Kvadrat parallelogramma, ustiga qurilgan vektorlar, bu vektorlarning uzunliklari va ular orasidagi burchak sinusining mahsuloti sifatida hisoblanadi. Agar faqat vektorlarning koordinatalari ma'lum bo'lsa, hisoblash uchun siz foydalanishingiz kerak muvofiqlashtirish usullari, shu jumladan vektorlar orasidagi burchakni aniqlash uchun.

Sizga kerak bo'ladi

• - vektor tushunchasi;
• - vektorlarning xossalari;
• - Dekart koordinatalari;
• - trigonometrik funktsiyalar.

Ko'rsatmalar

• Agar vektorlarning uzunliklari va ular orasidagi burchak ma'lum bo'lsa, u holda maydonni topish uchun parallelogramma, ustiga qurilgan vektorlar, ularning modullarining (vektor uzunliklarining) ko‘paytmasini ular orasidagi burchak sinusiga S=│a│ │ b│ sin(a) bo‘yicha toping.
• Agar vektorlar Dekart koordinata tizimida berilgan bo'lsa, u holda maydonni topish uchun parallelogramma ularning ustiga qurilgan, quyidagilarni bajaring:
• Vektorlarning koordinatalarini, agar ular darhol berilmagan bo'lsa, vektorlar uchlarining tegishli koordinatalaridan boshidan koordinatalarini ayirish yo'li bilan toping. Masalan, vektorning boshlang'ich nuqtasining koordinatalari (1;-3;2) va oxirgi nuqta (2;-4;-5) bo'lsa, vektorning koordinatalari (2-1;-) bo'ladi. 4+3;-5-2)=(1 ;-1;-7). a(x1;y1;z1), vektor b(x2;y2;z2) vektorining koordinatalari bo'lsin.
• Vektorlarning har birining uzunligini toping. Har bir vektor koordinatasini kvadratga aylantiring va ularning x1²+y1²+z1² yigʻindisini toping. Natijaning kvadrat ildizini oling. Ikkinchi vektor uchun xuddi shu amalni bajaring. Shunday qilib, biz │a│va│b│ ni olamiz.
• Vektorlarning nuqta mahsulotini toping. Buning uchun ularning mos keladigan koordinatalarini ko'paytiring va │a b│= x1 x2+ y1 y2+ z1 z2 ko'paytmalarni qo'shing.
• Ular orasidagi burchakning kosinusini aniqlang, buning uchun 3-bosqichda olingan vektorlarning skalyar koʻpaytmasi 2-bosqichda hisoblangan vektorlar uzunliklari koʻpaytmasiga boʻlinadi (Cos(a)= │a b│/(│a) │ │ b│)).
• Olingan burchakning sinusi 4-bosqichda (1-Cos²(a)) hisoblangan bir xil burchakdagi kosinusning kvadrati va 1 soni orasidagi farqning kvadrat ildiziga teng bo'ladi.
• Hududni hisoblang parallelogramma, ustiga qurilgan vektorlar 2-bosqichda hisoblangan ularning uzunliklarining mahsulotini topib, natijani 5-bosqichdagi hisob-kitoblardan keyin olingan songa ko'paytiring.
• Agar vektorlarning koordinatalari tekislikda berilgan bo'lsa, hisob-kitoblar paytida z koordinatasi shunchaki o'chiriladi. Bu hisoblash raqamli ifoda Ikki vektorning vektor mahsuloti.

Vektorlar ustida qurilgan parallelogrammning maydoni ushbu vektorlarning uzunliklari va ular orasidagi burchak burchagining mahsulotiga teng.

Shartlar bir xil vektorlarning uzunligini berganda yaxshi. Biroq, vektorlar ustida qurilgan parallelogramm maydoni uchun formula faqat koordinatalar yordamida hisob-kitoblardan keyin qo'llanilishi mumkin.
Agar omadingiz bo'lsa va shartlar vektorlarning uzunligini beradigan bo'lsa, unda siz faqat maqolada batafsil muhokama qilgan formulani qo'llashingiz kerak. Maydon modullarning mahsulotiga va ular orasidagi burchakning sinusiga teng bo'ladi:

Keling, vektorlar asosida qurilgan parallelogrammning maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik.

