Algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish. Algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish Algebraik kasrlarni umumiy maxrajga kamaytirish

Ushbu darsda qo'shish va ayirish haqida gap boradi. algebraik kasrlar bir xil maxrajlar bilan. Biz o'xshash maxrajli oddiy kasrlarni qanday qo'shish va ayirishni allaqachon bilamiz. Ma'lum bo'lishicha, algebraik kasrlar bir xil qoidalarga amal qiladi. O'xshash maxrajli kasrlar bilan ishlashni o'rganish algebraik kasrlar bilan ishlashni o'rganishning asoslaridan biridir. Xususan, ushbu mavzuni tushunish ko'proq o'zlashtirishni osonlashtiradi qiyin mavzu- bilan kasrlarni qo'shish va ayirish turli xil maxrajlar. Darsning bir qismi sifatida biz o'xshash maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish qoidalarini o'rganamiz, shuningdek, bir qator tipik misollarni tahlil qilamiz.

O'xshash maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish qoidasi

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (siz-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih kasrlari birdan-sizdan -mi. know-me-na-te-la-mi (bu oddiy zarbalar uchun o'xshash qoidaga to'g'ri keladi): Bu al-geb-ra-i-che-skih kasrlarini bir-siz bilan qo'shish yoki hisoblash uchun. Know-me-on-the-la-mi zarur -ho-di-mo-kompilyatsiya tegishli al-geb-ra-i-che-summasini raqamlari va belgisi-me-na-tel hech qanday holda tark.

Biz bu qoidani oddiy ven-chizish misolida ham, al-geb-ra-i-che-chizma misolida ham tushunamiz.

Oddiy kasrlar uchun qoidani qo'llash misollari

Misol 1. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim

Keling, kasrlar sonini qo'shamiz va belgini bir xil qoldiramiz. Shundan so'ng, biz raqamni ajratamiz va oddiy ko'plik va kombinatsiyalarga kiramiz. Keling, bilib olaylik: .

Eslatma: quyidagi mumkin bo'lgan yechimda -klu-cha-et-sya uchun o'xshash turdagi misollarni echishda ruxsat etilgan standart xato: . Bu qo'pol xato, chunki belgi asl kasrlarda bo'lgani kabi qoladi.

2-misol. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim

Bu avvalgisidan hech qanday farq qilmaydi: .

Algebraik kasrlar uchun qoidani qo'llash misollari

Oddiy dro-beatsdan biz al-geb-ra-i-che-skimga o'tamiz.

Misol 3. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim: yuqorida aytib o'tilganidek, al-geb-ra-i-che-kasrlarning tarkibi odatdagi otishma janglari kabi so'zdan hech qanday farq qilmaydi. Shuning uchun yechim usuli bir xil: .

4-misol. Siz kasrsiz: .

Yechim

Siz-chi-ta-nie al-geb-ra-i-che-skih kasrlarni qo'shishdan faqat pi-sy-va-et-sya sonida foydalanilgan kasrlar sonidagi farq bilan. Shunung uchun .

5-misol. Siz kasrsiz: .

Yechim: .

Misol 6. Soddalashtiring: .

Yechim: .

Qoidani qo'llashdan keyin qisqartirish misollari

Qo'shma yoki hisoblash natijasida bir xil ma'noga ega bo'lgan kasrda birikmalar nia mumkin. Bundan tashqari, siz al-geb-ra-i-che-skih fraktsiyalarining ODZ haqida unutmasligingiz kerak.

Misol 7. Soddalashtiring: .

Yechim: .

Qayerda. Umuman olganda, agar boshlang'ich kasrlarning ODZ jami ODZga to'g'ri kelsa, uni o'tkazib yuborish mumkin (axir, javobda kasr tegishli muhim o'zgarishlar bilan ham mavjud bo'lmaydi). Ammo agar ishlatilgan kasrlarning ODZ va javob mos kelmasa, ODZni ko'rsatish kerak.

Misol 8. Soddalashtiring: .

