qiymati ham aniqlash sohasiga tegishli bo'lsa va f-x = - fx tengligi bajarilsa, fx funksiya toq deyiladi.
Ta'rifdan kelib chiqadiki, juft va toq funksiyalarning sohalari nolga nisbatan simmetrikdir (zarur shart).
Ta'rif sohasidagi argumentning har qanday ikkita simmetrik qiymati uchun juft funktsiya teng bo'ladi raqamli qiymatlar, va toq - teng mutlaq qiymat, lekin qarama-qarshi belgi.
Teorema 1.
Ikki juft funksiyaning yig‘indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi va qismi juft funksiyadir.
Teorema 2.
Ikki toq funksiyaning mahsuloti va qismi hatto funktsiyalar.
F(x)=0 tenglamaga ega bo'lsin, bu erda F(x) juft yoki toq funksiyadir.
F(x) = 0 tenglamani yechish uchun, bu yerda F(x) juft yoki toq funksiya, olinganlarga simmetrik bo‘lgan musbat (yoki manfiy) ildizlarni topish kifoya, va g'alati funktsiya agar bu qiymat F(x) domenida bo'lsa, ildiz x = 0 bo'ladi. Juft funksiya uchun x = 0 qiymati tenglamaga bevosita almashtirish orqali tekshiriladi.
Bizda tenglamaning har ikki tomonida ham funksiyalar mavjud. Shuning uchun x>=0 uchun yechimlarni topish kifoya. x=0 tenglamaning ildizi bo'lmagani uchun ikkita intervalni ko'rib chiqing: (0;2, 2; cheksizlik.
a) (0;2) oraliqda bizda:
8x= 2x+2-x+2, 23x=24, x= 43.
b) 2; cheksizlik oralig'ida bizda:
8x= 2x+2+x-2,23x=22x, x=0.
Lekin x = 0 tenglamaning ildizi bo'lmagani uchun, x>0 uchun bu tenglamaning ildizi x = 43. U holda x = - 43 ham tenglamaning ildizi bo'ladi.
Javob: 43; - 43.
Muallifning fikriga ko'ra, asardan o'qituvchilar va umumiy ta'lim turlari o'quvchilari foydalanishlari mumkin darsdan tashqari mashg'ulotlar, tayyorlanmoqda Matematik olimpiadalar, yagona davlat imtihonidan o'tish, kirish imtihonlari texnik maktablarga.
Maqsad: misol yordamida funksional-grafik usullar yordamida ZNO masalalarini ko'rib chiqing eksponensial funktsiya y = a x, a>0, a1
Dars maqsadlari:
ko‘rsatkichli funksiyaning monotonlik va cheklanganlik xossasini takrorlash;
transformatsiyalar yordamida funksiya grafiklarini qurish algoritmini takrorlash;
formulalar turi va grafik yordamida funktsiyaning ko'plab qiymatlari va ko'plab ta'riflarini toping;
qaror eksponensial tenglamalar, funksiyalarning grafiklari va xossalari yordamida tengsizliklar va tizimlar.
modulli funksiya grafiklari bilan ishlash;
grafiklarga qarang murakkab funktsiya va ularning qiymatlari diapazoni;
1. O`qituvchining kirish so`zi. Ushbu mavzuni o'rganish uchun motivatsiya
Slayd 1 Eksponensial funktsiya. “Tenglama va tengsizliklarni echishning funktsional-grafik usullari”
Funksional-grafik usul grafik illyustratsiyalardan foydalanishga, funksiya xossalarini qo‘llashga asoslangan bo‘lib, matematikaning ko‘pgina masalalarini yechish imkonini beradi.
Slayd 2 Darsning maqsadlari
Bugun biz y = a x, a>o, a1 ko'rsatkichli funksiya misolida funksional-grafik usullardan foydalangan holda turli darajadagi murakkablikdagi ZNO masalalarini ko'rib chiqamiz. Grafik dastur yordamida biz muammolar uchun illyustratsiyalar yaratamiz.
Slayd 3 Nima uchun eksponensial funktsiyaning xususiyatlarini bilish juda muhim?
