32-33-darslar. Teskari trigonometrik funktsiyalar

09.07.2015 6432 0

Maqsad: teskari trigonometrik funksiyalarni va ulardan yechimlarni yozishda foydalanishni ko‘rib chiqing trigonometrik tenglamalar.

I. Darslar mavzusi va maqsadini bayon qilish

II. Yangi materialni o'rganish

1. Teskari trigonometrik funksiyalar

Keling, ushbu mavzuni muhokama qilishni quyidagi misol bilan boshlaylik.

1-misol

Keling, tenglamani yechamiz: a) sin x = 1/2; b) sin x = a.

a) Ordinata o'qiga 1/2 qiymatini chizamiz va burchaklarni tuzamiz x 1 va x2, buning uchun gunoh x = 1/2. Bu holda x1 + x2 = p, bundan x2 = p - x 1 . Trigonometrik funktsiyalar qiymatlari jadvalidan foydalanib, biz x1 = p/6 qiymatini topamiz, keyinSinus funksiyaning davriyligini hisobga olib, yechimlarni yozamiz berilgan tenglama: bu yerda k ∈ Z.

b) Shubhasiz, tenglamani yechish algoritmi gunoh x = a oldingi xatboshidagi bilan bir xil. Albatta, endi a qiymati ordinata o'qi bo'ylab chiziladi. X1 burchagini qandaydir tarzda belgilash kerak. Biz bu burchakni belgi bilan belgilashga kelishib oldik arcsin A. Keyin bu tenglamaning yechimlarini ko'rinishda yozish mumkinUshbu ikkita formulani bitta formulaga birlashtirish mumkin: unda

Qolgan teskari trigonometrik funksiyalar ham xuddi shunday tarzda kiritiladi.

Ko'pincha burchakning kattaligini aniqlash kerak ma'lum qiymat uning trigonometrik funktsiyasi. Bunday muammo ko'p qiymatli - trigonometrik funktsiyalari bir xil qiymatga teng bo'lgan son-sanoqsiz burchaklar mavjud. Shuning uchun trigonometrik funksiyalarning monotonligidan kelib chiqib, burchaklarni yagona aniqlash uchun quyidagi teskari trigonometrik funksiyalar kiritiladi.

a sonining yoyi (arksin , uning sinusi a ga teng, ya'ni.

Sonning yoy kosinusi a (arccos a) kosinusu a ga teng bo'lgan oraliqdan a burchak, ya'ni.

Sonning arktangensi a (arctg a) - intervaldan shunday a burchaktangensi a ga teng bo'lgan, ya'ni.tg a = a.

Sonning arkotangensi a (arcctg a) (0; p) oraliqdan a burchak, kotangensi a ga teng, ya’ni. ctg a = a.

2-misol

Keling, topamiz:

Teskari trigonometrik funktsiyalarning ta'riflarini hisobga olgan holda biz quyidagilarni olamiz:

3-misol

Keling, hisoblaylik

Burchak a = yoy bo'lsin 3/5, keyin ta'rifi bo'yicha sin a = 3/5 va . Shuning uchun, biz topishimiz kerak cos A. Asosiy foydalanish trigonometrik identifikatsiya, biz olamiz:Cos a ≥ 0 ekanligi hisobga olinadi. Demak,

Funktsiya xususiyatlari	Funktsiya
	y = arcsin x	y = arccos x	y = arktan x	y = arcctg x
Domen	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Qiymatlar diapazoni	y ∈ [ -p/2 ; p /2 ]	y ∈	y ∈ (-p/2 ; p /2 )	y ∈ (0;p)
Paritet	G'alati	Na juft, na toq	G'alati	Na juft, na toq
Funktsiya nollari (y = 0)	x = 0 da	x = 1 da	x = 0 da	y ≠ 0
Belgilarning doimiyligi intervallari	x ∈ (0; 1] uchun y > 0, da< 0 при х ∈ [-1; 0)	x ∈ [-1 uchun y > 0; 1)	x ∈ uchun y > 0 (0; +∞), da< 0 при х ∈ (-∞; 0)	x ∈ uchun y > 0 (-∞; +∞)
Monoton	Ortib bormoqda	Pastga	Ortib bormoqda	Pastga
Trigonometrik funktsiyaga munosabati	sin y = x	cos y = x	tg y = x	ctg y = x
Jadval

Teskari trigonometrik funksiyalarning ta’riflari va asosiy xossalari bilan bog‘liq yana bir qancha tipik misollar keltiramiz.