Yechim: . Shu bilan birga, y (boshlang'ich kasrlarning ODZi natijaning ODZiga to'g'ri kelmaydi).

Turli xil maxrajli kasrlarni qo‘shish va ayirish

Har xil nou-me-on-the-la-mi bo'lgan al-geb-ra-i-che-kasrlarni qo'shish va o'qish uchun oddiy-ven-ny kasrlar bilan ana-lo -giyu qilamiz va uni al-gebga o'tkazamiz. -ra-i-che-kasrlar.

Keling, oddiy kasrlar uchun eng oddiy misolni ko'rib chiqaylik.

1-misol. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim:

Keling, kasrlarni qo'shish qoidalarini eslaylik. Kasr bilan boshlash uchun uni umumiy belgiga keltirish kerak. Oddiy kasrlar uchun umumiy belgi rolida siz harakat qilasiz eng kichik umumiy karra(NOK) dastlabki belgilar.

Ta'rif

Bir vaqtning o'zida raqamlarga bo'lingan eng kichik raqam va.

MOQni topish uchun siz bilimlarni oddiy to'plamlarga bo'lishingiz kerak, so'ngra ikkala belgining bo'linishiga kiritilgan juda ko'p narsalarni tanlang.

; . Keyin raqamlarning LCM ikkita ikkita va ikkita uchlikni o'z ichiga olishi kerak: .

Umumiy bilimlarni topgandan so'ng, kasrlarning har biri to'liq ko'plik rezidentini topishi kerak (aslida, tegishli kasr belgisiga umumiy belgini quyish kerak).

Keyin har bir kasr yarim to'liq omil bilan ko'paytiriladi. O‘zingiz bilgan kasrlardan bir nechta kasrlarni olamiz, ularni qo‘shib, o‘qib chiqamiz.-o‘tgan darslarda o‘rganilgan.

Keling ovqatlanamiz: .

Javob:.

Keling, al-geb-ra-i-che-kasrlarning turli xil belgilari bilan tarkibini ko'rib chiqamiz. Keling, kasrlarni ko'rib chiqaylik va raqamlar bor yoki yo'qligini bilib olaylik.

Turli maxrajli algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirish

2-misol. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim:

Qarorning Al-go-ritmi ab-so-lyut-lekin oldingi misolga ana-lo-gi-chen. Berilgan kasrlarning umumiy belgisini olish oson: va ularning har biri uchun qo'shimcha ko'paytirgichlar.

Javob:.

Shunday qilib, shakllanamiz al-go-ritmi turli ishorali al-geb-ra-i-che-skih kasrlarni qo‘shish va hisoblash.:

1. Kasrning eng kichik umumiy belgisini toping.

2. Har bir kasr uchun qo'shimcha ko'paytiruvchilarni toping (haqiqatan ham, belgining umumiy belgisi --chi kasr berilgan).

3. Tegishli to'liq ko'paytmalar bo'yicha ko'p sonlar.

4. Bir xil bilimga ega -me-na-te-la-mi - kasrlarni birikma va hisoblash qoidalaridan foydalanib, kasrlarni qo'shing yoki hisoblang.

Endi kasrlar bilan bir misolni ko'rib chiqamiz, uning belgisida siz -nia harflari mavjud.

Ochig'ini aytganda, bu har qanday ettinchi sinf o'quvchisi eslashi kerak bo'lgan formulalardir. Hatto algebrani o'rganing maktab darajasi va kvadratlar farqi yoki aytaylik, yig'indi kvadratining formulasini bilmaslik oddiygina mumkin emas. Ular algebraik ifodalarni soddalashtirishda, kasrlarni kamaytirishda doimo paydo bo'ladi va hatto arifmetik hisob-kitoblarda yordam berishi mumkin. Xo'sh, masalan, siz boshingizda hisoblashingiz kerak: 3,16 2 - 2 3,16 1,16 + 1,16 2. Agar siz uni boshdan-oyoq hisoblashni boshlasangiz, u uzoq va zerikarli bo'lib chiqadi, lekin agar siz kvadrat farq formulasidan foydalansangiz, javobni 2 soniyada olasiz!