Eksponensial funktsiya qonuniga ko'ra, agar buning uchun qulay sharoitlar mavjud bo'lsa, Yerdagi barcha tirik mavjudotlar ko'payadi, ya'ni. tabiiy dushmanlar yo'q edi va oziq-ovqat ko'p edi. Buning isboti - Avstraliyada ilgari bo'lmagan quyonlarning tarqalishi. Bir nechta odamni ozod qilish kifoya edi va bir muncha vaqt o'tgach, ularning avlodlari milliy falokatga aylandi.
Tabiatda, texnologiyada va iqtisodiyotda ko'p sonli jarayonlar mavjud bo'lib, ular davomida miqdorning qiymati bir xil sonda o'zgaradi, ya'ni. ko'rsatkichli funktsiya qonuniga ko'ra. Bu jarayonlar jarayonlar deb ataladi organik o'sish yoki organik zaiflashuv.
Masalan, bakterial o'sish ideal sharoitda organik o'sish jarayoniga mos keladi; moddalarning radioaktiv parchalanishi- organik zaiflashuv jarayoni.
Organik o'sish qonunlariga bo'ysunadi depozitning o'sishi jamg'arma bankida, gemoglobinni tiklash donor yoki ko'p qon yo'qotgan yaradorning qonida.
Misollaringizni keltiring
Ilova ichida haqiqiy hayot(dorilar dozasi).
Har bir inson shifokor tomonidan davolanish uchun tavsiya etilgan tabletkalarni kuniga bir necha marta olish kerakligini biladi, aks holda ular samarasiz bo'ladi. Qonda doimiy kontsentratsiyani saqlab qolish uchun preparatni qayta qo'llash zarurati organizmda yuzaga keladigan preparatni yo'q qilishdan kelib chiqadi. Rasmda ko'p hollarda odam yoki hayvonning qonidagi dorilar kontsentratsiyasi bir marta qabul qilingandan keyin qanday o'zgarishi ko'rsatilgan. Slayd 4.
Dori kontsentratsiyasining pasayishini ko'rsatkichi vaqtni o'z ichiga olgan eksponensial bilan taxmin qilish mumkin. Shubhasiz, organizmdagi preparatni yo'q qilish tezligi metabolik jarayonlarning intensivligiga mutanosib bo'lishi kerak.
Ushbu qaramlikni bilmaslik tufayli sodir bo'lgan bir fojiali holat mavjud. BILAN ilmiy nuqta Oddiy odamlarda o'ziga xos gallyutsinatsiyalarni keltirib chiqaradigan LSD preparati psixiatrlar va neyrofiziologlar uchun juda qiziq. Ba'zi tadqiqotchilar filning ushbu preparatga reaktsiyasini o'rganishga qaror qilishdi. Buning uchun ular mushuklarning g'azabini qo'zg'atadigan LSD miqdorini oldilar va uni filning massasi mushukning massasidan necha marta ko'paytirildi, chunki kiritilgan dori dozasi massaga to'g'ridan-to'g'ri proportsional bo'lishi kerak, deb hisoblashdi. hayvonning. LSD ning bunday dozasini filga yuborish uning 5 daqiqa ichida o'limiga olib keldi, shundan mualliflar fillar ushbu preparatga o'ta sezgir degan xulosaga kelishdi. Keyinchalik matbuotda paydo bo'lgan ushbu ishning sharhi uni eksperiment mualliflarining "filga o'xshash xatosi" deb atagan.
2. Talabalar bilimini yangilash.
Funktsiyani o'rganish nimani anglatadi? (ta'rifni shakllantirish, xususiyatlarni tavsiflash, grafikni chizish)
Qanday funktsiya eksponensial deb ataladi? Misol keltiring.
Ko‘rsatkichli funksiyaning qanday asosiy xossalarini bilasiz?
Ahamiyat doirasi (cheklanganlik)
domen
monotonlik (o'sish va pasayish holati)
Slayd 5 . Har xil funktsiya qiymatlarini belgilang (tugagan chizmaga muvofiq)
Slayd 6. Funksiyaning ortishi va kamayishi shartini ayting va funksiya formulasini uning grafigi bilan bog‘lang
Slayd 7. Tugallangan chizmaga asoslanib, funksiya grafiklarini qurish algoritmini tavsiflang
b) y=3 x-2 – 2
3.Diagnostik mustaqil ish(kompyuter yordamida).
