Uchun oddiy bo'limlar statik momentlar va inersiya momentlari Integratsiya yordamida (2.1)-(2.4) formulalar yordamida topiladi. Masalan, eksenel inersiya momentini hisoblashni ko'rib chiqaylik J x shaklda ko'rsatilgan ixtiyoriy qism uchun. 2.9. To'rtburchaklar koordinatalar tizimida maydon elementi ekanligini hisobga olsak dF=dxdy, olamiz

qayerdax^(y) va x in (y) - kontur nuqtalarining ba'zi bir belgilangan qiymatdagi koordinatalari u.

X ustida integratsiyani amalga oshirib, topamiz

Kattalik b(y) darajada bo'lim kengligini ifodalaydi da(2.9-rasmga qarang) va mahsulot b(y)dy = dF - o'qga parallel ravishda soyali elementar chiziqning maydoni Oh. Buni hisobga olgan holda / uchun formulasi shaklga o'tkaziladi

Xuddi shunday ifodani inersiya momenti uchun ham olish mumkin Jy.

To'rtburchak. 2-xususiyatga (§ 2.5) muvofiq to'rtburchakning simmetriya o'qlariga to'g'ri keladigan asosiy markaziy o'qlarga nisbatan inersiya momentlarini topamiz (2.10-rasm). Bo'limning kengligi doimiy bo'lgani uchun (2.14) formuladan foydalanib, biz olamiz

O'qga nisbatan inersiya momenti Oh x x x Birinchi formula bo'yicha (2.6) aniqlaymiz:

Inersiya momentlari / va J xuddi shunday topiladi. To'rtburchakning eksenel inersiya momentlari formulalarini yozamiz:

Ixtiyoriy uchburchak. Birinchidan, o'qga nisbatan inersiya momentini topamiz 0 (x v uchburchak asosidan o'tuvchi (2.11-rasm). Bo'lim kengligi b(y()) darajada y ( uchburchaklarning o'xshashligidan topiladi:

Ushbu miqdorni (2.14) formulaga qo'yib, integratsiyani amalga oshirib, biz hosil bo'lamiz

Boltalar haqida lahzalar Oh Va 0 2 x 2, asosga parallel ravishda va tortishish markazidan va uchburchakning tepasidan o'tib, mos ravishda (2.6) formulalar yordamida topamiz:

Ushbu formulalarda b ( =h/ 3 va b 2 = -2 soat/3 - mos ravishda uchburchakning og'irlik markazining ordinatalari HAQIDA koordinatalar tizimida O x x 1 y 1 Va 0 2 x 2 y t

1 ° 2 r G* aU 1

TL P *2

g >4™_ °2 1

D__V_!_*_ / ^ *3

V XV* ;-7^Lt^

U_ U-_XI - UZ__u

HAQIDA,| b *, 0 b/b 2 %*1

Guruch. 2.11 Guruch. 2.12

Uchburchakning asosga parallel o'qlarga nisbatan eksenel inersiya momentlari formulalarini yozamiz:

To'g'ri va teng yonli uchburchaklar. To'g'ri burchakli uchburchak uchun (2.12-rasm) markazdan qochma inersiya momentini aniqlaymiz. J markaziy o'qlarga nisbatan Oh Va OU, oyoqlarga parallel. Buni formula (2.3) yordamida amalga oshirish mumkin. Biroq, muammoni hal qilish quyidagi texnikani qo'llash orqali soddalashtirilishi mumkin. Medianadan foydalanish 0 { 0 3 berilgan uchburchakni ikkita teng yonli uchburchakka ajrating 0 (0 3 A Va Ofi 3 B. O'qlar 0 3 x 3 va 0 3 y 3 bu uchburchaklar uchun simmetriya o'qlari bo'lib, 2-xususiyaga (§ 2.5) asoslanib, ularning har birining alohida, shuning uchun butun uchburchakning asosiy o'qlari bo'ladi. O x AB. Shuning uchun markazdan qochma inersiya momenti J=0. Santrifuga

uchburchakning o'qlarga nisbatan momenti Oh Va OU Biz oxirgi formuladan foydalanib topamiz (2.6):

To'g'ri burchakli uchburchakning inersiya momentlari formulalarini yozamiz:

Inersiya momenti teng yonli uchburchak simmetriya o'qiga nisbatan OU(2.13-rasm) biz (2.17) formulalarning to'rtinchisidan foydalanib, asosi bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakning ikki barobar ko'paygan inersiya momentini aniqlaymiz. h va balandligi b/ 2:

Shunday qilib, teng yonli uchburchakning asosiy markaziy o'qlarga nisbatan inersiya momentlari Oh Va OU formulalar bilan aniqlanadi

Doira. Birinchidan, (2.4) formuladan foydalanib, qutb koordinata tizimidan foydalanib, aylananing qutb inersiya momentini hisoblash qulay (2.14-rasm).