4-misol

Funksiyani aniqlash sohasini topamiz

y funksiya aniqlanishi uchun tengsizlikni qondirish kerakbu tengsizliklar tizimiga tengBirinchi tengsizlikning yechimi x oraliqdir∈ (-∞; +∞), ikkinchi - Bu interval va tengsizliklar sistemasining yechimi, shuning uchun funksiyani aniqlash sohasi

5-misol

Funktsiyaning o'zgarish sohasini topamiz

Funktsiyaning harakatini ko'rib chiqaylik z = 2x - x2 (rasmga qarang).

z ∈ ekanligi aniq (-∞; 1]. Argument ekanligini hisobga olib z yoy kotangenti funksiyasi belgilangan chegaralar ichida o'zgaradi, biz buni jadval ma'lumotlaridan olamizShunday qilib, o'zgarish maydoni

6-misol

y = funksiya ekanligini isbotlaylik arctg x g'alati. MayliKeyin tg a = -x yoki x = - tg a = tg (- a), va Shuning uchun - a = arctg x yoki a = - arctg X. Shunday qilib, biz buni ko'ramizya'ni y(x) toq funksiyadir.

7-misol

Barcha teskari trigonometrik funksiyalar orqali ifodalaylik

Mayli Bu aniq O'shandan beri

Keling, burchak bilan tanishtiramiz Chunki Bu

Shuning uchun ham xuddi shunday Va

Shunday qilib,

8-misol

y = funksiyaning grafigini tuzamiz cos (arcsin x).

U holda a = arcsin x ni belgilaymiz X = sin a va y = cos a, ya'ni x 2 ekanligini hisobga olamiz + y2 = 1 va x uchun cheklovlar (x∈ [-1; 1]) va y (y ≥ 0). Keyin y = funksiyaning grafigi cos(arcsin x) yarim doiradir.

9-misol

y = funksiyaning grafigini tuzamiz arccos (cos x).

cos funktsiyasidan beri x [-1 oraliqda o'zgaradi; 1], u holda y funktsiyasi butun sonli o'qda aniqlanadi va segmentda o'zgaradi. y = ekanligini yodda tutaylik arccos (cosx) segmentdagi = x; y funksiya juft va davriy 2p davr bilan. Funktsiyaning ushbu xususiyatlarga ega ekanligini hisobga olsak chunki x Endi grafik yaratish oson.

Keling, ba'zi foydali tengliklarni ta'kidlaylik:

10-misol

Eng kichigini topamiz va eng yuqori qiymat funktsiyalari belgilaylik Keyin Funktsiyani olamiz Bu funksiya nuqtada minimal qiymatga ega z = p/4 va u ga teng Funktsiyaning eng katta qiymati nuqtada erishiladi z = -p/2 va u teng Shunday qilib, va

11-misol

Keling, tenglamani yechamiz

Buni hisobga olsak Keyin tenglama quyidagicha ko'rinadi:yoki qayerda Arktangentning ta'rifi bo'yicha biz quyidagilarni olamiz:

2. Oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish

1-misolga o'xshab, siz eng oddiy trigonometrik tenglamalarning yechimlarini olishingiz mumkin.

Tenglama	Yechim
tgx = a
ctg x = a

12-misol

Keling, tenglamani yechamiz

Sinus funktsiyasi toq bo'lgani uchun tenglamani ko'rinishda yozamizUshbu tenglamaning yechimlari:uni qayerdan topamiz?

13-misol

Keling, tenglamani yechamiz

Berilgan formuladan foydalanib, biz tenglamaning yechimlarini yozamiz:va topamiz

Tenglamalarni yechishda maxsus holatlarda (a = 0; ±1) e'tibor bering sin x = a va cos x = lekin undan foydalanish osonroq va qulayroq umumiy formulalar, va birlik doirasiga asoslangan yechimlarni yozing:

sin x = 1 yechim tenglamasi uchun

sin x = 0 tenglama uchun yechimlar x = p k;

sin x = -1 tenglama uchun yechim

cos tenglamasi uchun x = 1 yechim x = 2p k ;

cos x = 0 tenglama uchun yechimlar

cos x = -1 tenglama uchun yechim

14-misol

Keling, tenglamani yechamiz

Chunki bu misolda mavjud maxsus holat tenglamalar, keyin tegishli formuladan foydalanib, biz yechimni yozamiz:uni qayerdan topsak bo'ladi?