Sinf ikki guruhga bo'lingan. Sinfning asosiy qismi test topshiriqlarini bajaradi. Kuchli talabalar murakkabroq vazifalarni bajaradilar.
Dasturda mustaqil ishlashQuvvat nuqta(turi bo'yicha sinfning asosiy qismi uchun test topshiriqlari yopiq javob shakli bilan ZNO dan)
Qaysi eksponensial funktsiya ortib bormoqda?
Funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
Funktsiya diapazonini toping.
Funksiya grafigi eksponensial funktsiya grafigidan o'q bo'ylab parallel o'tkazish yo'li bilan olinadi..... birliklar...
Tugallangan chizmadan foydalanib, funksiyaning aniqlanish sohasini va qiymat sohasini aniqlang
Ko‘rsatkichli funksiya nuqtadan qanday a qiymatida o‘tishini aniqlang.
Qaysi rasmda asosi birdan katta bo‘lgan ko‘rsatkichli funksiya grafigi ko‘rsatilgan?
Funksiya grafigini formula bilan moslang.
Qaysi tengsizlikning grafik yechimi rasmda ko'rsatilgan.
Tengsizlikni grafik usulda yechish (tayyor chizma yordamida)
Mustaqil ish (sinfning kuchli qismi uchun)
Slayd 8. Funksiya grafigini qurish algoritmini yozing, uning aniqlanish sohasini, qiymat diapazonini, ortish va pasayish intervallarini nomlang.
Slayd 9. Funksiya formulasini uning grafigiga moslang
Talabalar xatolarni tuzatmasdan javoblarini tekshiradilar, mustaqil ish o'qituvchiga topshiriladi
Slayd 10. Test topshiriqlariga javoblar
5) D 6) C 7) B 8) 1-G 2-A 3-C 4- B.
9) A 10)(2;+ 
)
11-slayd (8-topshiriqni tekshirish)
4. O'qish yangi mavzu. Tenglamalar, tengsizliklar, tizimlarni yechish, kompleks funktsiya qiymatlari diapazonini aniqlash uchun funktsional-grafik usulni qo'llash.
Slayd 12. Tenglamalarni echishning funksional grafik usuli
f(x)=g(x) ko`rinishdagi tenglamani funksional yechish grafik usul kerak:
Xuddi shu koordinatalar sistemasidagi y=f(x) va y=g(x) funksiyalarning grafiklarini tuzing.
Bu funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtasining koordinatalarini aniqlang.
Javobni yozing.
1-VAZIFA TENGLAMALARNI YECHISH
Slayd 13.
Tenglamaning ildizi bormi va agar shunday bo'lsa, u ijobiy yoki salbiymi?
6 x =1/6
(4/3) x = 4
SLIDE 14
5. Amaliy ishlarni bajarish.
Slayd 15.
Bu tenglamani yechish mumkin grafik jihatdan. Talabalarga topshiriqni bajarish va so'ngra savolga javob berish so'raladi: "Ushbu tenglamani yechish uchun funksiyalar grafiklarini qurish kerakmi?" Javob: “Funksiya butun taʼrif sohasi boʻyicha ortadi va funksiya kamayadi. Binobarin, bunday funksiyalarning grafiklari ko‘pi bilan bitta kesishish nuqtasiga ega, ya’ni tenglama ko‘pi bilan bitta ildizga ega. Tanlov orqali biz buni topamiz ".
Tenglamani yeching:
Slayd 16. .Yechim: Tenglamalarni yechish uchun funksional usuldan foydalanamiz:
chunki bu tizim noyob yechimga ega, keyin tanlash usulidan foydalanib, biz x = 1 ni topamiz
2-VAZIFA TENGSIZLIKLARNI YECHISH
Grafik usullar turli funktsiyalarni o'z ichiga olgan tengsizliklarni echish imkonini beradi. Buning uchun tengsizlikning chap va o‘ng tomonlaridagi funksiyalarning grafiklarini tuzib, grafiklarning kesishish nuqtasining abssissasini aniqlagandan so‘ng, grafiklardan birining barcha nuqtalari yotadigan intervalni aniqlash kerak. yuqorida (ikkinchining 0 nuqtasi ostida.
