Demak, 1637 yilda ajoyib frantsuz matematigi Per Ferma tomonidan tuzilgan Fermaning oxirgi teoremasi (ko‘pincha Fermaning so‘nggi teoremasi deb ataladi) tabiatan juda sodda va o‘rta ma’lumotli har bir kishi uchun tushunarli. Unda aytilishicha, a formulasi n + b ning n = c ning n kuchiga tengligi n > 2 uchun tabiiy (ya’ni kasr emas) yechimlarga ega emas. Hamma narsa oddiy va tushunarli ko‘rinadi, lekin eng yaxshi matematiklar va oddiy havaskorlar uch yarim asrdan ko'proq vaqt davomida yechim izlash bilan kurashdilar.

Nega u shunchalik mashhur? Endi bilib olamiz...



Ko'p isbotlangan, isbotlanmagan va hali isbotlanmagan teoremalar bormi? Bu erda gap shundaki, Fermaning oxirgi teoremasi formulaning soddaligi va isbotning murakkabligi o'rtasidagi eng katta kontrastni ifodalaydi. Fermaning so'nggi teoremasi nihoyatda qiyin masala bo'lsa-da, uning formulasini 5-sinf darajasiga ega bo'lgan har bir kishi tushunishi mumkin. o'rta maktab, lekin isbot hatto har bir professional matematik uchun ham emas. Na fizikada, na kimyoda, na biologiyada, na matematikada bunchalik sodda tarzda shakllantirilishi mumkin bo'lgan, ammo uzoq vaqt davomida hal qilinmagan bitta muammo yo'q. 2. U nimadan iborat?

Keling, Pifagor shimlaridan boshlaylik.Bu so'z juda oddiy - birinchi qarashda. Bolaligimizdan bilganimizdek, "Pifagor shimlari har tomondan tengdir". Muammo juda oddiy ko'rinadi, chunki u hamma biladigan matematik bayonotga asoslangan edi - Pifagor teoremasi: har qanday holatda to'g'ri uchburchak gipotenuzada qurilgan kvadrat, summasiga teng oyoqlarda qurilgan kvadratlar.

Miloddan avvalgi V asrda. Pifagorlar Pifagor birodarligiga asos solgan. Pifagorchilar, boshqa narsalar qatorida, x²+y²=z² tengligini qanoatlantiradigan butun sonli uchliklarni oʻrgandilar. Ular cheksiz ko'p Pifagor uchligi borligini isbotladilar va ularni topishning umumiy formulalarini oldilar. Ular, ehtimol, uchta yoki undan ko'proq narsani qidirishga harakat qilishdi yuqori darajalar. Bu ish bermasligiga ishonch hosil qilgan Pifagorchilar o'zlarining foydasiz urinishlaridan voz kechdilar. Birodarlik a'zolari matematiklardan ko'ra ko'proq faylasuf va estetika edi.


Ya'ni, x²+y²=z² tengligini to'liq qondiradigan raqamlar to'plamini tanlash oson.

3, 4, 5 dan boshlab - haqiqatan ham, kichik o'quvchi 9 + 16 = 25 ekanligini tushunadi.

Yoki 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Ajoyib.

Va hokazo. Agar shunga o'xshash x³+y³=z³ tenglamasini olsak nima bo'ladi? Balki shunday raqamlar ham bordir?




Va hokazo (1-rasm).

Shunday qilib, ular YO'Q ekan. Bu erda hiyla boshlanadi. Oddiylik ko'rinadi, chunki biror narsaning mavjudligini emas, aksincha, uning yo'qligini isbotlash qiyin. Yechim borligini isbotlashingiz kerak bo'lganda, siz ushbu yechimni shunchaki taqdim etishingiz mumkin va kerak.

Yo‘qlikni isbotlash qiyinroq: masalan, kimdir aytadi: falon tenglamaning yechimi yo‘q. Uni ko'lmakka qo'yingmi? oson: bam - va bu erda, yechim! (yechim bering). Va bu, raqib mag'lub bo'ldi. Yo'qligini qanday isbotlash mumkin?

Ayting: "Men bunday echimlarni topmadim"? Yoki siz yaxshi ko'rmagandirsiz? Agar ular mavjud bo'lsa-chi, faqat juda katta, juda katta, hatto o'ta kuchli kompyuter hali ham etarli kuchga ega emasmi? Bu qiyin narsa.

Buni vizual tarzda quyidagicha ko'rsatish mumkin: agar siz mos o'lchamdagi ikkita kvadratni olib, ularni birlik kvadratlarga ajratsangiz, unda bu birlik kvadratlar to'plamidan uchinchi kvadratni olasiz (2-rasm):


Ammo uchinchi o'lchov bilan ham xuddi shunday qilaylik (3-rasm) - bu ishlamaydi. Kublar yetarli emas yoki qo'shimchalari qolgan:





Ammo 17-asr matematigi fransuz Per de Ferma ishtiyoq bilan tadqiq qildi umumiy tenglama x n +y n =z n . Va nihoyat, men shunday xulosaga keldim: n>2 uchun butun sonli echimlar yo'q. Fermatning isboti qaytarib bo'lmaydigan darajada yo'qoladi. Qo'lyozmalar yonmoqda! Uning Diofantning “Arifmetika” asarida aytgan gapi qolgan: “Men bu taklifning chindan ham hayratlanarli isbotini topdim, lekin bu yerdagi chegaralar uni o‘z ichiga olish uchun juda tor”.

Aslida isbotsiz teorema gipoteza deyiladi. Ammo Fermat hech qachon xato qilmasligi bilan mashhur. Agar u bayonotga dalil qoldirmagan bo'lsa ham, keyinchalik bu tasdiqlandi. Bundan tashqari, Fermat o'z dissertatsiyasini n = 4 uchun isbotladi. Shunday qilib, frantsuz matematigining gipotezasi Fermaning oxirgi teoremasi sifatida tarixga kirdi.

Fermatdan keyin Leonhard Eyler kabi buyuk aqllar dalil izlash ustida ishladilar (1770 yilda u n = 3 uchun yechim taklif qildi),

Adrien Legendre va Iogann Dirichlet (bu olimlar birgalikda 1825 yilda n = 5 isbotini topdilar), Gabriel Lame (n = 7 uchun dalil topdilar) va boshqalar. 1980-yillarning o'rtalariga kelib, bu aniq bo'ldi ilmiy dunyo Fermaning so'nggi teoremasining yakuniy yechimi yo'lida, biroq matematiklar Fermaning oxirgi teoremasining isbotini topish bo'yicha uch asrlik doston amalda tugaganini faqat 1993 yilda ko'rishgan va ishonishgan.

Ferma teoremasini faqat oddiy n uchun isbotlash kifoya: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Kompozit n uchun isbot o‘z kuchida qoladi. Biroq shu bilan birga tub sonlar cheksiz ko'p ...

1825 yilda Sofi Jermen usulidan foydalanib, ayol matematiklar, Dirixlet va Legendre mustaqil ravishda n=5 teoremasini isbotladilar. 1839 yilda xuddi shu usuldan foydalanib, frantsuz Gabriel Lame n=7 uchun teoremaning haqiqatini ko'rsatdi. Asta-sekin teorema yuzdan kam bo'lgan deyarli hamma n uchun isbotlandi.