Vazifa: Paralelogramma vektorlar ustiga qurilgan. Agar ning maydonini toping va ular orasidagi burchak 30 ° ga teng.
Vektorlarni qiymatlari orqali ifodalaymiz:

Ehtimol, sizda bir savol bor - nollar qaerdan keladi? Shuni esda tutish kerakki, biz vektorlar bilan ishlaymiz va ular uchun . shuningdek, agar natija ifoda bo'lsa, u o'zgartirilishiga e'tibor bering. Endi biz yakuniy hisob-kitoblarni amalga oshiramiz:

Vektorlarning uzunliklari shartlarda ko'rsatilmagan bo'lsa, masalaga qaytaylik. Agar sizning parallelogramingiz Dekart koordinata tizimida bo'lsa, unda siz quyidagilarni qilishingiz kerak bo'ladi.

Koordinatalar bilan berilgan figuraning tomonlari uzunliklarini hisoblash

Birinchidan, vektorlarning koordinatalarini topamiz va oxiri koordinatalaridan boshining mos keladigan koordinatalarini ayiramiz. Aytaylik, a vektorning koordinatalari (x1;y1;z1), b vektori esa (x3;y3;z3) bo‘lsin.
Endi biz har bir vektorning uzunligini topamiz. Buning uchun har bir koordinata kvadrat bo'lishi kerak, so'ngra olingan natijalarni va dan qo'shing chekli son ildizni chiqarib oling. Bizning vektorlarimiz asosida quyidagi hisob-kitoblar bo'ladi:


Endi vektorlarimizning skalyar mahsulotini topishimiz kerak. Buning uchun ularning tegishli koordinatalari ko'paytiriladi va qo'shiladi.

Vektorlarning uzunliklari va ularning skalyar mahsulotiga ega bo'lgan holda, biz ular orasidagi burchakning kosinusini topishimiz mumkin. .
Endi biz bir xil burchakning sinusini topamiz:
Endi bizda barcha kerakli miqdorlar mavjud va biz allaqachon ma'lum bo'lgan formuladan foydalangan holda vektorlarga qurilgan parallelogrammning maydonini osongina topishimiz mumkin.

Ushbu darsda vektorlar bilan yana ikkita operatsiyani ko'rib chiqamiz: vektorlarning vektor mahsuloti Va vektorlarning aralash mahsuloti (muhtoj bo'lganlar uchun darhol havola). Yaxshi, ba'zida shunday bo'ladi, bundan tashqari, to'liq baxt uchun vektorlarning skalyar mahsuloti , ko'proq va ko'proq talab qilinadi. Bu vektorga qaramlik. Biz yovvoyi tabiatga kirib borayotgandek tuyulishi mumkin analitik geometriya. Bu unday emas. Oliy matematikaning ushbu bo'limida odatda ozgina yog'och mavjud, ehtimol Pinokkio uchun etarli. Darhaqiqat, material juda keng tarqalgan va oddiy - bir xildan ko'ra murakkabroq skalyar mahsulot , hatto tipik vazifalar kamroq bo'ladi. Analitik geometriyadagi asosiy narsa, ko'pchilik amin bo'lgan yoki allaqachon ishonch hosil qilganidek, hisob-kitoblarda xato QILMASHdir. Sehr kabi takrorlang va baxtli bo'lasiz =)

Agar vektorlar ufqdagi chaqmoq kabi uzoq joyda porlasa, bu muhim emas, darsdan boshlang Dummies uchun vektorlar vektorlar haqidagi asosiy bilimlarni tiklash yoki qayta egallash. Ko'proq tayyor o'quvchilar ma'lumotlar bilan tanlab tanishishlari mumkin, men imkon qadar ko'proq to'plashga harakat qildim to'liq to'plam tez-tez uchraydigan misollar amaliy ish

Sizni darhol nima xursand qiladi? Kichkinaligimda ikkita va hatto uchta to'pni jonglyor qila olardim. Bu yaxshi natija berdi. Endi siz umuman jonglyor qilishingiz shart emas, chunki biz ko'rib chiqamiz faqat fazoviy vektorlar, A tekis vektorlar ikkita koordinatali bo'lsa, tashqarida qoladi. Nega? Bu harakatlar shunday tug'ildi - vektorlarning vektor va aralash mahsuloti aniqlanadi va ishlaydi uch o'lchamli bo'shliq. Bu allaqachon osonroq!

Bu operatsiya xuddi skalyar mahsulot kabi o'z ichiga oladi ikkita vektor. Bular o'zgarmas harflar bo'lsin.