III. Nazorat savollari (frontal so'rov)

1. Teskari trigonometrik funksiyalarning asosiy xossalarini aniqlang va sanab bering.

2. Teskari trigonometrik funksiyalarning grafiklarini keltiring.

3. Oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish.

IV. Darsga topshiriq

§ 15, № 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16, № 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

§ 17, № 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).

V. Uyga vazifa

§ 15, № 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;

§ 16, № 4 (c, d); 7 (b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);

§ 17, № 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

VI. Ijodiy vazifalar

1. Funktsiya sohasini toping:

Javoblar:

2. Funktsiya diapazonini toping:

Javoblar:

3. Funksiya grafigini tuzing:

VII. Darslarni sarhisob qilish

Matematika bo'yicha yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik

Tajriba

9-dars Teskari trigonometrik funksiyalar.

Amaliyot

Dars xulosasi

Trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni yechishda bizga asosan yoy funksiyalari bilan ishlash qobiliyati kerak bo'ladi.

Endi biz ko'rib chiqadigan vazifalar ikki turga bo'linadi: teskari trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini hisoblash va asosiy xususiyatlardan foydalangan holda ularni o'zgartirish.

Ark funksiyalarining qiymatlarini hisoblash

Ark funksiyalarining qiymatlarini hisoblashdan boshlaylik.

Vazifa № 1. Hisoblash.

Ko'rib turganimizdek, yoy funktsiyalarining barcha argumentlari ijobiy va jadvalli bo'lib, biz burchaklar qiymatini trigonometrik funktsiyalar qiymatlari jadvalining birinchi qismidan dan gacha bo'lgan burchaklar uchun tiklashimiz mumkinligini anglatadi. Ushbu burchak diapazoni har bir kamon funksiyasining qiymatlari oralig'iga kiritilgan, shuning uchun biz shunchaki jadvaldan foydalanamiz, undagi trigonometrik funktsiyaning qiymatini topamiz va qaysi burchakka mos kelishini tiklaymiz.

A)

b)

V)

G)

Javob. .

Vazifa № 2. Hisoblash

.

Ushbu misolda biz allaqachon salbiy dalillarni ko'ramiz. Umumiy xato bu holda, bu shunchaki funktsiya ostidagi minusni olib tashlash va vazifani avvalgisiga qisqartirishdir. Biroq, bu barcha holatlarda amalga oshirilmaydi. Keling, darsning nazariy qismida barcha yoy funktsiyalarining paritetini muhokama qilganimizni eslaylik. Toq bo'lganlar arksinus va arktangens, ya'ni ulardan minus olinadi, arkkosin va arkkotangent esa funksiyalardir. umumiy ko'rinish, argumentdagi minusni soddalashtirish uchun ular maxsus formulalarga ega. Hisoblashdan so'ng, xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun biz natija qiymatlar oralig'ida ekanligini tekshiramiz.

Funktsiya argumentlari ijobiy shaklga soddalashtirilganda, biz jadvaldan mos keladigan burchak qiymatlarini yozamiz.

Savol tug'ilishi mumkin: nima uchun mos keladigan burchakning qiymatini, masalan, to'g'ridan-to'g'ri jadvaldan yozmaslik kerak? Birinchidan, oldingi jadvalni eslab qolish avvalgidan ko'ra qiyinroq bo'lgani uchun, ikkinchidan, unda salbiy sinus qiymatlari yo'qligi va salbiy qiymatlar tangens jadvalga muvofiq noto'g'ri burchakni beradi. Turli xil yondashuvlar bilan chalkashib ketishdan ko'ra, yechimga universal yondashuvga ega bo'lish yaxshiroqdir.

Vazifa № 3. Hisoblash.

a) Bu holatda odatiy xato - minusni olib tashlash va biror narsani soddalashtirish. E'tibor berish kerak bo'lgan birinchi narsa, arcsine argumenti doirasiga kirmaydi

Shuning uchun bu yozuv hech qanday ma'noga ega emas va arksinusni hisoblash mumkin emas.

b) Bu holatda standart xato shundaki, ular argument va funktsiya qiymatlarini chalkashtirib, javob beradilar. Bu haqiqat emas! Albatta, jadvalda kosinus qiymatga to'g'ri keladi degan fikr paydo bo'ladi, ammo bu holda chalkash narsa shundaki, yoy funktsiyalari burchaklardan emas, balki trigonometrik funktsiyalarning qiymatlaridan hisoblanadi. Ya'ni, yo'q.