Nihoyat, nemis matematigi Ernst Kummer ajoyib tadqiqotida 19-asr matematikasi usullaridan foydalangan holda, teoremani ko'rsatdi. umumiy ko'rinish isbotlab bo'lmaydi. 1847 yilda Ferma teoremasini isbotlagani uchun Fransiya Fanlar akademiyasining mukofoti berilmagan.

1907 yilda boy nemis sanoatchisi Pol Volfskehl javobsiz sevgi tufayli o'z joniga qasd qilishga qaror qildi. Haqiqiy nemis kabi, u o'z joniga qasd qilish sanasi va vaqtini belgiladi: aynan yarim tunda. Oxirgi kuni u vasiyat qildi va do'stlari va qarindoshlariga xat yozdi. Ishlar yarim tungacha tugadi. Aytish kerakki, Pavlus matematikaga qiziqardi. Boshqa hech narsa qilmay, kutubxonaga bordi va Kummerning mashhur maqolasini o'qiy boshladi. Birdan unga Kummer fikr yuritishda xato qilgandek tuyuldi. Volfskel qo'lidagi qalam bilan maqolaning ushbu qismini tahlil qila boshladi. Yarim tun o'tdi, tong keldi. Dalildagi bo'shliq to'ldirildi. Va o'z joniga qasd qilishning sababi endi mutlaqo kulgili ko'rinardi. Pavlus vidolashuv maktublarini yirtib tashladi va vasiyatini qayta yozdi.

Tez orada u tabiiy sabablarga ko'ra vafot etdi. Merosxo'rlar juda hayratda qolishdi: 100 000 marka (1 000 000 dan ortiq funt sterling) o'sha yili Volfskehl mukofoti uchun tanlov e'lon qilgan Göttingen Qirollik ilmiy jamiyati hisobiga o'tkazildi. Ferma teoremasini isbotlagan kishiga 100 000 ball berildi. Teoremani rad etganlik uchun bir pfennig mukofotlanmadi...

Aksariyat professional matematiklar Fermaning so'nggi teoremasining isbotini izlashni umidsiz ish deb bilishgan va bunday befoyda mashqqa vaqt sarflashni qat'iyan rad etishgan. Ammo havaskorlar hayajonlanishdi. E'londan bir necha hafta o'tgach, Gettingen universitetiga "dalil" ko'chkisi tushdi. Yuborilgan dalillarni tahlil qilish mas'uliyati bo'lgan professor E.M.Landau o'z talabalariga kartalarni tarqatdi:


Azizim. . . . . . . .

Fermatning so'nggi teoremasining isboti bilan qo'lyozmani yuborganingiz uchun tashakkur. Birinchi xato sahifada ... qatorda... . Shu sababli, butun dalil o'z kuchini yo'qotadi.
Professor E. M. Landau











1963 yilda Pol Koen Gödel topilmalariga tayanib, Gilbertning yigirma uchta muammosidan biri - kontinuum gipotezasini yechish mumkin emasligini isbotladi. Fermaning so'nggi teoremasi ham hal bo'lmasa-chi?! Lekin haqiqiy Buyuk Teorema aqidaparastlari umuman hafsalasi pir bo'lmadi. Kompyuterlarning paydo bo'lishi to'satdan matematiklarga yangi isbotlash usulini berdi. Ikkinchi jahon urushidan keyin dasturchilar va matematiklar jamoalari Fermatning so'nggi teoremasini n ning 500 gacha, keyin 1000 gacha va keyinroq 10000 gacha bo'lgan barcha qiymatlari uchun isbotladilar.

1980-yillarda Samuel Vagstaff chegarani 25 000 ga ko'tardi va 1990-yillarda matematiklar Fermatning oxirgi teoremasi n ning 4 milliongacha bo'lgan barcha qiymatlari uchun to'g'ri ekanligini e'lon qilishdi. Ammo cheksizlikdan trillion trillionni ham olib tashlasangiz, u kichik bo'lib qolmaydi. Matematiklar statistik ma'lumotlarga ishonmaydilar. Buyuk teoremani isbotlash, uni HAMMA n cheksizlikka qadar isbotlashni anglatardi.




1954 yilda ikkita yosh yapon matematik do'stlari modulli shakllarni tadqiq qilishni boshladilar. Bu shakllar raqamlar qatorini hosil qiladi, ularning har biri o'z seriyasiga ega. Tasodifan, Taniyama bu qatorlarni elliptik tenglamalar bilan hosil qilingan qatorlar bilan taqqosladi. Ular mos kelishdi! Ammo modulli shakllar geometrik ob'ektlar, elliptik tenglamalar esa algebraikdir. Bunday turli xil ob'ektlar o'rtasida hech qanday aloqa topilmagan.

Biroq, sinchkovlik bilan tekshirilgandan so'ng, do'stlar gipotezani ilgari surdilar: har bir elliptik tenglama egizak - modulli shaklga ega va aksincha. Aynan shu gipoteza matematikada butun bir yo‘nalishning asosiga aylandi, biroq Taniyama-Shimura gipotezasi isbotlanmaguncha, butun bino istalgan vaqtda qulashi mumkin edi.

1984 yilda Gerxard Frey Ferma tenglamasining yechimi, agar u mavjud boʻlsa, qandaydir elliptik tenglamaga kiritilishi mumkinligini koʻrsatdi. Ikki yil o'tgach, professor Ken Ribet bu faraziy tenglamaning modulli dunyoda o'xshashi bo'lmasligini isbotladi. Bundan buyon Fermaning so'nggi teoremasi Taniyama-Shimura gipotezasi bilan uzviy bog'liq edi. Har qanday elliptik egri chiziq modulli ekanligini isbotlab, Ferma tenglamasining yechimi bilan elliptik tenglama yo'q degan xulosaga keldik va Fermaning oxirgi teoremasi darhol isbotlangan bo'ladi. Ammo o'ttiz yil davomida Taniyama-Shimura gipotezasini isbotlashning iloji bo'lmadi va muvaffaqiyatga umid kamroq edi.

1963 yilda, u endigina o'n yoshga to'lganida, Endryu Uayls allaqachon matematikaga qiziqib qolgan edi. U Buyuk Teorema haqida bilib, undan voz kecholmasligini tushundi. U maktab o‘quvchisi, talaba va aspirant sifatida o‘zini bu ishga tayyorlagan.

Ken Ribetning topilmalarini bilib, Uayls Taniyama-Shimura taxminini isbotlashga shoshildi. U to'liq izolyatsiya va maxfiylikda ishlashga qaror qildi. "Men tushundimki, Fermaning oxirgi teoremasi bilan bog'liq bo'lgan hamma narsa ham katta qiziqish... Juda ko'p tomoshabinlar maqsadga erishishga ataylab xalaqit beradi." Etti yillik mashaqqatli mehnat o'z samarasini berdi; Uayls nihoyat Taniyama-Shimura taxminini isbotladi.

