Ushbu darsda biz yakuniy shartlar yig'indisi formulasini olamiz arifmetik progressiya va ushbu formuladan foydalanib, ba'zi muammolarni hal qiling.

Mavzu: Rivojlanishlar

Dars: Cheklangan arifmetik progressiya hadlari yig‘indisining formulasi

1.Kirish

Muammoni ko'rib chiqing: summani toping natural sonlar 1 dan 100 gacha.

Berilgan: 1, 2, 3, …, 98, 99, 100.

Toping: S100=1+2+3 … +98 + 99 + 100.

Yechish: S100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101+101+101+…+101=101 x 50=5050.

Javob: 5050.

1, 2, 3, …, 98, 99, 100 natural sonlar ketma-ketligi arifmetik progressiya: a1=1, d=1.

Biz birinchi yuz natural sonning yig'indisini, ya'ni birinchi n ning yig'indisini topdik arifmetik progressiyaning shartlari.

Ko'rib chiqilgan yechim 19-asrda yashagan buyuk matematik Karl Fridrix Gauss tomonidan taklif qilingan. U 5 yoshida muammoni hal qildi.

Tarixiy ma'lumotnoma: Iogann Karl Fridrix Gauss (1777 - 1855) nemis matematigi, mexaniki, fizigi va astronomi. Barcha davrlarning eng buyuk matematiklaridan biri, "matematiklar qiroli" deb hisoblanadi. Kopli medali laureati (1838), Shvetsiya (1821) va Rossiya (1824) Fanlar akademiyalari va Angliya Qirollik jamiyatining xorijiy a'zosi. Afsonaga ko'ra, maktab matematika o'qituvchisi bolalarni uzoq vaqt band qilish uchun ulardan 1 dan 100 gacha bo'lgan sonlar yig'indisini sanashni so'ragan. Yosh Gauss qarama-qarshiliklarning juftlik yig'indilari bir xil ekanligini payqagan: 1+100=101 , 2+99=101, va hokazo. va bir zumda natijaga erishdi: 101x50=5050.

2. Arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadi yig’indisi formulasini chiqarish.

Shu kabi masalani ixtiyoriy arifmetik progressiya uchun ko‘rib chiqamiz.

Toping: arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig‘indisi.

Qavs ichidagi barcha ifodalar bir-biriga, ya'ni ifodaga teng ekanligini ko'rsataylik. Arifmetik progressiyaning ayirmasi d bo‘lsin. Keyin:

Va hokazo. Shuning uchun biz quyidagilarni yozishimiz mumkin:

Arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadi yig‘indisi formulasini qayerdan olamiz:

.

3. Arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadi yig’indisi formulasidan foydalanib masalalar yechish.

1. 1 dan 100 gacha natural sonlar yig‘indisi masalasini arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadi yig‘indisi formulasidan foydalanib yechamiz:

Yechish: a1=1, d=1, n=100.

Umumiy formula:

.

Bizning holatda: .

Javob: 5050.

Umumiy formula:

. Quyidagi formula yordamida arifmetik progressiyaning n-chi hadini topamiz: .

Bizning holatda: .

Topish uchun avvalo topish kerak.

Bu umumiy formula yordamida amalga oshirilishi mumkin .Avval arifmetik progressiyaning ayirmasini topish uchun ushbu formuladan foydalanamiz.

Anavi . Ma'nosi.

Endi topishimiz mumkin.

Arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig‘indisi formulasidan foydalanish

, biz topamiz.

4. Arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadi yig’indisining ikkinchi formulasini chiqarish.

Arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadi yig‘indisining ikkinchi formulasini olamiz, ya’ni: buni isbotlaymiz. .

Isbot:

Arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadi yig’indisi formulasida ifodasini ga almashtiramiz, ya'ni . Biz olamiz: , ya'ni. . Q.E.D.

Olingan formulalarni tahlil qilaylik. Birinchi formuladan foydalangan holda hisob-kitoblar uchun ikkinchi formuladan foydalanib birinchi hadni, oxirgi hadni va n ni bilishingiz kerak - birinchi atama, farq va n ni bilishingiz kerak.

Xulosa qilib aytganda, har qanday holatda ham Sn ekanligini ta'kidlaymiz kvadratik funktsiya n dan, chunki .

5. Arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadi yig’indisining ikkinchi formulasidan foydalanib masalalar yechish.

Umumiy formula:

.

Bizning holatda:.

Javob: 403.

2. Hammasining yig‘indisini toping ikki xonali raqamlar, 4 ning karralari.

(12; 16; 20; …; 96) - masala shartlarini qanoatlantiradigan raqamlar to'plami.

Bu bizda arifmetik progressiya borligini anglatadi.

n uchun formuladan topamiz:.

Anavi . Ma'nosi.

Arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig‘indisi uchun ikkinchi formuladan foydalanish

, biz topamiz.

Siz 10 dan 25 gacha bo'lgan barcha shartlarning yig'indisini topishingiz kerak.

Bir yechim bu:

Demak, .

6. Darsning xulosasi

Shunday qilib, biz chekli arifmetik progressiyaning hadlari yig'indisi uchun formulalar oldik. Biz ushbu formulalardan ba'zi muammolarni hal qilish uchun foydalandik.

Keyingi darsda arifmetik progressiyaning xarakterli xususiyati bilan tanishamiz.

1. Makarychev Yu.N. va boshqalar.Algebra 9-sinf (o‘rta maktab uchun darslik).- M.: Ta’lim, 1992 y.

2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov, K. I. Yuqori darajali 9-sinf uchun algebra. o'rgangan Matematika.-M.: Mnemosin, 2003 yil.

3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. 9-sinf algebra maktab darsligi uchun qo'shimcha boblar.- M.: Prosveshchenie, 2002.

4. Galitskiy M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. 8-9 sinflar uchun algebra masalalari to'plami ( Qo'llanma maktablar va yuqori sinf o'quvchilari uchun. o'rgangan matematika).-M.: Ta'lim, 1996.