Shuni hisobga olib dF-rdrdQ, topamiz

(2.4) ga muvofiq qutb momentidan boshlab summasiga teng ikkita eksenel momentni olamiz

Ring. Halqaning inersiya momentlari (2.15-rasm) radiusli ikkita aylana inersiya momentlari orasidagi farq sifatida topiladi. men 2 Va R ( :

Yarim doira(guruch. 2.16). Yarim doira tekisligida maydon elementini tanlaylik dF qutb koordinatalari bilan G, 0 va Dekart koordinatalari x v y v buning uchun, shaklga muvofiq. 2.16 bizda ... bor:

(2.1) va (2.5) formulalardan foydalanib, biz mos ravishda o'qga nisbatan yarim doira statik momentini topamiz. 0 ( x ( va 0 og'irlik markazida ordinata HAQIDA koordinatalar tizimida 0 ( x ( Uy

0, x va o'qlarga nisbatan 0 (y v yarim doira uchun asosiy o'qlar bo'lgan eksenel inersiya momentlari aylananing inersiya momentlarining yarmiga teng:

Asosiy markaziy o'qga nisbatan inersiya momenti birinchi formula (2.6) yordamida aniqlanadi:

Ellips. Yarim o'qli ellipsning eksenel inersiya momentini hisoblash A Va b o'qiga nisbatan Oh(2.17-rasm) quyidagicha harakat qilamiz. Keling, ellips atrofida aylana chizamiz va kenglikdagi ikkita elementar chiziqni tanlaymiz dx va balandligi 2uk doira va 2 uchun uh ellips uchun. Ushbu ikkita chiziqning inersiya momentlari to'rtburchak uchun formulalarning birinchisi (2.15) bo'yicha aniqlanishi mumkin:

gacha bo'lgan bu iboralarni birlashtirish -A oldin A, olamiz

Guruch. 2.16

Guruch. 2.17

Bizda aylana va ellips tenglamalaridan

Buni hisobga olgan holda

Xuddi shunday ifodani o'qga nisbatan inersiya momenti uchun ham olish mumkin OU. Natijada, ellips uchun biz ega bo'lamiz quyidagi formulalar eksenel momentlar uchun:

O'ralgan novdalar. Rolikli rodlar (I-nurlar, kanallar, burchaklar) uchastkalarining geometrik xarakteristikalari prokat assortimenti jadvallarida keltirilgan (ilovaga qarang).

Oldingi bo'limlarda deformatsiyalarning eng oddiy turlarini - eksenel taranglik va siqilish, maydalash, parchalanishni ko'rib chiqsak, biz ularning qarshiligini aniqladik. harakat qiluvchi kuch faqat kuch ta'sir qiladigan elementning tasavvurlar maydonining o'lchamlariga mutanosib. Shunday qilib, bir xil tasavvurlar maydoni bilan, bir xil material va shaklda ko'rsatilgan tayoqlarning har biriga bir xil kuch ta'sir qiladi. 9.14, ularda teng stresslar paydo bo'ladi.
Boshqa ko'proq o'rganishga o'ting murakkab turlar deformatsiyalar (burilish, egilish, eksantrik siqilish h.k.) bu xollarda konstruksiya elementining tashqi kuchlarga chidamliligi nafaqat uning kesma maydoniga, balki bu maydonning kesma tekisligida taqsimlanishiga, ya'ni kesma shakliga bog'liqligini ko'ramiz. .
Kundalik tajribadan ko'rinib turibdiki, novda 4-ni vertikal yo'nalishda egish 5-tayoqqa qaraganda qiyinroq va novda 6 yanada qattiqroq bo'ladi, garchi bu novdalarning barchasining kesishish joylari bir xil bo'lsa ham (9.14-rasm).