Shunday qilib, hamma bilishi kerak bo'lgan "maktab" algebrasining etti formulasi:

Ism	Formula
Yig'inning kvadrati	(A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2
Kvadrat farq	(A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2
Kvadratchalar farqi	(A - B)(A + B) = A 2 - B 2
Jami kub	(A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3
Farq kubi	(A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3
Kublar yig'indisi	A 3 + B 3 = (A + B) (A 2 - AB + B 2)
Kublarning farqi	A 3 - B 3 = (A - B)(A 2 + AB + B 2)

E'tibor bering: kvadratlar yig'indisi uchun formula yo'q! Tasavvuringiz uzoqqa borishiga yo'l qo'ymang.

Ushbu formulalarning barchasini eslab qolishning eng oson yo'li qanday? Xo'sh, aytaylik, ba'zi o'xshashliklarni ko'ring. Masalan, kvadrat yig‘indi formulasi kvadrat ayirma formulasiga o‘xshaydi (farq faqat bitta belgida), yig‘indining kubi formulasi esa ayirma kubi formulasiga o‘xshaydi. Bundan tashqari, kublar farqi va kublar yig'indisi formulalarida biz yig'indining kvadratiga va farqning kvadratiga o'xshash narsani ko'ramiz (faqat 2 koeffitsient etishmayapti).

Ammo bu formulalar (boshqalar kabi!) Amalda eng yaxshi eslab qolinadi. Algebraik ifodalarni soddalashtirishga ko‘proq misollar yeching, shunda barcha formulalar o‘z-o‘zidan eslab qoladi.

Qiziquvchan talabalar, ehtimol, taqdim etilgan faktlarni umumlashtirishga qiziqishadi. Masalan, yig'indining kvadrati va kubi uchun formulalar mavjud. Agar (A + B) 4, (A + B) 5 va hatto (A + B) n kabi ifodalarni ko'rib chiqsak nima bo'ladi, bu erda n ixtiyoriy natural sondir? Bu erda biron bir naqshni ko'rish mumkinmi?

Ha, bunday naqsh mavjud. (A + B) n ko'rinishdagi ifoda Nyuton binomi deb ataladi. Men qiziquvchan maktab o'quvchilariga (A + B) 4 va (A + B) 5 formulalarini o'zlari chiqarishni tavsiya qilaman va keyin umumiy qonunni ko'rishga harakat qiling: masalan, tegishli binomial darajasini va har birining darajasini solishtiring. qavslarni ochish orqali olingan atamalar; binomning darajasini hadlar soni bilan solishtiring; koeffitsientlardagi naqshlarni topishga harakat qiling. Biz hozir bu mavzuni ko'rib chiqmaymiz (bu alohida suhbatni talab qiladi!), lekin faqat yakuniy natijani yozamiz:

(A + B) n = A n + C n 1 A n-1 B + C n 2 A n-2 B 2 + ... + C n k A n-k B k + ... + B n.

Bu yerda C n k = n!/(k! (n-k)!).

Sizga shuni eslatamanki, n! - bu 1 2 ... n - hammaning mahsuloti natural sonlar 1 dan n gacha. Bu ifoda deyiladi n omili. Masalan, 4! = 1 2 3 4 = 24. Nolning faktoriali birga teng deb hisoblanadi!

Kvadratlar farqi, kublar farqi va boshqalar haqida nima deyish mumkin? Bu erda biron bir naqsh bormi? olib kelish mumkinmi umumiy formula A n - B n uchun?

Ha mumkin. Mana formula:

A n - B n = (A - B)(A n-1 + A n-2 B + A n-3 B 2 + ... + B n-1).

Bundan tashqari, uchun g'alati n darajali yig'indi uchun shunga o'xshash formula mavjud:

A n + B n = (A + B)(A n-1 - A n-2 B + A n-3 B 2 - ... + B n-1).

Biz bu formulalarni hozir chiqarmaymiz (darvoqe, bu unchalik qiyin emas), lekin ularning mavjudligi haqida bilish, albatta, foydalidir.