5. Mordkovich A.G.Algebra 9-sinf, umumiy ta’lim muassasalari uchun darslik. - M.: Mnemosyne, 2002 yil.

6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Algebra 9-sinf, ta'lim muassasalari uchun muammoli kitob. - M.: Mnemosyne, 2002 yil.

7. Gleyzer G.I.Maktabda matematika tarixi. 7-8 sinflar (o’qituvchi uchun qo’llanma).- M.: Ta’lim, 1983 y.

1. Kollej bo‘limi. matematikada ru.

2. Tabiiy fanlar portali.

3. Ko'rsatkich. ru O'quv matematik sayti.

1. No 362, 371, 377, 382 (Makarychev Yu. N. va boshqalar. Algebra 9-sinf).

2. 12.96-son (Galitskiy M.L., Goldman A.M., Zvavich L.I. 8-9-sinflar uchun algebra masalalari to'plami).

Arifmetik progressiya yig‘indisi.

Arifmetik progressiyaning yig'indisi oddiy narsadir. Ham ma'noda, ham formulada. Ammo bu mavzu bo'yicha har xil vazifalar mavjud. Oddiydan ancha mustahkamgacha.

Birinchidan, miqdorning ma'nosi va formulasini tushunamiz. Va keyin biz qaror qilamiz. O'z zavqingiz uchun.) Miqdorning ma'nosi moo kabi oddiy. Arifmetik progressiyaning yig'indisini topish uchun uning barcha shartlarini diqqat bilan qo'shish kifoya. Agar bu shartlar oz bo'lsa, siz formulalarsiz qo'shishingiz mumkin. Lekin ko'p bo'lsa yoki ko'p bo'lsa ... qo'shish bezovta qiladi.) Bunday holda, formula yordamga keladi.

Miqdorning formulasi oddiy:

Keling, formulaga qanday harflar kiritilganligini aniqlaylik. Bu ko'p narsalarni aniqlaydi.

S n - arifmetik progressiya yig'indisi. Qo'shish natijasi hamma a'zolari, bilan birinchi tomonidan oxirgi. Bu muhim. Ular aniq qo'shiladi Hammasi a'zolarni ketma-ket, o'tkazib yubormasdan yoki o'tkazib yubormasdan. Va, aniqrog'i, dan boshlab birinchi. Uchinchi va sakkizinchi hadlar yig'indisini yoki beshinchi va yigirmanchi hadlar yig'indisini topish kabi masalalarda formulani to'g'ridan-to'g'ri qo'llash umidsizlikka olib keladi.)

a 1 - birinchi progressiyaning a'zosi. Bu erda hamma narsa aniq, oddiy birinchi qator raqami.

a n- oxirgi progressiyaning a'zosi. Oxirgi raqam qator. Juda tanish nom emas, lekin miqdorga qo'llanilganda, bu juda mos keladi. Keyin o'zingiz ko'rasiz.

n - oxirgi a'zoning raqami. Formulada bu raqamni tushunish muhimdir qo'shilgan atamalar soniga to'g'ri keladi.

Keling, kontseptsiyani aniqlaylik oxirgi a'zosi a n. Qiyin savol: qaysi a'zo bo'ladi Oxirgisi berilgan bo'lsa cheksiz arifmetik progressiya?)

Ishonch bilan javob berish uchun arifmetik progressiyaning elementar ma'nosini tushunishingiz kerak va... topshiriqni diqqat bilan o'qing!)

Arifmetik progressiya yig'indisini topish vazifasida har doim oxirgi had paydo bo'ladi (to'g'ridan-to'g'ri yoki bilvosita), qaysi chegaralanishi kerak. Aks holda, yakuniy, aniq miqdor oddiygina mavjud emas. Yechim uchun progressiyaning berilganligi muhim emas: chekli yoki cheksiz. Qanday qilib berilganligi muhim emas: raqamlar qatori yoki n-sonli formula.

Eng muhimi, formulaning progressiyaning birinchi hadidan boshlab raqam bilan atamagacha ishlashini tushunishdir n. Aslida, formulaning to'liq nomi quyidagicha ko'rinadi: arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig'indisi. Bu birinchi a'zolarning soni, ya'ni. n, faqat vazifa bilan belgilanadi. Vazifada bu barcha qimmatli ma'lumotlar ko'pincha shifrlanadi, ha ... Lekin hech qanday holatda, quyida keltirilgan misollarda biz bu sirlarni ochib beramiz.)

Arifmetik progressiya yig‘indisi bo‘yicha topshiriqlarga misollar.

Eng avvalo, foydali ma'lumotlar:

Arifmetik progressiya yig'indisi bilan bog'liq vazifalardagi asosiy qiyinchilik to'g'ri ta'rif formulaning elementlari.

Vazifa mualliflari bu elementlarni cheksiz tasavvur bilan shifrlashadi.) Bu erda asosiy narsa qo'rqmaslikdir. Elementlarning mohiyatini tushunib, ularni shunchaki shifrlash kifoya. Keling, bir nechta misollarni batafsil ko'rib chiqaylik. Haqiqiy GIAga asoslangan vazifa bilan boshlaylik.

1. Arifmetik progressiya shart bilan berilgan: a n = 2n-3,5. Uning dastlabki 10 ta hadining yig‘indisini toping.

Yaxshi bajarilgan ish. Oson.) Formuladan foydalanib miqdorni aniqlash uchun biz nimani bilishimiz kerak? Birinchi a'zo a 1, oxirgi muddat a n, ha oxirgi a'zoning raqami n.

Oxirgi a'zo raqamini qayerdan olsam bo'ladi? n? Ha, shart bilan! Unda aytiladi: yig'indini toping birinchi 10 a'zo. Xo'sh, u qaysi raqam bilan bo'ladi? oxirgi, o'ninchi a'zo?) Ishonmaysiz, uning soni o'ninchi!) Shuning uchun, o'rniga a n Biz formulaga almashtiramiz a 10, va o'rniga n- o'n. Takror aytaman, oxirgi a'zoning soni a'zolar soniga to'g'ri keladi.