Tengsizlikni yeching:
a) cos x 1 + 3 x
Slayd 1 8. Yechim:
Javob: ( ; )
Tengsizlikni grafik usulda yeching.
Slayd 19.
(Eksponensial funktsiyaning grafigi tenglamaning o'ng tomonida yozilgan funktsiyaning ustida joylashgan.)
Javob: x>2. HAQIDA
.
Javob: x>0.
3-VAZIFA Ko'rsatkich funksiyasi ko'rsatkichdagi modul belgisini o'z ichiga oladi.
Keling, modul ta'rifini takrorlaymiz.
(doskaga yozing)
Slayd 20.
Daftaringizga yozib qo'ying:
1). 
2). 
Slaydda grafik illyustratsiya taqdim etiladi.Grafiklar qanday tuzilganligini tushuntiring.
Slayd 21.
Bu tenglamani yechish uchun eksponensial funksiyaning chegaralanganlik xususiyatini eslab qolish kerak. Funktsiya qiymatlarni oladi >
1, a - 1 >
1, shuning uchun tenglik faqat tenglamaning ikkala tomoni bir vaqtning o'zida 1 ga teng bo'lsagina mumkin bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, bu tizimni yechish, biz buni topamiz. X = 0.
4-VAZIFA. Murakkab funksiya qiymatlari diapazonini topish.
Slayd 22.
Grafik tuzish qobiliyatidan foydalanish kvadratik funktsiya, parabolaning tepasining koordinatalarini ketma-ket aniqlang, qiymatlar oralig'ini toping.
Slayd 23.
, parabolaning tepasi.
Savol: funksiyaning monotonlik xususiyatini aniqlang.
Ko'rsatkichli funktsiya y = 16 t ortadi, chunki 16>1.
Bunday yechimning aniqligi past, lekin grafik yordamida siz tenglamani keyingi echishni boshlash uchun birinchi taxminiylikni oqilona tanlashingiz mumkin. Tenglamalarni grafik usulda yechishning ikkita usuli mavjud.
Birinchi yo'l . Tenglamaning barcha shartlari chap tomonga o'tkaziladi, ya'ni. tenglama f(x) = 0 ko’rinishda berilgan. Shundan so’ng y = f(x) funksiyaning grafigi tuziladi, bunda f(x) tenglamaning chap tomonidir. y = f(x) funksiya grafigining o‘q bilan kesishish nuqtalarining abssissalari. ho'kiz va tenglamaning ildizlari, chunki bu nuqtalarda y = 0.
Ikkinchi yo'l . Tenglamaning barcha shartlari ikki guruhga bo'linadi, ulardan biri tenglamaning chap tomonida, ikkinchisi esa o'ngda, ya'ni. uni j(x) = g(x) shaklida ifodalang. Shundan so'ng y = j(x) va y = g(x) ikkita funksiyaning grafiklari chiziladi. Ushbu ikki funktsiya grafiklarining kesishish nuqtalarining abscissalari bu tenglamaning ildizlari bo'lib xizmat qiladi. Grafiklarning kesishish nuqtasi abscissa x o ga ega bo'lsin, bu nuqtadagi ikkala grafikning ordinatalari bir-biriga teng, ya'ni. j(x o) = g(x o). Bu tenglikdan x 0 tenglamaning ildizi ekanligi kelib chiqadi.
Ildizni ajratish
Tenglama ildizlarining taxminiy qiymatlarini topish jarayoni ikki bosqichga bo'linadi:
1) ildizlarni ajratish;
2) ildizlarni ma'lum bir aniqlikgacha takomillashtirish.
f(x) = 0 tenglamaning x ildizi hisoblanadi ajratilgan oraliqda, agar f(x) = 0 tenglamaning bu oraliqda boshqa ildizlari bo'lmasa.
Ildizlarni ajratish barcha qabul qilinadigan qiymatlarni segmentlarga bo'lish demakdir, ularning har biri bitta ildizni o'z ichiga oladi.
Ildizni ajratishning grafik usuli - bu holda, tenglamalarni echishning grafik usuli bilan bir xil tarzda davom eting.