Oddiy kasrlar.

Algebraik kasrlarni qo'shish

Eslab qoling!

Siz faqat bir xil maxrajli kasrlarni qo'shishingiz mumkin!

Konversiyasiz kasrlarni qo'sha olmaysiz

Siz kasrlarni qo'shishingiz mumkin

O'xshash maxrajli algebraik kasrlarni qo'shganda:

birinchi kasrning soni ikkinchi kasrning soniga qo'shiladi;
maxraj bir xil bo'lib qoladi.

Keling, algebraik kasrlarni qo'shish misolini ko'rib chiqaylik.

Ikkala kasrning maxraji "2a" bo'lgani uchun, bu kasrlarni qo'shish mumkinligini anglatadi.

Birinchi kasrning ayiruvchisi bilan ikkinchi kasrning payini qo‘shamiz va maxrajni bir xilda qoldiraylik. Olingan hisoblagichga kasrlarni qo'shganda, biz shunga o'xshashlarni keltiramiz.

Algebraik kasrlarni ayirish

O'xshash maxrajli algebraik kasrlarni ayirishda:

Ikkinchi kasrning soni birinchi kasrning sonidan ayiriladi.
maxraj bir xil bo'lib qoladi.

Muhim!

Ayirilayotgan kasrning butun hisobini qavs ichiga kiritishni unutmang.

Aks holda, ayirib ketayotgan kasrning qavslarini ochishda belgilarda xatoga yo'l qo'yasiz.

Keling, algebraik kasrlarni ayirish misolini ko'rib chiqaylik.

Ikkala algebraik kasrning maxraji "2c" bo'lganligi sababli, bu kasrlarni ayirish mumkin.

"(a - b)" ikkinchi kasrning sonini "(a + d)" birinchi kasrning sonidan ayirish. Ayirilayotgan kasrning sonini qavs ichiga qo'yishni unutmang. Qavslarni ochishda qavslarni ochish qoidasidan foydalanamiz.

Algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltirish

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Siz algebraik kasrlarni qo'shishingiz kerak.

Bu shaklda kasrlarni qo'shib bo'lmaydi, chunki ular turli xil maxrajlarga ega.

Algebraik kasrlarni qo'shishdan oldin ular bo'lishi kerak umumiy maxrajga keltiring.

Algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltirish qoidalari oddiy kasrlarni umumiy maxrajga keltirish qoidalariga juda o'xshaydi. .

Natijada, biz kasrlarning oldingi maxrajlarining har biriga qoldiqsiz bo'linadigan ko'phadni olishimiz kerak.

Kimga algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltirish quyidagilarni qilishingiz kerak.

Biz raqamli koeffitsientlar bilan ishlaymiz. Biz barcha raqamli koeffitsientlar uchun LCM (eng kichik umumiy ko'p) ni aniqlaymiz.
Polinomlar bilan ishlaymiz. Biz barcha turli xil polinomlarni eng katta kuchlarda aniqlaymiz.
Raqamli koeffitsient va eng katta darajalardagi barcha turli xil polinomlarning mahsuloti umumiy maxraj bo'ladi.
Umumiy maxrajni olish uchun har bir algebraik kasrni nimaga ko'paytirish kerakligini aniqlang.

Keling, misolimizga qaytaylik.

Ikkala kasrning "15a" va "3" maxrajlarini ko'rib chiqing va ular uchun umumiy maxrajni toping.

Biz raqamli koeffitsientlar bilan ishlaymiz. LCMni toping (eng kichik umumiy ko'paytma har bir son koeffitsientiga qoldiqsiz bo'linadigan son). "15" va "3" uchun "15".
Polinomlar bilan ishlaymiz. Barcha ko'phadlarni eng katta darajalarda sanab o'tish kerak. "15a" va "5" denominatorlarida faqat mavjud
bitta monomial - "a".
Keling, 1-bosqichdan LCMni "15" va 2-bosqichdan monomial "a" ni ko'paytiramiz. Biz "15a" ni olamiz. Bu umumiy maxraj bo'ladi.
Har bir kasr uchun biz o'zimizga savol beramiz: ""15a" ni olish uchun bu kasrning maxrajini nimaga ko'paytirishimiz kerak?"