1993 yilda ingliz matematigi Endryu Uayls butun dunyoga Fermaning so'nggi teoremasining isbotini taqdim etdi (Uils Kembrijdagi ser Isaak Nyuton institutida bo'lib o'tgan konferentsiyada o'zining shov-shuvli maqolasini o'qidi.), uning ustida ish etti yildan ortiq davom etdi.







Matbuotda shov-shuv davom etar ekan, dalillarni tekshirish uchun jiddiy ish boshlandi. Dalillarni qat'iy va to'g'ri deb hisoblashdan oldin har bir dalil diqqat bilan tekshirilishi kerak. Uayls yozni notinch yozni sharhlovchilarning fikr-mulohazalarini kutib, ularning roziligini olishiga umid qilib o'tkazdi. Avgust oyi oxirida ekspertlar hukmni yetarlicha asoslanmagan deb topishdi.

Ma'lum bo'lishicha, bu qarorda qo'pol xato bor, garchi bu umuman to'g'ri. Uayls taslim bo'lmadi, raqamlar nazariyasi bo'yicha taniqli mutaxassis Richard Teylorning yordamiga murojaat qildi va 1994 yilda ular teoremaning to'g'rilangan va kengaytirilgan isbotini nashr etishdi. Eng hayratlanarlisi shundaki, bu ish "Matematika yilnomalari" matematik jurnalida 130 (!) sahifani egallagan. Ammo voqea shu bilan ham tugamadi - yakuniy nuqtaga faqat keyingi yilda, 1995 yilda, matematik nuqtai nazardan, yakuniy va "ideal" isbot versiyasi e'lon qilinganida erishildi.

"...tug'ilgan kuni munosabati bilan bayramona kechki ovqat boshlanganidan yarim daqiqa o'tgach, men Nadiyaga to'liq dalilning qo'lyozmasini sovg'a qildim" (Endryu Uels). Men hali matematiklarni g'alati odamlar deb aytmadimmi?






Bu safar dalillarga shubha yo'q edi. Ikki maqola eng sinchkovlik bilan tahlil qilindi va 1995 yil may oyida Matematika yilnomalarida chop etildi.

O'sha paytdan beri ko'p vaqt o'tdi, ammo jamiyatda hali ham Fermatning so'nggi teoremasi echilishi mumkin emas degan fikr mavjud. Ammo topilgan dalillarni biladiganlar ham bu yo'nalishda ishlashda davom etmoqdalar - Buyuk teorema 130 sahifali yechimni talab qilishidan juda ozchilik qoniqadi!

Shuning uchun, endi ko'plab matematiklarning (asosan havaskorlar emas, balki professional olimlar) sa'y-harakatlari oddiy va ixcham isbot izlashga sarflanadi, ammo bu yo'l, ehtimol, hech qayoqqa olib kelmaydi... - » Insoniyat muammolari

INSONIYAT YECHMAGAN MATEMATIK MASALALAR

Hilbert muammolari

23 eng muhim muammolar Matematiklar 1990 yilda Parijda bo'lib o'tgan Ikkinchi Xalqaro Matematiklar Kongressida eng buyuk nemis matematigi David Hilbert tomonidan taqdim etilgan. Keyin bu masalalar (matematika asoslarini, algebra, sonlar nazariyasi, geometriya, topologiya, algebraik geometriya, Lie guruhlari, haqiqiy va har tomonlama tahlil qilish, differensial tenglamalar, matematik fizika, variatsiyalar hisobi va ehtimollar nazariyasi hal qilinmagan. Yoniq bu daqiqa 23 ta masaladan 16 tasi yechilgan. Yana 2 tasi toʻgʻri boʻlmagan matematik masaladir (biri yechilganmi yoki yoʻqligini tushunish uchun juda noaniq tuzilgan, ikkinchisi yechilishdan yiroq, fizik, matematik emas). Qolgan 5 ta muammodan ikkitasi hech qanday tarzda hal etilmagan, uchtasi esa faqat ayrim hollarda hal qilingan.

Landau muammolari

Hali ham ko'p ochiq savollar tub sonlar bilan bog'liq (tut son - faqat ikkita bo'luvchiga ega bo'lgan son: bitta va sonning o'zi). Eng muhim masalalar sanab o'tildi Edmund Landau Beshinchi Xalqaro matematika kongressida:

Landauning birinchi muammosi (Goldbax muammosi): rostmi, har bir juft son, 2 dan katta, ikkita tub sonning yig'indisi sifatida va 5 dan katta har bir toq son yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin uchta oddiy raqamlar?

Landauning ikkinchi muammosi: to'plam cheksizmi? "oddiy egizaklar"— ayirmasi 2 ga teng tub sonlar?
Landauning uchinchi muammosi(Legendre gipotezasi): har bir kishi uchun bu to'g'rimi natural son n orasida va har doim tub son bormi?
Landauning to'rtinchi muammosi: n natural son ko'rinishidagi tub sonlarning cheksiz to'plami bormi?

Mingyillik muammolari (Mingyillik mukofoti muammolari)

Yetti matematik muammolar, h va ularning har biri uchun Kley instituti 1 000 000 AQSh dollari miqdoridagi mukofotni taklif qilgan. Bu yetti masalani matematiklar e’tiboriga havola qilib, Kley instituti ularni D.Hilbertning 23 ta muammosi bilan qiyosladi va bu masalaga ta’sir ko‘rsatdi. katta ta'sir XX asr matematikasi bo'yicha. Gilbertning 23 ta muammolaridan aksariyati allaqachon yechilgan va faqat bittasi - Rieman gipotezasi ming yillik muammolari ro'yxatiga kiritilgan. 2012 yil dekabr holatiga ko'ra, Mingyillikning ettita muammosidan faqat bittasi (Puankare taxmini) hal qilingan. Uning yechimi uchun mukofot rossiyalik matematik Grigoriy Perelmanga berildi, u rad etdi.

Mana ushbu etti vazifaning ro'yxati:

№ 1. P va NP sinflarining tengligi

Agar savolga javob ijobiy bo'lsa tez(sertifikat deb ataladigan ba'zi yordamchi ma'lumotlardan foydalangan holda) ushbu savolga berilgan javobning o'zi (sertifikat bilan birga) to'g'ri yoki yo'qligini tekshiring tez toping? Birinchi turdagi masalalar NP sinfga, ikkinchisi P sinfga tegishli.Bu sinflarning tengligi muammosi algoritmlar nazariyasining eng muhim masalalaridan biridir.

№ 2. Xodj taxmini

Algebraik geometriyaning muhim muammosi. Bu faraz algebraik pastki navlar tomonidan amalga oshiriladigan murakkab proyektiv navlar bo'yicha kohomologiya sinflarini tavsiflaydi.

№ 3. Puankare taxmini (G.Ya.Perelman tomonidan isbotlangan)

Bu eng mashhur topologiya muammosi hisoblanadi. Oddiyroq qilib aytganda, 3D sferaning ba'zi xususiyatlariga ega bo'lgan har qanday 3D "ob'ekt" (masalan, uning ichidagi har bir halqa qisqarishi kerak) deformatsiyaga qadar shar bo'lishi kerak. Puankare gipotezasini isbotlaganlik uchun mukofot rossiyalik matematik G.Ya.Perelmanga berildi, u 2002 yilda Puankare gipotezasining asosliligidan kelib chiqadigan bir qator asarlarni nashr etdi.