Amalning o'zi bilan belgilanadi quyida bayon qilinganidek: . Boshqa variantlar ham bor, lekin men vektorlarning vektor mahsulotini shu tarzda, xoch bilan kvadrat qavs ichida belgilashga odatlanganman.

Va darhol savol: bo'lsa vektorlarning skalyar mahsuloti ikkita vektor ishtirok etadi va bu erda ikkita vektor ham ko'paytiriladi nima farqi bor? Aniq farq, birinchi navbatda, NATIJAda:

Vektorlarning skalyar ko‘paytmasining natijasi NUMBER:

Vektorlarning oʻzaro koʻpaytmasining natijasi VEKTOR: , ya'ni vektorlarni ko'paytiramiz va yana vektorni olamiz. Yopiq klub. Aslida, operatsiya nomi shu erdan keladi. Har xilda o'quv adabiyoti Belgilar ham farq qilishi mumkin, men harfdan foydalanaman.

O'zaro mahsulot ta'rifi

Avval rasm bilan ta'rif, keyin sharhlar bo'ladi.

Ta'rif: Vektor mahsuloti kollinear bo'lmagan vektorlar, qabul qilingan bu tartibda , VEKTOR deb ataladi, uzunligi bu raqamli parallelogramm maydoniga teng, bu vektorlar asosida qurilgan; vektor vektorlarga ortogonal, va asos to'g'ri yo'nalishga ega bo'lishi uchun yo'naltiriladi:

Keling, ta'rifni parcha-parcha qilib olaylik, bu erda juda ko'p qiziqarli narsalar bor!

Shunday qilib, quyidagi muhim fikrlarni ajratib ko'rsatish mumkin:

1) Ta'rifi bo'yicha qizil o'qlar bilan ko'rsatilgan asl vektorlar qarama-qarshi emas. Bo‘lyapti kollinear vektorlar Birozdan keyin ko'rib chiqish o'rinli bo'ladi.

2) Vektorlar olinadi qat'iy belgilangan tartibda: – "a" "bo'l" bilan ko'paytiriladi, "a" bilan "bo'lish" emas. Vektorni ko'paytirish natijasi VEKTOR bo'lib, u ko'k rangda ko'rsatilgan. Agar vektorlar teskari tartibda ko'paytirilsa, biz uzunligi teng va qarama-qarshi yo'nalishdagi vektorni olamiz (malina rangi). Ya'ni, tenglik haqiqatdir .

3) Endi vektor ko'paytmaning geometrik ma'nosi bilan tanishamiz. Bu juda muhim nuqta! Moviy vektorning UZUNLIGI (va demak, qip-qizil vektor) vektorlar ustiga qurilgan parallelogrammaning MAYOTiga son jihatdan teng. Rasmda bu parallelogramm qora rangga bo'yalgan.

Eslatma : chizma sxematik va tabiiyki, vektor mahsulotining nominal uzunligi parallelogramm maydoniga teng emas.

Birini eslaylik geometrik formulalar: Paralelogrammning maydoni qo'shni tomonlarning ko'paytmasiga va ular orasidagi burchakning sinusiga teng. Shuning uchun, yuqoridagilarga asoslanib, vektor mahsulotining UZUNLIKni hisoblash formulasi to'g'ri keladi:

Men formula vektorning o'zi haqida emas, balki vektorning UZUNLIGI haqida ekanligini ta'kidlayman. Amaliy ma'nosi nima? Va ma'nosi shundaki, analitik geometriya muammolarida parallelogrammning maydoni ko'pincha vektor mahsuloti tushunchasi orqali topiladi:

Keling, ikkinchi muhim formulani olamiz. Paralelogrammaning diagonali (qizil nuqta chiziq) uni ikkiga ajratadi teng uchburchak. Shuning uchun vektorlar (qizil soya) ustiga qurilgan uchburchakning maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:

4) Xuddi shunday muhim fakt - vektor vektorlarga ortogonal, ya'ni . Albatta, qarama-qarshi yo'naltirilgan vektor (malinali o'q) ham asl vektorlarga ortogonaldir.