Belgilovchi parametrlar geometrik xossalari Har xil tekislik raqamlari, maydondan tashqari: statik momentlar, inersiya momentlari, qarshilik momentlari va inersiya radiuslari.
Hududning statik momenti. Maydonga ega bo'lgan ixtiyoriy kesma shakliga ega bo'lgan nurni tasavvur qilaylik F, o'qi chizilgan tekislikda X(9.15-rasm). Hudud elementini tanlang dF, masofada joylashgan da o'qdan X.. Elementar platformaning x oʻqiga nisbatan statik momenti shu platforma va uning oʻqga boʻlgan masofasi hosilasi hisoblanadi:

Butun maydonning statik momenti F o'qiga nisbatan X ko'rib chiqilayotgan maydonda aniqlanishi mumkin bo'lgan barcha elementar maydonlarning statik momentlari yig'indisiga teng:

Kimdan nazariy mexanika Ma'lumki, figura maydonining og'irlik markazining koordinatalari quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:

Shunung uchun

Shuning uchun, maydoni bo'lgan figuraning statik momenti F har qanday o'qga nisbatan maydonning mahsulotiga va figuraning og'irlik markazining ushbu o'qqa bo'lgan masofasiga teng. Statik momentning o'lchami uzunlik birligi kub (,) dir.
Kesimning og'irlik markazidan o'tadigan o'qlar markaziy deb ataladi.Agar figuraning simmetriya o'qi bo'lsa, ikkinchisi har doim figuraning og'irlik markazidan o'tadi, ya'ni simmetriya o'qlari ham markaziy o'qlardir.
Shuni ham yodda tutamizki, murakkab figuraning ba'zi bir o'qqa nisbatan statik momenti dastlabki murakkab figurani bo'lish mumkin bo'lgan oddiy figuralarning bir xil o'qiga nisbatan statik momentlar yig'indisiga teng:
Guruch. 9.16. Murakkab figuraning og'irlik markazining koordinatalarini aniqlash sxemasi.