№ 4. Riemann gipotezasi

Gipotezada aytilishicha, hamma narsa ahamiyatsiz (ya'ni nolga teng bo'lmagan) xayoliy qism) Riemann zeta funksiyasining nollari 1/2 ning haqiqiy qismiga ega. Riemann gipotezasi Hilbertning muammolar ro'yxatida sakkizinchi o'rinni egalladi.

№ 5. Yang-Mills nazariyasi

Elementar zarrachalar fizikasidan masala. Har qanday oddiy ixcham o'lchagich G guruhi uchun buni isbotlashimiz kerak kvant nazariyasi To'rt o'lchovli fazo uchun Yang-Mills tenglamasi mavjud va nolga teng bo'lmagan massa nuqsoniga ega. Ushbu bayonot eksperimental ma'lumotlar va raqamli simulyatsiyalarga mos keladi, ammo u hali isbotlanmagan.

№ 6. Navier-Stokes tenglamalari yechimlarining mavjudligi va silliqligi

Navier-Stokes tenglamalari yopishqoq suyuqlikning harakatini tavsiflaydi. Gidrodinamikaning eng muhim muammolaridan biri.

№ 7. Birch-Svinnerton-Dyer taxmini

Gipoteza elliptik egri chiziqlar tenglamalari va ularning to'plami bilan bog'liq oqilona qarorlar.

"Men bilganim shundaki, men hech narsani bilmayman, lekin boshqalar buni bilishmaydi."
(Sokrat, qadimgi yunon faylasufi)

Umumjahon ongiga egalik qilish va HAMMANI bilish uchun hech kimga kuch berilmagan. Biroq, ko'pchilik olimlar va shunchaki o'ylashni va kashf qilishni yaxshi ko'radiganlar doimo ko'proq o'rganish, sirlarni hal qilish istagiga ega. Ammo insoniyat uchun hali ham hal qilinmagan mavzular qolganmi? Axir, hamma narsa allaqachon aniq bo'lib tuyuladi va siz faqat asrlar davomida olingan bilimlarni qo'llashingiz kerakmi?

Umidsizlikka tushmang! 2000 yilda Kembrijdagi (Massachusets, AQSH) Kley matematika instituti mutaxassislari ming yillikning 7 ta sirlari (Mingyillik mukofoti muammolari) deb ataladigan roʻyxatda birlashtirgan matematika va mantiq sohasida haligacha hal etilmagan muammolar mavjud. Bu muammolar butun sayyoradagi olimlarni tashvishga solmoqda. O'shandan buyon har kim muammolardan birining yechimini topdim, deb da'vo qilishi, farazni isbotlashi va bostonlik milliarder Lendon Kleydan (institut uning nomi bilan atalgan) mukofot olishi mumkin. Buning uchun u allaqachon 7 million dollar ajratgan. Aytmoqchi, Bugun muammolardan biri allaqachon hal qilingan.

Xo'sh, siz matematik jumboqlarni o'rganishga tayyormisiz?

Navier-Stokes tenglamalari (1822 yilda tuzilgan)

Soha: gidroaerodinamika

Turbulent va havo oqimlari, shuningdek suyuqliklar oqimi haqidagi tenglamalar Navier-Stokes tenglamalari deb nomlanadi. Agar, masalan, biror narsa ustida ko'l bo'ylab suzib ketsangiz, atrofingizda muqarrar ravishda to'lqinlar paydo bo'ladi. Bu ham amal qiladi havo maydoni: Samolyotda uchayotganda havoda turbulent oqimlar ham paydo bo'ladi.
Bu tenglamalar hosil qiladi yopishqoq suyuqlikning harakatlanish jarayonlarining tavsifi va barcha gidrodinamikaning asosiy vazifasi hisoblanadi. Ba'zi maxsus holatlar uchun, yakuniy natijaga ta'sir qilmaslik uchun tenglamalarning qismlari tashlab yuborilgan yechimlar allaqachon topilgan, ammo umuman olganda, bu tenglamalarning echimlari topilmagan.
Tenglamalarning yechimini topish va silliq funksiyalarni aniqlash kerak.

Riemann gipotezasi (1859 yilda tuzilgan)

Soha: sonlar nazariyasi

Ma'lumki, tub sonlarning (faqat o'ziga va bittaga bo'linadigan: 2,3,5,7,11...) barcha natural sonlar orasida taqsimlanishi. hech qanday naqshga amal qilmaydi.
Nemis matematigi Riman bu muammo haqida o'ylab ko'rdi va mavjud tub sonlar ketma-ketligining xossalari haqida nazariy jihatdan o'zining taxminini qildi. Juftlashgan tub sonlar deb ataladigan narsalar uzoq vaqtdan beri ma'lum - egizak tub sonlar, ularning orasidagi farq 2 ga teng, masalan 11 va 13, 29 va 31, 59 va 61. Ba'zan ular butun klasterlarni hosil qiladi, masalan, 101, 103, 107, 109 va 113.
Agar bunday klasterlar topilsa va ma'lum bir algoritm olinsa, bu shifrlash sohasidagi bilimlarimizda inqilobiy o'zgarishlarga va Internet xavfsizligi sohasida misli ko'rilmagan yutuqga olib keladi.

Puankare muammosi (1904 yilda tuzilgan. 2002 yilda hal qilingan.)

Maydon: ko'p o'lchovli bo'shliqlar topologiyasi yoki geometriyasi

Muammoning mohiyati topologiyada va shundan iboratki, agar siz kauchukni, masalan, olma (shar)ni tortsangiz, uni ko'tarmasdan sekin harakatlantirib, uni bir nuqtaga siqib qo'yish nazariy jihatdan mumkin bo'ladi. sirtdan lenta. Shu bilan birga, agar bir xil lenta donut (torus) atrofida tortilsa, u holda lentani buzmasdan yoki donutning o'zini buzmasdan lentani siqish mumkin emas. Bular. sharning butun yuzasi oddiygina bog'langan, torus esa bog'lanmagan. Vazifa faqat shar oddiygina bog'langanligini isbotlash edi.

Leningrad geometriya maktabining vakili Grigoriy Yakovlevich Perelman Puankare muammosini hal qilgani uchun Kley matematika institutining Ming yillik mukofoti (2010) laureati. U mashhur Fields medalidan bosh tortdi.

Xodj gipotezasi (1941 yilda tuzilgan)

Soha: algebraik geometriya

Aslida, juda ko'p oddiy va ancha murakkab geometrik ob'ektlar mavjud. Ob'ekt qanchalik murakkab bo'lsa, uni o'rganish shunchalik qiyin bo'ladi. Endi olimlar ushbu ob'ektni o'rganish uchun bir butunning ("g'isht") qismlaridan foydalanishga asoslangan yondashuvni o'ylab topishdi va faol foydalanmoqdalar, masalan, qurilish majmuasi. "Qurilish bloklari" ning xususiyatlarini bilib, ob'ektning o'ziga xos xususiyatlariga yaqinlashish mumkin bo'ladi. Xodjning gipotezasi bu holda "g'isht" va ob'ektlarning ma'lum xususiyatlari bilan bog'liq.
Bu algebraik geometriyada juda jiddiy muammo: oddiy "qurilish bloklari" yordamida murakkab ob'ektlarni tahlil qilishning aniq usullari va usullarini topish.