Bu aniqlash uchun qoladi a 1 Va a 10. Bu masala bayonida berilgan n-son uchun formula yordamida osonlik bilan hisoblanadi. Buni qanday qilishni bilmayapsizmi? Oldingi darsga qatnashing, busiz hech qanday yo'l yo'q.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Biz arifmetik progressiya yig'indisi formulasining barcha elementlarining ma'nosini aniqladik. Faqat ularni almashtirish va hisoblash qoladi:

Bo'ldi shu. Javob: 75.

GIAga asoslangan yana bir vazifa. Biroz murakkabroq:

2. Ayirmasi 3,7 ga teng arifmetik progressiya (a n) berilgan; a 1 =2,3. Uning dastlabki 15 ta hadining yig‘indisini toping.

Biz darhol yig'indi formulasini yozamiz:

Bu formula har qanday atamaning qiymatini uning soni bo'yicha topishga imkon beradi. Biz oddiy almashtirishni qidiramiz:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Arifmetik progressiya yig'indisi formulasiga barcha elementlarni almashtirish va javobni hisoblash qoladi:

Javob: 423.

Aytgancha, o'rniga yig'indisi formulada bo'lsa a n Biz oddiygina n-sonli formulani almashtiramiz va olamiz:

Keling, shunga o'xshashlarni keltiramiz va arifmetik progressiyaning hadlari yig'indisi uchun yangi formulani olamiz:

Ko'rib turganingizdek, bu erda talab qilinmaydi n-chi davr a n. Ba'zi muammolarda bu formula juda ko'p yordam beradi, ha ... Bu formulani eslab qolishingiz mumkin. Bu mumkinmi to'g'ri daqiqa uni ko'rsatish oson, bu erda bo'lgani kabi. Axir, siz har doim yig'indining formulasini va n-son uchun formulani eslab qolishingiz kerak.)

Endi vazifa qisqa shifrlash shaklida):

3. Uchga karrali barcha musbat ikki xonali sonlar yig‘indisini toping.

Voy-buy! Na birinchi a'zongiz, na oxirgi, na progressiyangiz... Qanday yashash kerak!?

Siz boshingiz bilan o'ylab, shartdan arifmetik progressiya yig'indisining barcha elementlarini chiqarib olishingiz kerak bo'ladi. Ikki xonali sonlar nima ekanligini bilamiz. Ular ikkita sondan iborat.) Ikki xonali son qanday bo'ladi birinchi? 10, ehtimol.) A oxirgi narsa ikki xonali raqam? 99, albatta! Uch xonalilar unga ergashadi ...

Uchning karralari... Hm... Bular uchga bo'linadigan sonlar, mana! O'n uchga bo'linmaydi, 11 bo'linmaydi... 12... bo'linadi! Shunday qilib, nimadir paydo bo'ladi. Siz allaqachon muammoning shartlariga ko'ra bir qator yozishingiz mumkin:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bu qator arifmetik progressiya bo'ladimi? Albatta! Har bir atama oldingisidan qat'iy uchta farq qiladi. Agar siz atamaga 2 yoki 4 qo'shsangiz, aytaylik, natija, ya'ni. yangi raqam endi 3 ga bo'linmaydi. Arifmetik progressiyaning farqini darhol aniqlashingiz mumkin: d = 3. Bu foydali bo'ladi!)

Shunday qilib, biz ba'zi progressiv parametrlarni xavfsiz yozishimiz mumkin:

Raqam nima bo'ladi? n oxirgi a'zo? Kim 99 deb o'ylagan bo'lsa, adashadi... Raqamlar har doim ketma-ket keladi, lekin bizning a'zolarimiz uchtadan oshib ketadi. Ular mos kelmaydi.

Bu erda ikkita yechim bor. Bir yo'l - o'ta mehnatkashlar uchun. Siz ketma-ketlikni, raqamlarning butun qatorini yozib olishingiz va barmog'ingiz bilan a'zolar sonini hisoblashingiz mumkin.) Ikkinchi usul - o'ylanganlar uchun. Siz n-son uchun formulani eslab qolishingiz kerak. Agar formulani muammomizga qo'llasak, 99 progressiyaning o'ttizinchi hadi ekanligini topamiz. Bular. n = 30.

Arifmetik progressiya yig‘indisining formulasini ko‘rib chiqamiz:

Biz qaraymiz va xursand bo'lamiz.) Biz muammo bayonnomasidan miqdorni hisoblash uchun zarur bo'lgan hamma narsani chiqardik:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Faqat elementar arifmetika qoladi. Raqamlarni formulaga almashtiramiz va hisoblaymiz:

Javob: 1665

Mashhur jumboqning yana bir turi:

4. Arifmetik progressiya berilgan:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Yigirmanchidan o‘ttiz to‘rtgacha bo‘lgan hadlar yig‘indisini toping.

Biz miqdor formulasini ko'rib chiqamiz va ... biz xafa bo'lamiz.) Formula, sizga eslatib o'taman, miqdorni hisoblab chiqadi. birinchidan a'zosi. Va muammoda siz summani hisoblashingiz kerak yigirmanchi yildan beri ... Formula ishlamaydi.

Siz, albatta, ketma-ket ketma-ket jarayonni yozib, 20 dan 34 gacha shartlarni qo'shishingiz mumkin. Lekin ... bu qandaydir ahmoqona va uzoq vaqt talab etadi, shunday emasmi?)