Ushbu muammoni hal qilish uchun biz ikkita koordinata o'qini tanlaymiz X Va da, shaklning yon tomonlariga to'g'ri keladi. Keling, barcha o'lchamlari ma'lum bo'lishi kerak bo'lgan shaklni elementar qismlarga - to'rtburchaklarga ajratamiz - og'irlik markazlarining koordinatalari aniq, chunki bu qismlar nosimmetrikdir. Keling, butun maydonning statik momentini hisoblash uchun ifodalar tuzamiz, masalan, o'qga nisbatan da. Bu ikki yo'l bilan amalga oshirilishi mumkin:
a) alohida maydonlarning statik momentlari yig'indisini oling
Bu ifodalarda F- butun figuraning maydoni; - uning og'irlik markazining koordinatasi; - shaklning alohida qismlarining maydonlari va - ularning og'irlik markazlarining koordinatalari.
Yuqorida yozilgan formulalarni bir-biriga tenglashtirib, biz bitta noma'lum tenglamaga ega bo'lamiz:
Xuddi shunday, figuraning og'irlik markazining o'qdan masofasi X quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Integrali maydon elementi va koordinatali nuqtagacha bo'lgan masofa kvadratining ko'paytmasi bo'lgan integralni tuzamiz (9.17-rasm), biz olamiz. qutbli inersiya momenti:
Saytning yana bir xususiyatini ta'kidlaymiz dF koordinatalar ko'paytmasiga ko'paytiriladi
Bu miqdor deyiladi markazdan qochma inertsiya momenti. Berilgan inersiya momentlari to'rtinchi darajaga (,) olingan uzunlik birliklarida o'lchanadi.
Shaklning eksenel va qutb inersiya momentlari musbat miqdorlar bo'lib, nolga teng bo'lishi mumkin emas. O'qlarning joylashishiga qarab markazdan qochma inertsiya momenti musbat yoki manfiy, shuningdek nolga teng bo'lishi mumkin. Markazdan qochma inertsiya momenti nolga teng bo'lgan ikkita o'zaro perpendikulyar o'q deyiladi. inertsiyaning asosiy o'qlari va belgilangan. Simmetrik figura uchun simmetriya o'qi ham asosiy o'q hisoblanadi.
Bosh o'qlarga nisbatan aniqlangan eksenel inersiya momentlari maksimal va minimal qiymatlarga ega.
Xuddi statik momentga kelsak, murakkab figuraning inersiya momenti uni tashkil etuvchi figuralarning inersiya momentlari yig‘indisiga teng. Yuqoridagi barcha inersiya momentlari bir xil o'qqa nisbatan hisoblangan holda to'g'ri ekanligini ta'kidlaymiz.
Inertsiya momentlari uchun hisob-kitoblarda tez-tez ishlatiladigan yana bir qoida mavjud. Eksenel momentlarga nisbatan u quyidagicha ifodalanadi: figuraning inersiya momenti markaziy o'qqa parallel bo'lgan o'qga nisbatan, markaziy o'qga nisbatan inersiya momentiga va shakl maydonining o'qlar orasidagi masofaning kvadratiga ko'paytmasiga teng (9.18-rasm):
Santrifüj inertsiya momentlari uchun analitik shakldagi tegishli qoida quyidagicha ko'rinadi:
Muayyan figuraning inersiya momentining qiymatini olish uchun, qoida tariqasida, ushbu raqamning maydoni bo'yicha tegishli integralni echish kerak. Biroq, muhandislik hisob-kitoblarini osonlashtirish uchun qurilish elementlarining eng keng tarqalgan kesma shakllari uchun bunday integrallar allaqachon echilgan va formulalar ko'rinishidagi echimlar natijalari jadvallarda keltirilgan, ulardan biri 3-ilovada joylashtirilgan. .
Bundan tashqari, mamlakatimizda ishlab chiqarilgan barcha standart prokat profillari uchun GOST standartlari (burchaklar, I-nurlar va boshqalar) prokatning har bir standart o'lchami uchun eksenel inersiya momentlari va boshqa geometrik xususiyatlar qiymatlarini beradi (4-ilovaga qarang).
Nihoyat, murakkab shakllarga ega bo'lgan kesmalar uchun inersiya momentlari yuqorida ko'rsatilgan ikkita qoida yordamida aniqlanadi: inersiya momentlarini qo'shish va bir o'qga nisbatan inersiya momentlarini boshqa o'qlarga aylantirish.
Qarshilik momenti. Qarshilikning eksenel momenti tekis shakl shakl tekisligida yotgan har qanday o'qqa nisbatan, bir xil o'qqa nisbatan inersiya momentini figuraning eng uzoq nuqtasigacha bo'lgan masofaga bo'lish koeffitsienti deyiladi (9.17-rasmga qarang):
Qarshilik momentlari uzunligi kubik (,) o'lchamiga ega.
Eng tez-tez uchraydigan ko'rsatkichlarning eksenel qarshilik momentlarini hisoblash uchun formulalar 3-ilovada keltirilgan va prokatlangan po'lat profillar uchun ushbu xarakteristikaning o'ziga xos qiymatlari GOSTda keltirilgan (4-ilova). E'tibor bering, inertsiya momentlaridan farqli o'laroq, qarshilik momentlarini qo'shib bo'lmaydi.
Inersiya radiusi. Giratsiya radiusi formuladan olingan qiymatdir
va diametri bo'lgan doira uchun d aylana markazidan o'tuvchi o'qga nisbatan aylanish radiusi teng
Yuqorida ko'rib chiqilgan bo'limlarning geometrik tavsiflarini qo'llash doirasi ushbu bobning keyingi kichik bo'limlarida muhokama qilinadigan deformatsiyalar turlarini o'rganishda aniqlanadi.

Statik nazariy mexanikaning kuchlar toʻgʻrisidagi umumiy taʼlimotni belgilovchi va kuchlar taʼsirida jismlarning muvozanat holatini oʻrganuvchi boʻlimidir.

Statika ba'zi asosiy tamoyillarga asoslanadi ( aksiomalar), bu insoniyatning ko'p asrlik sanoat tajribasi va nazariy tadqiqotlarining umumlashtirilishi.

Aksioma 1. Agar erkin absolyut qattiq jismga ikkita kuch ta’sir etsa, u holda bu kuchlar kattalik jihatidan teng bo‘lsa va bir xil to‘g‘ri chiziq bo‘ylab qarama-qarshi yo‘nalishda yo‘naltirilgan bo‘lsagina, tana muvozanat holatida bo‘lishi mumkin (1.2-rasm).

1.2-rasm

Aksioma 2. Berilgan kuchlar tizimining mutlaq qattiq jismga ta'siri, agar unga muvozanatli kuchlar tizimi qo'shilsa yoki undan ayirilsa, o'zgarmaydi. Agar, keyin. Natija: kuchning mutlaq qattiq jismga ta'siri o'zgarmaydi, agar kuchning ta'sir qilish nuqtasi uning ta'sir chizig'i bo'ylab tananing istalgan boshqa nuqtasiga o'tkazilsa. Tanaga bir nuqtada qo'llaniladigan kuch ta'sir qilsin A kuch. Keling, ushbu kuchning ta'sir chizig'ida ixtiyoriy nuqtani tanlaylik IN, va unga muvozanatli kuchlarni qo'llang va bundan tashqari, . Kuchlar muvozanatli kuchlar tizimini tashkil qilganligi sababli, statikaning ikkinchi aksiomasi bo'yicha ularni tashlab yuborish mumkin. Natijada, tanaga faqat bitta kuch ta'sir qiladi, teng, lekin nuqtada qo'llaniladi IN(1.3-rasm).

