Vektorning koordinatalarini topish matematikaning ko'plab masalalari uchun juda keng tarqalgan shartdir. Vektor koordinatalarini topish qobiliyati sizga boshqa, murakkabroq masalalarda yordam beradi shunga o'xshash mavzular. Ushbu maqolada vektor koordinatalarini topish formulasini va bir nechta muammolarni ko'rib chiqamiz.

Tekislikdagi vektorning koordinatalarini topish

Samolyot nima? Tekislik ikki o'lchovli fazo, ikki o'lchamli (x o'lcham va y o'lchamli) bo'shliq deb hisoblanadi. Masalan, qog'oz tekis. Stolning yuzasi tekis. Har qanday hajmli bo'lmagan shakl (kvadrat, uchburchak, trapezoid) ham tekislikdir. Shunday qilib, agar muammo bayonida tekislikda yotgan vektorning koordinatalarini topish kerak bo'lsa, biz darhol x va y haqida eslaymiz. Bunday vektorning koordinatalarini quyidagicha topishingiz mumkin: vektorning AB koordinatalari = (xB – xA; yB – xA). Formula shuni ko'rsatadiki, siz boshlang'ich nuqtaning koordinatalarini oxirgi nuqtaning koordinatalaridan ayirish kerak.

Misol:

• Vektorli CD ning dastlabki (5; 6) va yakuniy (7; 8) koordinatalari mavjud.
• Vektorning koordinatalarini toping.
• Yuqoridagi formuladan foydalanib, quyidagi ifodani olamiz: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Shunday qilib, CD vektorining koordinatalari = (2; 2).
• Shunga ko'ra, x koordinatasi ikkiga teng, y koordinatasi ham ikkitadir.

Fazoda vektorning koordinatalarini topish

Kosmos nima? Kosmos allaqachon uch o'lchovli o'lcham bo'lib, u erda 3 ta koordinata berilgan: x, y, z. Agar siz kosmosda joylashgan vektorni topishingiz kerak bo'lsa, formula deyarli o'zgarmaydi. Faqat bitta koordinata qo'shiladi. Vektorni topish uchun oxirgi koordinatalardan boshining koordinatalarini ayirish kerak. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

Misol:

• Vektor DF boshlang'ich (2; 3; 1) va yakuniy (1; 5; 2) ga ega.
• Yuqoridagi formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz: Vektor koordinatalari DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Esingizda bo'lsin, koordinata qiymati salbiy bo'lishi mumkin, hech qanday muammo yo'q.

Vektor koordinatalarini Internetda qanday topish mumkin?

Agar biron sababga ko'ra siz koordinatalarni o'zingiz topishni xohlamasangiz, onlayn kalkulyatordan foydalanishingiz mumkin. Boshlash uchun vektor o'lchamini tanlang. Vektorning o'lchami uning o'lchamlari uchun javobgardir. 3-o‘lchov vektor fazoda, 2-o‘lchov esa tekislikda ekanligini bildiradi. Keyinchalik, tegishli maydonlarga nuqtalarning koordinatalarini kiriting va dastur siz uchun vektorning koordinatalarini aniqlaydi. Hammasi juda oddiy.

Tugmani bosish orqali sahifa avtomatik ravishda pastga aylanadi va yechim qadamlari bilan birga to'g'ri javobni beradi.

Yaxshi o'qish tavsiya etiladi bu mavzu, chunki vektor tushunchasi nafaqat matematikada, balki fizikada ham uchraydi. Fakultet talabalari Axborot texnologiyalari Ular vektorlar mavzusini ham o'rganadilar, ammo murakkabroq darajada.

Abscissa va ordinata o'qi deyiladi koordinatalar vektor. Vektor koordinatalari odatda shaklda ko'rsatilgan (x, y), va vektorning o'zi quyidagicha: =(x, y).

Ikki o'lchovli masalalar uchun vektor koordinatalarini aniqlash formulasi.

Ikki o'lchovli muammo bo'lsa, ma'lum bo'lgan vektor nuqtalarning koordinatalari A(x 1;y 1) Va B(x 2 ; y 2 ) hisoblash mumkin:

= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Fazoviy masalalar uchun vektor koordinatalarini aniqlash formulasi.

Fazoviy muammo bo'lsa, ma'lum bo'lgan vektor nuqtalarning koordinatalari A (x 1;y 1;z 1 ) va B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) formula yordamida hisoblash mumkin:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Koordinatalar vektorning to'liq tavsifini beradi, chunki koordinatalar yordamida vektorning o'zini qurish mumkin. Koordinatalarni bilish, hisoblash oson va vektor uzunligi. (Quyida 3-mulk).