Agar egri chiziq x o'qiga tegsa, bu nuqtada tenglama qo'sh ildizga ega bo'ladi (masalan, x 3 - 3x + 2 = 0 tenglama uchta ildizga ega: x 1 = -2; x 2 = x 3 = 1 ).
Agar tenglama uch marta haqiqiy ildizga ega bo'lsa, u holda o'q bilan aloqa nuqtasida X y = f(x) egri chizig'i burilish nuqtasiga ega (masalan, x 3 - 3x 2 + 3x - 1 = 0 tenglamaning ildizi x 1 = x 2 = x 3 = 1).
Analitik ildiz ajratish usuli . Buning uchun funktsiyalarning ba'zi xususiyatlaridan foydalaning.
Teorema 1 . Agar f(x) funksiya segmentda uzluksiz bo'lsa va ushbu segmentning uchlarida turli belgilar qiymatlarini qabul qilsa, u holda segment ichida f(x) = 0 tenglamasining kamida bitta ildizi mavjud.
Teorema 2. Agar f(x) funksiya segmentda uzluksiz va monotonik bo'lsa va segment uchlarida turli belgilar qiymatlarini qabul qilsa, u holda segment f(x) = 0 tenglamaning ildizini o'z ichiga oladi va bu ildiz yagonadir. .
Teorema 3 . Agar f(x) funksiya segmentda uzluksiz bo'lsa va bu segment uchlarida turli belgilar qiymatlarini qabul qilsa va f "(x) hosilasi segment ichida doimiy belgini saqlasa, segment ichida f(x) = 0 tenglamaning ildizi va bundan tashqari yagona.
Agar f(x) funksiya analitik tarzda berilsa, u holda funktsiyaning mavjudlik sohasi (ta'rif sohasi). Bu argumentning barcha haqiqiy qiymatlari to'plami bo'lib, ular uchun funktsiyani aniqlaydigan analitik ifoda o'zining raqamli ma'nosini yo'qotmaydi va faqat haqiqiy qiymatlarni oladi.
y = f(x) funksiya chaqiriladi ortib boradi , agar argument oshgani sayin, funksiyaning qiymati ortadi va kamaymoqda , agar argument oshgani sayin, funksiyaning qiymati kamayadi.
Funktsiya chaqiriladi monoton , agar berilgan oraliqda u faqat ortadi yoki faqat kamayadi.
f(x) funktsiyasi segmentda uzluksiz bo'lsin va segment uchlarida turli belgilar qiymatlarini qabul qilsin va f "(x) hosilasi oraliqda doimiy ishorani saqlab tursin. U holda agar barcha nuqtalarda oraliqda birinchi hosila musbat, ya'ni f "(x) >0, keyin bu oraliqda f(x) funksiyasi ortadi . Agar intervalning barcha nuqtalarida birinchi hosila salbiy bo'lsa, ya'ni. f "(x)<0, то функция в этом интервале kamayadi .
Intervaldagi f(x) funksiya butun interval davomida doimiy ishorani saqlaydigan ikkinchi tartibli hosilaga ega bo‘lsin. U holda f ""(x)>0 bo'lsa, funksiya grafigi konveks pastga ; agar f ""(x)<0, то график функции является yuqoriga qavariq .
Funktsiyaning birinchi hosilasi nolga teng bo'lgan, shuningdek u mavjud bo'lmagan (masalan, cheksizlikka aylanadi), lekin funktsiya uzluksizligini saqlaydigan nuqtalar deyiladi. tanqidiy .
Analitik usul yordamida ildizlarni ajratish tartibi:
1) f "(x) - birinchi hosilani toping.
2) Faraz qilib, f(x) funksiyaning belgilari jadvalini tuzing X teng:
a) lotin yoki ularga eng yaqin kritik qiymatlari (ildizlari);
b) chegara qiymatlari (noma'lumning ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni asosida).
Misol. 2 x - 5x - 3 = 0 tenglamaning ildizlarini ajrating.
Bizda f(x) = 2 x - 5x - 3 bor. f(x) funksiyaning aniqlanish sohasi butun son o‘qidir.
Birinchi hosila f "(x) = 2 x ln(2) - 5 ni hisoblaymiz.