1.3-rasm

Aksioma 3. Ikkita kuch qo'llaniladi qattiq tana bir nuqtada, xuddi shu nuqtada qo'llaniladigan natijaga ega bo'ling va tomonlarda bo'lgani kabi, bu kuchlar ustida qurilgan parallelogramma diagonali bilan ifodalanadi. Vektorlar ustida qurilgan parallelogramma diagonaliga teng vektor va vektorlarning geometrik yig'indisi deb ataladi va (1.4-rasm).

Aksioma 4. Harakat va reaksiya tengligi qonuni. Bir jismning boshqasiga har qanday ta'siri bilan bir xil kattalikdagi, lekin yo'nalishi bo'yicha qarama-qarshi reaktsiya mavjud (1.5-rasm).

1.5-rasm

Aksioma 5. Qattiqlashuv printsipi. Berilgan kuchlar tizimining ta'siri ostida o'zgaruvchan (deformatsiyalanadigan) tananing muvozanati buzilmaydi, agar tanani qotib qolgan deb hisoblasa, ya'ni. mutlaqo mustahkam.

4. Shakllarning geometrik xarakteristikalari. Statik moment. Markazdan qochma inersiya momenti, qutb inersiya momenti (asosiy tushunchalar).

Hisob-kitoblarning natijasi nafaqat tasavvurlar maydoniga bog'liq, shuning uchun materiallarning mustahkamligi bo'yicha muammolarni hal qilishda aniqlanmasdan turib bo'lmaydi. figuralarning geometrik xarakteristikalari: statik, eksenel, qutbli va markazdan qochma inersiya momentlari. Bo'limning og'irlik markazining o'rnini aniqlay olish juda muhim (ro'yxatdagi geometrik xususiyatlar og'irlik markazining holatiga bog'liq). Oddiy raqamlarning geometrik xususiyatlariga qo'shimcha ravishda: to'rtburchaklar, kvadratlar, isosseller va to'g'ri uchburchaklar, doira, yarim doira. Og'irlik markazi va asosiy markaziy o'qlarning joylashuvi ko'rsatiladi va ularga nisbatan geometrik xarakteristikalar, agar nur materiali bir hil bo'lsa, aniqlanadi.

To'rtburchak va kvadratning geometrik xarakteristikasi

To'rtburchakning eksenel inersiya momentlari (kvadrat)

TO‘RT burchakli uchburchakning GEOMETRIK XUSUSIYATLARI

To'g'ri burchakli uchburchakning eksenel inersiya momentlari

ISOS KELIQLI UCHBURCHCHINING GEOMETRIK XUSUSIYATLARI

Teng yonli uchburchakning eksenel inersiya momentlari

DOIRANING GEOMETRIK XUSUSIYATLARI

Aylananing eksenel inersiya momentlari

YARIMI AYLANGNING GEOMETRIK XUSUSIYATLARI

Yarim doiraning eksenel inersiya momentlari

Statik moment

Maydon F bo'lgan sterjenning ko'ndalang kesimini ko'rib chiqaylik. X va y koordinata o'qlarini ixtiyoriy O nuqta orqali o'tkazamiz. X va y koordinatalari bo'lgan maydon elementini tanlaymiz (4.1-rasm).

Keling, o'qqa nisbatan statik inersiya momenti tushunchasini kiritaylik - maydon elementining () x o'qiga masofa (y harfi bilan ko'rsatilgan) ko'paytmasiga teng qiymat:

Xuddi shunday, y o'qiga nisbatan statik inersiya momenti:

F maydoni bo'yicha bunday mahsulotlarni jamlab, biz butun figuraning x va y o'qlariga nisbatan statik inersiya momentini olamiz:

.

Statik inersiya momenti o'qqa nisbatan raqam kubik uzunlik birliklarida (sm3) o'lchanadi va ijobiy, salbiy va nolga teng bo'lishi mumkin.