Vektor koordinatalarining xossalari.

1. Har qanday teng vektorlar yagona koordinatalar tizimida mavjud teng koordinatalar.

2. Koordinatalar kollinear vektorlar mutanosib. Vektorlarning hech biri nolga teng bo'lmasa.

3. Har qanday vektor uzunligining kvadrati summasiga teng kvadrat koordinatalar.

4. Operatsiya paytida vektorni ko'paytirish yoqilgan haqiqiy raqam uning har bir koordinatasi shu raqamga ko'paytiriladi.

5. Vektorlarni qo'shishda biz mos keladiganlarning yig'indisini hisoblaymiz vektor koordinatalari.

6. Skalyar mahsulot ikkita vektor ularning mos keladigan koordinatalari ko'paytmalari yig'indisiga teng.

Nihoyat, men bu keng va uzoq kutilgan mavzuni qo'lga oldim. analitik geometriya . Birinchidan, oliy matematikaning ushbu bo'limi haqida bir oz ... Albatta, siz ko'plab teoremalar, ularning dalillari, chizmalari va boshqalardan iborat maktab geometriya kursini eslaysiz. Nimani yashirish kerak, o'quvchilarning muhim qismi uchun sevilmaydigan va ko'pincha qorong'i mavzu. Analitik geometriya, g'alati, qiziqarliroq va qulayroq ko'rinishi mumkin. “Analitik” sifatdoshi nimani anglatadi? Ikkita klişe matematik iboralar darhol yodga tushadi: "grafik yechim usuli" va "analitik yechim usuli". Grafik usul , albatta, grafik va chizmalarni qurish bilan bog'liq. Analitik bir xil usuli muammolarni hal qilishni o'z ichiga oladi asosan orqali algebraik amallar. Shu munosabat bilan, analitik geometriyaning deyarli barcha muammolarini hal qilish algoritmi oddiy va shaffofdir, ko'pincha kerakli formulalarni diqqat bilan qo'llash kifoya - va javob tayyor! Yo'q, albatta, biz buni chizmalarsiz umuman qila olmaymiz va bundan tashqari, materialni yaxshiroq tushunish uchun men ularni zaruratdan tashqari keltirishga harakat qilaman.

Geometriya darslarining yangi ochilgan kursi nazariy jihatdan tugallangandek ko'rinmaydi, u amaliy masalalarni yechishga qaratilgan. Men o'z ma'ruzalarimga faqat mening nuqtai nazarimdan amaliy jihatdan muhim bo'lgan narsalarni kiritaman. Agar biron-bir bo'lim bo'yicha to'liqroq yordam kerak bo'lsa, men quyidagi juda qulay adabiyotlarni tavsiya qilaman:

1) Hazil emas, bir necha avlodlar tanish bo'lgan narsa: Geometriya bo'yicha maktab darslik, mualliflar - L.S. Atanasyan va kompaniya. Bu maktab echinish xonasi ilgichi allaqachon 20 (!) Qayta nashrdan o'tgan, bu, albatta, chegara emas.

2) Geometriya 2 jildda. Mualliflar L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Bu adabiyot uchun o'rta maktab, sizga kerak bo'ladi birinchi jild. Kamdan-kam uchraydigan vazifalar mening ko'z o'ngimdan tushishi mumkin va Qo'llanma bebaho yordam beradi.

Har ikkala kitobni ham onlayn bepul yuklab olish mumkin. Bundan tashqari, siz mening arxivimdan foydalanishingiz mumkin tayyor echimlar, sahifada topish mumkin Oliy matematika bo'yicha misollar yuklab olish.

Asboblar orasida men yana o'z ishlab chiqishimni taklif qilaman - dasturiy ta'minot to'plami analitik geometriyada, bu hayotni sezilarli darajada soddalashtiradi va ko'p vaqtni tejaydi.

O'quvchi asosiy bilan tanish deb taxmin qilinadi geometrik tushunchalar va raqamlar: nuqta, chiziq, tekislik, uchburchak, parallelogram, parallelepiped, kub va boshqalar. Ba'zi teoremalarni, hech bo'lmaganda Pifagor teoremasini eslab qolish tavsiya etiladi, takrorlovchilarga salom)

Va endi biz ketma-ket ko'rib chiqamiz: vektor tushunchasi, vektorlar bilan harakatlar, vektor koordinatalari. Men qo'shimcha o'qishni tavsiya qilaman eng muhim maqola Vektorlarning nuqta mahsuloti, va shuningdek Vektorlarning vektor va aralash mahsuloti. Mahalliy vazifa - bu borada segmentni taqsimlash ham ortiqcha bo'lmaydi. Yuqoridagi ma'lumotlarga asoslanib, siz o'zlashtirishingiz mumkin tekislikdagi chiziq tenglamasi Bilan yechimlarning eng oddiy misollari, bu imkon beradi geometriya masalalarini yechishni o'rganish. Quyidagi maqolalar ham foydalidir: Kosmosdagi tekislik tenglamasi, Fazodagi chiziq tenglamalari, To`g`ri chiziq va tekislikka oid asosiy masalalar, analitik geometriyaning boshqa bo`limlari. Tabiiyki, yo'lda standart vazifalar ko'rib chiqiladi.