Yana oqlangan yechim bor. Keling, seriyamizni ikki qismga ajratamiz. Birinchi qism bo'ladi birinchi davrdan to o'n to'qqizinchi muddatgacha. Ikkinchi qism - yigirma dan o'ttiz to'rtgacha. Agar birinchi qism shartlarining yig'indisini hisoblasak, aniq S 1-19, uni ikkinchi qism shartlari yig'indisi bilan qo'shamiz S 20-34, biz birinchi haddan o'ttiz to'rtinchigacha progressiyaning yig'indisini olamiz S 1-34. Mana bunday:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Bundan ko'ramizki, yig'indini topadi S 20-34 oddiy ayirish orqali amalga oshirilishi mumkin

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

O'ng tomondagi ikkala miqdor ham hisobga olinadi birinchidan a'zosi, ya'ni. standart yig'indi formulasi ular uchun juda mos keladi. Qani boshladik?

Muammo bayonotidan progressiya parametrlarini chiqaramiz:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Birinchi 19 va birinchi 34 shartlarning yig'indisini hisoblash uchun bizga 19 va 34-shartlar kerak bo'ladi. Biz ularni 2-masaladagi kabi n-sonli formuladan foydalanib hisoblaymiz:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Hech narsa qolmadi. 34 ta aʼzoning yigʻindisidan 19 ta hadning yigʻindisi ayiriladi:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Javob: 262.5

Bitta muhim eslatma! Bu muammoni hal qilishda juda foydali hiyla bor. To'g'ridan-to'g'ri hisoblash o'rniga sizga kerak bo'lgan narsa (S 20-34), hisobladik kerak bo'lmagan narsa - S 1-19. Va keyin ular qaror qilishdi S 20-34, to'liq natijadan keraksizlarni olib tashlash. Bunday "quloqlar bilan hiyla" ko'pincha sizni yomon muammolardan qutqaradi.)

Ushbu darsda biz arifmetik progressiya yig'indisining ma'nosini tushunish uchun etarli bo'lgan muammolarni ko'rib chiqdik. Xo'sh, siz bir nechta formulalarni bilishingiz kerak.)

Amaliy maslahat:

Arifmetik progressiya yig'indisi bilan bog'liq har qanday muammoni hal qilishda men ushbu mavzuning ikkita asosiy formulasini darhol yozishni tavsiya qilaman.

n-son uchun formula:

Ushbu formulalar sizga muammoni hal qilish uchun nimani izlash va qaysi yo'nalishda o'ylash kerakligini darhol aytib beradi. Yordam beradi.

Va endi mustaqil hal qilish uchun vazifalar.

5. Uchga boʻlinmaydigan barcha ikki xonali sonlar yigʻindisini toping.

Ajoyib?) Maslahat 4-muammoga eslatmada yashiringan. Xo'sh, 3-muammo yordam beradi.

6. Arifmetik progressiya shart bilan beriladi: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Uning dastlabki 24 ta hadining yig‘indisini toping.

Noodatiymi?) Bu takrorlanuvchi formula. Bu haqda oldingi darsda o'qishingiz mumkin. Bog'lanishni e'tiborsiz qoldirmang, bunday muammolar ko'pincha Davlat Fanlar akademiyasida topiladi.

7. Vasya bayram uchun pul yig'di. 4550 rublgacha! Va men sevimli odamga (o'zimga) bir necha kunlik baxt berishga qaror qildim). O'zingizdan hech narsani inkor etmasdan go'zal yashang. Birinchi kunida 500 rubl sarflang va har bir keyingi kuni avvalgisidan 50 rubl ko'proq sarflang! Pul tugamaguncha. Vasya necha kun baxtga erishdi?

Bu qiyinmi?) Bu yordam beradimi? qo'shimcha formula 2-topshiriqdan.

Javoblar (tartibsiz): 7, 3240, 6.

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Raqamli ketma-ketliklar VI

§ 144. Arifmetik progressiya hadlari yig‘indisi

Aytishlaricha, bir kun o'qituvchi boshlang'ich maktab, sinfni uzoq vaqt mustaqil ish bilan band qilmoqchi bo'lib, u bolalarga "qiyin" vazifani berdi - 1 dan 100 gacha bo'lgan barcha natural sonlar yig'indisini hisoblash:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100.

Talabalardan biri darhol yechim taklif qildi. Mana.:

1+2 +3+... + 98 +99+ 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... +(49 + 52)+ (50 + 51) =
= 101 + 101 + . . . + 101 + 101 = 101 50 = 5050.
50 marta

Bu Karl Gauss edi, keyinchalik u dunyodagi eng mashhur matematiklardan biriga aylandi*.

* Gauss bilan shunga o'xshash voqea haqiqatda sodir bo'lgan. Biroq, bu erda u juda soddalashtirilgan. O'qituvchi tomonidan taklif qilingan raqamlar besh xonali bo'lib, uch xonali farqli arifmetik progressiya hosil qildi.

Bunday yechim g'oyasi har qanday arifmetik progressiyaning hadlari yig'indisini topish uchun ishlatilishi mumkin.

Lemma. Cheklangan arifmetik progressiyaning uchlaridan teng masofada joylashgan ikkita hadining yig‘indisi ekstremal hadlar yig‘indisiga teng.

Masalan, chekli arifmetik progressiyada

1, 2, 3.....98, 99, 100

2 va 99, 3 va 98, 4 va 97 va hokazo hadlar bu progressiyaning uchlaridan bir xil masofada joylashgan. Demak, ularning 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 yig'indilari 1 + 100 ekstremal hadlari yig'indisiga teng.

Lemmaning isboti. Cheklangan arifmetik progressiyaga ruxsat bering

a 1 , a 2 , ..., a n - 1 , a n

har qanday ikki a'zo uchlardan bir xil masofada joylashgan. Faraz qilaylik, ulardan biri k chap tomonda th atama, ya'ni a k , va boshqasi - k o'ngdagi th termin, ya'ni a n -k+ 1 . Keyin

a k + a n -k+ 1 =[a 1 + (k - 1)d ] + [a 1 + (p - k )d ] = 2a 1 + (n - 1)d .

Bu progressiyaning ekstremal hadlari yig'indisi ga teng

a 1 + a n = a 1 + [a 1 + (n - 1)d ] = 2a 1 + (n - 1)d .