Biz bu hosilani nolga tenglashtiramiz:
2 x log(2) - 5 = 0 ; 2 x log(2) = 5 ; 2 x = 5/ln(2) ; xlg(2) = lg(5) - lg(ln(2)) .
Faraz qilib, f(x) funksiyaning belgilar jadvalini tuzamiz X teng: a) kritik qiymatlar (hosilning ildizlari) yoki ularga eng yaqin; b) chegara qiymatlari (noma'lumning ruxsat etilgan qiymatlari oralig'i asosida):
Tenglamaning ildizlari (-1,0) va (4,5) oraliqlarda yotadi.
Tenglamani echishning grafik usuli g'oyasi oddiy. Tenglamaning ikkala tomonida joylashgan funksiyalarning grafiklarini qurish va kesishish nuqtalarining abscissalarini topish kerak. Ammo ba'zi funktsiyalarning grafiklarini chizish qiyin. Grafiklarni tuzishga har doim ham ehtiyoj sezilmaydi.Bunday tenglamalarni funksiyalarning monotonlik va chegaralanganlik xossalaridan foydalanib, ildiz tanlash usuli yordamida yechish mumkin. Bu sizga Yagona davlat imtihonini topshirishda taqdim etilgan vazifalarni tezda hal qilish imkonini beradi.
Yuklab oling:
Ko‘rib chiqish:
Munitsipal ta'lim muassasasi
“24-sonli gimnaziya”
Funktsional-grafik usul
Tenglamalar yechimlari.
O'qituvchi tomonidan tayyorlangan
Danilina Olga Sergeevna.
Magadan 2007 yil
« Tenglamalarni echishning funktsional - grafik usuli"
Darsning maqsadi: funktsiyalarning chegaralanganligi va monotonligi xususiyatlaridan foydalangan holda funktsional-grafik usul yordamida ma'lum turdagi tenglamalarni yechish qobiliyatini rivojlantirish.
Darsning tuzilishi:
O'qituvchining kirish so'zi, dars mavzusiga kirish, maqsadni belgilash
Dars mavzusini o'zlashtirish uchun zarur bo'lgan ilgari olingan bilimlarni yangilash
Har xil turdagi tenglamalar yechimlari namunalari bilan yangi material taqdimotini o'z ichiga olgan taqdimotchilar taqdimoti
O'rganilgan narsalarni birlamchi mustahkamlash maqsadida guruhlarda ishlash
O'yinga o'xshash o'yinni o'tkazish: "Nima? Qayerda? Qachon?"
Darsni yakunlash.
- Kirish so`zida o`qituvchi yangi usul bo`yicha o`z tajribasini o`rtoqlashadi. uni o'zlashtirish zarurligi, ahamiyati, ko'nikmalarni ko'proq egallash imkoniyati haqida gapiradi oqilona qaror taqqoslashlar
- Bilimlarni yangilash:: oshirish va kamaytirish funktsiyalari, misollar, monotonlik va cheklangan funktsiyalarning xususiyatlari.
- Tenglamalar yechimiga misollar bilan nazariy materialni bayon qilgan slaydlar yordamida yangi mavzuni taqdim etish (ilovaga qarang).
- Guruhlarda ishlash: Har bir guruhga topshiriqlar, yechimlar namunalari va topshiriqlar yozilgan kartochkalar beriladi. Darsni olib boradigan talaba maslahatchilari topshiriqlarning bajarilishini kuzatib boradilar va kerak bo'lganda yordamga kelishadi. Guruhlarda ishlayotganlar ish jarayonida funksiyalar grafiklarini tuzishga imkon beruvchi maxsus dastur bilan sozlangan kompyuterlardan foydalanishlari mumkin.Shuning sharofati bilan qiyin vaziyatlarda kompyuterdan maslahat yoki aniq namoyish qilish imkoniyati sifatida foydalanish mumkin. yechimning to'g'riligi va tanlangan usulning to'g'riligi.