Vektor tushunchasi. Bepul vektor

Birinchidan, vektorning maktab ta'rifini takrorlaymiz. Vektor chaqirdi yo'naltirilgan boshi va oxiri ko'rsatilgan segment:

Bunda segmentning boshi nuqta, segmentning oxiri nuqta hisoblanadi. Vektorning o'zi bilan belgilanadi. Yo'nalish juda muhim, agar siz o'qni segmentning boshqa uchiga o'tkazsangiz, siz vektor olasiz va bu allaqachon butunlay boshqacha vektor. Jismoniy jismning harakati bilan vektor tushunchasini aniqlash qulay: siz rozi bo'lishingiz kerak, institut eshiklaridan kirish yoki institut eshiklarini tark etish butunlay boshqa narsalar.

Samolyot yoki makonning alohida nuqtalarini deb atalmish deb hisoblash qulay nol vektor. Bunday vektor uchun oxiri va boshlanishi mos keladi.

!!! Eslatma: Bu erda va bundan keyin siz vektorlar bir xil tekislikda yotadi yoki ular kosmosda joylashgan deb taxmin qilishingiz mumkin - taqdim etilgan materialning mohiyati ham tekislik, ham kosmos uchun amal qiladi.

Belgilar: Ko'pchilik darhol belgida o'qsiz tayoqni payqadi va tepada o'q ham borligini aytishdi! To'g'ri, siz uni o'q bilan yozishingiz mumkin: , lekin bu ham mumkin men kelajakda foydalanadigan yozuv. Nega? Ko'rinishidan, bu odat amaliy sabablarga ko'ra paydo bo'lgan; maktab va universitetdagi otishmalarim juda xilma-xil va shag'al bo'lib chiqdi. IN o'quv adabiyoti ba'zan ular mixxat yozuvi bilan umuman bezovta qilmaydilar, lekin qalin harflarni ajratib ko'rsatishadi: , bu vektor ekanligini anglatadi.

Bu stilistika edi va endi vektorlarni yozish usullari haqida:

1) Vektorlarni ikkita katta lotin harflari bilan yozish mumkin:
va hokazo. Bunday holda, birinchi harf Majburiy vektorning boshlanish nuqtasini, ikkinchi harf esa vektorning oxirgi nuqtasini bildiradi.

2) Vektorlar ham kichik lotin harflari bilan yoziladi:
Xususan, qisqalik uchun vektorimiz kichik deb qayta belgilanishi mumkin Lotin harfi.

Uzunlik yoki modul nolga teng bo'lmagan vektor segment uzunligi deb ataladi. Nol vektorning uzunligi nolga teng. Mantiqiy.

Vektor uzunligi modul belgisi bilan belgilanadi: ,

Biz vektor uzunligini qanday topishni (yoki kimga qarab takrorlaymiz) birozdan keyin bilib olamiz.

Bu barcha maktab o'quvchilariga tanish bo'lgan vektorlar haqidagi asosiy ma'lumotlar edi. Analitik geometriyada, deyiladi bepul vektor.

Oddiy qilib aytganda - vektor istalgan nuqtadan chizilishi mumkin:

Biz bunday vektorlarni teng deb atashga odatlanganmiz (teng vektorlarning ta'rifi quyida keltirilgan), ammo sof matematik nuqtai nazardan, ular bir xil VEKTOR yoki bepul vektor. Nega bepul? Chunki muammolarni yechish jarayonida siz u yoki bu “maktab” vektorini samolyot yoki fazoning istalgan nuqtasiga “birikishingiz” mumkin. Bu juda ajoyib xususiyat! Ixtiyoriy uzunlik va yo'nalishdagi yo'naltirilgan segmentni tasavvur qiling - uni cheksiz ko'p marta va kosmosning istalgan nuqtasida "klonlash" mumkin, aslida u HAR YERDA mavjud. Talabaning shunday bir gapi bor: Har bir o'qituvchi vektorga e'tibor beradi. Axir, bu shunchaki aqlli qofiya emas, hamma narsa deyarli to'g'ri - u erga yo'naltirilgan segmentni ham qo'shish mumkin. Lekin xursand bo'lishga shoshilmang, ko'pincha talabalarning o'zlari azob chekishadi =)

Shunday qilib, bepul vektor- Bu bir guruh bir xil yo'naltirilgan segmentlar. Paragrafning boshida berilgan vektorning maktab ta'rifi: "Yo'naltirilgan segment vektor deb ataladi ..." xos tekislik yoki fazoning ma'lum bir nuqtasiga bog'langan, berilgan to'plamdan olingan yo'naltirilgan segment.