Shaklning og'irlik markazining koordinatalari bo'lsin. Kuch momenti bilan o'xshashlikni davom ettirib, quyidagi iboralarni yozishimiz mumkin:

Shunday qilib, figura maydonining o'qqa nisbatan momenti (statik momenti) maydonning mahsuloti va uning og'irlik markazidan o'qgacha bo'lgan masofadir.

Santrifüj momentlari to'rtburchaklar o'qlarga nisbatan tananing inertsiyasi Dekart koordinatalar tizimi quyidagi miqdorlar deyiladi:

Qayerda x, y Va z- kichik tana elementining koordinatalari hajmi dV, zichlik ρ Va massa dm.

OX o'qi deyiladi tananing asosiy inertsiya o'qi, agar markazdan qochma inersiya momentlari J xy Va J xz bir vaqtning o'zida nolga teng. Tananing har bir nuqtasidan uchta asosiy inersiya o'qlarini o'tkazish mumkin. Bu o'qlar bir-biriga o'zaro perpendikulyar. Tananing inertsiya momentlari ixtiyoriy nuqtada chizilgan uchta asosiy inersiya o'qiga nisbatan O jismlar deyiladi tananing inertsiyasining asosiy momentlari.

U orqali o'tadigan asosiy inersiya o'qlari massa markazi jismlar deyiladi tananing inertsiyasining asosiy markaziy o'qlari, va bu o'qlarga nisbatan inersiya momentlari uning inertsiyaning asosiy markaziy momentlari. Simmetriya o'qi bir jinsli jismning har doim asosiy markaziy inertsiya o'qlaridan biri hisoblanadi.

Polar inersiya momenti- elementar platformalar maydonlari mahsulotining integral yig'indisi dA qutbdan masofaning kvadratiga - ρ 2 (qutb koordinatalari tizimida), butun tasavvurlar maydoni bo'ylab olingan. Ya'ni:

Bu qiymat ob'ektning burilishga qarshi turish qobiliyatini bashorat qilish uchun ishlatiladi. U to'rtinchi darajagacha uzunlik birliklarining o'lchamiga ega ( m 4 , sm 4 ) va faqat ijobiy bo'lishi mumkin.

Radiusli doira shaklidagi tasavvurlar maydoni uchun r qutb inersiya momenti:

Agar biz dekart to'rtburchaklar koordinata tizimining kelib chiqishini qutb tizimining qutbi bilan 0 birlashtirsak (rasmga qarang), u holda

chunki .

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, oddiy tekislik raqamlari uchta raqamni o'z ichiga oladi: to'rtburchak, uchburchak va aylana. Bu raqamlar oddiy hisoblanadi, chunki bu raqamlarning og'irlik markazining holati oldindan ma'lum. Boshqa barcha raqamlar ushbu oddiy raqamlardan tuzilishi mumkin va ular murakkab hisoblanadi. Oddiy figuralarning markaziy o'qlariga nisbatan eksenel inersiya momentlarini hisoblaymiz.

1. To'rtburchak. Keling, o'lchamlari bilan to'rtburchaklar profilning kesmasini ko'rib chiqaylik (4.6-rasm). Masofada ikkita cheksiz yaqin bo'limga ega bo'lim elementini tanlaymiz markaziy o'qdan
.

To'g'ri burchakli kesmaning o'qqa nisbatan inersiya momentini hisoblaymiz:

. (4.10)

To'g'ri burchakli kesmaning o'qga nisbatan inersiya momenti
xuddi shunday topamiz. Xulosa bu erda berilmagan.

. (4.11)

Va
nolga teng, chunki o'qlar
Va
simmetriya o'qlari va shuning uchun bosh o'qlar.

2. Izosceles uchburchagi. Keling, o'lchamlari bilan uchburchak profilning bir qismini ko'rib chiqaylik
(4.7-rasm). Masofada ikkita cheksiz yaqin bo'limga ega bo'lim elementini tanlaymiz markaziy o'qdan
. Uchburchakning og'irlik markazi uzoqda joylashgan
asosdan. Uchburchak teng yon tomonli deb qabul qilinadi, shuning uchun o'q
kesim simmetriya o'qidir.

Kesimning o'qga nisbatan inersiya momentini hisoblaylik
:

. (4.12)

Hajmi Biz uchburchaklarning o'xshashligini aniqlaymiz:

; qayerda
.

ga iboralarni almashtirish (4.12) da integratsiyalashgan holda biz quyidagilarni olamiz:

. (4.13)

O'q atrofidagi teng yonli uchburchak uchun inersiya momenti
shunga o'xshash tarzda topiladi va quyidagilarga teng:

(4.14)

O'qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti
Va
nolga teng, chunki o'q
kesimning simmetriya o'qidir.