Keling, birinchi kasrni ko'rib chiqaylik. Bu kasr allaqachon "15a" ning denominatoriga ega, ya'ni uni hech narsa bilan ko'paytirish kerak emas.

Keling, ikkinchi kasrni ko'rib chiqaylik. Keling, savol beraylik: ""15a" ni olish uchun "3" ni ko'paytirish uchun nima kerak?" Javob: "5a".

Kasrni umumiy maxrajga keltirishda "5a" ga ko'paytiriladi. ham hisoblagich, ham maxraj.

Algebraik kasrni umumiy maxrajga kamaytirish uchun qisqartirilgan yozuv "uylar" yordamida yozilishi mumkin.

Buning uchun umumiy maxrajni yodda tuting. Yuqoridagi "uydagi" har bir kasrning tepasida biz har bir kasrni ko'paytiradigan narsalarni yozamiz.

Endi bu kasrlar bir xil maxrajlar, kasrlarni qo'shish mumkin.

Keling, har xil maxrajli kasrlarni ayirish misolini ko'rib chiqaylik.

Ikkala kasrning “(x − y)” va “(x + y)” maxrajlarini ko‘rib chiqing va ular uchun umumiy maxrajni toping.

Bizda ikkita turli xil polinomlar"(x - y)" va "(x + y)" maxrajlarida. Ularning mahsuloti umumiy maxraj bo'ladi, ya'ni. “(x − y)(x + y)” umumiy maxrajdir.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamida algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish

Ba'zi misollarda algebraik kasrlarni umumiy maxrajga kamaytirish uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanish kerak.

Keling, algebraik kasrlarni qo'shish misolini ko'rib chiqaylik, bu erda kvadratlar farqi formulasidan foydalanishimiz kerak bo'ladi.

Birinchi algebraik kasrda maxraj "(p 2 - 36)" dir. Shubhasiz, unga kvadratlar farqi formulasini qo'llash mumkin.

“(p 2 - 36)” ko‘phadni ko‘phadlar ko‘paytmasiga ajratgandan so‘ng
“(p + 6)(p - 6)” “(p + 6)” ko‘phadning kasrlarda takrorlanishi aniq. Bu kasrlarning umumiy maxraji "(p + 6) (p - 6)" ko'phadlarning ko'paytmasi bo'lishini anglatadi.

Qisqartirilgan ifoda formulalari amaliyotda juda tez-tez qo'llaniladi, shuning uchun ularning barchasini yoddan bilib olish tavsiya etiladi. Shu paytgacha u bizga sodiqlik bilan xizmat qiladi, biz uni chop etishni va har doim ko'z oldingizda saqlashni tavsiya qilamiz:

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarining tuzilgan jadvalidagi dastlabki to'rtta formula sizga ikkita ifodaning yig'indisi yoki ayirmasini kvadrat va kub qilish imkonini beradi. Beshinchisi ikki ifodaning farqini va yig'indisini qisqacha ko'paytirish uchun mo'ljallangan. Oltinchi va yettinchi formulalar esa ikkita a va b ifoda yig‘indisini ularning to‘liq bo‘lmagan ayirma kvadratiga (a 2 −a b+b 2 ko‘rinishdagi ifoda shunday deyiladi) va ikkitaning ayirmasiga ko‘paytirish uchun ishlatiladi. a va b ifodalari mos ravishda ularning yig‘indisining to‘liq bo‘lmagan kvadratiga (a 2 + a·b+b 2 ).

Jadvaldagi har bir tenglik o'ziga xoslik ekanligini alohida ta'kidlash kerak. Bu nima uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalari qisqartirilgan ko'paytirish identifikatorlari deb ham ataladi.