5) Vektor shunday yo'naltirilgan asos Unda bor to'g'ri orientatsiya. Haqida darsda yangi asosga o'tish haqida yetarlicha batafsil gapirib berdim tekislik yo'nalishi, va endi biz kosmik yo'nalish nima ekanligini aniqlaymiz. Men sizning barmoqlaringiz bilan tushuntiraman o'ng qo'l . Aqliy birlashtiring ko'rsatkich barmog'i vektor bilan va o'rta barmoq vektor bilan. Uzuk barmoq va kichik barmoq kaftingizga bosing. Natijada Bosh barmoq– vektor mahsuloti yuqoriga qaraydi. Bu o'ngga yo'naltirilgan asosdir (rasmda bu). Endi vektorlarni o'zgartiring ( ko'rsatkich va o'rta barmoqlar) ba'zi joylarda, natijada bosh barmog'i aylanadi va vektor mahsuloti allaqachon pastga qaraydi. Bu ham to'g'ri yo'naltirilgan asosdir. Sizda savol tug'ilishi mumkin: qaysi asosda yo'nalish qolgan? Xuddi shu barmoqlarga "tayinlash" chap qo'l vektorlar va fazoning chap asosi va chap yo'nalishini oling (bu holda, bosh barmog'i pastki vektor yo'nalishida joylashgan bo'ladi). Majoziy ma'noda, bu asoslar bo'shliqni "burashadi" yoki yo'naltiradi turli tomonlar. Va bu kontseptsiyani uzoq yoki mavhum narsa deb hisoblamaslik kerak - masalan, kosmosning yo'nalishi eng oddiy oyna tomonidan o'zgartiriladi va agar siz "aks etilgan ob'ektni ko'zoynakdan tortib olsangiz", umumiy holatda u uni "asl" bilan birlashtirib bo'lmaydi. Aytgancha, uchta barmog'ingizni oynaga tuting va aks ettirishni tahlil qiling ;-)

...siz endi bilganingiz qanchalik yaxshi o'ngga va chapga yo'naltirilgan asoslar, chunki ba'zi o'qituvchilarning yo'nalishning o'zgarishi haqidagi bayonotlari qo'rqinchli =)

Kollinear vektorlarning o'zaro ko'paytmasi

Ta'rif batafsil muhokama qilindi, vektorlar kollinear bo'lganda nima sodir bo'lishini bilish qoladi. Agar vektorlar kollinear bo'lsa, ularni bitta to'g'ri chiziqqa qo'yish mumkin va bizning parallelogramimiz ham bitta to'g'ri chiziqqa "buklanadi". Bunday soha, matematiklar aytganidek, degeneratsiya parallelogramma nolga teng. Xuddi shu formuladan kelib chiqadi - nol yoki 180 gradusning sinusi nolga teng, ya'ni maydon nolga teng.

Shunday qilib, agar bo'lsa, keyin . To'g'ri aytganda, vektor mahsulotining o'zi nol vektorga teng, lekin amalda bu ko'pincha e'tibordan chetda qoladi va ular oddiygina nolga teng deb yoziladi.

Maxsus holat- vektorning o'zi bilan vektor mahsuloti:

Vektor mahsulotidan foydalanib, siz uch o'lchovli vektorlarning kollinearligini tekshirishingiz mumkin va biz boshqalar qatorida bu muammoni ham tahlil qilamiz.

Amaliy misollarni hal qilish uchun sizga kerak bo'lishi mumkin trigonometrik jadval undan sinuslarning qiymatlarini topish.

Xo'sh, keling, olov yoqaylik:

1-misol

a) Agar vektorlarning vektor ko'paytmasining uzunligini toping

b) Agar vektorlar ustiga qurilgan parallelogrammning maydonini toping

Yechim: Yo'q, bu xato emas, men ataylab bandlardagi dastlabki ma'lumotlarni bir xil qilib qo'ydim. Chunki yechimlarning dizayni boshqacha bo'ladi!

a) Shartga ko'ra, topish kerak uzunligi vektor (o'zaro mahsulot). Tegishli formula bo'yicha:

Javob:

Agar sizdan uzunlik haqida so'ralgan bo'lsa, javobda biz o'lchamni - birliklarni ko'rsatamiz.

b) Shartga ko'ra, topish kerak kvadrat vektorlar ustiga qurilgan parallelogramm. Ushbu parallelogrammning maydoni son jihatidan vektor mahsulotining uzunligiga teng:

Javob:

E'tibor bering, javob vektor mahsuloti haqida umuman gapirmaydi; bizdan so'ralgan rasmning maydoni, shunga ko'ra, o'lcham kvadrat birlikdir.