3. Doira. Diametrli dumaloq profilning kesimini ko'rib chiqing (4.8-rasm). Masofada joylashgan ikkita cheksiz yaqin konsentrik doiralar bilan bo'lim elementini ajratib ko'rsatamiz aylananing og'irlik markazidan .

(4.5) ifoda yordamida aylananing qutb inersiya momentini hisoblaymiz:

. (4.15)

Ikki o'zaro perpendikulyar o'qqa (4.6) nisbatan eksenel inersiya momentlari yig'indisi uchun o'zgarmaslik shartidan foydalanish va simmetriya tufayli aylana uchun ekanligini hisobga olgan holda.
, biz eksenel inersiya momentlarining qiymatini aniqlaymiz:

. (4.16)

. (4.17)

O'qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti Va nolga teng, chunki o'qlar
Va
kesmaning simmetriya o'qlaridir.

4.4. Parallel o'qlarga nisbatan inersiya momentlari orasidagi bog'liqliklar

Murakkab raqamlar uchun inersiya momentlarini hisoblashda bitta qoidani yodda tutish kerak: inersiya momentlari uchun qiymatlarni qo'shish mumkin, agar ular bir xil o'qga nisbatan hisoblansa. Murakkab figuralar uchun ko'pincha individual oddiy figuralarning og'irlik markazlari va butun raqam bir-biriga to'g'ri kelmaydi. Shunga ko'ra, individual oddiy raqamlar va butun raqam uchun markaziy o'qlar bir-biriga mos kelmaydi. Shu munosabat bilan, inersiya momentlarini bir o'qqa, masalan, butun figuraning markaziy o'qiga olib kelish usullari mavjud. Bu inertsiya o'qlarining parallel tarjimasi va qo'shimcha hisob-kitoblarga bog'liq bo'lishi mumkin.

4.9-rasmda ko'rsatilgan parallel inersiya o'qlariga nisbatan inersiya momentlarini aniqlashni ko'rib chiqaylik.

4.9-rasmda ko'rsatilgan eksenel va markazdan qochma inersiya momentlari bo'lsin. o'zboshimchalik bilan tanlangan o'qlarga nisbatan raqamlar
Va
nuqtadagi kelib chiqishi bilan ma'lum. Shaklning ixtiyoriy parallel o'qlarga nisbatan eksenel va markazdan qochma inersiya momentlarini hisoblash talab qilinadi.
Va
nuqtadagi kelib chiqishi bilan . Akslar
Va
masofalarda amalga oshiriladi Va mos ravishda o'qlardan
Va
.

Eksenel inersiya momentlari (4.4) va markazdan qochma inersiya momenti (4.7) uchun ifodalardan foydalanamiz. Keling, joriy koordinatalar o'rniga ushbu ifodalarni almashtiramiz
Va
cheksiz kichik koordinata maydoniga ega element
Va
yangi koordinatalar tizimida. Biz olamiz:

Olingan iboralarni tahlil qilib, biz parallel o'qlarga nisbatan inersiya momentlarini hisoblashda dastlabki inersiya o'qlariga nisbatan hisoblangan inersiya momentlariga qo'shimcha shartlar ko'rinishidagi qo'shimchalar qo'shilishi kerak degan xulosaga kelamiz, ular ancha katta bo'lishi mumkin. asl o'qlarga nisbatan inersiya momentlari qiymatlaridan ko'ra. Shuning uchun, bu qo'shimcha shartlar hech qanday holatda e'tibordan chetda qolmasligi kerak.

Ko'rib chiqilgan ish eng ko'p umumiy holat ixtiyoriy inertsiya o'qlari boshlang'ich sifatida qabul qilinganda, o'qlarning parallel uzatilishi. Ko'pgina hisob-kitoblarda inersiya momentlarini aniqlashning maxsus holatlari mavjud.

Birinchidan maxsus holat . Boshlanish o'qlari - bu shaklning markaziy inertsiya o'qlari. Keyin, maydonning statik momenti uchun asosiy xususiyatdan foydalanib, biz (4.18) - (4.20) tenglamalardan rasm maydonining statik momentini o'z ichiga olgan tenglamalar shartlarini chiqarib tashlashimiz mumkin. Natijada biz quyidagilarni olamiz:

. (4.21)

. (4.22)

. (4.23)

Mana boltalar
Va
-markaziy inertsiya o'qlari.