Bundan tashqari, biz yoy kosinusining argumenti nima ekanligini aniqlaganimiz sababli, uning ta'rif sohasiga kiritilganligini tekshirish kerak. Buning uchun keling, buni eslaylik , ya'ni, arkkosin mantiqiy emas va hisoblab bo'lmaydi.

Aytgancha, masalan, ifoda ma'noga ega, chunki , lekin teng kosinusning qiymati jadvalli bo'lmagani uchun, jadval yordamida yoy kosinusini hisoblash mumkin emas.

Javob. Ifodalar mantiqiy emas.

Ushbu misolda biz arktangens va arkkotangentni hisobga olmaymiz, chunki ularning ta'rif sohasi cheklanmagan va funktsiya qiymatlari har qanday argumentlar uchun bo'ladi.

Vazifa № 4. Hisoblash .

Aslida, vazifa birinchisiga tushadi, biz faqat ikkita funktsiyaning qiymatlarini alohida hisoblashimiz va keyin ularni asl ifodaga almashtirishimiz kerak.

Arktangens argumenti jadval shaklida bo'lib, natija qiymatlar oralig'iga tegishli.

Arkkosin argumenti jadvalli emas, lekin bu bizni qo'rqitmasligi kerak, chunki arkkosin nimaga teng bo'lishidan qat'i nazar, uning qiymati nolga ko'paytirilganda nolga teng bo'ladi. Bitta muhim eslatma qoldi: arkkosin argumenti ta'rif sohasiga tegishli yoki yo'qligini tekshirish kerak, chunki agar bunday bo'lmasa, unda nolga ko'paytirishdan qat'i nazar, butun ifoda mantiqiy bo'lmaydi. . Ammo, shuning uchun biz buni mantiqiy deb aytishimiz mumkin va biz javobda nolga erishamiz.

Yana bir misol keltiraylik, bunda bir yoy funksiyasini boshqasining qiymatini bilgan holda hisoblay olish kerak.

Muammo №5. Agar ma'lum bo'lsa, hisoblang.

Avval ko'rsatilgan tenglamadan x qiymatini hisoblash va keyin uni kerakli ifodaga, ya'ni teskari tangensga almashtirish kerakdek tuyulishi mumkin, ammo bu shart emas.

Keling, ushbu funktsiyalar bir-biri bilan bog'liq bo'lgan formulani eslaylik:

Undan bizga nima kerakligini aytaylik:

Ishonch hosil qilish uchun, natijaning yoy kotangenti oralig'ida ekanligini tekshirishingiz mumkin.

Ark funksiyalarining asosiy xossalari yordamida transformatsiyalari

Keling, bir qator vazifalarga o'tamiz, bunda biz arc funktsiyalarining asosiy xususiyatlaridan foydalangan holda transformatsiyalardan foydalanishimiz kerak.

Muammo №6. Hisoblash .

Yechish uchun biz ko'rsatilgan yoy funktsiyalarining asosiy xususiyatlaridan foydalanamiz, faqat tegishli cheklovlarni tekshirib ko'ring.

A)

b) .

Javob. A) ; b) .

Muammo № 7. Hisoblash.

Bu holatda odatiy xatolik darhol javob sifatida 4 ni yozishdir.Avvalgi misolda ta'kidlaganimizdek, arc funksiyalarining asosiy xossalaridan foydalanish uchun ularning argumentiga tegishli cheklovlarni tekshirish kerak. Biz mulk bilan shug'ullanamiz:

da

Lekin . Qarorning ushbu bosqichida asosiy narsa, ko'rsatilgan ifoda mantiqiy emas va hisoblab bo'lmaydi deb o'ylamaslikdir. Axir, biz tangensning argumenti bo'lgan to'rtlikni tangens davrini ayirish orqali kamaytirishimiz mumkin va bu ifoda qiymatiga ta'sir qilmaydi. Ushbu qadamlarni bajarganimizdan so'ng, biz argumentni belgilangan diapazonga tushishi uchun qisqartirish imkoniyatiga ega bo'lamiz.

Chunki, shuning uchun, , chunki.

Muammo № 8. Hisoblash.

Yuqoridagi misolda biz arksinusning asosiy xususiyatiga o'xshash, lekin faqat u kofunktsiyalarni o'z ichiga olgan ifoda bilan shug'ullanamiz. U arksinusdan sinus yoki arksindan kosinus shakliga keltirilishi kerak. To'g'ridan-to'g'ri trigonometrik funktsiyalarni teskari funktsiyalarga qaraganda aylantirish osonroq bo'lgani uchun, keling, "trigonometrik birlik" formulasidan foydalanib, sinusdan kosinusga o'tamiz.