Yang-Mills tenglamalari (1954 yilda tuzilgan)

Soha: geometriya va kvant fizikasi

Fiziklar Yang va Mills elementar zarralar dunyosini tasvirlaydi. Ular geometriya va zarralar fizikasi o'rtasidagi bog'liqlikni kashf etib, kvant fizikasi sohasida o'z tenglamalarini yozdilar. Shu bilan elektromagnit, kuchsiz va kuchli o'zaro ta'sirlar nazariyalarini birlashtirish yo'li topildi.
Mikropartikullar darajasida "yoqimsiz" ta'sir paydo bo'ladi: agar zarrachaga bir vaqtning o'zida bir nechta maydonlar ta'sir qilsa, ularning kombinatsiyalangan ta'siri endi ularning har birining ta'siriga ajralishi mumkin emas. Buning sababi shundaki, bu nazariyada nafaqat materiya zarralari bir-biriga tortiladi, balki elektr uzatish liniyalari dalalar.
Yang-Mills tenglamalari dunyodagi barcha fiziklar tomonidan qabul qilingan bo'lsa-da, elementar zarrachalar massasini bashorat qilish nazariyasi eksperimental tarzda isbotlanmagan.

Birch va Svinnerton-Dyer gipotezasi (1960 yilda tuzilgan)

Soha: algebra va sonlar nazariyasi

Gipoteza elliptik egri chiziqlar tenglamalari va ularning ratsional yechimlari to'plami bilan bog'liq. Ferma teoremasini isbotlashda elliptik egri chiziqlar eng muhim o'rinlardan birini egallagan. Va kriptografiyada ular o'z nomining butun qismini tashkil qiladi va ba'zi rus raqamli imzo standartlari ularga asoslanadi.
Muammo shundaki, siz BARCHA yechimlarni x, y, z butun sonlarida tasvirlashingiz kerak algebraik tenglamalar, ya'ni butun sonli koeffitsientli bir necha o'zgaruvchilarning tenglamalari.

Kuk muammosi (1971 yilda tuzilgan)

Soha: matematik mantiq va kibernetika

U "P va NP sinflarining tengligi" deb ham ataladi va u algoritmlar, mantiq va informatika nazariyasining eng muhim muammolaridan biridir.
Muammoni hal qilishning to'g'riligini tekshirish jarayoni ushbu muammoni hal qilish uchun sarflangan vaqtdan uzoqroq davom etishi mumkinmi?(tasdiqlash algoritmidan qat'iy nazar)?
Ba'zan shartlar va algoritmlarni o'zgartirsangiz, bir xil muammoni hal qilish uchun har xil vaqt kerak bo'ladi. Masalan: yirik kompaniyada siz tanish izlayapsiz. Agar u burchakda yoki stolda o'tirganini bilsangiz, uni ko'rish uchun sizga bir soniya kerak bo'ladi. Ammo ob'ektning qaerdaligini aniq bilmasangiz, barcha mehmonlarni ziyorat qilib, uni qidirishga ko'proq vaqt sarflaysiz.
Asosiy savol: oson va tez tekshirilishi mumkin bo'lgan barcha muammolarni ham oson va tez hal qilish mumkinmi yoki hammasi emasmi?

Ko'pchilik uchun matematika haqiqatdan unchalik uzoq emas. Bu bizning dunyomizni va ko'plab hodisalarni tasvirlashimiz mumkin bo'lgan mexanizmdir. Matematika hamma joyda. Va V.O. haq edi. Klyuchevskiy shunday dedi: "Ko'rning ularni ko'rmasligi gullarning aybi emas.".

Yakunida….

Matematikada eng mashhur teoremalardan biri - Fermaning buyuk (oxirgi) teoremasi: a + bn = cn - 358 yil davomida isbotlab bo'lmadi! Va faqat 1994 yilda britaniyalik Endryu Uayls unga yechim bera oldi.

Yechilmaydigan masalalar 7 ta qiziqarli matematik muammodir. Ularning har biri bir vaqtning o'zida mashhur olimlar tomonidan taklif qilingan, odatda farazlar shaklida. Ko'p o'n yillar davomida butun dunyodagi matematiklar ularni hal qilish uchun o'z miyalarini sindirishmoqda. Muvaffaqiyatga erishganlar Clay Institute tomonidan taklif qilingan bir million AQSh dollari miqdorida mukofot oladilar.

Kley instituti

Bosh qarorgohi Massachusets shtatining Kembrij shahrida joylashgan xususiy notijorat tashkilotiga shunday nom berilgan. U 1998 yilda Garvard matematiki A. Jaffi va biznesmen L. Kley tomonidan asos solingan. Institutning maqsadi matematik bilimlarni ommalashtirish va rivojlantirishdir. Bunga erishish uchun tashkilot olimlar va istiqbolli tadqiqot homiylarini mukofotlaydi.

21-asrning boshlarida Kley matematika instituti eng qiyin yechilmaydigan masalalar bo'lgan muammolarni hal qilganlarga mukofot taklif qildi va o'z ro'yxatini Mingyillik mukofoti muammolari deb nomladi. Hilbert ro'yxatidan unga faqat Riemann gipotezasi kiritilgan.

Mingyillik muammolari

Clay Institute ro'yxati dastlab quyidagilarni o'z ichiga olgan:

• Xodj sikli gipotezasi;
• Yang-Mills kvant nazariyasi tenglamalari;
• Puankare taxmini;
• P va NP sinflarining tengligi muammosi;
• Rieman gipotezasi;
• uning yechimlarining mavjudligi va silliqligi haqida;
• Birch-Svinnerton-Dyer muammosi.

Ushbu ochiq matematik muammolar katta qiziqish uyg'otadi, chunki ular ko'plab amaliy dasturlarga ega bo'lishi mumkin.

Grigoriy Perelman nimani isbotladi

1900 yilda taniqli faylasuf Anri Puankare har bir oddiy bog'langan ixcham 3 o'lchovli kollektor chegarasiz 3 o'lchovli sferaga gomeomorf ekanligini taklif qildi. Uning isboti bor umumiy holat asrdan beri topilmadi. Faqat 2002-2003 yillarda peterburglik matematik G. Perelman Puankare muammosini hal qiluvchi bir qancha maqolalar chop etdi. Ular bomba portlash effektini yaratdilar. 2010 yilda Puankare gipotezasi Kley institutining "Yechilmagan muammolari" ro'yxatidan chiqarib tashlandi va Perelmanning o'zi unga tegishli bo'lgan katta mukofotni olishni taklif qildi, ikkinchisi esa o'z qarorining sabablarini tushuntirmasdan rad etdi.

Rus matematigi nimani isbotlay olganini eng tushunarli tushuntirish, ular kauchuk diskni donut (torus) ustiga cho'zishlarini tasavvur qilish orqali berilishi mumkin, so'ngra uning aylanasining chetlarini bir nuqtaga tortib olishga harakat qilishadi. Bu mumkin emasligi aniq. Agar siz bu tajribani to'p bilan o'tkazsangiz, bu boshqa masala. Bunday holda, atrofi gipotetik shnur bilan bir nuqtaga tortilgan diskdan hosil bo'lgan uch o'lchamli shar tushunishda uch o'lchovli bo'ladi. oddiy odam, lekin matematik nuqtai nazardan ikki o'lchovli.