Misollarni echishda, ayniqsa polinom faktorlarga ajratilganda, FSU ko'pincha chap va o'ng tomonlari almashtirilgan shaklda qo'llaniladi:

Jadvaldagi oxirgi uchta identifikatsiya o'z nomlariga ega. a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) formulasi deyiladi kvadratlar farqi formulasi, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - kublar yig'indisi formulasi, A a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - kublarning farqi formulasi. E'tibor bering, biz oldingi jadvaldagi qismlarni qayta tartibga solingan tegishli formulalarni nomlamadik.

Qo'shimcha formulalar

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari jadvaliga yana bir nechta identifikatsiyani qo'shish zarar qilmaydi.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini (FSU) qo'llash sohalari va misollar

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarining (fsu) asosiy maqsadi ularning nomi bilan izohlanadi, ya'ni u qisqacha ko'paytirish ifodalaridan iborat. Biroq, FSUni qo'llash doirasi ancha kengroq va qisqa ko'paytirish bilan cheklanmaydi. Keling, asosiy yo'nalishlarni sanab o'tamiz.

Shubhasiz, qisqartirilgan ko'paytirish formulasining markaziy qo'llanilishi ifodalarni bir xil o'zgartirishlarni amalga oshirishda topildi. Ko'pincha bu formulalar jarayonda qo'llaniladi ifodalarni soddalashtirish.

Misol.

9·y−(1+3·y) 2 ifodasini soddalashtiring.

Yechim.

IN bu ifoda kvadratlashtirish stenografiya bilan amalga oshirilishi mumkin, bizda bor 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Qavslarni ochish va shunga o'xshash shartlarni keltirish qoladi: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.

Ushbu maqolada biz ko'rib chiqamiz algebraik kasrlar bilan asosiy amallar:

kasrlarni kamaytirish
kasrlarni ko'paytirish
bo'linuvchi kasrlar

dan boshlaylik algebraik kasrlarning qisqarishi.

Aftidan, algoritm aniq.

Kimga algebraik kasrlarni kamaytiring, kerak

1. Kasrning son va maxrajini ko‘paytiring.

2. Teng omillarni kamaytiring.

Biroq, maktab o'quvchilari ko'pincha omillarni emas, balki shartlarni "kamaytirish" xatosiga yo'l qo'yishadi. Misol uchun, kasrlarni "kamaytirish" va natijada oladigan havaskorlar bor, bu, albatta, to'g'ri emas.

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:

1. Kasrni kamaytiring:

1. Yig‘indining kvadrati formulasidan foydalanib payni, kvadratlar ayirmasining formulasidan foydalanib maxrajni koeffitsientlarga ajratamiz.

2. Numerator va maxrajni ga bo‘ling

2. Kasrni kamaytiring:

1. Numeratorni koeffitsientlarga ajratamiz. Numerator to'rtta atamani o'z ichiga olganligi sababli biz guruhlashdan foydalanamiz.

2. Maxrajni koeffitsientlarga ajratamiz. Guruhlashdan ham foydalanishimiz mumkin.

3. Olingan kasrni yozamiz va bir xil ko'rsatkichlarni kamaytiramiz:

Algebraik kasrlarni ko'paytirish.

Algebraik kasrlarni ko‘paytirishda hisobni ayiruvchiga, maxrajni esa maxrajga ko‘paytiramiz.

Muhim! Kasrning soni va maxrajini ko'paytirishga shoshilishning hojati yo'q. Numeratordagi kasrlar sonining ko‘paytmasini va maxrajdagi maxrajlarning ko‘paytmasini yozganimizdan so‘ng, har bir ko‘paytmani koeffitsientga ajratib, kasrni kamaytirishimiz kerak.

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:

3. Ifodani soddalashtiring:

1. Kasrlarning ko‘paytmasini yozamiz: sanoqda sanoqlarning ko‘paytmasi, maxrajda esa ayiruvchilarning ko‘paytmasi:

2. Har bir qavsni faktorlarga ajratamiz:

Endi biz bir xil omillarni kamaytirishimiz kerak. E'tibor bering va iboralari faqat belgi bilan farqlanadi: va birinchi ifodani ikkinchiga bo'lish natijasida -1 ni olamiz.