Biz allaqachon bilganimizdek:

Bizning holatda, rolda. Qulaylik uchun avval hisoblab chiqamiz .

Uni formulaga almashtirishdan oldin uning belgisini, ya'ni asl sinusning belgisini bilib olaylik. Biz yoyning kosinus qiymatidan sinusni hisoblashimiz kerak, bu qiymat nima bo'lishidan qat'i nazar, u diapazonda joylashganligini bilamiz. Bu diapazon sinus ijobiy bo'lgan birinchi va ikkinchi chorak burchaklariga to'g'ri keladi (buni trigonometrik doira yordamida o'zingiz tekshiring).

Bugungi kunda amaliy dars teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan ifodalarni hisoblash va o'zgartirishni ko'rib chiqdik

Materialni jismoniy mashqlar bilan mustahkamlang

Trener 1 Trener 2 Trener 3 Trener 4 Trener 5

Malaka oshirish kurslarida “Teskari trigonometrik funksiyalar. Tarkibida teskari trigonometrik funksiyalar mavjud masalalar” mavzusidagi yakuniy ish bajarildi.

Har bir bo'lim uchun qisqacha nazariy material, batafsil misollar va mustaqil hal qilish uchun topshiriqlar mavjud.

Ish o'rta maktab o'quvchilari va o'qituvchilariga qaratilgan.

Yuklab oling:

Ko‘rib chiqish:

BITIRUV ISHI

MAVZU:

“TESKI TRIGONOMETRIK FUNKSIYALAR.

TERS TRIGONOMETRIK FUNKSIYALARNING O'ZDAR MUAMMOLARI"

Amalga oshirilgan:

matematika o'qituvchisi

Munitsipal ta'lim muassasasi 5-son o'rta maktab, Lermontov

GORBACHENKO V.I.

Pyatigorsk 2011 yil

teskari TRIGONOMETRIK FUNKSIYALAR.

TERS TRIGONOMETRIK FUNKSIYALARNING O'ZDAR MUAMMOLARI

1. QISQA NAZARIY MA'LUMOT

1.1. Teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan eng oddiy tenglamalarning yechimlari:

1-jadval.

Tenglama	Yechim

1.2. Teskari trigonometrik funksiyalar ishtirokidagi oddiy tengsizliklarni yechish

2-jadval.

Tengsizlik	Yechim

1.3. Teskari trigonometrik funktsiyalar uchun ba'zi identifikatsiyalar

Teskari trigonometrik funktsiyalarning ta'rifidan kelib chiqadigan identifikatsiyalar

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

Bundan tashqari, identifikatsiyalar

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

Teskari trigonometrik funktsiyalardan farqli ravishda bog'liq bo'lgan identifikatsiyalar

(9)

(10)

2. teskari TRIGONOMETRIK FUNKSIYALAR BO'LGAN TENGLAMALAR

2.1. Shakl tenglamalari va hokazo.

Bunday tenglamalar ga kamayadi ratsional tenglamalar almashtirish.

Misol.

Yechim.

O'zgartirish ( ) tenglamani ildizlari kvadrat tenglamaga qisqartiradi.

Ildiz 3 shartni qoniqtirmaydi.

Keyin biz teskari almashtirishni olamiz

Javob.

Vazifalar.

2.2. Shakl tenglamalari, Qayerda - ratsional funktsiya.

Ushbu turdagi tenglamalarni echish uchun qo'yish kerak, eng oddiy shakldagi tenglamani yechingva teskari almashtirishni bajaring.

Misol.

Yechim.

Mayli. Keyin

Javob. .

Vazifalar.

2.3. Turli xil yoy funktsiyalarini yoki turli argumentlarning yoy funksiyalarini o'z ichiga olgan tenglamalar.

Agar tenglama turli xil yoy funktsiyalarini o'z ichiga olgan ifodalarni o'z ichiga olgan bo'lsa yoki bu yoy funktsiyalari turli argumentlarga bog'liq bo'lsa, unda bunday tenglamalarni ularning algebraik natijasiga qisqartirish odatda tenglamaning har ikki tomonida qandaydir trigonometrik funktsiyani hisoblash yo'li bilan amalga oshiriladi. Olingan begona ildizlar tekshirish yo'li bilan ajratiladi. Agar to'g'ridan-to'g'ri funktsiya sifatida tangens yoki kotangens tanlansa, bu funktsiyalarni aniqlash sohasiga kiritilgan echimlar yo'qolishi mumkin. Shuning uchun, tenglamaning har ikki tomonidan tangens yoki kotangens qiymatini hisoblashdan oldin, siz ushbu funktsiyalarni aniqlash sohasiga kirmagan nuqtalar orasida dastlabki tenglamaning ildizlari yo'qligiga ishonch hosil qilishingiz kerak.