Puankare uch o'lchamli shar sirti bir nuqtaga qisqarishi mumkin bo'lgan yagona uch o'lchamli "ob'ekt" ekanligini aytdi va Perelman buni isbotlay oldi. Shunday qilib, bugungi kunda "Yechilishi mumkin bo'lmagan muammolar" ro'yxati 6 ta muammodan iborat.

Yang-Mills nazariyasi

Ushbu matematik muammo 1954 yilda uning mualliflari tomonidan taklif qilingan. Nazariyaning ilmiy formulasi quyidagicha: har qanday oddiy ixcham o'lchagichlar guruhi uchun kvant fazoviy nazariya, Yang va Mills tomonidan yaratilgan, mavjud va ayni paytda nol massa nuqsoniga ega.

Oddiy odam tushunadigan tilda gapirish, o'zaro ta'sirlar tabiiy ob'ektlar(zarralar, jismlar, to'lqinlar va boshqalar) 4 turga bo'linadi: elektromagnit, tortishish, kuchsiz va kuchli. Ko'p yillar davomida fiziklar yaratishga harakat qilmoqdalar umumiy nazariya dalalar. Bu barcha o'zaro ta'sirlarni tushuntirish uchun vositaga aylanishi kerak. Yang-Mills nazariyasi matematik til, uning yordamida tabiatning 4 ta asosiy kuchidan 3 tasini tavsiflash mumkin bo'ldi. Bu tortishish kuchiga taalluqli emas. Shuning uchun, Yang va Mills maydon nazariyasini yaratishda muvaffaqiyat qozongan deb hisoblash mumkin emas.

Bundan tashqari, taklif etilayotgan tenglamalarning nochiziqliligi ularni echishni juda qiyinlashtiradi. Kichkina bog'lanish konstantalari uchun ular taxminan buzilish nazariyasi qatori shaklida echilishi mumkin. Biroq, bu tenglamalarni kuchli ulanish ostida qanday hal qilish mumkinligi hali aniq emas.

Navier-Stoks tenglamalari

Bu iboralar havo oqimlari, suyuqlik oqimi va turbulentlik kabi jarayonlarni tavsiflaydi. Ba'zi maxsus holatlar uchun Navier-Stokes tenglamasining analitik echimlari allaqachon topilgan, ammo umumiy holat uchun buni hali hech kim bajara olmadi. Shu bilan birga, tezlik, zichlik, bosim, vaqt va boshqalarning aniq qiymatlari uchun raqamli modellashtirish ajoyib natijalarga erishishga imkon beradi. Biz faqat kimdir Navier-Stokes tenglamalarini teskari yo'nalishda qo'llashi, ya'ni ular yordamida parametrlarni hisoblashi yoki yechim usuli yo'qligini isbotlashi mumkinligiga umid qilishimiz mumkin.

Birch-Svinnerton-Dyer muammosi

“Yechilmagan muammolar” turkumiga Kembrij universitetining ingliz olimlari tomonidan taklif qilingan gipoteza ham kiradi. Hatto 2300 yil oldin qadimgi yunon olimi Evklid bergan To'liq tavsif x2 + y2 = z2 tenglamaning yechimlari.

Agar har bir tub son uchun egri chiziqdagi nuqtalar sonini modul bo‘yicha hisoblasak, cheksiz butun sonlar to‘plamini olamiz. Agar siz uni kompleks oʻzgaruvchining 1 funksiyasiga maxsus “yopishtirsangiz”, u holda siz L harfi bilan belgilangan uchinchi tartibli egri chiziq uchun Hasse-Vayl zeta funksiyasini olasiz. Unda bir vaqtning oʻzida barcha tub sonlarning modul harakati haqida maʼlumotlar mavjud. .

Brayan Birch va Piter Svinnerton-Dyer elliptik egri chiziqlar haqidagi farazni taklif qildilar. Unga ko'ra, uning ratsional yechimlari to'plamining tuzilishi va miqdori L-funksiyaning birlikdagi xatti-harakati bilan bog'liq. Hozirda isbotlanmagan Birch-Svinnerton-Dyer gipotezasi 3-darajali algebraik tenglamalarning tavsifiga bog'liq va yagona nisbatan sodda. umumiy tarzda elliptik egri chiziqlar darajasini hisoblash.

Ushbu muammoning amaliy ahamiyatini tushunish uchun zamonaviy elliptik egri kriptografiyada assimetrik tizimlarning butun klassi va mahalliy raqamli imzo standartlari ulardan foydalanishga asoslanganligini aytish kifoya.

p va np sinflarining tengligi

Agar Mingyillik muammolarining qolgan qismi faqat matematik bo'lsa, u holda bu hozirgi algoritmlar nazariyasi bilan bog'liq. Kuk-Lyuin muammosi deb ham ataladigan p va np sinflarining tengligi bilan bog'liq muammoni aniq tilda quyidagicha shakllantirish mumkin. Faraz qilaylik, ma'lum bir savolga ijobiy javob etarlicha tez, ya'ni polinom vaqtida (PT) tekshirilishi mumkin. Unda javobni juda tez topish mumkin, deyish to'g'rimi? Bu oddiyroq ko'rinadi: haqiqatan ham muammoning echimini tekshirish uni topishdan ko'ra qiyinroq emasmi? Agar p va np sinflarining tengligi isbotlangan bo'lsa, u holda barcha tanlash masalalari PV orqali hal qilinishi mumkin. Ayni paytda ko'plab mutaxassislar bu bayonotning haqiqatiga shubha qilmoqdalar, garchi ular buning aksini isbotlay olmasalar ham.

Riemann gipotezasi

1859 yilgacha tub sonlarning natural sonlar orasida qanday taqsimlanishini tavsiflovchi naqsh aniqlanmagan. Ehtimol, bu fanning boshqa masalalar bilan shug'ullanganligi bilan bog'liqdir. Biroq, 19-asrning o'rtalariga kelib, vaziyat o'zgardi va ular matematika o'rgana boshlagan eng dolzarb mavzulardan biriga aylandi.

Bu davrda paydo bo'lgan Rieman gipotezasi tub sonlarning taqsimlanishida ma'lum bir qonuniyat mavjudligi haqidagi farazdir.

Bugungi kunda ko'plab zamonaviy olimlar, agar u isbotlangan bo'lsa, elektron tijorat mexanizmlarining ko'pchiligining asosini tashkil etuvchi zamonaviy kriptografiyaning ko'plab fundamental tamoyillarini qayta ko'rib chiqishga to'g'ri keladi, deb hisoblashadi.