Biz har doim shartga ko'ra NIMA topishimiz kerakligini ko'rib chiqamiz va shunga asoslanib, biz formula qilamiz aniq javob. Bu so'zma-so'z bo'lib tuyulishi mumkin, lekin o'qituvchilar orasida literalistlar ko'p va topshiriqni qayta ko'rib chiqish uchun qaytarish uchun yaxshi imkoniyat bor. Garchi bu unchalik qiyin gap bo'lmasa ham - agar javob noto'g'ri bo'lsa, odam tushunmaydi degan taassurot paydo bo'ladi. oddiy narsalar va/yoki topshiriqning mohiyatini tushunmagan. Oliy matematikada va boshqa fanlarda ham har qanday masalani yechishda ushbu nuqta doimo nazorat ostida bo'lishi kerak.

Katta "en" harfi qayerga ketdi? Aslida, u qo'shimcha ravishda yechimga biriktirilgan bo'lishi mumkin edi, lekin kirishni qisqartirish uchun men buni qilmadim. Umid qilamanki, hamma buni tushunadi va xuddi shu narsa uchun belgidir.

DIY yechimiga mashhur misol:

2-misol

Agar vektorlar ustiga qurilgan uchburchakning maydonini toping

Vektor mahsuloti orqali uchburchakning maydonini topish formulasi ta'rifga sharhlarda berilgan. Yechim va javob dars oxirida.

Amalda, vazifa haqiqatan ham juda keng tarqalgan, uchburchaklar sizni umuman qiynashi mumkin.

Boshqa muammolarni hal qilish uchun bizga kerak bo'ladi:

Vektorlarning vektor mahsulotining xossalari

Biz vektor mahsulotining ba'zi xususiyatlarini allaqachon ko'rib chiqdik, ammo men ularni ushbu ro'yxatga kiritaman.

Ixtiyoriy vektorlar va ixtiyoriy sonlar uchun quyidagi xususiyatlar to'g'ri bo'ladi:

1) Boshqa ma'lumot manbalarida bu element odatda xususiyatlarda ta'kidlanmaydi, lekin amaliy jihatdan juda muhimdir. Shunday bo'lsin.

2) – mulk ham yuqorida muhokama qilinadi, ba'zan deyiladi antikommutativlik. Boshqacha qilib aytganda, vektorlarning tartibi muhim.

3) – assotsiativ yoki assotsiativ vektor mahsulot qonunlari. Konstantalarni vektor mahsulotidan tashqariga osongina ko'chirish mumkin. Haqiqatan ham, ular u erda nima qilishlari kerak?

4) – tarqatish yoki tarqatuvchi vektor mahsulot qonunlari. Qavslarni ochishda ham muammolar yo'q.

Ko'rsatish uchun qisqa misolni ko'rib chiqaylik:

3-misol

Agar toping

Yechim: Vaziyat yana vektor mahsulotining uzunligini topishni talab qiladi. Keling, miniatyuramizni chizamiz:

(1) Assotsiativ qonunlarga ko'ra, biz konstantalarni vektor mahsuloti doirasidan tashqarida olamiz.

(2) Biz doimiyni moduldan tashqariga o'tkazamiz va modul minus belgisini "yeydi". Uzunlik salbiy bo'lishi mumkin emas.

(3) Qolganlari aniq.

Javob:

Olovga ko'proq o'tin qo'shish vaqti keldi:

4-misol

Agar vektorlar ustiga qurilgan uchburchakning maydonini hisoblang

Yechim: Formuladan foydalanib uchburchakning maydonini toping . Qizig'i shundaki, "tse" va "de" vektorlari o'zlari vektorlar yig'indisi sifatida taqdim etiladi. Bu erda algoritm standart bo'lib, darsning 3 va 4-sonli misollarini biroz eslatadi. Vektorlarning nuqta mahsuloti . Aniqlik uchun biz yechimni uch bosqichga ajratamiz:

1) Birinchi bosqichda vektor mahsulotini vektor mahsuloti orqali ifodalaymiz, aslida, vektorni vektor yordamida ifodalaymiz. Hali uzunlik haqida so'z yo'q!

(1) Vektorlar ifodalarini almashtiring.

(2) distributiv qonunlardan foydalanib, polinomlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra qavslarni ochamiz.

(3) Assotsiativ qonunlardan foydalanib, biz barcha konstantalarni vektor mahsulotidan tashqariga o'tkazamiz. Bir oz tajriba bilan 2 va 3-bosqichlarni bir vaqtning o'zida bajarish mumkin.

(4) Birinchi va oxirgi shartlar yoqimli xususiyat tufayli nolga teng (nol vektor). Ikkinchi muddatda vektor mahsulotining antikommutativlik xususiyatidan foydalanamiz:

(5) Biz shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz.