Shuni ta'kidlash kerakki, fizika nuqtai nazaridan erkin vektor tushunchasi umumiy holat noto'g'ri va qo'llash nuqtasi muhim. Haqiqatan ham, mening ahmoqona misolimni rivojlantirish uchun etarli bo'lgan bir xil kuchning burun yoki peshonaga to'g'ridan-to'g'ri zarbasi turli xil oqibatlarga olib keladi. Biroq, erkin emas vektorlar ham vyshmat kursida topiladi (u erga bormang :)).

Vektorlar bilan amallar. Vektorlarning kollinearligi

IN maktab kursi geometriya, vektorlar bilan bir qator harakatlar va qoidalar ko'rib chiqiladi: uchburchak qoidasiga ko`ra qo`shish, parallelogramma qoidasiga ko`ra qo`shish, vektor ayirma qoidasi, vektorni songa ko`paytirish, skalyar mahsulot vektorlar va boshqalar. Boshlanish nuqtasi sifatida analitik geometriya masalalarini hal qilish uchun ayniqsa dolzarb bo'lgan ikkita qoidani takrorlaymiz.

Uchburchak qoidasi yordamida vektorlarni qo'shish qoidasi

Ikki ixtiyoriy nolga teng bo'lmagan vektorni ko'rib chiqing va:

Ushbu vektorlarning yig'indisini topishingiz kerak. Barcha vektorlar bepul deb hisoblanganligi sababli, biz vektorni chetga surib qo'yamiz oxiri vektor:

Vektorlar yig'indisi vektor hisoblanadi. Qoidani yaxshiroq tushunish uchun uni kiritish tavsiya etiladi jismoniy ma'no: ba'zi jismlar vektor bo'ylab, keyin esa vektor bo'ylab harakat qilsin. Keyin vektorlar yig'indisi natijada boshlangan yo'lning vektori ketish nuqtasida va oxiri kelish nuqtasida bo'ladi. Shunga o'xshash qoida har qanday vektorlar yig'indisi uchun tuzilgan. Ular aytganidek, tana o'z yo'lini zigzag bo'ylab yoki balki avtopilotda - natijada yig'indi vektori bo'ylab juda suyangan holda borishi mumkin.

Aytgancha, agar vektor dan kechiktirilsa boshlandi vektor, keyin biz ekvivalentni olamiz parallelogramma qoidasi vektorlarni qo'shish.

Birinchidan, vektorlarning kollinearligi haqida. Ikki vektor deyiladi kollinear, agar ular bir chiziqda yoki parallel chiziqlarda yotsa. Taxminan aytganda, biz parallel vektorlar haqida gapiramiz. Ammo ularga nisbatan "kollinear" sifatdoshi doimo ishlatiladi.

Ikkitasini tasavvur qiling kollinear vektor. Agar bu vektorlarning o'qlari bir xil yo'nalishda yo'naltirilgan bo'lsa, unda bunday vektorlar deyiladi hamkorlikda boshqargan. Agar o'qlar tomon ishora qilsa turli tomonlar, keyin vektorlar bo'ladi qarama-qarshi yo'nalishlar.

Belgilar: vektorlarning kollinearligi odatiy parallellik belgisi bilan yoziladi: , detallashtirish mumkin bo'lsa: (vektorlar birgalikda yo'naltirilgan) yoki (vektorlar qarama-qarshi yo'naltirilgan).

Ish Sondagi nolga teng bo'lmagan vektor uzunligi ga teng bo'lgan vektor va vektorlari ga birgalikda va teskari yo'naltirilgan.

Vektorni raqamga ko'paytirish qoidasini rasm yordamida tushunish osonroq:

Keling, buni batafsil ko'rib chiqaylik:

1) Yo'nalish. Agar multiplikator manfiy bo'lsa, u holda vektor yo‘nalishini o‘zgartiradi teskarisiga.

2) Uzunlik. Agar multiplikator yoki ichida bo'lsa, u holda vektor uzunligi kamayadi. Demak, vektor uzunligi vektor uzunligining yarmiga teng. Agar modul ko'paytirilsa birdan ortiq, keyin vektor uzunligi ortadi o'z vaqtida.