Riemann gipotezasiga ko'ra, tub sonlarni taqsimlash tabiati hozirgi taxmin qilinganidan sezilarli darajada farq qilishi mumkin. Gap shundaki, hozirgacha tub sonlarni taqsimlashda hech qanday tizim topilmagan. Masalan, "egizaklar" muammosi bor, ularning orasidagi farq 2. Bu raqamlar 11 va 13, 29. Boshqa tub sonlar klasterlarni tashkil qiladi. Bular 101, 103, 107 va boshqalar. Olimlar juda katta tub sonlar orasida bunday klasterlar mavjudligiga uzoq vaqtdan beri gumon qilishgan. Agar ular topilsa, zamonaviy kriptokeyslarning kuchi shubha ostiga olinadi.

Xodj tsiklining taxmini

Bu haligacha hal qilinmagan muammo 1941 yilda shakllantirilgan. Xodjning gipotezasi yuqori o'lchamdagi oddiy jismlarni bir-biriga "yopishtirish" orqali har qanday ob'ektning shaklini yaqinlashtirish imkoniyatini taklif qiladi. Bu usul uzoq vaqtdan beri ma'lum va muvaffaqiyatli qo'llanilgan. Biroq, soddalashtirishni qay darajada amalga oshirish mumkinligi ma'lum emas.

Endi siz qanday hal qilib bo'lmaydigan muammolar mavjudligini bilasiz. Ular butun dunyo bo'ylab minglab olimlar tomonidan tadqiqot mavzusidir. Biz faqat umid qilishimiz mumkinki, ular yaqin kelajakda hal qilinadi va ularning amaliy foydalanish insoniyatga texnologik taraqqiyotning yangi bosqichiga kirishga yordam beradi.

Hammaga salom!

Bugungi kunda ilm-fan bilan shug'ullanish foyda keltirmaydi, degan fikr bor - siz boy bo'lmaysiz! Ammo umid qilamanki, bugungi post sizga bu holatdan uzoq ekanligini ko'rsatadi. Bugun men sizga mashq paytida qanday qilib aytaman fundamental tadqiqotlar, siz toza summani topishingiz mumkin.

Har qanday fan taraqqiyotining har qanday bosqichida hamisha bir qancha hal etilmagan muammolar va vazifalarga duch kelgan, ular olimlarni hayratda qoldirgan. Fizika - sovuq termoyadro sintezi, matematika - Goldbax gipotezasi, tibbiyot - saraton kasalligiga davo va boshqalar. Ulardan ba'zilari (bu yoki boshqa sabablarga ko'ra) shunchalik muhimki, ularni hal qilish uchun mukofot bor. Va ba'zida bu mukofot juda, juda munosib.

Bir qator fanlarda bu mukofot bo'lishi mumkin Nobel mukofoti. Ammo ular buni matematik kashfiyotlar uchun bermaydilar va bugun men matematika haqida gaplashmoqchiman.

Matematika, fanlar malikasi, sizga hal qilinmagan muammolar va qiziqarli muammolar dengizini taklif qiladi, ammo bugun biz faqat ettita haqida gaplashamiz. Ular "Mingyillik muammolari" deb ham ataladi.

Ko'rinib turibdiki, vazifalar va hatto vazifalar? Ularning o'ziga xos xususiyati nimada? Gap shundaki, uzoq yillardan buyon ularga yechim topilmagan va ularning har birining yechimi uchun Kley instituti 1 million dollar mukofot va’da qilgan edi! Rozi, ozgina emas. Albatta, taxminan 1,5 million bo'lgan Nobel mukofoti emas, lekin u ham shunday bo'ladi.

Mana ularning ro'yxati:

• P va NP sinflarining tengligi
• Xodj taxmini
• Puankare taxmini (echilgan)
• Riemann gipotezasi
• Kvant Yang-Mills nazariyasi
• Navye-Stoks tenglamalari yechimlarining mavjudligi va silliqligi
• Birch-Svinnerton-Dyer taxmini

Shunday qilib, keling, ularning har birini batafsil ko'rib chiqaylik.

1.P va NP sinflarining tengligi

Bu muammo algoritmlar nazariyasidagi eng muhim muammolardan biri bo'lib, ko'pchiligingiz bu haqda hech bo'lmaganda bilvosita eshitgansiz. Bu muammo nima va uning mohiyati nimada? Tasavvur qiling-a, biz tezda javob berishimiz mumkin bo'lgan, ya'ni tezda ularning echimini topishimiz mumkin bo'lgan muammolarning ma'lum bir sinfi bor. Algoritmlar nazariyasida men bu sinfdagi masalalarni P sinfi deb atayman. Va biz ularni hal qilishning to'g'riligini tezda tekshirishimiz mumkin bo'lgan muammolar sinfi mavjud - bu NP klassi. Va hozirgacha bu sinflar teng yoki teng emasligi ma'lum emas. Ya'ni, hech bo'lmaganda nazariy jihatdan berilgan muammoning yechimini tezda topishimiz, shuningdek, uning to'g'riligini tekshirishimiz mumkin bo'lgan algoritmni topish mumkinmi yoki yo'qligi ma'lum emas.

Klassik misol. Raqamlar to'plami berilsin, masalan: 50, 2, 47, 5, 21, 4, 78, 1. Masala: shu sonlar orasidan shunday tanlash mumkinmiki, ularning yig'indisi 100 ni beradi? Javob: siz, masalan, 50+47+2+1 = 100. Yechimning to'g'riligini tekshirish oson. Qo'shish operatsiyasini to'rt marta qo'llang va hammasi. Faqat bu raqamlarni tanlash masalasi. Bir qarashda, buni qilish ancha qiyin. Ya'ni, muammoning yechimini topish uni tekshirishdan ko'ra qiyinroq. Banal bilim nuqtai nazaridan, bu to'g'ri, lekin matematik jihatdan isbotlanmagan va bu shunday emas degan umid mavjud.

Xo'sh, nima? Xo'sh, agar P va NP sinflari teng ekanligi aniqlansa-chi? Hammasi oddiy. Sinflarning tengligi ko'plab masalalarni hal qilish uchun hozirda ma'lum bo'lganlardan (yuqorida aytib o'tilganidek) ancha tezroq bo'lgan algoritmlar mavjudligini anglatadi.

Tabiiyki, bu gipotezani isbotlash yoki rad etish uchun bir nechta urinishlar qilingan, ammo hech biri muvaffaqiyatli bo'lmagan. Eng oxirgisi hind matematiki Vinay Deolalikarning urinishi edi. Muammo bayonoti muallifi Stiven Kukning so'zlariga ko'ra, bu yechim "P vs NP muammosini hal qilish uchun nisbatan jiddiy urinish" edi. Ammo, afsuski, muallif tuzatishga va'da bergan taqdim etilgan dalillarda bir qator xatolar topildi.

2.Xodj taxmini

Murakkablik oddiy komponentlarning yig'indisidir. Murakkab ob'ektlarni o'rganish natijasida matematiklar kattalashib borayotgan o'lchamdagi ob'ektlarni bir-biriga yopishtirish orqali ularni yaqinlashtirish usullarini ishlab chiqdilar. Ammo bu turdagi yaqinlashtirishni qay darajada amalga oshirish mumkinligiga hali oydinlik kiritilmagan va yaqinlashishda ishlatiladigan ba'zi ob'ektlarning geometrik tabiati noaniqligicha qolmoqda.