- Bajarilgan topshiriqlar guruhining vakili tomonidan bajarilgan vazifaning to'g'riligini tasdiqlash uchun grafik usuldan foydalangan holda tenglamalarni echishni ko'rsatadigan multimediya taxtasi yordamida himoya qilish. RA
- O'yinni o'tkazish. Har bir guruh uchun turli maktab o'qituvchilari tomonidan oldindan yozib olingan monitor ekranidan savol eshitiladi va muhokama qilish uchun bir daqiqa beriladi, shundan so'ng bolalar o'zlarining asosli javoblarini berishlari kerak. Shundan so'ng, yangi ochilgan ekrandan avval savol bergan o'qituvchi o'z javobining versiyasini taqdim etadi.Shunday qilib, yangi o'rganilgan mavzu bo'yicha fikrlashni takroran takrorlash, ayniqsa turli odamlar tomonidan malakali talaffuz qilish, o'zlashtirish uchun eng qulay shart-sharoitlarga erishadi. yangi mavzu (ilovaga qarang.)
- Xulosa: Eng yaxshi “beshta mutaxassis, eng yaxshi futbolchi”ni aniqlash.
Sinf uchun savollar;
Bugungi darsda nimani o'rgandingiz?
Tanlash usuli yordamida qanday tenglamalarni yechish mumkin?
Bu holda funksiyalarning qanday xossalari qo'llaniladi.
O'yin ishtirokchilari uchun savollar:
Hurmatli mutaxassislar, bir daqiqada bu tenglamaning ildizini toping va uning yagona ekanligini isbotlang.
Javob: Ikki ortib borayotgan funksiyalar yig‘indisi ortib boruvchi funksiyadir. y = - monoton ravishda ortadi, shuning uchun tenglama bitta ildizga ega, chunki bu funksiyaning grafigi y=3 to‘g‘ri chiziq bilan bir marta kesishadi. Agar x=1 bo'lsa, biz to'g'ri tenglikni olamiz. Javob: x=1
Hurmatli mutaxassislar, bir daqiqada tengsizlikning ikkala tomonida joylashgan funksiyalarni nomlang va bu tenglamaning ildizini toping.
Javob: y = - haqiqiy sonlar to'plamida ortib borayotgan ko'rsatkichli funktsiya. y=6 - x chiziqli funktsiya bo'lib, u haqiqiy sonlar to'plamida monoton ravishda kamayadi. Demak, funksiyalarning grafiklari bir nuqtada kesishadi, tenglama bitta ildizga ega. Agar x=2 bo'lsa, biz to'g'ri tenglikni olamiz. Javob: x=2
3. Hurmatli mutaxassislar, siz allaqachon bilasizki, tenglamaning bitta ildizi x=3. Bir daqiqada x ning qaysi qiymatlarida tengsizlik borligiga javob bering.
Javob: x Є uchun tengsizlik bajariladi, chunki bu oraliqda y = funksiya grafigi y = funksiya grafigidan pastda joylashgan
4. Hurmatli mutaxassislar, ko‘pchilik tenglamani yechishda qiynaladi. Bir daqiqada bu tenglamaning ildizini toping va uning yagona ekanligini isbotlang.
Javob: x = -3 tenglamaning ildizi yagonadir, chunki tenglamaning chap tomonida kamayuvchi funktsiya, o'ng tomonida esa ortib boruvchi funksiya mavjud, ya'ni funksiyalarning grafiklari bir nuqtada kesishadi va tenglama tenglamaga ega. bitta ildiz.
5. Hurmatli ekspertlar, sizga qiyin savolim bor. Siz tenglamaning ildizini osongina topishingiz mumkin. U yagona ekanligini isbotlang. Javob: x=1 yagona ildiz.
Tenglamalarni echishning funktsional - grafik usuli.
________________________________________________________________________
Darsning maqsadi: Funksiyalarning monotonlik va chegaralanganlik xossalaridan foydalanib, almashtirish usuli yordamida tenglamalarni yechishni o‘rganish.
_________________________________________________________________________
Malumot materiali
- Funktsiya X to'plamida ortib boruvchi (kamayuvchi) deb ataladi, agar bu to'plamda argument oshgani sayin (kamaysa), funktsiyaning qiymati ortadi (kamayadi).
1-misol:
- funksiyalarini oshirmoqda
2-misol:
kamaytiruvchi funktsiyalardir
Malumot materiali
2. Ikki ortib boruvchi funksiya yig‘indisi o‘suvchi funktsiyadir.
Misol:
3. Ikki kamayuvchi funktsiya yig'indisi kamayuvchi funktsiyadir.