Shunday qilib,

a k + a n -k+ 1 = a 1 + a n

Q.E.D.

Tasdiqlangan lemmadan foydalanib, uni olish oson umumiy formula miqdori uchun P har qanday arifmetik progressiyaning a'zolari.

S n = a 1 +a 2 + ...+ a n - 1 + a n

S n = a n + a n - 1 + ... + a 2 + a 1 .

Ushbu ikkita tenglikni atama bo'yicha qo'shib, biz quyidagilarni olamiz:

2S n = (a 1 +a n ) + (a 2 +a n - 1)+...+(a n - 1 +a 2) + (a n +a 1)

a 1 +a n = a 2 +a n - 1 = a 3 +a n - 2 =... .

2S n = n (a 1 +a n ),

Cheklangan arifmetik progressiya hadlari yig‘indisi ekstremal hadlar va barcha hadlar soni yig‘indisining yarmining ko‘paytmasiga teng.

Ayniqsa,

Mashqlar

971. Barcha toq uch xonali sonlar yig‘indisini toping.

972. Agar soat butun soatlar soninigina qo‘ng‘iroq qilsa, kun davomida qancha zarba beradi?

973. Birinchisining yig‘indisi nimaga teng P natural sonlar soni?

974. Jismning bir tekis tezlashtirilgan harakatda bosib o‘tgan yo‘l uzunligi formulasini chiqaring:

Qayerda v 0 - boshlang'ich tezlik m/sek , A - tezlashuv m/sek 2 , t - sayohat vaqti sek.

975. Musbat butun sonlar orasidagi maxraji 3 bo‘lgan barcha kamaytirilmaydigan kasrlar yig‘indisini toping. T Va P (T< п ).

976. Ishchi 16 ta avtomatik to‘quv dastgohiga xizmat ko‘rsatadi. Har bir mashinaning mahsuldorligi A m/soat. Ishchi birinchi dastgohni soat 7 da ishga tushirdi h, va har bir keyingi 5 ga min oldingisidan kechroq. Dastlabki 2 ta ishlab chiqarishni metrlarda aniqlang h ish.

977. Tenglamalarni yeching:

a) 1 + 7 + 13 + ... + X = 280;

b) ( X + 1) + (X + 4) + (X + 7) +...+ (X + 28) = 155

978. 1-iyuldan 12-iyulgacha boʻlgan davrda havo harorati har kuni oʻrtacha 1/2 darajaga koʻtarildi. Bu vaqt ichida o'rtacha harorat 18 3/4 daraja bo'lganini bilib, 1 iyul kuni havo harorati qanday bo'lganini aniqlang.

979. Arifmetik o‘rtasi bo‘lgan arifmetik progressiyani toping P har qanday uchun birinchi shartlar P ularning soniga teng.

980. Qaysi arifmetik progressiyaning birinchi yigirma hadining yig‘indisini toping

a 6 + a 9 + a 12 + a 15 = 20.

Dars turi: yangi materialni o'rganish.

Dars maqsadlari:

• o‘quvchilarning arifmetik progressiya yordamida yechilgan masalalar haqidagi tushunchalarini kengaytirish va chuqurlashtirish; tashkilot qidiruv faoliyati arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadi yig‘indisi formulasini chiqarishda o‘quvchilar;
• mustaqil ravishda yangi bilimlarni olish va olingan bilimlardan berilgan vazifani bajarish uchun foydalanish qobiliyatini rivojlantirish;
• olingan faktlarni umumlashtirish istagi va ehtiyojini rivojlantirish, mustaqillikni rivojlantirish.

Vazifalar:

• “Arifmetik progressiya” mavzusidagi mavjud bilimlarni umumlashtirish va tizimlashtirish;
• arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadi yig‘indisini hisoblash formulalarini chiqarish;
• olingan formulalarni turli masalalarni yechishda qo‘llashni o‘rgatish;
• o‘quvchilar e’tiborini sonli ifoda qiymatini topish tartibiga qaratish.

Uskunalar:

• guruhlarda va juftlikda ishlash uchun topshiriqlar bilan kartalar;
• baholash qog'ozi;
• taqdimot“Arifmetik progressiya”.

I. Asosiy bilimlarni yangilash.

1. Mustaqil ish juftlikda.

1-variant:

Arifmetik progressiyani aniqlang. Arifmetik progressiyani belgilaydigan takrorlanish formulasini yozing. Iltimos, arifmetik progressiyaga misol keltiring va uning farqini ko'rsating.

2-variant:

Arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasini yozing. Arifmetik progressiyaning 100 hadini toping ( a n}: 2, 5, 8 …
Bu vaqtda doskaning orqa tomonida ikkita talaba bir xil savollarga javob tayyorlamoqda.
Talabalar sherigining ishini doskada tekshirish orqali baholaydilar. (Javoblari yozilgan varaqlar topshiriladi.)

2. O'yin lahzasi.

1-mashq.

O'qituvchi. Men arifmetik progressiya haqida o'yladim. Menga ikkita savol bering, shunda javoblardan so'ng siz tezda ushbu progressiyaning 7-sonini nomlashingiz mumkin. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Talabalar savollari.

1. Progressiyaning oltinchi hadi nima va farqi nimada?
2. Progressiyaning sakkizinchi hadi nima va farqi nimada?

Agar boshqa savollar bo'lmasa, o'qituvchi ularni rag'batlantirishi mumkin - d (farq) ga "taqiq", ya'ni farq nimaga teng ekanligini so'rashga yo'l qo'yilmaydi. Siz savollar berishingiz mumkin: progressiyaning 6-soni nimaga teng va progressiyaning 8-chi hadi nimaga teng?

Vazifa 2.

Doskada 20 ta raqam yozilgan: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

O'qituvchi orqasini taxtaga qo'ygan holda turadi. Talabalar raqamga qo'ng'iroq qilishadi va o'qituvchi bir zumda raqamni o'zi chaqiradi. Buni qanday qilishim mumkinligini tushuntiring?