Misol.

Yechim.

Keling, boshqa vaqtga o'taylik o'ng tomonga va tenglamaning har ikki tomonidan sinusning qiymatini hisoblang

O'zgarishlar natijasida biz olamiz

Bu tenglamaning ildizlari

Keling, tekshiramiz

Bizda bo'lganda

Shunday qilib, tenglamaning ildizidir.

O'rnini bosish , natijada paydo bo'lgan munosabatlarning chap tomoni ijobiy, o'ng tomoni esa salbiy ekanligini unutmang. Shunday qilib,- tenglamaning begona ildizi.

Javob. .

Vazifalar.

2.4. Bitta argumentning teskari trigonometrik funktsiyalarini o'z ichiga olgan tenglamalar.

Bunday tenglamalarni (1) - (10) asosiy identifikatorlari yordamida eng oddiyiga qisqartirish mumkin.

Misol.

Yechim.

Javob.

Vazifalar.

3. TERS TRIGONOMETRIK FUNKSIYALAR BO'LGAN TENGSIZLIKLAR

3.1. Eng oddiy tengsizliklar.

Eng oddiy tengsizliklarni yechish 2-jadvaldagi formulalarni qo'llashga asoslangan.

Misol.

Yechim.

Chunki , u holda tengsizlikning yechimi intervaldir.

Javob.

Vazifalar.

3.2. Shaklning tengsizliklari, - ba'zi ratsional funktsiya.

Shaklning tengsizliklari, ba'zi bir ratsional funktsiyadir va- teskari trigonometrik funksiyalardan biri ikki bosqichda yechiladi - birinchidan, noma'lumga nisbatan tengsizlik yechiladi., keyin esa teskari trigonometrik funktsiyani o'z ichiga olgan eng oddiy tengsizlik.

Misol.

Yechim.

Shunday bo'lsin

Tengsizliklarga yechimlar

Dastlabki noma'lumga qaytsak, biz asl tengsizlikni ikkita eng oddiy tengsizlikka kamaytirish mumkinligini topamiz

Ushbu yechimlarni birlashtirib, biz asl tengsizlikning echimlarini olamiz

Javob.

Vazifalar.

3.3. Qarama-qarshi yoy funktsiyalarini yoki turli argumentlarning yoy funksiyalarini o'z ichiga olgan tengsizliklar.

Har xil teskari trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini yoki turli argumentlardan hisoblangan bitta trigonometrik funktsiyaning qiymatlarini bir-biriga bog'laydigan tengsizliklarni tengsizliklarning har ikki tomonidagi ba'zi trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini hisoblash orqali hal qilish qulay. Shuni esda tutish kerakki, hosil bo'lgan tengsizlik dastlabki tengsizlikning o'ng va chap tomonlari qiymatlari to'plami ushbu trigonometrik funktsiyaning bir xil monotonlik oralig'iga tegishli bo'lsa, asl tengsizlikka ekvivalent bo'ladi.

Misol.

Yechim.

Bir guruh qabul qilinadigan qiymatlar tengsizlikka kiritilgan:. Da . Shuning uchun qadriyatlartengsizlikning yechimi emas.

Da tengsizlikning o'ng tomoni ham, chap tomoni ham qiymatlarga ega, intervalga tegishli . Chunki orasidasinus funktsiyasi monoton ravishda ortadi, keyin qachonasl tengsizlik ekvivalentdir

Oxirgi tengsizlikni yechish

Bo'shliq bilan kesib o'tish, biz yechim topamiz

Javob.

Izoh. yordamida hal qilish mumkin

Vazifalar.

3.4. Shaklning tengsizligi, Qayerda - teskari trigonometrik funktsiyalardan biri,- ratsional funktsiya.

Bunday tengsizliklar almashtirish yordamida yechiladiva 2-jadvaldagi eng oddiy tengsizlikka qisqartirish.

Misol.

Yechim.

Shunday bo'lsin

Keling, teskari almashtirishni bajaramiz va tizimni olamiz

Javob.

Vazifalar.