Ikkinchi maxsus holat. Yo'naltiruvchi o'qlar inertsiyaning asosiy o'qlari hisoblanadi. Keyin, asosiy inersiya o'qlariga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti nolga teng ekanligini hisobga olib, biz quyidagilarni olamiz:

. (4.24)

. (4.25)

. (4.26)

Mana boltalar
Va
bosh inersiya o‘qlari.

Olingan ifodalardan foydalanamiz va tekis figuralar uchun inersiya momentlarini hisoblashning bir nechta misollarini ko'rib chiqamiz.

4.2-misol. Shaklda ko'rsatilgan shaklning eksenel inersiya momentlarini aniqlang. 4.10, markaziy o'qlarga nisbatan Va .

Oldingi 4.1-misolda 4.10-rasmda ko'rsatilgan rasm uchun S og'irlik markazining o'rni aniqlangan.Og'irlik markazining koordinatasi o'qdan chizilgan. va tuzilgan
. Keling, masofalarni hisoblaylik Va eksa o'rtasida Va va boltalar Va . Bu masofalar mos ravishda edi
Va
. Asl o'qlardan beri Va to'rtburchaklar shaklidagi oddiy figuralar uchun markaziy o'qlar, figuraning o'qga nisbatan inersiya momentini aniqlash uchun. Keling, birinchi alohida holat uchun xulosalardan, xususan, (4.21) formuladan foydalanamiz.

O'qga nisbatan inersiya momenti bir xil o'qqa nisbatan oddiy figuralarning inersiya momentlarini qo'shish orqali olamiz, chunki o'q oddiy figuralar va butun figura uchun umumiy markaziy o'qdir.

sm 4.

O'qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti Va nolga teng, chunki inertsiya o'qi - asosiy o'q (rasmning simmetriya o'qi).

4.3-misol. Hajmi qancha? b(sm bilan) rasmda ko'rsatilgan rasm. 4.11, agar figuraning o'qga nisbatan inersiya momenti 1000 sm 4 ga teng?

O'qqa nisbatan inersiya momentini ifodalaymiz noma'lum bo'lim o'lchami orqali , (4.21) formuladan foydalanib, o'qlar orasidagi masofani hisobga olgan holda Va 7 sm ga teng:

sm 4. (A)

(a) ifodani kesim o‘lchamiga nisbatan yechish , biz olamiz:

sm.

4.4-misol. 4.12-rasmda ko'rsatilgan raqamlardan qaysi biri o'qga nisbatan katta inersiya momentiga ega agar ikkala raqam ham bir xil maydonga ega bo'lsa
sm 2?

1. Shakllarning maydonlarini ularning o‘lchamlari bo‘yicha ifodalaymiz va aniqlaymiz:

a) dumaloq qism uchun kesim diametri:

sm 2; Qayerda
sm.

b) kvadrat tomonning o'lchami:

; Qayerda
sm.

2. Aylana kesma uchun inersiya momentini hisoblang:

sm 4.

3. Kvadrat kesim uchun inersiya momentini hisoblang:

sm 4.

Olingan natijalarni taqqoslab, biz kvadrat kesim bir xil maydonga ega bo'lgan aylana kesimga nisbatan eng yuqori inersiya momentiga ega bo'ladi degan xulosaga kelamiz.

4.5-misol. To'g'ri burchakli kesmaning og'irlik markaziga nisbatan qutb inersiya momentini (sm 4) aniqlang, agar kesmaning kengligi
sm, kesim balandligi
sm.

1. Kesmaning gorizontalga nisbatan inersiya momentlarini toping va vertikal markaziy inertsiya o'qlari:

sm 4;
sm 4.

2. Kesmaning qutb inersiya momentini eksenel inersiya momentlari yig’indisi sifatida aniqlaymiz:

sm 4.

4.6-misol. 4.13-rasmda ko'rsatilgan uchburchak figuraning markaziy o'qqa nisbatan inersiya momentini aniqlang. , agar figuraning o'qqa nisbatan inersiya momenti 2400 sm 4 ga teng.

Uchburchak kesimning asosiy inersiya o'qiga nisbatan inersiya momenti o'qga nisbatan inersiya momentiga nisbatan kamroq bo'ladi miqdori bo'yicha
. Shuning uchun, qachon
sm kesmaning o'qqa nisbatan inersiya momenti quyidagicha topamiz.