O'qituvchi n-son uchun formulani eslaydi a n = 3n – 2 va belgilangan qiymatlarni n o'rniga qo'yib, mos keladigan qiymatlarni topadi a n.

II. O'quv vazifasini belgilash.

Men Misr papiruslarida topilgan miloddan avvalgi 2-ming yillikka oid qadimiy muammoni hal qilishni taklif qilaman.

Vazifa:"Sizga aytilsin: 10 o'lchov arpani 10 kishiga bo'ling, har bir kishi bilan qo'shnisi o'rtasidagi farq o'lchovning 1/8 qismidir."

• Bu muammoning arifmetik progressiya mavzusiga qanday aloqasi bor? (Har bir keyingi odam o'lchovning 1/8 qismini ko'proq oladi, bu farq d=1/8, 10 kishi, ya'ni n=10 degan ma'noni anglatadi.)
• Sizningcha, 10 raqami nimani anglatadi? (Progressiyaning barcha shartlari yig'indisi.)
• Arpani muammoning shartlariga ko'ra ajratishni oson va sodda qilish uchun yana nimani bilishingiz kerak? (Progressning birinchi muddati.)

Dars maqsadi– progressiya hadlari yig’indisining ularning soni, birinchi hadi va ayirmasiga bog’liqligini olish va masalaning qadimda to’g’ri yechilganligini tekshirish.

Formulani chiqarishdan oldin, keling, qadimgi misrliklar muammoni qanday hal qilganliklarini ko'rib chiqaylik.

Va ular buni quyidagicha hal qilishdi:

1) 10 ta o'lchov: 10 = 1 o'lchov - o'rtacha ulush;
2) 1 o'lchov ∙ = 2 o'lchov - ikki barobar o'rtacha baham ko'ring.
Ikki barobar o'rtacha ulush - 5 va 6-chi shaxslarning ulushlari yig'indisi.
3) 2 o'lchov - 1/8 chora = 1 7/8 chora - beshinchi shaxsning ulushini ikki barobarga oshiring.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - beshdan bir qismi; va hokazo, siz har bir oldingi va keyingi shaxsning ulushini topishingiz mumkin.

Biz ketma-ketlikni olamiz:

III. Muammoni hal qilish.

1. Guruhlarda ishlash

I guruh: Ketma-ket kelgan 20 natural sonning yig‘indisini toping: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Umuman

II guruh: 1 dan 100 gacha natural sonlar yig‘indisini toping (Kichik Gauss afsonasi).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Xulosa:

III guruh: 1 dan 21 gacha natural sonlar yig‘indisini toping.

Yechish: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Xulosa:

IV guruh: 1 dan 101 gacha natural sonlar yig‘indisini toping.

Xulosa:

Ko'rib chiqilgan muammolarni hal qilishning bu usuli "Gauss usuli" deb ataladi.

2. Har bir guruh masala yechimini doskada taqdim etadi.

3. Ixtiyoriy arifmetik progressiya uchun taklif qilingan yechimlarni umumlashtirish:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Keling, shunga o'xshash asoslar yordamida bu summani topamiz:

4. Muammoni hal qildikmi?(Ha.)

IV. Olingan formulalarni birlamchi tushunish va masalalarni yechishda qo'llash.

1. Qadimgi masalaning yechimini formula yordamida tekshirish.

2. Turli masalalar yechishda formulaning qo‘llanilishi.

3. Masalalarni yechishda formulalarni qo`llash ko`nikmasini rivojlantirish mashqlari.

A) 613-son

Berilgan: ( a n) - arifmetik progressiya;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Toping: S 1500

Yechim: , a 1 = 1 va 1500 = 1500,

B) berilgan: ( a n) - arifmetik progressiya;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Toping: n
Yechim:

V. O`zaro tekshirish bilan mustaqil ishlash.

Denis kurer bo'lib ishlay boshladi. Birinchi oyda uning maoshi 200 rublni tashkil etgan bo'lsa, har bir keyingi oyda u 30 rublga oshdi. U bir yilda jami qancha ishladi?

Berilgan: ( a n) - arifmetik progressiya;
a 1 = 200, d=30, n=12
Toping: S 12
Yechim:

Javob: Denis yil davomida 4380 rubl oldi.

VI. Uy vazifasi bo'yicha ko'rsatma.

1. 4.3-bo'lim - formulaning kelib chiqishini o'rganing.
2. №№ 585, 623 .
3. Arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadi yig’indisi formulasidan foydalanib yechish mumkin bo’lgan masalani tuzing.

VII. Darsni yakunlash.

1. Ballar varaqasi

2. Gaplarni davom ettiring

• Bugun darsda men o'rgandim ...
• O'rganilgan formulalar ...
• Men shunday xisoblaymanki …

3. 1 dan 500 gacha bo‘lgan sonlar yig‘indisini topa olasizmi? Ushbu muammoni hal qilish uchun qanday usuldan foydalanasiz?

Adabiyotlar ro'yxati.

1. Algebra, 9-sinf. uchun o'quv qo'llanma ta'lim muassasalari. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: "Ma'rifat", 2009 yil.

Algebrani o'rganayotganda o'rta maktab(9-sinf) muhim mavzulardan biri - geometrik va arifmetik progressiyalarni o'z ichiga olgan sonlar ketma-ketligini o'rganish. Ushbu maqolada biz arifmetik progressiya va yechimlari bilan misollarni ko'rib chiqamiz.

Arifmetik progressiya nima?

Buni tushunish uchun ko'rib chiqilayotgan progressiyani aniqlash, shuningdek, keyinchalik muammolarni hal qilishda qo'llaniladigan asosiy formulalarni taqdim etish kerak.