Rossiya Federatsiyasi Ta'lim federal agentligi

"Mari davlat universiteti" oliy kasbiy ta'lim davlat ta'lim muassasasi

Matematika va MPM kafedrasi

Kurs ishi

Teskari trigonometrik funksiyalar

Amalga oshirilgan:

talaba

33 JNF guruhlari

Yashmetova L.N.

Ilmiy maslahatchi:

Ph.D. dotsent

Borodina M.V.

Yoshkar-Ola

Kirish………………………………………………………………………………………………3

I bob. Teskari trigonometrik funksiyalarning ta'rifi.

1.1. Funktsiya y =arcsin x……………………………………………………........4

1.2. Funktsiya y =arccos x…………………………………………………….......5

1.3. Funktsiya y =arctg x………………………………………………………….6

1.4. Funktsiya y =arcctg x…………………………………………………….......7

II bob. Teskari trigonometrik funksiyali tenglamalarni yechish.

Teskari trigonometrik funksiyalar uchun asosiy munosabatlar....8

Teskari trigonometrik funksiyalarni o‘z ichiga olgan tenglamalarni yechish…………………………………………………………………………..11

Teskari trigonometrik funksiyalarning qiymatlarini hisoblash............21

Xulosa…………………………………………………………………………………….25

Adabiyotlar roʻyxati…………………………………………………………26

Kirish

Ko'pgina masalalarda faqat berilgan burchakdan trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini emas, balki aksincha, burchak yoki yoyni ham topish kerak. qiymatni belgilang ba'zi trigonometrik funktsiyalar.

Teskari trigonometrik funktsiyalar bilan bog'liq muammolar Yagona davlat imtihonining topshiriqlarida (ayniqsa, B va C qismlarida ko'p) mavjud. Masalan, Yagona davlat imtihonining B qismida tangensning mos keladigan qiymatini topish yoki teskari trigonometrik funktsiyalarning jadvalli qiymatlarini o'z ichiga olgan ifoda qiymatini hisoblash uchun sinus (kosinus) qiymatidan foydalanish kerak edi. Ushbu turdagi topshiriqlarga kelsak, shuni ta'kidlaymizki, maktab darsliklaridagi bunday topshiriqlar ularni amalga oshirishda kuchli mahoratni shakllantirish uchun etarli emas.

Bu. maqsad kurs ishi teskari trigonometrik funksiyalar va ularning xossalarini ko‘rib chiqish, teskari trigonometrik funksiyalarga doir masalalar yechish usullarini o‘rganishdan iborat.

Maqsadga erishish uchun biz quyidagi vazifalarni hal qilishimiz kerak:

Tadqiq qiling nazariy asos teskari trigonometrik funktsiyalar,

Nazariy bilimlarni amaliyotda qo‘llashni ko‘rsating.

BobI. Teskari trigonometrik funksiyalarning ta’rifi

1.1. Funktsiya y =arcsinx

Funktsiyani ko'rib chiqing,
. (1)

Bu oraliqda funktsiya monotonik (-1 dan 1 gacha ortadi), shuning uchun teskari funktsiya mavjud.

,
. (2)

Har bir berilgan qiymat da(sinus qiymati) [-1,1] oraliqdan bitta aniq belgilangan qiymatga mos keladi X(yoy kattaligi) oraliqdan
. Umumiy qabul qilingan belgiga o'tsak, biz olamiz

Qayerda
. (3)

Bu (1) funktsiyaga teskari funktsiyaning analitik spetsifikatsiyasi. Funktsiya (3) chaqiriladi arksin dalil . Bu funksiyaning grafigi funksiya grafigiga simmetrik egri chiziq bo’lib, bu yerda I va III koordinata burchaklarining bissektrisasiga nisbatan.

Funktsiyaning xossalarini keltiramiz, bu erda.

Mulk 1. Funktsiya qiymatini o'zgartirish maydoni: .

Mulk 2. Funktsiya g'alati, ya'ni.

Mulk 3. Bu yerda funksiya bitta ildizga ega
.

Mulk 4. Agar, keyin
; Agar , Bu.

Mulk 5. Funktsiya monotonikdir: argument -1 dan 1 gacha oshgani sayin, funktsiya qiymati dan ortadi.
oldin
.

1.2. Funktsiyay = arBilancosx

Funktsiyani ko'rib chiqing
, . (4)

Bu oraliqda funktsiya monotonik (+1 dan -1 gacha kamayadi), bu uning uchun teskari funksiya mavjudligini bildiradi.