3) E'tibor bering barcha vektorlar kollineardir, bir vektor boshqasi orqali ifodalangan bo'lsa, masalan, . Buning teskarisi ham to'g'ri: agar bir vektorni boshqa vektor orqali ifodalash mumkin bo'lsa, unda bunday vektorlar albatta kollinear bo'ladi. Shunday qilib: agar vektorni songa ko'paytirsak, biz kollinear bo'lamiz(asl nusxaga nisbatan) vektor.

4) Vektorlar birgalikda yo'naltirilgan. Vektorlar va birgalikda boshqariladi. Birinchi guruhning har qanday vektori ikkinchi guruhning istalgan vektoriga nisbatan qarama-qarshi yo'naltirilgan.

Qaysi vektorlar teng?

Ikki vektor bir xil yo'nalishda bo'lsa va uzunligi bir xil bo'lsa, tengdir. E'tibor bering, ko'p yo'nalishlilik vektorlarning kollinearligini anglatadi. Agar biz shunday desak, ta'rif noto'g'ri (ortiqcha) bo'ladi: "Ikki vektor, agar ular bir-biriga mos keladigan, ko'p yo'nalishli va bir xil uzunlikka ega bo'lsa, tengdir".

Erkin vektor tushunchasi nuqtai nazaridan, teng vektorlar oldingi paragrafda muhokama qilinganidek, bir xil vektordir.

Tekislikdagi va fazodagi vektor koordinatalari

Birinchi nuqta - tekislikdagi vektorlarni ko'rib chiqish. Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimini tasvirlaymiz va uni koordinatalarning kelib chiqishidan boshlab chizamiz. yagona vektorlar va:

Vektorlar va ortogonal. Ortogonal = Perpendikulyar. Sekin-asta atamalarga ko'nikishingizni tavsiya qilaman: parallellik va perpendikulyarlik o'rniga mos ravishda so'zlardan foydalanamiz. kollinearlik Va ortogonallik.

Belgilash: Vektorlarning ortogonalligi odatiy perpendikulyarlik belgisi bilan yoziladi, masalan: .

Ko'rib chiqilayotgan vektorlar deyiladi koordinata vektorlari yoki orts. Bu vektorlar hosil bo'ladi asos yuzada. Asos nima, menimcha, ko'pchilik uchun tushunarli; batafsilroq ma'lumotni maqolada topish mumkin. Vektorlarning chiziqli (no) bog'liqligi. Vektorlar asoslari Oddiy so'zlar bilan aytganda, koordinatalarning asosi va kelib chiqishi butun tizimni belgilaydi - bu to'liq va boy geometrik hayot qaynaydigan o'ziga xos poydevordir.

Ba'zan qurilgan asos deyiladi ortonormal tekislikning asosi: "orto" - koordinata vektorlari ortogonal bo'lgani uchun, "normallashtirilgan" sifatdoshi birlikni anglatadi, ya'ni. bazis vektorlarining uzunliklari birga teng.

Belgilash: asos odatda qavs ichida yoziladi, uning ichida qat'iy ketma-ketlikda bazis vektorlari keltirilgan, masalan: . Koordinata vektorlari bu taqiqlangan qayta tartibga solish.

Har qanday tekislik vektori yagona yo'l quyidagicha ifodalangan:
, qayerda - raqamlar deb ataladi vektor koordinatalari shu asosda. Va ifodaning o'zi chaqirdi vektor parchalanishiasosida .

Kechki ovqat:

Keling, alifboning birinchi harfidan boshlaylik: . Chizma aniq ko'rsatib turibdiki, vektorni asosga ajratishda yuqorida muhokama qilinganlardan foydalaniladi:
1) vektorni songa ko'paytirish qoidasi: va ;
2) uchburchak qoidasiga ko'ra vektorlarni qo'shish: .

Endi samolyotning istalgan boshqa nuqtasidan vektorni aqliy ravishda chizing. Uning tanazzulga uchrashi "uni to'xtovsiz kuzatib borishi" aniq. Mana, vektorning erkinligi - vektor "hamma narsani o'zi bilan olib yuradi". Bu xususiyat, albatta, har qanday vektor uchun to'g'ri keladi. Qizig'i shundaki, asosiy (erkin) vektorlarning o'zlari kelib chiqishidan chizilishi shart emas; birini, masalan, pastki chapda, ikkinchisini esa yuqori o'ngda chizish mumkin va hech narsa o'zgarmaydi! To'g'ri, buni qilishning hojati yo'q, chunki o'qituvchi ham o'ziga xoslikni ko'rsatadi va sizni kutilmagan joyda "kredit" oladi.