Arifmetik yoki algebraik progressiya tartiblangan ratsional sonlar to‘plami bo‘lib, ularning har bir a’zosi oldingisidan qandaydir doimiy qiymat bilan farqlanadi. Bu qiymat farq deb ataladi. Ya'ni, tartiblangan raqamlar qatorining istalgan a'zosini va farqni bilib, butun arifmetik progressiyani tiklashingiz mumkin.

Keling, misol keltiraylik. Quyidagi raqamlar ketma-ketligi arifmetik progressiya bo'ladi: 4, 8, 12, 16, ..., chunki bu holda farq 4 ga teng (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ammo 3, 5, 8, 12, 17 raqamlar to'plamini endi ko'rib chiqilayotgan progressiya turiga bog'lash mumkin emas, chunki u uchun farq unchalik emas. doimiy qiymat (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Muhim formulalar

Keling, arifmetik progressiya yordamida masalalarni yechish uchun zarur bo'lgan asosiy formulalarni keltiramiz. Ketma-ketlikning n-a’zosini a n belgisi bilan belgilaymiz, bunda n butun sondir. Biz farqni belgilaymiz Lotin harfi d. Keyin quyidagi iboralar to'g'ri keladi:

1. n-chi hadning qiymatini aniqlash uchun quyidagi formula mos keladi: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Birinchi n ta hadning yig'indisini aniqlash uchun: S n = (a n +a 1)*n/2.

9-sinfda yechimlar bilan arifmetik progressiyaning har qanday misollarini tushunish uchun ushbu ikkita formulani eslab qolish kifoya, chunki ko'rib chiqilayotgan turdagi har qanday muammolar ulardan foydalanishga asoslangan. Shuni ham yodda tutish kerakki, progressiya farqi quyidagi formula bilan aniqlanadi: d = a n - a n-1.

1-misol: noma'lum atamani topish

Arifmetik progressiyaga oddiy misol va uni yechish uchun ishlatilishi kerak bo‘lgan formulalarni keltiramiz.

10, 8, 6, 4, ... ketma-ketligi berilsin, unda beshta atama topish kerak.

Muammoning shartlaridan ko'rinib turibdiki, dastlabki 4 ta atama ma'lum. Beshinchisini ikki yo'l bilan aniqlash mumkin:

1. Avval farqni hisoblaylik. Bizda bor: d = 8 - 10 = -2. Xuddi shunday, siz boshqa ikkita a'zoni yonma-yon turgan holda olishingiz mumkin. Masalan, d = 4 - 6 = -2. Ma'lumki, d = a n - a n-1, u holda d = a 5 - a 4, shundan biz: a 5 = a 4 + d ni olamiz. Biz ma'lum qiymatlarni almashtiramiz: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Ikkinchi usul, shuningdek, ko'rib chiqilayotgan progressiyaning farqini bilishni talab qiladi, shuning uchun avval uni yuqorida ko'rsatilgandek aniqlashingiz kerak (d = -2). Birinchi had a 1 = 10 ekanligini bilib, biz ketma-ketlikning n raqami uchun formuladan foydalanamiz. Bizda: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Oxirgi ifodada n = 5 ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Ko'rib turganingizdek, ikkala yechim ham bir xil natijaga olib keldi. E'tibor bering, bu misolda progressiya farqi d manfiy qiymatdir. Bunday ketma-ketliklar kamayuvchi deb ataladi, chunki har bir keyingi atama oldingisidan kamroq.

2-misol: progressiya farqi

Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz, qanday qilib misol keltiramiz

Ma'lumki, ba'zilarida 1-chi had 6 ga, 7-chi had esa 18 ga teng bo'ladi. Ayirmani topib, bu ketma-ketlikni 7-songa qaytarish kerak.

Noma'lum atamani aniqlash uchun formuladan foydalanamiz: a n = (n - 1) * d + a 1 . Unga shartdagi ma'lum ma'lumotlarni, ya'ni a 1 va a 7 raqamlarini almashtiramiz, bizda: 18 = 6 + 6 * d. Bu ifodadan osongina farqni hisoblashingiz mumkin: d = (18 - 6) /6 = 2. Shunday qilib, biz masalaning birinchi qismiga javob berdik.

Ketma-ketlikni 7-songacha tiklash uchun algebraik progressiyaning ta'rifidan foydalanish kerak, ya'ni a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d va hokazo. Natijada, biz butun ketma-ketlikni tiklaymiz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

3-misol: progressiyani tuzish

Keling, muammoni yanada murakkablashtiraylik. Endi arifmetik progressiyani qanday topish mumkin degan savolga javob berishimiz kerak. Quyidagi misolni keltirish mumkin: ikkita raqam berilgan, masalan - 4 va 5. Bular orasiga yana uchta had qo'yish uchun algebraik progressiyani yaratish kerak.

Ushbu muammoni hal qilishni boshlashdan oldin, berilgan raqamlar kelajakdagi rivojlanishda qaysi o'rinni egallashini tushunishingiz kerak. Ular orasida yana uchta atama bo'ladi, keyin 1 = -4 va 5 = 5. Buni aniqlab, biz avvalgisiga o'xshash masalaga o'tamiz. Shunga qaramay, n-son uchun biz formuladan foydalanamiz: a 5 = a 1 + 4 * d. Kimdan: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Bu erda biz olgan narsa farqning butun qiymati emas, lekin shunday ratsional son, shuning uchun algebraik progressiya uchun formulalar bir xil bo'lib qoladi.

Endi topilgan farqni 1 ga qo'shamiz va progressiyaning etishmayotgan shartlarini tiklaymiz. Biz olamiz: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, mos kelgan muammoning shartlari bilan.

4-misol: progressiyaning birinchi muddati

Arifmetik progressiyaning yechimlari bilan misollar keltirishni davom ettiramiz. Oldingi barcha masalalarda algebraik progressiyaning birinchi soni ma'lum edi. Endi boshqa turdagi masalani ko'rib chiqamiz: ikkita raqam berilsin, bu erda a 15 = 50 va 43 = 37. Bu ketma-ketlik qaysi raqamdan boshlanishini topish kerak.