, , (5)

bular. har bir qiymat [-1,1] oraliqdagi (kosinus qiymatlari) intervaldan bitta aniq belgilangan qiymatga (yoy qiymatlari) mos keladi. Umumiy qabul qilingan belgiga o'tsak, biz olamiz

, . (6)

Bu funktsiyaga teskari funktsiyaning analitik spetsifikatsiyasi (4). Funktsiya (6) chaqiriladi yoy kosinus dalil X. Bu funksiyaning grafigi o‘zaro teskari funksiyalar grafiklarining xossalari asosida tuzilishi mumkin.

Funktsiya , bu erda , quyidagi xususiyatlarga ega.

Mulk 1. Funktsiya qiymatini o'zgartirish maydoni:
.

Mulk 2. Miqdorlar
Va
munosabat bilan bog'liq

Mulk 3. Funktsiya bitta ildizga ega
.

Mulk 4. Funktsiya salbiy qiymatlarni qabul qilmaydi.

Mulk 5. Funktsiya monotonikdir: argument -1 dan +1 gacha oshgani sayin, funktsiya qiymatlari 0 dan kamayadi.

1.3. Funktsiyay = arctgx

Funktsiyani ko'rib chiqing
,
. (7)

E'tibor bering, bu funktsiya qat'iy dan gacha bo'lgan oraliqda joylashgan barcha qiymatlar uchun belgilangan; bu oraliqning oxirida u mavjud emas, chunki qiymatlar

- tangens uzilish nuqtalari.

Vaqtinchalik
funktsiya monotonik (dan ortadi -
oldin
), shuning uchun (1) funksiya uchun teskari funksiya mavjud:

,
, (8)

bular. intervaldan har bir berilgan qiymat (tangens qiymati).
oralig'idan juda aniq bir qiymatga (yoy o'lchamiga) mos keladi.

Umumiy qabul qilingan belgiga o'tsak, biz olamiz

,
. (9)

Bu teskari funktsiyaning analitik spetsifikatsiyasi (7). Funktsiya (9) chaqiriladi arktangent dalil X. E'tibor bering, qachon
funktsiya qiymati
, va qachon

, ya'ni. Funktsiya grafigida ikkita asimptot mavjud:
Va.

, , funksiyasi quyidagi xususiyatlarga ega.

Mulk 1. Funktsiya qiymatlarini o'zgartirish diapazoni
.

Mulk 2. Funktsiya g'alati, ya'ni. .

Mulk 3. Funktsiya bitta ildizga ega.

Mulk 4. Agar
, Bu

; Agar , Bu
.

Mulk 5. Funksiya monotonikdir: argument dan ga ortishi bilan funktsiya qiymati + dan oshadi.

1.4. Funktsiyay = arcctgx

Funktsiyani ko'rib chiqing
,
. (10)

Bu funktsiya 0 dan oraliqda joylashgan barcha qiymatlar uchun aniqlanadi; bu oraliqning oxirida u mavjud emas, chunki qiymatlar va kotangentning uzilish nuqtalari hisoblanadi. (0,) oraliqda funksiya monotonik (dan to gacha kamayadi), shuning uchun (1) funksiya uchun teskari funksiya mavjud.

, (11)

bular. oraliqdan har bir berilgan qiymatga (kotangent qiymati)
) (0,) oralig'idan bitta aniq belgilangan qiymatga (yoy o'lchamiga) to'g'ri keladi. Umumiy qabul qilingan belgilarga o'tsak, biz quyidagi munosabatni olamiz: Xulosa >> Matematika trigonometrik funktsiyalari. TO teskari trigonometrik funktsiyalari odatda olti deb ataladi funktsiyalari: arcsine...

Kontseptsiyani rivojlantirish dialektikasi funktsiyalari maktab matematika kursida

Dissertatsiya >> Pedagogika

... . Teskari trigonometrik funktsiyalari. Asosiy maqsad - xususiyatlarni o'rganish trigonometrik funktsiyalari, o‘quvchilarga o‘z grafiklarini tuzishni o‘rgating. Birinchidan trigonometrik funktsiyasi ...

Kontseptsiya qanday paydo bo'lgan va rivojlangan funktsiyalari

Annotatsiya >> Matematika

Bu tenglama qanday mos keladi? teskari trigonometrik funktsiyasi, sikloid algebraik emas... va yozuv ham trigonometrik) teskari trigonometrik, eksponensial va logarifmik funktsiyalari. Bunday funktsiyalari elementar deb ataladi. Tez orada...