Vektorlar vektorni songa ko'paytirish qoidasini aniq ko'rsatadi, vektor asosiy vektor bilan ko'proq yo'nalishli, vektor asosiy vektorga qarama-qarshi yo'naltirilgan. Ushbu vektorlar uchun koordinatalardan biri nolga teng, uni diqqat bilan quyidagicha yozishingiz mumkin:


Aytgancha, asosiy vektorlar shunday: (aslida ular o'zlari orqali ifodalanadi).

Va nihoyat: , . Aytgancha, vektorni ayirish nima va nega ayirish qoidasi haqida gapirmadim? Chiziqli algebrada qayerda ekanligini eslay olmayman, ayirish ekanligini ta'kidladim maxsus holat qo'shimcha. Shunday qilib, "de" va "e" vektorlarining kengayishlari osongina yig'indi sifatida yoziladi: , . Ushbu vaziyatlarda uchburchak qoidasiga ko'ra eski vektor qo'shilishi qanchalik aniq ishlashini ko'rish uchun chizmaga amal qiling.

Shaklning ko'rib chiqilayotgan parchalanishi ba'zan vektor parchalanishi deb ataladi ort tizimida(ya'ni birlik vektorlar tizimida). Ammo bu vektor yozishning yagona usuli emas, quyidagi variant keng tarqalgan:

Yoki teng belgisi bilan:

Bazis vektorlarining o'zi quyidagicha yoziladi: va

Ya'ni vektorning koordinatalari qavs ichida ko'rsatilgan. Amaliy masalalarda yozuvning uchta varianti ham qo'llaniladi.

Gapirishga shubha qildim, lekin baribir aytaman: vektor koordinatalarini qayta tartibga solish mumkin emas. Birinchi o'rinda qat'iy biz birlik vektoriga mos keladigan koordinatani yozamiz, qat'iy ikkinchi o'rinda birlik vektoriga mos keladigan koordinatani yozamiz. Haqiqatan ham, va ikki xil vektor.

Biz samolyotdagi koordinatalarni aniqladik. Keling, uch o'lchamli fazodagi vektorlarni ko'rib chiqaylik, bu erda deyarli hamma narsa bir xil! U yana bitta koordinata qo'shadi. Uch o'lchamli chizmalarni yaratish qiyin, shuning uchun men o'zimni bitta vektor bilan cheklayman, soddaligi uchun uni asl nusxasidan ajratib qo'yaman:

Har qanday vektor uch o'lchamli bo'shliq mumkin yagona yo'l ortonormal asosda kengaytiring:
, bu asosda vektorning (son) koordinatalari qayerda.

Rasmdan misol: . Keling, bu erda vektor qoidalari qanday ishlashini ko'rib chiqaylik. Birinchidan, vektorni raqam bilan ko'paytirish: (qizil o'q), (yashil o'q) va (malinali o'q). Ikkinchidan, bir nechta, bu holda uchta vektorni qo'shish misoli: . Yig'indi vektor boshlang'ich jo'nash nuqtasidan (vektorning boshlanishi) boshlanadi va oxirgi kelish nuqtasida (vektorning oxiri) tugaydi.

Tabiiyki, uch o'lchovli fazoning barcha vektorlari ham erkindir; vektorni boshqa har qanday nuqtadan aqliy ravishda chetga surib qo'yishga harakat qiling va siz uning parchalanishi "u bilan qolishini" tushunasiz.

Yassi kassaga o'xshash, yozishdan tashqari qavsli versiyalar keng qo'llaniladi: yoki .

Agar kengaytirishda bitta (yoki ikkita) koordinata vektori etishmayotgan bo'lsa, ularning o'rniga nollar qo'yiladi. Misollar:
vektor (diqqat bilan ) – yozamiz;
vektor (diqqat bilan ) – yozamiz;
vektor (diqqat bilan ) - yozaylik.

Bazis vektorlari quyidagicha yoziladi:

Bu, ehtimol, minimaldir nazariy bilim, analitik geometriya masalalarini yechish uchun zarur. Ko'p atamalar va ta'riflar bo'lishi mumkin, shuning uchun men qo'g'irchoqlarga qayta o'qishni va tushunishni tavsiya qilaman. bu ma'lumot yana bir marta. Va har qanday o'quvchi uchun materialni yaxshiroq o'zlashtirish uchun vaqti-vaqti bilan asosiy darsga murojaat qilish foydali bo'ladi. Kollinearlik, ortogonallik, ortonormal asos, vektor dekompozitsiyasi - bu va boshqa tushunchalar kelajakda tez-tez qo'llaniladi. Shuni ta'kidlaymanki, geometriya bo'yicha nazariy test yoki kollokviumdan o'tish uchun saytdagi materiallar etarli emas, chunki men barcha teoremalarni (va isbotlarsiz) sinchkovlik bilan shifrlayman - taqdimotning ilmiy uslubiga zarar etkazadi, lekin sizning tushunishingizga ortiqcha. mavzu. Batafsil nazariy ma'lumotni olish uchun professor Atanasyanga ta'zim qiling.