Hozirgacha foydalanilgan formulalar 1 va d ni bilishni nazarda tutadi. Muammo bayonotida bu raqamlar haqida hech narsa ma'lum emas. Shunga qaramay, biz ma'lumot mavjud bo'lgan har bir atama uchun iboralarni yozamiz: a 15 = a 1 + 14 * d va 43 = a 1 + 42 * d. Biz ikkita noma'lum miqdor (a 1 va d) mavjud bo'lgan ikkita tenglama oldik. Demak, masala chiziqli tenglamalar sistemasini echishga keltiriladi.

Ushbu tizimni yechishning eng oson yo'li har bir tenglamada 1 ni ifodalash va natijada olingan ifodalarni solishtirishdir. Birinchi tenglama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ikkinchi tenglama: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Ushbu iboralarni tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, farq d = ​​(37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (faqat 3 kasr berilgan).

d ni bilgan holda, 1 uchun yuqoridagi 2 ta ifodadan istalgan birini ishlatishingiz mumkin. Misol uchun, birinchi: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Olingan natijaga shubhangiz bo'lsa, uni tekshirishingiz mumkin, masalan, shartda ko'rsatilgan progressiyaning 43-hajmini aniqlang. Biz olamiz: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Kichik xatolik hisob-kitoblarda mingdan birgacha yaxlitlash ishlatilganligi bilan bog'liq.

5-misol: miqdor

Endi arifmetik progressiya yig‘indisining yechimlari bilan bir nechta misollarni ko‘rib chiqamiz.

Quyidagi ko'rinishdagi sonli progressiya berilsin: 1, 2, 3, 4, ...,. Ushbu raqamlarning 100 tasining yig'indisini qanday hisoblash mumkin?

Rivojlanish uchun rahmat kompyuter texnologiyasi siz ushbu muammoni hal qilishingiz mumkin, ya'ni barcha raqamlarni ketma-ket qo'shishingiz mumkin, bu odam Enter tugmasini bosgandan so'ng kompyuter darhol bajaradi. Biroq, agar siz taqdim etilgan raqamlar qatori algebraik progressiya ekanligiga e'tibor qaratsangiz va uning farqi 1 ga teng bo'lsa, muammoni aqliy ravishda hal qilish mumkin. a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Shunisi qiziqki, bu muammo "Gauss" deb ataladi, chunki in XVIII boshi asrda, mashhur nemis hali 10 yoshda bo'lganida, uni bir necha soniya ichida o'z boshida hal qila oldi. Bola algebraik progressiya yig‘indisi formulasini bilmasdi, lekin u payqadi: agar ketma-ketlik oxiridagi raqamlarni juft-juft qilib qo‘shsangiz, har doim bir xil natijaga erishasiz, ya’ni 1+100=2+99. = 3 + 98 = ... va bu summalar aniq 50 (100 / 2) bo'lganligi sababli, to'g'ri javobni olish uchun 50 ni 101 ga ko'paytirish kifoya.

6-misol: n dan m gacha bo'lgan hadlar yig'indisi

Arifmetik progressiya yig'indisining yana bir tipik misoli quyidagicha: bir qator raqamlar berilgan: 3, 7, 11, 15, ..., siz uning 8 dan 14 gacha bo'lgan hadlari yig'indisi nimaga teng bo'lishini topishingiz kerak. .

Muammo ikki yo'l bilan hal qilinadi. Ulardan birinchisi 8 dan 14 gacha bo'lgan noma'lum atamalarni topib, keyin ularni ketma-ket yig'ishni o'z ichiga oladi. Bir nechta atamalar mavjud bo'lganligi sababli, bu usul unchalik mehnat talab qilmaydi. Shunga qaramay, bu muammoni universalroq bo'lgan ikkinchi usul yordamida hal qilish taklif etiladi.

Maqsad m va n hadlar orasidagi algebraik progressiya yig’indisining formulasini olishdir, bunda n > m butun sonlardir. Ikkala holatda ham yig'indi uchun ikkita ifoda yozamiz:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

n > m bo'lgani uchun 2-summa birinchisini o'z ichiga olishi aniq. Oxirgi xulosa shuni bildiradiki, agar bu yig’indilar orasidagi ayirmani olib, unga a m atamasini qo’shsak (farq olingan taqdirda u S n yig’indisidan ayiriladi), masalaga kerakli javobni olamiz. Bizda: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Bu ifodada a n va a m formulalarini almashtirish kerak. Keyin biz olamiz: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Olingan formula biroz og'ir, ammo S mn yig'indisi faqat n, m, a 1 va d ga bog'liq. Bizning holatda a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Bu raqamlarni almashtirsak, biz quyidagilarga erishamiz: S mn = 301.

Yuqoridagi yechimlardan ko’rinib turibdiki, barcha masalalar n-sonli ifoda va birinchi hadlar to’plami yig’indisi formulasini bilishga asoslangan. Ushbu muammolardan birini hal qilishni boshlashdan oldin, shartni diqqat bilan o'qib chiqishingiz, nimani topishingiz kerakligini aniq tushunishingiz va shundan keyingina hal qilishni davom ettirishingiz tavsiya etiladi.

Yana bir maslahat - soddalikka intiling, ya'ni agar siz murakkab matematik hisob-kitoblardan foydalanmasdan savolga javob bera olsangiz, unda siz buni qilishingiz kerak, chunki bu holda xato qilish ehtimoli kamroq bo'ladi. Masalan, 6-sonli yechim bilan arifmetik progressiya misolida S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m formulasida to'xtash mumkin va umumiy masalani alohida kichik vazifalarga ajrating (bu holda avval a n va m atamalarini toping).

Olingan natijaga shubhangiz bo'lsa, berilgan misollarning ba'zilarida bo'lgani kabi, uni tekshirish tavsiya etiladi. Biz arifmetik progressiyani qanday topishni bilib oldik. Agar siz buni tushunsangiz, bu unchalik qiyin emas.