3.Puankare taxmini

Puankare gipotezasi hozirda yechilgan yetti ming yillik muammolardan bittasi. Shunisi quvonarliki, qaror muallifi hamyurtimiz Grigoriy Yakovlevich Perelman bo‘lib, u ham o‘ziga xos dahodir. Biz bu haqda ko'p va qiziqarli gapirishimiz mumkin, ammo keling, farazning o'ziga e'tibor qarataylik.

Formulyatsiya:

Har bir oddiy bog'langan ixcham uch o'lchovli kollektor chegarasiz uch o'lchovli sferaga gomeomorfdir.

Yoki umumlashtirilgan Puankare taxmini:

Har qanday natural n soni uchun n o‘lchamli har qanday manifold gomotopiya n o‘lchamli sferaga ekvivalent bo‘ladi, agar u gomeomorf bo‘lsa.

Oddiy qilib aytganda, muammoning mohiyati shundan iborat. Agar biz olma olib, uni kauchuk plyonka bilan yopsak, unda deformatsiyalar yordamida, plyonkani yirtmasdan, biz olmani nuqta yoki kubga aylantira olamiz, lekin hech qanday tarzda uni donutga aylantira olmaymiz. Kub, 3D shar va hatto uch o'lchovli bo'shliq bir-biriga o'xshash, deformatsiyaga qadar.

Bunday sodda formulaga qaramay, gipoteza yuzlab yillar davomida isbotlanmagan. Garchi matematikada, ba'zida formulalar qanchalik sodda bo'lsa, isbot shunchalik murakkab bo'ladi (biz hammamiz Fermatning oxirgi teoremasini eslaymiz).

Keling, o'rtoq Perelmanga qaytaylik. Bu janob o'ziga tegishli bo'lgan milliondan voz kechib: "Agar butun olam mening qo'limda bo'lsa, nega menga sizning pulingiz kerak?" Men buni qila olmadim. Rad etish natijasida ajratilgan million yosh frantsuz va amerikalik matematiklarga berildi.

Va nihoyat, shuni ta'kidlashni istardimki, Puankare gipotezasi mutlaqo amaliy qo'llanilmaydi (!!!).

4. Riman gipotezasi.

Riemann gipotezasi, ehtimol, etti ming yillik muammolarining eng mashhuri (Puankare gipotezasi bilan birga). Matematika bilan professional ravishda shug'ullanmagan odamlar orasida mashhur bo'lishining sabablaridan biri bu juda oddiy formulaga ega.

Riemann zeta funksiyasining barcha notrivial nollari ? ga teng haqiqiy qismga ega.

Qabul qiling, bu juda oddiy. Va ko'rinib turgan soddalik bu farazni isbotlash uchun ko'plab urinishlar uchun sabab bo'ldi. Afsuski, hali natija yo'q.

Riemann gipotezasini isbotlash uchun muvaffaqiyatsiz urinishlarning ko'pligi ba'zi matematiklar orasida uning haqiqiyligiga shubha tug'dirdi. Ular orasida Jon Littlvud ham bor. Ammo skeptiklar soni unchalik ko'p emas va ko'pchilik matematik hamjamiyat Riemann gipotezasi haqiqat ekanligiga ishonishga moyil. Buning bilvosita tasdig'i bir qator shunga o'xshash bayonotlar va farazlarning to'g'riligidir.

Sonlar nazariyasidagi ko'plab algoritmlar va bayonotlar yuqoridagi farazning to'g'ri ekanligi haqidagi faraz bilan tuzilgan. Shunday qilib, Riemann gipotezasining to'g'riligining isboti raqamlar nazariyasining asosini yaratadi va uning rad etilishi raqamlar nazariyasini "silkitadi".

Va nihoyat, juda mashhur, lekin juda qiziq fakt. Bir kuni Devid Gilbertdan: "Agar siz 500 yil uxlab, uyg'ongan bo'lsangiz, birinchi harakatingiz nima bo'lardi?" - "Men Riemann gipotezasi isbotlanganmi, deb so'rayman."

5. Yang-Mills nazariyasi

Abel bo'lmagan o'lchov guruhi bilan kvant fizikasining o'lchov nazariyalaridan biri. Bu nazariya o'tgan asrning o'rtalarida taklif qilingan, lekin uzoq vaqt davomida narsalarning haqiqiy tabiatiga hech qanday aloqasi bo'lmagan sof matematik texnika sifatida qaraldi. Ammo keyinchalik Yang-Mills nazariyasiga asoslanib, asosiy nazariyalar qurildi Standart model- kvant xromodinamikasi va kuchsiz o'zaro ta'sirlar nazariyasi.

Muammo bayoni:

Har qanday oddiy ixcham o'lchagichlar guruhi uchun kosmos uchun Yang-Mills kvant nazariyasi mavjud va nolga teng bo'lmagan massa nuqsoniga ega.

Nazariya tajribalar natijalari va kompyuter modellashtirish natijalari bilan to'liq tasdiqlangan, ammo nazariy isbotni olmagan.

6. Navye-Stoks tenglamalari yechimlarining mavjudligi va silliqligi

Gidrodinamikaning eng muhim muammolaridan biri va klassik mexanikaning hal qilinmagan oxirgi muammolari.

Maksvell tenglamalari, issiqlik uzatish tenglamalari va boshqalar bilan to'ldirilgan Navier-Stoks tenglamasi elektrogidrodinamika, magnit gidrodinamika, suyuqliklar va gazlarning konvektsiyasi, issiqlik diffuziyasi va boshqalarning ko'plab masalalarini hal qilish uchun ishlatiladi.

Tenglamalarning o'zi qisman differentsial tenglamalar tizimidir. Tenglamalar ikki qismdan iborat:

• harakat tenglamalari
• uzluksizlik tenglamalari

Navier-Stoks tenglamalarining to'liq analitik yechimini topish ularning nochiziqliligi va chegara va boshlang'ich sharoitlarga kuchli bog'liqligi bilan juda murakkab.

7. Birch-Svinnerton-Dyer taxmini

Ming yillik muammolarining oxirgisi Birch-Svinnerton-Dyer gipotezasidir.

Gipotezada shunday deyilgan

elliptik egri chizig'ining Q ustidan r darajasi Hasse-Veyl zeta funktsiyasining nol tartibiga teng.

E(L,s) nuqtada s = 1.

Ushbu gipoteza o'z navbatida asosiy tadqiqot ob'ekti bo'lgan elliptik egri chiziqlar darajasini aniqlashning nisbatan sodda usuli hisoblanadi. zamonaviy nazariya raqamlar va kriptografiya.

Bu ming yillikning barcha muammolari. Ba'zi muammolar boshqalarga qaraganda ancha kam yoritilgani uchun uzr so'rayman. Buning sababi, ushbu muammolar bo'yicha ma'lumotlarning etishmasligi va ularning mohiyatini oddiygina (og'ir va murakkab matematikani jalb qilmasdan) taqdim etishning mumkin emasligi. Clay Institute har bir muammoni hal qilish uchun 1 million dollar mukofot e'lon qildi. Olg'a! Fundamental fanni olg'a siljitish orqali yaxshi pul ishlash imkoniyati mavjud, chunki yettita muammodan oltitasi haligacha hal etilmagan.