Va biz amaliy qismga o'tamiz:

Analitik geometriyaning eng oddiy masalalari.
Koordinatalarda vektorlar bilan amallar

To'liq avtomatik ravishda ko'rib chiqiladigan vazifalarni va formulalarni qanday hal qilishni o'rganish juda tavsiya etiladi yodlash, buni ataylab eslab qolishning ham hojati yo'q, ular buni o'zlari eslab qolishadi =) Bu juda muhim, chunki analitik geometriyaning boshqa masalalari eng oddiy elementar misollarga asoslanadi va piyon yeyish uchun qo'shimcha vaqt sarflash zerikarli bo'ladi. . Ko'ylakning yuqori tugmalarini mahkamlashning hojati yo'q, ko'p narsalar sizga maktabdan tanish.

Materialning taqdimoti parallel ravishda amalga oshiriladi - samolyot uchun ham, kosmos uchun ham. Chunki barcha formulalar... o'zingiz ko'rasiz.

Ikki nuqtadan vektorni qanday topish mumkin?

Agar tekislikning ikkita nuqtasi va berilgan bo'lsa, vektor quyidagi koordinatalarga ega bo'ladi:

Agar fazoda ikkita nuqta berilgan bo'lsa, vektor quyidagi koordinatalarga ega bo'ladi:

Ya'ni, vektor oxirining koordinatalaridan tegishli koordinatalarni olib tashlashingiz kerak vektorning boshlanishi.

Mashq: Xuddi shu nuqtalar uchun vektorning koordinatalarini topish formulalarini yozing. Dars oxiridagi formulalar.

1-misol

Samolyotning ikkita nuqtasi berilgan va . Vektor koordinatalarini toping

Yechim: tegishli formula bo'yicha:

Shu bilan bir qatorda, quyidagi yozuvdan foydalanish mumkin:

Estetiklar buni hal qiladi:

Shaxsan men yozuvning birinchi versiyasiga o‘rganib qolganman.

Javob:

Shartga ko'ra, chizma yaratish shart emas edi (bu analitik geometriya muammolari uchun xos), ammo manikyurlar uchun ba'zi fikrlarni aniqlashtirish uchun men dangasa bo'lmayman:

Siz, albatta, tushunishingiz kerak nuqta koordinatalari va vektor koordinatalari o'rtasidagi farq:

Nuqta koordinatalari- bu to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi oddiy koordinatalar. Ballarni qo'ying koordinata tekisligi Menimcha, buni 5-6-sinfdan boshlab hamma qila oladi. Har bir nuqtaning samolyotda qat'iy o'rni bor va ularni hech qanday joyga ko'chirish mumkin emas.

Vektorning koordinatalari- bu uning asosga ko'ra kengayishi, bu holda. Har qanday vektor bepul, shuning uchun agar xohlasangiz yoki kerak bo'lsa, biz uni samolyotning boshqa nuqtasidan osongina uzoqlashtirishimiz mumkin. Qizig'i shundaki, vektorlar uchun siz o'qlarni yoki to'rtburchaklar koordinatalar tizimini umuman qurishingiz shart emas, sizga faqat asos kerak, bu holda tekislikning ortonormal asosi.

Nuqtalarning koordinatalari va vektorlar koordinatalarining yozuvlari o'xshash ko'rinadi: , va koordinatalarning ma'nosi mutlaqo boshqacha, va siz bu farqni yaxshi bilishingiz kerak. Bu farq, albatta, kosmosga ham tegishli.

Xonimlar va janoblar, keling, qo'llarimizni to'ldiraylik:

2-misol

a) Ballar va beriladi. Vektorlarni toping va .
b) Ballar beriladi Va . Vektorlarni toping va .
c) Ballar va beriladi. Vektorlarni toping va .
d) ball beriladi. Vektorlarni toping .

Balki bu yetarlidir. Bular siz o'zingiz qaror qilishingiz uchun misollar, ularni e'tiborsiz qoldirmaslikka harakat qiling, bu o'z samarasini beradi ;-). Chizmalar qilishning hojati yo'q. Dars oxiridagi yechimlar va javoblar.