Natijada, vektor vektor orqali ifodalangan bo'lib chiqdi, bunga erishish kerak edi:

2) Ikkinchi bosqichda biz kerakli vektor mahsulotining uzunligini topamiz. Bu harakat 3-misolga o'xshaydi:

3) Kerakli uchburchakning maydonini toping:

Yechimning 2-3 bosqichlari bir qatorda yozilishi mumkin edi.

Javob:

Ko'rib chiqilayotgan muammo juda keng tarqalgan testlar, bu erda mustaqil yechim uchun misol:

5-misol

Agar toping

Dars oxirida qisqacha yechim va javob. Keling, oldingi misollarni o'rganayotganda qanchalik diqqatli bo'lganingizni ko'raylik ;-)

Koordinatadagi vektorlarning ko‘paytmasi

, ortonormal asosda belgilangan, formula bilan ifodalanadi:

Formula juda oddiy: determinantning yuqori qatoriga biz koordinata vektorlarini yozamiz, ikkinchi va uchinchi qatorlarga vektorlarning koordinatalarini "qo'yamiz" va biz qo'yamiz. qat'iy tartibda– avval “ve” vektorining koordinatalari, keyin “ikki-ve” vektorining koordinatalari. Agar vektorlarni boshqa tartibda ko'paytirish kerak bo'lsa, u holda qatorlarni almashtirish kerak:

10-misol

Quyidagi fazo vektorlari kollinear ekanligini tekshiring:
A)
b)

Yechim: Tekshirish ushbu darsdagi bayonotlardan biriga asoslanadi: agar vektorlar kollinear bo'lsa, ularning vektor mahsuloti nolga teng (nol vektor): .

a) vektor mahsulotini toping:

Shunday qilib, vektorlar kollinear emas.

b) vektor mahsulotini toping:

Javob: a) chiziqli emas, b)

Bu erda, ehtimol, vektorlarning vektor mahsuloti haqidagi barcha asosiy ma'lumotlar.

Ushbu bo'lim unchalik katta bo'lmaydi, chunki vektorlarning aralash mahsulotidan foydalanilganda bir nechta muammolar mavjud. Aslida, hamma narsa ta'rifga bog'liq bo'ladi, geometrik ma'no va bir nechta ishlaydigan formulalar.

Aralash ish vektorlar uchta vektorning mahsulotidir:

Shunday qilib, ular poezd kabi saf tortdilar va aniqlanishini kutishmaydi.

Birinchidan, yana ta'rif va rasm:

Ta'rif: Aralash ish tekis bo'lmagan vektorlar, ushbu tartibda olingan, chaqirildi parallelepiped hajmi, bu vektorlar asosida qurilgan, agar asos to'g'ri bo'lsa, "+" belgisi bilan jihozlangan va agar asos qolsa, "-" belgisi bilan jihozlangan.

Keling, rasm chizamiz. Bizga ko'rinmas chiziqlar nuqtali chiziqlar bilan chizilgan:

Keling, ta'rifga to'xtalib o'tamiz:

2) Vektorlar olinadi ma'lum bir tartibda, ya'ni mahsulotdagi vektorlarning qayta joylashishi, siz taxmin qilganingizdek, oqibatlarsiz sodir bo'lmaydi.

3) Geometrik ma'noni sharhlashdan oldin men aniq bir haqiqatni qayd etaman: vektorlarning aralash mahsuloti SON: . O'quv adabiyotlarida dizayn biroz boshqacha bo'lishi mumkin, men aralash mahsulotni "pe" harfi bilan va hisob-kitob natijasini belgilashga odatlanganman.

A-prior aralash mahsulot - parallelepipedning hajmi, vektorlar asosida qurilgan (rasm qizil vektorlar va qora chiziqlar bilan chizilgan). Ya'ni, bu raqam berilgan parallelepipedning hajmiga teng.

Eslatma : Chizma sxematik.

4) Keling, taglik va makonning yo'nalishi tushunchasi haqida yana tashvishlanmaylik. Yakuniy qismning ma'nosi shundaki, tovushga minus belgisi qo'shilishi mumkin. Oddiy so'zlar bilan aytganda, aralash mahsulot salbiy bo'lishi mumkin: .

Ta'rifdan to'g'ridan-to'g'ri vektorlarga qurilgan parallelepiped hajmini hisoblash formulasi keladi.