Analitik geometriya masalalarini yechishda nima muhim?“Ikki ortiqcha ikki nolga teng” degan mohirona xatoga yo'l qo'ymaslik uchun O'TA Ehtiyotkor bo'lish kerak. Agar biror joyda xato qilsam, darhol uzr so'rayman =)

Segment uzunligini qanday topish mumkin?

Uzunlik, yuqorida aytib o'tilganidek, modul belgisi bilan ko'rsatilgan.

Agar tekislikning ikkita nuqtasi va berilgan bo'lsa, u holda segment uzunligini formuladan foydalanib hisoblash mumkin

Agar fazoda ikkita nuqta va berilgan bo'lsa, u holda segmentning uzunligi formuladan foydalanib hisoblanishi mumkin

Eslatma: Tegishli koordinatalar almashtirilsa, formulalar to'g'ri bo'lib qoladi: va , lekin birinchi variant standartroq

3-misol

Yechim: tegishli formula bo'yicha:

Javob:

Aniqlik uchun men rasm chizaman

Chiziq segmenti - bu vektor emas, va, albatta, siz uni boshqa joyga ko'chira olmaysiz. Bundan tashqari, agar siz masshtabga chizsangiz: 1 birlik. = 1 sm (ikkita daftar xujayrasi), keyin olingan javobni segmentning uzunligini to'g'ridan-to'g'ri o'lchash orqali oddiy o'lchagich bilan tekshirish mumkin.

Ha, yechim qisqa, lekin unda yana bir nechta muhim fikrlarni aniqlab bermoqchiman:

Birinchidan, javobda biz o'lchamni qo'yamiz: "birliklar". Shart NIMA ekanligini, millimetr, santimetr, metr yoki kilometrni aytmaydi. Shuning uchun, matematik jihatdan to'g'ri echim umumiy formula bo'ladi: "birliklar" - "birliklar" deb qisqartiriladi.

Ikkinchidan, takrorlaymiz maktab materiali, bu nafaqat ko'rib chiqilgan muammo uchun foydalidir:

e'tibor bering muhim texnik texnika – multiplikatorni ildiz ostidan olib tashlash. Hisob-kitoblar natijasida bizda natija bor va yaxshi matematik uslub omilni ildiz ostidan olib tashlashni o'z ichiga oladi (agar iloji bo'lsa). Batafsilroq, jarayon quyidagicha ko'rinadi: . Albatta, javobni o‘z holicha qoldirish xato bo‘lmaydi – lekin bu, albatta, kamchilik va o‘qituvchining gap-so‘zlari uchun jiddiy dalil bo‘lardi.

Bu erda boshqa keng tarqalgan holatlar:

Ko'pincha ildizda etarli katta raqam, Masalan . Bunday hollarda nima qilish kerak? Kalkulyator yordamida sonning 4 ga bo'linishini tekshiramiz: . Ha, u butunlay bo'lingan, shunday qilib: . Yoki bu raqamni yana 4 ga bo'lish mumkinmi? . Shunday qilib: . Raqamning oxirgi raqami toq, shuning uchun uchinchi marta 4 ga bo'lish ishlamasligi aniq. Keling, to'qqizga bo'lishga harakat qilaylik: . Natijada:
Tayyor.

Xulosa: agar ildiz ostida biz bir butun sifatida chiqarib bo'lmaydigan raqamni olsak, u holda biz koeffitsientni ildiz ostidan olib tashlashga harakat qilamiz - kalkulyator yordamida raqamning bo'linishini tekshiramiz: 4, 9, 16, 25, 36, 49 va boshqalar.

Turli muammolarni hal qilishda ildizlar tez-tez uchrab turadi; o'qituvchining sharhlari asosida yechimlarni yakunlashda past baho va keraksiz muammolarni oldini olish uchun har doim ildiz ostidan omillarni ajratib olishga harakat qiling.

Keling, kvadrat ildizlarni va boshqa kuchlarni takrorlaymiz:

Darajalar bilan harakatlar qoidalari umumiy ko'rinish algebra bo'yicha maktab darsligida topish mumkin, lekin menimcha, berilgan misollardan hamma narsa yoki deyarli hamma narsa allaqachon aniq.

Kosmosdagi segment bilan mustaqil hal qilish vazifasi:

4-misol

Ballar va beriladi. Segment uzunligini toping.

Yechim va javob dars oxirida.

Vektor uzunligini qanday topish mumkin?

Agar tekislik vektori berilgan bo'lsa, uning uzunligi formula bo'yicha hisoblanadi.

Agar fazo vektori berilgan bo'lsa, uning uzunligi formula bo'yicha hisoblanadi .